22/09/2017
TOÁN CAO CẤP C1
GV. Phan Trung Hiếu
45 tiết
LOG O
4
Điểm cộng, trừ giờ bài tập: -Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ: Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm bài: -0,5 điểm/lần. Khi không có SV xung phong lên làm thì GV sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ trên xuống: -Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5 điểm/lần.
Trang web môn học:
Kiểm tra, đánh giá kết quả: -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):
SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng tuần, điểm quá trình trên trang web sau:
Dự lớp đầy đủ: 10 điểm. Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1 điểm. Chỉ được vắng 1 ngày có phép.
-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
2 2
5
https://sites.google.com/site/sgupth
Nội dung:
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ: 1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1 câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không trừ điểm). Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.
3
6 6
1
Chương 1: Hàm số một biến số. Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàm một biến. Chương 3: Tích phân. Chương 4: Hàm nhiều biến. Chương 5: Phương trình vi phân.
22/09/2017
Tài liệu học tập:
[1] Bài giảng trên lớp. [2] Lê Văn Hốt, Toán cao cấp (Phần 2: Giải tích), Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM, NXB Giáo dục.
§1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số
10
7 7
I. Biến số:
).
(
X
cho trước
X
Dụng cụ hỗ trợ học tập: Máy tính FX 500MS, FX 570MS, FX 570ES, FX 570ES Plus.
0x
X
Biến số là một ký hiệu mà ta có thể gán cho nó một số bất kì thuộc tập số Tập hợp X được gọi là miền biến thiên (MBT) và được gọi là một giá trị của biến mỗi số thực số đó.
Các biến số thường được ký hiệu bằng các chữ cái: x, y, z, …
11
8 8
Các biến số kinh tế:
Tiếng Anh
Ký hiệu
Ý nghĩa
Tiếng Anh
Ký hiệu
Ý nghĩa
Profit
Price
Chương 1: Hàm số một biến số
P
(pi)
Cost
Quantity
C
Q
GV. Phan Trung Hiếu
Lợi nhuận Chi phí
Demand
Cầu
D
QD
Quantity Demanded
§1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số §2. Giới hạn của hàm số
Revenue
R
QS
Quantity Supplied
§3. Hàm số liên tục
Supply
Tax
Doanh thu Cung
Đơn giá Sản lượng Lượng cầu Lượng cung Thuế
S
T
Export
Income
X
Y
LOG O
Xuất khẩu
Thu nhập
12
2
22/09/2017
3.2. Hàm cho bằng biểu thức giải tích:
2
II. Hàm số:
3.
2
x
x
y Ví dụ 3.2: Cho hàm số Tính y(1).
D là với một số
3.3. Hàm số xác định từng khúc:
Ví dụ 3.3: Cho hàm số
Một hàm số f xác định trên một tập hợp x D một quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực y xác định duy nhất
2
x
neáu
x
1,
f D : x
y
f x ( )
f x ( )
1.
2
x
1 neáu
x
Tính f(-2); f(1); f(3).
D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f. x: biến độc lập (biến số). y: biến phụ thuộc (hàm). f(x): giá trị của hàm số f tại x. y f D (
) {
( ),
f x
}:
y
x D Tập giá trị (TGT) của hàm số f.
13
16
.
x D
x
2 1.
Ví dụ 3.4: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá 3ngàn/km nếu quãng đường chạy xe không quá 100 km. Nếu quãng đường chạy xe vượt quá 100 km thì ngoài số tiền phải trả cho 100 km đầu còn phải trả thêm 1,5 ngàn/km. Gọi x là số km xe thuê đã chạy và C(x) là chi phí thuê xe. a) Viết hàm số C(x). b) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy được 50km. c) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy được 150km.
14
17
Chú ý 2.1: -Nếu cho hàm số y=f(x) mà không nói gì về TXĐ của hàm số thì TXĐ của nó là tập hợp những điểm x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa. -TGT của hàm số y=f(x) là tập hợp các giá trị y để pt y=f(x) có nghiệm Ví dụ 2.1: Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số y
3.1. Liệt kê tập hợp các cặp: Ví dụ 3.1: Một doanh nghiệp muốn biết lợi nhuận có quan hệ như thế nào với sản lượng nên lập bảng theo dõi và có được kết quả sau
Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x,y) của mặt phẳng tọa độ có hoành độ x là một số thực bất kỳ lấy từ TXĐ của hàm số và tung độ y là giá trị tương ứng của hàm số tại điểm x. Chú ý: Hình chiếu của đồ thị lên trục hoành chính là TXĐ, hình chiếu của đồ thị lên trục tung là TGT.
