Bài giảng Thiết kế trên máy tính

BÀI GIẢNG

THIẾT KẾ TRÊN MÁY VI TÍNH

Khoa Kỹ thuật – Công nghệ

Nguyễn Quận (CB) – Trần Văn Thùy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

KHOA KỸ THUẬT – CÔNG NGHỆ

-------o0o--------

BÀI GIẢNG

THIẾT KẾ TRÊN MÁY VI TÍNH

Bậc: Đại học – Ngành: Công nghệ kỹ thuật cơ khí

Nguyễn Quận (Chủ biên) – Trần Văn Thùy

 i

MỤC LỤC

MỤC LỤC ............................................................................................................... i

LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................................... v

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH ............................. 1

1.1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH .................................... 1

1.2 CÁC BÀI TOÁN TRONG KỸ THUẬT ..................................................... 2

1.2.1 Khái niệm chung ................................................................................... 2

1.2.2 Một số ví dụ về các bài toán trong kỹ thuật .......................................... 3

1.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) ........................................ 4

1.3.1 Tổng Quan ............................................................................................. 4

1.3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite elemetn method - FEM) ........... 5

1.3.3 Các bước tổng quát trong FEM ............................................................. 6

1.3.4 Ứng dụng của FEM ............................................................................. 13

1.3.5 Ưu điểm của FEM ............................................................................... 16

1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1........................................................................... 16

1.5 CÂU HỎI ÔN TẬP .................................................................................... 16

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG .......................................... 17

2.1 GIỚI THIỆU .............................................................................................. 17

2.2 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN ĐỘ CỨNG ..................................................... 17

2.3 XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHO PHẦN TỬ LÒ XO .............. 18

2.4 LẮP GHÉP MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHO HỆ LÒ XO ............................. 24

2.4.1 Lắp ghép ma trận độ cứng bằng quan hệ lực-biến dạng, quan hệ tương

thích, và sự cân bằng lực nút ........................................................................ 24

2.4.2 Lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục bằng nguyên lý chồng chất ........ 26

2.5 ĐIỀU KIỆN BIÊN ..................................................................................... 27

 ii

2.5.1 Điều kiện biên thuần nhất ................................................................... 28

2.5.2 Điều kiện biên không thuần nhất ........................................................ 29

2.6 MỘT SỐ VÍ DỤ ......................................................................................... 30

2.6.1 Ví dụ 1 ................................................................................................. 30

2.6.2 Ví dụ 2 ................................................................................................. 33

2.7 TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 2 .................................................... 36

2.8 BÀI TẬP .................................................................................................... 37

Chương 3 BÀI TOÁN KHUNG GIÀN ............................................................... 39

3.1 GIỚI THIỆU .............................................................................................. 39

3.2 THIẾT LẬP MA TRẬN ĐÔ CỨNG PHẦN TỬ THANH TRONG HỆ TỌA

ĐỘ CỤC BỘ .................................................................................................... 39

3.3 VÍ DỤ BÀI TOÁN THANH ...................................................................... 41

3.4 CHUYỂN VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ 2 CHIỀU .............................. 43

3.5 MA TRẬN ĐÔ CỨNG PHẦN TỬ TRONG HỆ TỌA ĐỘ TOÀN CỤC

OXY ................................................................................................................. 46

3.6 TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT PHẦN TỬ THANH TRONG MẶT PHẲNG

OXY ................................................................................................................. 51

3.7 CÁCH GIẢI GIÀN PHẲNG BẰNG FEM ................................................ 52

3.8 PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG TRONG XÂY DỰNG PHẦN TỬ

THANH ............................................................................................................ 56

3.9 PHƯƠNG PHÁP GALERKIN TRONG XÂY DỰNG PHẦN TỬ

THANH ............................................................................................................ 65

3.10 TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 3 .................................................. 68

3.11 BÀI TẬP .................................................................................................. 69

Chương 4 BÀI TOÁN DẦM ............................................................................... 72

4.1 GIỚI THIỆU .............................................................................................. 72

 iii

4.2 MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM ........................................ 72

4.2.1 Ma trận độ cứng phần tử dầm theo lý thuyết Euler-Bernoulli ............ 74

4.2.2 Ma trận độ cứng theo lý thuyết Timoshenko ...................................... 80

4.3 VÍ DỤ LẮP GHÉP MA TRÂN ĐỘ CỨNG CỦA DẦM .......................... 81

4.4 GIẢI BÀI TOÁN DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỘ CỨNG TRỰC

TIẾP ................................................................................................................. 83

4.5 NGOẠI LỰC PHÂN BỐ ........................................................................... 86

4.5.1 Phương pháp công tương đương (Work-equavalence method) .......... 87

4.5.2 Ví dụ về thay thế lực phân bố ............................................................. 87

4.5.3 Công thức tổng quát cho lực phân bố ................................................. 89

4.6 PHẦN TỬ DẦM VỚI KHỚP XOAY BÊN TRONG................................ 94

4.7 XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP

THẾ NĂNG ..................................................................................................... 97

4.8 TÓM TẮT CÔNG THỨC ........................................................................ 100

4.9 BÀI TẬP .................................................................................................. 101

Chương 5 PHẦN MỀM RDM ........................................................................... 104

5.1 GIỚI THIỆU VỀ RDM ............................................................................ 104

5.2 MÔĐUN FLEXION ................................................................................. 104

5.2.1 Một số qui ước .................................................................................. 104

5.2.2 Ứng Dụng .......................................................................................... 105

5.2.3 Các nguyên tác mô hình hóa ............................................................. 105

5.2.4 Thực đơn chính của RDM – FLEXION ........................................... 106

5.2.5 Ví dụ .................................................................................................. 111

5.3 MÔĐUN OSSATURES ........................................................................... 116

5.3.1 Giới thiệu ........................................................................................... 116

5.3.2 Phân loại hệ thang ............................................................................. 116

 iv

5.3.3 Nguyên tắc mô hình hóa ................................................................... 117

5.3.4 Hệ tọa độ cục bộ ................................................................................ 119

5.3.5 Thực đơn chính của RDM - OSSATURES ...................................... 119

5.3.6 Ví dụ .................................................................................................. 128

5.4 MÔĐUN ELEMENTS FINIS .................................................................. 136

5.4.1 Ví dụ .................................................................................................. 136

5.5 TỔNG KẾT CƯƠNG 5 ........................................................................... 143

5.6 BÀI TẬP .................................................................................................. 143

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 144

 v

LỜI NÓI ĐẦU

Trong thời đại hiện nay, với sự phát triển của khoa học máy tính, hầu hết

các vấn đề trong cuộc sống của chúng được giải quyết dưới sự trợ giúp của máy

tính. Trong đó, giải quyết những vấn đề cơ khí cũng không ngoại lệ. Điều này được

thể hiện rất rõ với sự hiện diện một số lượng lớn phần mềm hỗ trợ trong thiết kế,

tính toán, và chế tạo trong kỹ thuật. Ví dụ như: các phần mềm AutoCad, Inventor,

và Solid Edge… giúp chúng ta vẽ những bản vẽ kỹ thuật nhanh chóng và chính xác

trong thiết kế; các phần mềm Maltab, Ansys, Comsol, và Sap… giúp kĩ sư thiết kế

phân tích và tối ưu thiết kế của mình; và các phần mềm Pro Creo, Uni Graphic,

MasterCAM… hỗ trợ lập trình công nghệ gia công tự động và chính xác. Với sự trợ

giúp của máy tính trong thiết kế và tính toán trong cuộc sống nói chung và trong

ngành cơ khí chế tạo nói riêng, thời gian và chi phí thiết kế và sản xuất sản phẩm

liên quan giảm đáng kể, đồng thời chất lượng của chi tiết cũng được nâng cao.

Học phần “Thiết kế trên máy vi tính” là học phần khối kiến thức cơ sở, học

phần này trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về thiết kế và tính toán trên

máy vi tính.

Cụ thể, học phần sẽ giới thiệu về tổng quan về thiết kế trên máy vi tính,

phương pháp phần tữ hữu hạn: ưu điểm, phạm vi ứng dụng và cơ sở lý thuyết của

phương pháp phần tử hữu hạn. Sau đó, sinh viên sẽ được giới thiệu và hướng dẫn

sử dụng phầm mềm tính toán RDM để giải quyết một số bài toán trong ngành cơ

khí.

Quảng Ngãi, 12/2016

Nhóm biên soạn

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  1

Chương 1

TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH

NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG

Tổng quan về thiết kế và tính toán trên máy vi tính.

Khái niệm về thiết kế trên máy vi tính và tính toán trên máy vi tính.

Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn.

Các bước thực hiện trên phương pháp phần tử hữu hạn.

Giới thiệu ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn.

1.1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH

Thiết kế trên máy tính là một khoa học sử dụng máy tính để giải quyết một

số công việc trong quá trình tính toán, thiết kế sản phẩm. Cụ thể hơn, thiết kế trên

máy vi tính là việc sử dụng các thiết bị phần cứng như máy vi tính, máy in, máy

scan… và phần mềm thích hợp như: Ansys, Comsol, Maltab… trong thiết kế và

tính toán sản phẩm.

Ngày nay, với sự phát triển vượt bậc và phổ biến của các máy tính và hệ

thống máy tính tốc độ cao, những bài toán từ đơn giản như: các phép cộng, trừ,

nhân, chia… đến các bài toán phức tạp như: dự báo thời tiết, tính toán dân số…,

đã có thể giải bởi những máy tính và hệ thống máy tính tốc độ cao này. Trong đó,

hầu hết những vấn đề (bài toán) trong ngành cơ khí được giải quyết bằng sự trở

giúp của máy tính trong thời đại hiện nay. Như một kết quả, cụm từ CA (Computer

Aided: Trợ giúp bằng máy tính) trở thành thuật ngữ quên thuộc trong lĩnh vực tin

học ứng dụng. Trong ngành cơ khí, cụm từ CA thường được biết đến với những

thuật ngữ sau:

CAD (Computer Aided Design): Thiết kế với sự trợ giúp của máy tính.

CAM (Computer Aided Manufacturing): Sản xuất với sự trợ giúp của máy

tính.

CAE (Computer Aided Engineering): Phân tích kiểm tra với sự trợ giúp

của máy tính.

CAQ (Computer Aided Quality control): Giám sát chất lượng sản phẩm

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  2

CAPP (Computer Aided Process planning): Lập qui trình chế tạo.

Với sự trợ giúp của máy tính, qui trình sản xuất được cải tiến rõ rệt như:

cho phép rút ngắn qui trình thiết kế và chế tạo; có khả năng thích ứng linh hoạt với

sự thay đổi mẫu mã và chủng loại sản phẩm; cho phép thiết kế và chế tạo những

sản phẩm công nghiệp phức tạp nhất với tính năng tối ưu nhất…

CAD/CAM không chỉ là cơ sở dữ liệu để thực hiện phân tích kỹ thuật, lập

qui trình chế tạo, gia công điều khiển số mà còn là dữ liệu để điều khiển thiết bị

sản suất điều khiển số (CNC) như: các loại máy công cụ, máy gia công, người

máy/tay máy công nghiệp và các thiết bị phụ trợ khác. Dữ liệu từ quá trình CAD

là cơ sở để hoạch định sản xuất và điều khiển quá trình kiểm soát chất lượng sản

phẩm. CAD được biết đến với những phần mềm thiết kế thông dụng như:

AutoCAD, Solid Edge, Solid Work, Inventor…. Trong đó, các sinh viên ngành Kỹ

thuật cơ khí trường đại học Phạm Văn Đồng đã tiếp cận với phần mềm AutoCAD

thông qua môn học AutoCAD. Đối với CAM, những phần mềm thông dụng như:

MasterCAM, Emco, Pro Creo, SSCNC… cũng được giới thiệu cho sinh viên

ngành này thông qua môn học Công nghệ CAD/CAM/CNC.

Trong môn học này, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách khái quát đến sinh

viên ngành Kỹ thuật cơ khí tại trường ĐH Phạm Văn Đồng về CAE, cơ sở lý thuyết

phần tử hữu hạn được sử dụng trong các phần mềm CAE. Từ đó, chúng tôi cũng

giới thiệu và hướng đẫn sinh viên phần mềm RDM để tính toán một số bài toán

thanh đầm trong cơ khí.

1.2 CÁC BÀI TOÁN TRONG KỸ THUẬT

1.2.1 Khái niệm chung

Bài toán kỹ thuật là một mô hình toán học: khi xây dựng mô hình toán học

cho kết cấu thực tế thường nhận được một hay hệ phương trình vi phân và được

ràng buộc bởi các điều kiện biên.

Trong một bài toán kỹ thuật có hai tập hợp các thông số ảnh hưởng đến hệ

thống: thứ nhất là thông số đặc trưng cho hệ thống, và thứ hai là thông số tác động

vào hệ thống.

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  3

1.2.2 Một số ví dụ về các bài toán trong kỹ thuật

Bài toán cơ học vật rắn

Bài toán hệ thanh

Thông số đặc trưng:

+ Modun đàn hồi E.

+ Hệ số Poisson .

Thông số tác động:

+ Tải trọng P.

Bài toán hệ dầm

Thông số đặc trưng:

+ Modun đàn hồi E.

+ Hệ số Poisson .

+ Momen quán tính I.

Thông số tác động:

+ Tải phân bố q.

Bài toán trục

Thông số đặc trưng:

+ Modun đàn hồi trượt G.

+ Momen quán tính độc cực J.

Thông số tác động:

+ Momen xoắn Mx.

+ Momen uốn Mu.

Bài toán truyền nhiệt

Thông số đặc trưng:

+ Hệ số dẫn nhiệt K.

Thông số tác động:

+ Chênh lệch nhiệt độ t.

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  4

Bài toán cơ lưu chất

-Thông số đặc trưng:

+ Độ nhớt .

+ Độ nhám e.

Thông số tác động:

+ Chênh lệch áp suất p.

+ Vận tốc dòng v.

1.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM)

1.3.1 Tổng Quan

Trong thực tế, chúng ta thường gặp những bài toán yêu cầu xác định trường

giá trị của một hay nhiều đại lượng nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng…) trong

một miền xác định. Việc giải quyết các bài toán thực tế thường được thực hiện

Định luật vật lý Nguyên lý năng lượng

Kết quả

Mô hình Thực tế

Mô hình Vật lý

Mô hình Toán học

Phương pháp giải tích. Phương pháp số

Hình 1.1 Sơ đồ nguyên lý tính toán

theo sơ đồ trong Hình 1.1.

Từ sơ đồ này, chúng ta thấy rằng để giải một mô hình thực tế, chúng ta cần

phải xây dựng mô hình toán học thông qua mô hình vật lý của mô hình thực tế dựa

trên các định luật vật lý và những nguyên lý về năng lượng. Mô hình toán học

thường ở dạng các phương trình vi phân và tích phân. Để giải những mô hình toán

học này, hai phương pháp gồm phương pháp giải tích và phương pháp số được sử

dụng.

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  5

Phương pháp giải tích cho lời giải được thể hiện bởi những biểu thức

(phương trình) toán học. Vì vậy, phương pháp giải tích tạo ra những giá trị của

những đại lượng cần tìm chính xác tại bất kì vị trí nào trong miền tính toán. Tuy

nhiên, mô hình toán học của những vấn đề thực tế rất phức tạp do tính phức tạp

của miền tính toán, tải trọng, đặc tính vật liệu... Do vậy, phương pháp giải tích

không thể thực hiện trong những vấn đề này. Khi đó, chúng ta cần phải dựa vào

những phương pháp số. Nhược điểm của phương pháp số đó là kết quả không

chính xác (tồn tại sai số) và kết quả chỉ đạt được trên các điểm rời rác trong miền

tính toán. Tuy nhiên, nó có thể giải quyết được những vấn đề rất phức tạp tồn tại

trong thực tế. Do vậy, ngày nay phương pháp số được sử dụng rộng rãi để giải

quyết các vấn đề vật lý nói chung cũng như những vấn đề trong ngành kỹ thuật nói

riêng.

Một số phương pháp số được sử dụng rộng rãi như:

+ Phương pháp phần tử biên (finite boundary method).

+ Phương pháp sai phân hữu hạn (finite differential method).

+ Phương pháp thể tích hữu hạn (finite volume method).

+ Phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method).

1.3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite elemetn method - FEM)

Trong những phương pháp số, FEM là công cụ số rất mạnh. Nó có thể giải

được hầu hết các bài toán trong kỹ thuật như: phân tích cấu trúc (structural

analysis), truyền nhiệt (heat transfer), cơ chất lỏng (fluid flow), truyền chất (mass

transport), thế năng điện từ (electromagnetic potential).

FEM tạo ra những giá trị xấp xỉ của những đại lượng cần tìm tại một số các

điểm rời rạc trong miền tính toán. Do vậy, trong quá trình mô hình hóa, một miền

tính toán được chia thành một hệ thống những miền nhỏ tương đương như Hình

1.2. Những miền nhỏ tương đương này được liên kết với nhau tại những điểm

chung của hai hay nhiều phần tử và/hoặc những đường biên và/hoặc những bề mặt.

Quá trình chia nhỏ này được gọi là “rời rạc hóa (discretization)” và những miền

nhỏ tương đượng gọi là “phần từ (element)”. Những điểm liên kết giữa các phần

từ gọi là “điểm nút (nodal points)” hay “nút (nodes)”.

Hình 1.2 Rời rạc miền tính toán

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  6

Trong FEM, thay vì tìm lời giải trên toàn miền tính toán, chúng ta sẽ xây

dựng những phương trình cho mỗi phần tử và kết hợp những phương trình này lại

để đạt được lời giải của toàn miền tính toán.

Một cách ngắn gọn, lời giải của những vấn đề kết cấu là việc xác định những

chuyển vị tại mỗi nút và ứng suất bên trong mỗi phần tử dưới tác dụng của tải

trọng. Trong những vấn đề phi kết cấu, những đại lượng chưa biết tại các nút cần

tìm có thể là nhiệt độ (temperature), áp suất chất lỏng (fluid pressure), thông tượng

nhiệt (heat flux) hoặc lưu lượng (fluid flux).

Trong tài liệu này, lý thuyết về FEM đa phần được trích dẫn từ cuốn sách

“The first course in the Finite Element Method” của Dary [1]. Các bạn cũng có thể

tham khảo tài liệu về FEM của PGS. TS. Nguyễn Hoài Sơn [2, 3].

1.3.3 Các bước tổng quát trong FEM

Trong phần này, chúng tôi xin trình này những bước tổng quát liên quan

đến lập công thức và lời giải của FEM trong những vấn đề kỹ thuật. Chúng tôi sử

dụng những bước này để phát triển lời giải của FEM cho những bài toán trong môn

học này gồm: bài toán lò xo, bài toán thanh kéo nén, và bài toán dầm.

Để dễ hiểu, chúng tôi sẽ sử dụng bài toán kết cấu để trình diễn những bước

trong FEM. Điển hình như vấn đề phân tích ứng suất trong kết cấu, người kỹ sư

cần xác định chuyển vị và ứng suất trong kết cấu ở trạng thái cân bằng khi chịu tải

trọng. Đối với nhiều cấu trúc, khó để xác định sự phân bố biến dạng bằng những

phương pháp truyền thống. Vì vậy, FEM là cần thiết được sử dụng trong trường

hợp này.

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  7

Có hai cách tiếp cận liên quan đến FEM khi áp dụng cho những vấn đề cơ

kết cấu (structural mechanics problem). Cách tiếp cận thứ nhất, được gọi là phương

pháp lực (force method) hay phương pháp đàn hồi (flexibility method), sử dụng

lực bên trong như những đại lượng chưa biết của vấn đề. Để đạt được phương trình

chủ đạo (governing equations), phương trình cân bằng (equilibrium equations)

được sử dụng trước. Những phương trình cần thiết thêm vào được tìm ra bằng cách

xem xét những phương trình tương thích (coimpatibility equations). Kết quả là một

hệ phương trình cho việc xác định những phản lực và lực chưa biết.

Cách tiếp cận thứ hai, gọi là phương pháp chuyển vị (displacement method)

hay phương pháp độ cứng (stiffness method), giả sử chuyển vị ở các nút là những

đại lượng chưa biết của vấn đề. Trong cách tiếp cận này yêu cầu những phần tử

được liên kết tại những nút chung, dọc trên cạnh chung, hoặc nằm trên bề mặt

chung, phải được giữ liên kết này trước và sau khi biến dạng. Nói một cách khác,

điều kiện tương thích phải được thỏa mãn ngay từ đầu trong cách tiếp cận này. Sau

đó, phương trình chủ đạo được sử dụng để diễn tả trong những đại lượng chuyển

vị nút. Việc diễn tả này sử dụng phương trình cân bằng và một số qui luật liên quan

giữa lực và chuyển vị.

Hai cách tiếp cận này cho ra kết quả của những đại lượng chưa biết khác

nhau. Trong cách tiếp cận một, đại lượng chưa biết là lực bên trong kết cấu và

trong cách tiếp cận thứ hai đó là chuyển vị tại các nút phần tử. Nhiều nghiên cứu

đã chứng minh rằng, đối với mục đích tính toán, phương pháp chuyển vị mong đợi

nhiều hơn vì công thức của nó đơn giản trong hầu hết các vấn đề phân tích kết cấu.

Do đó, hầu hết các chương trình (phần mềm) như COMSOL, ANSYS,

ABACUS… đã xây dựng dựa trên phương pháp chuyển vị để giải những vấn đề

phân tích kết cấu. Vì vậy, trong tài liệu này, chúng tôi chỉ giới thiệu FEM theo

phương pháp chuyển vị.

Bên cạnh hai phương pháp trên, một phương pháp khác được sử dụng để

thiết lập công thức FEM cho cả những vấn đề cấu trúc và không cấu trúc. Đó là

phương pháp biến phân (variational method). Phương pháp này cũng sẽ được giới

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  8

thiệu một các ngắn gọn trong tài liệu này để giải quyết những bài toán lực mặt và

lực khối trong các vấn đề kết cấu cơ khí ở Chương 3.

Trong một cách tổng quát, FEM liên quan đến mô hình hóa kết cấu bằng

việc sử dụng những phần tử được liên kết bên trong với nhau, được gọi là phần tử

hữu hạn (finite element). Một hàm chuyển vị liên quan đến mỗi phần tử. Mỗi phần

tử được liên kết bên trong này liên kết trực tiếp hoặc gián tiếp đến những phần tử

khác thông qua những phân giới chung bao gồm những nút, đường biên, hoặc mặt

biên. Bằng cách sử dụng những đặc tính biến dạng-ứng suất đã biết đối với vật liệu

của kết cấu, chúng ta có thể xác định đặc tính của một nút trong mối quan hệ với

tính chất của phần tử trong cấu trúc. Hệ phương trình toàn cục mô tả đặc tính của

mỗi nút là kết quả trong một hệ phương trình đại số (set of algegraic equation). Hệ

phương trình đại số này thường được diễn tả trong dạng ma trận.

