Bài giảng Toán B2: Chương 1 - Trần Thị Thùy Nương

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

109
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán B2 - Chương 1: Ma trận - Định thức" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Ma trận và các phép toán, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán B2: Chương 1 - Trần Thị Thùy Nương

1/8/2015 NỘI DUNG Chương 1: Ma trận và định thức Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính Chương 3: Phương trình vi phân cấp 1 Chương 4: Phương trình vi phân cấp 2 Tài liệu Hình thức thi, kiểm tra 10% : kiểm tra trong lớp (30 phút): Trắc nghiệm Giáo trình chính: [1] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 1- Đại số và hình + lên bảng học giải tích, NXB GD 2011. 20% : 45 phút : Trắc nghiệm Tài liệu tham khảo: 70% : 90 phút : Tự luận [2] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 3- Phép giải tích hàm nhiều biến số, NXB GD 2011. → Đề đóng [3] Đ.C. Khanh, Toán cao cấp - Lý thuyết chuỗi và Thời lượng: 30 tiết 07/01/2015– 01/04/2015 phương trình vi phân, NXB ĐHQG TPHCM, 2003 Tuần: 23456--90-234, Thứ 4, Ca 1 (Nhóm 3), C.407 [4] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 3- Phép giải tích Ca 2 (Nhóm 1), D.0301 hàm một biến số, NXB GD 2011. Thi giữa kỳ: Tuần 31 (09/03 – 15/03/2015) Chương 1. Ma trận, định thức GV: TRẦN THỊ THÙY NƯƠNG Email: tttnuong@itam.tdt.edu.vn 1.1 Ma trận và các phép toán https://sites.google.com/site/tttnuongtdt/ 1.2 Định thức 1.3 Ma trận nghịch đảo 1.4 Hạng ma trận 1
1/8/2015 Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Kí hiệu: A = (aij ), i = 1, m ; j = 1, n , các phần tử I. Ma trận và các phép toán aij có thể là số thực, phức, hàm số… 1. Một số định nghĩa: hoặc A m × n . Định nghĩa 1.1.1: Một ma trận A loại m × n là một bảng hình chữ nhật m hàng n cột với m.n phần tử, Nếu m = n , thì A được gọi là ma trận vuông có dạng sau: cấp n .  a11 a12 … a1n  Trong mỗi ma trận vuông cấp n có một đường   chéo chính (đường chéo) gồm các phần tử a 21 a 22 … a 2 n  A= a ii , i = 1, n và một đường chéo phụ gồm các ⋮ ⋮ ⋱ ⋮    phần tử a i ( n − i +1) , i = 1, n .  a m 1 a m 2 … a mn  Ví dụ 1.1.1 Xét ma trận Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo 1 0 −3 2 chính đều bằng 0 ( aij = 0, ∀ i ≠ j ; i , j = 1, n ).   5 4 1 0 Ví dụ 1.1.2 A= 1 2 1 −1   α1 0 0 0     α2  3 6 1 −4  A= 0 0 0  Các phần tử trên đường chéo chính: 1,4,1,-4  0 0 α3 0    Các phần tử trên đường chéo phụ: 2,1,2,3.  0 0 0 α4  Một ma trận tam giác trên (tam giác dưới) là Nếu các phần tử trên đường chéo chính của một ma trận vuông mà tất cả hệ số nằm phía dưới ma trận chéo cấp n đều bằng 1 thì ma trận đó (phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. đgl ma trận đơn vị cấp n. Kí hiệu: I n hay I . ( aij = 0, ∀1 ≤ j < i ≤ n; aij = 0, ∀1 ≤ i < j ≤ n ) Ví dụ 1.1.3  1 0 0 0 Ví dụ 1.1.4 A, B t.ư. là ma trận tam giác trên   (dưới) 0 1 0 0  a11 a12 … a1n   a11 0 … 0 I = I4 =       0 0 1 0 0 a22 … a2n  a a … 0   A= B =  21 22  0 0 0 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮      0 0 … ann   an1 an2 … ann  2
