Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Chương 2: Không gian vector
Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Ngày 29 tháng 9 năm 2014
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Table of Contents
1 Không gian Euclid Rn
2 Tổ hợp tuyến tính
3 Cơ sở và số chiều
4 Tọa độ
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Định nghĩa
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Không gian Rn là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự u = (a1, . . . , an) với ai là số thực, với mọi i. Lưu ý là để thuận tiện cho việc tính toán thì vector u cũng có thể a1 a2 được viết dưới dạng cột u = trong đó, ai được gọi là các ... an thành phần của vector u và n là số chiều.
Không gian Rn
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Ví dụ quen thuộc : R2 và R3. Thời của Euclid: biểu diễn hình học. Thời sau Descertes: biểu diễn đại số Từ biểu diễn đại số, ta có thể mở rộng lên không gian Rn, n > 3
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Lưu ý là để thuận tiện cho việc tính toán thì vector u cũng có thể a1 a2 được viết dưới dạng cột u = trong đó, ai được gọi là các ... an thành phần của vector u và n là số chiều.
Không gian Rn
Ví dụ quen thuộc : R2 và R3. Thời của Euclid: biểu diễn hình học. Thời sau Descertes: biểu diễn đại số Từ biểu diễn đại số, ta có thể mở rộng lên không gian Rn, n > 3
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Định nghĩa Không gian Rn là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự u = (a1, . . . , an) với ai là số thực, với mọi i.
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Không gian Rn
Ví dụ quen thuộc : R2 và R3. Thời của Euclid: biểu diễn hình học. Thời sau Descertes: biểu diễn đại số Từ biểu diễn đại số, ta có thể mở rộng lên không gian Rn, n > 3
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
được viết dưới dạng cột u = trong đó, ai được gọi là các Định nghĩa Không gian Rn là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự u = (a1, . . . , an) với ai là số thực, với mọi i. Lưu ý là để thuận tiện cho việc tính toán thì vector u cũng có thể a1 a2 ... an thành phần của vector u và n là số chiều.
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Không gian Rn
Ví dụ quen thuộc : R2 và R3. Thời của Euclid: biểu diễn hình học. Thời sau Descertes: biểu diễn đại số Từ biểu diễn đại số, ta có thể mở rộng lên không gian Rn, n > 3
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
được viết dưới dạng cột u = trong đó, ai được gọi là các Định nghĩa Không gian Rn là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự u = (a1, . . . , an) với ai là số thực, với mọi i. Lưu ý là để thuận tiện cho việc tính toán thì vector u cũng có thể a1 a2 ... an thành phần của vector u và n là số chiều.
Phép cộng và phép nhân vô hướng tương tự như trong R3.
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Các tính chất cơ bản như: kết hợp, giao hoán, etc. hoàn toàn tương tự R3
Định nghĩa (tt)
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Vector 0: 0 = (0, . . . , 0). Vector đối của u: −u = (a1, . . . , an)
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Các tính chất cơ bản như: kết hợp, giao hoán, etc. hoàn toàn tương tự R3
Định nghĩa (tt)
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Vector 0: 0 = (0, . . . , 0). Vector đối của u: −u = (a1, . . . , an) Phép cộng và phép nhân vô hướng tương tự như trong R3.
