c ä h
i
¹ ®
SỨC BỀN VẬT LIỆU
Trần Minh Tú Đại học xây dựng
July 2010
tpnt2002@yahoo.com
Chương 5
THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY
2
NỘI DUNG
5.1. Khái niệm chung 5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang 5.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn 5.4. Điều kiện bền 5.5. Điều kiện cứng 5.6. Thế năng biến dạng đàn hồi
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
3(34) July 2010
Ví dụ thanh chịu xoắn
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4(34) July 2010
Ví dụ thanh chịu xoắn
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
5(34) July 2010
5.1. Khái niệm chung (1)
1. Định nghĩa Thanh chịu xoắn thuần túy là thanh mà trên các mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần ứng lực là mô men xoắn Mz nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh.
Ngoại
Ví dụ: Các trục truyền động, các thanh trong kết cấu không gian,… lực gây xoắn: mô men tập trung, mô men phân bố, ngẫu lực trong mặt cắt ngang
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
6(34) July 2010
5.1. Khái niệm chung (2)
A
F
Q 2
Q1
x
C
B
t 2
T 1
T 2
z
t 1
y
Ví dụ thanh chịu xoắn
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
7(34) July 2010
5.1. Khái niệm chung (3)
2. Biểu đồ mô men xoắn nội lực (cid:131) Qui ước dấu của Mz
Nhìn từ bên ngoài vào mặt cắt ngang, nếu Mz có chiều thuận chiều kim đồng hồ thì nó mang dấu dương và ngược lại.
zM > 0
0
zM =∑
(cid:131)
Mz =
(cid:131) Xác định mô men xoắn lực trên mặt cắt nội ngang – PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT Mz nội lực trên mặt cắt ngang bằng tổng mô men quay đối với trục thanh của những ngoại lực ở về một bên mặt cắt Ví dụ
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
8(34) July 2010
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (1)
Thí nghiệm
1. Vạch trên bề mặt ngoài
- Hệ những đường thẳng // trục thanh - Hệ những đường tròn vuông góc với trục thanh - Các bán kính
QUAN SÁT
γ
- Các đường // trục thanh => nghiêng đều góc γ so với phương ban đầu - Các đường tròn vuông góc với trục thanh => vuông góc, khoảng cách 2 đường tròn kề nhau không đổi - Các bk trên bề mặt thanh vẫn thẳng và có độ dài không đổi
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
9(34) July 2010
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (2)
GIẢ THIẾT Gt1 – Gt mặt cắt ngang phẳng: mặt cắt ngang trước biến dạng là phẳng và vuông góc với trục thanh thì sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục. Khoảng cách giữa 2 mặt cắt ngang là không đổi.
Gt2 – Gt về các bán kính: Các bán kính trước và sau biến dạng vẫn thẳng và có độ dài không đổi.
Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
10(34) July 2010
Thanh tròn chịu xoắn
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
11(34) July 2010
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (3)
2. Công thức tính ứng suất (cid:132) Từ gt1 => εz=0 =>σz=0 (cid:132) Từ gt2 => εx=εy=0 => σx=σy=0 Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất tiếp
(cid:132) Ứng suất tiếp có phương vuông góc với bán kính, chiều cùng chiều mô men xoắn nội lực
ρd ρ
d α
dA
= ???
τρ
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
12(34) July 2010
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (4)
(cid:153)Tìm ứng suất tiếp tại điểm trên mặt cắt ngang cách tâm khoảng ρ với Mz nội lực đã biết - Xét hai mặt cắt ngang cách nhau vi phân chiều dài dz.
c
ρ
γ
dϕ
a
b
O
τρ
dz
B
A
dz
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
13(34) July 2010
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (5)
(cid:131) Trước
dạng
:
c
biến ab//Oz; Ob = ρ
ρ
dϕ
a
b
γρ
O
B
A
dz
(cid:131) Chịu xoắn: ab => ac (cid:131) dϕ - góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt ngang cách nhau dz
γ
tg γ≈
=
=
bc ab
d ρ ϕ dz
(cid:131) γρ- góc trượt (biến dạng góc) của thớ cách trục thanh khoảng ρ θ
=
(cid:131)
- góc xoắn tỉ đối
d ϕ dz
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
14(34) July 2010
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (6)
(cid:153)Theo định luật Hooke
zM
ρ
K
G
G γ=
=
τ ρ
O
d ϕ dz
(cid:153)Mặt khác
τ ρ
maxτ
M
I
=
dA G =
dA G =
2 ρ
z
p
d ϕ ∫ dz
d ϕ dz
∫ τ ρ ρ A
A
z
θ=
M d ϕ = dz GI
p
ρτ
Mz – mô men xoắn nội lực
M z ρ= I p
Ip – mô men quán tính độc cực của mặt cắt ngang ρ – toạ độ điểm tính ứng suất
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
15(34) July 2010
5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (7)
(cid:132) Biến thiên của ứng suất tiếp theo khoảng cách ρ là bậc nhất => Biểu đồ ứng suất tiếp
4
(cid:132) Những điểm nằm trên cùng đường tròn thì có ứng suất tiếp như nhau.
