1/8/2015
NỘI DUNG
Chương 1: Ma trận và định thức
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Chương 3: Phương trình vi phân cấp 1
Chương 4: Phương trình vi phân cấp 2
Hình thức thi, kiểm tra
(cid:1) 10% : kiểm tra trong lớp (30 phút): Trắc nghiệm
+ lên bảng
Tài liệu Giáo trình chính:
(cid:1) 20% : 45 phút : Trắc nghiệm
(cid:1) 70% : 90 phút : Tự luận
fi Đề đóng (cid:1) Thời lượng: 30 tiết (cid:1) 07/01/2015– 01/04/2015 (cid:1) Tuần: 23456--90-234, Thứ 4, Ca 1 (Nhóm 3), C.407 Ca 2 (Nhóm 1), D.0301
(cid:1) Thi giữa kỳ: Tuần 31 (09/03 – 15/03/2015)
[1] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 1- Đại số và hình học giải tích, NXB GD 2011. Tài liệu tham khảo:
[2] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 3- Phép giải tích hàm nhiều biến số, NXB GD 2011. [3] Đ.C. Khanh, Toán cao cấp - Lý thuyết chuỗi và phương trình vi phân, NXB ĐHQG TPHCM, 2003 [4] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 3- Phép giải tích hàm một biến số, NXB GD 2011.
Chương 1. Ma trận, định thức
1.1 Ma trận và các phép toán
GV: TRẦN THỊ THÙY NƯƠNG Email: tttnuong@itam.tdt.edu.vn https://sites.google.com/site/tttnuongtdt/ 1.2 Định thức
1.3 Ma trận nghịch đảo
1
1.4 Hạng ma trận
1/8/2015
Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
=
i
),
1,
m j ;
1,
n
Kí hiệu: , các phần tử
= = A a ( ij ija có thể là số thực, phức, hàm số… m nA · .
m n·
hoặc
m n=
…
n
n
22
21
2
=
A
, thì A được gọi là ma trận vuông I. Ma trận và các phép toán 1. Một số định nghĩa: Định nghĩa 1.1.1: Một ma trận A loại là một bảng hình chữ nhật m hàng n cột với m.n phần tử, có dạng sau:
a 12 a ⋮
a 11 a ⋮
a 1 … a ⋱ ⋮
=
n= 1, a
1,
n
i
(cid:1) Nếu cấp n . Trong mỗi ma trận vuông cấp n có một đường chéo chính (đường chéo) gồm các phần tử iia i , phần tử
- + i n i (
1) ,
…
a
a
a
m
1
m
2
mn
và một đường chéo phụ gồm các .
=
Ví dụ 1.1.1 Xét ma trận
= i ,
1,
n
(
;
i
j
j
(cid:1) Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo ). 0, chính đều bằng 0
ija
0
1 5
3 1
2 0
" „ -
=
A
a
Ví dụ 1.1.2
0
1
4 2
1
a
0 0
-
3
6
1 1
4
=
A
a
1 0 0
2 0
0 0 0
a
0
0
3 0
4
(cid:1) Các phần tử trên đường chéo chính: 1,4,1,-4 (cid:1) Các phần tử trên đường chéo phụ: 2,1,2,3.
I
(cid:1) Nếu các phần tử trên đường chéo chính của ma trận chéo cấp n đều bằng 1 thì ma trận đó đgl ma trận đơn vị cấp n. Kí hiệu:
-
nI
£ < £
= "
(cid:1) Một ma trận tam giác trên (tam giác dưới) là một ma trận vuông mà tất cả hệ số nằm phía dưới (phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. i i n (
£ < £ j
0, 1
0, 1
j n
)
;
= " a ij
a ij
hay .
