Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
ổ ế ệ ạ 1.1. Khái ni m ánh x tuy n tính t ng quát
ị a) Đ nh nghĩa
đ
Y
ạ
ử
ế
c ượ ế (hay toán t tuy n tính) n u
Cho X , Y là 2 kgvt trên ¡ . Ánh x ạ :T X ế g i là ọ ánh x tuy n tính ện sau: th aỏ mãn 2 đi u kiề
)
( ),
,
T x
x
X
x
¡ ;
)
( ),
y
( ) T x
T y
, x y
X
1) ( T 2) ( T x .
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Chú ý ố ớ ế ắ
T x .
,
ệ ủ ị • Hai đi u ki n c a đ nh nghĩa t , ) T x y
ề ( T x
T y
ươ , x y
ươ v i:ớ ng ng đ X
¡ .
ầ ượ
. Trong đó
t là
vector không
Y
l n l ,X Y
T • ( )X c a ủ X và Y .
ế ạ • Đ i v i ánh x tuy n tính (vi t t t là AXTT), ký hi uệ ( ) ượ T x còn đ ế c vi t là
3
¡
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
2 đ x
x
x
T x
x
1
2
3 ) x 2
1
; 2
3
),
x
x
y
y
y
x
:T VD 1. Cho ánh x ạ ¡ ( ) ( ; x 1 3¡
.
Trong
, xét
; 2
3
( ; y 1
; 2
) 3
( ; x 1
c đ nh nghĩa: . ượ ị ; 2 x 3
( T x
y
x
y
x
y
2
; 2
1
; 1
) 3 y
y
x
1
; 3
3 x 3 )
2 3
( x 2 x
y
2
1
x
x
2
( x
1
2 3 x 2 3 ) x 2
.
( y
y
3 ) y 2
1
y 1 2 y 1 ; 2 x 3 1 ; 2 y 3 ạ
1 ế
y 2 V y ậ ánh x ạT là ánh x tuy n tính t
vào
T x ừ 3¡
T y 2¡ .
V i ớ ¡ tùy ý, ta có: ) ( y T x
2
h sauư
:
¡
:f VD 2. Cho ánh x ạ ( ; ) f x y
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính ( x
2 ị xác đ nh n ; 2 3 ) y
¡ y
.
(1; 2),
(0; 1)
v
(0; 5)
(1; 1) f ( 1; 8)
(1 1; 2 3.1) (1; 1)
(0; 7)
( f u ( ) f u
) v ( ) f v
u Xét
)
( f u
v
( ) f u
( ) f v
ta có:
ậ
V y ánh x
vào
ạ f không ph iả là AXTT t ừ 2¡
2¡ .
.
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính ặ
ườ ặ ẳ ng g p trong m t ph ng: VD 3. Các AXTT th
ế
• Phép chi u vuôn ( ; ) T x y ố g góc xu ng tr c , ( ; ) ( ; 0) T x y x ụ Ox , Oy : (0; ) y .
ố ứ • Phép đ i x ng qua ( ( ; ) T x y tr c ụ Ox , Oy : ( ; ) y x ; ) x y , ( ; ) T x y .
+
sin
j
cos ) • Phép quay 1 góc quanh g c t a đ ố ọ ộO : sin ; sin ( cos x x ( ; ) T x y y .
b
M •
j cos M
b
•
j O
-
j cos
sin
j
a
x
a
b
y y a
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
ộ ế ố
ậ ợ
C a b là t p h p các hàm m t bi n s liên
ộ
ị
[ ; ]
VD 4. G i ọ [ ; ] ụ t c trên
[ ; ] a b . Trên
C a b , xác đ nh phép toán c ng
ố
ướ
[ ; ]
hai hàm s và nhân vô h
ng thì
C a b là 1 kgvt.
a
:
[ ; ] T C a b
[ ; ], C a b T f
( ) f x dx
;
a x
:
[ ; ] S C a b
[ ; ], C a b Sf
( ) , f t dt x
[ ; ] a b .
a , ta có:
ế ạ ấ Các phép l y tích phân sau là ánh x tuy n tính:
A M m
A
, ( ) ¡ m n , T x A
VD 5. Cho n : ế T A x ¡ ¡ ạ . là ánh x tuy n tính
ế
ị
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính ạ ủ ả b) Nhân và nh c a ánh x tuy n tính Đ nh nghĩa
nhân c a ủ T .
