http://www.ebook.edu.vn
GV: Leâ ñöùc Thanh
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 1
Chöông 10
THANH CHÒU LÖÏC PHÖÙC TAÏP
10.1 KHAÙI NIEÄM
♦ Ñònh nghóa
Thanh chòu löïc phöùc taïp khi treân caùc maët
caét ngang coù taùc duïng ñoàng thôøi cuûa nhieàu
thaønh phaàn noäi löïc nhö löïc doïc Nz, moâmen uoán
Mx, My, moâmen xoaén Mz (H.10.1).
Khi moät thanh chòu löïc phöùc taïp, aûnh
höôûng cuûa löïc caét ñeán söï chòu löïc cuûa thanh
raát nhoû so vôùi caùc thaønh phaàn noäi löïc khaùc neân
trong tính toaùn khoâng xeùt ñeán löïc caét.
2- Caùch tính toaùn thanh chòu löïc phöùc taïp
Aùp duïng Nguyeân lyù coäng taùc duïng
Nguyeân lyù coäng taùc duïng: Moät ñaïi löôïng do nhieàu nguyeân nhaân ñoàng
thôøi gaây ra seõ baèng toång ñaïi löôïng ñoù do taùc ñoäng cuûa caùc nguyeân nhaân
rieâng leõ ( Chöông 1)
10.2 THANH CHÒU UOÁN XIEÂN
1- Ñònh nghóa – Noäi löïc
Thanh chòu uoán xieân khi treân moïi maët caét
ngang chæ coù hai thaønh phaàn noäi löïc laø moâmen
uoán Mx vaø moâmen uoán My taùc duïng trong caùc
maët phaúng yoz vaø xoz (H.10.2).
Daáu cuûa Mx , My :
Mx > 0 khi caêng thôù y > 0
My > 0 khi caêng thôù x > 0
Theo Cô hoïc lyù thuyeát, ta coù theå bieåu
dieãn moâmen Mx vaø My baèng caùc veùc tô
moâmen Mx vaø My (H.10.3); Hôïp hai moâmen
naøy laø moâmen toång Mu . Mu naèm trong maët
phaúng voz, maët phaúng naøy thaúng goùc vôùi
truïc u (chöùa veùc tô moâmen Mu) vaø chöùa
truïc thanh (H.10.3).
H.10.1
M
x
My
Mz
z
x
y
O N
z
H.10.2
M
x
My
z
x
y
O
v
x
z
O
Mu
y
H.10.3 Moâmen toång
vaø maët phaúng taûi troïng
u
maët phaúng taûi troïng
Mx
My
Mu
http://www.ebook.edu.vn
GV: Leâ ñöùc Thanh
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 2
Maët phaúng taûi troïng laø maët phaúng chöùa Mu.
Giao tuyeán cuûa maët phaúng taûi troïng vôùi maët caét ngang laø Ñöôøng taûi troïng
(truïc v )
Kyù hieäu α : Goùc hôïp bôûi truïc x vaø ñöôøng taûi troïng; Ta coù
22 yxu MMM += (10.1)
y
x
M
M
=
α
tan (10.2)
Ñònh nghóa khaùc cuûa uoán xieân: Thanh chòu uoán xieân khi treân caùc maët caét
ngang chæ coù moät moâmen uoán Mu taùc duïng trong maët phaúng chöùa truïc maø
khoâng truøng vôùi maët phaúng quaùn tính chính trung taâm yOz hay xOz.
Ñaëc bieät, ñoái vôùi thanh tieát dieän troøn, moïi ñöôøng kính ñeàu laø truïc chính
trung taâm ( truïc ñoái xöùng ), neân baát kyø maët phaúng chöùa truïc thanh naøo cuõng
laø maët phaúng quaùn tính chính trung taâm. Do ñoù, maët caét ngang thanh troøn
luoân luoân chæ chòu uoán phaúng.