Từ những nội dụng trình bày ở trên, sau đây chúng tôi trình bày những bước

trong xây dựng công thức và giải quyết một vấn đề kết cấu bằng phương pháp phần

tử hữu hạn như sau:

Bước 1: Chọn phần tử và rời rạc miền tính toán

Bước này liên quan đến việc chia nhỏ miền tính toán thành một hệ phần tử

tương đương với số lượng hữu hạn. Loại phần tử phải được chọn sao cho hợp lý

cho từng vấn đề cụ thể. Tổng số phần tử được sử dụng và sự biến đổi của chúng

trong kích thước và loại phần tử là những vấn đề lớn trong trong phân tích kĩ thuật

bằng FEM. Phần tử phải đủ nhỏ để cho kết quả đủ chính xác và không quá lớn đủ

để giảm chi phí tính toán. Nói chúng, những phần tử nhỏ được sử dụng ở những vị

trí mà kết quả thay đổi nhanh, ví dụ như tại nơi hình học của miền tính toán thay

đổi, phần tử có kích thước lớn có thể sử dụng ở những vị trí mà kết quả thay đổi

ít.

Chọn loại phần tử sử dụng trong FEM phụ thuộc vào tính chất vật lý và phải

phù hợp với vấn đề đang xem xét. Những loại phần tử thông dụng được sử dụng

trong FEM được thể hiện ở Hình 1.3. Chúng bao gồm phần tử 1 chiều, 2 chiều, và

3 chiều với loại tuyến tính và loại bậc cao.

(a) Phần tử thanh 1 chiều: phần tử tuyến tính 2 nút (hình trái) và phần tử bậc cao 3 nút

(hình phải)

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  9

chiều: bài toán biến dạng phẳng và bài toán ứng suất phẳng): phần tử tam giác

(triangulars) và phần tử tứ giác (quadrilaterals)

(b) Các loại phần tử hai chiều (thường sử dụng trong những vấn đề phân tích kết cấu 2

chiều) gồm: Phần tử tứ diện (Tetrahedral), Phần tử lục diện đều (regular hexahedral), và

phần tử lục diện không đều (irregular hexahedral)

(d) Phần tử đối xứng trục được sử dụng trong những vấn đề đối xứng trục

Hình 1.3 Những loại phần tử khác nhau từ phần tử bậc thấp nhất với nút ở góc đến

những phần tử bậc cao với những nút ở góc và bên trong.

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  10

Bước 2: Chọn hàm chuyển vị

Bước 2 liên quan đến chọn một hàm chuyển vị bên trong mỗi phần tử. Hàm

chuyển vị được định nghĩa bên trong phần tử sử dụng giá trị tại các nút của phần

tử. Đa thức tuyến tính, bậc 2, bậc 3 thường được sử dụng do chúng dễ cho việc xây

dựng công thức FEM. Ngoài ra, hàm lượng giác cũng có thể sử dụng. Đối với phần

tử 2 chiều, hàm chuyển vị là hàm của hệ tọa độ trong mặt phẳng của nó (thường là

mặt x-y). Những hàm này được mô tả trong những đại lượng chưa biết tại nút phần

tử. Hàm chuyển vị tổng quát giống nhau có thể được sử dụng lặp đi lặp lại cho mỗi

phần tử. FEM là một phương pháp mà trong phương pháp này, một đại lượng liên

tục, như là đại lượng chuyển vị trong miền tính toán, được xấp xỉ bởi một mô hình

rời rạc được kết hợp bởi một hệ các hàm liên tục từng đoạn (picewise-continuous

functions). Hệ hàm liên tục từng đoạn này được định nghĩa bên trong mỗi phần tử

hoặc một số hữu hạn phần tử.

Bước 3: Định nghĩa mối quan hệ biến dạng-chuyển vị và ứng suất-biến dạng

Những quan hệ biến dạng-chuyển vị và ứng suất-biến dạng là cần thiết để

xây dựng phương trình cho mỗi phần tử. Trong trường hợp biến dạng 1 chiều,

chẳng hạn biến dạng trong hướng x, chúng ta có mối quan hệ ứng suất-chuyển vị

trong trường hợp biến dạng nhỏ như sau:

(1.1)

Hơn nữa, ứng suất liên quan đến biến dạng thông qua qui luật ứng suất-biến

dạng, hay gọi là qui luật cấu thành (constitutive law). Quan hệ ứng suất-biến dạng

đơn giản nhất là qui luật Hook được cho như sau:

(1.2)

trong đó, x là ứng suất trong hướng x và E là modul đàn hồi.

Bước 4: Xây dựng ma trận độ cứng phần tử (Element Stiffness Matrix) và

phương trình phần tử (Element Equation)

Việc xây dựng ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử được xây

dựng bằng nhiều cách khác nhau như:

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  11

Phương pháp độ cứng trực tiếp (hay phương pháp cân bằng trực tiếp): trong

phương pháp này, ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử liên quan giữa

lực nút và chuyển vị nút được thiết lập thông qua việc sử dụng những điều kiện

cân bằng cho một phần tử cơ bản. Phương pháp này rất phù hợp cho những phần

tử thanh 1 chiều. Phương pháp này sẽ được trình bày chi tiết trong những chương

tiếp theo.

Phương pháp năng lượng hoặc công (Work and Engergy Methods): trong

phương pháp này, ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử được xây dựng

dựa trên nguyên lý công ảo (the principle of virtual work), nguyên lý cực tiểu hóa

năng lượng thế năng (the principl of minimum potential engergy), hay lý thuyết

Castigliano…

Phương pháp dư thừa trọng số (Methods of Weighted Residuals): những phương

pháp này rất hữu ích trong việc pháp triển những phương trình phần tử, đặc biệt,

thông dụng là phương pháp Galerkin. Điểm mạnh của phương pháp dư thừa trọng

số là cho phép FEM được ứng dụng trực tiếp đến bất kỳ phương trình vi phân nào.

Sử dụng một trong những phương pháp được liệt kê ở trên, phương trình

phần tử mô tả đặc tính của một phần tử có thể đạt được. Những phương trình này

được viết ở dạng ma trân như sau:

(1.3)

Hoặc ghi trong dạng ma trận rút gọn:

(1.4)

trong đó, {f}tơ là véc tơ lực nút, [k] là ma trận độ cứng phần tử, và {d} là véc tơ

chuyển vị nút chưa biết hay còn gọi là bậc tự do chưa xác định (unknown degrees

of freedom). Ở đây, đối với một vấn đề cơ học kết cấu nào đó, véc tơ chuyển vị

bao gồm những đại lượng cần xác định như: chuyển vị, độ võng và góc xoay….

Bước 5: Lắp ghép ma trận phần tử thành ma trận toàn cục và đưa vào những

điều kiện biên.

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  12

Trong bước này, những phương trình phần tử độc lập được tạo ra trong

Bước 4 được lắp ghép vào trong phương trình toàn cục tương đương. Việc lắp ghép

này thường được thực hiện dựa vào nguyên lý chồng chất hay còn gọi là nguyên

lý cộng dồn. Ma trận toàn cục sau khi được lắp ghép có dạng ma trận như sau:

(1.5)

trong đó, {F} là véc tơ lực toàn cục, [K] là ma trận độ cứng toàn cục (đối với hầu

hết các vấn đề, ma trận độ đứng toàn cục là ma trận vuông và đối xứng), và {d}cj

bây giờ là véc tơ chuyển vị chứa các giá trị chưa biết và đã biết trong kết cấu. Điều

này cho thấy rằng ở thời điểm này (thời điểm chưa đưa vào phương trình toàn cục

những điều kiện biên của vấn đề), ma trận [K] bị suy biến vì định thức của nó bằng

không. Để loại bỏ vấn đề suy biến này, chúng ta phải “khẩn cầu” những điều kiện

biên nào đó (hoặc những ràng buộc hoặc những liên kết ngoài). Khi đó, phải chú

ý rằng, việc “khẩn cầu” các điều kiện biên của kết cấu sẽ dẫn đến sử thay đổi trong

phương trình toàn cục (1.5). Chúng tôi cũng nhấn mạnh rằng những lực tải trọng

đã biết áp trên kết cấu cũng đã được đưa vào trong véc tơ tải toàn cục {F}.

Bước 6: Giải và tìm giá trị cho những bậc tự do chưa biết trong trong véc tơ

chuyển vị {d}

Hệ phương trình (1.5), đã hiệu chỉnh khi đưa các điều kiện biên vào, là một

hệ phương trình đại số có dạng như sau:

(1.6)

Ở đây, n là tổng số bậc tự do nút chưa biết. Hệ phương trình này có thể giải

bằng những phương pháp chính xác như: phương pháp lược bỏ (ví dụ như: phương

pháp Gauss) hoặc những phương pháp lặp (phương pháp gần đúng, ví dụ như:

phương pháp Gauss-Seidel, Phương pháp Newton-Raphson).

Bước 7: Xác định các đại lượng khác trong phần tử

Đối với vấn đề phân tích ứng suất của kết cấu, đại lượng quan trọng thứ hai

sau chuyển vị là ứng suất và biến dạng. Những đại lượng này trong phần tử có thể

đạt được bằng cách sử dụng những biểu thức mối quan hệ biến dạng-chuyển vị và

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  13

ứng suất-biến dạng được định nghĩa trong Bước 3 và giá trị chuyển vị được xác

định trong Bước 6.

Bước 8: Điều tra kết quả

Mục tiêu trong phân tích kết cấu là xem xét, điều ra quá trình ứng xử của

kết cấu dưới tác dụng của tải trọng. Vì vậy, dựa vào kết quả từ Bước 6 và Bước 7,

chúng ta có thể xác định được vị trí trong kết cấu nơi xuất hiện biến dạng và ứng

xuất lớn nhất. Việc xác định này là rất quan trọng để đưa ra những quyết định trong

phân tích và thiết kế.

Bên cạnh đó, những chương trình được xây dựng trên FEM sẽ thể hiện

những kết quả này ở dạng đồ họa trực quan. Việc này rất hữu ích cho chúng ta

trong việc điều ra và phân tích kết quả.

1.3.4 Ứng dụng của FEM

FEM có thể được sử dụng để phân tích cả những vấn đề cấu trúc và phi cấu

trúc.

Những lĩnh vực trong cơ kết cấu như:

 Phân tích ứng suất trên những vấn đề khung dầm như: cầu, khung

nhà cao tầng, các tòa tháp…

 Phân tích các hệ thanh như cột, khung, giàn

 Phân tích dao động

 Những vấn đề liên quan đến va đập như: phân tích tai nạn oto, các

vật thể va vào nhau…

Những vấn đề phi cấu trúc như:

 Truyền nhiệt như: chip điện tử, động cơ, cánh tản nhiệt…

 Cơ chất lỏng như: động lực học xe, chuyển động dòng chảy, sự tự

đối lưu…

 Phân bố trường điện từ như: anten, transistor….

Một số vấn đề kỹ thuật cơ sinh học cũng được giải quyết bằng FM như:

phân tích cột sống, hộp sọ, khớp hông, cấy ghép răng, xương hàm tim và mắt….

Một số mô hình phần tử sử dụng FEM được thể hiện trong Hình 4.

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  14

(b) Mô hình phần tử 2D ở đầu cuối của pistion thủy lực

(a) Mô hình tháp bằng kết cấu khung

(d) Mô hình phần tử 3D của xương khung chậu

Hình 1.4 Các mô hình tính toán bằng FEM

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  15

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính  16

1.3.5 Ưu điểm của FEM

Như đã đề cập trên, FEM được ứng dụng trong một số lượng lớn những vấn

đề cả cấu trúc và phi cấu trúc là do phương pháp này có một số ưu điểm như sau:

 Có thể mô hình dễ dàng những vấn đề có biên dạng phức tạp.

 Thực hiện những điều kiện tải trọng không khó khăn

 Mô hình được nhiều miền tính toán kết hợp nhiều loại vật liệu

khác nhau.

 Thay đổi kích thước phần tử dễ dàng

 Có thể ứng dụng cho những vấn đề phi tuyến do biến dạng lớn và

vật liệu phi tuyến.

1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu một cách khác quát về thiết kế

và tính toán trên máy vi tính bao gồm những khái niệm, sức mạnh và ưu điểm của

việc thiết kế, tính toán, và phân tích những vấn đề vật lý nhờ vào máy tính.

Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày sơ lượt về FEM. Phương pháp được

sử rộng rãi trong các phần mềm phân tích tính toán CAE. Chúng tôi cũng trình bày

8 bước cơ bản trong phân tích FEM. Hơn nữa, những ứng dụng và ưu điểm của

FEM cũng được trình bày trong chương này.

1.5 CÂU HỎI ÔN TẬP

1. FEM là phương pháp gì? Dùng để làm gì?

2. Nghĩa của từ “rời rạc hóa” trong FEM?

3. Liệt kê và trình bày ngắn ngọn những bước (thực hiện) trong FEM?

4. Liệt kê những loại phần tử?

5. Bật tự do (degree of freedom) để chỉ cho cái gì trong phân tích kết cấu?

6. Chỉ ra một số lĩnh vực mà FEM được áp dụng

7. Liệt kê 4 ưu điểm của FEM?

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  17

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG

NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG

Định nghĩa ma trận độ cứng.

Xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử lo xo.

Trình bày cách lắp ghép ma trân độ cứng phần tử vào ma trận độ cứng

toàn cục.

Mô tả và trình bày những loại khác nhau của điều kiện biên liên quan đến

hệ lò xo.

2.1 GIỚI THIỆU

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về

phương pháp độ cứng (stiffness method) trong xây dựng FEM. Bài toán lò xo tuyến

tính được đưa ra bởi vì tính đơn giản của nó để mô tả những khái niệm cơ bản này.

Chúng tôi bắt đầu với những định nghĩa chung của ma trận độ cứng và sau đó xem

xét việc xây dựng ma trận độ cứng cho phân tử lò xo biến dạng tuyến tính. Kế tiếp,

chúng tôi trình bày cách lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục cho một hệ lò xo sử

dụng những khái niệm cơ bản về cân bằng (equilibrium) và tương thích

(compability). Chúng tôi cũng trình bày cách lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục

từ các ma trận độ cứng phần tử lò xo dựa trên nguyên lý chồng chất.

Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày cách áp đặt các điều kiện biên cho cả điều

kiện biên thuần nhất (homogeneous) và điều kiện biên không thuần nhất

(nonhomogeneous). Lời giải bao gồm chuyển vị nút và phản lực cũng được thể

hiện trong chương này.

2.2 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN ĐỘ CỨNG

Hiểu biết về ma trận độ cứng là cần thiết cho việc hiểu về phương pháp độ

cứng. Ma trận độ cứng được định nghĩa như sau: đối với một phần tử, ma trận độ

cứng [k] là một ma trận để:

(2.1)

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  18

trong đó, [k] liên kết véc tơ chuyển vị nút {d} với véc tơ tải {f} của một phần tử, ví

Hình 2.1 Phần từ một lò xo (a), hệ ba lò xo (b)

dụ như lò xo trong Hình 2.1a

Đối với một môi trường liên tục hoặc môi trường kết cấu bao gồm một

chuỗi các phần tử, như hệ lò xo trong Hình 2.1b, ma trận độ cứng [K] liên kết véc

tơ chuyển vị trong hệ tọa độ toàn cục (x, y, z) với véc tơ tải trọng toàn cục {F}

trong toàn miền tính toán để:

(2.2)

khi đó, [K] là ma trận độ cứng của toàn hệ lò xo.

2.3 XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHO PHẦN TỬ LÒ XO

Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng ma trận độ cứng cho một lò xo tuyến tính một

chiều bằng phương pháp cân bằng trực tiếp (direct equilibrium approach). Một lò

xo thỏa mãn định luật Hook và kháng lực chỉ trong một chiều của lò xo thì được

Hình 2.2 Phần từ lo xo tuyến tính với những qui ước lực và chuyển vị dương.

cho là phần tử lò xo tuyến tính một chiều.

Xem xét một phần tử lò xo như Hình 2.2. Những điểm tham chiếu 1 và 2

được đặt ở hai điểm cuối của lò xo. Những điểm tham chiếu này được gọi là nút

của phần tử lò xo. Lực nút cục bộ f1x và f2x của lò xo nằm trong hệ tọa độ cục bộ x.

Chuyển vị nút cục bộ của lò xo là u1 và u2. Những chuyển vị nút này được gọi là

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  19

bậc tự do của mỗi nút. Chiều dương của lực và chuyển vị lại mỗi điểm nút được

xác định theo chiều dương của x. Kí hiệu k được gọi là hệ số lò xo (spring constant)

hoặc độ cứng của lò xo (spring stiffness).

Chúng ta muốn phát triển mối quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút của

phần tử lò xo. Mối quan hệ này sẽ là ma trận độ cứng. Do vậy, chúng ta muốn mối

liên quan giữa véc tơ tải nút và véc tơ chuyển vị nút như sau:

(2.3)

trong đó, những phần tử trong ma trận [k] của phương trình (2.3) là cần xác định.

Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng những bước tổng quát như trình bày

ở Chương 1 trong việc xây dựng và giải bài toán bằng FEM.

Bước 1: Chọn loại phần tử

Đối với vấn đề này, phần tử được chọn là phần tử lò xo tuyến tính. Phần tử

lò xo này chịu một lực kéo T và di chuyển theo hướng x dọc trục lò xo, như Hình

2.3, đến khi cân bằng. Chiều dương của hệ tọa độ cục bộ x hướng từ nút 1 đến nút

2. Chiều dài gốc (chưa tác dụng lực) của lò xo là L và đặc tính vật liệu (hệ số lò

Hình 2.3 Lò xo tuyến tính chịu một lực kéo T

xò) của lò xo là k.

Bước 2: Chọn hàm chuyển vị

Trong bước tiếp theo, chúng ta phải chọn một hàm toán học để trình diễn

dạng biến dạng của phần tử lò xo dưới tải tác dụng. Bởi vì rất khó để đạt được lời

giải chính xác, chúng ta giả sử rằng dạng lời giải hoặc sự phân bố chuyển vị bên

trong phần tử lò xo bằng cách sử dụng một hàm toán học. Hàm thông dụng nhất là

hàm đa thức.

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  20

Bởi vì phần tử lò xo có những bậc tự do nút cục bộ là chuyển vị u1 và u2

dọc theo trục x, chúng ta chọn hàm chuyển vị u để trình diễn chuyển vị theo hướng

trục trong toàn phần tử lò xo. Ở đây, sự biến đổi chuyển vị tuyến tính dọc theo trục

x của lò xo được giả sử. Do hàm tuyến tính đi qua hai điểm cho trước là duy nhất.

Do vậy, chúng ta có:

(2.4)

Trong một cách tổng quát, tổng số hệ số ai bằng với tổng số bậc tự do của

phần tử. Ở đây, tổng số bậc tự do của phần tử lò xo là hai tại hai nút cuối của lò

xo. Ở dạng ma trận, phương trình (2.4) trở thành:

(2.5)

Chúng ta cần biểu diễn u như một hàm của những chuyển vị nút u1 và u2.

Điều này cho phép chúng ta thiết lập trực tiếp những điều kiện biên vật lý lên

những nút chuyển vị, việc này sẽ thực hiện trong Bước 3, và sau đó tạo mối quan

hệ giữa chuyển vị nút và lực tải nút trong Bước 4. Việc biểu diễn u theo u1 và u2

có thể đạt được thông qua việc giải các hệ số a1 và a2 trong phương trình (2.5) như

(2.6)

(2.7)

Từ phương trình (2.6) và (2.7), chúng ta xác định được a2:

(2.8)

Thay a1 và a2 vào trong phương trình (2.4) , chúng ta được:

(2.9)

Trong dạng ma trận, phương trình (2.9) có thể viết lại như sau:

(2.10)

hoặc

(2.11)

với

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  21

(2.12)

Các biểu thức trong phương trình (2.12) được gọi là “hàm dạng (shape

function)”, bởi vì Ni mô tả dạng của hàm chuyển vị được giả định trên toàn miền

của phần tử lò xo. Chúng ta thấy rằng một tính chất đặc biệt của hàm dạng này đó

là: ở bậc tự do thứ i của phần tử, hàm dạng có giá trị là một đơn vị và tất cả các bật

tự do khác của phần tử đó, hàm dạng bằng không. Điều này được thể hiện trong

Hình 2.4 Hàm chuyển vị u (b) của phần tử

lò xo (a), giá trị hàm dạng N1 (c) và N2 (d)

Hình 2.4.

Trong trường hợp này, N1 và N2 là những hàm (dạng) tuyến tính. Chúng có

đặc tính là N1=1 tại nút 1 và N1 = 0 tại nút 2, trong khi, N2=1 tại nút 2 và N2=0 tại

nút 1. Hình 2.4(c) và (d) mô tả hàm dạng trên toàn miền của phần tử lò xo (Hình

2.4(a)). Ta thấy rằng, N1+N2 = 1 tại bất kỳ vì trí nào dọc theo trục x trong miền

của lò xo. Bên cạnh đó, những hàm dạng Ni thường được gọi là hàm nội suy

(interpolation function), bởi vì chúng ta sử dụng những hàm dạng này để nội suy

tìm giá trị của một hàm nào đó giữa những giá trị đã cho tại các nút. Về mặt lý

thuyết, hàm nội suy có thể khác với hàm thực thế, nhưng hàm nội suy và hàm thực

tế phải bằng nhau về giá trị tại những nút đã cho. Điều này nói lên tính xấp xỉ

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  22

“approximation” trong FEM cũng như một số phương pháp số khác, cái mà lời

giải của những phương pháp này luôn luôn có sai số so với kết quả thực tế (chính

xác).

Bước 3: Định nghĩa mối quan hệ biến dạng – chuyển vị và ứng suất – biến

dạng trong phần từ xo lo.

Lực kéo T sinh ra sự biến dạng dài  của lò xo. Sự dãn dài (toàn phần) của

Hình 2.5 Biến dạng của lò xo

lò xo dưới tác dụng của ngoại lực kéo T được thể hiện ở Hình 2.5.

Ở đây, u1 có giá trị âm bởi vì chiều chuyển vị ngược chiều với chiều dương

của trục x, trong khi u2 có giá trị dương. Như vậy, biến dạng của lò xo được mô tả

như sau:

(2.13)

Từ phương trình (2.13), chúng ta thấy rằng tổng biến dạng của lò xo khác

với chuyển vị ở các nút trong phương x.

Đối với lò xo, chúng ta có thể đưa ra mối quan hệ giữa lực (trong hướng lò

xo) và biến dạng. Do vậy, mối quan hệ biến dạng – chuyển vị không cần thiết trong

trường hợp này. Hơn nữa, mối quan hệ giữa ứng suất – biến dạng có thể được mô

tả trong mối quan hệ giữa lực – biến dạng như sau:

(2.14)

Từ phương trình (2.13) và (2.14), chúng ta được mối quan hệ sau:

(2.15)

Bước 4: Xây dựng ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử

Dựa trên qui ước về dấu cho lực tại các nút và trạng thái cân bằng, (xem

Hình 2.2 và Hình 2.3), chúng ta có:

(2.16)

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  23

Sử dụng phương trình (2.15) và (2.16), chúng ta thu được phương trình sau:

(2.17)

Lượt bỏ T, khai triển, và sắp xếp lại các số hạn (các vế) trong phương trình

(2.17), dạng ma trận của nó được viết như sau:

(2.18)

Mối quan hệ này thỏa mãn cho lo xò theo hướng dọc trục của lò xo (hướng

x). Dựa vào định nghĩa cơ bản về ma trận độ cứng được trình bày ở Mục 2.2 và sử

dụng phương trình (2.1), (2.3) và (2.18), chúng ta thu được ma trận độ cứng của

phần tử lò xo tuyến tính như sau:

(2.19)

Ở đây, [k] còn được gọi là ma trận độ cứng cục bộ (local stiffness matrix)

của phần tử. Chúng ta thấy trong phương trình (2.19) rằng, [k] là ma trận đối xứng

(nghĩa là kij=kji) và là ma trận vuông (nghĩa là số hàng của ma trận bằng số cột của

ma trận). Những tính chất đặc biêt của ma trận đối xứng vuông được trình bày chi

tiết trong học phần toán cao cấp hay tài liệu của Kreyszig [4].

