Bài giảng Sức bền vật liệu 1 nâng cao - ĐH Phạm Văn Đồng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG KHOA KỸ THUẬT - CÔNG NGHỆ *******

ThS. NGUYỄN QUỐC BẢO

BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU 1 NÂNG CAO (Dùng cho sinh viên cao đẳng)

Quảng Ngãi, 12/2016

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

2

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

MỤC LỤC

Mục lục …………………..……………………………….......……..…………. 3

Lời nói đầu …………………..……………..…………….......……..…………. 4

Chƣơng 6. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

6.1. Khái niệm ...........…………..........................................................……. 5

6.2. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi ………...……..…. 6

6.3. Phương pháp tích phân không định hạn ……………..……...…..……. 7

6.4. Phương pháp đồ toán (phương pháp tải trọng giả tạo) ….….......…… 11

6.5. Bài toán siêu tĩnh của thanh chịu uốn ………..………....……...…… 16

Câu hỏi ôn tập…………………………………………………………..……….. 18

Trắc nghiệm ………...…………………………………...……………..……….. 18

Chƣơng 7. THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

7.1. Khái niệm …………….……………...………..……..……………… 20

7.2. Thanh chịu uốn xiên ………….………...…………..……......……… 20

7.3. Thanh chịu uốn và kéo - nén ……….......…………………....……… 35

7.4. Thanh chịu kéo - nén lệch tâm ….......…....……………..…..….…… 44

7.5. Thanh chịu uốn và xoắn ..………………..……..…….……….…….. 50

7.6. Thanh chịu lực tổng quát .......…………......……..……..….……….. 56

Câu hỏi ôn tập…………………………………………………………..……….. 57

Trắc nghiệm ………...………………………………...………………..……….. 57

3

Tài liệu tham khảo ………………………........……………..…………..…… 60

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

LỜI NÓI ĐẦU

(Cho lần điều chỉnh, bổ sung lần nhất)

Sức bền vật liệu là một môn khoa học thực nghiệm

thuộc khối kiến thức kỹ thuật cơ sở được giảng dạy trong

các ngành kỹ thuật ở các trường đại học, cao đẳng. Mục

đích của môn học là cung cấp những kiến thức cần thiết về

cơ học vật rắn biến dạng nhằm giải quyết các vấn đề liên

quan từ thiết kế đến chế tạo, và hỗ trợ cho việc nghiên cứu

các môn học chuyên ngành khác trong lĩnh vực cơ khí và

xây dựng.

Bài giảng Sức bền vật liệu 1 nâng cao được biên

soạn kế tiếp sau tài liệu Bài giảng Sức bền vật liệu 1 dành

cho sinh viên bậc cao đẳng ngành Cơ khí đào tạo theo học

chế tín chỉ của Trường đại học Phạm Văn Đồng. Bài giảng

gồm 2 chương. Trong mỗi chương đều có phần Câu hỏi ôn

tập và Trắc nghiệm giúp cho học viên củng cố các kiến

thức đã học. Đi kèm với Bài giảng này, chúng tôi có biên

soạn tài liệu Bài tập Sức bền vật liệu 1 nâng cao.

Bài giảng này được biên soạn nhằm giúp sinh viên cao

đẳng học chế tín chỉ có thêm tài liệu tham khảo. Tuy có điều

chỉnh và bổ sung nhưng chắc chắn không tránh khỏi những

sai sót, rất mong được sự đóng góp của bạn đọc để tài liệu

ngày càng được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành

cảm ơn.

Quảng Ngãi, tháng 12/2016

Người biên soạn

Mobil: 090 531 1727

Email: baoqng2006@gmail.com

4

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Chương 6.

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

A. MỤC TIÊU

- Thiết lập phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi.

- Xác định được chuyển vị (độ võng, góc xoay) của dầm chịu uốn bằng các

phương pháp: tích phân không định hạn và đồ toán (tải trọng giả tạo).

B. NỘI DUNG

6.1. KHÁI NIỆM

6.1.1. Đƣờng đàn hồi, độ võng, góc xoay

- Đường đàn hồi: Trong uốn phẳng, dầm chịu tác dụng của ngoại lực trong

mặt phẳng quán tính chính trung tâm và trục của dầm bị uốn cong (H. 6.1).

Đường cong của trục dầm sau khi bị uốn gọi là đường đàn hồi. Bán kính cong

của dầm tại một vị trí được xác định:

Z

y

dy

P

Đường đàn hồi

dz

dz

z

y

b)

a)

(6.1)

Hình 6.1

- Chuyển vị: Chuyển vị của tiết diện được đặc trưng bởi chuyển vị thẳng của

trọng tâm và chuyển vị xoay của mặt phẳng tiết diện.

+ Chuyển vị thẳng: Chuyển vị thẳng có thể phân làm hai thành phần:

chuyển vị ngang u và chuyển vị đứng v. Với giả thiết biến dạng bé, nên thành

phần chuyển vị ngang u là số vô cùng bé bậc hai so với chuyển vị đứng v nên có

thể bỏ qua. Do đó chuyển vị thẳng được cho là chuyển vị đứng v và gọi là độ

võng của dầm:

5

y = y(z) = v(z).

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

+ Chuyển vị xoay: Chuyển vị xoay của tiết diện một góc so với vị trí ban

đầu gọi là góc xoay:

Vì chuyển vị là bé (y << l) nên .

Vậy: Đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi dầm bị biến

dạng.

6.1.2. Qui ƣớc dấu của độ võng và góc xoay

- Độ võng y > 0: nếu hướng theo chiều dương trục y, tức là hướng xuống

dưới.

- Góc xoay > 0: nếu quay trục z đến tiếp tuyến với đường đàn hồi tại

điểm khảo sát theo chiều kim đồng hồ, hay mặt cắt tại điểm khảo sát sau khi biến

dạng quay theo chiều kim đồng hồ.

6.1.3. Điều kiện cứng của dầm chịu uốn

Trong kỹ thuật, người ta khống chế độ võng lớn nhất của dầm (điều

kiện cứng) theo công thức:

(6.2)

Với L là chiều dài của dầm hoặc nhịp dầm.

6.2. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN GẦN ĐÚNG CỦA ĐƢỜNG ĐÀN HỒI

6.2.1. Phƣơng trình vi phân gần đúng

Theo hình học vi phân, ta có độ cong của hàm y(z) được xác định:

(6.3)

So sánh (6.1) và (6.3) ta được:

Khảo sát dầm bị uốn cong trong hai trường hợp như hình vẽ (H. 6.2) ta thấy

6

y” và M luôn luôn ngược dấu nên:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Vì dầm có chuyển vị bé nên: << 1, ta có phương trình vi phân gần đúng

của đuờng đàn hồi:

O

z

Mx

Mx

y

(6.4)

Hình 6.2

6.2.2. Các phƣơng pháp xác định độ võng và góc xoay

Có ba phương pháp cơ bản để xác định độ võng và góc xoay:

1) Phương pháp tích phân không định hạn

2) Phương pháp đồ toán (phương pháp tải trọng giả tạo)

3) Phương pháp diện tích momen.

Ta sẽ khảo sát hai phương pháp xác định thường dùng.

6.3. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN

6.3.1. Phƣơng trình góc xoay và phƣơng trình đƣờng đàn hồi

Bằng phương pháp tích phân không xác định, ta lấy tích phân liên tiếp biểu

thức (6.4), ta được:

- Phương trình góc xoay:

(6.5)

- Phương trình đường đàn hồi:

(6.6)

Trong đó: C và D là các hằng số tích phân được xác định theo các điều kiện

7

biên (điều kiện về chuyển vị và góc xoay tại các đầu dầm).

