CHƯƠNG 4 - TRẠNG THÁI
ỨNG SUẤT
Gvc- Ths. Lê Hoàng Tuấn
1. KHÁI NIỆM VỀ TTỨS TẠI
MỘT ĐIỂM
y
P1 P2
p
P4 C P3
z x
1.1.Định nghĩa TTỨS: TTƯS tại một điểm là tập hợp tất cảû những ứng suất trên các mặt đi qua điểm ấy.
1. KHÁI NIỆM VỀ TTỨS TẠI
MỘT ĐIỂM
1.2. Biểu diễn TTƯS tại một điểm y
+Ba ứng suất pháp:
sy
tyx tyz
sx , sy , sz
txy
tzy sx
+Sáu ứng suất tiếp: txy, tyx, txz, tzx, tyz, tzy.
tzx txz x sz
z
1. KHÁI NIỆM VỀ TTỨS TẠI
MỘT ĐIỂM
1.3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp
t
t
t
t
1. KHÁI NIỆM VỀ TTỨS TẠI
MỘT ĐIỂM
II s2
1.4. Mặt chính, phương chính, ứng suất chính,phân loại TTƯS
s1
s1 I
s3
III
Mặt chính- Mặt không có Phương chính- Pháp tuyến của mặt chính , I, II, III. Ứng suất chính- ứ/s trên mặt chính : s1> s2 > s3
1. KHÁI NIỆM VỀ TTỨS TẠI
MỘT ĐIỂM
Phân loại TTƯS
II II II s2 s2
s1 s1 s1
s1 I s1 I s1 I
s3
III TTỨS KHỐI III TTỨS PHẲNG III TTỨS ĐƠN
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.1. Cách biểu diễn – Quy ước dấu
sy
Cách biểu diển: y
tyx y sy
tyx
txy
sx txy sx
sx x sx txy
x
tyx sy z sy
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.1. Cách biểu diễn – Quy ước dấu y
sy
Quy ước dấu:
tyx
txy sx
+ s 0 khi gây kéo + t 0 khi làm cho phân tố quay thuận kim đồng hồ
sx txy
x
tyx
sy
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.2.Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ:
Mặt cắt nghiêng pháp tuyến u, với (x,u)= > 0 khi quay ngược kim đồng hồ kể từ truc x
sy y u tyx y sy
tyx v txy
sx txy sx
sx x
sx txy su tuv
x
tyx sy z sy
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.2.Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ:
Tính su ,tuv .
y u v y
su
ds su
sy txy x
tuv x dy tuv sy tyx
dz tyx z dx sx sx
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
y y u su v
txy ds x su
sy tuv sy tuv x dy tyx tyx
sx dz z
* U=0
sx
-sydzdx.sin+ tyxdzdx.cos=0
* V=0
dx sudzds- sxdzdy.cos+txydzdy.sin -
x y
2sin
cos
2
uv
xy
2
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
y
Tính su ,tuv .
su
txy x
tuv sy
tyx
y
x
x
y
2cos
2sin
u
xy
* U=0
2
(1)
2 x y
2sin
2cos
uv
xy
* V=0
2
sx
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
y
su
txy x
tuv sy
tyx u
sx v
Ứng suất trên mặt cắt pháp tuyến v: v Xét mặt nghiêng có pháp tuyến v, vuông góc mặt có pháp tuyến u. Thay thế bằng ( + 90) vào (1)
su
y
x
x
x
y
2cos
2sin
v
xy
2
2
sv
y
u
v
x
Và
tuv tvu
sv
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.3 Ứng suất chính - Phương chính -
Ứng suất pháp cực trị
0 +900 I
III s1 x
Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp = 0 x y
s3
0
2sin
2cos
0
uv
xy
2
0
tan
(2)
2 o
2 xy x y
Đây là p/t xác định phương chính, mặt chính.
s3 s1
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
Có 2 mặt chính vuông góc
Ứùng suất chính
0 +900 I
III s1 x
s3
2
x y
3,1
x y
2 4 xy
(3)
max min
2
1 2
0
Ứùng suất chính cũng là ứng suất pháp cực trị
vì
2
tan
0
2 xy x y
d u dz
s3 s1
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
III 1350
2.3 Ứng suất tiếp cực trị:
Pháp tuyến mặt có tmax , tmin:
s
)
2cos
2
2sin
0
I tma x
( x y
xy
d uv d
y
tan
2
tan
2
450
x 2 xy So sánh với (2)
o
1 tan 2 o
Có 2 mặt có tmax , tmin hợp với 2 mặt chính
1 góc 450.