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Định nghĩa (tt)
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Vector 0: 0 = (0, . . . , 0). Vector đối của u: −u = (a1, . . . , an) Phép cộng và phép nhân vô hướng tương tự như trong R3. Các tính chất cơ bản như: kết hợp, giao hoán, etc. hoàn toàn tương tự R3
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Định nghĩa (tt)
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Vector 0: 0 = (0, . . . , 0). Vector đối của u: −u = (a1, . . . , an) Phép cộng và phép nhân vô hướng tương tự như trong R3. Các tính chất cơ bản như: kết hợp, giao hoán, etc. hoàn toàn tương tự R3
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Table of Contents
1 Không gian Euclid Rn
2 Tổ hợp tuyến tính
3 Cơ sở và số chiều
4 Tọa độ
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
1 , . . . , uT
m | uT )
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Giải hệ sau (uT
Định nghĩa
Cho u, u1,...,un là các vector trong Rn. u được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vector u1,...,un nếu tồn tại các số thực α1,...,αn sao cho u = α1u1 + · · · + αnun
Cách tìm tổ hợp tt
Giả sử
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
u = (b1, . . . , bn) u1 = (a11, . . . , a1n) ... um = (am1, . . . , amn)
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Định nghĩa
Cho u, u1,...,un là các vector trong Rn. u được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vector u1,...,un nếu tồn tại các số thực α1,...,αn sao cho u = α1u1 + · · · + αnun
Cách tìm tổ hợp tt
Giả sử
u = (b1, . . . , bn) u1 = (a11, . . . , a1n) ... um = (am1, . . . , amn)
1 , . . . , uT
m | uT )
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Giải hệ sau (uT
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Định nghĩa
Cho u, u1,...,un là các vector trong Rn. u được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vector u1,...,un nếu tồn tại các số thực α1,...,αn sao cho u = α1u1 + · · · + αnun
Cách tìm tổ hợp tt
Giả sử
u = (b1, . . . , bn) u1 = (a11, . . . , a1n) ... um = (am1, . . . , amn)
1 , . . . , uT
m | uT )
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Giải hệ sau (uT
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Cách tìm (tt)
Viết dưới dạng ma trận:
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n . . . am1 b1 . . . am2 b2 ... ... ... . . . amn bn
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Họ các vector không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa
Họ các vectors u1, . . . , um được gọi là họ độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức
α1u1 + · · · + αmum = 0
ta suy ra được α1 = · · · = αm = 0
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
nghĩa là phương trình x1u1 + · · · + xmum = 0 có nghiệm duy nhất α1 = · · · = αm = 0
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa
Họ các vectors u1, . . . , um được gọi là họ độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức
α1u1 + · · · + αmum = 0
ta suy ra được α1 = · · · = αm = 0
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
nghĩa là phương trình x1u1 + · · · + xmum = 0 có nghiệm duy nhất α1 = · · · = αm = 0 Họ các vector không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa
Họ các vectors u1, . . . , um được gọi là họ độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức
α1u1 + · · · + αmum = 0
ta suy ra được α1 = · · · = αm = 0
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
nghĩa là phương trình x1u1 + · · · + xmum = 0 có nghiệm duy nhất α1 = · · · = αm = 0 Họ các vector không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
Nếu r (A) = m thì độc lập tuyến tính
Nếu r (A) < m thì phụ thuộc tuyến tính
Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r (A). Khi đó,
Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì độc lập tuyến tính
Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Cách xác định độc lập/phụ thuộc
Đặt ma trận
A = u1 ... um
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r (A).
Nếu r (A) < m thì phụ thuộc tuyến tính
Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r (A). Khi đó,
Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì độc lập tuyến tính
Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Cách xác định độc lập/phụ thuộc
Đặt ma trận
A = u1 ... um
Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r (A).
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Nếu r (A) = m thì độc lập tuyến tính
Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r (A). Khi đó,
Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì độc lập tuyến tính
Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Cách xác định độc lập/phụ thuộc
Đặt ma trận
A = u1 ... um
Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r (A).
Nếu r (A) = m thì độc lập tuyến tính
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Nếu r (A) < m thì phụ thuộc tuyến tính
Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì độc lập tuyến tính
Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Cách xác định độc lập/phụ thuộc
Đặt ma trận
A = u1 ... um
Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r (A).
Nếu r (A) = m thì độc lập tuyến tính
Nếu r (A) < m thì phụ thuộc tuyến tính
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r (A). Khi đó,
Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Cách xác định độc lập/phụ thuộc
Đặt ma trận
A = u1 ... um
Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r (A).
Nếu r (A) = m thì độc lập tuyến tính
Nếu r (A) < m thì phụ thuộc tuyến tính
Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r (A). Khi đó,
Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì độc lập tuyến tính
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Cách xác định độc lập/phụ thuộc
Đặt ma trận
A = u1 ... um
Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r (A).
Nếu r (A) = m thì độc lập tuyến tính
Nếu r (A) < m thì phụ thuộc tuyến tính
Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r (A). Khi đó,
Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì độc lập tuyến tính Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Cách xác định độc lập/phụ thuộc
Đặt ma trận
A = u1 ... um
Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r (A).
Nếu r (A) = m thì độc lập tuyến tính
Nếu r (A) < m thì phụ thuộc tuyến tính
Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r (A). Khi đó,
Nếu det(A) (cid:54)= 0 thì độc lập tuyến tính Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Table of Contents
1 Không gian Euclid Rn
2 Tổ hợp tuyến tính
3 Cơ sở và số chiều
4 Tọa độ
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Nếu B độc lập tuyến tính và có đúng n vectors thì B là cơ sở của Rn.