1/8/2015 Định nghĩa 1.1.2: Các phép biến đổi sau đây đối Ví dụ 1.1.5 với hàng của ma trận đgl các phép biến đổi sơ 1 4 2 0  2 8 4 0  cấp đối với hàng:   h1→2h1   A =  2 −2 3 1  → 2 −2 3 1  1. Nhân tất cả các phần tử của một hàng với một số khác 0 (α ≠ 0, hi → α hi ) . 3 6 3 1  3 6 3 1      2. Cộng các phần tử của một hàng đã được nhân cho cùng một số vào các phần tử t.ư. của 1 2 2 0  1 2 2 0  hàng khác,   h3 →h3 −3h1   (h j → h j + α hi , i ≠ j ). B =  2 0 3 1  → 2 0 3 1  3 6 3 1   0 0 −3 1  3. Đổi vị trí hai hàng ( hi ↔ hk ).     Định nghĩa 1.1.3: Ma trận đgl có dạng bậc thang Ví dụ 1.1.6 Cho các ma trận sau nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Các hàng bằng 0 (nếu có) phải nằm dưới các 2 1 4  1 3 1     hàng khác 0. A = 0 1 1  B = 0 2 5 2. Phần tử cơ sở của một hàng phải nằm phía phải 0 0 − 3  0 0 0  so với phần tử cơ sở của hàng trên.   Hàng bằng 0: tất cả phần tử trên hàng đều bằng 0. 2 6 1 1 3 2 1      Hàng khác 0: có ít nhất 1 phần tử trên hàng khác 0. C = 0 0 8 D = 0 0 0 0  Phần tử cơ sở: phần tử khác 0 đầu tiên của hàng (tính 0 5 0  0 0 2 5  từ trái sang phải)   Định nghĩa 1.1.4: Ma trận đgl có dạng bậc thang Ma trận A, B có dạng bậc thang; rút gọn nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: Ma trận C, D không có dạng bậc thang. 1. Nó có dạng bậc thang; Định lý 1.1.1: Mọi ma trận có thể đưa về dạng 2. Phần tử cơ sở của hàng bằng 1 và là phần tử bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với duy nhất khác 0 trong cột chứa nó. hàng. Ví dụ 1.1.8 Các ma trận sau có dạng bậc thang rút Ví dụ 1.1.7 Đưa các ma trận sau về dạng bậc gọn 1 0 3 1 2 0 0  thang  1 2 1 1   1 2 3         A = 0 1 2, B = 0 0 1 0  A =  1 3 5 3 , B =  1 −1 0 0 0 0   3 2 4 0   2 1 3   0 0 0 1      3
1/8/2015 Định lý 1.1.2: Mọi ma trận có thể đưa về dạng 2. Các phép toán đối với ma trận bậc thang rút gọn nhờ các phép biến đổi sơ cấp 2.1 Các phép toán đối với hàng. Định nghĩa 1.1.5: Hai ma trận cùng loại A = (aik ), B = (bik ) đgl bằng nhau nếu aik = bik với mọi i,k. Ví dụ 1.1.9 Đưa các ma trận sau về dạng bậc thang rút gọn Định nghĩa 1.1.6: Tổng của hai ma trận cùng loại 1 3 2 0 A = (aik ), B = (bik ) là một ma trận cùng loại với A,B 1 3 1 0   2 1 0  được kí hiệu là A+B, với phần tử ở hàng i cột k là A =  0 1 0 , B= aik + bik ,  0 0 3 1 3 3 1     A + B = ( a ik + b ik ) 0 0 0 0 Định nghĩa 1.1.7: Tích của ma trận A = ( a ik ) với Định lý 1.1.3 Với các ma trận A, B, C và các số một số λ là một ma trận cùng loại được kí hiệu là λ , β ta có các mệnh đề sau (giả thiết các phép λ A với phần tử ở hàng i cột k là λ aik , λ A = (λ aik ) toán đều hợp lệ) Định nghĩa 1.1.8: Cho ma trận A = ( a ik ) loại m × n 1. A + B = B + A ma trận B = ( bkj ) loại n × p . Tích của hai ma trận A 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) = A + B + C và B là ma trận loại m × p được kí hiệu là AB , với 3. ( AB )C = A( BC ) phần tử hàng i cột j là: n 4. ( A + B )C = AC + BC a i 1b1 j + a i 2 b2 j + ... + a i n bnj = ∑a k =1 ik bkj 5. A( B + C ) = AB + AC 2.2 Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp với . 6. (αβ ) A = α ( β A) ma trận Ví dụ 1.1.10 Xét các ma trận 7. α ( AB ) = (α A) B = A(α B ) 1 −2 0 1 1 −2 0 1     8. α ( A + B ) = α A + α B A = 2 0 3 2 , B =  2 0 3 2 1 −1 1  2 −2 2  9. (α + β ) A = α A + β A  4  8  1 0 0   E =  0 1 0  0 0 2   4