1
0
0
0
…
…
0
1
0
0
0
0
=
=
I
I
4
0
0
1
0
=
=
B
A
… a 0 22 ⋮ ⋱ ⋮
a 11 a 21 ⋮
a a 1 n 12 … a a 22 2 n ⋮ ⋱ ⋮
0
0
0
1
…
…
0
0
2
a 1 n
a n
a nn
Ví dụ 1.1.3
a nn
2
Ví dụ 1.1.4 A, B t.ư. là ma trận tam giác trên (dưới) a 11 0 ⋮
1/8/2015
Ví dụ 1.1.5
h 1
h 12
=
A
1 2
4 2 0 2 3 1
2 2
8 4 0 2 3 1
fi - (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi -
a (
)
0,
3
6 3 1
3
6 3 1
h i
h i
Định nghĩa 1.1.2: Các phép biến đổi sau đây đối với hàng của ma trận đgl các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng: 1. Nhân tất cả các phần tử của một hàng với một a „ fi số khác 0 .
2. Cộng các phần tử của một hàng đã được nhân cho cùng một số vào các phần tử t.ư. của hàng khác,
h 3
h 3
h 13
=
B
a
(
h
j
).
j
+ h j
h i , i
1 2 2 0 2 0 3 1 3 6 3 1
1 2 0 2 0 0
2 0 1 3 1 3
3. Đổi vị trí hai hàng
(
).
h i
h k
fi - (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi fi „ - «
Ví dụ 1.1.6 Cho các ma trận sau
=
=
A
B
2. Phần tử cơ sở của một hàng phải nằm phía phải
2 0 0
1 1 0
4 1 3
1 0 0
3 2 0
1 5 0
2
6
1
1
3
2
1
=
=
C
0
0
8
D
0
0
0
0
0
5
0
0
0
2
5
(cid:1) Hàng bằng 0: tất cả phần tử trên hàng đều bằng 0. (cid:1)Hàng khác 0: có ít nhất 1 phần tử trên hàng khác 0. (cid:1)Phần tử cơ sở: phần tử khác 0 đầu tiên của hàng (tính từ trái sang phải)
(cid:1) Ma trận A, B có dạng bậc thang; (cid:1) Ma trận C, D không có dạng bậc thang.
Định nghĩa 1.1.3: Ma trận đgl có dạng bậc thang nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Các hàng bằng 0 (nếu có) phải nằm dưới các hàng khác 0. - so với phần tử cơ sở của hàng trên.
Định nghĩa 1.1.4: Ma trận đgl có dạng bậc thang rút gọn nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Nó có dạng bậc thang; 2. Phần tử cơ sở của hàng bằng 1 và là phần tử duy nhất khác 0 trong cột chứa nó. Định lý 1.1.1: Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.
=
=
A
B
1 2 0 0 0 0 1 0
=
=
A
B
1 2 3 1 0 1
0 0 0 1
1 0 3 0 1 2 , 0 0 0
3 2 4 0
2 1 3
1 2 1 1 1 3 5 3 ,
3
Ví dụ 1.1.8 Các ma trận sau có dạng bậc thang rút gọn Ví dụ 1.1.7 Đưa các ma trận sau về dạng bậc thang -
1/8/2015
b=
ik
ik
Định lý 1.1.2: Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang rút gọn nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. ), ) = A a ( ik = B b ( ik 2. Các phép toán đối với ma trận 2.1 Các phép toán Định nghĩa 1.1.5: Hai ma trận cùng loại a đgl bằng nhau nếu với mọi i,k.
Ví dụ 1.1.9 Đưa các ma trận sau về dạng bậc thang rút gọn
1 3 2 0 0 2 1 0
=
=
A
B
), ) là một ma trận cùng loại với A,B = B b ( ik
ik
ik
0 0 3
1 3 1 0 1 0 ,
ik
ik
1 3 3 1 0 0 0 0
A
a= (
)ik
l
Định nghĩa 1.1.6: Tổng của hai ma trận cùng loại = A a ( ik được kí hiệu là A+B, với phần tử ở hàng i cột k là a b+ , + = + A B ( a b )
A
a= (
l l= ( A với phần tử ở hàng i cột k là Định nghĩa 1.1.7: Tích của ma trận một số Al với là một ma trận cùng loại được kí hiệu là a )ik ,ikal Định lý 1.1.3 Với các ma trận A, B, C và các số ,l b ta có các mệnh đề sau (giả thiết các phép toán đều hợp lệ)
= + +
= +
+ +
b= (
n p·
m n· )ik . Tích của hai ma trận A
+ B C
(
)
A B C
1. 2.
m p·
3.