1000
1100
1200
1300
1400
25
27
28
31
27
TGT
(1400).
Sản lượng Q (kg) Lợi nhuận (triệu đồng) Tính: (1100);
TXĐ
15
18
3
III. Một số phương pháp cho hàm số: IV. Đồ thị của hàm một biến số:
22/09/2017
V. Các hàm số cơ bản:
0
0
0x
X
f x ( )
0
y
).
1( ).
được gọi là hàm
.
y x f y Y x X
f y
x ( a (0 x (0 log
1).
1). a
a
2.
y
2
tan ,
sin ,
y
x y
cot
x .
2 , x 2 , x
. .
arcsin ,
arctan ,
x y
arccot
x
x y x y cos , Hàm lượng giác ngược: x y x y y arccos ,
5.4. Hàm ngược: Cho hàm số y = f(x) có TXĐ là X Y 0y chỉ tồn tại duy và TGT là Y. Nếu với mỗi giá trị y f x ) ( , nghĩa là sao cho nhất một giá trị chỉ có 1 nghiệm trong tập X thì từ hệ pt thức y = f(x) ta có thể xác định được một hệ thức tính được x theo y, ký hiệu là 1( ), y x Khi đó hàm số f x ( ), ngược của hàm số Ví dụ 5.3: y x x 2 a) Hàm số có hàm ngược là x y b) Hàm số không có hàm ngược. x y c) Tìm hàm ngược của hàm số x y d) Tìm hàm ngược của hàm số
19
22
Hàm sản xuất:
, Q: sản lượng, L: lao động. ).
Hàm doanh thu:
5.5. Một số hàm số một biến số trong kinh tế: ( Q f L ) R R Q ( (
).
Hàm chi phí:
5.2. Các hàm số sơ cấp: là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản. Ví dụ 5.1: Trong kinh tế học, ta thường gặp các dạng hàm số sơ cấp sau
Hàm lợi nhuận:
n
n
1
C C Q ).Q ( ). (
Hàm cung:
y
.
...
a x n
a 0
sQ S P D P ). (
Hàm cầu:
DQ
Hàm đa thức (hàm nguyên): a x 1 n Hàm phân thức (hàm hữu tỷ):
y
P x ( ) Q x ( )
P(x) và Q(x) là các đa thức.
20
23
5.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản: Hàm hằng: .y C y Hàm lũy thừa: x a y Hàm mũ: y Hàm logarit: Hàm lượng giác:
f g x
( ) .
§2. Giới hạn của hàm số
y
5.3. Hàm hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến số u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biến số x. Khi đó y = f(u) = f(g(x))
u
g x ( )
x
4
x
5.
là hàm số hợp của biến số x thông qua biến số f )( ) g x ( trung gian u. Ký hiệu là Ví dụ 5.2: Cho u f u sin , ( ) 2
2
y
(
f
g x )( )
f g x
( ( ))
sin(
x
4
x
5).
21
24
4
Khi đó, hàm số hợp
22/09/2017
thì ta nói f(x) có
x
x 0
x 0
0x D
(L, x0 hữu hạn),
hoặc x
I. Định nghĩa về giới hạn của hàm số: ) khi
f x ( )
0,
L
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tập x D . D và Ta nói hàm số f(x) có 0 x giới hạn là L khi 0 ký hiệu là lim ( ) f x x x 0 x D , 0 0 :
L x
.
x 0
Định nghĩa 1.2 ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L (L có thể là x (x0 hữu hạn) và giới hạn bên phải tại x0. Ký hiệu L .
thì ta nói f(x) có
x
x 0
x 0
f x lim ( ) x x 0 ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L (L có thể là x (x0 hữu hạn) và giới hạn bên trái tại x0. Ký hiệu
L .
f x lim ( ) x x 0
25
28
Ngoài ra, ta còn có các định nghĩa giới hạn mở rộng sau
L
) khi
x x x
x x x
x x
x x
x 0. x 0 x 0
x 0 x 0 x 0
0. 0.
0,
f x ( )
L
M
.
L .
