c ä h
i
¹ ®
SỨC BỀN VẬT LIỆU
Trần Minh Tú
July 2010
Đại học xây dựng
tpnt2002@yahoo.com
1
Chương 4
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
7/18/2010
2
Chương 4. Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
4.1. Khái niệm chung 4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính 4.3. Mô men quán tính một số hình đơn giản 4.4. Công thức chuyển trục song song 4.5. Ví dụ
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(3)25 July 2010
4.1. Khái niệm chung
F
• Kéo – nén đúng tâm:
x
ứng suất, biến dạng phụ thuộc vào diện tích mặt cắt ngang
z
y
• Thanh tiết diện chữ nhật
khả năng chịu lực theo hai phương x, y khác nhau
F
• Khả năng chịu lực của thanh phụ thuộc vào diện tích, hình dáng, cách sắp xếp, …của mặt cắt ngang
x
z
y
• Các đại
lượng phụ thuộc vào hình dạng, kích thước của mặt cắt ngang - đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(4)25 July 2010
4.1. Khái niệm chung
Hình dạng các mặt cắt ngang
KKííchch thưthướớcc, , hhììnhnh ddạạngng??
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(5)25 July 2010
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
•
Hình phẳng, diện tích A trong hệ trục Oxy. Phân tố diện tích dA(x,y)
ydA
S
xdA
S
x
y
1. Mô men tĩnh của diện tích A đối với trục Ox, Oy: = ∫
= ∫
(
A
)
(
A
)
•
Thứ nguyên của mô men tĩnh là [chiều dài3], giá trị của nó có thể là dương, bằng 0, hoặc âm.
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(6)25 July 2010
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(cid:153)Trục trung tâm:tr ục có mô men tĩnh của diện tích A đối với nó bằng 0.
C yC
(cid:153)Trọng tâm: Giao điểm của hai trục trung tâm => mô men tĩnh của hình phẳng đối với trục đi qua trọng tâm bằng 0
S
=
=
y C
x C
(cid:153)Cách xác định trọng tâm C (xC, yC) của hình phẳng:
y A
S x A
xC
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(7)25 July 2010
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
Bài toán xác định trọng tâm y0
Giả sử C(xC, yC) là trọng tâm mặt cắt ngang dA y0 y
x0, y0 - hệ trục đi qua C dA(x,y) trong hệ toạ độ xy yC x0 C x0
dA(x0,y0) trong hệ toạ độ x0y0
= =
x 0 y 0
x C y C
y ⇒ = C
S x A
S
ydA
=
=
+
(
x
y 0
) y dA C
+ + ∫
x y ∫
A
A
S
=
+
=
S ⇒ = x
y dA 0
y dA y A = C
C
y C
x C
Ta có: x xC
∫
∫
y A
S x A
A
A
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(8)25 July 2010
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
y
yC1 C1
(cid:153)Cách xác định trọng tâm của hình ghép từ nhiều hình đơn giản
• Hình đơn giản: toạ độ trọng tâm dễ xác
định
C2
C3
n
x A Ci i
∑
S
i
x xC1
• Chọn hệ trục ban đầu Oxy, biểu diễn kích thước và toạ độ trọng tâm C(xC, yC) trong hệ trục này
=
=
x C
1 = n
y A
A i
∑
1 =
i n
y A Ci i
∑
i
1 =
=
=
y C
n
S x A
A i
∑
• Nếu mặt cắt ngang A ghép từ nhiều hình đơn giản có diện tích Ai với tọa độ trọng tâm mỗi hình đơn giản là Ci( xCi,yCi) trong hệ toạ độ ban đầu, thì:
i
1 =
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(9)25 July 2010
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(cid:153)Chú ý
(cid:131) Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục đối xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của càng nhiều hình đơn giản càng tốt.
(cid:131) Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị
âm.
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(10)25 July 2010
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
2. Mô men quán tính của mặt
cắt ngang A đối với trục x, y
2 x dA
I
2 y dA
I
y
x
= ∫
= ∫
(
A
)
(
A
)
•
Thứ nguyên của mô men quán tính là [chiều dài4], giá trị của nó luôn luôn dương 3. Mô men quán tính độc cực
I
I
dA I =
+
p
y
x
2 ∫ ρ= ( ) A
[chiều
• Thứ nguyên của mô men quán tính độc cực là dài4], giá trị của nó luôn luôn dương
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(11)25 July 2010
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
4. Mô men quán tính ly tâm
xydA
I
xy
= ∫
(
) A
Thứ nguyên của mô men quán tính ly tâm là [chiều dài4], giá trị của nó có thể là dương, bằng 0, hoặc âm.
