CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
5.2 DẠNG TOÀN PHƢƠNG
5.2.1 Định nghĩa dạng toàn phƣơng
Ánh xạ Q : V R xác định bởi công thức sau được gọi là một dạng toàn phương của không gian véc tơ V chiều n. Dạng toàn phương được sử dụng trong bài toán bình phương cực tiểu, trong quy hoạch động, phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2, khảo sát cực trị của hàm nhiều biến ...
B {e1, … , en} là một cơ sở của V :
10/07/2017
Như vậy dạng toàn phương có biểu thức tọa độ là một đa thức đẳng cấp bậc 2
1
10/07/2017
2
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
Ví dụ Dạng toàn phương: 5.2.2 Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phƣơng Ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở B
ký hiệu A [Q]B và xác định như sau
Dạng cực của Q
Dạng cực của Q được xác định bởi công thức
10/07/2017
Ma trận của dạng toàn phương là ma trận đối xứng Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương Q trong cơ sở B được viết dưới dạng ma trận
3
10/07/2017
4
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
Dạng toàn phương Ví dụ Ví dụ Dạng toàn phương của không gian véc tơ R3
Dạng cực tương ứng Dạng cực tương ứng
Có ma trận trong cơ sở chính tắc
10/07/2017
Ngoài cách trên, ta viết lại dạng toàn phương rồi đồng nhất hệ số Có ma trận trong cơ sở chính tắc
5
10/07/2017
6
1
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
5.2.3 Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phƣơng Trường hợp 1: Giả sử có aii 0, chẳng hạn a11 0, ta có thể sắp xếp lại Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương trên Q trong cơ sở nào đó của V có dạng
được gọi là biểu thức tọa độ có dạng chính tắc của Q
a. Đƣa về dạng chính tắc theo phƣơng pháp Lagrange Giả sử trong cơ sở B {e1, … , en} của không gian véc tơ V dạng toàn phương Q có biểu thức tọa độ
10/07/2017
Đặt thì Ta thực hiện các phép đổi tọa độ như sau
7
10/07/2017
8
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
Trường hợp 2: Tiếp tục quá trình trên cuối cùng nhận được Nếu mọi aii 0 và có aij 0 chẳng hạn a12 0 thỏa mãn Đặt
Xét hệ véc tơ có tọa độ là các cột của ma trận trên thì có
vì vậy ta có thể đưa về trường hợp 1
10/07/2017
Tiếp tục quá trình này với biểu thức Nói cách khác {e’1, … , e’n} là cơ sở cần tìm để biểu thức tọa độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc
9
10/07/2017
10
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
Ví dụ Dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 b. Đƣa về dạng chính tắc theo phƣơng pháp Jacobi
Cho dạng toàn phương Q trong không gian véc tơ V (không giả thiết không gian Euclide) với dạng cực tương ứng có ma trận trong cơ sở B {e1, … , en}
Giả sử các định thức con chính của A đều khác không
10/07/2017
Cơ sở mới
11
10/07/2017
12
2
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
Khi đó với mỗi j 1, 2, … , n; hệ phương trình
(6.20) Ta sẽ chứng minh hệ véc tơ B ’ {f1, … , fn} là một cơ sở của V mà biểu thức tọa độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc det B{f1, … , fn} 1122…nn 0 nên hệ B ’ độc lập tuyến tính vì vậy là một cơ sở của V Ta có
là hệ Cramer do đó có duy nhất nghiệm, ký hiệu Xét hệ véc tơ
10/07/2017
Mặt khác dạng song tuyến tính đối xứng nên (fj,fi) 0 với mọi i j
13
10/07/2017
14
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
Ví dụ 6.9 Cho dạng toàn phương Q của R3 có biểu thức tọa độ trong Vậy cơ sở chính tắc với Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc Có các định thức con chính
Gọi A’ là ma trận của Q trong cơ sở B ’ T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B ’ thì
j 1 ta có
j 2 : Hệ phương trình (7.20) có dạng
10/07/2017
Biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở B ’ có dạng chính tắc Có nghiệm
15
10/07/2017
16
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
Ví dụ 6.10
j 3 : Hệ phương trình (7.20) có dạng
Cho dạng toàn phương Q của P2 có biểu thức tọa độ trong cơ sở chính tắc
Có nghiệm Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc Có các định thức con chính Chọn cơ sở
Trong cơ sở mới này biểu thức tọa độ của Q có dạng
j 1 ta có
j 2 : Hệ phương trình (6.20) có dạng
10/07/2017
Có nghiệm
17
10/07/2017
18
3
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
Nhận xét
j 3 : Hệ phương trình (7.20) có dạng
Có nghiệm
Một dạng toàn phương có thể đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Jacobi khi mọi định thức con góc bên trái Dk 0, k 1, 2, … Vì vậy có thể đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Lagrange nhưng chưa chắc có dạng chính tắc theo phương pháp Jacobi Chọn cơ sở Chẳng hạn dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 Trong cơ sở mới này biểu thức tọa độ của Q có dạng
không sử dụng phương pháp Jacobi được vì D2 0
10/07/2017
Cùng một dạng toàn phương ta có thể đưa về các dạng chính tắc với các hệ số khác nhau. Tuy nhiên số các hệ số dương và hệ số âm là như nhau. Ta sẽ chứng minh điều này qua luật quán tính
19
10/07/2017
20
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
5.2.4 Luật quán tính Định lý (Sylvester - Jacobi)
Giả sử A [aij] [Q]B; A’ [a’ij] [Q]B’ là hai ma trận của Q trong hai cơ sở B {e1, … , en}, B’ {e’1, … , e’n} của V Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương Q là những bất biến của dạng đó (tức là không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở) là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B’
Ta có A’ T tAT Do đó r (A’) r (T tAT ) r (A) Số các hệ số dương được gọi là chỉ số quán tính dƣơng và số các hệ số âm được gọi là chỉ số quán tính âm của dạng toàn phương Mặt khác A (T t)1A’ T 1 Do đó r (A) r (A’)
10/07/2017
Giả sử (p,q) là cặp chỉ số quán tính dương và âm của dạng toàn phương Q trong không gian n chiều V thì p q r (hạng của Q) Do đó ta có thể định nghĩa hạng của dạng toàn phương Q là hạng của ma trận của nó trong một cơ sở nào đó
21
10/07/2017
22
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
Ví dụ 6.11 Cho dạng toàn phương Q của R3 có biểu thức tọa độ trong Trường hợp r n: Q được gọi là không suy biến cơ sở chính tắc Trường hợp p n: Q được gọi là xác định dương Phương pháp Lagrange Trường hợp q n: Q được gọi là xác định âm
Q xác định dương khi và chỉ khi Q(v) 0, với mọi v 0
Q xác định âm khi và chỉ khi Q(v) 0, với mọi v 0
Phương pháp Jacobi Nếu là dạng cực của dạng toàn phương Q thì
Q xác định dương khi và chỉ khi xác định dương
Q xác định âm khi và chỉ khi xác định âm
Q không suy biến khi và chỉ khi xác định
10/07/2017
23
10/07/2017
24
4
CHƢƠNG 6:KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƢƠNG
Định lý (Sylvester)
Giả sử dạng toàn phương Q có ma trận là A trong một cơ sở nào đó của V. Khi đó
(i) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con góc trái của A luôn dương
10/07/2017
(ii) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con cấp chẵn là dương và cấp lẻ là âm
