CHƯƠNG 6. ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC
GVC.Ths. Lê Hoàng Tuấn
NỘI DUNG
1. Khái niệm 2. Mô men tĩnh - Trọng tâm 3. Mômen quán tính 4. Mômen quán tính của các hình đơn giản 5. Công thức chuyển trục song song 6. Công thức xoay trục
1. KHÁI NIỆM
Thanh để đứng (H.a) chịu lực tốt hơn thanh để nằm (H.b)
P
P
Có những đại lượng phụ
x
x
z y
z y b)
thuộc vào hình dáng, vị trí mặt cắt ngang, ảnh hưởng đến sự làm việc của thanh
Đó là những Đặc trưng Hình Học của mặt cắt ngang.
a)
2. MÔMEN TĨNH- TRỌNG TÂM
y0 y
A
M
dA
y0
x0 y C x0
yC
O
x
xC
Xét một hình phẳng biểu diễn mặt cắt ngang A (mặt cắt A). Lập hệ tọa độ vuông góc Oxy. M(x,y) là một điểm bất kỳ trên hình. Lấy chung quanh M một diện tích vi phân dA.
x
2. MÔMEN TĨNH- TRỌNG TÂM
y0 y
A
M
dA
Mômen tĩnh : Mômen tĩnh của A đối với trục x (hay y) là:
y0
S
ydF
,
S
xdF
x
y
F
F
x0 y C x0
yC
O
vì x, y có thể âm hoặc dương
x
xC
nên
Sx , Sy
0
<>
Thöù nguyeân cuûa moâmen tónh laø
[(chieàu daøi)3].
x
2. MÔMEN TĨNH- TRỌNG TÂM
Trọng tâm :
y0 y
A
M
dA
y0
x0 y C x0
yC
Trục Trung tâm là trục mà mômen tĩnh của A đối với nó bằng 0 Trọng tâm là giao điểm của 2 trục trung tâm.
O
x
xC
Mômen tĩnh đối với trục đi qua trọng tâm bằng 0.
x
2. MÔMEN TĨNH- TRỌNG TÂM
y0 y
A
Cách xác định Trọng tâm C :
M
dA
y0
x0 y C x0
yC
O
y
x
x
Xác định xC và yC Dựng hệ trục x0Cy0 song song hệ trục xy x x ; o C
y C
y o
xC
dA
S x
y( C
dA)y o
y C
dAy o
SAy C xo
A
A
A
S
x
C
S x
A.y C
Vì Sxo = 0 nên: Tương tự:
y
C
y A S x A
S y
A.x C
x
2. MÔMEN TĨNH- TRỌNG TÂM
Tính chất 1: (quan trọng)
y y
Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trên trục đối xứng .
Mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm là giao điểm hai trục đối xứng.
C C C x x
2. MÔMEN TĨNH- TRỌNG TÂM
y
xC
A1
C1
x1
C
y1
yC x C2
O
2
1
2
y
x
;
x2
Tính chất 2 : Mômen tĩnh của hình phức tạp bằng tổng mômen tĩnh của các hình đơn giản. Thí dụ 6-1. Định trọng tâm mặt cắt chữ L gồm 2 chữ nhật. Kết quả: Tọa độ trọng tâm C của hình trên là:
C
C
S x A
S y A
Ax 1 A
Ax 2 A
2
1
2
A2 y2 AyAy 11 2 AA 1
3. MÔMEN QUÁN TÍNH- HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
A y
M
dA
y
1- Mômen quán tính (MMQT) Mômen quán tính độc cực (MMQT đối với điểm) của A đối với điểm O:
dA
I
2
p
O
A
x
Mômen quán tính của A đối với
trục y và x :
I
2 dAy
I;
2 dAx
x
x
y
A
A
Thứ nguyên - [chiều dài]4
Ip = Ix + Iy Ip , Ix , Iy > 0
3. MÔMEN QUÁN TÍNH- HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
A y
M
Mômen quán tính ly tâm (MMQT đối với hệ trục xy)
dA
y
I
dA.y.x
xy
A
O
x
0
Thứ nguyên - [chiều dài]4 <>Ixy
x
Tính chất: MMQT của mộät hình phức tạp bằng tổng mômen quán tính của các hình đơn giản.