Bước 5: Lắp ghép phương trình phần tử vào phương trình toàn cục và đưa

vào các điều kiện biên

Ma trận độ cứng toàn cục [K] và véc tơ tải toàn cục {F} được lắp ghép bởi

sử dụng những phương trình cân bằng lực, phương trình tương thích, và mối quan

hệ lực – biến dạng của lò xo, và bởi sử dụng phương pháp ma trận độ cứng trực

tiếp sẽ được giới thiệu ở Mục 2.4. Bước này áp dụng cho các bài toán có nhiều hơn

1 phần tử để mà:

(2.20)

trong đó, và lần lượt là ma trận độ cứng phần tử và véc tơ tải phần tử

và N là số lượng phần tử lò xo.

Bước 6: Giải để tìm giá trị các chuyển vị nút

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  24

Sau khi áp các điều kiện biên vào bài toán, chuyển vị tại các nút có thể xác

định bởi giải hệ phương trình sau:

(2.21)

Bước 7: Xác định lực phần tử

Cuối cùng, lực phần tử cho từng phần tử lò xo được xác định bằng cách thế

giá trị chuyển vị nút, được xác định từ việc giải hệ phương trình toàn cục (2.21),

vào trong phương trình (2.17) hoặc (2.18).

2.4 LẮP GHÉP MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHO HỆ LÒ XO

2.4.1 Lắp ghép ma trận độ cứng bằng quan hệ lực-biến dạng, quan hệ tương thích, và sự cân bằng lực nút

Những kết cấu như khung giàn, khung nhà, cầu… được tạo từ những thành

phần kết cấu đơn giản liên kết lại với nhau tạo thành kết cấu tổng thể. Để phân tích

những kết cấu này bằng FEM, chúng ta phải xác định ma trân độ cứng toàn cục.

Để dễ hiểu, trước khi xem xét những kết cấu này, chúng ta sẽ xem một kết cấu

gồm hệ lò xo. Hơn nữa, trong phần trước, chúng ta đã xây dựng FEM cho phần tử

lò xo bằng phương pháp ma trân độ cứng. Do các bước trước, chúng ta chỉ xem

xét duy nhất một phần tử lò xo nên Bước 5 (lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục,

phương trình toàn cục và áp điều kiện biên) không thực hiện. Trong phần này,

chúng tôi sẽ trình bày cách xác định ma trận độ cứng toàn cục của hệ lò xo dựa

trên mối quan hệ lực-chuyển vị cùng với những khái niệm cơ bản về sự cân bằng

Hình 2.6 Hệ hai lò xo

và tương thích nút (nodal equilibrium and compability).

Chúng ta xem một ví dụ cụ thể của một hệ gồm hai lò xo ghép nối tiếp như

Hình 2.6. Ví dụ này đủ để mô tả cách tiếp cận cân bằng trực tiếp (direct equilibrium

approach), hay phương pháp ma trận độ cứng để đạt được ma trận độ cứng toàn

cục của hệ lò xo. Trong ví dụ này (Hình 2.6), chúng ta có nút 1 được giữ cố định,

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  25

nút 2 và nút 3 được đặt hai ngoại lực theo chiều dương tương ứng là F2x và F3x. Hệ

tọa độ một chiều toàn cục của hệ là x. Trong ví dụ này, trục x của mỗi phần từ lò

xo trùng với hệ tọa độ x toàn cục.

Đối với phần tử 1, sử dụng phương trình (2.18), chúng ta có:

(2.22)

và tương tự cho phần tử 2

(2.23)

Chú ý rằng, ở đây chúng tôi sử dụng chỉ số trên “(i)” để kí hiệu cho phần

tử thứ i và chỉ số dưới “j” để chỉ cho nút thứ j.

Chúng ta thấy rằng phần tử lò xo 1 và phần tử lò xo 2 luôn được kết nối với

nhau tại nút 3 khi có tải hoặc không tải. Điều này gọi là yêu cầu về tính “liên tục”

hay tính “tương thích” (continuty or compability requirement). Về mặc toán học,

ta có:

(2.24)

Giản đồ lực của vật thể tự do (Free-body force diagram) (là giản đồ lực của

từng thành phần trong một hệ khi tách rời) của mỗi phẩn tử lò xo được thể hiện ở

Hình 2.7 Cân bằng lực tại nút và phần tử

Hình 2.7

Dựa trên giản đồ lực này (Hình 2.7), chúng ta thấy rằng ngoại lực phải cân

bằng với nội lực tại mỗi nút. Vì vậy, chúng ta dễ dàng xác định được phương trình

cân bằng lực tại nút 1, 2, và 3 như sau:

(2.25)

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  26

(2.26)

(2.27)

trong đó, F1x là phản lực tại liên kết ngàm.

Sử dụng các phương trình (2.22) – (2.27), chúng ta thu được:

(2.28)

Dạng ma trận của phương trình (2.28) có thể biểu diễn như sau:

(2.29)

và dạng ma trận rút gọn được viết như sau:

(2.30)

ở đây, {F} được gọi là véc tơ tải nút toàn cục (the global nodal force vector), {d}

được gọi là véc tơ chuyển vị nút toàn cục (the global nodal displacement vector),

và

(2.31)

được gọi là ma trận độ cứng toàn cục (the global or total or system nodal stiffness).

Tóm tại, để thiết lập phương trình độ cứng và ma trận độ cứng cho hệ lò xo,

chúng ta sử dụng mối quan hệ lực – biến dạng (phương trình (2.22) và (2.23)),

quan hệ tương thích (phương trình (2.24)), và phương trình cân bằng lực nút

(phương trình (2.25) - (2.26)). Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu một

phương pháp đơn giản hơn để lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục.

2.4.2 Lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục bằng nguyên lý chồng chất

Trong phần này, chúng ta sẽ thảo luận một phương pháp dễ hơn để xây

dựng ma trận toàn cục. Phương pháp này dựa trên nguyên lý chồng chất hay

nguyên lý cộng dồn của những ma trận độ cứng phần tử riêng lẻ.

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  27

Xem xét hệ hai lò xo như trong Mục 2.4.1, ma trận độ cứng của phần tử 1

và 2 được cho trong phương trình (2.22) và (2.23) như sau:

(2.32)

(2.33)

Trong những phương trình (2.32) và (2.33), chúng ta đã đánh dấu bậc tự do

tương ứng trên các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử. Từ việc này, [K] có

thể xây dựng đơn giản bằng cách thêm và cộng những số hạng trong và

vào vị trí có bậc tự do tương ứng trong [K]. Cụ thể, hàng u1, cột u1 của ma

trận [K] chỉ được phân bố bởi phần tử 1 bởi vì chỉ có phần tử 1 có bậc tự do u1

(phương trình (2.32)), nghĩa là . Hàng u3, cột u3 của ma trận [K] có sự

phân bố từ cả phần tử 1 và 2 bởi vì bậc tự do u3 bao gồm cả phần tử 1 và phần tử

2. Do vậy, . Tương tự cho các hàng, cột khác của [K], chúng ta đạt

được [K] như sau:

(2.34)

Như vậy, chúng tôi vừa giới thiệu đến các bạn hai phương pháp xây dựng

ma trận độ cứng toàn cục. Trong hai phương pháp, phương pháp thứ 2 thường

được áp dung trong việc xây dựng ma trận độ cứng toàn cục cho các bài toán lớn

và trong những phần mềm tính toán vì nó dễ thực hiện do tính hệ thống hóa theo

bậc tự do. Việc xây dựng trực tiếp ma trận độ cứng bằng phương pháp thứ 2 này

còn được gọi là phương pháp độ cứng trực tiếp (the direct stiffness method).

2.5 ĐIỀU KIỆN BIÊN

Chúng ta cần phải chỉ ra những điều kiện biên hoặc liên kết (boundary or

support conditions) cho bài toán (kết cấu) như hệ lò xo ở Hình 2.6. Nếu không, ma

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  28

trận [K] sẽ suy biến. Một cách tổng quát, số điều kiện biên cần thiết để [K] không

bị suy biến phải bằng với số ràng buộc trong kết cấu (the number of rigid body

modes).

Đối với hệ lò xo, điều kiện biên liên quan đến chuyển vị nút. Những điều

kiện biên này có hai loại. Điều kiện biên thuần nhất (homogeneous boundary

conditions). Điều kiện này là phổ biến, tại những vị trí “chống” lại sự duy chuyển

của hệ. Cụ thể, điều kiện biên thuần nhất là điều kiện biên mà chuyển vị tại biên

đó bằng không. Ngược lại, điều kiện biên không thuần nhất (nonhomogeneous

boundary conditions) xuất hiện tại biên mà có chuyển vị đã được cho trước.

Trong ý nghĩa về toán học liên quan đến giải những vấn đề giá trị biên

(boundary value problems), điều kiện biên trong những phương trình vi phân

thường (ordinary differential problems), và phương trình đạo hàm riêng (partial

differential problems) được phân thành 2 loại:

Loại 1: điều kiện biên chính, hay điều kiện biên cần thiết, hay điều kiện

biên Dirichlet (Dirichlet là tên của nhà khoa học Johann Dirichlet (1805-1859)).

Điều kiện biên này là những giá trị cho (biết) trước của lời giải, như là chuyển vị

và phải thỏa mãn trên biên của miền tính toán.

Loại 2: điều kiện biên tự nhiên hoặc điều kiện biên Neumann (Neumann là

tên của nhà khoa học Carl Neumann (1832 – 1925)). Điều kiện biên này là biết

được giá trị của đạo hàm của lời giải và phải thỏa mãn trên biên của miền tính toán.

2.5.1 Điều kiện biên thuần nhất

Đối với điều kiện biên thuần nhất, biết giá trị chuyển vị bằng không tại biên

(nút). Trong trường hợp hệ hai lò xo như Hình 2.6, ta thấy nút 1 bị ngàm cố định,

tức là u1=0. Khi đó, phương tình toàn cục (2.29) có thể viết lại như sau:

(2.35)

Về mặc toán học, để giải phương trình (2.35), chúng ta lượt bỏ hàng tương

ứng với nút trùng với điều kiện biên thuần nhất cho cả {d}, và {f}. Đối với [K],

chúng ta lượt bỏ cả cột và hàng tương ứng. Như vây, đối với phương trình (2.35),

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  29

chúng ta lượt bỏ hàng 1 của {d}, và {f}, tiếp theo, lượt hàng 1 cột 1 của [K]. Như

vậy, chúng ta thu được:

(2.36)

Cuối cùng, với k1, k2, F2x và F3x đã biết, chúng ta có thể giải phương trình

(2.36) bằng phương pháp lượt bỏ Gauss. Đối với những vấn đề lớn, số biến có thể

hàng vạn và hàng triệu. Khi đó, việc sử dụng các phương pháp gần đúng, như:

Newton Raphson, Conjugate Gradient…, để giải hệ phương trình sẽ hiệu quả hơn.

Mặt khác, những phương pháp gần đúng có thể giải những hệ phương trình phi

tuyến (đối với những vấn đề phi tuyến, việc xây dựng FEM sẽ đưa đến một hệ phi

tuyến).

Sau khi tìm được giá trị các chuyển vị nút, chúng ta có thể tìm được các

phản lực F1x và các phản lực phần tử fix

Hình 2.8 Hệ hai lò xo với chuyển vị cho trước tại nút 1

2.5.2 Điều kiện biên không thuần nhất

Bây giờ, chúng ta xem xét điều kiện biên không thuần nhất. Ở đây, một

hoặc nhiều chuyển vị nút được cho trước với giá trị khác không. Để dễ hiểu, chúng

ta giả sử rằng u1= trong hệ 2 lò xo như Hình 2.8, trong đó,  là chuyển vị cho

trước. Như vậy, phương trình toàn cục (2.29) được viết như sau:

(2.37)

Về mặt toán học, chúng ta không thể lượt bỏ hàng và cột tương ứng với nút

chuyển vị trùng với điều kiện biên không thuần nhất. Vì như thế, số hạng  sẽ bị

lượt bỏ trong phương trình (2.37). Dẫn đến lời giải của phương trình (2.37) không

đúng. Đối với điều kiện biên không thuần nhất này, chúng ta chỉ bỏ hàng tương

ứng trong {F}, và [K]. Khi đó, chúng ta được:

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  30

(2.38)

Sau đó, chúng ta chuyển các số hạng trong ma trận [K] nhân với  sang vào

vị trí hàng tương ứng trong véc tơ tải {F} (xin nhớ rằng khi chuyển vế chúng ta

cần phải đổi dấu của số hạng), trong trường hợp này là “0” chuyển vào hàng 1

của {F} và “-k1” vào hàng 2 của {F}. Chúng ta được:

(2.39)

hay

(2.40)

Giải phương trình (2.40), chúng ta tìm được giá trị chuyển vị của các nút

còn lại. Sau đó, chúng ta tìm được các phản lực F1x và các phản lực phần tử fix

2.6 MỘT SỐ VÍ DỤ

2.6.1 Ví dụ 1

Cho một hệ gồm 3 lò xo như Hình 2.9. Hãy: (a) xác định ma trận độ cứng

toàn cục, (b) tìm chuyển vị tại nút 3 và 4, (c) tính phản lực tại nút 1 và 2. Biết rằng,

Hình 2.9 Hệ gồm 3 lò xo cho ví dụ 1

một lực P=5000lb được đặt tại nút 4 cùng chiều của trục toa độ x.

LỜI GIẢI

(a) Chúng ta sử dụng phương trình (2.19) để xây dựng ma trận độ cứng phần tử

như sau:

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  31

(2.41)

Sử dụng nguyên lý chồng chất (hay còn gọi là phương pháp ma trận trực

tiếp), chúng ta đạt được ma trận toàn cục như sau:

(2.42)

(b) Ma trận độ cứng trong phương trình (2.42) quan hệ với lực toàn cục và chuyển

vị toàn cục như sau:

(2.43)

Tiếp theo, chúng ta xem xét điều kiện của bài toán. Chúng ta thầy rằng liên

kết ngàm tại nút 1 và 2. Như vậy, chúng ta có hai điều kiện biên thuần nhất tại nút

1 và 2. Nghĩa là, . Đồng thời, chúng ta cũng áp ngoại lực tác động vào

hệ lò xo tại nút 4. Lượt bỏ hàng và cột trong ma trận độ cứng toàn cục và hàng

trong véc tơ tải và véc tơ chuyển vị. Cuối cùng, chúng ta được:

(2.44)

Giải phương trình (2.44), chúng ta thu được chuyển vị tại nút 3 và 4 như

in in (2.45)

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  32

(2.46)

Nhân ma trận độ cứng toàn cục với véc tơ chuyển vị toàn cục, chúng ta thu

được lực toàn cục tại nút:

lb (2.47)

Chúng ta thấy rằng, tổng phản lực F1x và F2x có cường độ bằng nhau nhưng

ngược hướng với lực tác dụng tại nút F4x. Kết quả này xác nhận rằng sự cân bằng

lực của hệ lò xo trên.

(d) Tiếp theo chúng ta sẽ tìm lực trong mỗi phần tử. Chúng ta sử dụng phương

trình (2.18) để tính lực phần tử.

Phần tử 1

lb (2.48)

Sơ đồ lực của phần tử lò xo 1 được hể hiện Hình 2.10(a). Lò xo chịu lực

kéo với giá trị trong phương trình (2.48). cân bằng với phản lực toàn cục tại

nút 1 với giá trị trong phương trình (2.47). Sơ đồ lực của nút 1 cũng được thể hiện

Hình 2.10 (a) Sơ đồ lực phần tử 1 và (b) là sơ đồ lực tại nút 1

ở Hình 2.10(b)

Phần tử 2

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  33

lb (2.49)

Hình 2.11 Sơ đồ lực phần tử 2

Sơ đồ lực phần tử 2 được thể hiện ở Hình 2.11.

Phần tử 3

lb (2.50)

Sơ đồ lực phần tử 3 được thể hiện ở Hình 2.12(a). Như Hình 2.12(a), chúng

ta thấy rằng lò xo bị nén với giá trị được cho ở phương trình (2.50). cân bằng

với phản lực F2x tại nút 2, với giá trị trong phương trình (4.47). Sơ đồ lực tại nút 2

Hình 2.12 (a) Sơ đồ lực phần tử 3 và (b) Sơ đồ lực tại nút 2.

cũng được thể hiện ở Hình 2.12(b).

2.6.2 Ví dụ 2

Một hệ lò xo như Hình 2.10. Nút 1 được ngàm cố định trong khi nút 5 được

trước giá trị chuyển vị =20mm. Độ cứng lò xo là k=200kN/m. (a) xác định ma

trận độ cứng toàn cục, (b) chuyển vị tại nút 2 và 4, (c) lực nút toàn cục, và (d) lực

Hình 2.13 Hệ lò xo cho ví dụ 2

phần tử.

LỜI GIẢI

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  34

(a) Sử dụng phương trình (2.19), chúng ta thu được ma trận độ cứng như sau:

(2.51)

Sử dụng phương pháp độ cứng trực tiếp (nguyên lý chồng chất), chúng ta

đạt ma trận độ cứng toàn cục:

(2.52)

(b) Ma trận độ cứng quan hệ với véc tơ tải toàn cục và véc tơ chuyển vị toàn cục

như sau:

(2.53)

Trong ví dụ này, chúng ta thấy rằng có hai điều kiện biên. Điều kiện biên

thuần nhất là nút 1 ( ) và điều kiện biên không thuần nhất tại nút 5 (

). Đưa ngoại lực tác dụng tại các nút vào phương trình (2.53),

chúng ta đạt:

(2.54)

Đối với điều kiện biên thuần nhất tại nút 1 chúng ta bỏ hàng 1 cột 1 trong

ma trận [K] và hàng 1 trong {F} và {d}. Đối với điều kiện biên không thuần nhất

tại nút 5 chúng ta chỉ bỏ hàng 5 trong [K] và hàng 5 trong {F}. Phương trình tương

ứng với (2.53) sau khi áp điều kiện biên:

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  35

(2.55)

Sắp xếp lại phương trình (2.55), chúng ta đạt:

(2.56)

Giải phương trình (2.56), chúng ta thu được:

(2.57)

lực nút toàn cục:

(2.58)

Giá trị từ biểu thức (2.58) nhận định rằng ngoại lực F1x ngược chiều với

ngoại lực tại nút F5x, cái mà cần để dịch chuyển nút 5 một khoảng =20mm. Những

kết quả này chứng thực sự cân bằng của hệ lò xo trong ví dụ 2.

Chú ý rằng, nếu chuyển vị tại một nút là cho trước như trong ví dụ 2 thì lực

tại nút đó là chưa biết trước. Lực tại nút đó được xác định sau khi giải véc tơ

chuyển vị nút.

(d) Tiếp theo, chúng ta sử dụng phương trình (2.18) để tính lực phần tử:

Phần tử 1

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  36

N (2.59)

Phần tử 2

N (2.60)

Phần tử 3

N (2.61)

Phần tử 4

N (2.62)

2.7 TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 2

Sau đây, chúng tôi xin tóm tắt một số công thức quan trọng trong chương

Định nghĩa ma trân độ cứng phần tử lò xo:

(2.1)

Định nghĩa ma trận độ cứng toàn cục:

(2.2)

Hàm chuyển vị được giả sử cho phần tử lò xo tuyến tính:

(2.4)

Hàm dạng cho phần tử lò xo tuyến tính:

(2.12)

Phương trình ma trận cơ bản liên quan giữa lực nút và chuyển vị nút đối

phần tử lò xo:

(2.18)

Ma trận độ cứng cho phần tử lò xo tuyến tính:

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  37

(2.19)

2.8 BÀI TẬP

Bài tập 1

(a) Xác định ma trận độ cứng [K] đối với hệ lò so trong Hình B2.1.

(b) Nếu nút 1 và 2 được ngàm cố dịnh và lực P được áp tại nút 4 theo hướng

của trục x. Tìm biểu thức chuyển vị của nút 3 và 4.

Hình 2B.1

Bài tập 2

(a) Xác định ma trận độ cứng [K] trong Hình B2.2

(b) Xác định dịch chuyển nút 2 và 3

Hình B2.2

Bài tập 3

Giải vấn đề trong Bài tập 2 với P=0 và nút 5 biết trước chuyển vị  với Hình

Hình B2.3

B2.3

Bài tập 4

Xác định chuyển vị nút, lực trên mỗi phần tử và phản lực tại liên kết ngoài

của những vấn đề sau:

Hình B2.4(a)

Hình B2.4(b)

Hình B2.4(c)

Hình B2.4(d)

Hình B2.4(e)

Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng  38

Chương 3: Bài toán khung dàn

 39

Chương 3

BÀI TOÁN KHUNG GIÀN

NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG

Xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử thanh (bar element).

Mô tả cách giải hệ thanh bằng phương pháp độ cứng.

Trình bày những khái niệm về chuyển đổi hệ tọa độ.

Xây dựng ma trận độ cứng cho một thanh theo hướng bất kỳ

Tính toán ứng suất trong phần tử thanh.

Xây dựng phương trình phần tử thanh bằng phương pháp thế năng.

Xây dựng phương trình phần tử thanh bằng phương pháp Galerkin.

3.1 GIỚI THIỆU

Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử

thanh biến dạng tuyến tính (linear-elastic bar/truss element) trong những bước như

được trình bày ở Chương 2. Chúng tôi cũng trình bày cách chuyển tử phương trình

phần tử trong tọa độ cục bộ (local coordinate) sang phương trình phần tử trong tọa

độ toàn cục (global coordinate).

Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày cách xây dựng phương trình phần tử

thanh dựa trên nguyên lý cực tiểu hóa năng lượng thế năng (principle of minimum

potential engergy) và phương pháp dư thừa trọng số Galerkin.

3.2 THIẾT LẬP MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ THANH TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỤC BỘ

Trước hết, chúng ta xây dựng phương trình đặc tính (biến dạng) của thanh.

Xét một phần tử thanh tuyến tính như Hình 3.1 Với tiết diện không đổi. Thanh chịu

Hình 3.1 Phần tử thanh với lực kéo T

một lực kéo T trực tiếp dọc theo trục của thanh và được đặt tại nút 1 và 2.

Chương 3: Bài toán khung dàn

 40

Từ định luật Hooke, chúng ta có mối quan hệ biến dạng – chuyển vị và ứng

suất – biến dạng như sau:

(3.1)

Từ sự cân bằng lực, chúng ta có:

(3.2)

Như vậy, phương trình thể hiện đặc tính biến dạng của thanh có thể viết như

(3.3)

Tiếp theo, chúng ta xây dựng ma trận độ cứng phần tử thanh, chúng ta có

một số giả thuyết sau:

- Thanh không chịu lực cắt và mô men uốn. Nghĩa là fiy=mi=0.

- Bất kỳ chuyển vị ngang điều được bỏ qua.

