QU N TR R I RO TÀI CHÍNH QU N TR R I RO TÀI CHÍNH
Ị Ủ Ị Ủ
Ả Ả
ề
ị ằ
ọ
Bài 5: Đ nh giá quy n ch n b ng mô hình Black-Scholes
Ớ Ạ
I H N C A MÔ HÌNH NH Ị
Ủ
GI PHÂN
ị
ộ ụ
Mô hình đ nh giá quy n ch n ọ ề vào m t giá nh phân h i t ộ ị i h n. tr c th trong gi ớ ạ ị ụ ể
Ớ Ạ
I H N C A MÔ HÌNH NH Ị
Ủ
GI PHÂN
ờ
ị ờ c g i là ọ ổ ế
ự ế
ừ ế ổ
mô hình th i gian r i Mô hình nh phân đ ờ ượ r cạ . Khi th i gian trôi đi, giá c phi u nh y t m c này ả ừ ứ sang m t trong hai m c ti p theo. Tuy nhiên, trong th c ứ t thì th i gian trôi đi không ng ng và giá c phi u nói ế chung ch thay đ i v i nh ng gia s r t nh . ỏ ộ ờ ỉ ổ ớ ố ấ ữ
c th hi n t t h n trong các mô ặ ư ậ ể ệ ố ơ
Đ c tính nh v y đ ượ ụ . hình th i gian liên t c ờ
ử ụ ổ
Mô hình Black-Scholes đã s d ng khuôn kh mô hình th i gian liên t c đ đ nh giá quy n ch n ụ ể ị ọ . ờ ề
Ủ
GI Đ NH C A MÔ HÌNH BLACK - Ả Ị SCHOLES
ổ ế ể
Giá c phi u bi n đ ng ng u nhiên và phát tri n theo ẫ ộ ế phân ph i logarit chu n. ẩ ố
su t sinh l ấ ộ ấ ổ ủ ỷ ấ
ủ ủ ổ ợ ờ ổ ố
Lãi su t phi r i ro và đ b t n c a t i theo logarit c a c phi u không thay đ i trong su t th i gian ế đáo h n c a quy n ch n. ạ ủ ề ọ
Không có thu và chi phí giao d ch. ế ị
C phi u không tr c t c. ả ổ ứ ế ổ
Các quy n ch n là ki u Châu Âu. ề ể ọ
CÔNG TH C ĐO T GI I NOBEL Ạ
Ứ
Ả
Tr c
C = S
Xe
)N(d 1
0
)N(d 2
- -
2
+
+
/X)
σ
/2)T
ln(S 0
V iớ
(r c Tσ
d1 =
Tσ
d1
- d2 =
ố ấ ẩ
σ = đ b t
ủ ỷ ấ ẩ ợ
N(d1), N(d2) = xác su t phân ph i chu n tích lũy n hàng năm (đ l ch ộ ệ i ghép lãi ế ộ ấ ổ chu n) c a t liên t c (logarit) c a c phi u ụ su t sinh l ủ ổ
ấ rc = lãi su t phi r i ro ghép lãi liên t c ụ ủ
Phân ph i chu n ẩ ố
• Nh c l
i ắ ạ
– Phân ph i d ng hình chuông – Dùng b ng phân ph i xác su t tích lũy tìm ố
ấ
ố ạ ả N(d1) and N(d2).
CÔNG TH C ĐO T GI I NOBEL Ạ
Ứ
Ả
ể ị ề ộ
S d ng công th c Black-Scholes đ đ nh giá m t quy n ứ ch n mua c phi u AOL tháng 6: ế ử ụ ọ ổ
• Giá th c hi n 125 ự ệ
• Giá c phi u $125,9375 ế ổ
• Th i gian đ n khi đáo h n là 0,0959 ế ạ ờ
• Lãi su t phi r i ro là 4,56% ủ ấ
• Đ l ch chu n = 0,83 ộ ệ ẩ
c bi u di n d i d ng lãi su t ấ ả ượ ễ ướ ạ ể ấ
Lãi su t phi r i ro ph i đ ủ c ghép lãi liên t c. đ ượ ụ
Rc = ln(1,0456) = 4,46.