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

6.3.2. Điều kiện biên của một số dầm đơn giản

a) Đầu ngàm của dầm console (H. 6.3a):

Chuyển vị và góc xoay đều bằng không.

b) Dầm đặt trên hai gối tựa (H. 6.3b):

- Tại các đầu khớp, gối đỡ của dầm đơn giản chuyển vị bằng không.

.

- Tại nơi tiếp giáp giữa hai đoạn dầm có phương trình đàn hồi khác nhau:

A

C

A

B

a)

b)

chuyển vị và góc xoay của bên trái và bên phải bằng nhau.

Hình 6.3

Ví dụ 6.1: Cho dầm console như hình vẽ (H. 6.4). Biết: P, l, EJ = const.

a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm.

b) Tính độ võng và góc xoay ở đầu tự do của dầm.

Giải:

P

z

l

P

a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm.

MX

Hình 6.4

8

Momen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

M + P (l – z) = 0  M = - P (l – z)

Phương trình vi phân của đường đàn hồi:

Phương trình góc xoay:

Phương trình của đường đàn hồi:

.

Điều kiện biên: tại O (z = 0): y’ = y = 0  C = D = 0.

Vậy:

Và: .

b) Tính độ võng và góc xoay ở đầu tự do của dầm.

Độ võng và góc xoay lớn nhất tại z = l:

nghĩa là mặt cắt ngang sau khi biến dạng xoay đi góc cùng chiều

kim đồng hồ và nghĩa là chuyển vị xuống phía dưới theo chiều dương

của trục y.

Ví dụ 6.2: Cho dầm đặt lên hai gối đỡ có chiều dài L chịu tác dụng của tải

trọng phân bố đều q như hình vẽ (H. 6.5a). Biết: EJ = const.

a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm.

b) Tính giá trị độ võng và góc xoay lớn nhất.

Giải:

9

a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Phản lực tại hai gối tựa:

Momen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là:

1

M - V .z + = 0 

q

a)

B

A

1

V

z

L

b)

Mx

c)

y

d)

ymax

Hình 6.5

Phương trình vi phân của đường đàn hồi:

Phương trình góc xoay:

(a)

Phương trình độ võng:

(b)

10

Điều kiện biên: tại A (z = 0): y(0) = 0 ; tại B (z = L): y(L) = 0

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Thay vào (a) và (b) ta được: C = ; D = 0.

Vậy:

Và: .

b) Tính giá trị độ võng và góc xoay lớn nhất.

- Độ võng lớn nhất tại giữa nhịp [vì y’ = 0]:

- Góc xoay lớn nhất tại các gối tựa A (z = 0) và B (z = L) [vì tại đó có y” =

0]:

+ Tại A (z = 0):

+ Tại B (z = L):

* Nhận xét: Khi tính toán ta căn cứ vào sơ đồ dầm và tải trọng tác dụng mà

chia dầm thành nhiều đoạn sao cho trên mỗi đoạn biểu thức của momen uốn nội

lực và độ cứng là các hàm liên tục. Nghĩa là ta phải lập phương trình

đường đàn hồi cho từng đoạn và ở mỗi đoạn ta phải xác định hai hằng số tích

phân.

Vậy nếu dầm chia ra làm n đoạn, thì ta phải lập n phương trình đường đàn

hồi và xác định 2n hằng số tích phân. Do vậy bài toán áp dụng phương pháp trên

có nhược điểm là có khối lượng tính toán nhiều vì phải chia làm nhiều đoạn nên

ít được áp dụng để giải.

6.4. PHƢƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN (PHƢƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ

TẠO)

6.4.1. Khái niệm

Ở chương 1, ta đã xác lập các liên hệ vi phân giữa nội lực và tải trọng phân

11

bố q(z) là:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Đồng thời, ta cũng có liên hệ giữa nội lực và chuyển vị như sau:

Như ta đã biết ở Chương 1, vẽ biểu đồ nội lực khi biết q(z) ta có thể suy ra

biểu đồ và mà không cần tích phân (a).

Dựa vào sự tương tự giữa hai liên hệ vi phân (a) và (b), ta có thể tìm được

y(z) và y’(z) mà không cần tích phân (b).

Ta tưởng tượng tác dụng lên một dầm nào đó (gọi là dầm giả tạo) một tải

trọng phân bố giả tạo nào đó có cường độ là:

(6.7)

Nghĩa là qui luật phân bố của tải trọng giả tạo giống như qui luật phân

bố của .

Do đó, gọi momen uốn trên dầm giả tạo là , thì:

Hay:

Hoặc:

6.4.2. Chọn dầm giả tạo

Ta phải chọn dầm giả tạo và các điều kiện liên kết sao cho có sự tương ứng

giữa độ võng y của dầm thực với momen uốn giả tạo của dầm giả tạo cũng

như sự tương ứng giữa góc xoay của dầm thực với lực cắt giả tạo của dầm

giả tạo.

y (dầm thực) = (dầm giả tạo)

12

(dầm thực) = (dầm giả tạo)

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Như vậy, thay vì tính tích phân phương trình vi phân (6.4) ta chỉ cần tính

lực cắt giả tạo để có góc xoay và tính momen uốn giả tạo để có độ

võng y của dầm thực.

Ta có thể chọn các dầm giả tạo tương ứng với các dầm thực theo Bảng 6.1

Bảng 6.1. Dầm giả tạo tương ứng với dầm thực

Dầm thực

Dầm giả tạo

y = 0; y = 0;

M = 0; M = 0;

0

0

Q

0 Q

0

y = 0; y 0;

M = 0; M

0;

= 0

0

Q = 0 Q

0

y 0; y = 0; y = 0;

M

0; M = 0; M = 0;

0

0

0

0 Q

0 Q

Q

0

y 0; y = 0; y = 0; y 0;

M

0; M = 0; M = 0; M

0;

0

0

0

0 Q

0 Q

0 Q

0 Q

0

6.4.3. Xác định tải trọng giả tạo , lực cắt giả tạo và momen giả tạo

6.4.3.1. Xác định tải trọng giả tạo .

13

Ta có: , nghĩa là và luôn luôn ngược dấu nhau, do đó:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

- Nếu > 0 thì < 0: chiều hướng xuống phía dưới.

- Nếu < 0 thì > 0: chiều hướng lên phía trên.

6.4.3.2. Xác định lực cắt giả tạo và momen giả tạo

Ta có: (6.8)

và . (6.9)

Do đó ta cần xác định diện tích và hoành độ trọng tâm diện tích

của hình giới hạn bởi đường cong. Bảng 6.2 cho ta các số liệu của một số hình

thường gặp.

Bảng 6.2. Diện tích và vị trí trọng tâm của một số hình thường gặp

Diện tích

Vị trí trọng tâm

q

Hình

h

Đường

C

bậc nhất

zC

L

Đường

h

C

bậc hai

zC

lõm

L

Đường

h

bậc hai

C

lồi

zC

L

h

Đường

C

bậc n

zC L

14

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Đường

h

bậc hai

C

đối xứng

zC

L

6.4.4. Trình tự tìm góc xoay và độ võng

1) Vẽ biểu đồ : căn cứ vào sơ đồ dầm và tải trọng tác dụng.

2) Chọn dầm giả tạo tương ứng: theo Bảng 6.1.

3) Đặt tải trọng giả tạo lên dầm giả tạo:

4) Tính :

=

5) Tính y:

y = =

Ví dụ 6.3: Cho một dầm console chịu tải trọng phân bố đều q như hình vẽ

(H. 6.6a).

Tính độ võng và góc xoay tại đầu tự do của dầm. Biết dầm có độ cứng

là hằng số.