- Biến dạng của thanh theo định luật Hooke.

- Không có lực bên trong.

Các bước xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử thanh và các bước giải bài

toán thanh bằng FEM giống như phần tử lò xo trong Chương 2. Chỉ có khác biệt ở

đây là chúng ta thay độ cứng lò xo k bằng AE/L. Trong đó A là tiết diện của thanh,

E là Môđun đàn hồi và L là chiều dài của phần tử thanh.

Như vậy, ma trận độ cứng của phần tử thanh trong hệ tọa độ cục bộ được

viết như sau:

(3.4)

và phương trình phần tử thanh có dạng:

(3.5)

Chương 3: Bài toán khung dàn

 41

3.3 VÍ DỤ BÀI TOÁN THANH

Sau đây, chúng ta đi giải một bài toán thanh bằng FEM để thấy rằng cách

giải quyết bài toán thanh giống như giải quyết bài toán lò xo.

Xét một hệ thanh như Hình 3.2. (a) xác định ma trận độ cứng phần tử, (b)

chuyển vị tại nút 2, 3 và (d) phản lực tại nút 1 và 4. Biết L=30in, phần tử 1 và có

E=30.106psi và A =1in2. Phần tử 3 là E=15.106psi và A=2in2. Nút 1 và 4 được

Hình 3.2 Hệ thanh với 3 phần tử thanh

ngàm.

LỜI GIẢI:

(a) Sử dụng phương trình (3.4), chúng ta tìm được ma trận độ cứng phần tử thanh

như sau:

(3.6)

và

(3.7)

Ở đây, chúng ta thấy rằng, hệ thanh gồm ba phần tử với bốn bậc tự do (four

degrees of freedom). Như vậy, ma trận độ cứng toàn cục là ma trận vuông 4x4. Sử

dụng phương pháp độ cứng trực tiếp (nguyên lý chồng chất), chúng ta đạt được ma

trận độ cứng toàn cục như sau:

(3.8)

Như vậy, phương trình toàn cục thể hiện mối quan hệ giữa ngoại lực và

chuyển vị là:

Chương 3: Bài toán khung dàn

 42

(3.9)

Ta thấy rằng, hai đầu của hệ thanh (Hình 3.2) được ngàm cố định, do vậy

ta có các điều kiện thuần nhất tại nút 1 và 4(các điều kiện biên này còn được gọi

điều kiện biên loại 1 (hay còn gọi là điều kiện biên chính (primary conditions) hay

điều kiện biên Dirichlet). Nghĩa là:

(3.10)

Thay điều kiện biên trong phương trình (3.10) và áp ngoại lực tại nút 3 vào

véc tơ tải. Sử dụng qui luật lược bỏ hệ phương trình cho điều kiện biên thuần nhất.

Chúng có đạt được phương trình:

(3.11)

Giải phương trình (3.11), ta thu được chuyển vị u2 và u3 cuối cùng ta có véc

tơ chuyển vị như sau:

(3.12)

Thay véc tơ chuyển vị {d} ở phương trình (3.12) vào phương trình (3.9),

chúng ta xác định được ngoại lực và phản lực tại các nút như sau:

(3.13)

Kết quả trong biểu thức (3.13) thể hiện rằng phản lực tại nút 1 và nút 2

ngược chiều dương. Trong khi, ngoại lực tại nút 2 chính bằng giá trị đã cho

(3000lb) và ngoại lực tại nút 3 bằng không.

Hơn nữa, chúng ta có thể sử dụng các giá trị chuyển vị trong ma trận {d}

tương ứng cho từng phần tử và thay vào trong phương trình phần tử (phương trình

(3.5)) để tính toán lực nút phần tử. Bên cạnh đó chúng ta có thể tính toán chuyển

vị ở bất cứ điểm nào trên phần tử nào đó bởi phương trình (2.10).

Chương 3: Bài toán khung dàn

 43

3.4 CHUYỂN VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ 2 CHIỀU

Trong nhiều vấn đề, chúng ta cần thể hiện cả trong hệ tọa độ cục bộ

(local coordinate) và hệ tọa độ toàn cục (global coordiante). Hệ tọa độ cục

bộ thường được chọn để trình diễn cho phần tử riêng lẻ (individual element). Trong

Hình 3.3 Vec tơ chuyển vị d trong hai hệ tọa độ

khi đó, hệ tọa độ toàn cục được chọn cho toàn kết cấu (whole structure).

Bây giờ, chúng ta sẽ đi xây dựng mối quan hệ của những thành phần chuyển

vị trong hệ tọa độ toàn cục với thành phần chuyển vị trong hệ tọa độ cục bộ. Để

làm điều này, chúng ta sẽ xây dựng ma trận biến đổi (transformation matrix). Sau

đó, sử dụng ma trận này để phát triển ma trận độ cứng toàn cục cho một phần tử

Hình 3.4 Mối quan hệ giữa hai hệ tọa độ

thanh. Trước hết, chúng ta xét một vec tơ d như Hình 3.3.

Chương 3: Bài toán khung dàn

 44

Chúng ta có thể trình diễn chuyển vị của véc tơ d trong cả hai hệ tọa độ như

(3.14)

trong đó, i và j là véc tơ đơn vị trong hệ tọa độ toàn cục x và y tương ứng; và và

là véc tơ đơn vị trong hệ tọa độ cục bộ và tương ứng. Bây giờ, chúng ta

tìm mối quan hệ giữa i và j với và thông quan Hình 3.4.

Từ Hình 3.4 và quy tắc cộng véc tơ, chúng ta có:

(3.15)

Chúng ta cũng có:

(3.16)

Bởi vì, véc tơ đơn vị i có độ lớn là một đơn vị. Do vậy, ta có:

(3.17)

Tương tự:

(3.18)

Từ Hình 3.4, chúng ta thấy a cùng hướng với và b trong hướng . Do

vậy:

(3.19)

Sử dụng phương trình (3.15) và (3.19), chúng ta có:

(3.20)

Tương tự, chúng ta cũng có:

(3.21)

Thay phương trình (3.20) và (3.21) vào trong phương trình (3.14), chúng

ta có mối quan hệ sau:

(3.22)

Kết hợp với số hạng theo các véc tơ đơn vị và , chúng ta có:

Chương 3: Bài toán khung dàn

 45

(3.23)

Trong dạng ma trận:

(3.24)

trong đó, và .

Phương trình (3.24) thể hiện mối quan hệ của ma trận chuyển vị toàn cục

với ma trận chuyện vị cục bộ . Hay:

(3.25)

trong đó,

(3.26)

Ma trận [T] gọi là ma trận biến đổi (transformation matrix) hay còn gọi là

ma trận xoay (rotation matrix) hệ tọa độ.

Đối với trường hợp phần tử thanh chỉ có chuyển vị dọc trục trong hệ tọa

độ cục bộ, nghĩa là , chúng ta chỉ còn:

(3.27)

VÍ DỤ:

Chuyển vị nút toàn cục (global nodal displacement) tại nút 2 được cho như

sau: và đối với thanh như Hình 3.5. Hãy xác định chuyển vị

của nút hai trong hệ tọa độ cục bộ

Chương 3: Bài toán khung dàn

 46

Hình 3.5 Phần tử thanh trong hai hệ tọa độ

LỜI GIẢI:

Sử dụng phương trình (3.27), chúng ta xác định được chuyển vị trong

hệ tọa độ cục bộ một cách dễ dàng:

3.5 MA TRẬN ĐÔ CỨNG PHẦN TỬ TRONG HỆ TỌA ĐỘ TOÀN CỤC OXY

Bây giờ, chúng ta xem xét một thanh nghiêng một góc  so với trục x của

hệ tọa độ toàn cục Oxy. Hướng của thanh được định nghĩa bởi hệ tọa độ cục bộ

Hình 3.6 Phần tử thanh trong hướng bất kì

một chiều với chiều dương từ nút 1 đến nút 2 như Hình 3.6

Phương trình phần tử trong hệ tọa độ cục bộ mô tả trong phương trình

(3.5) được viết lại như sau:

(3.28)

Chương 3: Bài toán khung dàn

 47

Hay ở dạng ma trận rút gọn:

(3.29)

Mục đích của chúng ta là xây dựng mối quan hệ giữa véc tơ tải nút trong hệ

tọa độ toàn cục, , và véc tơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ toàn cục, , đối

với một phần tử thanh có hướng bất kì trong hệ tọa độ toàn cục Oxy như Hình 3.6.

Mối quan hệ này sẽ tạo ra một ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ toàn cục

. Nghĩa là, chúng ta muốn tìm để:

(3.30)

hoặc trong dạng ma trận rút gọn:

(3.31)

Từ Hình 3.6 và phương trình (3.27), chúng ta có mối quan hệ sau:

(3.32)

hay viết dưới dạng ma trận:

(3.33)

hoặc ở dạng rút gọn:

với (3.34)

Tương tự, ta cũng có:

(3.35)

Chương 3: Bài toán khung dàn

 48

hoặc ở dạng rút gọn:

(3.36)

Thay phương trình (3.34) và (3.36) vào phương trình (3.29), chúng ta đạt

được:

(3.37)

Chuyển ma trận vế bên trái sang vế bên phải trong phương trình (3.37)

và đặt , chúng ta đạt kết quả như phương trình (3.31). Chúng ta

thấy rằng khi chuyển vế bên trái sang vế bên phải trong phương trình (3.37),

chúng ta cần tính ma trận nghịch đảo của , nghĩa là tìm . Tuy nghiên,

không phải là ma trận vuông. Do vậy, điều này không thể thực hiện được. Để thực

hiện điều này, chúng ta cần mở rộng các phương trình (3.33) và (3.35) như sau:

và

(3.38)

(3.39)

trong đó, ma trận được mở rộng thành ma trận vuông 44 như sau:

(3.40)

Bên cạnh đó, chúng ta cũng mở rộng phương trình phần tử trong hệ tọa độ

cục bộ như sau:

Chương 3: Bài toán khung dàn

 49

(3.41)

Chúng ta thấy rằng, việc mở rộng ma trận và phương trình (3.41) không

làm thay đổi bản chất kết quả của phương trình phần tử. Hơn nữa, chúng ta thấy

rằng ma trận là ma trận trực giao (orthogonal matrix). Do vậy, chúng ta có tính

chất đặc biệt sau: . Khi đó, chúng ta dễ dàng tính toán ma trận

. Kết quả đạt được như sau:

(3.42)

Chúng ta nhớ rằng, các thành phần của phương trình độ cứng phần tử trong

hệ tọa độ cục bộ có kích thước của và là 21 và là 22. Trong khi,

trong hệ tọa độ toàn cục, chúng có kích thước của và là 41 và là

44.

Sau khi đạt được các ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ toàn cục.

Chúng ta tiếp tục tiến hành lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục, áp điều kiện biên

và giải phương trình để tìm các chuyển vị của thanh trong hệ tọa độ toàn cục. Tiếp

theo, chúng ta sử dụng các giá trị chuyển vị trong véc tơ để tìm các chuyển vị

trong hệ tọa đọa cục bộ bởi phương trình (3.33) và lực phần tử bởi phương trình

(3.28).

Đối với hệ tọa độ không gian Oxyz, bằng cách tương tự trình bày ở trên,

chúng ta có thể thiết lập được mối quan hệ giữa vec tơ tải với véc tơ chuyển

vị trong không gian. Trong một cách ngắn ngọn, ma trận biến đổi có dạng:

(3.43)

Chương 3: Bài toán khung dàn

 50

và ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ toàn cục Oxyz là:

(3.44)

trong đó, , , là cosin của trong Oxyz như

Hình 3.7 Phần tử thanh trong không gian Oxyz

Hình 3.7

VÍ DỤ:

Cho một thanh như Hình 3.8. Có A=2in2, L=60in, E=30.106psi. Xác định

ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ toàn cục Oxy.

Chương 3: Bài toán khung dàn

 51

Hình 3.8 Phần tử thanh

LỜI GIẢI:

Từ Hình 3.7, chúng ta có:

Sử dụng phương trình (3.42), ma trận độ cứng phần tử thanh trong hệ tọa

độ toàn cục Oxy đạt được như sau:

3.6 TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT PHẦN TỬ THANH TRONG MẶT PHẲNG OXY

Từ lý thuyết biến dạng [5, 6], chúng ta có ứng suất trong thanh kéo nén như

(3.45)

Giả sử chúng ta sử dụng , chúng ta có:

Chương 3: Bài toán khung dàn

 52

(3.46)

Vậy ứng suất trong thanh có thể viết trong biểu thức sau:

(3.47)

hay ở dạng rút gọn:

(3.48)

Với

(3.49)

3.7 CÁCH GIẢI GIÀN PHẲNG BẰNG FEM

Bây giờ, chúng tôi sẽ mô tả sử dụng những phương trình được xây dựng

trong Mục 3.5 và Mục 3.6 cùng với phương pháp độ cứng trực triếp để để xây

dựng phương trình phần tử cũng như ma trận độ cứng phần tử và giải chúng thông

qua một số ví dụ cụ thể. Chúng ta nên ôn lại kiến thức về khung giàn phẳng (plane

truss). Một khung giàn phẳng là “một kết cấu kết hợp nhiều thanh tại với nhau

trong một mặt phẳng và liên kết với nhau bằng những khớp quay không ma sát”.

VÍ DỤ 1:

Cho một khung giàn phẳng như Hình 3.9. Ngoại lực được áp tại nút 1 với

các thông số đặc trưng như sau: và cho tất cả các thanh.

Chiều dài thanh như Hình 3.9.

Chương 3: Bài toán khung dàn

 53

Hình 3.9 Ví dụ 1: Khung giàn phẳng

LỜI GIẢI VÍ DỤ 1:

Trước hết, chúng ta sử dụng phương trình (3.42) để xây dựng ma trận độ

cứng phần tử trong hệ tọa độ toàn cục (Oxy). Để làm điều này, chúng ta cần xác

định góc  của từng phần tử trước. Từ Hình 3.9, giá trị cosin của các phần tử thể

Bảng 3.1 Thông số cosin của các phần tử dầm trong Hình 3.9

hiện trong Bảng 3.1:

Phần tử C S C2 S2 CS 

1 90 0 1 1 0 1

2 45

3 0 1 0 1 0 0

Như vậy, sử dụng phương trình (3.42) và Bảng 3.1, chúng ta xây dựng các

phương trình phần tử thanh cho phần tử 1 trong hệ tọa độ toàn cục như sau:

(3.50)

Tương tự, đối với phần tử 2, chúng ta có:

Chương 3: Bài toán khung dàn

 54

(3.51)

và đối với phần tử 3:

(3.52)

Tiếp theo, chúng ta xây dựng ma trận độ cứng toàn cục cho hệ giàn phẳng

(Hình 3.9). Chúng thấy rằng, hệ giàn trong Hình 3.9 gồm 3 thanh với 4 nút. Như

vậy số bậc tự do trong hệ tọa độ toàn cục là 8. Nghĩa là ma trận độ cứng toàn cục

sẽ là ma trận vuông 44. Sử dụng nguyên lý chồng chất (đã trình bày ở Chương 2)

trên cơ sở phương pháp độ cứng trực tiếp, chúng ta xây dựng được ma trận toàn

cục như sau:

(3.53)

Áp ngoại lực cho các nút tương ứng và những điều kiện biên ràng buộc về

chuyển vị (điều kiện biên loại 1 hay điều kiện biên Dirichlet), chúng ta có phương

trình toàn cục như sau:

Chương 3: Bài toán khung dàn

 55

(3.54)

Ở đây, chúng ta có 6 điều kiện biên thuần nhất là chỉ cần tìm giá trị của 2

chuyển vị u1 và v1 ở nút 1. Áp dụng nguyên lý lượt bỏ các hàng và cột tương ứng

với các điều kiện thuần nhất hay điều kiện biên loại 1 (đã trình bày trong Chương

2). Phương trình lượt bỏ còn lại như sau:

(3.55)

Giải phương trình (3.55), chúng ta tìm được:

(3.56)

Ở đây, giá trị âm của v1 ngụ ý rằng chuyển vị trong phương y của nút 1 là

ngược chiều với chiều của trục Oy trong hệ tọa độ toàn cục Oxy.

Sử dụng phương trình (3.48), chúng ta dễ dàng xác định ứng suất hướng

trục trong các thanh như sau:

(3.57)

(3.58)

Chương 3: Bài toán khung dàn

 56

(3.59)

3.8 PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG TRONG XÂY DỰNG PHẦN TỬ THANH

Trong Chương 2 và đầu Chương 3, chúng tôi đã mô tả cách xây dựng và

giải một bài toán bằng FEM bằng phương pháp độ cứng trực tiếp. Chúng ta thấy

rằng, tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ lò xo ở Chương 2 cũng như hệ thanh ở

Chương 3 là những lực tập trung và tại các nút. Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều hệ

thanh chịu cả lực tập trung, lực phân bố, và lực khối. Như vậy, để giải quyết dạng

bài toán hệ thanh có cả ba loại lực trên bằng FEM, chúng ta cần phải biến đổi lực

phân bố và lực khối thành các lực tập trung tại nút. Để xử lý quá trình biến đổi lực

này và cũng như giới thiệu thêm một phương pháp mới trong xây dựng bài toàn

FEM, chúng tôi xin giới thiệu một cách tiếp cận khác trong xây dựng bài toàn FEM

cho phần tử thanh. Đó là cách tiếp cận dựa trên năng lượng thế năng (Potential

Energy Apporch) hay còn gọi là phương pháp thế năng (Potential Energy Method).

Tổng thế năng của hệ p được định nghĩa như tổng năng lượng biến dạng U

và thế năng của ngoại lực :

Hình 3.10 Nội lực bên trong thanh 1 chiều do ngoại lực F

(3.60)

Để đánh giá năng lượng biến dạng trong thanh, chúng ta chỉ xem xét công

được thực hiện bởi nội lực bên trong suốt quá trình biến dạng. Chúng ta đang xem

Chương 3: Bài toán khung dàn

 57

xét thành 1 chiều (one-dimensional bar), nội lực (internal forces) trên một phần tử

vô cùng nhỏ hay phần tử vi phân (differential element) có các mặt, , , ,

được cho như Hình 3.10. Chuyển vị của mặt x là và tại mặt là

. Trong đó, là sử thay đổi vô cùng nhỏ (differential change) trong

biến dạng (strain) trong khoản chiều dài . Theo lý thuyết, vi phân năng lượng

biến dạng (differential strain energy) bằng nội lực nhân với chuyển vị và được mô

tả như sau:

(3.61)

Phương trình (3.61) có thể viết lại sau:

với (3.62)

Xét toàn thanh (whole bar), năng lượng biến dạng là:

với (3.63)

Sử dụng qui luật Hooke (Hooke’s law) cho vật liệu đàn hồi tuyến tính

(linear-elastic material), , chúng ta được:

(3.64)

Biểu thức cuối cùng trong phương trình (3.64) là năng lượng biến dạng đối

với ứng suất 1 chiều theo hướng trục của phần tử thanh. Trong trường hợp tiết diện

của thanh là hằng số. Biểu thức cuối trong phương trình (3.64) có thể đơn giản

thành:

(3.65)

Thế năng của ngoại lực tác dụng lên thanh được mô tả như sau:

(3.66)

trong đó, tích phân thứ nhất, nhứ nhì và thứ ba trong phương trình (3.66) trình diễn

thế năng của (1) lực thể tích Xb, ví dụ như trọng lực của thanh, làm chuyển vị một

Chương 3: Bài toán khung dàn

 58

lượng u, (2) lực mặt, ví dụ như lực phân bố dọc trục, làm chuyển vị một lượng us,

trong đó, us là chuyển vị trên cả mặt S1, và (3) ngoại lực tập trung fix làm chuyển vị

một lượng ui. Chú ý rằng, các lực Xb, T, fix tác động theo hướng x (Hình 3.11). Đối

với phần tử thanh tuyến tính có 2 nút với 1 bậc tự do trên mỗi nút, do vậy, M=2.

Dấu trừ trong phương trình (3.66) có nghĩa rằng thế năng bị mất khi công được

Hình 3.11 Ngoại lực tác dụng lên phần tử thanh.

thực hiện bởi ngoại lực.

Bây giờ, chúng ta sẽ mô tả công thức FEM của phương trình phần tử thanh

bởi sử dụng nguyên lý cực tiểu hóa năng lượng thế năng (the principle of minimum

potential energy). Những bước sau đây được thực hiện khi sử dụng nguyên lý cực

tiểu hóa thế năng để xây dựng phương trình phần tử:

1. Xây dựng biểu thức đối với tổng thế năng.

2. Giả sử chuyển vị thay đổi với một tập hợp hữu hạn những tham số chưa

biết. Những tham số chưa biết này được thay vào biểu thức tổng thế

năng.

3. Tạo ra một tập hợp các phương trình cực tiểu hóa đối với những tham

số nút. Phương phương trình này là phương trình phần tử.

Chúng ta sử dụng ba bước trên để xây dựng phương trình và ma trận độ

cứng phần tử thanh. Xét thanh dầm ở Hình 3.11 có chiều dài L với tiết diện cố định

Chương 3: Bài toán khung dàn

 59

là A. Sử dụng phương trình (3.65) và (3.66), chúng ta tìm được tổng năng lượng

thế năng của phần tử thanh như sau:

(3.67)

Như phương trình (2.11) và (2.12) trong Chương 2, chúng ta có hàm chuyển

vị được mô tả trong hàm dạng và chuyển vị nút như sau:

và (3.68)

trong đó,

(3.69)

là véc tơ hàm dạng được đánh giá trên toàn mặt phẳng chịu lực tải mặt và

(3.70)

Sử dụng mối quan hệ biến dạng – chuyển vị, , chúng ta có thể

viết biến dạng trục trong dạng ma trận như sau:

(3.71)

hay

với (3.72)

Chúng ta có mối quan hệ biến dạng - ứng suất trong hướng trục ở dạng ma

trận như sau:

với (3.73)

trong đó, E là Môđun đàn hồi (modulus of elasticity).

Thay phương trình (3.72) vào trong phương trình (3.73), chúng ta được:

(3.74)

Như vậy, phương trình (3.67) viết dưới dạng ma trận:

Chương 3: Bài toán khung dàn

 60

(3.75)

trong đó, trình diễn cho ngoại lực tập trung ở nút.

Thay các phương trình (3.68), (3.72), và (3.74) và phương trình (3.75),

chúng ta đạt được:

(3.76)

Như vậy, chúng ta thấy rằng hàm thế năng là một hàm của biến chuyển vị

, hay . Chúng ta thấy rằng u1 và u2 không phải làm

hàm của x. Do vậy, chúng ta thực hiện tích phân cho biểu thức đầu tiên bên phải

của phương trình (3.75) một cách dễ dàng. Chúng ta được:

(3.77)

trong đó,

(3.78)

Từ phương trình (3.87), chúng ta thầy rằng ba loại lực tách biệt nhau gồm

lực tập trung tại nút, lực kéo bề mặt (surface traction force), và lực khối (body

force). Như vậy, một lần nữa, chúng ta thầy rằng phương pháp thế năng trong xây

dựng phương trình phần tử cho thanh chứa cả ba loại lực tổng quát. Trong khi,

phương pháp độ cứng trực tiếp chỉ xem xét lực tập trung ở nút.