Đ c tính c a công th c ứ ủ
ặ
i công th c
ả
ứ
ch p nh n r i ro (risk neutral)
ệ
ị
– Di n gi ễ • Khái ni m nhà đ u t • M t nhà đ u t ầ ư ấ ằ
ế
ậ ủ ớ ủ ị
ấ
ầ ư ấ ch p nh n v i r i ro đ nh giá m t tài ộ ậ ng lai ọ t kh u nó theo lãi su t phi r i ro ọ
ộ s n b ng cách tìm ki m giá tr kỳ v ng trong t ươ ả c a tài s n và chi ủ ấ ế ả ủ ơ ở ể ị ấ
ằ
ủ
ế
• Chúng ta có th đ nh giá quy n ch n trên c s các nhà ề là ch p nh n v i r i ro – có nghĩa là, b ng ớ ủ ng lai c a ọ t kh u nó v i lãi ớ
ề
ế
ậ T – X) và chi
đ u t ậ ầ ư cách tìm ki m thu nh p kỳ v ng trong t ươ quy n ch n Max(0,S ấ ọ su t phi r i ro. ủ
ấ
Di n gi ễ
ả
i công th c ứ
ầ
ể
ứ
ấ ủ
ứ
ọ
ị
ế
ề
ệ
ớ
ổ ế ớ
ấ
ơ
• Ph n th nh t c a bi u th c là giá tr kỳ v ng c a ủ giá c phi u khi đáo h n, v i đi u ki n là giá c ổ ạ phi u l n h n giá th c hi n, nhân v i xác su t giá ệ ự ớ c phi u l n h n giá th c hi n khi đ n h n ế ạ ổ
ế ớ ơ
ự
ệ
ầ
ứ
ả ủ ủ
ả
ị
• Thành ph n th hai trong v ph i c a công th c ứ ế Black-Scholes là giá tr kỳ v ng c a kho n chi tr ả ọ theo giá th c hi n khi đáo h n ạ ệ
ự
ch p nh n r i
ầ ư ấ
ậ ủ
ro mà X s đ
• N(d2) là xác su t ng v i nhà đ u t ấ ứ c chi tr khi đáo h n ạ
ẽ ượ
ớ ả
ứ
Công th c Black-Scholes và m t s tr
ng h p
ộ ố ườ
ợ
i
ớ
i h n d ạ
ướ
– Công th c Black-Scholes và gi ể
quy n ch n ki u Châu Âu: ấ
ứ ọ ườ
ng h p: S ợ
ấ
ấ
0 r t cao và S
0 r t th p,
ề – Xét hai tr ta v n có: ẫ
Tr c
Max(0,
S
Xe
)
0
- -
Khi T=0, S=0, X=0 và s =0 và rc=0
Công th c s ra sao????
ứ ẽ
Khi T=0
Ế Ố
CÁC BI N S TRONG MÔ HÌNH B-S Có 5 bi n s nh h
ng đ n giá quy n ch n: ế ố ả ưở ề ế ọ
(1) Giá c phi u ổ ế
(2) Giá th c hi n ự ệ
(3) Lãi su t phi r i ro ấ ủ
(4) Th i gian đ n khi đáo h n ế ạ ờ
(5) Đ b t n hay đ l ch chu n c a c phi u. ẩ ủ ổ ộ ấ ổ ộ ệ ế
Ế Ố
CÁC BI N S TRONG MÔ HÌNH B-S
Giá c phi u ổ ế
ổ ơ ẽ ẫ ề ế ế ọ
Giá c phi u cao h n s d n đ n giá quy n ch n mua cao h n. ơ
ả ị ế ổ
ằ ẽ ạ
ơ
Ví d : Gi đ nh r ng giá c phi u là $130 thay vì ụ $125,9375. Nó s t o ra giá tr c a N(d1) và N(d2) là ị ủ 0,6171 và 0,5162, và giá tr c a C là $15,96, cao h n giá ị ủ tr đ t đ c đây là $13,55. c tr ị ạ ượ ướ
Ế Ố
CÁC BI N S TRONG MÔ HÌNH B-S
Ế Ố
CÁC BI N S TRONG MÔ HÌNH B-S
Giá c phi u ổ ế
ọ
ề ị ơ ượ ễ ộ ọ
M i quan h gi a giá c phi u và giá quy n ch n mua ố ế ổ ệ ữ th i d ng m t giá tr đ n, g i là c bi u di n d ng đ ườ ướ ạ ể Delta.