L
f x lim ( ) x
f x lim ( ) x
f x lim ( ) x
x 0
x 0
x 0
0,
f x ( )
L
m
.
và và Chú ý 1.1:
L 1
f x lim ( ) x
x 0
x 0 x D
,0
M
0,
( )
.
f x lim ( ) x x D x M 0 : , L f x lim ( ) x x D x m 0 : , f x lim ( ) x 0 :
x
f x M
x 0
f x lim ( ) x
f x lim ( ) x
x 0
x 0
,0
M
0,
f x ( )
M
.
f x lim ( ) x x 0 0 : x D
x
x 0
L 1
L 2
L 2
26
29
II. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản:
P
0,
M
x D x M ,
f x ( )
P .
f x lim ( ) x 0 :
0x
2.1. Giới hạn tại một điểm thuộc TXĐ: Giới hạn của hàm số sơ cấp tại một điểm thuộc TXĐ của nó được tính theo công thức
).
f x ( 0
P
0,
M
f x ( )
P .
f x lim ( ) x x D x M , 0 :
f x lim ( ) x
x 0
2
Ví dụ 2.1: Tính các giới hạn sau a
2).
P
0,
M
x D x M ,
f x ( )
P .
f x lim ( ) x 0 :
x sin
.
b
x x 3 cos x x 2.
c
P
0,
M
x D x M ,
f x ( )
P .
f x lim ( ) x 0 :
) lim( x 1 ) lim x 0 ) lim x 2
27
30
5
không tồn tại.
22/09/2017
2 khi
x
1
Ví dụ 2.2: Cho
0.
f x lim ( ) x
x 0
f x ( )
x 2
x
3 khi
x
1
5
)ii
ĐL 3.3: ) lim ( ) 0 f x i
f x
f x
f x
g x ( )
f x ( )
h x
( ),
(
),
x
,
x 0
x 0
x
1
x
lim ( ), lim ( ), lim ( ). 1 x
1
L
g x lim ( ) x
h x lim ( ) x
x 0
x 0
x x 0 Nếu
Tìm
2
x
L .
f x lim ( ) x
x 0
1 khi
x
2
f x ( )
.
thì Ví dụ 2.3: Tìm m để hàm số sau có giới hạn khi
2 x mx 2
2
x
1 khi
x
2
x
31
34
2.2. Một số kết quả giới hạn của các hàm sơ cấp V. Một số kết quả giới hạn cần nhớ: cơ bản:
0
0 , 0 ,
,1 .
, 0.
,
,
ĐL 3.4: Giới hạn hàm số (nếu có) là duy nhất.
Xem Bảng 1.
Chú ý 3.1: Trong tính toán về giới hạn hàm số, có khi ta gặp các dạng sau đây gọi là dạng vô định: 0 0
32
35
Khi đó, ta không thể dùng định lý 3.2, mà phải dùng các phép biến đổi để khử các dạng vô định đó.
k
k k (
).
lim x x 0
A
B .
x
f x lim ( ) x
x 0
g x , lim ( ) x 0
a a
( (
) )
( (
a a
) )
a
0,
, , ,
k
(
k
).
x
a .(
(
)
a ).
ii
A B .
x 0
,
a
0,
f x . lim ( ) x g x ( )
x
f x g x ) lim ( ). ( )
iii
A B . .
,
a
0,
x
x 0
a .(
a ).
)
(
,
a
0.
iv
(
B
0).
) lim x x 0
A B
B
v
A
(0
A
1).
( ) f x ( ) g x g x ( )
x
: III. Một số định lý về giới hạn hàm số: Chú ý 3.2: Một vài quy tắc với ĐL 3.1:
33
36
6
ĐL 3.2: Giả sử Khi đó: k f x ( ) i ) lim . x 0 f x ) lim ( ) x 0 f x ) lim ( ) x 0
22/09/2017
)
(
x ( )
f x ( )
)
(
,
x 0
x
(
)
L là một VCB khi 0.x
) ).( ) ).(
(
)
( ) ( ( . ) (
Định lý 4.2. L f x lim ( ) x
*,
n
neáu
chaün,
n
(
)
neáu
n
leû.
, ).( , ).( n , ) ( n
ta có
0.
a
37
40
Tính chất 4.3 1) Tổng, hiệu, tích của hai VCB là một VCB. 2) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. 3) Thương của hai VCB chưa chắc là một VCB.
:
x
x
0.
0
a
Định nghĩa 4.4 (So sánh các VCB): Cho f(x) và g(x) là hai VCB khi Xét
k
.
lim x x 0
( ) f x g x ( )
k
0 f x ( )
0
f x ( )
o g x ( )
, , , .
k
f x O g x ( ) 1k f x ( )
( ).
g x
-Nếu thì ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn g(x). Ký hiệu: , nghĩa là nhanh hơn g(x). -Nếu thì ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x). k -Nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng k 0, bậc. Ký hiệu: ( ) . -Đặc biệt, nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu: Ví dụ 4.2: Một số vô cùng bé tương đương thường gặp (Xem Bảng 1).