1/8/2015 Ta có: 1. Phép biến đổi sơ cấp thứ nhất: nhân hàng thứ i với α EA=B h3 →2 h3 A → B 1 0 … … … 0  Vậy phép biến đổi sơ cấp thứ nhất tương đương   0 1 … … … 0  với việc nhân phía trái của A với một ma trận E.  … … … … … … Định lý 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp 1,2,3 đối E1 =   với hàng của ma trận A = ( aik ) loại m× n tương 0 0 … α … 0  hàng i đương với nhân bên trái của A một ma trận vuông  … … … … … … (loại m× m ) cấp m có các dạng tương ứng   0 0 … … … 1  sau: 2. Phép biến đổi sơ cấp thứ hai: cộng hàng i đã 3. Phép biến đổi sơ cấp thứ ba: đổi vị trí hàng i nhân α vào hàng j với hàng j 1 0 … … … 0  1 0 … … … 0      0 1 … … … 0  0 1 … … … 0   … … … … …   … … … … … … E3 =   E2 =   0 0 0 1 … 0  0 0 … 1 … 0  hàng i 0 … 1 0 … 0   … … … α 1 0  hàng j     0 0 … … … 1  0 0 … … … 1  Các ma trận E1 , E 2 , E 3 đgl các ma trận sơ cấp. 2.3 Ma trận chuyển vị Định lý 1.1.5 Đối với phép chuyển vị ma trận ta Định nghĩa 1.1.9. Cho ma trận A = (aik ) loại m × n có (giả thiết các phép toán có nghĩa) Ma trận chuyển vị của ma trận A là một ma trận loại n × m được kí hiệu là A với phần tử hàng i T 1. ( A T )T = A cột k là aki , A = (aki ) . T 2. ( A + B )T = A T + B T Ví dụ 1.1.11 3 . ( AB )T = B T AT 1 4 4. ( λ A ) T = λ AT 1 2 3   A= , A = 2 T 5 4 5 6 3  6  5
1/8/2015 3. Ma trận nghịch đảo Định lý 1.1.6 Ta có các mệnh đề sau: 3.1 Khái niệm về ma trận nghịch đảo 1. Nếu A, B khả đảo thì tích AB khả đảo và (trong phần này chỉ xét tập các ma trận vuông cấp n) ( AB)−1 = B−1 A−1; Định nghĩa 1.1.10 Ma trận vuông I cấp n đgl ma 2. Nếu A khả đảo thì AT khả đảo và ( AT )−1 = (A−1)T ; trận đơn vị nếu AI = IA = A với mọi ma trận vuông −1 −1 −1 3. Nếu A khả đảo thì A khả đảo và ( A ) = A. A cấp n. 4. Nếu A khả đảo và α ≠ 0 thì ma trận α A cũng Định nghĩa 1.1.11 Ma trận vuông B đgl ma trận khả đảo và 1 nghịch đảo của A (vuông cấp n), nếu AB = BA = I . (α A) −1 = A−1 Khi đó, A đgl khả đảo, và kí hiệu ma trận nghịch α đảo của nó là A −1 . 3.2 Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp. sơ cấp đối với hàng. Định lý 1.1.7 Các ma trận sơ cấp thì khả đảo. Xét ma trận mở rộng ( A I ) Định nghĩa 1.1.12. Hai ma trận đgl tương đương Biến đổi → ( I A −1 ) ( A I )  hàng nếu từ ma trận này có thể biến thành ma trận kia nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Ví dụ 1.1.12 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Định lý 1.1.8 Ma trận (vuông) A khả đảo khi và 1 1 1   chỉ khi nó tương đương hàng với ma trận đơn vị. A = 1 2 3 0 1 1   Ví dụ 1.1.13 Xét ma trận Định lý 1.1.9 Cho ma trận vuông A (cấp n) khả đảo và Bn× p , Cm×n . Xét phương trình ma trận  1 2 −4 1 A X = B và YA = C . Khi đó   i ) AX = B ⇔ X = A −1 B ; 2 1 2 3 A= ii ) YA = C ⇔ Y = CA − 1 .  −1 1 1 1    3 0 1 2 A có khả đảo? 6