d quy n ch n mua = N(d1) ˛ [0 , 1] ọ ề
Ế Ố
CÁC BI N S TRONG MÔ HÌNH B-S
Giá c phi u ổ ế
ổ ủ ứ ọ ộ ớ ị
Delta là giá tr thay đ i c a giá quy n ch n mua ng v i m t thay đ i ổ r t nhấ ề ỏ trong giá c phi u. ế ổ
ằ ế ộ ọ
Delta b ng 0,5692 nghĩa là giá quy n ch n bi n đ ng ề 56,92% so v i thay đ i c a giá c phi u. ổ ủ ế ớ ổ
ổ ế
ề ủ ế ả ọ ộ
Ví d , n u giá c phi u là $130, tăng $4,0625, giá quy n ụ ế ch n s là $15,96, tăng $2,41, kho ng 59% bi n đ ng c a ẽ giá c phi u. ế ổ
ậ ọ ộ ấ
ặ ạ ả ướ ọ ớ ế
c đo r t quan tr ng v Vì v y, m c dù delta là m t th ề đ nh y c m c a quy n ch n v i giá c phi u, nó ch ỉ ổ ủ ộ chính xác khi giá c phi u thay đ i r t nh . ỏ ổ ấ ề ế ổ
Ế Ố
CÁC BI N S TRONG MÔ HÌNH B-S
Ế Ố
CÁC BI N S TRONG MÔ HÌNH B-S
Ế Ố
CÁC BI N S TRONG MÔ HÌNH B-S
Giá c phi u ổ ế
ừ ụ ự
là xây d ng m t danh m c phòng ng a ừ i m t ộ ộ ổ ủ ế ạ ằ
Phòng ng a delta phi r i ro b ng cách mua delta c phi u và bán l quy n ch n mua. ọ ề
ụ ự ộ
ụ ế ằ ổ
ừ ề ọ
• N u giá c phi u gi m xu ng 0,01, chúng ta s l • Ví d , delta là 0,5691 nên chúng ta xây d ng m t danh m c phòng ng a delta b ng cách mua 569 c phi u và bán 1.000 quy n ch n. ổ ẽ ỗ ế ố
ế ả 0,01(569) = 5,69 đ i v i c phi u. ế ố ớ ổ ẽ ả ọ ề ả
ề ề ọ
ẽ ả ọ ổ ộ
c 5,69, ượ
bù đ p cho kho n l • Tuy nhiên, giá quy n ch n s gi m kho ng 0,01(0,569) hay 0,00569. Vì chúng ta có 1.000 quy n ch n, các quy n ch n t ng c ng s gi m 0,00569(1.000) = 5,69. • Vì chúng ta bán các quy n ch n, chúng ta thu đ ọ ề đ i v i c phi u. ả ỗ ố ớ ổ ế ắ
Ế Ố
CÁC BI N S TRONG MÔ HÌNH B-S
Giá c phi u ổ ế
• Phòng ng a delta ừ
ừ
ừ – Phòng ng a delta/ Trung l p delta • Phòng ng a delta: s h u c phi u và bán quy n ch n ổ ề ọ
1).
ố ổ
ủ c s h u chính là delta N(d ề
ề ế ể • S c phi u đ • Khi giá c phi u tăng $1, quy n ch n tăng N(d 1). B ng ằ ọ 1) c phi u trên m i quy n ch n, chúng ọ ỗ
c đi u ch nh khi delta thay đ i. ậ ở ữ ế mua đ duy trì danh m c phi r i ro ụ ế ượ ở ữ ế ổ cách s h u N(d ở ữ ta bù tr đ ừ ượ ủ • V th ph i đ ả ượ ị ế ổ c r i ro. ề ổ ỉ
Nh ng …
ư
ừ ữ ữ
ỉ ớ ả
ụ ữ ổ ủ ệ ổ ớ ế ỏ ả ề ổ ọ
– Phòng ng a delta ch áp d ng h u hi u cho nh ng thay đ i ổ nh trong giá c . V i nh ng thay đ i l n thì delta không ph n ánh đúng thay đ i c a giá c phi u. Đi u này g i là r i ro gamma: ủ
/2d 2 1
e
=
Call
Gamma
p
T2σS
0
-
– V i quy n ch n mua AOL 125 , ọ ề ớ
1742
0 .(
2 /2)
=
Call
Gamma
= .0121
e 83)
125.9375(.
2(3.14159)
.0959
-
Ế Ố
CÁC BI N S TRONG MÔ HÌNH B-S
Giá c phi u ổ ế
ầ ứ ứ ớ ộ
ứ ủ ổ ấ ế ổ ỏ
Gamma là ph n thay đ i c a delta ng v i m t m c ổ ủ thay đ i r t nh trong giá c phi u. Công th c c a gamma là:
/2d 2 1
e
πT2σS
0
-
Gamma quy n ch n mua = ề ọ
ạ
ả
ớ
ế
ổ
• Gamma càng l n, delta càng nh y c m đ i v i ố ớ thay đ i trong giá c phi u và càng khó đ duy ể trì m t v th trung l p delta.