38
41
a > 0 và mẫu > 0 a < 0 và mẫu < 0 a > 0 và mẫu < 0 a < 0 và mẫu > 0
IV. Vô cùng bé (VCB): V. Vô cùng lớn (VCL):
x
x
x 0
x 0
Định nghĩa 4.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùng bé khi Định nghĩa 5.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùng lớn khi
f x lim ( ) 0. x
x 0
x 0
0.
x
0.
(x0 có thể là vô cùng) nếu (x0 có thể là vô cùng) nếu f x lim ( ) . x
x
3
a
)
,
, cot
x
x
2
x .
là VCL khi Ví dụ 5.1: 1 1 x sin
b x )
, 2
1
x
x .
d
)
x 2 x
39
42
7
là VCL khi là VCB khi x 0. x . 2 là VCB khi Ví dụ 4.1: x x x a ) sin , tan , 1 cos là VCB khi x 3sin 2 b x ) ) cos , cot x x c là VCB khi 1 2
22/09/2017
6.1. Khử dạng và :
0 0
x
x
0.
Dùng hàm tương đương dựa vào định lý sau đây
Định nghĩa 5.2 (So sánh các VCL): Cho f(x) và g(x) là hai VCL khi Xét
k
.
lim x x 0
f x ( ) g x ( )
\ {0}
f x ( )
L .
L
x
f x 1) lim ( ) x 0
k
g x ( )
f x ( )
0 f x ( )
f x
( )
o g x ( )
L .
2)
f x lim ( ) x
x 0
L
g x lim ( ) x
x 0
k
f x g x ( ). ( )
( ).
f x g x ( ) 1
1
f x ( )
3)
g x ( )
f x ( ) 1 g x ( ) 1
( ) f x g x ( )
f x ( ) 1 g x ( ) 1
-Nếu thì ta nói f(x) là VCL bậc thấp hơn g(x). Ký hiệu: , nghĩa là chậm hơn g(x). -Nếu thì ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn g(x). k -Nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL cùng k 0, bậc. Ký hiệu: ( ) . -Đặc biệt, nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. Ký hiệu:
f x O g x ( ) 1k f x ( )
( ).
g x
n
n
nếu căn có nghĩa.
4)
f x ( )
g x ( )
f x ( )
g x ( )
43
46
~
trong VII và VIII là
( ) f x 0 hay
0 f x ( ) f x
f x ( )
( ).
f x
2)
f x ( )
g x ( )
g x ( )
f x
( ).
f x ( )
g x ( )
f x ( )
g x ( )
3)
f x ( )
h x
( ).
g x ( )
f x ( )
g x ( )
f x ( ) 1 g x ( ) 1
f x ( ) 1 f x ( ) 1
g x ( ) 1 g x ( ) 1
g x ( )
h x ( )
vì điều hay ( ) Tính chất 5.3: Quan hệ quan hệ tương đương, nó có 3 tính chất sau 1)
44
47
2
2
g x ( )
3.
x
f x ( )
5
x
Chú ý 6.1: Ta không thể viết f x ( ) ngay cả khi này vô nghĩa. f x ( )
f x lim ( ) : x
x 0
0x
g x
.
VI. Phương pháp tính Ví dụ 6.1: Cho và Tính: Thế vào f(x)
( ) .
f x lim ( ) x
lim x
f x ( ) a) b) g x ( )
2
2
biện luận xem ?
.
.
3
2
, 0. ,
0 ,0 ,
0 ,1 .
1) lim x 0
2) lim x 2
x x
2 3
x x
2
x
x
4 x 3
0 , 0
2
2
con số cụ thể vô định Ví dụ 6.2: Tính các giới hạn sau
(
x
1)
.
4) lim x
2)( x 2 x x (
x 5 2)
45
48
8
2 khử 3 3) lim x x 2 x 3 1 x x
22/09/2017
x
5
.
.
6) lim x 0
5) lim x
sin 2 x
x 3 x 1
x
m
n
22 x 5 2
ax
,
g x ( )
bx
x
Chú ý 6.3. (Quy tắc thay tương đương của tổng hai VCL): Cho f(x) và g(x) là hai VCL khi
.
.
2
8) lim x 0
7) lim x 0
1 cos 3 x
m
ax
neáu
n
arctan
f x ( )
g x ( )
neáu
1
m n m n
.
.
m
10) lim x 0
2
9) lim x 0
a b x )
neáu
m n a b ,
0
x 1 2 x t an3
sao cho f x ( ) Khi đó:
.
.
3
12) lim x 0
x ln(cos ) 2 x
bx ( m n a b , 0 f x ( )
0.
