Chương 3: Thanh Chịu Kéo-Nén Đúng Tâm
1 Giới Thiệu
2 Khái Niệm
3 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang
4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
Biến Dạng
5
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Nghiêng
6
Đặc Trưng Cơ Học Của Vật Liệu
7
8 Ứng Suất Cho Phép-Hệ Số An Toàn
9
Tính Thanh Chịu Kéo-Nén Đúng Tâm
10 Bài Toán Siêu Tĩnh
Giới Thiệu
1
2
z
* Thanh chỉ chịu tác dụng của lực tập trung hay lực
Khái Niệm
P
y
xMzM
zN
z
xQ
x
yM
x
yQ
q
y
z
zN
P
x
y
* Một thanh chịu kéo-nén đúng tâm khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ tồn tại duy nhất một thành phần nội lực:
zN
phân bố có phương trùng với trục thanh
3
z
Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang
zN
P
x
zN
y
* Tồn tại duy nhất một thành phần nội lực: lực dọc
* Qui ước dấu của nội lực: lực dọc dương khi hướng ra mặt cắt (kéo)
3P
3qa
C
l
l
a
P qa
P
6qa
B
4qa
q
3a
d
A
9qa
Nz
* Biểu đồ nội lực:
4
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
4.1 Giả thiết về biến dạng của thanh:
x
y
L
- Giả thiết mặt cắt ngang phẳng
q
=> Bieán daïng daøi nhö nhau treân caùc lôùp doïc: ez=const
∆L
L
dF
sz
x
Nz
F
z
y
=> Boû qua öùng suaát tieáp treân caùc maët.
- Giả thiết về caùc thôù doïc
=> Trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại ứng suất pháp dọc trục :
z
- Giả thiết về vaät lieäu: vật liệu liên tục, đồng nhất, đẳng hướng
4
z
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
z E
z
4.2 Biểu thức tính ứng suất:
z E z
z
const
+ Theo ñònh luaät Hooke:
z
Vì treân toaøn maët caét
const
z
sz
x
Neân treân toaøn maët caét
N
dF
dF
F
z
z
z
z
z
F
F
y
+ Quan heä giöõa öùng suaát vaø noäi löïc:
z
N z F
- F: diện tích mặt cắt ngang
- Nz : lực dọc tại mặt cắt coùđñiểm tính ứng suất
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
4
z
N z F
* Biểu thức tính ứng suất tại một điểm trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo- nén đúng tâm: - F: diện tích mặt cắt ngang
- Nz : lực dọc tại mặt cắt coù điểm tính ứng suất
* Ví dụ: tính ứng suất tại một mặt cắt:
P
qa
C
)1(
d
l
l
a
P qa
P
qa 2 z 2 d 4
qa4
B
qa2
- Ứng suất phaùt sinh treân maët caét taïi B thuoäc ñoaïn BC:
)2(
q
3a
2d
qa 4 z 2 d 2 4
A
- Ứng suất phaùt sinh treân maët caét taïi B thuoäc ñoaïn AB:
)3(
qa7
Nz
qa 7 z 2 2 d 4
- Ứng suất phaùt sinh treân maët caét taïi C:
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
4
; ; a ;
B
0
0
X
N
cos 30
N
cos 60
0
AB
AC
EF
* Ví dụ: tính ứng suất phát sinh trong các thanh của hệ dàn
ABN
P
030
0
0
Y N
sin 30
N
sin 60
P
0
030
AB
AC
A
A
060
060
P
P
ACN
ABN
3 2
1 2
2E F
ACN
C
a
a
AB
) AB
714,10
kN
/
2 cm
( z
- Tách nút tại A: P
75 7
N F
AB
AB
4
2
E
2.10
kN cm /
12
KN 2cm
- Ứng suất phaùt sinh trong thanh AB P 2 F
150
KN
P
a
2
m
2
F
7cm
AC
)
2
AC
P 3 2
9, 279
kN cm /
( z
F
3.150 2 2.7
N F
AC
AC
- Ứng suất phaùt sinh trong thanh AC
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
4
* Hiện tượng tập trung ứng suất
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
4
* Hệ số tập trung ứng suất
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
4
* Hệ số tập trung ứng suất
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
4