= + A B B A + A B C A ( ) = AB C A BC
(
) +
) +
n
)
4.
(
+
+
+
...
= ∑
a b 1 1 i
j
a b 2 i
2
j
a b i n
nj
a b ik
kj
( = A B C AC BC =
)
(
5.
+ AB AC
+ A B C
=
k
1
(
)
loại loại được kí hiệu là AB , với Định nghĩa 1.1.8: Cho ma trận B )kj ma trận và B là ma trận loại phần tử hàng i cột j là:
ab ( a
(
= a A B A B
(
)
1
1
2
0
1
1
2
0
=
=
a
+
2
0
3
2
2
0
3
B
A
8.
(
B
2.2 Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp với ma trận Ví dụ 1.1.10 Xét các ma trận .6. 7. - -
1
2
2
8
2
1
1
4
2 ,
= a b A ) = a ( AB ) = + a A B + b
=
+
9
.
a (
) a A
)
A ) a A b A
A
1 0 0
=
0 1 0
E
0 0 2
4
- -
1/8/2015
a
h 32
B
… … … … … …
0 0
0 1
E 1
…
…
1. Phép biến đổi sơ cấp thứ nhất: nhân hàng thứ i với fi (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi Ta có: (cid:1) EA=B h (cid:1) A 3
0
0
m n·
m m·
… … …
0
1
0
=
1 0 … … … … … … a 0 … … … … … …
hàng i a= ( loại )ik
Vậy phép biến đổi sơ cấp thứ nhất tương đương với việc nhân phía trái của A với một ma trận E. Định lý 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp 1,2,3 đối với hàng của ma trận tương A đương với nhân bên trái của A một ma trận vuông ) cấp m có các dạng tương ứng (loại sau:
a
… … … … … …
0 1
0 0
… … … … … …
0 1
0 0
E 3
E 2
…
1 0 … … … … … … …
0 …
0 0
0 0
1 a
… 0 0 … … …
3. Phép biến đổi sơ cấp thứ ba: đổi vị trí hàng i 2. Phép biến đổi sơ cấp thứ hai: cộng hàng i đã với hàng j nhân vào hàng j
0 0
1
1 0 0 1 … … …
0
0
1
=
… … …
0
1
0
=
1 0 … … … … … …
hàng i hàng j
1
3
Các ma trận đgl các ma trận sơ cấp. , , E E E 2
a= (
A
m n·
)ik
=
1.
(
A
TA
T
T
T
A =
+
Định lý 1.1.5 Đối với phép chuyển vị ma trận ta có (giả thiết các phép toán có nghĩa) loại
T A
ki
2.
(
T T ) + A B
A
B
n m· kia
T
T
) =
3
.
(
)
T B A
2.3 Ma trận chuyển vị Định nghĩa 1.1.9. Cho ma trận Ma trận chuyển vị của ma trận A là một ma trận loại với phần tử hàng i cột k là được kí hiệu là a= ) ( , .
T
T
AB l
= l
)
4. (
A
A
1
2
3
T
=
=
A
,
A
1 2
4 5
4
5
6
3
6
5
Ví dụ 1.1.11
1/8/2015
1
1
1 B A
1
1
T ) ;
=
AI
IA
A
TA 1A- a
T A A thì ma trận
-= A ( ) - = 1 1 . A ) Aa cũng
1
1
=
=
AB BA I
.
=
a (
)A
A
1 a
1A-
Định lý 1.1.6 Ta có các mệnh đề sau: 1. Nếu A, B khả đảo thì tích AB khả đảo và - - - = ( AB ) ; - - ( ( 3. Ma trận nghịch đảo 3.1 Khái niệm về ma trận nghịch đảo (trong phần này chỉ xét tập các ma trận vuông cấp n) Định nghĩa 1.1.10 Ma trận vuông I cấp n đgl ma = trận đơn vị nếu với mọi ma trận vuông A cấp n. „ khả đảo và khả đảo và 0 2. Nếu A khả đảo thì 3. Nếu A khả đảo thì 4. Nếu A khả đảo và khả đảo và - -
Định nghĩa 1.1.11 Ma trận vuông B đgl ma trận nghịch đảo của A (vuông cấp n), nếu Khi đó, A đgl khả đảo, và kí hiệu ma trận nghịch đảo của nó là .