: X T x
:T X đ Y . ượ ọ c g i là
}.
Y
ế ạ Cho ánh x tuy n tính • T p ậ { }Y : X T x x ệ KerT . Ký hi u là V y ậ { x KerT
ượ ọ ) { : } T x x X đ c g i là ảnh c a ủ T .
{ : T x x
X
( T X ệ • T p ậ R angeT ho c ặ ImT . Ký hi u là
}.
V y ậ Im T
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
:T X , khi đó:
ậ • N u ế S là t p sinh c a
ủ X thì ( )
ậ T S là t p sinh c a
ủ ImT ;
ơ
ỉ
KerT
• T là đ n ánh khi và ch khi
{ }X .
Tính ch tấ Y ế ạ Cho ánh x tuy n tính • KerT là không gian con c a ủ X ; • ImT là không gian con c a ủ Y ;
ế
:T X
Y
Đ nh lý ị
, khi đó:
ạ Cho ánh x tuy n tính
dim( KerT ) dim(Im ) dim . T X
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
n
m
ừ
ề
ạ
ỉ
:
f
• T đây v sau, ta ch xét lo i AXTT
¡
¡
.
n
n
:
¡
Ø Chú ý
ế ổ là phép bi n đ i
, ta g i ọ ế ắ
f (vi t t t là PBĐTT).
¡
• Khi n m ế tuy n tính
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
ế ậ ủ ánh x tuy n tính ạ
n
m
:
f
¡
¡
và hai c sơ ở c a ủ
m
,n
ế ạ Cho ánh x tuy n tính ầ ượ t là: l n l
¡
¡
B
1
{ , u u 1
, 2
B và 2
{ , v v 1
, 2
, }m v .
...
A M
Ma tr n ậ
, ( ) ¡
m n
( f u
( f u
( f u
) 1 B
) 2 B
)n B
, }n u :
ị 1.2. Ma tr n c a a) Đ nh nghĩa
2
2
2
đ
c g i là
ượ ọ ma tr n c a
ậ ủ AXTT f trong c p ặ c sơ ở 1
,B B . 2
2
ả
Ký hi uệ là:
ế ơ ho cặ vi t đ n gi n là
[ ]B Bf
1
A .
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
... ...
) 1 )
a v 31 3 a v 32
a v 21 2 a v 22
a v 11 1 a v 12
2
1
3
m
C thụ ể là, n uế : ( a v f u 1 m m ( a v f u 2 2 m ...........................................................
)
...
( f u
a
v
v
a
v
1
2
n
1 n
2 n
3 n
va m n m
3 ...
a
a
a
11
12
1 n
21
2 2
2 n
2
... ...
a a
a a
a a
.
thì
32
B [ ] f B
1
...
a
a
2
1
mn
m
m
a a
31 3 n MMMM
ườ
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính ợ ặ ệ ng h p đ c bi t
n
n
Tr
B
: f ¡
1{ , u ( ... f u
) 2 B
( f u ( f u
ế ơ
ả
ho c ặ [ ]f ho c ặ vi t đ n gi n là
và c sơ ở , }n u . )n ) 1 B B ậ ủ PBĐTT f trong c s ơ ở B .
n
m
n
¡ , A x x
trong c pặ .
¡
Chú ý : ậ ủ N u ế A là ma tr n c a AXTT f ¡ c s ơ ở chính t c ắ E E thì ( ) ,n f x
m
A . Cho PBĐTT ¡ Ma tr nậ vuông A c pấ n : được g i là ọ ma tr n c a Ký hi uệ là: [ ]Bf
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
4
3 xác đ nh nh sau: 2 y
3
¡ ¡
( ) f v
E
4
(1; 0; 0; 0)
f
(3; 1; 0)
(0; 1; 0; 0)
f
.
(0; 0; 1; 0)
f
(0; 0; 0; 1)
(1; 2; 1) ( 1; 0; 3) (0; 1; 2)
f
(3 x ị ; t y :f VD 6. Cho AXTT y [ ]E f A ư 3 z , A v v ; z x ể ? Ki m tra 2 ) t . 4 ¡ ?
( ; ; ; ) f x y z t Tìm ma tr nậ Gi i.ả Ta có: ( ) f e 1 ( ) f e 2 ( ) f e 3 ( ) f e 4
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
3
1 0
E [ ] f E
4
3 1 1 2 0 1 A V yậ .
y
x
z
t
4
0 1 3 2
( ) f v
, A v v
¡
ự ể . • Sinh viên t ki m tra
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
3
2
ư
3
¡ :f ¡ (3 ; x x ị xác đ nh nh sau: 2 ; 5 ) y y .
2
Tìm ma tr n ậ ? VD 7. Cho AXTT ( ; ) f x y [ ]E Ef
;
;
3 0 3 0 1 1
0 1 A. 2 5 B. 2 5
;
.
0 1
3 1 3 1 0 2 0 2 C. 5 D. 5
3
:
3 xác đ nh nh sau
:f VD 8. Cho PBĐTT ¡ (3 ; ) ( ; x f x y z
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính ị 2 ; y y
¡ ; z x
ư 3 ) z
.
3
[ ]Ef
y
3 1
;
;
3 1 1 2 0 1 2 1
Tìm ma tr n ậ A.
? 1
1 1 3 3 1 0 B. 1
3
;
.
3 1 1 2 0 1
0 1 3 C. 1 D. 1 0 2 1 1 0 3
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
2
VD 9. Cho PBĐTT
¡
¡
:f ( ; ) f x y
(2 x
y
2 ứ ể có bi u th c: ; 3 ) y .
ắ E và
(1; 2),
B
u
?
2
1
ơ ở ậ ủ f trong c p ặ c s chính t c Hãy tìm ma tr n c a c s ơ ở ( 1; 3)} { u Gi i.ả Ta có:
.
(1; 0) (0; 1)
(2; 0) ( 1; 3)
f f
( ) f e 1 ( ) f e 2
( ; ) c d
f e
G i ọ
ta đ
c:ượ
[ ( )] f e 1 B
( ; ), [ ( )] a b B
2 (1; 2)
a
( 1; 3) b ( 1; 3)
(1; 2)
d
c
(2; 0) ( 1; 3)
, , 0, a c b d 1 .
V y ậ
.
B f E
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 4 5
6 5
0 1 6 5 4 5
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2
¡ (1; 0),
(1; 1)}
:f ¡ { u
u
F
2 ậ ủ f có ma tr n c a là
1
2
A
ể . Hãy tìm bi u th c c a
ứ ủ f ?
VD 10. Cho PBĐTT ố ớ c s ơ ở đ i v i
1 2 3 4
(1; 0)
f
) 1
Ta có:
)
(1; 1)
).
( f u ( f u
f
( ; ), a c ( a
; b c
d
2
) ứ ủ f là: Gi i.ả G i bi u th c c a ọ ể ( ax ( ; ) f x y ; by cx dy .
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
nên:
F
Do
) 2(1; 0) 4(1; 1)
( ; ) 1(1; 0) 3(1; 1) a c ( a
; b c
d
[ ( f u A )] 2 F
)] [ ( f u 1
)
(4 x
2 ; 3 x y
y
4, 2, 3, a b c d 1 .
V y ậ ( ; ) f x y .
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2
¡
(1; 2)
¡ ( 6; 7)
VD 11. Cho PBĐTT ( 4; 3) f
:f và (3; 4) f
?
2 ế ằ . Bi t r ng: . Hãy tìm [ ]Ef
(1; 2)
Ta có:
2 ) d
(3; 4)
f f
( a (3 a
2 ; b c 4 ; 3 b c
4 ) d
2 ) d
( 4; 3) ( 6; 7)
( a (3 a
2 ; b c 4 ; 3 b c
4 ) d
) ứ ủ f là: ọ ể Gi i.ả G i bi u th c c a ( ax ( ; ) f x y ; by cx dy .
4
a
2
6
3 .
a 3 a
2 b 4 b
3
1
b c
7
1
2 d 4 d
c 3 c
d
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
V y ậ
.
[ ] Ef
1 1
2
3
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
3
2
3
1
E f E
2
B
2
0 2 :f . có ¡ ¡ VD 12. Cho AXTT
Tìm ma tr n ậ
c sơ ở:
1
f ế , bi t hai B (1; 1),
(1; 2)}
B
{ u
u
và
1
1
(1; 1; 1),
B
{ v
2 (1; 0; 1), v
v
(1; 0; 0)} .
2
1
2
3
E
3
A
f
Gi i.ả Đ t ặ
E
2
4 3 3
f u
1
= 0 2 A ,
1 1
, ta có: 1 1 1
4 3 7 3 = 2 2
f u
2
A .
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính = 4
1 2
5 10
5 6
2
2
2 4 Suy ra: , . ( f u ( f u ) 1 B ) 2 B
9 15
2
5 6
B f B
1
2 4 V y ậ .
9 15
ơ ở ầ ượ :
B
v
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính ậ c) Thu t toán tìm ma tr n c a AXTT n f ¡ Cho AXTT { , u u 1
: , 2
, 2
1
t là , }m v .
ậ ủ m ¡ và hai c s l n l { , , }n v B u và 2 1
• B c 1.
m
m
m
[ ] v 1 E
E
n
ướ Tìm các ma tr n:ậ [ ] ...[ ] v v S 2 E m E ậ ộ các vector c a ủ (ma tr n c t [ ( f u [ ( f u Q . )] ...[ ( f u 2 )] 1 E
n
n
n
ư • B c 2.
2B ), )] E ậ ướ Dùng PBĐSC dòng đ a ma tr n S Q
B
I [ ]B f . ề ạ v d ng
2
1
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính ; y x
.
VD 16. Cho PBĐTT ( ; ) f x y
ậ
{(2; 1), (1; 1)}
B
Dùng thu t toán t
, v iớ
?
ìm [ ]Bf
( x 2 ) y
S
và
;
Gi i.ả Ta có: 1 B
2
2 1
1
, [ (1; 1)]
[ (2; 1)] f
f
Q
.
3 0
1
3 0 0 3
0 3
B B
Suy ra:
S Q
1 2 1 3 0 1 0 3
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
1 0
.
V y ậ
.
[ ] Bf
1 1 1
2
1 1 1 0 1 1 2 1 3 0 3 0 3 3 2 1 0 1 1 3 0 2
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
3
2
VD 17. Cho AXTT ( ; ; ) f x y z :f ¡ ( x y ¡ ; z x z ứ ể có bi u th c: ) y .
{(2; 1), (1; 1)}
ậ ặ ơ ở ậ ủ f trong c p c s : ìm ma tr n c a {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)}
Dùng thu t toán t B B và ?
(2; 0) f
,
Q
S
.
2 0 0 0 0 2
2 1 1 1
(0; 1; 1) (0; 0) f
Gi i.ả Ta có: (1; 1; 0)
(1; 0; 1) (0; 2) f
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Suy ra:
S Q
2 1 2 0 0 1 1 0 0 2
2 0 4 0
.
2 0
V y ậ
.
B [ ] Bf
2 0 4
2
1 0 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 4 4 4 2
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
A
) ; y y ( x ; x x và
{(1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1)} ,
{(1; 2), (3; 4)}
B
VD 18. Cho AXTT ( ; ) f x y ặ ơ ở c p c s :
ậ . Dùng thu t toán, tìm ? [ ]A Bf
S ; Gi i.ả Ta có:
1 1 1 0 1 1 0 0 1
( 1; 3; 1) f
Q .
(1; 2) (3; 4) (7; 1; 3) f
1 7 3 1 1 3
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Suy ra:
S Q
1 1 1 1 7 0 1 1 3 1 0 0 1 1 3
.
1 0 0 2 0 1 0 4
0 0 1 1 3 6 2
2 6
A [ ] Bf
4 V y ậ .
1 3 2
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
ạ ế ủ
n
m
f
¡
Đ nh nghĩa
ạ ị ạ H ng c
ề c a ủ
ố là s chi u
Nghĩa là:
d) H ng c a ánh x tuy n tính : a ủ AXTT ¡ ủ ả không gian nh c a nó.
ằ
ạ
( ) dim(Im ). r f f
Đ nh lý ị H ng cạ
a ủ AXTT b ng h ng ma tr n
ậ c a nó. ủ
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
2
:f
2 ậ có ma tr n trong
¡
VD 19. Cho PBĐTT
A
c s ơ ở F là
.
r f
¡ 1 2 2 4 V y ậ ( ) ( ) 1 r A .
3
2
:f
¡
ặ ậ có ma tr n trong c p
VD 20. Cho AXTT
.
c ơ s ở ,B B là
B [ ] Bf
¡
( ) r f
r
2 .
V y ậ
1 1 0 2 0 1
B [ ] f B
…………………………………………………………………………………………