Giải:

- Vẽ biểu đồ momen uốn (H. 6.6b): là đường cong bậc hai lõm ( < 0

vì làm căng thớ trên).

- Chọn dầm giả tạo: như hình 6.6c.

- Đặt tải trọng giả tạo lên dầm giả tạo: > 0 (vì < 0) có

chiều hướng lên trên (H. 6.6c).

- Tính góc xoay và độ võng y:

Góc xoay và độ võng y tại đầu tự do của dầm cũng là lực cắt giả tạo

và momen uốn giả tạo tại B của dầm giả tạo.

15

Ta có:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

=

y = =

Mặt cắt sau biến dạng chuyển vị hướng phía dưới và xoay theo chiều kim

đồng hồ.

q

a)

B

A

L

qL2 2

b)

Mx

qL2 2EJx

c)

Hình 6.6

6.5. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH CỦA THANH CHỊU UỐN

Bài toán siêu tĩnh là bài toán mà ta không thể xác định được các phản lực và

nội lực bằng các phương trình cân bằng tĩnh học, vì số ẩn số cần tìm luôn lớn hơn

số phương trình cân bằng tĩnh học thiết lập được.

Để giải bài toán siêu tĩnh, ta cần thiết lập thêm một số phương trình cần

thiết dựa vào điều kiện biến dạng.

Ta có thể dùng phương pháp đồ toán để tính độ võng và góc xoay cho các

phương trình biến dạng.

Ví dụ 6.4: Vẽ biểu đồ nội lực và của dầm siêu tĩnh chịu lực q =

16

const như hình vẽ (H.6.7a). Biết dầm có độ cứng là hằng số.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Giải:

- Xác định các phản lực ở ngàm A và gối đỡ B

Ta có bốn ẩn số (phản lực liên kết) cần tìm nhưng chỉ có ba phương trình

cân bằng tĩnh học.

Vì vậy ta cần phải thiết lập thêm một phương trình theo điều kiện biến dạng.

Giả sử bỏ gối đỡ tại B và thay bằng một phản lực (H. 6.7b). Ta được một

dầm tĩnh định chịu tác dụng bởi lực phân bố đều q và lực tập trung (chưa

biết).

q

a)

B

A

L

b)

A

B VB

qL2

2EJx

c)

VB.L E.Jx

qL

5 8

q

+

3

qL

_

Qy

8

qL2

d)

1 8

Mx

qL2

9 128

Hình 6.7

17

Điều kiện biến dạng là độ võng của đầu tự do B phải bằng không: = 0.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Do đó để thiết lập biểu thức = 0 ta áp dụng phương pháp đồ toán:

y = =

hay: y =

Suy ra:

- Vẽ biểu đồ nội lực và

Tính được ta dễ dàng vẽ biểu đồ nội của dầm tĩnh định ở hình 6.7b và

cũng là biểu đồ nội lực của dầm siêu tĩnh đã cho (H. 6.7d).

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Thế nào là đường đàn hồi, độ võng, góc xoay khi uốn? Phương trình vi phân

gần đúng của đường đàn hồi?

2. Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp tích phân không định hạn.

3. Thế nào là dầm giả tạo, tải trọng giả tạo? Cách chọn dầm giả tạo và xác định

tải trọng giả tạo?

4. Trình tự xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp đồ toán.

D. TRẮC NGHIỆM

1. Đường đàn hồi là:

a) đường cong của trục dầm sau khi bị uốn.

b) đường đồ thị biểu diễn độ võng của dầm khi bị uốn.

c) đường đồ thị biểu diễn góc xoay của dầm khi bị uốn.

2. Góc xoay là dương khi:

a) quay từ trục đến tiếp tuyến với đường đàn hồi tại điểm khảo sát theo

chiều kim đồng hồ.

b) mặt cắt sau khi biến dạng quay theo chiều kim đồng hồ.

c) cả hai câu đều đúng.

3. Độ võng y là dương khi:

a) hướng theo chiều âm của trục y (hướng lên trên).

b) hướng theo chiều dương của trục y (hướng xuống dưới).

18

c) tùy ý chọn.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

4. Khi tính chuyển vị bằng phương pháp tích phân không định hạn ta chia dầm

thành nhiều đoạn sao cho:

a) trên mỗi đoạn có độ cứng là 1 hàm số liên tục.

b) trên mỗi đoạn có biểu thức momen uốn là 1 hàm số liên tục.

c) cả hai điều kiện trên.

5. Tải trọng giả tạo :

a) dương (> 0) có chiều hướng lên trên.

b) luôn ngược chiều với momen uốn .

19

c) cả hai câu trên đều đúng.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Chương 7.

THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

A. MỤC TIÊU

- Nắm vững các kiến thức cơ bản khi khảo sát thanh chịu lực phức tạp: uốn

xiên, uốn và kéo - nén, kéo - nén lệch tâm, kéo và xoắn và chịu lực tổng quát.

- Xác định được các nội lực, ứng suất, đường trung hòa, biểu đồ ứng suất,

điều kiện bền trong từng trường hợp chịu lực.

B. NỘI DUNG

7.1. KHÁI NIỆM

Trong các trường hợp đã xét khi thanh chịu lực kéo - nén đúng tâm, chịu

xoắn thuần tuý, chịu uốn thuần tuý phẳng trên mặt cắt ngang chỉ có một thành

phần nội lực được gọi là thanh chịu lực đơn giản.

Thực tế là trên mặt cắt ngang của thanh xuất hiện nhiều thành phần nội lực

được gọi là thanh chịu lực phức tạp.

Để giải bài toán này, ta áp dụng “nguyên lý cộng tác dụng” để thiết lập

công thức về ứng suất và biến dạng; nghĩa là: ứng suất và biến dạng do nhiều yếu

tố tác động đồng thời gây ra trên một thanh bằng tổng ứng suất và biến dạng do

từng yếu tố một gây ra trên thanh đó.

Điều kiện để sử dụng nguyên lý này là dựa trên các giả thiết về vật liệu:

- Vật liệu làm việc trong miền đàn hồi và tuân theo định luật Hooke.

- Chuyển vị và biến dạng là bé.

Ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền trong bài toán chịu lực phức tạp là rất

nhỏ nên có thể bỏ qua. Nếu cần tính đến thì áp dụng theo “nguyên lý cộng tác

dụng”.

7.2. THANH CHỊU UỐN XIÊN

7.2.1. Khái niệm

Một thanh gọi là chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang có hai thành phần

nội lực là momen uốn và nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung

20

tâm của mặt cắt ngang (H. 7.1a).

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Đường tải trọng

Mx

V

My

z

z

O

Mu O

Mx

Mu

My

x

y

x

y a) b)

Hình 7.1

Biểu diễn các momen uốn bằng các vectơ momen . Gọi

là vectơ tổng của các vectơ . Ta có:

Momen uốn M nằm trong mặt phẳng (V), chứa trục z nhưng không trùng

với với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào. Mặt phẳng (V) gọi là mặt

phẳng tải trọng. Giao tuyến của mặt phẳng (V) với mặt cắt ngang gọi là đường

tải trọng.

Trong uốn xiên đường tải trọng đi qua gốc toạ độ và vuông góc với phương

của vectơ tổng , nhưng không trùng với một trục quán tính chính trung tâm

nào (H. 7.1b).

* Nhận xét: Đối với thanh có mặt cắt tròn, mọi đường kính đều là trục đối

xứng, nên bất kỳ mặt phẳng chứa trục thanh nào cũng là mặt phẳng đối xứng và

đều là trục quán tính chính trung tâm. Do đó thanh mặt cắt tròn chỉ có uốn

phẳng mà không có uốn xiên.