)A I
(
1
3.2 Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Định lý 1.1.7 Các ma trận sơ cấp thì khả đảo. Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Xét ma trận mở rộng
(
A I
)
I A-
(
)
(cid:190) (cid:190) fi Biến đổi
Định nghĩa 1.1.12. Hai ma trận đgl tương đương hàng nếu từ ma trận này có thể biến thành ma trận kia nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.
1
1
=
Ví dụ 1.1.12 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 1
A
1 0
3 1
2 1
Định lý 1.1.8 Ma trận (vuông) A khả đảo khi và chỉ khi nó tương đương hàng với ma trận đơn vị.
m n
C YA C=
B B=
, n p và =
i AX )
B
;
1 A B 1
=
=
A
ii YA C
)
= X = Y CA
.
2 1 1 0
1 2 1 3
4 2 1 1
1 3 1 2
. Xét phương trình ma trận · · - . Khi đó Định lý 1.1.9 Cho ma trận vuông A (cấp n) khả đảo và A X - (cid:219) - (cid:219) -
A có khả đảo?
6
Ví dụ 1.1.13 Xét ma trận
1/8/2015
=
1)
X
1 2 3 4
3 5 5 9
Ví dụ 1.1.14 Giải các phương trình ma trận sau:
=
2)
X
-
3 5
1 2
5 6 7 8
14 16 9 10
=
X
3)
1 2 2 4
3 5 4 2
-
=
A
A
a 13 a 23 a 33
Cấp 3:
= ⇒ ( ) a
= A a .
det
A
=
+
+
⇒
det
a a 11 12 a a 21 22 a a 31 32 A a a a
II. Định thức 1. Một số định nghĩa: Với ma trận vuông A, định thức của ma trận A được kí hiệu là det A hay . Định nghĩa 1.2.1. Ta có các định thức cấp 1, 2, 3: Cấp 1: -
11 22 33 a a a 13 22 31
a a a 12 23 31 a a a 12 21 33
a a a 13 21 32 a a a 11 23 32
⇒
A
det
= A a a
11 22
a a 12 21
a 11 a 21
a 12 a 22
A a= (
)ik
- - - Cấp 2: = -
Ví dụ 1.2.1 Tính det A, với 2 1 3 0
+
det
,
+ + . ..
A a A 11 11
a A 12 12
a A 1 n 1 n
=
A
+
k
4 1 2 3 1 0
1 2
= - (
)i 1
M
- Định nghĩa 1.2.2. Cho là ma trận vuông cấp n . Định thức của ma trận A được tính bởi công thức sau: =
i
k
A ik
ikM
2 3 3
5
và
ika
det
det trong đó, là ma trận vuông cấp (n-1) nhận được từ A bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ k. ikA Đại lượng ikM
7
; đgl định thức con bù của . đgl phần bù đại số của ika
1/8/2015
2n‡
Ví dụ 1.2.2 Tính det A, với
n
1 3
2 1
0 0
1 1
+
det
+ + ...
=
= ∑
= A a A i
i 1
1
a A 2 i i
2
a A in i n
a A ij ij
A
= 1
j
Định lý 1.2.1 Với ma trận vuông cấp ta có thể khai triển định thức của nó theo một hàng bất kỳ hoặc một cột bất kỳ theo công thức sau:
=
1,
n
i
1 2
2 3
4 1
5 0
n
=
+
det
+ + ...
= ∑
A a A 1 k 1 k
a A 2 2 k
k
a A nk
nk
a A ik ik
= 1
i
k
n= 1, (theo cột k, )
(cid:1) Ta có các tính chất sau (định thức bằng 0):
=
A
det
det(
- (theo hàng , ) i
a
1
0
2
i. Nếu ma trận có một hàng (cột) bằng 0 thì vào trong một hàng (cột) nào định thức của nó bằng 0. đó. ii. Nếu ma trận có hai hàng (cột) bằng nhau thì 2. Các tính chất của định thức ).T A (cid:1) a (cid:1) Khi nhân một số đó thì định thức cũng được nhân cho số Ví dụ 1.2.3 Xét ma trận định thức của nó bằng 0.