tmin o k45
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
III 1350
2.3 Ứng suất tiếp cực trị:
s
2
x y
2 4 xy
(4)
I tma x
max min
1 2
450
tmin
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.4 Các trường hợp đặc biệt:
1- TTỨS phẳng đặc biệt:
t
Các ứng suất chính :
s s
2
2
4
;
0
(5)
3,1
max,
min
2
2
1 2
t
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.4 Các trường hợp đặc biệt:
t s1
2- TTỨS trượt thuần túy:
s3
Các ứng suất chính :
;
0
(6)
3,1
max,
min
2
t
k
o
Hai phương chính được xác định theo (2): tan
o2
4
2
Những phương chính xiên góc 450 với trục x và y.
s3 s1
1
max,
min
3 2
2 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
2.4 Các trường hợp đặc biệt:
s3
3- Phân tố chính:
Ứng tiếp cực trị :
(7)
13
max
s1 s1
1 3 2
s3
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.1 Cơ sở của phương pháp:
u
y sy
Từ p/t tính su và tuv
x
y
x
tyx v
y
2cos
2sin
u
xy
2
txy sx
2 x y
sx txy su tuv
2sin
2cos
x
uv
xy
2
2
2
y
x
y
x
2 uv
u
2 xy
2
2
tyx
sy Chuyển (sx+sy)/2 sang phải, bình phương 2 vế, công lại
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.1 Cơ sở của phương pháp:
u
y sy
y
c
;
Với:
tyx v
x ss 2 ss x y
txy sx
2 R
2 xy
sx txy su tuv
2
2 t
x
tyx
2 R
2 c
u
2 uv
Đây là p/t đường tròn tâm C (c,0), bán kính R trong hệ trục (s,t): Vòng tròn Mohr ứng suất
sy
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.1 Cơ sở của phương pháp:
u
y sy t tyx v
R s txy sx
C O
sx txy su tuv
C
x
tyx
sy
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.2 Cách vẽ vòng Mohr:
t
R txy s
. E
. P . F
Vẽ hệ trục (s,t); Điểm E (0, sx), F (0, sy), Tâm C là trung điểm của E, F
C O
sy
Vẽ Cực P (sy, txy )
Vòng tròn tâm C, qua P là vòng Mohr.
sx
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ tmax t
u
M
tmax tuv
P
su tuv
22
R
A
txy
O
B
F
21 E G
C
s
smax
smin
smin
tmin
3.3 Ứng suất trên mặt nghiêng- Tìm u ; uv : Từ cực P vẽ Pu // u điểm M Hoành độ M: OG= su Tung độ M: GM= tuv
su sy tmin sx
smax = s1
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ tmax t I
u
M
tmax tuv
P
su tuv
3.4 Ứng suất max ; min:
22
R
A
txy
O
B
F
21 E G
C
s
smin
J
smin
OA= smax = s1 OB= smin = s2 3.5 Ứng suất max ; min:
tmin
CI= tmax CJ= tmin
su sy tmin sx
smax = s1
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.5 Các trường hợp đặc biệt
P t
A
t
B
1.TTƯS phẳng đặc biệt Có hai ứng suất chính s1 và s3
O F
E
C
s
t smax
s s smin
s t s3
smax = s1
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.5 Các trường hợp đặc biệt
P
t
2.TTƯS trượt thuần túy Có hai ứng suất chính s1 =- s3 = t
A
O
t
B
s
C
t
s3 s1
t
s1=t s3 =-t
3 . TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG-
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
3.5 Các trường hợp đặc biệt
3.Phân tố chính
t
tmax
s3
A
O
P
C
s1 s1 tmax B s
3
t 3,1
s3 tmin
Ứùng suất tiếp cực trị ss 1 2
tmin s1 s3
4 . SƠ LƯỢC VỀ TTỨS KHỐI
Tổng quát tại bất kỳ điểm có TTỨS khối
Ứng suất pháp lớn nhất
II s2
s1 , s2 , s3
s1
s1 I
Ứng suất tiếp lớn nhất
s3
(7)
13
max
1 3 2
III
4 . SƠ LƯỢC VỀ TTỨS KHỐI
Thực vậy
s2
s s1
Xét các mặt song song các phương chính I, II, III
s2 t
s
t
s3 s1
s3
Các ứng suất trên các mặt nầy có thể khảo sát như trong bài tóan phẳng
s2
s1 t
s3
s
4 . SƠ LƯỢC VỀ TTỨS KHỐI
1,3
2,3
1,2
Các ứng suất tiếp lớn nhất trên các mặt nầy biểu diển bằng các bán kính của các vòng Mohr