Chúng ta có thể định nghĩa lực kéo bề mặt và lực thể tích như sau:

(3.79)

Cực tiểu hàm để tìm phương trình phần tử. Về mặt toán học, chúng ta

có:

Chương 3: Bài toán khung dàn

 61

và (3.80)

Để dễ hiểu, chúng ta mô tả phương trình (3.77) dạng rõ ràng như sau:

(3.81)

Nhân các ma trận với nhau, chúng ta đạt được:

(3.82)

Dạo hàm phương trình (3.81) theo u1 và u2, chúng ta được:

(3.83)

Cực tiểu hóa phương trình (3.83), chúng ta tìm được phương trình phần tử

thanh như sau:

(3.84)

Sắp xếp và lượt bỏ phương trình (3.84), phương trình (3.84) có thể viết lại:

(3.85)

Đây chính là phương trình phần tử thanh như phương trình (3.5). Và ma

trận độ cứng phần tử thanh là:

(3.86)

Như đã nói, việc xây dựng phương trình phần tử thanh bằng cách tiếp cận

thế năng nhằm mục đích giới thiệu thêm một phương pháp khác trong xây dựng

các phương trình phần tử hữu hạn. Mục đích chính đó là chúng ta đã xây dựng

được phương trình (3.79). Phương trình này dùng để tính toán các lực kéo bề mặt

Chương 3: Bài toán khung dàn

 62

và lực khối trong phần tử thanh. Chúng ta sẽ có ví dụ về các bài toàn thanh với lực

kéo bề mặt.

VÍ DỤ:

Cho một thanh với tải trọng phân bố đường như Hình 3.12 với

, và . Xác định chuyển vị và ứng suất trục trong

Hình 3.12 Thành chịu tải trọng phân bố tuyến tính

hai trường hợp: (a) sử dụng 1 phần tử và (b) sử dụng một phần tử.

LỜI GIẢI:

Hình 3.13 Một phần tử thanh

(a) Sử dụng một phần tử (Hình 3.13).

Sử dụng công thức đầu tiên

trong phương trình (3.79) cho lực

phân bố, chúng ta có:

(3.87)

. Như vậy, chúng ta được: trong đó, Tx =10x là lực phân bố đường và

(3.88)

Tích phân phương trình (3.88), chúng ta đạt được như sau:

Chương 3: Bài toán khung dàn

 63

(3.89)

Sử dụng phương trình (3.86), chúng ta tìm được ma trận độ cứng như sau:

(3.90)

Như vậy, phương trình toàn cục là:

(3.91)

Chú ý rằng, tại nút hai chúng ta có hai lực một lực tập trung tương đương

đạt được từ phương trình (3.91) và một phản lực do liên kết ngàm.

Chúng ta có điều kiện biên thuần nhất tại nút 2. Nghĩa là . Như vậy

giá trị của u1 có thể đạt được một cách dễ dàng:

(3.92)

Tiếp theo, chúng ta sử dụng phương trình (3.74) để tính ứng suất của thanh:

(3.93)

(b) Sử dụng hai phần tử (Hình 3.14).

Chương 3: Bài toán khung dàn

 64

Hình 3.14 Hai phần tử.

Trước tiên, chúng ta phải xác định phương trình lực phân bố Tx cho từng

phần tử. Đối với phần tử 1:

(3.94)

và phần tử 2 là:

(3.95)

Sử dụng công thức (3.87) cho phần tử thứ nhất, chúng ta có:

(3.96)

Chú ý rằng, L trong công thức (3.94) là chiều dài của phần tử (L=30in, một

nữa chiều dài của thanh). Tương tự cho phần tử 2, chúng ta đạt:

(3.97)

Chúng ta cũng đạt được các ma trận phần tử như sau:

Chương 3: Bài toán khung dàn

 65

(3.98)

Sử dụng nguyên lý chồng chất, chúng ta đạt được phương trình toàn cục

như sau:

(3.99)

Ở đây chúng ta thấy, tại nút 2 gồm có hai lực tập trung của phần tử 1 (-

3000lb) và của phần tử 2 (-6000lb). Chuyển vị tại nút 3 bằng không (điều kiện biên

thuần nhất). Giải hệ phương trình (3.99), chúng ta đạt được:

(3.100)

Sử dụng công thức (3.74), chúng ta đạt được ứng suất phần tử như sau:

(3.101)

3.9 PHƯƠNG PHÁP GALERKIN TRONG XÂY DỰNG PHẦN TỬ THANH

Chúng tôi đã trình bày hai phương pháp để xây dựng phương trình phần tử

của lò xo và phần tử thanh. Đó là phương pháp độ cứng trực tiếp (direct stiffness

method) và phương pháp thế năng (potential energy method). Trong lý thuyết,

phương pháp thế năng là một trong những phương pháp biến phân (variational

methods). Tuy nhiên, trong nhiều vấn đề vật lý, ngoài cơ học vật rắn và cơ học kết

cấu như cơ chất lỏng (fluid mechanics), truyền nhiệt (heat transfer) …, có khả năng

là phương pháp biến phân, tương tự như nguyên lý cực tiểu hóa thế năng, không

tồn tại hoặc không biết. Vì vậy, chúng ta không thể sử dụng phương pháp thế năng

như được trình bày ở trên.

Chương 3: Bài toán khung dàn

 66

Điểm mạnh của phương pháp dư thừa trọng số hay phương pháp dư thừa

Galerkin là ứng dụng trực tiếp vào phương trình vi phân để phát triển phương trình

phần tử. Trong phần này, chúng tôi sẽ mô tả tổng quát và ngắn gọn phương pháp

dư thừa Galerkin và ứng dụng nó cho phần tử thanh. Mục đích của phần này là để

giới thiệu đến các bạn về phương pháp dư thừa Galerkin. Phương pháp này ứng

dụng hầu hết các vấn đề vật lý phức tạp trong xây dựng phương trình phần tử.

Trong phương pháp dư thừa trọng số, một hàm thử hoặc một hàm xấp xỉ

(trial or approximation function) được chọn để xấp xỉ biến độc lập, chẳng hạn như

chuyển vị trong bài toán kết cấu hay nhiệt độ trong bài toán truyền nhiệt. Nhìn

chung, hàm thử này sẽ không thỏa mãn phương trình vi phân của vấn đề. Nghĩa là,

chúng ta thay hàm thử vào phương trình vi phân sẽ cho ra kết quả khác không trên

toàn miền tính toán. Về mặt toán học, chúng ta có thể viết như sau:

(3.102)

Trong phương pháp dư thừa trọng số, chúng ta mong muốn rằng một giá trị

trọng số (weighted valued) để cực tiểu hóa phương trình (3.102). Hàm trọng số

(weighted function) cho phép tích phân có trọng số của dư thừa bằng không. Nếu

chúng ta kí hiệu W là hàm trọng số, dạng tổng quát của tích phân dư thừa trọng số

là:

(3.103)

Trong phương pháp Gakerkin, chúng ta chọn một hàm nội suy, chẳng hạng

như phương trình (2.12), liên quan tới hàm dạng Ni đối với biến độc lập trong

phương trình vi phân. Nói chung, việc thay thế hàm dạng này tạo ra . Theo

tiêu chuẩn Galerkin (Galerkin criterion), hàm hạng Ni được chọn đóng vai trò của

hàm trong số W. Vì vậy, tại nút i, chúng ta có:

với (3.104)

Phương trình (3.104) sẽ tạo ra n phương trình. Chú ý rằng phương trình

(3.104) được ứng dụng những điểm bên trong của miền tính toán và không dính

dáng tới các điều kiện biên như ngoại lực và chuyển vị. Để đưa điều kiện biên vào,

Chương 3: Bài toán khung dàn

 67

chúng ta sẽ tích phân từng phần phương trình (3.104). Khí đó tích phân sẽ bao gồm

miền và biên của vấn đề tính toán.

Phương pháp Galerkin cho phần tử thanh

Bây giờ, chúng tôi sẽ mô tả chi tiết sử dụng phương pháp Galerkin để xây

dựng phần tử thanh. Như trình bày ở phương trình (3.3), chúng ta có:

(3.105)

Giả sử E và A là hằng số. Ứng dụng tiêu chuẩn Galerkin từ phương trình

(3.104) vào phương trình (3.105), chúng ta có:

với i=1, 2 (3.106)

Sử dụng tích phân từng phần:

(3.107)

Chúng ta đặt:

(3.108)

Thay phương trình (3.108) vào phương trình (3.107), chúng ta có:

(3.109)

Từ phương trình (3.109), chúng ta thấy rằng việc tích phân từng phần đã

đưa thành phần liên quan đến điều kiện biên vào phương trình (3.109).

Chúng ta có:

(3.110)

và

Chương 3: Bài toán khung dàn

 68

và (3.111)

hay

(3.112)

Đưa phương trình (3.112) vào trong phương trình (3.109), chúng ta có

(3.113)

Phương trình (3.113) gồm hai phương trình. Trước tiên, sử dụng hàm trọng

số , chúng ta có:

(3.114)

Thay và tại x=0 và tại x=L, chúng ta đạt:

(3.115)

Tích phân phương trình (3.115), chúng ta được:

(3.116)

trong đó, .

Tương tự, đối với , chúng ta cũng đạt:

(3.117)

trong đó, .

Chúng ta thấy rằng, khi ghép hai phương trình (3.116) và (3.117), chúng ta

đạt được phương trình phần tử như phương trình (3.5) và (3.85).

3.10 TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 3

Một số công thức quan trọng trong chương này gồm:

Ma trận độ cứng phần tử thanh:

Chương 3: Bài toán khung dàn

 69

(3.4)

Ma trận chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ

(3.26)

Ma trận độ cứng phần tử thanh trong hệ tọa độ toàn cục:

(3.42)

Ứng suất trục trong thanh:

(3.48)

trong đó,

(3.49118)

Công thức tính lực mặt và lực thể tích:

(3.79)

3.11 BÀI TẬP

Xác định (a) chuyển vị nút, (b) lực mỗi phần tử, và (c) phẩn lực đối với

các hệ thanh trong các Bài tập 1-3:

Hình 3B. 1

Bài tập 1

Chương 3: Bài toán khung dàn

 70

Hình 3B. 2

Bài tập 2

Hình 3B. 3

Bài tập 3

Bài tập 4: Tính toán ma trận độ cứng trong hệ tọa độ toàn cục trong trường hợp

Hình 3B. 4

sau.

Chương 3: Bài toán khung dàn

 71

Bài tập 5: Tính chuyển vị tại nút 1 theo phương x và y trong hệ giàn phẳng sau.

Hình 3B. 5

Đánh giá lại sự cân bằng lực. Với L=100 in, A=1 in2, và E=10106 psi.

Bài tập 6: Tính chuyển vị tại nút 1 theo phương x và y trong hệ giàn phẳng sau.

Xác định ứng suất phần tử. Với A=410-4 m2, và E=210 Gpa.

Hình 3B. 6

(a) (b)

Chương 4: Bài toán dầm

 72

Chương 4

BÀI TOÁN DẦM

NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG

Nhắc lại những khái niệm cơ bản về dầm uốn.

Xây dựng ma trận độ cứng của phần tử dầm.

Lắp ghép và giải bài toán dầm bằng phương pháp trực tiếp.

Dầm với ngoại lực phân bố.

Phần tử dầm với khớp quay bên trong.

Xây dựng phương trình phần tử dầm bằng phương pháp thế năng.

4.1 GIỚI THIỆU

Trong chương này, chúng tôi sẽ phát triển ma trận độ cứng cho phần tử

thanh bị uốn. Những phần tử này hiện diện trong rất nhiều kết cấu cơ khí như nhà,

cầu, tháp và những kết cấu cơ khí khác. Chúng ta sẽ xem xét phần tử dầm thẳng

và có tiết diện không đổi và phát triển ma trận độ cứng cho phần tử dầm bởi sử

dụng những nguyên lý được phát triển từ lý thuyết dầm.

Sau đó, chúng tôi sẽ trình bày ví dụ đơn giản để mô tả cách lắp ghép ma

trận độ cứng phần tử dầm vào ma trận độ cứng toàn cục và giải những vấn đề dầm

bằng phương pháp ma trận độ cứng trực tiếp. Lời giải của một bài toán dầm gồm

chuyển vị và góc xoay tại nút. Chúng tôi cũng trình bày cách tính toán lực cắt và

mô men uốn tại nút và giản đồ lực cắt và mô men uốn như là một phần của lời giải.

Tiếp theo, chúng tôi sẽ thảo luận thủ tục thực hiện cho lực phân bố trên

phần tử dầm. Từ đó, chúng tôi sẽ trình bày lời giải của dầm chịu tải trọng phân bố.

Chúng tôi cũng phát triển ma trận độ cứng của phần tử dầm với một khớp

nối và lời giải của bài toán dầm với một khớp nối bên trong.

Để tiếp cận xa hơn về lý thuyết FEM, chúng tôi sẽ phát triển phần tử dầm

bằng phương pháp năng lượng thế năng.

4.2 MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM

Trước hết, chúng ta cần nắm dầm là phần tử như thế nào? Dầm là một kết

cấu dài, thon chịu một lực ngang. Lực ngang này làm cho dầm bị uốn (trái ngược

Chương 4: Bài toán dầm

 73

với xoắn trục và lực dọc trục của thanh). Sự biến dạng của dầm được xác định

thông qua chuyển vị ngang và góc xoay. Như vậy, bậc tụ do tại mỗi nút của phần

tử dầm gồm chuyển vị ngang (transverse displacement) và góc xoay.

Xem xét phần tử dầm như Hình 4.1. Dầm có chiều dài L với trục tọa độ dọc

trục x và trục tạo độ ngang là y. Chuyển vị ngang cục bộ là vi và góc xoay là i.

Lực nút cục bộ là fiy và mô men uốn là mi. Chúng ta bỏ qua tất cả những ảnh hưởng

Hình 4.1 Phần tử dầm và các thông số của nó.

dọc trục.

Trong FEM, chúng ta qui ước về dấu của lực và mô men uốn cho tất cả các

nút như sau:

- Mô men là dương khi hướng quay ngược chiều kim đồng hồ.

- Góc xoay (góc uốn) là dương khi hương xoay người chiều kim đồng

hồ.

- Lực là dương theo chiều dương của trục y.

- Chuyển vị là dương theo chiều dương của trục y.

Trong tính phân tích lực, qui ước về dấu của lực cắt V và mô men uốn m

được thể hiện trong Hình 4.2.

Hình 4.2 Qui ước dấu của lực cắt và mô men uốn

Chương 4: Bài toán dầm

 74

(a) Trước khi biến dạng

(b) Sau khi biến dạng

Hình 4.3 Dầm dưới tải lực phân bố

4.2.1 Ma trận độ cứng phần tử dầm theo lý thuyết Euler-Bernoulli

Lý thuyết Euler – Bernoulli giả sử rằng tiếp diện ngang của dầm trước và

sau khi biến dạng uốn đều vuông góc với trục của dầm. Điều này được minh họa

ở Hình 4.3(a). Tiết diện đi qua đường a-c vuông góc với trục x trước khi biến dạng

và mặt phẳng này xoay một góc  (Hình 4.3(b)) và vẫn vuông góc với trục x (tại

vị trí này) sau khi biến dạng uốn. Điều này chỉ dúng khi dầm tồn tại duy nhất một

mô men uốn. Tuy nhiên, điều này có thể sử dụng để xây dựng phương trình để mô

tả tương đối chính xác đặc tính của dầm trong các vấn đề thực tế [1].

Xem xét phần dầm như Hình 4.3 chịu một lực phân bố w(x). Từ sự cân bằng

lực và mô men của một phần tử dầm như Hình 4.3(c), chúng có được những

phương trình cân bằng (Equilibrium equations) như sau:

(4.1)

Rút gọn phương trình (2.41), ta được:

hay (4.2)

; (4.3)

Chương 4: Bài toán dầm

 75

Bởi vì dx là vô cùng nhỏ. Do đó, dx2 gần bằng không. Vì vậy, số hạng cuối

cùng ở phương trình (4.3) có thể bỏ qua. Rút gọn lại biểu thức thứ nhất trong

phương trình (4.3), chúng ta được biểu thức thứ hai trong phương trình (4.3).

Độ uốn , bằng nghịch đảo của bán kính uốn , của dầm quan hệ với mô

men theo biểu thức sau hay còn gọi là phương trình cấu thành (Constitutive

Equation):

(4.4)

trong đó,  là bán kính uốn của dầm (như Hình 4.4), E là Môđun biến dạng đàn

hồi và I=bh3/12 là mô men quán tính (the principal moment of inertia) đối với trục

(a) Một phần uốn của dầm

(b) Bán kính uốn của dầm

Hình 4.4 Dầm bị uốn

z (Hình 4.4(c)).

Đối với góc uốn nhỏ, phương trình động học (Kinematic equation) mô tả

mối quan hệ giữa v(x), ,  như sau:

 76

Chương 4: Bài toán dầm

(4.5)

Sử dụng phương trình (4.4) và (4.5), chúng ta thu được mối quan hệ sau:

(4.6)

Tiếp theo, sử dụng phương trình (4.2), (4.3) và (4.5), chúng ta đạt được

phương trình uốn như sau:

(4.7)

Trong trường hợp EI là hằng số và chỉ có lực và mô men tập trung tại nút,

phương trình (4.7) trở thành

(4.8)

Việc xây dựng những công thức này được trình trình chi tiết trong môn học

“Sức bền vật liều” hoặc tài liệu “Mechanics Material” của Hibbeler [6]. Người đọc

có thể tham khảo những tài liệu này để nắm rõ hơn về những phương trình (4.1) –

(4.8).

Bây giờ, chúng tôi sẽ thực hiện những bước tổng quát để xây dựng ma trận

độ cứng và phương trình cho phần tử dầm. Sau đó, chúng tôi sẽ trình bày lời giải

của phần tử dầm.

Bước 1: Chọn phần tử

Phần tử dầm một chiều với 2 nút tại hai đầu được đánh số như Hình 4.1.

Bước 2: Chọn hàm chuyển vị

Giải sử rằng hàm chuyển vị của phần tử dầm được mô tả bởi đa thức bậc 3

như sau:

(4.9)

Chúng ta sử dụng hàm đa thức bậc ba bởi vì phần tử dầm có bốn bậc tự do,

bao gồm 2 chuyển vị theo phương y và 2 góc quay (nhỏ) , ở hai đầu nút của phần

tử dầm. Bên cạnh đó, hàm đa thức bậc 3 cũng thỏa mãn phương trình đạo hàm của

Chương 4: Bài toán dầm

 77

dầm và cũng thỏa mãn tính liên tục trong chuyển vị và độ dốc (slope) tại những

nút chung của hai phần tử.

Tương tư như Mục 2.3, chúng ta mô tả v như hàm của những bậc tự do nút v1, v2,

1 và 2 như sau:

(4.10)

Giải phương trình (4.10), chúng ta thu được các hệ số ai của v(x) ở dạng:

(4.11)

Trong dạng ma trận, phương trình (4.11) được viết như sau:

(4.12)

trong đó,

(4.13)

và

(4.14)

với

(4.15)

Chương 4: Bài toán dầm

 78

Các biểu thứ Ni trong phương trình (4.15) gọi là hàm dạng của phần tử dầm.

Hàm dạng bậc ba này còn được gọi là hàm nội suy bậc ba Hermite (Hermite cubic

interpolation function) hoặc hàm nội suy Spline bậc ba (cubic spline function).

Cho ta thấy rằng, đối với phần tử dầm, N1=1 khi đánh giá tại nút 1 và bằng 0 tại

nút 2. Do N2 liên quan tới góc 1, dó đó, dN2/dx=1 khi đánh giá tại nút 1. Những

hàm dạng N3 và N4 có kết quả tương tự đối với nút 2.

Bước 3: Định nghĩa mối quan hệ biến dạng – chuyển vị và ứng suất – biến

dạng

Mối quan hệ giữa ứng suất – chuyển vị được mô tả trong biểu thức sau:

Hình 4.5 Đoạn dầm dx: (a) trước biến dạng và (b) sau biến dạng; (c) góc xoay của tiết

diện ngang ABCD

(4.16)

trong đó, u là chuyển vị dọc hướng dầm (chuyển vị theo trục x) (như Hình 4.5(a)).

Từ cấu hình biến dạng của dầm được thể hiện trong Hình 4.5, chúng ta có mối

quan hệ giữa chuyển vị dọc và chuyển vị ngang (theo trục y) như sau:

(4.17)

Sử dụng phương trình (4.16) và (4.17), chúng ta đạt được biểu thức sau:

Chương 4: Bài toán dầm

 79

(4.18)

Sử dụng định luật Hooke (=Ex) và phương trình (4.6) thay vào phương

trình (4.18), chúng ta đạt được phương trình ứng suất uốn như sau:

(4.19)

Từ lý thuyết dầm [5], mô men uốn và lực cắt quan hệ với hàm chuyển vị

dọc (chuyển vị theo trục y) như sau:

(4.20)

Bước 4: Xây dưng ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử

Chúng ta sẽ xây dựng ma trận và phương trình phần tử sử dụng phương

pháp cân bằng trực tiếp (direct equilibrium approach). Sử dụng phương trình (4.9)

– (4.20), chúng ta đạt được quan hệ giữa chuyển vị, góc xoay, lực cắt và mô men

uốn như sau:

(4.21)

Trong đó, dấu âm trong biểu thức thư 2 và 3 của phương trình (4.21) là do mô mem

m1 tại nút 1 và lực cắt f2y tại nút 2 ngược chiều với chiều dương như đã qui định ở

Mục 4.1 (xem Hình 4.1). Dạng ma trận của phương trình (4.21) như sau:

(4.22)

Chương 4: Bài toán dầm

 80

trong đó, ma trận độ cứng là:

(4.23)

4.2.2 Ma trận độ cứng theo lý thuyết Timoshenko

Chú ý rằng ma trận độ cứng cho phần tử dầm trong phương trình (4.23)

được thiết lập với giả sử là dầm dài và mảnh. Nghĩa là tỷ lệ chiều dài, L, trên chiều

sâu của dầm, h, là lớn. Trong trường hợp này, giá trị độ uốn (võng) do uốn được

tính toán bởi phương trình (4.22) là phù hợp. Tuy nhiên, đối với những dầm ngắn

và sâu (giá trị của h lớn, Hình (4.2)) thì biến dạng do lực cắt ngang có thể ảnh

hưởng rất lớn và có thể phân bố cùng cấp độ (same order of magnitude

contribution) đến sự biến dạng tổng cộng của dầm. Trong trường hợp tổng quát,

chúng ta cần phải xem xét sự biến dạng do lực cắt trong tính toán độ võng của dầm

như lý thuyết Timoshenko. Trong lý thuyết Timoshenko, bề mặt cắt ngang của

dầm không còn vuông góc với trục trung hòa x sau khi uốn và bị biến dạng một

Hình 4.6 Phần tử dầm Tomishenko với biến dạng cắt (x)

góc (x) do lực cắt (Hình 4.6).

Một cắch ngắn ngọn, ma trận đô cứng phần tử dầm Tomishenko được mô

tả như sau:

(4.24)

Chương 4: Bài toán dầm

 81

Để dễ thấy ảnh hưởng của hệ số hiệu chỉnh biến dạng cắt (shear correction

factor), một định nghĩa đại lượng hiệu chỉnh biến dạng cắt không đơn vị

(nondimensinal shear correction term) được định nghĩa như sau:

(4.25)

trong đó, ks là hệ số thay đổi hình dáng tiết diện ngang. Chẳng hạn, đối với tiết

diện hình chữ nhật, ks=0.83, đối với tiết diện tròn, ks=0.9.