=
A
iii. Nếu ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau thì định thức của nó bằng 0. -
3 2
1 1
1 2
(cid:1) Với ma trận vuông A cấp n, ta có:
A
(cid:1) Cho ma trận
+
( 2) ik
(1) ik
=
det
A i ,
j
+
+ + ...
1A
a A 1 i
j
1
a A 2 i
j
2
a A in
jn
-
0,
i
j
=
= a ik A là ma trận nhận từ (1) ika ,
A .
„
=
+
det
A
det
det
(cid:1) Định thức không đổi nếu ta cộng vào một hàng (cột) nào đó một hàng (cột) khác đã được nhân cho một số.
A 1
A 2
(cid:1) Định thức đổi dấu nếu ta đổi vị trí hai hàng
có tính chất: mỗi phần tử của a a bằng cách thay 2A nhận từ ( 2) ika hàng thứ i biểu diễn ở dạng: Kí hiệu: hàng thứ i bằng các phần tử bằng cách thay hàng i bằng các phần tử Khi ấy ta có:
8
(cột).
1/8/2015
(cid:1) Nếu ma trận A có dạng tam giác thì định thức của nó bằng tích các số nằm trên đường chéo,
det
= A a a
11 22
a ... nn
2
2
k
k
< < < < < i i j j j 1 ... d
…
a i j 1 2
a i j 1
k
d =
a i j 1 1 ⋮
…
a i k
j 1
a i k
j 2
a i j k k
b
(
n
k-
)
Định lý Laplace. Khai triển định thức theo r hàng (cột). Cho ma trận vuông A cấp n . Xét k hàng < ... i và k cột 1 Kí hiệu: là định thức của ma trận vuông cấp k gồm các phần tử nằm trên giao của k hàng và k cột đó:
2
1
0
3
1
là định thức của ma trận vuông cấp
d
nhận được từ A bằng cách bỏ đi k hàng và k cột
2
2
3
1
1
+ + + + +
...
...
i k
j 1
i 1
j k
trên đgl định thức con bù của .
=
A
0
1
4
3
2
D = b - Đại lượng đgl phần bù đại
1 2
1 1
4 1
2 6
1 2
.( 1) d số của định thức . -
Ví dụ 1.2.4 Cho ma trận vuông cấp 5
=
A
2 1 3
0 0 1
1 2 5
0 0 2
0 0 1
1
2
1
0
Định lý 1.2.2 (Định lý Laplace) Định thức của một ma trận bằng tổng của tích mọi định thức con rút ra từ k hàng (cột) với bù đại số tương ứng của chúng. Ví dụ 1.2.5 Tính định thức cấp 4:
=
A
5 3
1 2
2 1
8 4
3 2
-
2 4 7
0 1 0
2 3 1
3 2 0
9
Ví dụ 1.2.6 Tính định thức cấp 5:
1/8/2015
2
2
2
Ví dụ 1.2.8 Dùng các t/c của đth tính các định thức sau:
1
0
3
0
1
+ +
b
)
a a
b b
c c
1 ) 1
a
a b
b c
c a
9
4
0
0
3
7
+
1
1
1
1
c
a
b
- Ví dụ 1.2.7 Dùng khai triển Laplace, tính định thức sau: 2
4
5
1
1
2
4
a
1
1
1
3
8
3
7
6
9
1
a
1
1
c
)
-
1
1
0
0
0
0
3
7
0
0
0
0
1 1
1 1
a 1
1 a
-
A „
det
0.
3. Công thức tính ma trận nghịch đảo. Định thức Định lý 1.2.4 Ma trận vuông A khả đảo khi và chỉ khi tích hai ma trận.
a=
= -
=
=
= - I
1; det
; det
det
1
det
AB
(det
A
)(det
B
)
Định lý 1.2.5
E 2
E 3
3.1 Ma trận biến đổi sơ cấp và định thức tích hai ma trận det E 1
,
,
1
2
3
=
=
det(
)
(det
E
)(det
A i ),
1, 2, 3.