1/8/2015 Ví dụ 1.1.14 Giải các phương trình ma trận sau: 1 2 3 5 1)   X =   3 4 5 9 3 −1   5 6  14 16  2)  = X  5 −2   7 8   9 10  1 2  3 5 3)  X =   2 4  4 2 II. Định thức Cấp 3: 1. Một số định nghĩa:  a11 a12 a13  Với ma trận vuông A, định thức của ma trận A   được kí hiệu là det A hay A . A =  a21 a22 a23  Định nghĩa 1.2.1. Ta có các định thức cấp 1, 2, 3: a a a   31 32 33  Cấp 1: A = (a) ⇒ det A = a. ⇒ det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − Cấp 2: − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 a a  A =  11 12  ⇒ det A = a11a22 − a12 a21  a21 a22  Định nghĩa 1.2.2. Cho A = (aik ) là ma trận vuông Ví dụ 1.2.1 Tính det A, với cấp n . Định thức của ma trận A được tính bởi công thức sau: 1 3 0 2   det A = a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n , 4 1 2 −1  A= i+ k trong đó, Aik = (−1) det M ik và M ik là ma trận 3 1 0 2 vuông cấp (n-1) nhận được từ A bằng cách bỏ   hàng thứ i và cột thứ k. 2 3 3 5 Đại lượng Aik đgl phần bù đại số của aik ; det M ik đgl định thức con bù của aik . 7
1/8/2015 Định lý 1.2.1 Với ma trận vuông cấp n≥ 2 ta có Ví dụ 1.2.2 Tính det A, với thể khai triển định thức của nó theo một hàng bất kỳ hoặc một cột bất kỳ theo công thức sau:  1 2 0 1 n  3 1  det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ai n = ∑ aij Aij A= 1 0 j =1  −1 2 4 5 (theo hàng i , i = 1, n )   n  2 3 1 0 det A = a1k A1k + a2k A2k + ... + ank Ank = ∑ aik Aik i =1 (theo cột k, k = 1, n ) 2. Các tính chất của định thức Ta có các tính chất sau (định thức bằng 0): det A = det( A ). T i. Nếu ma trận có một hàng (cột) bằng 0 thì Khi nhân một số α vào trong một hàng (cột) nào định thức của nó bằng 0. đó thì định thức cũng được nhân cho số α đó. ii. Nếu ma trận có hai hàng (cột) bằng nhau thì Ví dụ 1.2.3 Xét ma trận định thức của nó bằng 0. 1 0 2  iii. Nếu ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau thì   A =  3 1 −1  định thức của nó bằng 0.  2 −1 2    Với ma trận vuông A cấp n, ta có: Cho ma trận A có tính chất: mỗi phần tử của hàng thứ i biểu diễn ở dạng: aik = aik(1) + aik( 2) det A, i = j ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + ... + ain A jn =  Kí hiệu: A1 là ma trận nhận từ A bằng cách thay  0, i≠ j (1) hàng thứ i bằng các phần tử aik , A2 nhận từ A ( 2) Định thức không đổi nếu ta cộng vào một hàng bằng cách thay hàng i bằng các phần tử aik . (cột) nào đó một hàng (cột) khác đã được nhân Khi ấy ta có: cho một số. det A = det A1 + det A2 Định thức đổi dấu nếu ta đổi vị trí hai hàng (cột). 8
1/8/2015 Nếu ma trận A có dạng tam giác thì định thức Định lý Laplace. Khai triển định thức theo r của nó bằng tích các số nằm trên đường chéo, hàng (cột). Cho ma trận vuông A cấp n . Xét k hàng det A = a11a22 ...ann i1 < i2 < ... < ik và k cột j1 < j2 < ... < jk Kí hiệu: δ là định thức của ma trận vuông cấp k gồm các phần tử nằm trên giao của k hàng và k cột đó: ai1 j1 ai1 j2 … ai1 jk δ =⋮ aik j1 aik j2 … aik jk β là định thức của ma trận vuông cấp ( n − k ) Ví dụ 1.2.4 Cho ma trận vuông cấp 5 nhận được từ A bằng cách bỏ đi k hàng và k cột 1 3 1 0 2 trên đgl định thức con bù của δ .   