CHƯƠNG 3.
THANH CHỊU KÉO (HAY NÉN) ĐÚNG TÂM
GVC.Ths. Lê Hoàng Tuấn
THANH CHỊU KÉO
(HAY NÉN) ĐÚNG TÂM
THANH CHỊU KÉO
(HAY NÉN) ĐÚNG TÂM
NỘI DUNG
1. Định nghĩa - Thực tế 2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 3. Biến dạng - Hệ số Poisson 4. Thí nghiệm tìm hiểu khả năng chịu lực
của vật liệu
5. Thế năng biến dạng đàn hồi 6. Điều kiện bền 7. Bài tóan siêu tĩnh
1. ĐỊNH NGHĨA - THỰC TẾ
Nội lực trên mặt cắt ngang:
O
Lực dọc Nz
x
Nz
z
y
Nz > 0 khi kéo (hướng ra ngoài Nz < 0 khi nén (hướng vào trong)
P
P
P
P
Thực tế: + Dây treo vật nặng
+ Trọng lượng bản thân cột + Các thanh trong hệ dàn
1. ĐỊNH NGHĨA - THỰC TẾ
P Các thanh dàn
Cột chịu nén bởi trọng lượng bản thân
Dây treo chịu kéo do trọng lực
Ròng rọc
1. ĐỊNH NGHĨA - THỰC TẾ
Thanh xiên Đốt Mắt Biên trên
Thanh đứng
Nhịp Biên dưới
2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG
Xét thanh chịu kéo đúng tâm. Các mặt cắt ngang CC và DD trước khi chịu lực cách nhau đoạn dz . Các thớ dọc trong đoạn CD (như GH) bằng nhau .
D C D P P P Nz
D
C
A
G O x
Nz C D D D' H H' D' D C dA z dz dz y z
2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG
Nội lực trên mặt cắt ngang DD hay bất kỳ mặt cắt ngang khác là Nz = P , thanh dãn ra, mặt cắt DD di chuyển dọc trục thanh z so với mặt cắt CC một đoạn bé dz
Quan sát các thớ dọc trong đoạn CD (như GH), biến dạng đều bằng HH’ và không đổi, mặt cắt ngang trong suốt quá trình biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh, điều này cho thấy các điểm trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp z không đổi
2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG
dA
N
z
z
Quan hệ giữa ứng suất và nội lực :
A
A
O x
Vì z = const, nên z .A =Nz
Nz
dA z
z
N z A
Với A là diện tích mặt cắt ngang
y z
3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
1- Biến dạng dọc: Độ dãn (co) dọc trục
C
G
Biến dạng dọc trục z của đoạn dài dz chính là dz . Biến dạng dài tương đối của đoạn dz là:
dz
dz.
z
z
z
dz dz Theo định luật Hooke, ta có:
z
E
E- Môđun đàn hồi khi kéo (nén)
là hằng số của vật liệu
D D' H H' D' D C dz dz
3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Bảng 3.1 Trị số E của một số vật liệu.
Vaät lieäu E (kN/cm2)
0,25 0,33 0,25 0,33 0,25 0,33 0,23 0,27 0,31 0,34 0,31 0,34 0,32 0,36 0,47
Theùp (0,15 0,20)%C Theùp loø xo Theùp niken Gang xaùm Ñoàng Ñoàng thau Nhoâm Goã doïc thôù Cao su 2 x 104 2,2 x 104 1,9 x 104 1,15 x 104 1,2 x 104 (1,0 1,2)104 (0,7 0,8)104 (0,08 0,12)104 0,8
3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
dz
dz
dz
dz
z
z E
N z EA P
Biến dạng dài của đoạn thanh chiều dài L:
P
L
L
dz
dz
N z EA
L
L
L
Nếu Nz ,E, A là hằng, thì:
LN z EA
N EA
z dz L
L
L+L
iL
Nếu thanh có nhiều đoạn Li : EA : Độ cứng thanh
3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
2. Biến dạng ngang
z : Biến dạng dài tương đối theo phương dọc x , y : Biến dạng dài tương đối theo phương x và y
ta có:
x
y
z
ngang
doïc
hay:
= (0 0,5) là hằng số tùy vật liệu - hệ số Poisson. Dấu (–) chỉ rằng biến dạng dọc và ngang ngược nhau.
3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
10kN
Thí dụ 1:
H
30
A2
10kN
G
30
20kN
D
50
40kN
C
50cm
A 1
1) Vẽ biểu đồ dọc Nz ; 2) Tính ứng suất và biến dạng dài toàn phần của thanh. Cho biết: E = 2.104 kN/cm2; A1 = 10 cm2; A2 = 20 cm2. Bài giải
B
2
BC z
30kN
3 kN/cm
BC
30kN
Ứng suất:
2
BC CD z
1 kN/cm
CD
N A N A
30 10 10 10
CD
Nz
3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
10kN
H
30
A2
10kN
2
DG z
G
5,0
kN/cm
DG
30
20kN
N A
10 20
DG
D
50
2
GH z
40kN
5,0
kN/cm
GH
N A
10 20
GH
C
50cm
A 1
L
L
L
L
L
CD
DG
GH
BC
B
30kN
30kN
Biến dạng:
L
20
50 10 4 102 10
30 10 4 102 20
30 10 4 102
50 30 4 102 10 cm005,0L
Nz
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
1. Khái niệm
Ta cần phải so sánh độ bền, độ cứng của vật liệu khi chịu lực với ứng suất, biến dạng của vật liệu cùng loại đã biết.