Từ phương trình (4.25), ma trận độ cứng tổng quát như sau:

(4.26)

Trong trường hợp không xem xét biến dạng cắt, nghĩa là =0, phương trình

(4.24) trở thành phương trình (4.22).

Tiếp theo chúng ta thực hiện các bước: Bước 5: lắp ghép ma trận toàn cục

và phương trình toàn cục cùng với việc xem xét và áp điều kiện biên; Bước 6: giải

hệ phương trình tìm giá trị chuyển vị dọc và góc xoay cho phần tử dầm; và Bước

7: Phân tích kết quả. Những bước này tương như Chương 2 và Chương 3. Sau đây,

chúng tôi sẽ thực hiện lắp ghép ma trận và phương trình toàn cục cũng như áp điều

kiện biên thông qua một ví dụ cụ thể ở Mục 4.3.

4.3 VÍ DỤ LẮP GHÉP MA TRÂN ĐỘ CỨNG CỦA DẦM

Bước 5: lắp ghép ma trận độ và phương trình toàn cục, áp điều kiện biên

Xem xét dầm như Hình 4.7 như một ví dụ mô tả thủ tục lắp ghép ma trận

độ cứng toàn cục từ những ma trận độ cứng phần tử dầm. Giả sử EI là hằng số và

Hình 4.7 Dầm với những ngàm, lực và momen

một lực 1000lb và một mô men 1000lb-ft được đặt tại điểm giữa của dầm.

Chương 4: Bài toán dầm

 82

Trước tiên, chúng ta rời rạc dầm thành 2 phần tử với số nút từ 1 đến 3 như

Hình 4.7. Ở đây, chúng ta cần chia hai phần tử với nút ở giữa trùng với điểm lực

cắt và moment tồn tại. Vì, trong phần này, chúng ta chỉ áp dụng ngoại lực (gồm

lực cắt và moment tại nút. Đối với các trường hợp khác, chúng tôi sẽ thảo luận sau.

Sử dụng phương trình (4.23), chúng ta dể dàng thu được ma trận độ cứng

của hai phần tử như sau:

(4.27)

và

(4.28)

ở đây, bậc tự do liên quan tới mỗi phần tử được nhận diện bởi tên biến được đặc

trên và bên phải ma trận độ cứng.

Như Chương 2 và 3, chúng ta sẽ lắp ghép ma trận toàn cục bằng phương

pháp độ cứng trực tiếp trên nguyên lý chồng chất. Như vậy, chúng ta thu được ma

trận toàn cục như sau:

(4.29)

Điều kiện biên của vấn đề này gồm 1 liên kết ngàm (fixed support) tại nút

1 và 1 khớp xoay (hinge or pinned support) tại nút 3. Nghĩa là:

(4.30)

Chương 4: Bài toán dầm

 83

Như vậy, phương trình cần giải sau khi áp điều kiện biên vào là:

(4.31)

trong đó, F2y=-1000lb, M2 =1000lb-ft, M3=0. Chúng ta giải phương trình (4.31) và

tìm giá trị của v2, 2, 3.

4.4 GIẢI BÀI TOÁN DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỘ CỨNG TRỰC TIẾP

Cho một dầm với các khớp và ngoại lực như Hình 4.8. Sử dụng phương

Hình 4.8 Dầm congxon với chống đỡ (propped cantilever beam)

pháp ma trận độ cứng để giải bài toán dầm này.

Đầu tiên chúng ta rời rạc dầm thành 2 phần tử. Sau đó sử dụng phương trình

(4.23), chúng ta có thể xác định được các ma trận độ cứng phần tử như phương

trình (4.27) và (4.28). Tiếp theo, sử dụng nguyên lý chồng chất, chúng ta xây dựng

được ma trận độ cứng toàn cục như phương trình (4.29). Cuối cùng, ta đạt được

phương trình toàn cục của vấn đề (Hình 4.8) như sau:

(4.32)

với điều kiện biên là:

(4.33)

Áp điều kiện biên vào phương trình (4.34), chúng ta giải phương trình rút

gọn (4.31) để tìm các biến còn lại.

Chương 4: Bài toán dầm

 84

(4.34)

Giải phương trình (4.34), chúng ta thu được:

(4.35)

trong đó, dấu dương của hai biểu thức cuối nhận diện góc xoay ngược chiều kim

đồng hồ (như đã qui ước trong Mục 4.2).

Lực nút toàn cục được xác định như sau. Sử dụng các giá trị chuyển vị dọc

vi và góc xoay i vào phương trình toàn cục (4.32), chúng ta được:

(4.36)

Nhân ma trận độ cứng toàn cục với véc tơ chuyển vị trong phương trình

(4.36), chúng ta đạt:

(4.37)

Chúng ta cũng có thể xác định được lực cắt và mô men uốn trong từng phần

tử dựa vào phương trình phần tử. Cụ thể, chúng ta sử dụng phương trình (4.27) để

xác định lực cắt và mô men uốn phần tử cho phần tử 1 như sau:

Chương 4: Bài toán dầm

 85

(4.38)

Từ phương trình (4.38), nhân ma trận độ cứng phần tử 1 và véc tơ chuyển

vị phần tử 1 trong phương trình (4.38). Ta thu được như sau:

(4.39)

Tương tự, chúng ta cũng xác định được lực và mô men cho phần tử 2. Để

giúp chúng ta hiểu hơn về kết quả của phương trình (4.37) cũng như kết quả tương

Hình 4.9 Giản đồ lực cắt và mô men trong (a) phần tử 1 và 2

ứng của phần tử 2. Giản đồ lực của phần tử 1 và 2 được thể hiện ở Hình 4.9.

Hơn nữa, từ kết quả trong phương trình (4.37), lực và mô men nút, giản đồ

lực cắt, và giản đồ mô mem cũng được thể hiện ở Hình 4.10, Hình 4.11, Hình 4.12

Hình 4.10 Lực cắt và mô men uốn tại nút

tương ứng.

Chương 4: Bài toán dầm

 86

Hình 4.11 Giản đồ lực cắt

Hình 4.12 Giản đồ mô men

4.5 NGOẠI LỰC PHÂN BỐ

Trong thực tế, các dầm chịu tác dụng của cả lực tập trung và lực phân bố

(Hình 4.13). Trong tính toán FEM, chúng ta phải thay thế lực phân bố thành hệ

thống lực tương đương bao gồm lực tập trung nút và mô men ở nút. Việc thay thế

này phải thỏa mãn yêu cầu rằng lực và mô men tập trung tương đương và lực phân

bố gốc phải cùng kết quả về lực và mô men đối với một điểm bất kỳ đã chọn. Việc

Hình 4.13 Lực phân bố đều trên dầm ngàm hai đầu.

Hình 4.14 Thay thế (a) lực phân bố bằng (b) lực và mô men tập trung

thay thế như thế này được thể hiện trong một ví dụ cụ thể ở Hình 4.14.

Chương 4: Bài toán dầm

 87

Hình 4.15 (a) Dầm chịu lực phân bố và (b) hệ lực/mô men tương đương

4.5.1 Phương pháp công tương đương (Work-equavalence method)

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp này để thay thế lực phân bố thành

các lực và mô men rời rạc tại nút. Phương pháp này dựa trên khái niệm rằng công

của lực phân bố làm dầm chuyển vị dọc (theo trục y) một đoạn v(x) thì bằng với

công của lực fiy và mi tại các nút bất kì làm dầm chuyển vị một lượng vi và i đối

với chuyển vị nút đó. Để mô tả phương pháp này, chúng ta xét một ví dụ trong

Hình 4.15. Công, Wdistributed, do lực phân bố là:

(4.40)

trong đó, v(x) là hàm chuyển vị dọc của dầm, w(x) là lực phân bố. Công do lực/mô

mên tại nút rời rạc:

(4.41)

Từ phương trình (4.20) và (4.41) chúng ta có thể tìm các đại lượng fiy và mi

từ Wdistributed=Wdiscrete với bất kì vi và i. Để làm điều này, chúng tôi sẽ trình bày

một ví dụ cụ thể trong Mục tiếp theo.

Hình 4.16 (a) Lực phân bố đều và (b) lực/mô men tương đương cần xác định

4.5.2 Ví dụ về thay thế lực phân bố

Chương 4: Bài toán dầm

 88

Chúng ta xét một ví dụ như Hình 4.16 với lực tải phân bố điều (uniformly

loaded). Ở đây, chúng ta không cần quan tâm đến điều kiện liên kết của dầm.

Sử dụng phương trình (4.40) và (4.41), chúng ta có:

(4.42)

Thay w(x)=-w và v(x) sử dụng phương trình (4.11), chúng ta đạt được công

do lực phân bố như sau:

(4.43)

Sử dụng phương trình (4.42) và (4.43) đối với chuyển vị nút bất kì. Cho

1=1, 2=v1=v2=0, chúng ta đạt

(4.44)

Tương tự cho những chuyển vị nút khác, chúng ta xác định được các lực/mô

men rời rạc tương đương còn lại như sau:

(4.45)

Tổng quát, chúng ta có thể nhận định rằng, đối với một lực phân bố đã cho

w(x), chúng ta có thể nhân với hàm dạng chuyển vị v(x) và sau đó tích phân phương

trình (4.42) để đạt được lực/mô men tập trung để thay thế cho lực phân bố. tuy

nhiên, chúng ta có thể đạt được sự thay thế lực này bằng các phản lực liên kết ngàm

(fixed-end reactions). Những bảng thể hiện phản lực ngàm trong một số trường

hợp có thể tham thảo trên những tài liều về “Sức bên vật liệu”, ví dụ như tài liệu

[5, 6]. Ở đây, lực/mo mên nút tương đương trong một số trường hợp được trình

bày ở Bẳng D-1.

Hơn nữa, nếu một lực tập trung tác dụng không nằm ở nút chung giữa hai

phần tử. Chúng ta cũng có thể sử dụng khái niệm lực nút tương đương để thay thế

lực tập trung bởi giá trị tập trung nút tác động ở những đầu phần tử dầm thay vì

Chương 4: Bài toán dầm

 89

tạo ra một nút trên phần tử dầm tại trị ví lực tập trung. Để xem những ví dụ cụ thể

của trường hợp này, xin tham khảo tại tài liệu [1].

4.5.3 Công thức tổng quát cho lực phân bố

Chúng ta có thể tính cho cả lực phân bố và tập trung tác dụng lên phần tử

dầm bởi công thức tổng quát sau:

(4.46)

Trong đó, {F} là lực tập trung tại nút và {F0} là lực tập trung tương đương tại nút.

Chúng ta có thể sử dụng Bảng D-1 để tra cứu biểu thức lực nút tương đượng, {f0},

để mô tả trong tọa độ cục bộ và mô tả {F0} trong tọa độ toàn cục.

VÍ DỤ 1:

Bây giờ, chúng ta thực hiện một ví dụ để minh họa cho công thức (4.46).

Hình 4.17 (a) Dầm công xôn chịu tải phân bố điều và (a) các lực/mô men nút tương

đương

Xét một dầm công xon như Hình 4.17.

LỜI GIẢI VÍ DỤ 1:

Trước hết, chúng ta rời rạc dầm. Ở đây, chỉ có một phần tử dầm được sử

dụng. Tiếp theo, tra Bảng D-1, lực phân bố được theo thế bởi lực và mô men nút

tương đương như Hình 4.17(b). Sử dụng phương trình (4.46) ta đạt được phương

trình phần tử như sau:

Chương 4: Bài toán dầm

 90

Chương 4: Bài toán dầm

 91

(4.47)

Sắp xếp lại phương trình (4.47), sau đó áp điều kiện biên v1=1=0 giải hệ

phương trình cho các biến còn lại như sau:

(4.48)

Giải phương trình (4.48) ta đạt được chuyển vị và góc xoay như sau:

(4.49)

Chú ý rằng, dấu âm trong phương trình (4.48) ngụ ý rằng v2 đi xuống và 2

xoay theo chiều kim đồng hồ. Cuối cùng, chúng ta sử dụng phương trình (4.47) để

tính tại phản lực tại nút 1 như sau:

(4.50)

hay

Chương 4: Bài toán dầm

 92

(4.51)

Hình 4.18 Giản đồ lực và phương trình cân bằng của dầm trong Hình 4.17

Giản đồ lực của dầm trong Hình 4.17 được thể hiện trong Hình 4.18.

VÍ DỤ 2:

Cho một dầm ngàm hai đầu với lực phân bố như hình 4.20. Xác định chuyển

Hình 4.19 (a) Dầm ngàm hai đầu với lực phân bố tuyến tính và (b) hệ thay thế lực/mô

men tương đương tại các nút.

vị và góc xoay tại nút giữa của dầm.

LỜI GIẢI VÍ DỤ 2:

Sử dụng phương trình (4.23) cho mỗi phần tử dầm, chúng ta có:

(4.52)

và

Chương 4: Bài toán dầm

 93

(4.53)

Điều kiện biên của Ví dụ 2 là v1=1= v3=3=0. Lắp ghép ma trận toàn cục,

sử dụng nguyên lý chồng chất, và áp điều kiện biên. Hệ phương trình cuối cùng

cần giải để tìm giá trị chuyển vị v2 và góc xoay 2 là:

(4.54)

Giải hệ phương trình (4.54), chúng ta có:

(4.55)

Có được giá trị của vi và i, chúng ta xác định phản lực và mô men tại 2 đầu

ngàm của dầm phương trình (4.46) như sau:

(4.56)

Chú ý rằng, L ở đây là một nữa chiều dài của dầm. Nếu chúng ta thay L

bằng chiều dài thực tế của dầm, chúng ta sẽ thu được phản lực tại các ngàm như

trường hợp 5 trong Bảng D-1.

Chương 4: Bài toán dầm

 94

4.6 PHẦN TỬ DẦM VỚI KHỚP XOAY BÊN TRONG

Trong một số dầm, khớp xoay bên trong có thể hiện diện. Khớp xoay bên

trong này sẽ gây ra một sự mất liên tục của độ dốc và góc xoay (discontinuity in

the slope and rotation). Xét một dầm gồm 2 phần tử và một khớp xoay tại nút 2

Hình 4.20 (a) Dầm gồm 2 phần tử với khớp xoay tại nút 2, (b) khớp xoay tại đầu bên

phải của phần tử 1 và (c) khớp xoay tại đầu bên trái của phần tử 2.

như Hình 4.20(a) và hai phần tử tách rời như Hình 4.20(b) và Hình 4.20(c).

Chúng ta thấy rằng, trong phần tử 1 không bằng với trong phần tử

2. Như vậy, tại khớp xoay (nút 2)  có hai giá trị. Bên cạnh đó, tại khớp xoay, mô

men uốn sẽ bằng không (như Hình 4.20(b) và (c)).

Ngắn ngọn, ma trận phần tử đối với trường hợp này được biểu diễn như sau:

Đối với khớp xoay bên phải của phần tử 1:

(4.57)

Đối với khớp xoay bên trái phần tử 2:

Chương 4: Bài toán dầm

 95

(4.58)

Chú ý rằng, khi giải quyết bài toán dầm có khớp xoay bên trong. Chúng ta

chỉ xem xét một trong hai phần tử có khớp xoay chung. Phần tử còn lại được xem

xét như các phần tử bình thường khác. Để nắm cụ thể thủ tục thiết lập phương trình

(4.57) và (4.88), các bạn nên tham khảo tài liệu [1].

VÍ DỤ 1:

Tìm góc xoay tại nút 2 và độ võng và góc xoay tại nút 3 đối với dâm với

khớp xoay bên trong như Hình 4.21. Biết, ngàm tại nút 1 và 4, gối đỡ tại 2 và

Hình 4.21 Dầm với khớp xoay và lực phân bố.

E=210GPa và I=2.10-4m4.

LỜI GIẢI VÍ DỤ 1:

Rời rạc dầm thành 3 phần tử như Hình 4.21. Sử dụng phương trình (4.23)

để xác định ma trận độ cứng của phần tử 1 như sau:

(4.59)

Sử dụng phương trình (4.57) cho phần tử 2 có khớp xoay ở nút 2, chúng ta

có:

Chương 4: Bài toán dầm

 96

(4.60)

Chú ý rằng chúng ta đã xem xét khớp xoay ở phần tử 2. Vì vậy, chúng ta

không xem xét ở phần tử 3. Do đó, chúng ta sử dụng phương trình (4.23) để xác

định ma trận độ cứng cho phần tử 3 như sau:

(4.61)

Lắp ghép ba ma trận độ cứng phần tử trên vào trong ma trận độ cứng toàn

cục bằng phương pháp độ cứng trực tiếp hay nguyên lý chồng chất, chúng ta được:

(4.62)

Điều kiện biên gồm:

(4.63)

Chúng ta thu được phương trình rút gọn để tìm giá trị của các chuyển vị và

góc xoay chưa biết như sau:

Chương 4: Bài toán dầm

 97

(4.64)

Chú ý rằng, lực và mô men toàn cục tại nút 3 đạt được bởi sử dụng phương

pháp “tương đương công (work equavalence)” và bảng D-1.

Thế các tham số đã biết và giải phương trình (4.64), chúng ta đươc:

, , (4.65)

Để ý rằng, 3 thực thế là của phần tử 3. Trong trường hợp này khớp xoay

được giả sử trong phần tử 2. Do vậy, chúng ta thấy rằng góc xoay, đã bị “loại

bỏ” trong phần tử 2. Việc tính toán góc xoay ở phần tử 2 có thể tham khảo trong

tài liệu [1].

4.7 XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ NĂNG

Sau đây, chúng ta sẽ đi xây dựng phương trình phần tử dầm bằng phương

pháp cực tiểu thế năng.

Tổng thế năng đối với dầm là:

(4.66)

trong đó, biểu thức năng lượng biến dạng, U, của dầm được cho bởi:

(4.67)

Đối với phần tử dầm đơn chịu tác động cả lực tập trung và lực phân bố,

năng lượng thế năng của ngoại lực được mô tả như sau:

(4.68)

trong đó, chúng ta bỏ qua lực thể tích. Những số hạng trong vế bên phải của phương

trình (4.68) trình diễn thế năng của (1) lực mặt Ty (một đơn vị lực trên một đơn vị

diện tích mặc, tác động trên bề mặt S1 và di chuyển một đoạn do lực Ty tác động);

Chương 4: Bài toán dầm

 98

(2) lực tập trung Piy di chuyển một lượng vi; và (3) mô men mi làm quay một góc

Hình 4.22 Phần tử dầm với các ngoại lực tác dụng

i. Và v(x) là hàm chuyển vị đối với dầm có chiều dài L như Hình 4.22

Giả sử rằng tiết diện ngang là hằng số A. Vi phân thể tích của phần tử dầm

có thể biểu diễn như sau:

(4.69)

và vi phân diện tích trên bề mặt lực mặt tác dụng như sau:

(4.70)

trong đó, b là bề rộng của dầm. Sử dụng các phương trình (4.66) đến (4.70), thế

năng tổng cộng là:

(4.71)

Đạo hàm phương trình (4.11) và thế vào phương trình (4.18), chúng ta mô

tả biến dạng liên quan đến chuyển vị và góc xoay như sau:

(4.72)

Hoặc trong dạng rút gọn như sau:

và

(4.73)

Mối quan hệ ứng suất – biến dạng:

trong đó (4.74)

Sử dụng phương trình (4.73) và (4.74), chúng ta đạt:

 99

Chương 4: Bài toán dầm

(4.75)

Phương trình (4.71) được mô tả trong dạng kí hiệu ma trận như sau:

(4.76)

Chúng ta đặt w=bTy, thay các phương trình (4.15), (4.73), (4.74), và (4.75)

vào phương trình (4.74), ta được phương trình thế năng dạng ma trận sau:

(4.77)

trong đó, chúng ta đã thay thế:

(4.78)

Đạo hàm p lần lượt cho v1, 1, v2, 2 mà cho các biểu thức này bằng

không để cực tiểu hóa p, chúng ta thu được bốn phương trình phần tử, cái mà

được ghi ở dạng ma trận như sau:

(4.79)

Phương trình phần tử dầm có dạng, , do vậy, chúng ta có:

(4.80)

và véc tơ tải là

(4.81)

Thay [B] trong phương trình (4.73) vào phương trình (4.80) và thực hiện

tích phân theo dx, chúng ta được:

(4.82)

Khi đó năng lượng biến dạng U của dầm là một dạng toàn phương

(quadratic form) được biểu diễn như sau:

Chương 4: Bài toán dầm

 100

(4.83)

4.8 TÓM TẮT CÔNG THỨC

Hàm dịch chuyển được giả sử trong phần tử dầm

(4.84)

Hàm dạng đối với phần tử dầm:

(4.85)

Ứng suất uốn của dầm:

(4.86)

Ma trận độ cứng phần tử:

(4.87)

Ma trận độ cứng phần tử bao gồm biến dạng cắt (lý thuyết Timoshenko)

(4.88)

Công do lực phân bố:

(4.89)

Công do lực lực nút rời rạc:

(4.90)

Chương 4: Bài toán dầm

 101

Phương trình tổng quát đối với dầm chịu lực phân bố:

(4.91)

Ma trận độ cứng dầm với khớp xoay bên phải:

(4.92)

Tổng thế năng của phần tử dầm:

(4.93)

Năng lượng biến dạng đối với phần tử dầm:

(4.94)

4.9 BÀI TẬP

Bài tập 1

Sử dụng FEM, xác định phản lực, vẽ giản đồ lực và mô men uốn. Cho EI

Hình B4.1

là hằng số

Bài tập 2

Hình B4.2

Sử dụng FEM, xác định độ võng cực đại và phản lực của dầm công xôn sau:

Bài tập 3

Chương 4: Bài toán dầm

 102

Hình B4.3

Xác định độ võng và góc quay tại điểm C của dầm sau:

Bài tập 4

Xác định chuyển vị và góc xoay nút, lực trong mỗi phần tử và phản lực của

Hình B4.4(a)

Hình B4.4(b)

Hình B4.4(c)

những vấn đề sau:

Chương 4: Bài toán dầm

 103

Hình B4.4(d)

Bài tập 5

Xác định độ võng tại khớp xoay bên trong của vấn đề sau. Biết E=210GPa

Hình B4.5(a)

Hình B4.5(b)

và I=2.10-4m4

Chương 5: Phần mềm RDM

 104

Chương 5

PHẦN MỀM RDM

NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG

Giới thiệu phần mềm RDM được viết từ FEM.

Cách sử dụng một số Môđun trong RDM.

5.1 GIỚI THIỆU VỀ RDM

RDM là một chương trình ứng dụng dùng để tính toán cấu trúc bằng phương

pháp phần tử hữu hạn. Phần mềm do khoa cơ khí và sản xuất tự động của trường

cao đẳng công nghệ Le Mans Cộng hòa Pháp soạn thảo.

Phần mềm được chia làm 3 môđun:

Uốn phẳng Flexion: là một môđun dùng để giải bài toán tĩnh các kết cấu

dầm thẳng chịu uốn phẳng bằng FEM.