7.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Gọi là góc của đường tải trọng hợp với trục x, ta có:

21

Hệ số góc của đường tải trọng:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

(7.1)

Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kỳ trên mặt

cắt ngang có toạ độ (x, y) sẽ là tổng ứng suất do từng , gây ra, do đó:

(7.2)

* Chú ý:

1) Theo (7.1) ta có > 0 khi quay từ phần dương trục x đến đường tải

trọng ngược chiều kim đồng hồ.

2) Trong biểu thức (7.2), các giá trị , , x và y là các số đại số, được

xác định như sau:

- / >0 khi làm căng (kéo) phần dương của trục y/x và / < 0 khi

nén phần dương của trục y/x.

- (x, y) lấy theo hệ trục tọa độ đã xác định.

3) Trong thực hành, người ta dùng công thức kỹ thuật sau để tính toán:

(7.3)

Dấu “+ / -“ tuỳ theo momen uốn và gây ra ứng suất kéo/nén ở

điểm đang xét.

Ví dụ 7.1: Tại tiết diện hình chữ nhật b x h chịu uốn xiên như hình vẽ (H.

7.2) với = 8kNm, = 6kNm, h = 2b = 40cm.

Tính ứng suất pháp tại các góc của mặt cắt ngang.

Giải:

* Cách 1: Tính theo công thức (7.2)

Ta có công thức tính ứng suất tại một điểm:

Với: = 8kNm = 800kNcm, = - 6kNm = - 600kNcm.

22

Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với hai trục:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

B

B

B

_

+

A

A

Mx

A

_

_

z

z

z

O

O

O

+

+

My

C

_

C

C

x

+

x

x

y

y

y

D

D

D

Mx My

Hình 7.2

Ứng suất tại các góc của mặt cắt ngang là:

: - Tại A

: - Tại B

.

: - Tại C

.

- Tại D :

.

Vậy:

* Cách 2: Tính theo công thức (7.3)

23

Áp dụng công thức kỹ thuật:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Ta xét dấu của ứng suất do momen gây ra như hình 7.2.

Ta có:

Do đó ứng suất tại các điểm như sau:

7.2.3. Đƣờng trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp

7.2.3.1. Đường trung hoà

Công thức ứng suất ở (7.2) là phương trình của mặt phẳng trong hệ trục

Oxyz. Nó biểu diễn giá trị của ứng suất pháp trên mặt cắt ngang. Mặt phẳng này

Đường tải trọng

O

x

Đường trung hòa

gọi là mặt ứng suất.

y Hình 7.3

Giao tuyến của mặt ứng suất với mặt cắt ngang là tập hợp những điểm có

= 0. Đó là đường trung hoà của mặt cắt ngang trong uốn xiên (H. 7.3).

Phương trình đường trung hoà là:

24

Hay: (7.4)

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Gọi là góc hợp bởi đường trung hòa với trục x.

Đặt: (7.5)

Do đó: (7.6)

Đường trung hòa là đường thẳng qua gốc tọa độ O(0,0) với là hệ số

góc.

< 0 (7.7) Ta có:

* Nhận xét:

1) Ta nhận thấy khi đi từ phần dương trục x đến đường trung hoà

ngược chiều kim đồng hồ và khi đi từ phần dương trục x đến đường trung

hoà cùng chiều kim đồng hồ.

2) Đường trung hoà là một đường thẳng đi qua trọng tâm mặt cắt ngang và

không vuông góc với đường tải trọng.

Vì theo biểu thức (7.6) đường trung hòa có dạng y = ax và theo (7.7)

thường

3) Đường tải trọng và đường trung hoà không bao giờ nằm cùng trong một

góc phần tư của hệ trục toạ độ (H. 7.3).

Vì từ biểu thức (7.7) thì góc và luôn luôn trái dấu nhau.

4) Đối với các mặt cắt ngang của thanh là hình tròn hoặc đa giác đều thì

không xảy ra hiện tượng uốn xiên.

Vì khi đó ta có đường tải trọng sẽ trùng với một trục quán tính chính trung

tâm, còn đường trung hoà sẽ trùng với với trục quán tính chính trung tâm thứ hai

vuông góc với đường tải trọng. Từ biểu thức (7.7) đối với hình này Jx = Jy nên:

, đó là bài toán uốn phẳng.

7.2.3.2. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Ta nhận thấy:

- Các điểm nằm trên đường đường trung hoà thì có cùng trị số ứng suất

25

pháp bằng 0.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

- Các điểm nằm trên cùng một đường đường song song với đường trung

hoà thì có cùng trị số ứng suất pháp.

- Các điểm càng xa trục trung hoà thì có trị số ứng suất càng lớn.

- Những điểm xa trục trung hòa nhất là những điểm chịu ứng suất lớn nhất.

Điểm xa nhất thuộc miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất là . Điểm xa nhất

thuộc miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất là .

Ta có cách vẽ biểu đồ ứng suất như sau:

+ Kéo dài đường trung hoà và vẽ một đường vuông góc với đường trung

hòa kéo dài làm đường chuẩn. Lấy trục tung là đường trung hoà chỉ trị số ứng

suất, trục hoành là đường chuẩn.

+ Tính rồi biểu diễn bằng hai đoạn thẳng về hai phía đường

chuẩn.

+ Nối hai đầu của đoạn thẳng đã vẽ, ta có biểu đồ của ứng suất pháp trên

mặt cắt ngang (H. 7.4)

-

_

x

O

+

z

+

y

Hình 7.4

7.2.4. Ứng suất cực trị và điều kiện bền

7.2.4.1. Ứng suất cực trị:

Những điểm xa đường trung hoà nhất sẽ có ứng suất pháp cực trị.

26

Giá trị của các ứng suất cực trị là:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

(7.8)

Trong đó:

là toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đường trung hoà nhất.

là toạ độ của điểm chịu nén cách xa đường trung hoà nhất.

* Nhận xét:

1) Trường hợp mặt cắt ngang là hình chữ nhật hay những hình nội tiếp

trong hình chữ nhật (cả hai trục quán tính chính trung tâm đều là trục đối xứng)

có dạng như hình 7.5, ta có:

(7.9)

Hình 7.5

2) Trường hợp mặt cắt ngang là hình tròn, ta có và trị số momen

uốn là: và bài toán trở thành uốn phẳng.

Do đó:

(7.10)

Với:

27

7.2.4.2. Điều kiện bền

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Từ biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ta thấy điểm nguy hiểm là các

điểm xa đường trung hoà nhất về phía kéo hoặc phía nén. Trạng thái ứng suất của

điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn.

Vậy điều kiện bền là:

- Đối với vật liệu dẻo:

(7.11)

Với: là ứng suất pháp cực trị có trị tuyệt đối lớn nhất.

- Đối với vật liệu dòn:

(7.12)

7.2.4.3. Ba bài toán cơ bản

Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bài toán cơ bản:

- Kiểm tra bền.

- Chọn kích thước mặt cắt ngang.

- Tìm tải trọng cho phép.

Trong các bài toán trên, bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang phức tạp

hơn vì trong biểu thức (7.8) có nhiều đại lượng chưa biết liên quan kích thước

như: .

Để giải bài toán trên, ta dùng phương pháp thử dần, tức là ta chọn kích

thước của mặt cắt ngang rồi sau đó kiểm tra bền. Nếu không thỏa mãn thì phải

chọn lại cho đến khi đạt.

* Chú ý:

1) Khi chọn kích thước mặt cắt đối với vật liệu dẻo, mặt cắt có các trục đối

xứng (như hình chữ nhật, chữ I, chữ C, …) ta có điều kiện bền:

28

Vì chỉ có một phương trình nên biểu thức được viết lại như sau:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

(7.13)

Ta thử dần bằng cách chọn trị số để tính từ đó ta có kích thước của

mặt cắt ngang sơ bộ.