(cid:153)Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục mà mô men quán tính ly tâm của diện tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0. Hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục quán tính chính, có gốc tọa độ trùng với trọng tâm mặt cắt ngang.
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(12)25 July 2010
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(cid:153)Tính chất:
(cid:131) Nếu mặt cắt có 1 trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó một hệ trục quán tính chính
I
xydA
0
=
=
) xy dA
xy
∫
A
( ∫ + − A
(cid:131) Nếu hình ghép:
n
n
n
I
I
I
I
I
I
x
i x
y
i y
xy
i xy
= ∑
= ∑
= ∑
i
i
1=
1=
i
1=
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(13)25 July 2010
4.3. Mô men quán tính một số hình đơn giản
y
3
(cid:153) Hình chữ nhật 3
y
I = x
I = y
bh 12
hb 12
h
x
(cid:153) Hình tròn
4
4
x
π
4
(cid:17)
I
0,1
D
=
=
p
b
R π 2
4
4
D 32 π
4
D
(cid:17)
I
I
0,05
D
=
=
=
x
y
R π 4
D 64
h
3
x
I = x
b
(cid:153) Hình tam giác bh 12
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(14)25 July 2010
4.4. Công thức chuyển trục song song
y
A
v
y a
= +
x
(cid:153) Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng hình học mặt cắt ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy. v dA (cid:153) Hệ trục mới O'uvcó O'u//Ox, y
O'v//Oy và: x b = + x b>0 O
a>0
u
v u (cid:153) Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục O'uv là:
x
u
x
u
x
I I
2 aS bS 2
2 a A 2 b A
I I
= =
+ +
+ +
S S
S S
a A . b A .
= =
+ +
v
y
v
y
I
y I
aS
bS
abA
=
+
+
+
uv
xy
y
x
u
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(15)25 July 2010
4.4. Công thức chuyển trục song song
Nếu O đi qua trọng tâm C:
x
v
I u I I
y I
abA
I = I = =
2 a A + 2 b A + +
uv
xy
C C
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(16)25 July 2010
4.5. Công thức xoay trục
- Trong nhiều trường hợp, cần xác định các đặc trưng hình học mặt cắt ngang trong hệ trục toạ độ xoay một góc nào đó so với hệ trục ban đầu
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(17)25 July 2010
4.5. Công thức xoay trục
y
u
v
u
x cos
y sin
=
x
v
θ x sin
θ y cos
+ θ
θ
= −
+
I
I
I
I
+
−
x
y
x
y
I
cos
I
sin
- Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng hình học mặt cắt ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy. - Hệ trục mới O'uv xoay góc q ngược chiều kim đồng hồ
2 θ
2 θ
+
=
−
u
xy
I
I
I
I
- Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang trong hệ trục mới O'uv là Su, Sv, Iu, Iv, Iuv
2 −
2 +
x
y
x
y
I
cos
I
sin
2 θ
2 θ
−
=
+
v
xy
2
I
I
2 −
x
y
I
sin
2 θ
2 θ
=
+
uv
I cos xy
2
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(18)25 July 2010
4.5. Công thức xoay trục
2
I
tan
2 θ = −
0
I
xy I −
x
y
- Hệ trục quán tính chính có Iuv=0 => Vị trí của hệ trục quán tính chính xác định bởi góc q0:
- Các mô men quán tính đối với hệ trục quán tính chính :
2
I
I
I
I
+
−
x
y
x
y
2
I
I
=
±
+
max, min
xy
2
2
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Vòng tròn Mohr quán tính