* Hệ số tập trung ứng suất
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
4
* Hệ số tập trung ứng suất
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
4
* Hệ số tập trung ứng suất
5
sz
sz
ez
1ñv
Biến Dạng
* Biến dạng dài dọc trục:
z
z E
N z EF
- Bieán daïng daøi doïc truïc cuûa moät ñôn vò chieàu daøi:
dzz
L
dz
dz
- Bieán daïng daøi doïc truïc cuûavi phaân chieàu daøi dz:
z
N z EF
L
L
- Bieán daïng daøi doïc truïc cuûa caû chieàu daøi L:
+ Nz: lực dọc trên mặt cắt ngang
+ F: diện tích mặt cắt ngang
+ E: Môđun đàn hồi của vật liệu
const
- Các trường hợp đặc biệt:
N z EF
L
LN z EF
Treân chieàu daøi L:
5
P
C
P
P
P
a
B
P3
const
Biến Dạng
N z EF
3a
L
LN z EF
i
i
A
zN
3P
3qa
C
P qa
P
a
4qa
B
6qa
const
EF
Treân töøng ñoaïn chieàu daøi Li:
q
3a
S
i
Treân töøng ñoaïn chieàu daøi Li:
L
i
Nz FE i i
A
9qa
zN
5
n
S
z
Biến Dạng
L
dz
dz
z
N z EF
N EF
i
1
L
L
i
* Bieán daïng daøi doïc truïc cuûa caû chieàu daøi L:
P
qa
C
d
l
l
a
P qa
P
qa4
B
qa2
q
3a
2d
A
qa7
2
qa 5,0
45,0
2 qa 2
S N z EF
5,22 dE
1
i
L AC
i
E
E
aqa 2 2 d 4
Nz qa qa a 3 7 2 d 2 4
* Ví dụ: Tính bieán daïng daøi doïc truïc cuûa coät AC:
5
n
S
z
L
dz
dz
Biến Dạng
z
; ; a ;
N z EF
N EF
i
1
L
L
i
* Bieán daïng daøi doïc truïc cuûa caû chieàu daøi L:
B
P
P
ABN
ACN
EF
1 2
3 2
P
* Ví dụ: Tính biến dạng dài dọc trục của hai thanh AB,AC:
030
A
4
060
P .
1 2
a 3
L
0, 275
cm
2E F
AB
N L B AB EF
EF
Pa 2 3EF
2.150.200 4 3.2.10 .6,3
C
* Biến dạng dài dọc trục của thanh AB:
a
a
4
2
E
2.10
kN cm /
12
KN 2cm
150
KN
P
a
2
m
P a .2
L
0, 206
cm
2
AC
F
7cm
N L C AC E.2F
3 2 E F .2
Pa 3 2EF
3.150.200 4 2.2.10 .6,3
* Biến dạng dài dọc trục của thanh AC:
5
e’
Biến Dạng
s
s
'
z
z E
e
1ñv
* Biến dạng ngang:
0
5,0
m
Vaät lieäu
Vaät lieäu
0,25 - 0,3
Ñaù
m heä soá Poisson.
Theùp
0,23 - 0,27 Beâ toâng
0,16 - 0,18
Gang
0,31 - 0,34 Cao su
0,47
Ñoàng
Nhoâm
0,32 - 0,36 Ñaát seùt
0,2 - 0,4
Thuyû tinh
0,25
m 0,2 - 0,34
6
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Nghiêng
1
1
u
Z
Z
Z
u
u
uv 1
v
1
u uv
z
z
cos
0
u
F u
z
.F z
z
sin.F
0
uv
F u
z
z
0U 0V
u
z 2
z 2
045
cos
* Biết ứng suất trên mặt cắt ngang, tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng:
z F
.F u
z 2
z 2
z5,0
2
z 2
uv
z 2
cos
u
z
z
sin 2
Z Z uv 2
090
045
0
045
090
z 2
z 2
z 2
max
045
z5,0
max min
z z 2
z 2
z 2
z 2
Ta laïi coù:
6
u uv
z
z
2
z
cos
u
u
z 2
z 2
sin 2
045
Z Z uv 2
z 2
z 2
z5,0
z 2
uv
z 2
z
z
090
045
0
045
090
z 2
z 2
z 2
045
z5,0
z 2
z 2
z 2
Ứng Suất Trên Mặt Cắt Nghiêng
7
d0
Đặc Trưng Cơ Học Của Vật Liệu
h0
L0
d0
b0
h0
L0
/
z P F
0
P
D
D
bP
b
E
E
C
C
ch tl
B A
chP tlP
B A
O
O
l
l L /
z
P tl
tl
P ch
ch
P b
b
P tl F 0
P ch F 0
P b F 0
* Kéo-nén vật liệu dẽo:
7
Đặc Trưng Cơ Học Của Vật Liệu
P
P
n bP
D
D
k bP
O
l
O
l
n P b
n b
k P b
k b
n P b F 0
k P b F 0
* Kéo-nén vật liệu dòn:
8 Ứng Suất Cho Phép-Hệ Số An Toàn
0 n
* Ứng suất cho phép:
0 n
+ ứng suất nguy hiểm
+ hệ số an toàn
;
b
0
k
n
k b n
n b n
* Vật liệu dòn:
)
ch tl
0(
0
ch n
* Vật liệu dẻo:
9
Tính Thanh Chịu Kéo-Nén Đúng Tâm
* Điều kiện bền:
+ Vật liệu dẻo:
z
max
N z F
max
max
k
min
n
+ Vật liệu dòn:
L
L
* Điều kiện cứng:
Ví dụ: Cho cột chịu lực như hình vẽ. Cột có mặt cắt ngang hình tròn đường kính d.