O 1 3
3
Dễ thấy ứng suất tiếp lớn nhất trong phân tố
2
(7)
13
max
1 3 2
2 1
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
4.1 Định luật Hooke tổng quát
'
1- Liên hệ ứng suất pháp và biến dạng dài
s, s
TTƯS đơn:
E
"
'
s E
''
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
4.1 Định luật Hooke tổng quát II
s2
1- Liên hệ ứng suất pháp và biến dạng dài
TTƯS khối:
s1
)
)
)
1
1
2
1
s1 I
2
s3
1
( 1 2 E
( 3 E
)
1
2
1
( 1 1 E 1 ( 3 E
III
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
4.1 Định luật Hooke tổng quát II
s2
1- Liên hệ ứng suất pháp và biến dạng dài
s1
)
1
1
( 3
2
s1 I
s3
)
2
2
( 1
3
)
3
3
( 2
1
III
TTƯS khối: 1 E 1 E 1 E
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
4.1 Định luật Hooke tổng quát
y
sy
tyz
1- Liên hệ ứng suất pháp tyx và biến dạng dài 2-Lieân heä giöõa öùng suaát tieáp vaø bieán daïng goùc
txy
tzy sx
)
TTỨS tổng quát: ( z
x
x
y
tzx txz x sz
y
y
z
z
( x (
) )
z
y
x
z
1 E 1 E 1 E
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
t
4.1 Định luật Hooke tổng quát
t
2- Liên hệ ứng suất tiếp và biến dạng góc:
TTỨS trượt thuần túy:
G
G
-Biến dạng góc (góc trượt) . G - là môđun đàn hồi trượt,
và
E 1(2 )
Thöù nguyeân cuûa G laø [löïc/(chieàu daøi)2] vaø ñôn vò thöôøng duøng laø N/m2 hay MN/m2.
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
4.1 Định luật Hooke khối
V0 = da1. da2. da3 V1 =(da1+da1).(da2+da2). (da3+da3).
Biến dạng thể tích tương đối
V
o
V 1
2 3
1
II s2
o
s1
3 2
1
s1 I
V 21 E
s3
III
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
4.1 Định luật Hooke khối
Biến dạng thể tích tương đối
1
21 E
II s2
s1
1
s1 I
s3
3 2 Tổng ứng suất pháp 1 + 2 +3 2 E
III
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
II s2
4.1 Định luật Hooke khối
1
2 E
s1
Nhận xét 1:
s1 I
s3
Nếu vật liệu có hệ số Poisson = 0,5 ( cao su), thì luôn bằng không tức là thể tích không đổi dưới tác dụng của ngoại lực.
1
tb
3
2 3 3
III
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
II s2
4.1 Định luật Hooke khối
1
2 E
s1
s1 I
s3
1
tb
Thì
không đổi
3 1
tb
tb
Nhận xét 2: Thay các ứng suất chính bằng ứng suất trung bình stb 2 3 3 21 sss tb E
21 E
III
5 . LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ
BIẾN DẠNG
Ý nghĩa của nhận xét 2:
II s2-stb II II s2
st b
s1-stb
st b I st I b s1 I
III s3 s3-stb III III st b
Không đổi thể tích Đổi hình dáng Đổi thể tích Không đổi hình dáng Đổi thể tích Đổi hình dáng
6. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
Thanh kéo hay nén ( chương 3):
2u
TTƯS đơn, chỉ có s TNBDĐH riêng :
s s
TTỨS khối, s1,2,3
TNBDĐH riêng:
II s2
s1
u
33 22 2 2
11 2
s1 I
s3
III
6. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
thay 1,2,3 từ đ/l HooKe
u
II s2
2 2 3 2
2 1
1 2 2
3
3
2
1
1 E 2
s1
s1 I
s3
Phân tích TNBDĐH u thành : Thế năng biến đổi thể tích utt Thế năng biến đổi hình dáng uhd
u = utt + uhd
III
6. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
II s2-stb II II s2
st b
s1-stb
st b I st I b s1 I
III s3 s3-stb III III st b
Đổi thể tích Đổi hình dáng u Đổi thể tích Không đổi hình dáng utt Không đổi thể tích Đổi hình dáng uhd
6. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
Thế năng biến đổi hình dáng
u
hd
31 sssssssss
32
21
2 1
2 3
2 2
1 E3
2
u
s
hd
Thế năng biến đổi hình dáng của TTỨS đơn: 1 E3