Ta caàn thí nghieäm keùo, neùn ñeà tìm hieåu
tính chaát chòu löïc vaø quaù trình bieán daïng töø luùc baét ñaàu chòu löïc ñeán luùc phaù hoûng cuûa caùc loaïi vaät lieäu khaùc nhau. Phân loại vật liệu:
V/l dẻo: Phá hỏng khi biến dạng lớn-Thép, đồng... V/l dòn: Phá hỏng khi biến dạng bé- gang, bêtông...
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
2. Các thí nghiệm cơ bản:
2.1 TN kéo V/l dẻo (thép):
P
P
d0 ,A0
P
C
D
A
L0 Mẫu TN B PB Pch Ptl d1, A1
L
O L1
Đồ thị P-L Mẫu sau khi kéo
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
2.1 TN kéo V/l dẻo (thép):
tl
OA: giai đoạn đàn hồi, P - L bậc nhất Lực tỉ lệ Ptl, Giới hạn tỉ lệ:
P tl A
o
AB: giai đoạn chảy, P không tăng,L tăng
Kết quả:
o
Lực chảy Pch, Giới hạn chảy: BCD: giai đoạn củng cố (tái bền)
b
Lực lớn nhất PB, Giới hạn bền:
P b A
o
ch P ch A
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
2.1 TN kéo V/l dẻo (thép):
Độ dãn dài tương đối:
Kết quả:
P
P
L
L
1
%100
%
0 L
o
d0 , A0
Độ thắt tỉ đối:
A
A
L0 Mẫu TN d1, A1
1
%100
%
0 A
L1
o
Mẫu sau khi kéo
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
P
2.2 TN nén V/l dẻo (thép):
d h
OA: giai đoạn đàn hồi
P
P
Giới hạn tỉ lệ:
tl
Mẫu TN
P tl A
o
Pch Ptl B A
AB: giai đoạn chảy
L
Giới hạn chảy:
Mẫu sau nén O Đồ thị P-L
o
ch P ch A
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
2.3 TN kéo V/l dòn (gang): P
P
P
d0 ,A0
Đường cong thực
PB Ptl
Đường qui ước
L0 Mẫu TN
L
O
Đồ thị P-L
Giới hạn bền:
k b
P B A
o
Mẫu sau khi kéo
4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU
P
2.4 TN nén V/l dòn (gang): P
d h
P
Đường cong thực PB Ptl
Mẫu TN Đường qui ước
L
O
Đồ thị P-L
Giới hạn bền:
n b
P B A
o
Mẫu sau nén
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
P
P
1. Khái niệm
P + dP P
A
L
L C O L
Xét thanh chịu kéo làm việc trong giai đoạn đàn hồi . Lực tăng từ 0 đến P, thanh dãn ra từ từ đến giá trị L.
P
Sau khi đạt đến giá trị P,
bỏ lực đi, thanh sẽ đàn hồi hoàn toàn.
L
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
P
P A
1. Khái niệm
Người ta nói công của
P + dP P
L
L C L O
P
W của ngoại lực phát sinh trong quá trình di chuyển đã chuyển hóa thành thể năng biến dạng đàn hồi U tích lũy trong thanh Chính thế năng này làm cho thanh đàn hồi sau khi không tác dụng lực.
L
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
P
P
2. Tính TNBDĐH:
P + dP P
A
L
Công ngoại lực= Diện tích tam giác L.PW OAC: 2 TNBDĐH: U = W
L L C O
P
Với
L
U
2 LP EA2
Hay:
U
Hệ có nhiều đoạn: U = Ui
PL EA 2 L.N z EA2
L
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
3. TNBDĐH riêng u :
TNBDĐH trong một đơn vị thể tích
u
A
U V Với : V=AL và
z
P A
L
L
u
2 z E2
zz 2
TNBDĐH thường được dùng để tính chuyển vị của hệ
P
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
L/2 L/2
D C NBD
A A NBC
BD BC B B
I K B' P
Thí dụ 2: Tính chuyển vị đứng của điểm đặt lực. Cho: E = 20000 kN/cm2; L = 200 cm; P =300 (KN); = 30o ; A = 10 cm2 Giải: Nội lực : Tách mắt B.