E A i
i
Định lý 1.2.3 Với ba ma trận biến đổi sơ cấp hàng E E E ta có:
…
„ „ Định nghĩa 1.2.3 Ma trận vuông A đgl không suy biến nếu det A „ „ 0. Ngược lại, A đgl suy biến.
a 11 a 21
a 12 a 22
a 1 n a 2
n
=
A
… …
…
Định lý 1.2.6 Ma trận vuông khả đảo khi và chỉ khi nó không suy biến.
2
a 1 n
a n
a nn
10
3.2 Công thức tính ma trận nghịch đảo Cho ma trận
1/8/2015
=
= AP P A
(det
A I ) .
A
A
21
1
A A
A 11 A 12
22
2
A n A n
=
P A
… … …
- = 1
Đinh lý 1.2.7 Ta có :
A
.
P A
…
A
A 1
n
A 2
n
nn
1 det
A
Nếu A khả đảo, thì Xét ma trận
ijA
ija
là phần bù đại số của , ma trận đgl ma trận phụ hợp của A. trong đó AP
1
2 0
m nA ·
k·
.
. Các phần tử nằm trên giao của k k
=
1 4
3
A
4·
3
4. Hạng của ma trận 4.1 Khái niệm hạng của ma trận Xét hàng và k cột tạo một ma trận vuông loại Định thức của nó đgl định thức con cấp k. Ví dụ 1.2.10 Cho ma trận loại
2 1 2
Ví dụ 1.2.9 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:
-
1
1
1
2
=
A
-
3 4
2 0
1 2
5 1
-
3 1
d
Xét ma trận Định nghĩa 1.2.4 Hạng của một ma trận là cấp cao nhất của các định thức con khác 0.
4
2
=
d = -
-
det
10
Ar
11
là một định thức con có định thức cấp 2. Nói cách khác, hạng của ma trận A bằng r nếu tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp cao hơn r đều bằng 0. rank A Kí hiệu: là hạng của ma trận A. hoặc
1/8/2015
Ví dụ 1.2.11 Tính hạng của ma trận sau: Ví dụ 1.2.12 Cho ma trận dạng bậc thang
1 2 3
1
0
0 2 1
2
1
A
=
A
- -
0 0 1
3
2
2 1 1
2 4 6
3 0 3
1 = 2 1
0 0 0
0
0
- - -
1 2 3
1
0
0 0 1
2
1
Ví dụ 1.2.13 Cho ma trận dạng bậc thang Định lý 1.2.8 Ma trận bậc thang có r hàng khác 0 có hạng bằng r. -
=
B
Định lý 1.2.9 Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận.
0 0 0
3
2
0 0 0
0
0
-
= rank A rank B
.
Để tìm rank A, đưa A fi ma trận bậc thang B,
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ 1.2.14 Tính hạng của ma trận sau:
A
-
2 1 1
2 4 6
3 0 3
1 = 2 1
- -
2.1. Khái niệm chung. 2.2. Hệ Cramer. 2.3. Định lý Kronecker – Capelli. 2.4. Phương pháp Gauss. 2.5. Hệ thuần nhất. Phần bổ sung (dành riêng cho ngành Hóa ứng dụng) Không gian Rn Không gian Rn. Độc lập và phụ thuộc. Cơ sở và số chiều.
12
1/8/2015
… …
a 12 a 22
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. Khái niệm chung 1. Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính tổng quát (m phương trình, n ẩn) có dạng:
=
=
=
A
b
,
,
X
+
=
+
+
…
…
+
+
+
…
x x x 2, ,..., n ở đây: là các ẩn phải tìm. 1 (cid:1) Nếu đặt a a 1 n 11 a a 2 21 n … … … …
a mn
a m 1
a m
2
b 1 b 2 ⋮
x 1 x 2 ⋮
b m
x n
a x 11 1 a x 21 1
a x 12 2 a x 22 2
a x 1 n n a x 2 n n
(1)
b=
.
+
+
…
b 1 = b 2 ............................................ = +
a x 2 2 m
a x mn n
a x 1 1 m
b m
a =
=
=
a
thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận: AX
,...,
a x n
2
n
1
thỏa mãn hệ trên. Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm của hệ phương trình (1) là một bộ n số : x x , 1 2
Định lý 2.1.1 Các phép biến đổi sau đây chuyển một hệ phương trình tuyến tính thành một hệ tương đương: 1) Nhân cả hai vế phương trình cho một số khác 0. 2) Cộng một phương trình đã được nhân cho một số
vào một phương trình khác. 3) Đổi vị trí hai phương trình. Định nghĩa 2.1.2. Hai hệ phương trình có cùng số ẩn đgl tương đương nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau (tức nghiệm của hệ này là nghiệm của hệ kia và ngược lại).