2- ÖÙng suaát phaùp treân maët caét ngang
Theo nguyeân lyù coäng taùc duïng, taïi moät ñieåm A (x,y) baát kyø treân tieát dieän,
öùng suaát do hai moâmen Mx , My gaây ra tính theo coâng thöùc sau :
x
J
M
y
J
M
y
y
x
x
z+=
σ
(10.3)
Trong (10.3), soá haïng thöù nhaát chính laø öùng suaát phaùp do Mx gaây ra, soá
haïng thöù hai laø öùng suaát phaùp do My gaây ra
Coâng thöùc (10.3) laø coâng thöùc ñaïi soá, vì caùc moâmen uoán Mx, My vaø toïa
ñoä ñieåm A(x,y) coù daáu cuûa chuùng
Trong tính toaùn thöïc haønh, thöôøng duøng coâng
thöùc kyõ thuaät nhö sau:
x
J
M
y
J
M
y
y
x
x
z±±=
σ
(10.4)
Trong (10.4), laáy daáu coäng (+) hay (–) tuyø theo
ñieåm tính öùng suaát naèm ôû mieàn chòu keùo hay neùn
do töøng noäi löïc gaây ra
H.10.4 bieåu dieån caùc mieàn keùo, neùn treân maët caét do caùc moâmen uoán
Mx , My gaây ra : + , - do Mx
do My
Mx
o
x
B
y
+
+
z
+
+
M
y
H.10.4 Bieåu dieån caùc
mieàn keùo, neùn treân maët
caét do Mx , M
y
gaây ra
+ _
,
http://www.ebook.edu.vn
GV: Leâ ñöùc Thanh
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 3
Thí duï 1. Tieát dieän chöõ nhaät bxh= 20×40 cm2 chòu
uoán xieân (H.10.5), cho Mx = 8 kNm vaø My = 5 kNm.
Chieàu heä truïc choïn nhö h.10.5a
ÖÙng suaát phaùp taïi B (xB =+10 cm; yB =- 20 cm)
+ Tính theo (10.3) nhö sau:
2
33 kN/cm )10(
12
)20(40
500
)20(
12
)40(20
800 +−=σB
+ Tính theo (10.4) nhö sau:
Mx gaây keùo nhöõng ñieåm naèm döôùi Ox vaø gaây neùn nhöõng ñieåm treân Ox;
My gaây keùo phía traùi Oy vaø gaây neùn phía phaûi Oy.
Bieåu dieãn vuøng keùo baèng daáu (+) vaø vuøng neùn baèng daáu (–) treân tieát
dieän (H.10.4a) ta coù theå thaáy, taïi ñieåm B; Mx gaây neùn; My gaây keùo.
⇒ 2
33 kN/cm )10(
12
)20(40
500
)20(
12
)40(20
800 +−=σ B
3- Ñöôøng trung hoøa vaø bieåu ñoà öùng suaát
Coâng thöùc (10.3) laø moät haøm hai bieán, noù coù ñoà thò laø moät maët phaúng
trong heä truïc Oxyz. Neáu bieåu dieãn giaù trò öùng suaát phaùp
σ
z cho ôû (10.3) baèng
caùc ñoaïn thaúng ñaïi soá theo truïc z ñònh höôùng döông ra ngoaøi maët caét
(H.10.6a), ta ñöôïc moät maët phaúng chöùa ñaàu muùt caùc veùctô öùng suaát phaùp
taïi moïi ñieåm treân tieát dieän, goïi laø maët öùng suaát (H.10.6.a).
y
σ
min
O
x
_
+
_
K
z
σ
max
+
y
σ
min
O
x
_
+
z
σ
max
a) b)
y
Hình 10.6
a) Maët öùng suaát; b) Bieåu ñoà öùng suaát phaúng
Goïi giao tuyeán cuûa maët öùng suaát vaø maët caét ngang laø ñöôøng trung
hoøa, ta thaáy, ñöôøng trung hoøa laø moät ñöôøng thaúng vaø laø quyõ tích cuûa
nhöõng ñieåm treân maët caét ngang coù trò soá öùng suaát phaùp baèng khoâng.
B
oz
b
h
y
x
Mx
H.10.5a)
M
y
http://www.ebook.edu.vn
GV: Leâ ñöùc Thanh
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 4
Cho bieåu thöùc
σ
z = 0, ta ñöôïc phöông trình ñöôøng trung hoøa:
0..
yy
xx
xy xy
MM
M
J
yxy x
JJ MJ
+=⇒=− (10.5)
Phöông trình (10.5) coù daïng y = ax, ñöôøng trung hoøa laø moät ñöôøng
thaúng qua goác toïa ñoä, vaø coù heä soá goùc tính theo coâng thöùc:
.
y
x
y
M
J
tg
M
J
β
=− (10.5)
Ta thaáy:
- Ñöôøng trung hoøa chia tieát dieän laøm hai mieàn: mieàn chòu keùo vaø mieàn
chòu neùn.
- Nhöõng ñieåm naèm treân nhöõng ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng trung
hoøa coù cuøng giaù trò öùng suaát.
- Caøng xa ñöôøng trung hoøa, trò soá öùng suaát cuûa caùc ñieåm treân moät
ñöôøng thaúng vuoâng goùc ñöôøng trung hoøa taêng theo luaät baäc nhaát.
Döïa treân caùc tính chaát naøy, coù theå bieåu dieãn söï phaân boá baèng bieåu ñoà
öùng suaát phaúng nhö sau.
Keùo daøi ñöôøng trung hoøa, veõ ñöôøng chuaån vuoâng goùc vôùi ñöôøng trung
hoaø taïi K, öùng suaát taïi moïi ñieåm treân ñöôøng trung hoøa (
σ
z = 0) bieåu dieãn
baèng ñieåm K treân ñöôøng chuaån. Söû duïng pheùp chieáu thaúng goùc, ñieåm naøo
coù chaân hình chieáu xa K nhaát laø nhöõng ñieåm chòu öùng suaát phaùp lôùn nhaát.
- Ñieåm xa nhaát thuoäc mieàn keùo chòu öùng suaát keùo lôùn nhaát, goïi laø
σ
max.
- Ñieåm xa nhaát thuoäc mieàn neùn chòu öùng suaát neùn lôùn nhaát, goïi laø
σ
min.
Tính
σ
max,
σ
min roài bieåu dieãn baèng hai ñoaïn thaúng veà hai phía cuûa ñöôøng
chuaån roài noái laïi baèng ñöôøng thaúng, ñoù laø bieåu ñoà öùng suaát phaúng, trò soá öùng
suaát taïi moïi ñieåm cuûa tieát dieän treân ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng trung
hoaø chính laø moät tung ñoä treân bieåu ñoà öùng suaát xaùc ñònh nhö ôû (H.10.6.b).
4- ÖÙng suaát phaùp cöïc trò vaø ñieàu kieän beàn
° ÖÙng suaát phaùp cöïc trò: Goïi A(xA, yA) vaø B(xB, yB) laø hai ñieåm xa
ñöôøng trung hoaø nhaát veà phía chòu keùo vaø chòu neùn, coâng thöùc (10.4) cho:
max
min
y
x
AAA
xy
y
x
B
BB
xy
M
Myx
JJ
M
Myx
JJ
σσ
σσ
== +
==− −
(10.6)
http://www.ebook.edu.vn
GV: Leâ ñöùc Thanh
Chöông 10: Thanh chòu löïc phöùc taïp 5
Ñoái vôùi thanh coù tieát dieän chöõ nhaät (b x h), ñieåm xa ñöôøng trung hoaø
nhaát luoân luoân laø caùc ñieåm goùc cuûa tieát dieän, khi ñoù:
⎮xA ⎮=⎪ xB⎮ = 2
h
; ⎪ yA⎮ =⎮ yB⎮ = 2
h
y
y
x
x
W
M
W
M+=σmax ;
y
y
x
x
W
M
W
M−−=σmin (10.7)
vôùi: 62
/
;
62
/
22 hb
b
J
W
bh
h
J
Wy
y
x
x====
° Ñoái vôùi thanh coù tieát dieän troøn, khi tieát dieän chòu taùc duïng cuûa hai
moâmen uoán Mx, My trong hai maët phaúng vuoâng goùc yOz, xOz, moâmen toång
laø Mu taùc duïng trong maët phaúng vOz cuõng laø maët phaúng quaùn tính chính
trung taâm , nghóa laø chæ chòu uoán phaúng, do ñoù:
3
3
22
minmax, 1,0
32
.
;; D
D
WMMM
W
M
uyxu
u
u≈
π
=+=±=σ (10.8)
° Ñieàu kieän beàn: treân maët caét ngang cuûa thanh chòu uoán xieân chæ coù
öùng suaát phaùp, khoâng coù öùng suaát tieáp, ñoù laø traïng thaùi öùng suaát ñôn, hai
ñieåm nguy hieåm laø hai ñieåm chòu
σ
max,
σ
min, tieát dieän beàn khi hai ñieåm nguy
hieåm thoûa ñieàu kieän beàn:
nminkmax ][;][ σ≤σσ≤σ (10.9)
Ñoái vôùi vaät lieäu deûo: [
σ
]k = [
σ
]n = [
σ
], ñieàu kieän beàn ñöôïc thoûa khi:
][,max minmax σ≤σσ (10.8)
Thí duïï 2. Moät daàm tieát dieän chöõ T chòu löïc nhö treân H.10.7.a. Veõ bieåu ñoà
noäi löïc, xaùc ñònh ñöôøng trung hoaø taïi tieát dieän ngaøm, tính öùng suaát
σ
max,
σ
min.
Cho: q = 4 kN/m; P = qL; L = 2 m; a = 5 cm. Caùc ñaëc tröng cuûa tieát dieän chöõ
T ñöôïc cho nhö sau: yo = 7a/4, Jx = 109a4/6 ; Jy = 34a4/6.
Giaûi. Phaân tích löïc P thaønh 2 thaønh phaàn treân hai truïc x vaø y, ta ñöôïc:
Px = P.cos300 = P 3/2 = qL 3/2; Py = P.sin300 = P/2