11) lim 1 x 0
x x arcsin 3 7 x 4 x 1 e x ln(1 2 ) x e
49
52
Nếu thì ta không thể viết g x ( )
2
x
x
3
x
.
Ví dụ 6.5: Tính
4 2 2
0
lim x
x
m
n
x
x
4
ax
,
g x ( )
bx
Chú ý 6.2 (Quy tắc thay tương đương của tổng hai VCB): Cho f(x) và g(x) là hai VCB khi
m
ax
neáu
n
6.2. Khử dạng : Phương pháp: Quy đồng hoặc nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng
f x ( )
g x ( )
neáu
m n m n
hoặc
.
m
0 0
a b x )
neáu
m n a b ,
0
Ví dụ 6.6: Tính các giới hạn sau
2
sao cho f x ( ) Khi đó:
b
x
1
x
x
.
a
.
2
) lim x
) lim x 2
bx ( m n a b 0 , f x ( )
0.
Nếu
x
2
4
x
1
4
50
53
6.3. Dạng :
biến đổi đưa về dạng
hoặc .
0 .
0 0
Ví dụ 6.7: Tính các giới hạn sau
thì ta không thể viết g x ( )
f x ( )
4 x
g x
4
2 ( ) 2 , x g x ( )
2 ( ) 2 . x
b
x
1)
.
a
2
b f x )
f x ( )
g x ( )
4 x
4
4 2 . x
) lim ( x
) lim x 0
4 ( ) 2 , x g x ( )
x
1 2 x
1 .
x 1 2 3 x 2 g x ( )
0
Giới hạn có dạng
1 x 1 0 ,1 6.4. Dạng : 0 ,
f x lim ( ) x
2
3
g x ( )
x
x 0 g x ( )
a
Đặt
a
.
a
f x ( )
ln
f x lim ( ) x
x 0
) lim x 0
x 3 x
4sin 8 x
f x ( )
b
a
Tính
ln
3
x
0
tan
x
sin
x
e
e
c
.
b
.
lim ln x x 0 g x lim ( )ln x .b
) lim x 0
) lim x 0
3 x
Ví dụ 6.3: a f x )
Ví dụ 6.8: Tính
a e 1 2 .x
0
x lim(cos ) x
51
54
9
Ví dụ 6.4: Tính 3sin x x 5 x x 5 x
22/09/2017
Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là gián đoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau: f(x) không xác định tại x0. f(x) xác định tại x0, nhưng
không tồn tại
lim ( ) f x x x 0
hoặc
không tồn tại
lim ( ) f x x x 0
§3. Hàm số liên tục
hoặc
f x
f x lim ( ) x
lim ( ). x
x 0
x 0
).
f x ( 0
f x lim ( ) f(x) xác định tại x0, tồn tại, nhưng x x 0 f x lim ( ) x
x 0
55
58
Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì
f
g f g .
,
,
(
g
0)
cũng liên tục tại x0.
f g
Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau
x
I. Hàm số liên tục tại một điểm:
khi
x
0
a f x ( )
)
sin 3 x
tại
0.
x 0
).
3
khi
x
0
f x ( 0
2
x
1 khi
x
1
f x lim ( ) x x 0 (ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu
tại
2
1.
x 0
b f x ( )
)
khi
x
1
).
f x ( 0
f x lim ( ) x x 0
x 2 x 2
3 khi
x
0
tại
0.x 0
c f x ) ( )
khi
x
0
2
x
3
khi
x
0
1
56
59
3
).
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trong một khoảng chứa x0. Ta nói: (i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu
f x ( 0
khi
x
0
f x lim ( ) x
x 0
f x ( )
a
)
Ví dụ 1.2: Tìm m để hàm số xe ln(1
)
liên tục tại
0.x 0
1 2 x 2
m
khi
x
0
1
khi
x
0
b
)
f x ( )
liên tục tại
0.
x 0
(iii) f(x) liên tục tại x0 nếu
khi
x
0
xe x m
f x lim ( ) x
x 0
Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điều sau: f(x) xác định tại x0. tồn tại.
).
f x ( 0
f x lim ( ) x
x 0
57
60
10
22/09/2017
II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn:
f(x) liên tục trên (a,b)
f a ( )
f(x) liên tục trên [a,b]
lim ( ) f x a x
f b ( )
lim ( ) f x b x
61
Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b) khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a,b). Định nghĩa 2.2:
a
b
a
b
Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồ thị là một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó.
62
Không liên tục Liên tục
Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và các hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng.
Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.
Định lý 2.6:
a b ( , ) :
f c ( )
0.
c
( ) 0
( ).
f a f b
63
11
f(x) liên tục trên [a,b]