3. MÔMEN QUÁN TÍNH- HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
A y
M
2- Hệ trục chính trung tâm
dA
y
Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm đối với hệ trục đó bằng không được gọi là hệ trục quán tính chính
O
x
x
Hệ trục quán tính chính trung tâm có gốc ở trọng tâm MMQT đối với các trục quán tính chính trung tâm gọi là MMQT chính trung tâm. I
2 dAy
I;
2 dAx
x
y
A
A
3. MÔMEN QUÁN TÍNH- HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
y
2- Tính chất 3- quan trọng
dA1 dA2
A1 A2
Trục đối xứng của mặt cắt và trục vuông góc với nó đi qua trọng tâm hợp thành hệ trục chính trung tâm
Chứng minh:
I
yxdA
yxdA
(
xy
0
xy
) dAyx 1
x O
A
AA 1 2
A 1
4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
1- Hình chữ nhật:
Hệ có hai trục đối xứng x, y cũng là hệ trục QTCTT.
y
dA = b.dy dy
2
h/2
2 dAy
bdy
I
x
O
A
y x
h 2 y h 2
I
x
h/2
3 bh 12
I
y
3 hb 12
b
4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
dA = 2.d y
2- Hình tròn:
R
Hệ có hai trục đối xứng x, y cũng là hệ trục QTCTT. Tính Ip :
O d x
2
2
I
dA
I
d.2.
p
p
4 D 32
A
D 2 0
I
I
I
I
Tính Ix , Iy :
x
y
x
y
I p 2
4 D 64
D
4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Hình vành khăn:
4
4
I
I
Tính Ip : ID d p p
p
y
D 32
d 32
d
4
4
I
1(
)
p
D 32
O x
I
I
Tính Ix , Iy :
D
x
y
I p 2
d
4
4
I
I
1(
)
x
y
D 64
= D
5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG
y Y
1- Lập công thức:
A
M
Tính IX , IY , IXY :
dA
2
2 dAY
dA)yb(
I
y O
X
x
A
A
Y x
I
2 .dAb
2 dAy
dA.yb2
b
X
A
X O' a
I
A 2 Ab
A bS2I x x
X
I
I
abA
xy
aS x
bS y
2 Aa
I
aS2I y y
XY
Y
X
5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG
y Y
2- Trường hợp thường dùng:
A
M
dA
y
Khi trục cũ (xy) là hệ trục chính trung tâm :
O
x
2
x Y
AbI
I
x
X
b
X O' a
X
Cách nhớ: MMQT đối với trục mới bằng MMQT đối với trục cũ cộâng diện tích nhân khoảng cách hai trục bình phương
4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Thí dụ 3:
2
I
I
'BB
x
y
h 2
.A
h/2
O
x
I
'BB
h/2
3 bh 12
3 bh 3
2 h bh 2
B' B
b
4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
y 8 8 4 4
3- Thí dụ 4:
Định MMQT chính trung tâm
Giải:
12
- Trọng tâm:
x y cm6 4 C S x A )10.12.4(22.4.24 )12.4(2)4.24( X
I
I
I
I
y 3 2
- MMQT:
X
1 X
2 X
3 X
3
2
4).4.24(
I
10 C X
3
6
2
x
I
I
4).12.4(
1 X 2 X
4.24 12 3 X
1
IX=4352cm4
12.4 12
6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC
y V
1- Lập công thức:
A
M
Tính Iu , Iv , Iuv :
Ta có:
dA
U y
v
u
I
I
I
u = y.sin+x.cos v = y.cos-x.sin Iu = A v2 .dA; Iv = A u2 .dA Iuv = A uv.dA I
x
y
x
y
I
I2cos
2sin
u
xy
I
I
y
2 x
I
2 2sin
I
2cos
uv
xy
2
x O x
6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC
y V
A
M
dA
U y
v
u
x O
2- Hệ trục chính (HTC): Hệ trục quán tính chính là hệ trục có MMQT ly tâm bằng không. Tìm HTC, cho Iuv=0 I2
2tg
0
I
xy I
y
x
có 2 góc 0 sai biệt nhau 90 0 nghĩa là luôn có 2 trục chính vuông góc nhau.
x
6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC
y V
A
M
Cho
=0
dA
MMQT cực trị dIuv d
I2
U y
2tg
Cũng được
0
v
I
xy I
y
x
u
MMQT cực trị cũng là MMQT đối với trục chính.
I
I
x
y
2
I
I(
I4
max,
min
x
)I y
2 xy
2
1 2
x O x