Kiểm tra lại điều kiện với kích thước sơ bộ đã chọn.

2) Các số liệu thường dùng:

- Mặt cắt chữ nhật: .

- Mặt cắt chữ I: .

- Mặt cắt chữ C: .

Ví dụ 7.2: Cho dầm có mặt cắt ngang chữ nhật bxh = 5x12cm chịu lực như

hình vẽ (H.7.6a). Biết : P = 2.400N ; q = 4.000N/m ; l = 2m ;

a) Kiểm tra điều kiện bền của dầm.

b) Xác định vị trí đường trung hoà và biểu đồ ứng suất.

Giải:

q

x

Px

x

Py

P

y

P

y

a) Kiểm tra điều kiện bền của dầm.

a) b)

29

Hình 7.6

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Ta có điều kiện bền đối với vật liệu dẻo với mặt cắt là hình chữ nhật:

Mặt cắt nguy hiểm tại ngàm có:

= - 12.160Nm = - 1.216.000Ncm

= - 240.000Ncm

Ta có:

Vậy dầm đủ bền.

b) Xác định vị trí đường trung hoà và biểu đồ ứng suất

Tại mặt cắt ngàm, phương trình của đường trung hoà là:

Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với hai trục:

Do đó: .

Phương trình đường trung hòa: y = - 1,1368x, có và biểu đồ

ứng suất pháp có và được thể hiện

30

trong hình 7.7 .

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

x

6max

+

y

_

6min

Hình 7.7

Ví dụ 7.3: Cho dầm chữ I chịu lực như hình vẽ (H. 7.8). Biết : P = 3.000N;

l = 2m; . Xác định:

a) Số hiệu mặt cắt dầm chữ I.

b) Vị trí đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp.

Giải:

Momen uốn lớn nhất tại ngàm:

z

y P

L

y

P

.

Hình 7.8

a) Số hiệu mặt cắt dầm chữ I.

Chọn: .

Từ điều kiện bền, ta có :

31

.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Tra bảng, ta chọn I No.20 có:

Kiểm tra lại điều kiện bền với I No.20 đã chọn:

Vậy chọn dầm chữ I No. 20.

b) Vị trí đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp.

Tra bảng với dầm chữ I số hiệu 20 có :

Hệ số góc của đường trung hoà là :

.

Đường trung hòa có và biểu đồ ứng suất pháp có

x

được thể hiện trong hình 7.9.

_

y

+

Hình 7.9

7.2.5. Độ võng của dầm chịu uốn xiên

Độ võng tổng hợp của mặt cắt nào đó bằng tổng hình học độ võng do các

thành phần momen uốn tác dụng trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm

của dầm, ta có :

(7.14)

Trong đó: là độ võng theo phương x và y do và gây nên.

Phương của độ võng tổng hợp f so với trục tại một mặt cắt là:

32

(7.15)

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

* Chú ý: Đối với đầu tự do của dầm console thì:

Ví dụ 7.4: Cho một dầm chịu lực như hình vẽ (H.7.10), mặt cắt ngang là

hình chữ nhật bxh = 12x18cm, chiều dài L = 1m, chịu tác dụng tại đầu tự do một

lực P = 2000N, nghiêng một góc so với trục y.

a) Xác định ứng suất tại các điểm góc của mặt cắt ngang tại ngàm.

b) Tính độ võng toàn phần ở đầu tự do của dầm. Biết dầm làm bằng vật liệu

có E = .

Giải:

a) Xác định ứng suất tại các điểm góc.

Ta có công thức tính ứng suất tại 1 điểm:

.

z

o

x

P

y

L

Phân lực P thành hai thành phần theo hai trục:

Hình 7.10

Momen uốn tại ngàm:

M = - P .l = - 1732x100 = - 173.200 Ncm (căng nhánh y < 0).

M = P .l = 1000x100 = 100.000 Ncm (căng nhánh x > 0).

33

Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với hai trục:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

173.200

_

Mx

Ncm

Ncm

My

100.000

+

Hình 7.11

Ứng suất tại các điểm như sau:

: - Tại A

: - Tại B

.

: - Tại C

.

- Tại D :

.

Vậy:

.

* Chú ý: Nếu áp dụng công thức kỹ thuật:

Ta xét dấu của ứng suất do momen gây ra như hình 7.12b,c.

Ta có:

34

Do đó ứng suất tại các điểm như sau:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Vậy:

B

B

B

.

_

A

A

Mx

A

+

z

z

z

+

O

+

O

O

_

_

My

C

_

C

C

+

x

x

x

y

y

y

D

D

D

a) b) c)

Hình 7.12

b) Tính độ võng toàn phần ở đầu tự do của dầm

Độ võng toàn phần:

Độ võng theo phương x:

Độ võng theo phương y:

.

Vậy:

7.3. THANH CHỊU UỐN VÀ KÉO - NÉN

7.3.1. Khái niệm

Một thanh gọi là chịu uốn và kéo - nén đồng thời khi trên mặt cắt ngang có

35

các thành phần nội lực là: lực dọc , momen uốn và (H. 7.13).

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

MX

x

MY NZ

z

A(x,y)

y

Hình 7.13

7.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta có ứng suất pháp tại một điểm có tọa

độ (x,y) trên mặt cắt ngang được xác định theo công thức:

(7.16)

Trong đó: F – diện tích mặt cắt ngang.

– momen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.

* Chú ý:

1) Trong biểu thức (7.16) qui ước dấu như sau:

- Dấu của theo qui ước của kéo - nén đúng tâm.

- Dấu theo qui uớc của uốn xiên.

2) Trong kỹ thuật ta có công thức:

(7.17)

Trong đó:

- Các giá trị đều lấy trị tuyệt đối.

- Dấu "+" trước lực kéo và ứng suất kéo; dấu "-" trước các lực nén và ứng

suất nén tại điểm khảo sát.

7.3.3. Đƣờng trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp

36

7.3.3.1. Đường trung hoà:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Đường trung hoà có , từ (7.16) ta có phương trình đường trung hoà

là:

Hay: (7.18)

Đặt:

Phương trình đường trung hoà có dạng y = ax + b, đó là một đường thẳng

không đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang như trong uốn xiên.

7.3.3.2. Biểu đồ ứng suất pháp

Tương tự như trong uốn xiên do mặt cắt ứng suất là phẳng nên:

- Ứng suất pháp tại những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song

với trục trung hòa thì có cùng trị số.

- Trị số ứng suất pháp tại một điểm tỉ lẹ với khoảng cách từ điểm đó đến

trục trung hòa.

Ta vẽ biểu đồ ứng suất tương tự như trong uốn xiên. Những điểm xa trục

trung hòa nhất là những điểm chịu ứng suất lớn nhất, trong đó:

+ Điểm xa nhất thuộc miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất là .

+ Điểm xa nhất thuộc miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất là .

Biểu diễn giá trị , bằng các tung độ về hai phía đường chuẩn rồi

Đường trung hòa

O

x

z

NZ/F

+

y Đường chuẩn

nối chúng lại, ta được biểu đồ ứng suất như trong hình 7.14.

37

Hình 7.14

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

* Chú ý:

1) Đối với mặt cắt là hình chữ nhật thì , ở vị trí các điểm góc xa

nhất của mặt cắt về hai phía đường trung hòa.

2) Tại trọng tâm của mặt cắt có trị số ứng suất pháp bằng .

Ví dụ 7.5: Cho mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu lực như hình vẽ (H.

7.15a). Biết: bxh = 12x20cm, = 150kNcm, = 200kNcm, = 50kN.

a) Tính ứng suất tại các điểm góc trên mặt cắt ngang.

b) Xác định đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp.