ộ ị ế
ổ ậ
• N u c phi u tăng lên 130, delta s thay đ i t
ổ
ế
ế
ẽ
ế
ổ ừ 0,569 đ n 0,569 + (130 – 125,9375)(0,0121) = 0,6182.
Các bi n s khác ế ố
ế
• Giá th c hi n ệ ự • Lãi su t phi r i ro: Rho ủ ấ • Th i gian đ n khi đáo h n: Theta • Đ b t n (Đ l ch chu n): Vega ộ ệ
ạ ẩ
ờ ộ ấ ổ (Lambda)
MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES KHI C Ổ PHI U CHI TR C T C Ả Ổ Ứ
Ế
c (có th áp
ể
• C t c liên t c, đã bi ọ
t tr ụ ế ướ ổ ứ d ng cho quy n ch n ti n t ) ề ệ ề ụ Đi u ch nh nh sau: ư
ề
ỉ
d-
T
c
S
=¢ 0
eS 0
MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES KHI C Ổ Ả Ổ Ứ PHI U CHI TR C T C
Ế
ấ
ư
ổ
ỉ
• C t c r i r c đã bi t tr c ế ướ ổ ứ ờ ạ – Gi s chi tr m c c t c r i r c duy nh t D. ả ứ ổ ứ ờ ạ ả ử – Đi u ch nh giá c phi u thành S¢, và đ a vào mô ề ế hình
-
S
tr ceDS
=¢ 0
0
t
-
TÍNH TOÁN Đ B T N
Ộ Ấ Ổ
ộ ấ ổ – Đ b t n mà giá th tr
ng b ng đúng giá
• Đ b t n hàm ý ộ ấ ổ
ị ườ
ằ
trong mô hình.
TÍNH TOÁN Đ B T N
Ộ Ấ Ổ
su t sinh l i (ngày, tháng, quý) c a c phi u ủ ổ ế
ụ ạ
ng sai • Đ b t n quá kh ứ ộ ấ ổ – Thu th p t ợ ậ ỷ ấ – Chuy n đ i sang d ng ghép lãi liên t c ln(1 + r) ổ ể Tính ph ươ
ầ
– Nhân lên 250 (ngày), 52 (tu n) hay 12 (tháng) – L y căn b c 2. ấ ậ
TÍNH TOÁN Đ B T N
Ộ Ấ Ổ
• Đ b t n hàm ý
13.50
ộ ấ ổ – For our AOL June 125 call, this gives = 0.8697
=s
(0.398)125
.9375
.0959
– This is quite close; the actual implied volatility
is .83.
– Appendix 5.A shows a method to produce
faster convergence.
Đ b t n hàm ý và nh ng hàm ý c a nó
ộ ấ ổ
ủ
ữ
• H u h t các nhà đ u t
ầ
ế
ư ề
ằ
ậ
ị ườ
ượ
ừ
ế
ổ
• M i quan h gi a đ b t n hàm ý và c g i là
ọ
đ u xem các ầ thông tin v đ b t n hàm ý n m trong ề ộ ấ ổ s các thông tin quý giá và chính xác mà ố ng c phi u th tr c t h nh n đ ọ ho c quy n ch n ọ ề ặ ộ ấ ổ ệ ữ ố th i gian đáo h n quy n ch n đ ượ ọ ề ạ ờ c u trúc kỳ h n c a đ b t n hàm ý ạ ủ ộ ấ ổ ấ
Và …
• Khi đ b t n hàm ý đ
ể
ứ
ị ươ
ệ
ọ
ệ
ọ
c bi u di n ộ ấ ổ ượ ễ ng ng v i giá th c trên đ th t ớ ồ ự hi n, m i quan h này t o thành m t ộ ạ ệ ố c g i là n hình ch U th ng đ ụ ượ ườ ữ i m a mai c a đ b t n. Thông c ộ ấ ổ ủ ỉ ườ ng, hình d ng này tr nên l ch th ạ ở ườ c g i là s h n, và hình d ng này đ ự ượ ạ ơ thiên l ch c a đ b t n ủ ộ ấ ổ
ệ
• N c
ỉ
ủ
ộ
i m a mai hay s thiên l ch c a ệ ự ụ ườ đ b t n cho chúng ta bi t r ng mô ế ằ ộ ấ ổ hình Black-Scholes không ph i là m t ả mô hình hoàn h o !!!!
ả
Đ nh giá quy n ch n bán ề
ọ
ị
+
,
,
SX)T,
Tr cXe
(P e
=XTS , 0
(SC) e
0
0
• Dùng công th c Black-Scholes ta có C
ứ
- -
Trc
=
-
P
Xe
[1
N(d
)]
)]
2
[1S 0
N(d 1
- - -