- Tương quan giữa Iu, Iuv và Ix, Iy, Ixy tương tự như tương quan giữa su, tuv và sx, sy, txy
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(19)25 July 2010
4.6. Bài tập – Ví dụ 4.6.1
Ví dụ 4.6.1. Cho mặt cắt ngang có hình dạng và kích thước như hình vẽ.Xác định các mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang
y0
2
1
và
Giải: Chọn hệ trục toạ độ ban đầu x0y0 như hình vẽ. Chia mặt cắt ngang làm hai hình đơn giản
1. Xác định toạ độ trọng tâm, ta có:
1
- xC=0 (y0 - trục đối xứng)
2
yC1 = 50 mm;
yC2 = 20 mm
x0
38
mm
=
=
=
y C
+ +
y A 1 1 C A 1
y A 2 2 C A 2
y A Ci i A i
∑ ∑
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(20)25 July 2010
Ví dụ 4.6.1
y0
- Dựng hệ trục quán tính chính trung tâm Cxy
1
- Các mô men quán tính chính trung tâm:
3
3
2
2
2
I
I
=
=
+
+
+
b h 1 1
b h 2 2
A a 2
A a 1 1
2
x
1 x
2 x
1 12
1 12
(
3
3
2
2
x0
1800 12
) 1200 18
( 90 20 ×
=
+
30 40 ×
+
) +
×
×
1 12
1 12
)
3
-9
4
I
4 mm
I ( 868 10 ×
=
+ ( ) 868 10 m ×
=
x
3
3
I
I
=
=
+
+
h b 2 2
y
1 y
2 y
1 12
1 12
3
3
=
20 90 ×
+
40 30 ×
1 12
1 12
3
-9
4
I
I ( 1305 10
h b 1 1 ( ) 4 mm
=
×
) 1305 10 m ×
=
y
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(21)25 July 2010
Ví dụ 4.6.2
Ví dụ4.6.2.Cho hình phẳng có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Xác định các mô men quán tính chính trung tâm của hình phẳng
2
1
Giải: Chọn hệ trục toạ độ ban đầu x0y0 như hình vẽ. Chia hình phẳng làm hai và hình đơn giản
1
+
1
2
2
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(22)25 July 2010
Ví dụ 4.6.2
1. Xác định toạ độ trọng tâm:
i=
Xi [m]
yi [m]
Ai [m2]
xiAi [m2]
yiAi [m2]
1
0,5
2,0
4
8
2
2,0
0,5
2
1
2
4
6
9
6
∑
y
Ta có:
1 5
, ( m )
1 ( m )
=
=
=
=
=
=
x C
y C
6 6
9 6
∑ x A Ci i ∑ A i
∑ y A Ci i ∑ A i
1
C
x
2. Qua C, dựng hệ trục quán tính trung tâm Cxy:
1.5m
3. Các mô men quán tính đối với hệ trục quán tính trung tâm Cxy:
2
a1= -0,5m; b1=0,5m; a2=1m; b2= -1m
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(23)25 July 2010
Ví dụ 4.6.2
3
(cid:17)
2 0 5 4
,
.
6 33 ,
4 ( m )
+
A 1
1 I ⇒ = x
3
1
(cid:17)
2 0 5 4
I
,
.
1 33 ,
4 ( m )
=
+
1 y
. 1 4 12 4 1 . 12 3
(cid:17)
2 1 2 .
2 17 ,
4 ( m )
+
A 2
2 I ⇒ = x
2
(cid:17)
I
2 1 2 .
2 67 ,
4 ( m )
=
+
2 y
2 1 . 12 3 1 2 . 12
4
I
I
I
,
,
8 5
, ( m )
=
+
=
6 33 2 17 +
=
x
1 x
2 x
I
I
I
,
,
4 4 ( m )
=
+
=
1 33 2 67 +
=
y
1 y
2 y
I
I
I
4 3 ( m )
=
+
0 = +
= −
a b A a b A + 2 1 1
2 2
1
xy
1 xy
2 xy
4. Các mô men quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm Cuv:
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
(24)25 July 2010
Ví dụ 4.6.2
2
2
I
I
I
I
+
−
x
y
x
y
4
2
I
I
I
I
+
−
x
y
x
y
2
4
10(
m
)
I
+
=
+
=
I 1
I
I
m
2,5(
)
=
−
+
= −
xy
2
xy
2
2
2
2
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝ 5. Góc xác định hệ trục quán tính chính trung tâm Cuv:
4. Các mô men quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm Cuv:
v
y
2
I
tan
1 333
,
2 θ = −
=
0
I
xy I −
'
1
'
u
x 0 26 34 0 90
0 116 34
=
= +
y α 1 = α α 1
2
C
x
α1