Hệ thanh Ossatures: là môđun cho pháp khảo sát đáp ứng tĩnh và động của

các kết cấu khung giàn bằng FEM.

Môđun nghiên cứu trạng thái cơ học và nhiệt học bằng FEM gồm 5 phần:

 Mô hình hóa hình học và tạo lưới.

 Nhiệt và đàn hồi.

 Tiết diện ngang.

 Uốn tấm phẳng.

 Nghiên cứu thực nghiệm nhờ cảm biến.

5.2 MÔĐUN FLEXION

5.2.1 Một số qui ước

 Trục X là đường trung bình của dầm.

 Mặt phẳng OXY là mặt phẳng đối xứng của dầm.

 Trục Z tạo với trục X, Y thành một tam diện thuận.

 Các trục Y và Z là các trục chính trung tâm.

 Vật liệu đồng chất, đẳng hướng..

 Làm việc trong vùng đàn hồi tuyến tính.

Chương 5: Phần mềm RDM

 105

 Dưới tác động của tải trọng, mặt cắt ngang vẫn phẳng và vuông góc

với đường trung bình (giả thuyết Bernoulli).

 Chuyển vị và biến dạng bé

5.2.2 Ứng Dụng

Môđun này có thể tính cho các trường hợp sau:

 Tải trọng tập trung và tải trọng nút.

 Tải trọng phân bố đều và tuyến tính.

 Tính đến trọng lượng bản thân dầm.

 Xét đến dịch chuyển của gối tựa.

 Trường hợp gối tựa đàn hồi.

5.2.3 Các nguyên tác mô hình hóa

Như trình đề cập, phần mềm RDM được xây dựng dựa trên FEM. Do vậy,

như được trình bày ở các chương trước, việc đầu tiên của FEM là xây dựng mô

hình toán bằng những nút đặc biệt. Nút đặc biệt là những nút mà tại đố có sự thay

đổi các thông số đặc trưng, thông số tác động, cũng như các liên kết. Thứ tự các

nút đặc biệt trong RDM cần tuân theo qui định sau:

 Đầu mút của dầm: nút 1 và 2

 Nơi thay đổi mặt cắt ngang: nút 5

 Điểm đặt lực tập trung: nút 1 và nút 6

 Các đầu nút của tải trọng phân bố: nút 7 và 9

 Vị trí liên kết trong: nút 3

 Vị trí đặt liên kết ngoài: nút 4, 8 và 2

Vị trí và thứ tự nút đối với từng loại lực và khớp được thể hiện như trong

hình 5.1

Chương 5: Phần mềm RDM

 106

Hình 5.1 Thứ tự nút trong RDM

5.2.4 Thực đơn chính của RDM – FLEXION

Môi trường làm việc của bài toán uốn phẳng có màn hình giao diện như

Hình 5.2 Giao diện chính của Môđun Flexion

hình 5.2.

Từ Hình 5.2, RDM – Flexion có các biểu tượng, tiêu biểu như tạo file mới,

Hình 5.3 Các biểu tưởng tiêu biểu trong RDM – Flexion

mở file, lưu file..., như sau:

Một số thực đơn chính trong thanh Menu như sau:

File

Thực đơn File gồm các thành phần liên quan đến tạo, mở, lưu tập tin (file)

cũng như in và xuất kết quả, dữ liệu:

Chương 5: Phần mềm RDM

 107

Hình 5.4 Thành phần thực đơn File

Units

Hình 5.5 Thực đơn thiết lập đơn vị tính toán.

Thực đơn Units dùng để thiết lập đơn vị (units) tính toán như Hình 5.5.

Trong thực đơn này, chúng ta có thể thay đổi đơn vị cho một số thống số

như: chiều dài (length), lực (force), ứng suất (stress), góc (Angle), nhiệt độ

(tempearture.

View

Thực đơn View dùng để hiệu chỉnh các thay đổi về hiện thị, gồm các lệnh

như: Zoom dùng để phóng to (hiển thị) một phần tử; Full Screen để hiển thị toàn

bộ bài toán trên màn hình; Refresh dùng làm tươi lại màn hình; Parameters

drawing có tác dụng hiệu chỉnh các thông số vẽ kết quả, và Data dùng để hiển thị

lại mô hình tính toán với các thông số đặc trưng, thông số tác động, và các điều

kiện biên.

Chương 5: Phần mềm RDM

 108

Model

Trong thực đơn này, chúng ta có thể hiệu chỉnh các thông số đặc trưng,

thông số tác động và điều kiện biên của bài toán. Thực đơn này giúp chúng ta xây

dựng và hiệu chỉnh mô hình của bài toán. Một số các thành phần của thực đơn này

gồm:

Add a node: Thêm nút cho hệ.

Remove a node: Hủy bỏ một nút.

Materials: Nhập vật liệu cho bài

toán. Lưu ý, một dầm chỉ được thiết lập

với một loại vật liệu. Trong thực đơn này,

chúng ta có thể nhập các thông số đặc

trưng của dầm như: Môđun đàn hồi

(Young’s Modulus), khối lượng riêng

Hình 5.6 Thực đơn vật liệu (Mass Density), và giới hạn biến dạng dẻo

(Elastic Limit) (Hình 5.6).

Ngoài ra, chúng ta có thể sử dụng thực đơn Library of Materials để gọi

vật liệu đã được thiết lập và lưu thành một thư viện các vật liệu trong RDM (Hình

Hình 5.7 Thư viện vật liệu trong RDM

5.7).

Chương 5: Phần mềm RDM

 109

Tiếp theo, chúng ta sử dụng thực đơn Cross Sections để định dạng tiết diện

cắt. Lưu ý rằng, mặt cắt ngang đầu tiên được RDM gán cho toàn bộ dầm. Các tiết

diện sau có thể gán cho từng phần tử (từng đoạn) của dầm bằng cách chọn điểm

đầu và điểm cuối của đoạn dầm. Sau khi chọn Model/Cross Sections một hộp

Hình 5.8 Các loại tiết diện

thoại gồm nhiều loại tiết diện sẽ hiện ra như Hình 5.8.

Chúng ta chọn tiết diện và nhập thông số hình học cho tiết diện vừa chọn.

Hình 5.9 Thông số chiều cao và rộng của tiết diện hình chữ nhật

Hình 5.10 Các loại liên kết

Ví dụ nhập thông số hình học cho tiết diện hình chữ nhật như Hình 5.9

Chương 5: Phần mềm RDM

 110

Trong hộp thoại Cross Sections ở Hình 5.8, chúng ta có thể thiết lập một

tiết diện bất kì bằng biểu tượng hình chữ nhật màu xanh lá cây, . Bên

cạnh đó chúng ta cũng chọn tiết diện từ thư viện có sẵn trong RDM bằng biểu

tượng cuốn sách với dầm I trong hộp thoại Cross Sections ở Hình 8.5.

Sau khi đã thiết lập tiết diện của dầm, chúng ta tiếp tục thiết lập các điều

kiện liên kết bởi thực đơn Supports. Khi chọn Model/Supports, hộp thoại

Supports với các loại liên kết xuất hiện như Hình 5.10

Tiếp theo, chúng ta áp tải trọng cho bài toàn bằng thực đơn Loads với các

Hình 5.11 Các loại tải trọng.

loại tải trọng như Hình 5.11.

Hình 5.12 Các thành phần hiển thị kết quả

Results

Sau khi chúng ta thiết lập tất cả các thông số đặc trưng, điều kiện biên và

tải trọng. Chúng ta vào thực đơn Results để xuất kết quả. Các kết quả trong bài

Chương 5: Phần mềm RDM

 111

toán dầm gồm: độ võng (Deflection), độ dốc (Slope), biểu đồ lực cắt (Shear

Force), biểu đồ Mô men uốn (Bending Moment), ứng suất pháp tuyến thớ trên

(Normal stress: upper fiber), ứng suất pháp tuyến thớ dưới (Normal stress: lower

fiber), ứng suất cả thớ trên và thớ dưới (Normal stress), và trường ứng suất (Iso

Normal stress). Ngoài ra, chúng ta cũng có thể sử dụng các biểu tượng tương ứng

trên giao diện của thực đơn Results được thể hiện ở Hình 5.12.

5.2.5 Ví dụ

Sau đây, chúng ta sẽ thực hiện một ví dụ cụ thể về giải bài toán dầm trong

RDM. Cho bài toán như Hình 5.13 với vật liệu là thép (Steel), tiết diện dầm là hình

tròn đặc với đường kính d=40mm. Tải trọng tập trung P=4KN và tải phân bố là

Hình 5.13 Cấu hình dầm trong ví dụ 1

q=18KN/m. Xác định biểu đồ momen uốn, trị số biến dạng và góc xoay lớn nhất.

LỜI GIẢI BẰNG RDM

Trước hết, chúng ta khảo sát bài toán dầm trong Hình 5.13. Chúng ta thấy

rằng dầm được kiêt kết ngàm tại vị trí x=0 và x=19mm, ba liên kết gối tựa tại

x=4mm, x=9mm, và x=14m. Lực phân bố đặt tại x=0 đến x=9mm và một lực tập

trung tại x=16.5mm. Như vậy chúng ta cần tạo ra 6 nút. Trình tự giải như sau:

Chọn File/New và nhập vào số nút.

Chương 5: Phần mềm RDM

 112

Tiếp theo nhập vào tọa độ các nút

Hình 5.14 Dầm cho ví dụ 1

Chúng ta tạo được dầm với 6 nút như Hình 5.14.

Tiếp theo chúng ta vào Model/Library of Materials để chọn vật liệu thép

(Steel) như sau:

Chương 5: Phần mềm RDM

 113

Thiếp lập tiết diện cho dầm bằng thực đơn Model/Cross Sections. Chọn

hình tròn (Circle) và nhập đường kính vào.

Tiếp theo, chèn các liên kết bằng thực đơn Model/Supports tương ứng tại

Hình 5.15 Dầm với các liên kết đã được thiết lập

các vị trí như Hình 5.13, chúng ta thu được như Hình 5.15.

Chương 5: Phần mềm RDM

 114

Tiếp theo, chúng ta áp tải trọng phân bố điều và tải trọng tập trung bởi thực

đơn Model/Loads.

Lực phân bố

Sau chọn nút 1 và nút 3

Lực tập trung cho nút 5

Ví dụ 1 sau khi thiết lập tất cả các thông số đặc trưng, ngoại lực và điều

Hình 5.16 Ví dụ một sau khi thiệt lập các thông số.

kiện biên, được thể hiện như Hình 5.16

Cuối cùng chúng ta vào thực đơn Results để truy xuất kết quả.

Chương 5: Phần mềm RDM

 115

Hình 5.17 Biểu đồ độ võng.

Kết quả độ võng Results/Deflection trong Hình 5.17.

Các kết quả về giá trị cực đại và cực tiểu của đồ võng cũng được thể hiện

trong Hình 5.17. Cụ thể, giá trị võng lớn nhất là 5.203E-8 tại vị trí 12.087 và giá

trị võng nhỏ nhất là -1.333E-7 tại vị trí gần điểm 5.

Tương tự sử dụng Model/Slope và Model/Blending Moment để vẽ biểu đồ

Hình 5.18 Biểu đồ góc xoay

góc xoay và mô men uốn như thể hình ở Hình 5.18 và 5.19 tương ứng.

Chương 5: Phần mềm RDM

 116

Hình 5.19 Biểu đồ mô men

5.3 MÔĐUN OSSATURES

5.3.1 Giới thiệu

Môđun Ossatures cho phép chúng ta nghiên cứu các bài toán tĩnh và động

kết cấu khung giàn theo phần tử hữu hạn. Trong Môđun này, một số giả thuyết cần

phải thỏa mãn trong giải quyết các bài toán thanh sau đây:

- Hệ thanh được tạo ra từ các thanh thẳng

- Chuyển vị của thanh là bé.

- Vật liệu đẳng hướng và đồng nhất.

- Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là tuyến tính.

- Trọng tâm và tâm xoắn của tiết diện trùng nhau.

- Lực cắt được xem xét.

Trước khi đi vào nội dụng của Môđun này, chúng ta cần tìm hiểu về phân

loại hệ thanh.

5.3.2 Phân loại hệ thang

Hệ thanh hay khung giàn không gian

Đây là hệ thanh tổng quát, vị trí các nút được xác định trong hệ tọa độ

không gian Oxyz, mỗi nút có sáu bậc tự do gồm: u,v, w, x, y, z.

Trong hệ tọa độ cục bộ gắn với thanh, nội lực trên mặt cắt ngang của

thanh gồm: Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz.

Chương 5: Phần mềm RDM

 117

Hệ thanh phẳng hay khung giàn phẳng (plane frame)

Một hệ thanh (khung giàn) được gọi là phẳng nếu nó có một mặt phẳng đối

xứng (đối xứng cả về mặt hình học và chuyển vị). Mặt này chứa các phương chính

của mặt cắt.

Một số qui ước của trong Môđun Ossatures cho hệ thanh phẳng:

Mặt phẳng đối xứng là Oxy. -

Các trục x và y của hệ tọa độ cục bộ trên thanh thuộc mặt phẳng -

Oxy.

- Mỗi nút có 3 bật tự do gồm: u, v, z.

Trong hệ tọa độ cục bộ gắn với thanh, nội lực trên mặt cắt ngang -

của thanh gồm: Fx, Fy, Mz.

Hệ thanh nền, khung nền (floor frame)

Khung nền là khung có một mặt phẳng đối xứng, mặt phẳng này chứa một

trong các trục chính của tất cả các tiết diện.

Một số qui ước của trong Môđun Ossatures cho khung nền:

Mặt phẳng đối xứng là Oxy. -

Các trục x và z của hệ tọa độ cục bộ nằm trong mặt phẳng Oxy. -

Phương chính y vuông góc với mặt phẳng kết cấu. -

Khung nền chịu tác dụng của các lực vuông góc với mặt phẳng -

Oxy và các momen nằm trong mặt phẳng Oxy.

- Mỗi nút của hệ thanh có 3 bật tự do: w, x, z.

Trong hệ trục cục bộ của thanh, nội lực trên mặt cắt ngang của -

thanh gồm: Fz, Mx, Mz.

5.3.3 Nguyên tắc mô hình hóa

Để giải bài toán thanh trong Môđun Ossatures, chúng ta cần nắm vững

nguyên tắc mô hình hóa trong RDM về nút, thanh, liên kết và tải trọng. Xem xét

một hệ thanh được thể hiện ở Hình 5.20.

Chương 5: Phần mềm RDM

 118

Hình 5.20 Hệ thanh trong Môđun ossatures.

Nút

Trước hết, chúng ta xem xét về nút của hệ thanh. Như Hình 5.20, chúng ta

thấy rằng có nhiều và nút trong hệ thanh. Chúng gồm:

- Nút liên kết giữa các thanh: 2, 5.

- Nút tại đầu mút thanh: 8.

- Nút tại điểm mặt cắt thanh thay đổi: 9.

- Nút tại điểm có lực tập trung tác động: 9.

- Nút tại điểm có liên kết bên ngoài: 1, 3, 4, 7.

- Nút tại các đầu mút của tải trọng phân bố: 6.

Thanh

Tiếp theo, chúng ta xem xét về thanh của hệ thanh. Thanh được định nghĩa

bởi 2 nút. Như Hình 5.20, chúng ta có 8 thanh gồm: [1-2], [2-6], [6-5], [5-7], [7-

8], [3-9], [9-2], [4-5]. Chú ý, tập hợp [1-8] không được xây dựng chỉ một thanh.

Chúng ta cần phải chia thành nhiều thanh như Hình 5.20.

Liên Kết

Liên kết gồm liên kết trong giữa các thanh và liên kết bên ngoài.

Liên kết trong gồm: liên các cứng (như nút 2 giữa thanh [1-2] và [2-6] hay

nút 9 giữa thanh [3-9] và [9-2]), khớp quay (như nút 5 của thanh [5-4]. Chú ý rằng

khớp quay sẽ không truyền mô men.

Chương 5: Phần mềm RDM

 119

Liên kết bên ngoài gồm: gối tại (nút 7), khớp quay (nút 1, 4), liên kết ngàm

(nút 3).

Chú ý rằng, các liên kết bên ngoài chính là điều kiện biên của hệ thanh.

Trong khi, các liên kết trong và liên kết giữa các thanh, giữa các phần tử.

Tải Trọng

Lực tác dụng vào hệ thông thường gồm hai loại: lực tập trung (nút 9), lực

tập trung (tại thanh [2-6]).

5.3.4 Hệ tọa độ cục bộ

Hệ tọa độ cục bộ Oxyz đặt trên thanh được qui ước như sau:

- O và E là trọng tâm của các tiết diện tại 2 đầu nút của thanh

- Trục x nằm trên trục thanh đi từ O đến E. Điểm O là điểm gốc và E

là điểm ngọn.

- Trục y và z là các trục quán tính chính trung tâm của tiết diện qua

điểm gốc.

- Hệ tọa độ cục bộ Oxyz tạo thành một tam diện thuận.

5.3.5 Thực đơn chính của RDM - OSSATURES

Khi khởi động Môđun Ossatures, môi trường làm việc xuất hiện như Hình

5.21.

Hình 5.21 Môi trường làm việc thứ nhất của RDM – Ossatures

Chương 5: Phần mềm RDM

 120

Trong môi trường này, chúng ta có 3 thực đơn chính: File, Units và

Utilities. Chúng ta chọn File/New để bắt đầu với một bài toán mới. Khi đó một

hộp thoại Define a frame type như Hình 5.22 cho phép chúng ta chọn các loại hệ

Hình 5.22 Hộp thoại chọn các loại hệ thanh

thanh gồm: hệ thanh phẳng (plane), hệ thanh không gian (space), và hệ sàn (floor).

Tùy thuộc vào từng loại

hệ chúng ta chọn, RDM sẽ yêu

cầu chúng ta nhập tọa độ của nút

trong hệ thanh. Ví dụ ta chọn hệ

thanh phẳng (plane), hộp thoại

nhập tọa độ nút trong không

gian 2 chiều Oxy như Hình 5.33

xuất hiện.

Trong hộp thoại này,

chúng ta có thể thay đổi đơn vị

để nhập tọa độ nút của hệ thanh.

Trong thực đơn File, còn

có một số tính năng khác như:

Open dùng để mở file có sẵn,

hay Library dùng để gọi một hệ

thanh có sẵn trong thư viện.

Hình 5.23 Hộp thoại nhập tọa độ nút của hệ

Chương 5: Phần mềm RDM

 121

Thực đơn Units dùng để thay đổi đơn vị tính toán như Môđun – Flexion.

Sau khi một trong những tính năng trong thực đơn File được chọn, môi

Hình 5.24 Môi trường làm việc tiếp theo

trường làm việc tiếp theo xuất hiện như Hình 5.24

Bây giờ, chúng ta tiếp tục xem xét các thực đơn trong môi trường mới (Hình

5.24).

File

Trong môi trường này, thực đơn File có một số tính năng trùng với môi

trường đầu tiên. Bên cạnh đó còn một số tính năng khác như: Save, Edit, Edit a

file, Print, Export…

View

Tiếp theo, chúng ta xem xét thực đơn View. Các tính năng của thực đơn

này được thể hiện trong Hình 5.25.

Các tính năng trong thực đơn này gồm:

Zoom: Thu nhỏ hoặc phóng to hình ảnh.

Zoom in: Phóng to hình ảnh hiện tại lên n lần.

Zoom out: Thu nhỏ hình ảnh hiện tại xuống n lần.

Full Sreem: Hiển thị toàn bộ kết cấu.

Center: Đưa điểm ta nhấp về tâm của màn hình.

Refresh: Làm sạch màn hình.

Parameters of drawing: Thông số của bản vẽ.

Number: Hiển thị số hiệu của nút và thanh trong kết cấu.

Chương 5: Phần mềm RDM

 122

A node: Hiển thị số hiệu của một nút trong kết cấu.

Nodes: Hiển thị số hiệu của các nút trong kết cấu.

A beam: Hiển thị số hiệu của một phần tử trong kết cấu.

Beams: Hiển thị số hiệu của các phần tử trong kết cấu.

Geometry: Hiển thị hình học của hệ.

Meshing: Hiển thị lưới.

Materials: Hiển thị các vật liệu trong kết cấu.

Local coordinates: Hiển thị các hệ tọa độ địa phương.

Cross Sections: Hiển thị các mặt cắt ngang.

Materials: Hiển thị các vật liệu trong kết cấu

Areas: Hiển thị diện tích các tiết diện.

Momen of inertia: Hiển thị momen quán tính.

Constants of torsion: Hiển thị các hàng số xoắn

Load cases: Hiển thị các trường hợp tải.

Hình 5.25 Một phần tính năng của thực đơn View

Model

Kế bên phải thực đơn View là thực đơn Model, đây là thực đơn cho phép

chúng ta xây dựng hoàn chỉnh mô hình tính toán của một bài toán hệ thanh trong

RDM. Thực đơn này cũng cho phép chúng ta hiệu chỉnh những thông số đầu vào

của bài toán. Thực đơn này gồm những lệnh như: dựng mô hình, thiết lập mặt cắt

Chương 5: Phần mềm RDM

 123

ngang, thiết lập vật liệu, tạo liên kết, áp đặt tải trọng và những thông số khác. Sau

đây, chúng tôi xin trình bày một số tính năng chính, cần thiết để giải quyết một hệ

thanh bằng RDM.

Trước hết, chúng ta tìm hiểu tính năng thứ ba trong thực đơn Model. Nó là

Nodes and Beams, dùng để tạo các nút và thanh cho bài toán. Khi chọn

Model/Nodes and Beams, một thanh công cụ về hình học được hiển thị như Hình

Hình 5.26 Thanh công cụ Nodes and Beams

5.26 cùng với mô tả ý nghĩa của các biểu tượng.

Tiếp theo, chúng ta sử dụng tính năng thứ 5 trong thực đơn Model, Cross

section, để thiết lập tiết diện cho phần tử thanh. Tính năng này định dạng tiết diện

cho 1 phần tử thanh (Element), một nhóm thanh (Group), hoặc nhóm thanh trong

cưa sổ (Windows). Chúng ta cũng có thể thiết lập màu và nét vẽ từ những màu và

nét vẽ trong Groups và gán cho một thanh hoặc nhóm thanh. Tiếp theo là định

nghĩa tiết diện ngang cho hệ thanh trong phần Define. Trong phần Define, chúng

ta có nhiều cách để thiết lập tiết diện cho mặt cắt của thanh như: thiết diện bất kì

(Arbitrary), tiết diện đã định nghĩa trước (Pre – Determined), tiết diện thay đổi

(Variable), tiết diện từ trong thư viện RDM (Library), tiết diện được định nghĩa

từ file ảnh IGES (IGES file), hay tiết diện từ hình vẽ được tạo ngay trong RDM

(GEO file).

Chương 5: Phần mềm RDM

 124

Tính năng quan trọng tiếp theo trong Model là Material, dùng để thiết lập

vật liệu cho hệ thanh. Vật liệu mặc định của hệ thanh là thép. Đối với hệ thành

gồm nhiều vật liệu, chúng ta sử dụng tính năng này để thiết lập vật liệu cho các

Hình 5.27 Hộp thoại Materials

thanh trong hệ. Hộp thoại Materials được thể hiện ở Hình 5.27

Giống như tính năng Cross section, trong tính năng Materials, chúng có

thể gán màu trong phần Groups và vật liệu bằng cách định nghĩa (Define) hay từ

tư viện RDM (Library) cho từng phần tử thanh (Element), hay nhóm thanh

(Group) hoặc cho cả cấu trúc (Structure).