+
+
=
x
2
x 1
1 3
1 2
1 1
+
+
=
3
2
2 x
2
5
2
+
+
7 = -
2
5
5
x
x 1 x 1
2
x 3 x 3 x 3
Ví dụ 2.1.1 Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 2. Hệ phương trình tuyến tính và ma trận (cid:1) Ma trận hệ số vế trái của hệ phương trình:
1 (cid:1) Ma trận mở rộng: 1 2 1
1 3 2
1 2 1 7 5
5
13
(Nghiệm : 1,3,-2). -
1/8/2015
(
Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận mở rộng
)A b
2
=
về dạng: …
)
(
A b
c 11 c 21 ⋮
b a a 1 12 1 n … a b a 22 2 n 2 ⋮ … ⋮ ⋮ …
d c c 1 12 1 n … c d c 22 2 n ⋮ … ⋮ ⋮ …
a m
2
a m 1
c d mn
c m
2
c m 1
a b mn m
m
Tổng quát: Xét ma trận mở rộng của hệ (1): … a 11 a 21 ⋮
Khi đó, hệ (1) tương đương với hệ:
(
)A b
+
=
+ + …
+
+ + …
d 1 = d
c x 12 2 c x 22 2
c x 1 n n c x 2 n n
2
Phương pháp Gauss: Đưa ma trận mở rộng fi ma trận bậc thang…
+
+ + …
d
c x 11 1 c x 21 1 ........................................... = c x m 1 1
c x 2 2 m
c x mn n
m
Lưu ý: Qua các phép biến đổi sơ cấp hạng của ma trận không thay đổi.
=
rank A b (
)
rank A
(
)
=
=
Định lý 2.1.2 (Định lý Kronecker – Capelli) Hệ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi „
( ) rank A b rank A b ) (
( (
r
)
n=
)
r
3. Số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính AX b= Định lý 2.1.3 Cho hệ phương trình . Khi ấy: rank A ) thì hệ vô nghiệm 1) Nếu rank A ) ( 2) Nếu thì hệ có
nghiệm 2.1 Nếu (số ẩn) thì hệ có một nghiệm
( duy nhất. ( thuộc
r (
n< ) r n
)
14
2.2 Nếu - thì hệ có vô số nghiệm phụ tham số.
1/8/2015
+
+
=
+
+
=
2
3
4
x
x
5
z
10
x
2
3
y
2
3
+
+
=
2
6
6
x
x
(
II
)
(
III
)
+
+
=
+ +
= =
4
2 x
2
3 x
3
6
7 2
y y
z 4 z 2
3 3
2
3
+ 3 x + x
+
+
=
6
3
x
9
x
13
x 1 x 1 x 1 x 1
2
3
Ví dụ 2.1.2 Giải hệ phương trình: Ví dụ 2.1.3 Giải hệ phương trình
+
+
=
2
x
2
x
3
2
3
a
Ví dụ 2.1.4 Giải hệ phương trình
6
=
;
;
x 2
x 3
+
+
=
2
x
3
x
0
(
IV
)
a 3 4 3
3
a
- - -
+
+
=
4
2 x
5
3 x
7
6
x 1 x 1 x 1
2
3
VD 2.1.2 (Nghiệm : 3, -2, 2) VD 2.1.3 (Hệ vô nghiêm) VD 2.1.4 = = a x Hệ có vô số nghiệm: 1 (với là số bất kỳ).
(
)A b
2
y
- Bước 2: Xét hạng ma trận bậc thang đó:
+ +
x x
2
V (
)
(cid:1)
r„
4. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình - Bước 1: Đưa ma trận mở rộng về dạng bậc Ví dụ 2.1.5 Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp với hàng.