+ Xác định đường kính cột theo điều kiện bền
2
4
2
P
150
kN
,
9
kN cm E
/
,
2.10
kN cm /
+ Tính biến dạng dài dọc trục của cột
3P
P3
C
z
max
N z F
max
m1
l
P
Pl
P5
B
d
10, 3
cm
20.150 .9
P 20
5 P 2 d 4
+ Theo điều kiện bền
m3
2
S
P
P
L
1,62
mm
A
zN EF
3 .1 5 .3 EF
i
1
i
4 2.10 .
3 18.150.10 2 10,3 4
zN
+ Biến dạng dài dọc trục của cột
Ví dụ: Cho cột chịu lực như hình vẽ.
+ Xác định các diện tích mặt cắt ngangcột theo điều kiện bền
2
4
2
q
15
kN m a m 1 , ,
/
8
kN cm E
/
,
2.10
kN cm /
+ Tính biến dạng dài dọc trục của cột
z
max
N z F
max
2P
2qa
* Theo điều kiện bền
C
2F
2
7,5
cm
F 1
l
l
a
P qa
P
4.15.1 8
qa 4
qa 4 F 1
qa
B
qa
+ Xét đoạn AB
2
q
3, 75
cm
F 2
3a
2.15.1 8
qa 2
qa 2 F 2
1F
+ Xét đoạn BC
A
2
4qa
S
Nz
0, 5 4
0,5 2
L
mm
zN EF
i
1
qa qa a 3 EF 1
qa qa a EF 2
i
* Biến dạng dài dọc trục của cột
Ví dụ: Thanh AB tuyệt đối cứng chịu liên kết gối cố định tại A và được giữ bởi thanh BC như hình vẽ. Thanh BC có diện tích mặt cắt ngang F, làm bằng vật liệu có E,
2
4
2
kN cm E
kN m a /
m 2 ,
12
8
/
,
,
q
2 .1 0
+ Xác định các diện tích mặt cắt ngang F để thanh BC bền
q
kN cm / q
AX
A
A
B
B
060
,E F
AY
N
a
2 a
060
C
2 a
0
0
q a a N .2 .
sin 60 .2
a
N
0
2
qa
/ 3
Am
+ Tính biến dạng dài dọc trục của thanh BC
2
2
F
3, 464
cm
* Xét cân bằng thanh AB:
/ 3 qa F
2.12.2 3.8
qa 2 3
2
2
L
.
0,922
mm
* Theo điều kiện bền
3 4.12.2 .10 4 3.2.10 .3, 47
qa 2 EF 3
a 3
* Biến dạng dài dọc trục của BC BCN L . EF
Ví dụ: Cho hệ dàn như hình vẽ
2
4
2
kN cm E
kN a ,
m 2 ,
25
8
/
,
P
2 .1 0
kN cm /
+ Xác định các diện tích mặt cắt ngang F để các thanh bền
+ Tính biến dạng dài dọc trục của các thanh
B
0
0
X
N
cos 30
N
cos 60
0
EF
AB
AC
P
ABN
P
030
0
0
030
A
Y N
sin 30
N
sin 60
P
0
AB
AC
A
060
060
P
P
ACN
ABN
ACN
2E F
3 2
1 2
* Tách nút tại A:
C
a
a
2
F
1,56
cm
z
max
P F 2
2
25 2.8
P
4
AB
L
.