2 3 2 1 1 Đại lượng ∆ = β .(−1)i1 +...+ik + j1 +...+ jk đgl phần bù đại A = 4 1 0 2 3 số của định thức δ .   2 −1 1 4 1 6 2   2 1 1 Định lý 1.2.2 (Định lý Laplace) Định thức của Ví dụ 1.2.6 Tính định thức cấp 5: một ma trận bằng tổng của tích mọi định thức con rút ra từ k hàng (cột) với bù đại số tương 1 2 0 0 0   2 1 0 0 0 ứng của chúng. Ví dụ 1.2.5 Tính định thức cấp 4: A = 5 3 1 1 2 1 2 1 0     8 1 −2 3 5 2 0 2 3 A= 4  2 1 2 3  4 1 3 2   7 0 1 0 9
1/8/2015 Ví dụ 1.2.8 Dùng các t/c của đth tính các định Ví dụ 1.2.7 Dùng khai triển Laplace, tính định thức sau: thức sau: 1 a b+c a2 b2 c2 2 3 0 0 1 −1 a) 1 b c+a b) a b c 9 4 0 0 3 7 1 c a+b 1 1 1 4 5 1 −1 2 4 a 1 1 1 3 8 3 7 6 9 1 a 1 1 1 −1 0 0 0 0 c) 1 1 a 1 3 7 0 0 0 0 1 1 1 a 3. Công thức tính ma trận nghịch đảo. Định thức Định lý 1.2.4 Ma trận vuông A khả đảo khi và chỉ tích hai ma trận. khi det A ≠ 0. 3.1 Ma trận biến đổi sơ cấp và định thức tích hai ma trận Định lý 1.2.5 det E1 = α ; det E2 = 1; det E3 = − det I = −1 det AB = (det A)(det B) Định lý 1.2.3 Với ba ma trận biến đổi sơ cấp hàng E 1 , E 2 , E 3 ta có: det( Ei A) = (det Ei )(det A), i = 1, 2, 3. Định nghĩa 1.2.3 Ma trận vuông A đgl không suy 3.2 Công thức tính ma trận nghịch đảo biến nếu det A ≠ 0. Ngược lại, A đgl suy biến. Cho ma trận Định lý 1.2.6 Ma trận vuông khả đảo khi và chỉ  a11 a12 … a1n  khi nó không suy biến.   a a … a2n  A =  21 22  …     an1 an2 … ann  10
1/8/2015 Xét ma trận Đinh lý 1.2.7 Ta có :  A11 A21 … An1  APA = PA A = (det A)I.   A A22 … An 2  PA =  12  …    1 … Nếu A khả đảo, thì A−1 = .PA  A1n A2 n Ann  det A trong đó Aij là phần bù đại số của aij , ma trận PA đgl ma trận phụ hợp của A. Ví dụ 1.2.9 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 4. Hạng của ma trận sau: 4.1 Khái niệm hạng của ma trận  1 2 0 Xét Am×n . Các phần tử nằm trên giao của k   hàng và k cột tạo một ma trận vuông loại k × k . A =  3 1 4 Định thức của nó đgl định thức con cấp k.  −2 1 2  Ví dụ 1.2.10 Cho ma trận loại 3 × 4   1 1 −1 2   A = 3 2 1 5 4 0 −2 1   Xét ma trận Định nghĩa 1.2.4 Hạng của một ma trận là cấp 3 1  cao nhất của các định thức con khác 0. δ =   4 −2  Nói cách khác, hạng của ma trận A bằng r nếu tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 và có định thức det δ = − 10 là một định thức con mọi định thức con cấp cao hơn r đều bằng 0. cấp 2. Kí hiệu: rA hoặc rank A là hạng của ma trận A. 11
1/8/2015 Ví dụ 1.2.11 Tính hạng của ma trận sau: Ví dụ 1.2.12 Cho ma trận dạng bậc thang 1 2 −2 3  1 2 3 −1 0     A=2 1 4 0  A= 0 2 1 2 1 1 −1 6 −3  0 0 1 3 −2      0 0 0 0 0 Ví dụ 1.2.13 Cho ma trận dạng bậc thang Định lý 1.2.8 Ma trận bậc thang có r hàng khác 0 có hạng bằng r. 1 2 3 −1 0   Định lý 1.2.9 Các phép biến đổi sơ cấp không làm 0 0 1 2 1 B = thay đổi hạng ma trận. 0 0 0 3 −2    0 0 0 0 0 Để tìm rank A, đưa A → ma trận bậc thang B, rank A = rank B. Ví dụ 1.2.14 Tính hạng của ma trận sau: Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2.1. Khái niệm chung. 1 2 −2 3  2.2. Hệ Cramer. 2.3. Định lý Kronecker – Capelli.   A=2 1 4 0  2.4. Phương pháp Gauss. 1 −1 6 −3  2.5. Hệ thuần nhất.   Phần bổ sung (dành riêng cho ngành Hóa ứng dụng) Không gian Rn Không gian Rn. Độc lập và phụ thuộc. Cơ sở và số chiều. 12
1/8/2015 Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ở đây: x1, x2 ,..., xn là các ẩn phải tìm. I. Khái niệm chung Nếu đặt 1. Hệ phương trình tuyến tính  a11 a12 … a1n   b1   x1  Hệ phương trình tuyến tính tổng quát (m phương       a a22 … a2n  b x trình, n ẩn) có dạng: A =  21 , b =  2 , X =  2  a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 … … … …  ⋮  ⋮  a x + a x + … + a x = b        am1 am2 … amn   bm   xn   21 1 22 2 2n n 2  (1) ............................................ thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận: am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm AX = b. Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm của hệ phương trình Định lý 2.1.1 Các phép biến đổi sau đây chuyển (1) là một bộ n số : một hệ phương trình tuyến tính thành một hệ tương x1 = α1 , x2 = α 2 ,..., xn = α n thỏa mãn hệ trên. đương: 1) Nhân cả hai vế phương trình cho một số khác 0. Định nghĩa 2.1.2. Hai hệ phương trình có cùng 2) Cộng một phương trình đã được nhân cho một số số ẩn đgl tương đương nếu tập nghiệm của chúng vào một phương trình khác. trùng nhau (tức nghiệm của hệ này là nghiệm của 3) Đổi vị trí hai phương trình. hệ kia và ngược lại). 2. Hệ phương trình tuyến tính và ma trận Ví dụ 2.1.1 Giải hệ phương trình tuyến tính sau: Ma trận hệ số vế trái của hệ phương trình:  x1 + x2 + x3 = 2 1  1 1   3 2 1 3 x1 + 2 x2 + x3 = 7 2  1 5   2 x + x + 5 x = −5 Ma trận mở rộng:  1 2 3 1 1 1 2    3 2 1 7  (Nghiệm : 1,3,-2). 2 1 5 − 5   13
1/8/2015 Tổng quát: Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa Xét ma trận mở rộng của hệ (1): ( ) ma trận mở rộng A b về dạng:  a11 a12 … a1n b1   c11 c12 … c1n d1      a a … a2n b2   c21 c22 … c2n d2  ( A b) =  ⋮21 ⋮22 … ⋮ ⋮   ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮       am1 am2 … amn bm   cm1 cm2 … cmn dm  Khi đó, hệ (1) tương đương với hệ: Phương pháp Gauss: c11x1 + c12 x2 +… + c1n xn = d1 ( ) Đưa ma trận mở rộng A b → ma trận bậc thang…  c21x1 + c22 x2 +… + c2n xn = d2 Lưu ý: Qua các phép biến đổi sơ cấp hạng của ma  trận không thay đổi. ........................................... cm1x1 + cm2 x2 + …+ cmn xn = dm Định lý 2.1.2 (Định lý Kronecker – Capelli) 3. Số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi Định lý 2.1.3 Cho hệ phương trình AX = b . Khi ấy: 1) Nếu rank ( A b ) ≠ rank ( A ) thì hệ vô nghiệm rank ( A b ) = rank ( A) 2) Nếu rank ( A b ) = rank ( A ) ( = r ) thì hệ có nghiệm 2.1 Nếu ( r = n ) (số ẩn) thì hệ có một nghiệm duy nhất. 2.2 Nếu ( r < n ) thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc ( n − r ) tham số. 14
1/8/2015 Ví dụ 2.1.2 Giải hệ phương trình: Ví dụ 2.1.3 Giải hệ phương trình  2 x + 3 y + 5 z = 10  2 x1 + x 2 + 3 x3 =4  2 x + x + 6 x 3 x + 7 y + 4 z = 3 ( II )  1 2 3 =6  x + 2 y + 2z = 3  ( III )   4 x1 + 2 x 2 + 3 x3 =6  6 x1 + 3 x 2 + 9 x3 = 13 Ví dụ 2.1.4 Giải hệ phương trình VD 2.1.2 (Nghiệm : 3, -2, 2) VD 2.1.3 (Hệ vô nghiêm)  x1 + 2 x2 + 2 x3 = 3 VD 2.1.4  −3 − 4α 6 −α  2 x1 + x2 + 3 x3 = 0 ( IV ) Hệ có vô số nghiệm: x1 = 3 ; x2 = 3 ; x3 = α (với α là số bất kỳ). 4 x + 5 x + 7 x = 6  1 2 3 4. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình Ví dụ 2.1.5 Giải và biện luận hệ phương trình sau ( ) - Bước 1: Đưa ma trận mở rộng A b về dạng bậc theo tham số m thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp với hàng. - Bước 2: Xét hạng ma trận bậc thang đó:  x + 2y + z = 4  r( Ab) ≠ rA : hệ vô nghiệm. 2 x + 3z = 1 (V ) 3 x + 2 y + mz = 2  r( Ab) = rA = r : hệ có nghiệm: • r = n (số ẩn): hệ có nghiệm duy nhất. • r < n : xđ r ẩn cơ sở phụ thuộc (n-r) ẩn tự do (hệ có vô số nghiệm). 15
1/8/2015 Ví dụ 2.1.6 Giải hệ 1+ λ 1 (1 + λ ) 2 λ ≠ 1, λ ≠ −2 : r( A b ) = rA = 3, x = − + , y = + , z = + λ x + y + z = 1 2 λ 2 λ 2 λ  x + λ y + z = λ (VI ) λ = 1: r( A b ) = rA = 1, x = 1 − α − β , y = α , z = β . x + y + λz = λ2  λ = − 2 : r( A b ) = 3, rA = 2, hệ vô nghiệm. 5. Hệ phương trình thuần nhất Định lý 2.1.4 Hệ phương trình thuần nhất AX = 0 Là hệ phương trình có dạng: có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 rank A < n (số ẩn số).  a x + a x + ... + a x = 0  21 1 22 2 2n n  Hệ quả 2.1.1 Nếu hệ phương trình thuần nhất  .......................................... có số phương trình ít hơn các ẩn số thì hệ có  am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0 nghiệm không tầm thường. Hệ luôn có nghiệm: x1 = x2 = ... = xn = 0. Nghiệm đó đgl nghiệm tầm thường. II. Hệ phương trình Cramer, pp định thức Định nghĩa 2.2.1 Hệ (2) đgl hệ Cramer nếu det A≠ 0. 1. Phương pháp ma trận nghịch đảo Xét n phương trình n ẩn: Định lý 2.2.1 Hệ Cramer AX = b có một nghiệm a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 −1 duy nhất X = A b.  a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2  (2) .......................................... an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn với dạng ma trận AX = b . 16
1/8/2015 2. Công thức Cramer Xét định thức ∆k nhận được từ định thức của A bằng cách thay cột thứ k bởi cột vế phải Ta có:  A11 A21 … An1   b1  a11 a12 … b1 … a1n    −1 1  A12 A22 … An 2   b2  a a22 … b2 … a2n X = A b= ∆k = 21 det A  … … … …  ⋮  … … … … … …     A1n A2 n … Ann   bn  an1 an2 … bn … ann Vậy ↑ 1 xk = ( A1k b1 + A2 k b2 + ... + Ank bn ) , k = 1, n (cột thứ k) det A Khai triển định thức ∆ k theo cột thứ k : Định lý 2.2.2 Nếu hệ n phương trình n ẩn AX = b (phần bù đại số của bi chính là phần bù đại số của aik ) có định thức ∆ = det A ≠ 0 thì hệ có một nghiệm duy nhất được xác định bởi công thức : ∆ k = b1 A1k + b2 A2 k + ... + bn Ank ∆1 ∆ ∆ x1 = , x2 = 2 ,..., xn = n ∆ ∆ ∆ Vậy ∆k xk = , k = 1, 2,..., n trong đó ∆k là định thức nhận được từ ∆ bằng det A cách thay cột thứ k bởi cột vế phải. Định lý 2.2.3 Hệ n phương trình tuyến tính Ví dụ 2.2.1 Giải hệ phương trình thuần nhất n ẩn AX = 0 có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi det A = 0.  2 x + 3 y + 5 z = 10  3 x + 7 y + 4 z = 3  x + 2 y + 2z = 3  17