π
3
(cid:17)
D
D
/
/ 2
0,2
=
(
)
W p
D 32
(cid:132) Ứng suất tiếp cực đại trên chu vi
z
z
R .
=
τ = ax m
M I
M W
p
p
(cid:132) Wp =Ip/R là mô men chống xoắn
mặt cắt ngang
(cid:17) W 0,2
4 η
p
( 3 D − 1
)
của mặt cắt ngang
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
16(34) July 2010
5.3. Biến dạng của thanh tròn (1)
z
c
θ=
γ
M d ϕ = dz GI
ϕ
p
a
b
O
A
B
L
(cid:153) Đã có:
A
L
rad
=
[
]
ϕ = AB
(cid:153) Góc xoắn (góc xoay) tương đối giữa hai mặt cắt ngang A và B
∫
∫
M dz z GI
M dz z GI
p
p
B
0
G – mô-đun đàn hồi khi trượt của vật liệu
GIp – là độ cứng chống xoắn của mặt cắt ngang
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
17(34) July 2010
5.3. Biến dạng của thanh tròn (2)
z
const
=
(cid:131) Khi trên đoạn AB chiều dài L có
M GI
p
ϕ = AB
M L z GI
p
(cid:131) Khi đoạn AB gồm n đoạn, trên mỗi đoạn
n
z
z
const
=
=
ϕ
AB
l i
M GI
p
thứ i có chiều dàil i :
∑
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
i
M GI
i
1 =
p
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
i
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
18(34) July 2010
Bài tập - Ví dụ 5.1
3M
M
D
D 2
(cid:153) Cho trục tròn có diện tích mặt cắt ngang thay đổi chịu tác dụng của mô men xoắn ngoại lực như hình vẽ 1. Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội
B
C
D
2a
a
2. Xác định trị số ứng suất tiếp
lực
3. Tính góc xoắn của mặt cắt
lớn nhất
M=5kNm; a=1m;
ngang D Biết D=10cm; G=8.103 kN/cm2
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
19(34) July 2010
Bài tập - Ví dụ 5.1
3M
M
D
D 2
B
C
D
a
0 ≤
Đoạn CD
)
≤z 1
2a
a
1. Biểu đồ mô men xoắn ( CD
3M
M
M= 3
zM
CD z
D
0
2
a
≤
Đoạn BC
(
)
≤z 2
z1
3M
M
M
BC z
BC
M= 2
D
zM
C
D
a
z2
15
10
Mz kNm
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
20(34) July 2010
Ví dụ 5.1
3M
M
D
D 2
2
B
C
D
2
7,5(
kN cm /
)
=
=
=
τ
CD
3
3
CD M z D 0, 2
15 10 × 0, 2 10 ×
2a
a
2
2
15
0,625(
kN cm /
)
τ
=
=
=
BC
3
3
10 10 × 0, 2 20 ×
10
D
BC M z ( 0, 2 2
)
Mz kNm
2. Trị số ứng suất tiếp lớn nhất
=
+
CD
BC
D
M
a
=
a M +
ϕ D
CD z GI
BC z GI
× CD p
2 × BC p
2
2
2
2
×
0,02(
)
rad
=
+
=
ϕ D
4
4
15 10 × 3 8 10 × ×
10 0,1 10 ×
10 10 × 3 8 10 × ×
2 10 × × 0,1 20 ×
3. Góc xoắn tại D ϕ ϕ ϕ
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
21(34) July 2010
(*)Phân tích trạng thái ứng suất
• Các phân tố với các mặt song song và vuông góc với trục chỉ chịu trượt thuần túy. ứng suất pháp và ứng suất tiếp hoặc đồng thời cả hai có thể tồn tại trên các mặt
• Phân tố a chỉ chịu trượt thuần túy. • Xét phân tố nghiêng góc 450 so với trục, 45
cos
2
F
τ
=
=
( 2 τ
)
max
A 0
max
A 0
2
τ
σ
=
=
=
τ
o
max
45
A 0 2
F A
max A 0
• Phân tố chịu ứng suất kéo trên hai mặt
và chịu ứng suất nén trên hai mặt
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
22(34) July 2010
(**)Phân tích trạng thái ứng suất
• Vật liệu dẻo, độ bền trượt kém thường bị phá hủy do cắt. Vật liệu dòn chịu kéo kém hơn chịu cắt.
• Khi chịu xoắn, mẫu vật liệu dẻo bi phá hủy tại mặt cắt có ứng tiếp lớn nhất – mặt cắt suất ngang.