Tiếp là tính năng định liên kết trong của hệ thanh, Release. Khi chọn

Model/Release thanh công cụ nội liên kết xuất hiện như Hình 2.28. Hình 2.28

cũng thể hiện các dạng liên kết nội trong hệ thanh. Chúng ta chọn dạng liên kết

phù hợp cho bài toán của mình.

Chương 5: Phần mềm RDM

 125

Hình 5.28 Các dạng liên kết bên trong.

Bước kết tiếp là thiết lập các liên kết bên ngoài thông qua tính năng

Supports/Semmetry. Các loại liên kết được thể hiện trong thanh công cụ

Hình 5.29 Các dạng liên kết ngoài.

Supports như Hình 5.29

Biểu tượng thứ nhất là liên kết ngàm (u =v=w=x=y=z=0), thứ hai là

khớp cầu (u=v=w=0), thứ ba là gối tự, thứ tư là gối dịch chuyển cho trước (u=d,

v=d, w =d hoặc x=, y=, z =), thứ năm là gối tựa đàn hồi (Fx=-ku, Fy=-kv,

Fz=-kw, Mx =-kx, MY=-kY, MZ =-kZ).

Đối với các bài toán đối xứng, ta chỉ cần xem xét một phần. Sau đó xác định

mặt phẳng đối xứng cho bài toán bằng biểu tượng thứ bảy và thứ tám.

Tính năng quan trọng nữa là Load Case, dùng để đặt tải trọng cho hệ thanh.

Các loại tải trọng được thể hiện trong thanh công cụ Load Case 1 như Hình 5.30.

Chương 5: Phần mềm RDM

 126

Chú ý rằng đối với RDM6.15, Load Case 1 nằm ở một thực đơn riêng liền kề với

Hình 5.30 Các dạng tải trọng.

thực đơn Model.

Ngoài ra còn số tính năng khác trong thực đơn Model như:

Tính năng đầu tiên trong thực đơn Model là Parameters, tính năng này

dùng để hiệu chỉnh tỉ lệ hiển thị các biểu tượng và lực của mô hình tính toán.

Tiếp theo là tính năng Compacter the data, tính năng này dùng để xóa các

dữ liệu đã tính trước đó.

Tính năng Transform, hộp thoại Transform xuất hiện sau khi chọn

Model/Transform như Hình 5.31

Chương 5: Phần mềm RDM

 127

Hình 5.31 Hộp thoại Transform

Những tính năng cơ bản của hộp thoại này gồm: Di chuyển (Move), sao

chép (Copy) một thanh (Beam), một nhóm thanh (Group), hay các thanh trong

cửa sổ (Windows). Tiếp theo chúng ta chọn phương thức dịch chuyển hay sao

chép bao gồm: giữa hai điểm được định nghĩa (defined by two nodes), khoảng

cách theo phương x và y (dx dy), chỉ theo phương x (dx), và chỉ theo phương y

(dy).

Chúng ta cũng có thể quay đối tượng bằng cách chọn Node + angle trong

phần Rotation around an axis. Để quay một thanh, chúng ta cần phải định nghĩa

nút quay (Node) và góc quay (Angle), sau đó chọn các đối tượng muốn quay.

Một tính năng nữa trong hộp thoại này là phép đối xứng qua mặt phẳng

(Symmetry around a plane) với các phương thức đối xứng như: định nghĩa bởi

2 nút (defined by two nodes), đường ngang (Horizontal line), và đường dọc

(Vertical line).

Tính năng Calculate the cross section dùng để tính toán các vấn đề liên

quan đến mặt cắt ngang.

Chương 5: Phần mềm RDM

 128

Results

Sau khi chúng ta xây dựng mô hình, thiết lập các thông số đặc trưng, thông

số tác động. Chúng ta sử dụng thực đơn Results để xuất kết quả. Thực đơn Results

gồm:

Informations on the calculation: Thông tin về tính toán

Use the utility bar: Hiển thị thanh công cụ kết quả tính toán

Select a group: Chọn nhóm thanh định xem kết quả

Parameters: Tham số tính toán

Deflection: Biểu đồ biến dạng

Normal force: Biểu đồ lực pháp tuyến.

Shear force: Biểu đồ lực cắt.

Torsion moment: Biểu đồ momen xoắn.

Bending moment: Biểu đồ momen uốn.

Normal stress: Biểu đồ ứng suất pháp

Equivalent stress of von mises: Biểu đồ ứng suất von mises

Energy of deformation: biểu đồ năng lượng biến dạng.

Stress on section: Xem kết quả ứng suất trên một tiết diện ngang bất kỳ.

Beam: Xem kết quả trên một thanh bất kỳ.

Maximum deplacement X: Chuyển vị lớn nhất theo phương X

Maximum deplacement Y: Chuyển vị lớn nhất theo phương Y

Maximum deplacement Z: Chuyển vị lớn nhất theo phương Z

Maximum deplacement: Chuyển vị lớn nhất của hệ.

Mode of buckling: Nghiên cứu về ổn định dọc của thanh.

5.3.6 Ví dụ

Sau đây chúng ta làm một ví dụ cụ thể về hệ thanh trên RDM – Osstatures.

Xét một hệ thanh như Hình 5.32. Cho biết: E=2E5Mpa, I=135cm4, A=16cm2,

P=1000daN.

Chương 5: Phần mềm RDM

 129

Hình 5.32 Hệ thanh của ví dụ 1

LỜI GIẢI

Trước hết chúng ta xem xét bài toán. Đây là một hệ thanh với gồm 3 thanh.

Tại nút 1 thanh liên kết ngàm. Tại nút 4 mỗi tả hệ thanh đối xứng. Nội liên kết

cứng (rigid). Bước đầu tiên, chúng ta mở Môđun Ossatures. Chọn New/Plane

trong hộp thoại Define a fram type.

Tiếp theo, chúng ta nhập tọa độ x và y của các nút 1, 2, 3, 4. Chú ý chọn

đơn vị trước khi nhấp OK.

Chương 5: Phần mềm RDM

 130

Sử dụng kí hiệu trong thanh công cục Geometery (Nếu thanh này

không hiện ra, chúng ta vào Model/Nodes and Elements để mở ra) để tạo các

phần tử thanh bằng cách click vào các nút đã chọn. Click vào nút 1 và 2 để tạo

thanh 1, nút 2 và 3 để tạo thanh 2, nút 3 và 4 để tạo thanh 3. Hệ thanh bài toán sau

khi tạo thanh được thể hiện ở Hình 5.33

Chương 5: Phần mềm RDM

 131

Hình 5.33 Hệ thanh của ví dụ trong RDM – Ossatures

Tiếp theo chúng ta tạo thông số của mặt cắt tiết diện bằng tính năng Cross

Section trong hộp thoại Model. Chúng ta chọn Arbitrary và nhập diện tích

A=16cm2 vào trong ô Area (cm2) và mô men quán tính I=135cm4 vào ô Moment

of Inertia: IZ (cm4) cho mặt cắt của thanh.

Tiếp theo chúng ta định nghĩa tính chất vật liệu cho hệ thanh bằng tính năng

Materials trong thực đơn Model. Chúng ta vào Model/Materials/Define và nhập

Môđun đàn hồi E=2E5Mpa vào ô Young’s Modulus (Mpa).

Chương 5: Phần mềm RDM

 132

Tiếp theo chúng ta tạo các nội liên kết và ngoại liên kết. Mặc định các thanh

nối với nhau bằng liên kết cứng (Rigid). Vì vậy, chúng ta không cần thiết lập nội

liên kiết cứng tại nút 2 và 3. Chúng ta bây giờ sử dụng biểu tượng trong thanh

công cục Supports (nếu thanh công cục này không hiện, chúng ta vào

Model/Supports… để mở ra) để thiết lập liên kết ngàm tại nút 1 và biểu tượng đối

xứng theo phương y, , để thiết lập đối xứng tại nút 4.

Bước cuối cùng là chúng ta vào Model/Load Case 1 đối với RDM 6 hay

thực đơn Load Case 1 đối với RDM6.16. Chúng ta chọn biểu tượng để nhập

lực tập trung tại nút 2. Nhập giá trị P=1000daN=100N vào ô Component Fx, chọn

OK sau đó chọn nút 2 để áp tải trọng cho hệ thanh.

Sau các bước vẽ mô mình, thiết lập các thông số đặc trưng, thông số tác

động và các điều kiện biên, điều kiện liên kết. Hệ thanh trong ví dụ 1 được thể

hiện trong RDM – Ossatures như Hình 5.34

Chương 5: Phần mềm RDM

 133

Hình 5.34 Hệ thanh trong ví dụ 1 sau khi xây dựng

Tiếp theo ta vào thực đơn Calucate/Static Analysis để phân tích bài toán

tỉnh cho hệ. Lưu ý rằng RDM sẽ yêu cầu lưu file trước khi thực hiện tính toán.

Sau khi tính toán, thực đơn Results sẽ xuất hiện trên thanh Menu. Và chúng

ta vào thực đơn này để thể hiện các kết quả như: độ võng (Deflection), mô men

uốn (Blending Moment), lực pháp tuyến (Normal Force), lực cắt (Shear

Force)…

Chúng ta chọn Results/Deflection để hiện thị độ võng hệ thanh như Hình

5.35.

Chương 5: Phần mềm RDM

 134

Hình 5.35 Độ võng hệ thanh trong ví dụ 1

Chúng ta cũng thấy rằng có phản lực tại các liên kết ngoài cũng hiện trong

kết quả này. Để hiển thị giá trị phản lực tại nút 1, chúng ta để chuột tại nút 1 và

click chuột phải. Chúng ta nhận được hộp thoại thể hiện phản lực và những thông

Hình 5.36 Thông tin tại nút 1.

tin về chuyển vị của nút 1 (Hình 5.36)

Hình 5.37 Thông tin nút 3

Hình 5.38 Thông tin nút 4.

Tương tự ở nút 3 (Hình 5.37) và nút 4 (Hình 5.38).

Chương 5: Phần mềm RDM

 135

Chọn Results/Blending Moment để hiển thị mô men uốn của hệ (Hình

Hình 5.39 Mô men hệ thanh trong ví dụ 1

5.39).

Chọn Results/Normal Force để hiển thị lực pháp tuyến trên từng thanh của

Hình 5.40 Lực pháp trên thanh.

hệ (Hình 5.40).

Và Results/Shear Force để hiển thị lực cắt trên từng thanh của hệ (Hình 5.41)

Chương 5: Phần mềm RDM

 136

Hình 5.41 Lực cắt trên thanh.

Chúng ta cũng có thể hiện các thông tin khác như: năng lượng biến dạng

(Energy Deformation), thông tin cho tình phần tử (Element)….

5.4 MÔĐUN ELEMENTS FINIS

Môđun này dùng để tính toán các bài toán 2D như: bài toán biến dạng và

nhiệt (Elasticity – Heat), Bài toán tấm uống (Bending Plates).

Do giới hạn của môn học, nên chúng tôi không đi sâu vào phần này. Để

thực hiện phần này, các bạn cần phải có kiến thức liên quan hề truyền nhiệt (heat

transfer theory), lý thuyết tấm (plate theory), lý thuyết biến dạng đàn hồi (Elasticity

theory) và lý thuyết phần tử hữu hạn liên quan đến những vần đề 2D này.

Dù vậy, chúng tôi cũng xin giới thiệu sơ lượt Môđun này thông qua một ví

dụ về biến dạng đàn hồi của tấm.

5.4.1 Ví dụ

Xét một tấm vuông như Hình 5.42. Biết L=400mm; R=20mm; q=10Mpa;

chiều dài tấm t=10mm; E=210000Mpa và =0.27mm. Xác định chuyển vị trong

Hình 5.42 Mô hình trong Ví dụ 1

tấm, trường ứng suất và ứng suất tại điểm A và B.

Chương 5: Phần mềm RDM

 137

LỜI GIẢI

Trước hết, chúng ta xem xét bài toán.

Đây là một bài toán tấm chịu tại trọng kéo

và đối xứng qua trục x và y. Như vậy ta chỉ

xét ¼ tấm.

Chúng ta chọn Môđun Elements

Finis trong RDM để giải quyết vấn đề này.

Trước hết ta chọn Drawing – Meshing trên

Menu của Elements Finis để vẽ mô hình và

chưa lướt. Chọn Drawing –

Meshing/File/New, hộp thoại New xuất

hiện (Hình 5.43).

Chúng ta chọn đơn vị vẽ mô hình và

định nghĩa gốc tọa độ và kích thước cửa sổ

Hình 5.43 Hộp thoại New

làm việc. Tiếp theo chúng ta sử dụng các

thanh công cụ trong môi trường Drawing –

Hình 5.44 Mô hình ¼ của ví dụ 1

Meshing để vẽ mô hình như Hình 5.44.

Chương 5: Phần mềm RDM

 138

Tiếp theo, chúng ta chọn Mesh (delaunay) trên thanh menu của môi trường

Drawing – Meshing để chưa lưới. Chúng nhập số phần tử ở phải bên phải thanh

công cụ và chọn loại phần tử tam giác 3 nút, 6 nút cạnh thẳng và 6 nút cạnh cong

Hình 5.45 Các loại phần tử tam giác và số phần tử

như Hình 5.45.

Chúng ta có thể sử dụng biểu tượng đầu tiên trong Hình 5.45 để hiệu chỉnh

kích thước lướt cục bộ (Modify locally the size of elements). Với bài toán này,

chúng ta cần làm mịn hóa tại cung tròn. Chọn biểu tượng mịn lưới, hộp thoại như

Hình 5.46 Hộp thoại chia lưới cục bộ.

Hình 5.46 xuất hiện.

Chúng ta được phép nhập từ 0.1 đến 30. Để làm thô lưới, chúng ta nhập giá trị từ

0.1 đến 1 và để làm mịn lưới, chúng ta nhập từ 1 đến 30. Ở đây chúng ta nhập 10.

Sau đó chọn các điểm nút cục bộ. Ở đây, chúng ta chọn 2 nút của cung tròn.

Lưới chia đối với 500 phần tử và chọn phần tử tam giác 6 nút cong với hiệu

Hình 5.47 Lươi chưa ví dụ 1.

chỉnh kích thức phần tử cục bộ 10 tại cung tròn được thể hiện ở Hình 5.47.

Chương 5: Phần mềm RDM

 139

Hình 5.48 Hộp thoại chọn loại vấn đề

Sau khi vẽ và chia lưới xong, chúng ta vào File/Save để lưu tại mô hình.

Tiếp tục chúng ta vào File/Elasticity – Heat để giải quyết bài toán đàn hồi. Hộp

thoại Define the problem hiện ra để lựa chọn các loại bài toán 2 chiều (Hình 5.48).

Chúng ta chọn Plane Stress cho bài toán ứng suất phẳng.

Môi trường thứ 3 sẽ hiện ra. Khi đó, chúng ta vào Model/Thickness/Define

để định nghĩa độ dày của tấm. Ở đây độ dài của tấm là t=10mm.

Tiếp theo, chúng ta áp điều kiện đối xứng cho bài toán bằng cách vào

Model/Supports/Symmetry. Hộp thoại Supports xuất hiện. Chúng ta chọn hai

biểu tượng để thiết lập điều kiện đối xứng dọc và ngang cho bài toán.

Sau khi đã thiết lập điều kiện biên đối xứng, chúng ta vào

Model/Materials/Define để định nghĩa Môđun đàn hồi và hệ số Poission như Hình

5.49.

Chương 5: Phần mềm RDM

 140

Hình 5.49 Định nghĩa vật liệu

Cuối cùng, chúng ta áp tải trọng phân bố cho tấm từ thực đơn Load Case

trên thanh menu. Chú ý rằng, trong ví dụ 1, lực phân bố là q=10Mpa, chúng ta cần

phải chuyển lực phân bố trên diện tích về lực phân bố trên đường. Ở đây, chiều

dày của tấm là t=10mm. Do vậy, lực phân bố trên đường là

q(N/mm)=q(N/mm2)/t(mm)=1(N/mm). Chúng ta chọn biểu tượng lực phân bố

trên thanh công cụ Load Case và nhập vào thành phần tự x bằng q=1(N/mm) và

chọn cạnh dọc bên phải mô hình. Mô hình tính toán trên RDM – Elements Finis

sau khi thiết lập các điều kiện đặc trưng, điều kiện biên, và tải trọng được thể hiện

ở Hình 5.50

Chương 5: Phần mềm RDM

 141

Hình 5.50 Mô hình tính toán ví dụ 1

Chúng ta chọn Calculate/Static Analysis để phẩn tích tính bài toán. Sau đó

vào thực đơn Results để thể hiện các kết quả cần thiết.

Chúng ta chọn Results/Isovalue để hiện thị kết quả theo trường giá trị. Như

là: chọn Results/Isovalue/Displaycement x, y để hiện thị cho chuyển vị theo

phương x và y; chọn Results/Isovalue/Sxx/Syy/Sxy để xem trường ứng suất.

Để xác định ứng suất tại điểm A, chúng ta vào Results/On a boundary line

cut, chọn điểm nút đầu, nút cuối, và một điểm giữa bất kì của biên dọc bên trái.

Cửa sổ Coupe xuất hiện, chúng ta chọn Quantities/Sxx để khảo sát ứng suất Sxx

trên biên này như Hình 5.51. Ta thấy rằng, ứng suất kéo Sxx theo phương x tại điểm

A là Sxx=2.73E-1Mpa. Tương tự, chúng ta có ứng suất nén Syy tại điểm B là Syy=-

7.12E-2Mpa như Hình 5.52.

Chương 5: Phần mềm RDM

 142

Hình 5.51 Ứng suất Sxx của biên dọc bên trái chear điểm A tại vị trí 0.

Hình 5.52 Ứng suất Syy của biên ngang dưới chứa điểm B tại vị trí 0

Chương 5: Phần mềm RDM

 143

5.5 TỔNG KẾT CƯƠNG 5

Trong chương 5, chúng tôi đã giới thiệu về phần mềm RDM gồm ba Môđun

chính: Flexion, Ossatures, và Elements Finis. Sơ lượt về cách sử dụng của các

Môđun trên cũng được trình bày. Trong mỗi Môđun, chúng ta thực hiện một ví dụ

cụ thể để các bạn nắm rõ hơn về cách sử dụng chúng.

Để kết luận tài liệu này, chúng tôi xin nói về qui trình để giải một bài toán

trên các phần mềm CEA. Trước hết, các bạn phải xem xét bài toán của mình thuộc

dạng nào? Bài toán dầm hay thanh dạng 1D hay các bài toán tấm, khối ở dạng 2D,

3D…. Sau khi đã xem xét dạng bài toán, Bước 1 là vẽ mô hình trên các phần mềm

và tạo lưới. Bước thứ 3 là thiết lập các thông số đặc trưng gồm tiết diện, đặc tính

cơ học của bài toán. Bước thứ 4 là áp đặt các điều kiện biên (hay các liên kết).

Bước thứ 5 là áp tải trọng. Sau cùng là giải bài toán và phân tích kết quả.

Chúng tôi hi vọng rằng, việc giới thiệu sơ lượt phần mềm RDM giúp cho

sinh viên có cái hình cơ bản về giải quyết các bài toán cơ học bằng phần tử hữu

hạn.

5.6 BÀI TẬP

Các bạn có thể lấy các bài tập ở chương 2, 3, 4 để thực hiện trên RDM.

Tài liệu tham khảo

 144

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] D.L. Logan, A first course in the finite element method, Cengage Learning,

2011.

[2] N.H. Sơn, L.T. Phong, M.Đ. Đãi, Phương pháp phần tử hữu hạn với Matlab,

Đại Học Quốc Gia Tp. HCM, 2001.

[3] N.H. Sơn, L.T. Phong, M.Đ. Đãi, Phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán

kỹ thuật, Đại Học Quốc Gia Tp. HCM, 2008.

[4] E. Kreyszig, Advanced engineering mathematics, John Wiley & Sons, 2010.

[5] J.M. Gere, B.J. Goodno, Mechanics of materials, Nelson Education, 2012.

[6] R.C. Hibbeler, Mechanics of Materials, Pearson Higher Ed, 2014.

Bài giảng Thiết kế trên máy tính - ĐH Phạm Văn Đồng

BÀI GIẢNG

THIẾT KẾ TRÊN MÁY VI TÍNH

BÀI GIẢNG

THIẾT KẾ TRÊN MÁY VI TÍNH

Bậc: Đại học – Ngành: Công nghệ kỹ thuật cơ khí

Nguyễn Quận (Chủ biên) – Trần Văn Thùy

MỤC LỤC

Chương 1

TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG

Chương 3

BÀI TOÁN KHUNG GIÀN

Chương 4

BÀI TOÁN DẦM

Chương 5

PHẦN MỀM RDM

Zoom: Thu nhỏ hoặc phóng to hình ảnh.

Zoom out: Thu nhỏ hình ảnh hiện tại xuống n lần.

Full Sreem: Hiển thị toàn bộ kết cấu.

Center: Đưa điểm ta nhấp về tâm của màn hình.

Parameters of drawing: Thông số của bản vẽ.

Number: Hiển thị số hiệu của nút và thanh trong kết cấu.

A node: Hiển thị số hiệu của một nút trong kết cấu.

Nodes: Hiển thị số hiệu của các nút trong kết cấu.

A beam: Hiển thị số hiệu của một phần tử trong kết cấu.

Beams: Hiển thị số hiệu của các phần tử trong kết cấu.

Geometry: Hiển thị hình học của hệ.

Meshing: Hiển thị lưới.

Materials: Hiển thị các vật liệu trong kết cấu.

Local coordinates: Hiển thị các hệ tọa độ địa phương.

Cross Sections: Hiển thị các mặt cắt ngang.

Materials: Hiển thị các vật liệu trong kết cấu

Areas: Hiển thị diện tích các tiết diện.

Momen of inertia: Hiển thị momen quán tính.

Constants of torsion: Hiển thị các hàng số xoắn

Load cases: Hiển thị các trường hợp tải.

Informations on the calculation: Thông tin về tính toán

Use the utility bar: Hiển thị thanh công cụ kết quả tính toán

Select a group: Chọn nhóm thanh định xem kết quả

Parameters: Tham số tính toán

Deflection: Biểu đồ biến dạng

Normal force: Biểu đồ lực pháp tuyến.

Shear force: Biểu đồ lực cắt.

Torsion moment: Biểu đồ momen xoắn.

Bending moment: Biểu đồ momen uốn.

Normal stress: Biểu đồ ứng suất pháp

Equivalent stress of von mises: Biểu đồ ứng suất von mises

Energy of deformation: biểu đồ năng lượng biến dạng.

Stress on section: Xem kết quả ứng suất trên một tiết diện ngang bất kỳ.

Beam: Xem kết quả trên một thanh bất kỳ.

Maximum deplacement X: Chuyển vị lớn nhất theo phương X

Maximum deplacement Y: Chuyển vị lớn nhất theo phương Y

Maximum deplacement Z: Chuyển vị lớn nhất theo phương Z

Maximum deplacement: Chuyển vị lớn nhất của hệ.

Mode of buckling: Nghiên cứu về ổn định dọc của thanh.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn