Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 1 - Võ Duy Minh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 1 Hàm số - Giới hạn – Liên tục cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm số; giới hạn của hàm số; giới hạn của hàm số; sự liên tục của hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 1 - Võ Duy Minh

TRUỜNG ÐẠI HỌC TIỀN GIANG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỌC PHẦN: TOÁN CAO CẤP A1 GV phụ trách: Võ Duy Minh SĐT : 0985706948 Email: voduyminh@tgu.edu.vn Blog lớp: Giới thiệu môn học (đề cương chi tiết) Phương pháp học, kiểm tra, thi 1
Chương I: Hàm số - Giới hạn – Liên tục • HÀM SỐ • GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ • SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 2
Bài 1: Hàm số ÁNH XẠ 1) Định nghĩa 2) Phân loại HÀM SỐ 1) Định nghĩa 2) Hàm hợp 3) Hàm ngược 3
Định nghĩa ánh xạ Một ánh xạ từ tập E sang tập F là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x ∈E với một phần tử duy nhất y ∈F Ký hiệu f: E F Đặt x ֏ y = f(x) E : tập nguồn F : tập đích y : ảnh của x qua ánh xạ f 4
Phân loại ánh xạ Ánh xạ f: E F được gọi là đơn ánh nếu ∀ x1 , x2 ∈ E: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ E : f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 Ánh xạ f: E F được gọi là toàn ánh nếu ∀ ∈ F, ∃x ∀y ∃ ∈ E : y = f(x) Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh 5
Định nghĩa hàm số Khi E ⊆ R, F ⊆ R, ánh xạ f : E → F là hàm số • E : tập xác định • f(E) = {f(x) ∈ F / x ∈ E} : tập giá trị Hàm số thường cho bởi công thức y = f(x) Miền xác định D = {x / f(x) có nghĩa} Miền giá trị T = {y / f(x) = y có nghiệm x ∈ D} 6
x Tìm miền giá trị của y = x 2 + 1 Miền xác định D = R Miền giá trị T = {y / f(x) = y có nghiệm x ∈ D} Xét pt yx2 –x +y = 0 (1) • y = 0 ⇒ x = 0 ⇒ (1) có nghiệm x ∈ R • y ≠ 0; (1) có nghiệm x ∈R ⇔ 1- 4y2 ≥ 0 −1 1 Vậy T = [ -1 ; 1 ] ⇔ ≤ y≤ 2 2 2 2 7
Hàm hợp Hàm số f : E → F và g:F→G x ֏ y = f(x) y ֏ z = g(y) Hàm hợp của f và g ký hiệu gºf g ºf : E → G x ֏ z = (gºf)(x) = g[f(x)] Biến được thay bằng hàm số khác VD f : x ֏ x2 + 2, g : x ֏ 3x + 1 f[g(x)] = [g(x)]2 + 2 = (3x + 1)2 + 2 g[f(x)] = 3f(x) + 1 = 3(x2 + 2) + 1 8
Hàm ngược Hàm số f : E → F là song ánh x ֏ y = f(x) Hàm ngược của f ký hiệu f-1 f-1 : F → E y ֏ f-1(y) = x với y = f(x) x ֏ f-1(x) = y với x = f(y) • Đồ thị của f và f-1 đối xứng nhau qua y = x • f và f-1 có tập xác định và tập giá trị đổi vai trò cho nhau 9
Các hàm sơ cấp cơ bản a) Hàm số lũy thừa y = xα với α ∈ R Với α > 0 đồ thị của hàm số y = xα luôn đi qua điểm (1; 1) và qua điểm O(0; 0) Với α < 0 đồ thị của hàm số y = xα luôn đi qua điểm (1; 1) α > 0 : lim x α = 0; lim x α = ∞  x→0 x →∞  α < 0 : lim x = ∞; lim x = 0 α α x →0 x →∞ 10
Các hàm sơ cấp cơ bản b) Hàm số mũ y = ax, a > 0, a ≠1 MXĐ D = R, TGT T = (0, ∞) Hàm số tăng khi a > 1 và giảm khi a < 1 Đồ thị của nó luôn đi qua (0; 1) a > 1 : lim ax = 0+; lim ax = +∞  x →−∞ x →+∞   0 < a < 1 : lim a x = +∞ ; lim a x = 0 + x →−∞ x →+∞ 11
Các hàm sơ cấp cơ bản c) Hàm số logarit y = logax, a > 0, a ≠ 1 MXĐ D = (0, ∞) , TGT T = R Hàm số tăng khi a > 1 và giảm khi a < 1 Đồ thị của nó luôn đi qua (1, 0) a > 1 : lim loga x = −∞; lim loga x = +∞ x→0+ x →+∞   0 < a < 1 : xlim →0+ loga x = +∞; lim loga x = −∞ x →+∞ 12
d) Hàm lượng giác y = sinx, y = cosx MXĐ D = R, TGT T = [-1, 1] Tuần hoàn chu kỳ 2π . Khảo sát trên [0,π] π Sinx tăng (0, ) 2 Cosx giảm [0,π] và giảm ( π , π ) 2 Cosx_chẵn. Sinx_lẻ. 13
d) Hàm lượng giác y = tgx, y = cotgx TGT T = R Tuần hoàn chu kỳ π π Cotgx xđịnh tại x ≠ kπ tgx xđịnh tại x ≠ ( 2k + 1) 2 π Cotgx giảm (0,π) và tăng (0, ) 2 tgx_lẻ. Ksát (− π , π ) Cotgx_lẻ. Ksát (0,π) 14 2 2
e) Hàm lượng giác ngược y = arcsinx  −π π  Hàm số f:  2 , 2  → [-1, 1] là song ánh nên f có f-1 x ֏ y = sinx f-1: [-1, 1] →  −π π   2 , 2  Đặt y ֏ f-1(y) = x = arcsiny với y = sinx x ֏ f-1(x) = y = arcsinx với x = siny arcsinx tăng trong MXĐ [-1, 1] π −π arcsin0 = 0 ; arcsin1 = ; arcsin(-1) = 2 2 15
e) Hàm lượng giác ngược y = arccosx Hàm số f: [0, π] → [-1, 1] là song ánh nên f có f-1 x ֏ y = cosx f-1: [-1, 1] → [0, π] Đặt y ֏ f-1(y) = x = arccosy với y = cosx x ֏ f-1(x) = y = arccosx với x = cosy arccosx giảm trong MXĐ [-1, 1] π arccos0 = ; arccos1 = 0 ; arccos(-1) =π 2 16
e) Hàm lượng giác ngược y = arctgx Hàm số f:  −π , π  → R là song ánh nên f có f-1  2 2 x ֏ y = tgx f-1: R →  −π π  ,    2 2 Đặt y ֏ f-1(y) = x = arctgy với y = tgx x ֏ f-1(x) = y = arctgx với x = tgy arctgx tăng trên R π π lim arctgx = − ; lim arctgx = x →−∞ 2 x→+∞ 2 arctg0 = 0 17
e) Hàm lượng giác ngược y = arccotgx Hàm số f: (0, π) → R là song ánh nên f có f-1 x ֏ y = cotgx f-1: R → (0, π) Đặt y ֏ f-1(y) = x = arccotgy với y = cotgx x ֏ f-1(x) = y = arccotgx với x = cotgy arccotgx giảm trên R lim arccot gx = π; lim arccot gx = 0 π x →−∞ x →+∞ arccotg0 = 2 18
Định nghĩa hàm sơ cấp Hàm nhận được từ những hàm sơ cấp cơ bản và các hằng số bằng một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia), các phép lấy hàm hợp được gọi là hàm sơ cấp 1 sin 2x − x 2 + 1 VD 2x − 3 − log3 (x + 1) + y= + arctg2x 2 x −9 2 y = 2x – x + 9, y = sin(x2 + 1) – 3tg5x + 4 đều là hàm sơ cấp. x2 − 1, khi x > 0 y = f(x) =  không là hàm sơ cấp 2x + 2, khi x ≤ 0 19
Định nghĩa giới hạn của hàm số Số b được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến về a nếu cho mọi ε > 0, tồn tại số δ > 0 để cho mọi x ≠ a và x − a < δ thì f(x) − b< ε. lim f(x) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < x − a < δ ⇒ f(x) − b < ε x →a Số b được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến về vô cùng nếu cho mọi ε > 0, tồn tại số M > 0 khá lớn để cho nếu x〉 M thì f(x) − b< ε. lim f(x) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0 : x > M ⇒ f(x) − b < ε x →∞ 20