A
Abr ( )
+ = 4 z = 1 z 3 =
+
3
x
+ y mz
2
2
(cid:1)
: hệ vô nghiệm.
r
Abr ( ) •
: hệ có nghiệm:
= = r r A n= n<
r
•
(số ẩn): hệ có nghiệm duy nhất.
15
: xđ r ẩn cơ sở phụ thuộc (n-r) ẩn tự do (hệ có vô số nghiệm).
1/8/2015
2
)
l
=
(cid:1)
l 1,
2 :
= - 3,
x
,
y
,
z
r A
= A br (
)
+ +
l = l
1 = l +
1 2
2
l + (1 l + 2
+ + =
1
y
l
=
=
=
a b
Ví dụ 2.1.6 Giải hệ „ „ -
(cid:1)
1:
1,
x
= - 1
= a , y
= b , z
.
r A
A br
(
)
z l + = z
VI (
)
2
l
l =
z
(cid:1)
l = -
l x + l x y + + x y
-
2 :
3,
2,
= r A
A br
(
= )
AX =
0
=
hệ vô nghiệm.
0 =
+
(số ẩn số). Định lý 2.1.4 Hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi rank A n<
0
a x 1 n n a x 2 n n
a x 12 2 a x 22 2
a x 11 1 a x 21 1
+
5. Hệ phương trình thuần nhất Là hệ phương trình có dạng: + + + ... + + ...
+ + ...
0
.......................................... =
a x m 2 2
a x mn n
a x 1 1 m
=
=
= = ...
.0
x 2
x 1
x Hệ luôn có nghiệm: n Nghiệm đó đgl nghiệm tầm thường.
det
0.A„
Hệ quả 2.1.1 Nếu hệ phương trình thuần nhất có số phương trình ít hơn các ẩn số thì hệ có nghiệm không tầm thường.
AX
b=
Định nghĩa 2.2.1 Hệ (2) đgl hệ Cramer nếu
=
X A b-= 1 .
+
+ + ... + + ...
a x 11 1 a x 21 1
a x 12 2 a x 22 2
a x 1 n n a x 2 n n
b 1 = b 2
(2)
+
+ + ...
.......................................... = b a x n 1 1 n
a x 2 2 n
a x nn n
AX
b=
II. Hệ phương trình Cramer, pp định thức 1. Phương pháp ma trận nghịch đảo Xét n phương trình n ẩn: + Định lý 2.2.1 Hệ Cramer có một nghiệm duy nhất
16
với dạng ma trận .
1/8/2015
k
…
A
21
… …
A
D nhận được từ định thức của A Xét định thức bằng cách thay cột thứ k bởi cột vế phải 2. Công thức Cramer Ta có:
A n 1 A n
22
2
a 12 a 22
b 1 b 2
=
=
X
1 A b
D = k
1 det
A
A
nn
n
n
A 2
A 1
b A 1 11 … b A 12 2 … … … … ⋮ …
b n
… a a 1 n 11 … a a 2 21 n … … … … … … …
…
a n 1
a n
2
a nn
b n ›
+
=
(
)
-
+ + ...
,
k
1,
n
A b 1 1 k
A b 2 2 k
A b nk n
1 det
A
(cột thứ k) Vậy = x k
AX
b=
k
D =
0A
)
ika
b A 1 1
D = k
chính là phần bù đại số của + + ... b A 2 2 k
b A n nk
n
1
2
=
=
=
,
x
,...,
x
x 1
2
n
D theo cột thứ k : „ thì hệ có một nghiệm Định lý 2.2.2 Nếu hệ n phương trình n ẩn det có định thức duy nhất được xác định bởi công thức : Khai triển định thức ib (phần bù đại số của + k D D D
=
=
,
k
1, 2,...,
n
kx
k
k det
A
D D D Vậy D D D là định thức nhận được từ bằng trong đó cách thay cột thứ k bởi cột vế phải.
+
+
=
0.
Ví dụ 2.2.1 Giải hệ phương trình
5
z
10
x
2
3
y
+ +
= =
7 2
y y
4 z z 2
3 3
+ 3 x + x
17
Định lý 2.2.3 Hệ n phương trình tuyến tính AX = thuần nhất n ẩn có nghiệm không tầm 0 A = det thường khi và chỉ khi