• Khi chịu xoắn, mẫu vật liệu dòn bị phá hủy theo phương có biến dạng kéo lớn nhất – phương xiên góc 450 so với trục
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
23(34) July 2010
5.4. Điều kiện bền -Điề u kiện cứng
z
max
max
=
≤
[ ] τ
τ m
ax
M pW
- nếu dùng thực nghiệm tìm τ0
[ ] τ =
- nếu dùng thuyết bền 3
[ ] τ =
- nếu dùng thuyết bền 4
[ ] τ =
τ 0 n [ ] σ 2 ] [ σ 3
1. Điều kiện bền
z
/ rad m
=
≤
(
)
[ ] θ
ax
θ m
M GI
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
ax
⎞ ⎟ ⎟ ⎠ p m
Nếu [θ] cho bằng độ/m => đổi ra rad/m
2. Điều kiện cứng
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
24(34) July 2010
5.4. Điều kiện bền -Điề u kiện cứng
3. Ba bài toán cơ bản:
a) Bài toán 1: Kiểm tra điều kiện bền (hoặc điều kiện
z
=
≤
[ ] τ
τ m
ax
M pW
b) Bài toán 2: Chọn kích thước thanh theo điều kiện
cứng)
≥
pW
zM [ ] τ
c) Bài toán 3: Xác định giá trị cho phép của tải trọng tác dụng (là giá trị lớn nhất của tải trọng đặt lên hệ mà thanh vẫn đảm bảo điều kiện bền hoặc điều kiện cứng)
≤
[ ] τ
zM
pW .
bền (hoặc điều kiện cứng)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
25(34) July 2010
5.5. Bài toán siêu tĩnh
Bài toán siêu tĩnh (cid:131) Là bài toán mà nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học thì ta không thể xác định hết các phản lực, cũng như các thành phần nội lực trong thanh. (cid:131) Phương pháp giải: Viết thêm phương trình bổ sung
– phương trình biểu diễn điều kiện biến dạng
M
d
d 2
D
B
A
2a
a
(cid:131) Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
26(34) July 2010
5.5. Bài toán siêu tĩnh
M
M
D
M
A
d
d 2
(cid:153) Giả sử phản lực tại ngàm MA,
D
A
B
MD có chiều như hình vẽ.
2a
a
(1)
M
CD z
M D
(cid:153) Ta có: MA + MD = M (cid:153) Điều kiện biến dạng
M
M=
ϕAD = 0
D
M
=
=
+
=
ϕ ϕ ϕ
z
BD z AB z
D M M − D
AD
AB
BD
AB M a M a z + GI
BD z GI
2 BD p
AB p
(2)
M/33
0
=
+
=
ϕ
AD
4
Mz
G
2 M a D 0,1 d × ×
D 0,1
( G
×
×
) M M a − )4 ( 2 d
M
M
M
M
;
=
=
D
A
1 33
32 33
32M/33
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
27(34) July 2010
5.6. Thế năng biến dạng đàn hồi
TNBD đàn hồi riêng do ứng suất tiếp:
u
G
=
2 γ
=
τγ
=
1 2
1 2
2 τ 2 G
TNBD đàn hồi của thanh chịu xoắn:
L
U
u dV
dV
dz
=
=
=
∫
∫
∫
2 τ 2 G
2 M z 2 GI
2 p
0
z
const
=
Khi
M GI
p
U
=
2 M L z 2 GI
p
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
28(34) July 2010
5.7. Xoắn thanh tiết diện chữ nhật (1)
• Khi biến dạng, giả thiết mặt cắt ngang phẳng không còn đúng: bị vặn, xoắn..
• Bài toán xoắn thanh tiết diện chữ nhật:
giải theo LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI.
maxτ
1τ
b
• Ở tâm và ở các góc ứng suất tiếp bằng 0, ở phía ngoài ứng suất hướng theo chu tuyến. Biểu đồ ứng suất tiếp dọc theo chu tuyến như hình vẽ. Ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm giữa cạnh dài...
z
a
=
=
τ m
ax
2
M z ab α
x
M 0W
z
θ
=
=
• Góc xoắn
3
τ γτ=
M GI
M z Gab
β
1
max
x
0
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
29(34) July 2010
5.7. Xoắn thanh tiết diện chữ nhật (2)
• Các hệ số α, β, γ phụ thuộc vào tỉ số a/b (a >>b)
a/b 1 2 3 4 6 8 10 ∞
0,203 0,246 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 α
0,141 0,299 0,263 0,281 0,299 0.307 0,313 0,333 β
1,000 0,795 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 γ
• Khi tỉ số a/b lớn thì các hệ số α, β, γ =1/3=0,333
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
30(34) July 2010
Ôn tập
Kéo (nén) đúng tâm Xoắn thuần túy
z
τ
=
ρ
Nội lực Nz
σ = z
Ứng suất
N z A
p
Mz M I
z
τ = max
M W
const
p
σ = z
Phân bố ứng suất
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
31(34) July 2010
Ôn tập
Gτ γ=
zEσ ε=
z
Kéo (nén) đúng tâm Xoắn thuần túy
Định luật Hooke
L
L
L Δ =
=
ϕ
∫
∫
N dz z EA
N L z EA
⎛ = ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
M dz z GI
M L z GI
0
p
p
0
⎛ = ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
n
n
n
n
L Δ =
ϕ
=
Biến dạng
Δ =∑ L i
∑
=∑ ∑ ϕ i
i
i
1 =
1 =
N L zi i ( ) EA
i
i
1 =
1 =
i
M L zi i ) ( GI p i
Biến dạng