Giải:

a) Tính ứng suất tại các điểm góc trên mặt cắt ngang.

Ta có:

B

B

B

B

Theo hình vẽ: N = 50kN, = 150kNcm, = - 200kNcm

_

Mx

A

A

A

A

+

+

z

O

_

_

+

+

+

+

_

My

Nz C

C

C

C

+

x

x

x

+

x

y

D

y y

D

D

y

D

y Nz Mx My

a) b) c) d)

Hình 7.15

Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với hai trục:

;

;

F = b.h = 12x20 = 240 cm .

Ứng suất tại các điểm như sau:

38

- Tại A :

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

- Tại B :

- Tại D

:

- Tại C :

* Chú ý: Nếu áp dụng công thức kỹ thuật:

Lập bảng xét dấu cho ta được:

Do đó ứng suất tại các điểm như sau:

b) Xác định đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp.

Phương trình đường trung hòa:

39

Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất như hình 7.16.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

-10

A

B

x

-6

+6

C

D

+10

6min

_

y

6max

+

Hình 7.16

7.3.4. Ứng suất cực trị và điều kiện bền

7.3.4.1. Ứng suất cực trị

Từ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang, ta thấy điểm nguy

hiểm là hai điểm xa đường trung hòa nhất về hai miền kéo và nén, ta có:

(7.19)

(7.20)

x, y là toạ độ của điểm chịu kéo - nén cách xa đường trung hoà nhất

* Chú ý: Nếu mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (như hình chữ nhật) ta

có:

(7.21)

(7.22)

7.3.4.2. Điều kiện bền

Thanh chịu uốn và kéo - nén đồng thời chỉ gây ra ứng suất pháp trên mặt

cắt ngang, phân tố ở trạng thái ứng suất đơn. Do đó điều kiện bền:

40

- Đối với vật liệu dẻo:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

(7.23)

- Đối với vật liệu dòn:

(7.24)

Trong đó:

: ứng suất pháp cực trị có trị tuyệt đối lớn nhất.

: ứng suất kéo lớn nhất.

: ứng suất nén lớn nhất.

Ví dụ 7.6: Một cột có mặt cắt hình chữ nhật bxh = 10x15cm như hình vẽ

(H. 7.17a). Biết P = 96kN, P = 5kN, q = 3kN/m, H = 2m. Hãy:

a) Vẽ biểu đồ nội lực.

b) Tính

c) Xác định đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp tại chân cột.

Giải:

a) Vẽ biểu đồ nội lực.

z

z

P1

Biểu đồ nội lực do từng nguyên nhân gây nên như Hình 7.17b.

P2

P1

y

y

x

x

b

H

_

q

h

P2.H

Mx

My

Nz

a) b)

Hình 7.17

41

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

b) Tính

Tại ngàm có giá trị nội lực là lớn nhất:

Đối với mặt cắt hình chữ nhật, ta có công thức:

Với: F = 10x15 = 150 .

Do đó:

Nên:

z My

-7,5

max

MX

c) Đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp.

+

O

y

-5

x +5

x

+7,5

_

y

z

min

Hình 7.18

42

Momen quán tính đối với các trục:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Phương trình đường trung hòa:

. Hệ số góc đường trung hòa: = - 0,375

Ta có đường trung hòa và biểu đồ ứng suất có:

như hình 7.18.

Ví dụ 7.7: Kiểm tra độ bền của một cột bê tông có mặt cắt ngang hình chữ

nhật chịu lực P = 8kN đặt lệch tâm so với trục cột một đoạn e = 30cm như hình

vẽ (H. 7.19). Biết , bxh = 20x30cm, trọng

lượng bản thân cột Q = 1kN.

Giải:.

P

Q

e

b

x

h y Hình 7.19

Kiểm tra bền tại mặt cắt chân cột. Lực tác dụng gồm:

43

- Trọng lượng Q của bản thân cột, đặt tại tâm mặt cắt.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

- Lực P đặt song song trục cột và cách tâm e = 30cm Đây là bài toán thanh

chịu uốn và nén. Ta có điều kiện bền đối với vật liệu dòn:

Áp dụng công thức kỹ thuật ta có:

Ta có: = P + Q = 8 + 1 = 9kN; = 0

= P.e = 8x30 = 240kNcm.

; F = 20x30 = 600

Do đó:

. Và:

Vậy cột đảm bảo bền.

7.4. THANH CHỊU KÉO - NÉN LỆCH TÂM

7.4.1. Khái niệm

Thanh chịu kéo - nén lệch tâm khi ngoại lực (hay nội lực) có phương song

song với trục thanh, nhưng điểm đặt ở ngoài trọng tâm mặt cắt ngang (H. 7.15).

Gọi K là điểm đặt lực P. Khoảng cách OK = e gọi là độ lệch tâm.

Áp dụng định lý dời lực song song ta dời lực P về trọng tâm O của mặt cắt

ngang, ta được:

- Lực dọc: (lấy "+" khi lực kéo và ngược lại lấy "-")

44

- Momen uốn: được phân làm 2 thành phần:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Vậy: Bài toán kéo – nén lệch tâm là một trường hợp đặc biệt của uốn và kéo

MX

O

x

NZ

xK K

z

yK

MY

P

y

- nén đồng thời.

Hình 7.20

7.4.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Ta có công thức ứng suất:

Ứng suất tại A (x,y), với , ta được:

Hay:

Đặt:

Nên: (7.25)

Trong đó và là bán kính quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục

quán tính chính trung tâm x và y.

* Chú ý:

1) Dấu trong (7.25) được xác định:

- P > 0 khi P là lực kéo và P < 0 khi P là lực nén.

45

- và phụ thuộc vào hệ trục tọa độ đã chọn.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

2) Công thức tính cực trị và điều kiện bền của bài toán kéo – nén lệch tâm

có thể sử dụng như bài toán kéo - nén và uốn.

7.4.3. Đƣờng trung hòa

7.4.3.1. Phương trình đường trung hòa

Phương trình đường trung hòa:

= 0

Hay: (7.26)

Đặt: (7.27)

Ta được phương trình đường trung hòa dưới dạng:

Trong đó a và b là giao điểm của đường trung hòa với trục x và y.

7.4.3.2. Tính chất của đường trung hòa

1) Đường trung hòa không đi qua trọng tâm mặt cắt, nó cắt trục x tại a và

trục y tại b.

2) Đường trung hòa không bao giờ qua phần tư có chứa điểm đặt lực K vì a

và b luôn trái dấu với .

3) Điểm đặt lực K tiến gần tâm O của mặt cắt thì đường trung hòa rời xa

tâm O vì khi giảm thì a, b tăng và ngược lại.

4) Khi K nằm trên trục Ox (yK = 0) thì đường trung hòa song song với trục

Khi K nằm trên trục Oy (xK = 0) thì đường trung hòa song song với trục

Oy và có phương trình là x = a.

Ox và có phương trình là y = b.

5) Khi đường trung hòa nằm ngoài mặt cắt thì trên mặt cắt chỉ chịu một loại

ứng suất: kéo hoặc nén.

7.4.4. Lõi của mặt cắt ngang

46

7.4.4.1. Khái niệm

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Trong các công trình xây dựng ta dùng các vật liệu dòn như gạch, đá, bê

tông, … Đối với vật liệu dòn, khả năng chịu nén tốt nhưng chịu kéo kém. Vì vậy

khi thiết kế những bộ phận công trình nén lệch tâm, ta phải xác định vị trí đặt lực

sao cho trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất nén (toàn bộ mặt cắt ngang chịu nén),

nghĩa là đường trung hòa không cắt qua mặt cắt ngang. Như vậy điểm đặt lực K

phải nằm trong một miền bao quanh trọng tâm của mặt cắt ngang. Miền này gọi

là lõi của mặt cắt ngang (lõi tiết diện).

Từ tính chất trung hoà có thể nằm ngoài mặt cắt ngang, ta luôn tìm được

một miền có chứa trọng tâm, sao cho lực đặt trong miền đó thì mặt cắt ngang chỉ

chịu lực cắt hoặc chỉ chịu nén.

Vậy: Lõi của mặt cắt ngang là một miền bao kín quanh trọng tâm mặt cắt

ngang. Khi lực lệch tâm đặt trong miền đó thì đường trung hòa nằm ngoài mặt

cắt ngang và khi lực lệch tâm đặt trên chu vi miền đó thì đường trung hòa tiếp

xúc với chu vi mặt cắt ngang.

7.4.4.2. Xác định lõi mặt cắt

Lõi của mặt cắt được xác định như sau:

- Tìm trọng tâm mặt cắt ngang và xác định hệ trục quán tính chính trung

tâm của mặt cắt ngang.

- Xác định các điểm đặt lực K:

+ Vẽ các đường trung hòa tiếp xúc với chu vi mặt cắt ngang.

+ Mỗi đường trung hòa ta với phương trình đường trung hòa:

Với vị trí của đường trung hòa ta xác định được tọa độ (a,b).

+ Với mỗi đường trung hòa này ta xác định tọa độ một điểm đặt lực

K theo công thức:

47

- Xác định lõi: Nối các điểm đặt lực K ta được chu vi của lõi.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

* Chú ý: Đường trung hòa chỉ được tiếp xúc chu vi mà không được cắt mặt

cắt ngang, vì vậy mặt cắt ngang là đa giác lồi hay lõm thì lõi cũng là đa giác lồi

B

A

F

x C

(H. 7.21).

E D y

Hình 7.21

7.4.4.3. Lõi của một số mặt cắt ngang thường gặp

a) Lõi của hình chữ nhật

- Ta có hệ trục QTCTT Oxy như hình vẽ.

- Xác định các điểm K:

+ Khi đường trung hòa trùng cạnh AB, ta có: a = , b = - .

Tọa độ điểm K tương ứng:

+ Khi đường trung hòa trùng cạnh BC, ta có: a = , b = .

Tọa độ điểm K tương ứng:

+ Do tính đối xứng ta được các tọa độ tương ứng: và .

- Xác định lõi: Nối các điểm K, ta được lõi tiết diện là một hình thoi (H.

7.21)

b) Lõi của hình tròn

Khi đường trung hòa là một tiếp tuyến với đường tròn, ta có: a = , b =

48

.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Tọa độ điểm K tương ứng:

Do tính đối xứng của tiết diện, ta được lõi tiết diện là một đường tròn đồng

b/6

b/6

6

/

h

2

/

h

x

x

2

/

h

6

/

h

b/2

b/2

y

y

tâm có đường kính bằng (H. 7.23)

Hình 7.22 Hình 7.23

Ví dụ 7.8: Cho một mối ghép bu lông như hình vẽ (H. 7.24a). Biết thân bu

lông đường kính d = 20mm, lực tác dụng lên đầu bu lông P = 6kN có độ lệch tâm

e = 15mm.

a) Xác định đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp.

b) Tính các ứng suất pháp cực trị và kiểm tra điều kiện bền của thanh. Biết

vật liệu có .

Giải:

a) Xác định đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp.

Đây là bài toán kéo lệch tâm. Lực lệch tâm N = P có độ lệch tâm là e =

15mm = 1,5cm so với tâm thanh (H. 7.24b).

Gọi K là điểm đặt lực N, ta có: .

Vì lực nằm trên trục x, nên đường trung hòa sẽ song song với trục y và

phương trình của đường trung hòa: x = a.

Với:

49

Bình phương bán kính quán tính của mặt cắt ngang đối với trục y:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

.

.

e

z

N = P

e

P

B

A

K x

y

a)

b)

Vậy: x = - 0,17

Hình 7.24

b) Tính các ứng suất pháp cực trị và kiểm tra điều kiện bền của thanh.

Bên trái trục trung hòa chịu kéo, nên điểm có ứng suất kéo lớn nhất là điểm

A và bên phải trục trung hòa chịu nén, nên điểm có ứng suất nén

lớn nhất là điểm B (H. 7.25).

Do đó ứng suất cực đại tại A là:

Do đó ứng suất cực tiểu tại B là:

50

Ta có điều kiện bền: .

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Vậy: Bảo đảm điều kiện bền.

Hình 7.25

7.5. THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN

7.5.1. Khái niệm

Một thanh gọi là uốn và xoắn khi trên mặt cắt ngang có ba thành phần

nội lực là: momen uốn , và momen xoắn .

7.5.2. Thanh tròn chịu uốn và xoắn

Đường tải trọng B

Đường trung hòa

u

MZ

MU

z

x

A

V

v

7.5.2.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang

y Hình 7.26

Đối với mặt cắt hình tròn thì mọi trục đi qua tâm O đều là trục quán tính

chính trung tâm nên đó là uốn phẳng. Hợp hai momen và ta được :

Mặt phẳng chứa là mặt phẳng quán tính chính trung tâm, đó là mặt

phẳng tải trọng (V). Giao giữa mặt phẳng tải trọng (V) và mặt cắt ngang là đường

51

tải trọng.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Do đó trên mặt cắt ngang của thanh tròn có hai thành phần ứng suất:

- Ứng suất pháp : do momen uốn gây nên uốn phẳng.

- Ứng suất tiếp : do momen xoắn gây nên phân bố như xoắn thuần

tuý (bỏ qua lực cắt Q ).

7.5.2.2. Ứng suất cực trị và điều kiện bền

a) Ứng suất cực trị

Thanh chịu uốn thuần túy đồng thời chịu xoắn. Đường trung hòa vuông góc

với đường tải trọng, nên điểm nguy hiểm trên mặt cắt nguy hiểm là giao điểm

của đường tải trọng với chu vi mặt cắt ngang, đó là những điểm xa đường trung

hòa nhất (H. 7.26). Tại đó ứng suất pháp:

(7.28)

Và ứng suất tiếp:

(7.29)

Với: và .

c) Điều kiện bền

Vì phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng nên điều kiện bền có dạng:

(7.30)

Để tính ứng suất tương đương ta dựa vào các thuyết bền:

- Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

Với:

- Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng:

52

* Tổng quát: Điều kiện bền được viết gọn dưới dạng:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

(7.31)

Trong đó:

- Đối với thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

(7.32)

- Đối với thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng:

(7.33)

- Đối với mặt cắt ngang tròn:

Ví dụ 7.9: Một trục truyền bằng thép đường kính d = 60mm chịu lực như

hình vẽ (H. 7.27). Động cơ điện có công suất và số vòng quay của động cơ là N =

20kW, n = 500vg/ph tác dụng tại đầu B của trục. Puly có trọng lượng và đường

kính là G = 2kN, D = 500mm, puly truyền lực kéo nằm ngang có lực kéo trên các

nhánh của dây đai song song nhau và .

Kiểm tra bền trục theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng. Biết

T1

D

d

A

B

G

T2

, L = 2m.

Hình 7.27

Giải:

- Xác định ngoại lực tác dụng lên trục:

Momen xoắn trên trục:

53

Lực căng đai được xác định theo điều kiện cân bằng của momen xoắn:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao



Do đó:

Lực tác dụng tổng của lực căng tác dụng lên trục:

Sơ đồ chịu lực của trục biểu diễn như trên hình 7.28a.

- Vẽ biểu đồ nội lực:

G

Mx

z

Các biểu đồ nội lực như Hình 7.28b,c,d.

T

x

y

z

Mx

kNcm

a)

100

y

229,5

b)

z

kNcm

My

x

38,2

Mz

c)

kNcm

z

d)

Hình 7.28

- Kiểm tra bền:

54

Ứng suất tương đương theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Mặt cắt nguy hiểm tại C có :

 .

Vậy trục thỏa mãn điều kiện bền.

Ví dụ 7.10: Trục hộp giảm tốc có gắn một bánh răng trụ răng thẳng chịu tác

dụng bởi lực tiếp tuyến và lực hướng tâm .

Xác định đường kính d của trục theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất. Biết:

đường kính trung bình của bánh răng , vật liệu làm trục có

, a = 50mm, b = 20mm.

Giải:

- Xác định ngoại lực tác dụng lên trục:

.

- Vẽ biểu đồ nội lực:

Các biểu đồ nội lực như hình 7.29b,c,d

- Xác định đường kính trục d:

Ta thấy mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt tại B. Ta có công thức kiểm tra bền

theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

.

55

Vậy:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

D

C

A

B

d

M

Pr Pt

b

b

Mx

C

A

B

Mz

D

z

M

Pr

Pt

x

My y

Mx

N.cm

800

2000

My

N.cm

2500

Mz N.cm

a

Hình 7.29

7.6. THANH CHỊU LỰC TỔNG QUÁT

7.6.1. Khái niệm

Một thanh gọi là chịu lực tổng quát khi trên mặt cắt ngang của nó có đầy đủ

sáu thành phần nội lực: .

Vì ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền là bé nên bỏ qua.

7.6.2. Thanh tròn chịu lực tổng quát

7.6.2.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang

Theo nguyên lý cộng tác dụng:

- Ứng suất pháp: do các thành phần nội lực là lực dọc , momen uốn

.

- Ứng suất tiếp: do các thành phần nội lực là momen xoắn .

56

Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, nên:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

(7.34)

(7.35)

(7.36)

7.6.2.2. Điều kiện bền

Kiểm tra bền thanh theo một trong các thuyết bền sau:

- Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (thứ ba):

- Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng (thứ tư):

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Thế nào là thanh chịu lực đơn giản, thanh chịu lực phức tạp? Cho ví dụ cụ thể.

2. Thế nào là uốn xiên? Nội lực trên mặt cắt uốn xiên? Công thức tính ứng suất?

Vị trí của đường trung hoà? Biểu đồ ứng suất pháp? Điều kiện bền?

3. Thế nào là thanh chịu uốn và kéo - nén? Công thức tính ứng suất? Vị trí của

đường trung hoà? Biểu đồ ứng suất pháp? Điều kiện bền?

4. Thế nào kéo - nén lệch tâm? Công thức tính ứng suất? Vị trí của đường trung

hoà? Điều kiện bền? Thế nào lõi của mặt cắt ngang và cách xác định lõi của

mặt cắt ngang?

5. Thế nào là thanh chịu uốn và xoắn? Ứng suất trên mặt cắt ngang tròn? Điều

kiện bền?

6. Thế nào thanh chịu lực tổng quát? Cách tính ứng suất và điều kiện bền?

D. TRẮC NGHIỆM

1. Nội lực của thanh chịu uốn xiên gồm có:

a) momen uốn và .

b) momen uốn và lực dọc . ,

c) momen uốn và momen xoắn . ,

57

2. Nội lực của thanh chịu lực tổng quát gồm có:

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

a) sáu thành phần.

b) bốn thành phần nếu bỏ qua lực cắt

c) cả hai câu trên đều đúng

3. Trong các mặt cắt chịu lực nào sau đây chỉ có ứng suất pháp:

a) uốn và kéo – nắn, kéo – nén lệch tâm, uốn và xoắn.

b) uốn xiên, uốn và kéo – nén, kéo – nén lệch tâm.

c) uốn xiên, uốn và kéo – nén, uốn và xoắn.

4. Nội lực của thanh chịu uốn và kéo – nén gồm có:

a) momen uốn và .

b) momen uốn và lực dọc . ,

c) momen uốn và momen xoắn . ,

5. Đường trung hòa trong mặt cắt chịu uốn xiên:

a) đi qua trọng tâm mặt cắt.

b) không vuông góc với đường tải trọng.

c) cả hai câu trên đều đúng

6. Trong công thức tính ứng suất pháp, giá trị momen uốn qui ước là dương khi:

a) kéo phần dương của trục y và kéo phần dương của trục x.

b) kéo phần âm của trục y và kéo phần âm của trục x.

c) cả hai câu trên đều sai.

7. Nội lực của thanh chịu kéo – nén lệch tâm gồm có:

a) momen uốn và .

b) momen uốn và lực dọc . ,

c) momen uốn và momen xoắn . ,

8. Đường trung hòa trong mặt cắt chịu uốn và kéo – nén:

a) đi qua trọng tâm mặt cắt.

b) không đi qua trọng tâm mặt cắt.

c) cả hai câu trên đều đúng

9. Trong biểu đồ ứng suất pháp:

a) tại vị trí trục trung hòa có giá trị bằng “0”.

58

b) những điểm xa trục trung hòa nhất có ứng suất lớn nhất.

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

c) cả hai câu trên đều đúng.

10. Nội lực của thanh chịu uốn và xoắn gồm có:

a) momen uốn và .

b) momen uốn và lực dọc . ,

c) momen uốn và momen xoắn . ,

11. Đường trung hòa trong mặt cắt chịu kéo – nén lệch tâm:

a) không bao giờ qua phần tư có chứa điểm đặt lực.

b) không đi qua trọng tâm mặt cắt.

c) cả hai câu trên đều đúng

12. Qui ước dấu dương khi:

a) quay phần dương trục x đến đường tải trọng hay đường trung hòa cùng

chiều kim đồng hồ.

b) quay phần dương trục x đến đường tải trọng hay đường trung hòa ngược

chiều kim đồng hồ.

c) cả hai câu trên đều sai.

13. Nội lực của thanh chịu lực phức tạp gồm có:

a) hai thành phần.

b) nhiều thành phần

c) cả hai câu trên đều đúng

14. Lõi của mặt cắt là một miền bao quanh trọng tâm mặt cắt sao cho:

a) khi lực lệch tâm đặt trong miền đó thì đường trung hoàn toàn nằm ngoài

mặt cắt.

b) khi lực lệch tâm đặt trong miền đó thì đường trung hoàn toàn nằm trong

mặt cắt.

c) cả hai câu trên đều sai.

15. Phát biểu nào sau đây là đúng trong uốn xiên:

a) Đường tải trọng và đường trung hòa bao giờ cũng nằm cùng một góc

phần tư của hệ trục tọa độ.

b) Đường tải trọng và đường trung hòa bao giờ cũng vuông góc với nhau.

59

c) Đối với mặt cắt tròn không có uốn xiên.

+7,5

Sức bền vật liệu 1 nâng cao

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Nguyễn Đức Cán, Giáo trình Sức bền vật liệu, NXB Tp. HCM,

2007.

Lê Viết Giảng, Phan Kỳ Phùng; Sức bền vật liệu tập 1; NXB Giáo

dục, 1997.

Đỗ Tấn Dân; Sức bền vật liệu tập 1; Trường ĐH Cần Thơ, 2000.

Đặng Việt Cương, Nguyễn Nhật Thăng, Nhữ Phương Mai; Sức bền

vật liệu tập 1; NXB KH và KT, 2003.

60

[5] Thái Thế Hùng; Sức bền vật liệu; NXB KH & KT, Hà Nội, 2006.