1,84
mm
AB
* Theo điều kiện bền
P EF
2
a 3
3 25.4.2.10 4 2.2.10 .1,57 3
* Biến dạng dài dọc trục của AB N L . AB EF
10 Bài Toán Siêu Tĩnh
C
Hệ siêu tĩnh: là hệ có số ẩn số nhiều hơn số phương trình thiết lập được
d
l
l
P qa
a
P
F
B
L
400
mm
E
2
L
300
E
3 2,5.10
kN cm /
2
2
E
mm 3 2.10
kN cm /
F
cm 9
2
F
cm 7
q
B
D
3a
A
C
P
2d
400mm
200mm
200mm
A
L
2
L
AF
CE
0
ACL
Cách giải hệ siêu tĩnh: ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học, ta thiết lập thêm các phương trình tương thích biến dạng
Ví dụ: Cho cột chịu lực và có liên kết như hình vẽ
+ Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong cột
+ Xác định kích thước mặt cắt ngang theo điều kiện bền
2
4
2
P
75
kN
;
8
kN
/
cm
;
E
10.2
kN
/
cm
CN
C
C
CN
d
d
1,5m
l
l
P
P
1,5m
l
l
P
P
B
B
P2
3m
3m
2d
2d
A
A
CN
zN
P zN
+ Tính chuyển vị của mặt cắt tại B
L
0
AC
N L C AC
P L AC
N
N
0
P
C
2
2
2 3
E
E
E
5,1. C 2 d 4
3. N C d 2 4
3.2 P 2 d 4
CN
CN
C
C
3/2P
d
d
1,5m
l
l
P
P
1,5m
l
l
P
P
P2
3/4P
B
B
3m
3m
2d
2d
A
A
CN
zN
P zN
zN
+ Phương trình tương thích biến dạng:
z
2
max
N z F
3
P 2 d 4
d
82,2
cm
d
3
cm
+ Theo điều kiện bền:
75.8 83
8 P 3
C
3/2P
d
Chọn:
1,5m
l
l
P
P
3/4P
B
4
L
10.3,5
m
AB
2
75.16 4 6.
10.2
E
3m
4
L
10.3,5
m
BC
.3/4 P AB 2 2 d 4 AB 2
2
2d
75.8 4
10.2
3.
E
.3/2 P d 4
A
zN
+ Chuyển vị của mặt cắt tại A:
Ví dụ: Kết cấu gồm một thanh thép đường kính d1=6cm, được lồng trong một ống nhôm có đường kính trong d2=10cm, đường kính ngoài d3=16cm chịu nén dọc trục bởi lực P=150kN thông qua một tấm cứng như hình vẽ.
+ Kiểm tra bền cho kết cấu.
P
2
4
2
B
5,1
kN
/
cm
;
10.7,0
kN
/
cm
E
hom
n
2
4
2
10
kN
/
cm
;
E
10.2
kN
/
cm
hom
nN
n
thep
thep
tN
P
nN
tN
nN
B
+ Tính chuyển vị của đĩa B
B
+ Gọi Nt, Nn lần lượt là ứng lực phát sinh trong trục thép và ống nhôm
1d 2d 3d
1d 2d 3d
m5,0
m5,0
t NNP
1n
Nhoâm
Nhoâm
+ Xét cân bằng tấm cứng B
Theùp
Theùp
5,0
5,0
A
A
L t
L n
2
N t FE t t
N n FE n n
+ Phương trình tương thích biến dạng:
N
60
P
/
;151
N
91
P
/
151
t
n
Từ (1) và (2) ta có:
2
2
1,2
kN
/
cm
10
kN
/
cm
+ Kiểm tra bền cho kết cấu.
t
thep
151
150.60 2 6. 4
2
2
73,0
kN
/
cm
5,1
kN
/
cm
Đối với trục thép:
n
n
hom
2
2
10
151
150.91 16 4
Đối với ống nhôm:
5,0.
.60
3
L
10.96,7
m
thep
N t FE t t
4 .10.2
150 5,0. 2 6. 4
+ Tính chuyển vị của đĩa B
Ví dụ: Thanh AC tuyệt đối cứng liên kết, chịu lực và có kích thước như hình vẽ. Các thanh giằng BE và CD làm cùng vật liệu có môđun đàn hồi E và có diên tích mặt cắt ngang lần lượt là 2F và F.
+ Tính ứng lực trong hai thanh CD và BE.
+ Xác định diện tích mặt cắt ngang của hai thanh CD và BE để hai thanh cùng bền
2
4
2
8
kN
/
cm
;
E
10.2
kN
/
cm
E
D
1N
AY
m1
FE 2,
FE,
B
AX
B
A
A
2N
m1
C
P 30
kN
P 30
kN
C
q
15
/ mkN
q
15
/ mkN
m2
m1
m1
m2
m1
m1
+ Tính chuyển vị thẳng đứng của điểm đặt lực P.
1N
AY
B
N
2.
3.2.15
N
04.
AX
1
2
A
N
60
1.30 1
2N
mA 0 N 2 1
2
C
P 30
kN
+ Xét cân bằng thanh AC
q
15
/ mkN
L
2
2
CD
L BE
N 2. 2 EF
N 1. 1 FE 2
m2
m1
m1
N
2
N
2
1
2
E
D
+ Phương trình tương thích biến dạng
N
15
kN
,
N
30
kN
2
1
B
A
BEL
Từ (1) và (2)
2
C
8
kN
/
cm
max
N z F
15 F
CDL
2
m2
m2
F
875,1
cm
15 8
4
875,1
10.
m
+ Điều kiện bền
P
LBE
1 2
1 2
1.30 4 2.2.10.2
+ Chuyển vị thẳng đứng của điểm đặt lực P:
MPa 8
S , GPa E
MPa 25
, GPa
70
E
C
S
Ví dụ: Cho cột bêtông –cốt thép chiều cao h=3m có mặt cắt ngang hình vuông cạnh b=0,6m. Cột được gia cường bằng bốn thanh thép, mỗi thanh có đường kính d=28mm và được nén bởi lực P như hình vẽ. Xem ứng xủa của vật liệu là đàn hồi. Tính lực P lớn nhất mà cột có thể chịu được nếu ứng suất cho phép khi nén trong thép và bêtông lần lượt là . Môđun đàn hồi của thép và C . Khi tính bỏ qua trọng lượng của cột. bêtông lần lượt là 200
P
B
P
cPsP
AA
B
cP
A
A
0,6m
3 m
sP
3 m
0,6m
O
O
)1(
s PPP c
+ Xét cân bằng đĩa cứng B
+ Phương trình tương thích biến dạng
L c
L s
P h . s E F s s
P h . c E F c c
(2)
P
P s
P P ; c
E F s s E F E F c
c
s
s
E F c c E F E F c
c
s
s
+ Từ (1) và (2) ta có
;
s
c
P s F s
E P s E F E F c
c
s
s
P c F c
E P c E F E F c
c
s
s
+ Ứng suất phát sinh trong thép và bêtông
s
P
.
;
P
.
F s
F c
s
F c
F s
c
E c E
s
E E c
+ Tải giớ hạn mà thép và bêtông có thể chịu được
2
2
2
4
.28
2463
mm
F s
2
2
2
d 4
b
600
2463 357537
mm
F c
F s
s
+ Diện tích của thép và bêtông
8
200 25
E E c
+ Ta có tỉ số
P
.
2463
MN
F s
F c
s
E c E
1 8
357537 70 3,3
s
s
.
357537 8.2463 8 3, 0
MN
F c
F s
c
E E c
P
+ Tải giớ hạn mà thép và bêtông có thể chịu được
2
1600mm
F
030
P
P
. Ví dụ: Cho thanh thẳng, mặt cắt ngang không đổi có diện tích và mang tải trọng P=160kN như hình vẽ. Xác định ứng suất trên tất cả các mặt của phân tố quay một góc
Hình 3.8
z
P F
+ Ứng suất trên mặt cắt ngang
030
2
2
0
2
cos
cos
2 .cos 30
0, 075
kN mm /
u
P F
160 1600
2
sin 2
sin 2
0,5.
.sin 60 0, 043
kN mm /
z
1 2
1 2
P F
160 1600
z uv
+ Ứng suất phát sinh trên mặt cắt của phân tố quay
2
968mm
F
2
2
kN m /
kN m /
13780
6890
1
và độ bền chịu cắt
P
1
Ví dụ: Cho thanh thẳng, mặt cắt ngang không đổi có diện tích gồm hai đoạn được dán với nhau bằng keo tại mặt cắt 1-1. mặt cắt 1-1 tạo với phương 030 . Hệ mang tải trọng P=16kN như hình vẽ. Biết rằng keo dán đứng một góc . Kiểm tra có độ bền chịu kéo bền cho mối nối này P
z
P F
+ Ứng suất trên mặt cắt ngang
030
2
2
0
2
2
cos
cos
2 .cos 30
0, 0123
kN mm /
0, 0137
kN mm /
u
16 968
P F
3
2
3
2
sin 2
sin 2
0,5.
.sin 60 7,157.10
kN mm /
6,89.10
kN mm /
z
1 2
1 2
P F
16 968
z uv
+ Ứng suất phát sinh trên mặt cắt 1-1 tạo với phương đứng một góc
=> Vậy mối nối không đảm bảo điều kiện cắt