N
P cos
2
X = 0: NBC = NBD = N Y = 0: 2Ncos= P
P
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
L/2 L/2
Chuyển vị BB':
D C
PP hình học:
NBD
BB’cos= BK
A A NBC
hay: BB’= BK / cos
BD BC B B
Mà BK=BC Nên:
'BB
BC cos
LN BC
EA
BC
I K B' P
'BB
cm4,0
PL cos
EA2
2
P
5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
L/2 L/2
Chuyển vị BB':
D C
PP năng lượng:
NBD
+ Công ngoại lực:
A A
W=P.BB'/2
+ TNBDĐH:
NBC
BD BC B B
BC
BD
U
2 LN BC )EA(2
2 LN BD )EA(2
BC
BD
I K B' P
P
'BB
cm4,0
PL cos
EA2
2
+ W=U
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
6.1 Điều kiện bền:
Ứng suất nguy hiểm 0
Ứng suất cho phép
= ch- vật liệu dẻo = B- vật liệu dòn 0 n
n > 1 : Hệ số an toàn
Điều kiện bền:
z
Nz A
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Kiểm tra bền:
%5
z
6.2 Ba bài toán cơ bản: Nz A
%5
A
Định kích thước mặt cắt ngang:
Định tải trọng cho phép:
N z %5
.ANz
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Thí dụ 3 :
G NBG D =2,2 cm
NBC x
1- Kiểm tra bền thanh BG. 2- Định số hiệu thép V dùng cho thanh BC. Biết: sin= 5/13;
[]=14kN/cm2
B P C
y P =20 kN
Giải:
Nội lực : Tách mắt B.
Y = 0 NBG sin P = 0 NBG = 52 kN (kéo)
X = 0 NBC NBG cos = 0 NBC = 48 kN (nén)
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Thí dụ 3 :
1- Kiểm tra bền thanh BG.
G NBG D =2,2 cm
BG
NBC x
BG z
2
N A
52 )1,1.(
BG
B P C
8,13
BG z
kN 2 cm
y P =20 kN
Thanh BG đảm bảo đ/k bền
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Thí dụ 3 :
G NBG D =2,2 cm
2- Định số hiệu thép V dùng cho thanh BC.
NBC x
Ta phải có:
A
2 cm43,3
BC
B P C
48 14
N BC
Tra bảng thép định hình, chọn 2V 25x25x4 có A=2x 1,86= 3,72cm2
Hay 2V 32x32x3 có A=2x 1,86= 3,72cm2
y P =20 kN
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
1 2
Thí dụ 4:
450
P B
a
a
a
3
N1 P N2 B
N3
Định tải trọng cho phép [P] theo điều kiện bền của các thanh 1, 2, 3. Cho biết: [] = 16 kN/cm2, A1=2cm2, A2=1cm2, A3=2cm2. Giải: Nội lực : Thực hiện các mặt cắt qua 3 thanh. * X=0N2cos450 + N3 =0 * Y=0-P+N2sin450 + N1 =0 * M/B=0-P2a+N1a =0
N1=2P N2=-P2 N3=P
6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Định tải trọng cho phép [P].
*Theo điều kiện bền của thanh 1,2,3.
1
kN16
P
P2 2
N 1 A
1 N
2
2
kN3,11
P
P2 1
A
2
3
kN32
P
3
N A
P2 2
3
*Kết luận: [P] = 11,3 kN
7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH
1. Định nghĩa :
Bài toán siêu tĩnh là bài toán mà chỉ với các phương trình cân bằng tĩnh học sẽ không đủ để giải được tất cả các phản lực hay nội lực trong hệ.
2. Cách giải:
Cần tìm thêm các phương trình diễn tả điều kiện biến dạng ( p/t biến dạng, p/t hình học) của hệ sao cho cộng số phương trình này với các phương trình cân bằng tĩnh học vừa đủ bằng số ẩn số phản lực, nội lực cần tìm.
7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH
VD D D
Thí dụ 5 :
a
a
P
b
b
C C
Xét thanh chịu lực như hình. Có hai phản lực VA và VB. Phương trình cân bằng:
VD + VB – P = 0
P P
B B
VB VB
Phương trình điều kiện biến dạng. Tưởng tượng bỏ ngàm B và thay bằng phản lực VB . Điều kiện biến dạng của hệ là: L = BD = BC + CD = 0
7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH
BC
CD
0
L
a
a
LN BC EA
LN CD EA
VD D D
a)P
0
b
b
C C
bV B EA
V( B EA
P P
B B
VB
VB VB
Pa ba Sau khi tính được VB , bài toán trở thành tĩnh định bình thường.
7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH
L/2 L/2
Thí dụ 6 :
G N2 D N3 C 2 N1
1 3
Tính nội lực trong 1, 2, 3 Phương trình cân bằng:
B B
2
1
N1cos + N2+ N3cos- P=0 - N1sin + N3sin =0 Phương trình biến dạng:
P B'
cos
1= 2.cos LN 2
LN 11 EA
2 EA
P
7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH
L/2 L/2
2 cos
NN
1
2
G N2 D N3 C 2 N1
1 3
NN
1
3
3 cos
B B
2
N
2
1
2 cosP 21 P 3 cos
21
P B'
P