Cơ sở
Định nghĩa Tập hợp B trong Rn được gọi là một cơ sở nếu B độc lập tuyến tính và bất kỳ vector v ∈ Rn đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong B. Ở đây thứ tự của các vectors trong B là quan trọng.
Tính chất
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Mọi cơ sở của Rn đều có đúng n vectors.
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Cơ sở
Định nghĩa Tập hợp B trong Rn được gọi là một cơ sở nếu B độc lập tuyến tính và bất kỳ vector v ∈ Rn đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong B. Ở đây thứ tự của các vectors trong B là quan trọng.
Tính chất
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Mọi cơ sở của Rn đều có đúng n vectors. Nếu B độc lập tuyến tính và có đúng n vectors thì B là cơ sở của Rn.
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Cơ sở
Định nghĩa Tập hợp B trong Rn được gọi là một cơ sở nếu B độc lập tuyến tính và bất kỳ vector v ∈ Rn đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong B. Ở đây thứ tự của các vectors trong B là quan trọng.
Tính chất
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Mọi cơ sở của Rn đều có đúng n vectors. Nếu B độc lập tuyến tính và có đúng n vectors thì B là cơ sở của Rn.
Lưu ý
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất tạo thành 1 không gian vector có số chiều đúng bằng bậc tự do của nghiệm.
Số chiều
Định nghĩa
Số vector trong 1 cơ sở của không gian vector được gọi là số chiều của không gian đó. Ký hiệu dim Rn = n.
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Nhận xét Trong Rn bất kỳ tập nào có nhiều hơn n vectors đều phụ thuộc tuyến tính.
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Số chiều
Định nghĩa
Số vector trong 1 cơ sở của không gian vector được gọi là số chiều của không gian đó. Ký hiệu dim Rn = n.
Nhận xét Trong Rn bất kỳ tập nào có nhiều hơn n vectors đều phụ thuộc tuyến tính.
Lưu ý
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất tạo thành 1 không gian vector có số chiều đúng bằng bậc tự do của nghiệm.
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Số chiều
Định nghĩa
Số vector trong 1 cơ sở của không gian vector được gọi là số chiều của không gian đó. Ký hiệu dim Rn = n.
Nhận xét Trong Rn bất kỳ tập nào có nhiều hơn n vectors đều phụ thuộc tuyến tính.
Lưu ý
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất tạo thành 1 không gian vector có số chiều đúng bằng bậc tự do của nghiệm.
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Table of Contents
1 Không gian Euclid Rn
2 Tổ hợp tuyến tính
3 Cơ sở và số chiều
4 Tọa độ
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Tọa độ cũng có thể được viết dưới dạng cột
B =
α1 [v ]T ... αn
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Cách tìm: Giải hệ phương trình. Ở đây ma trận hệ số vuông nên có thể dùng quy tắc Cramer.
Định nghĩa
Mọi vector v ∈ Rn đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong B
v = α1u1 + · · · + αnun
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Khi đó, bộ thứ tự [v ]B = (α1, . . . , αn) được gọi là tọa độ của v trong cơ sở B.
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Cách tìm: Giải hệ phương trình. Ở đây ma trận hệ số vuông nên có thể dùng quy tắc Cramer.
Định nghĩa
Mọi vector v ∈ Rn đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong B
v = α1u1 + · · · + αnun
Khi đó, bộ thứ tự [v ]B = (α1, . . . , αn) được gọi là tọa độ của v trong cơ sở B.Tọa độ cũng có thể được viết dưới dạng cột
B =
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
[v ]T α1 ... αn
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Định nghĩa
Mọi vector v ∈ Rn đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong B
v = α1u1 + · · · + αnun
Khi đó, bộ thứ tự [v ]B = (α1, . . . , αn) được gọi là tọa độ của v trong cơ sở B.Tọa độ cũng có thể được viết dưới dạng cột
B =
[v ]T α1 ... αn
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Cách tìm: Giải hệ phương trình. Ở đây ma trận hệ số vuông nên có thể dùng quy tắc Cramer.
Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ
Định nghĩa
Mọi vector v ∈ Rn đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong B
v = α1u1 + · · · + αnun
Khi đó, bộ thứ tự [v ]B = (α1, . . . , αn) được gọi là tọa độ của v trong cơ sở B.Tọa độ cũng có thể được viết dưới dạng cột
B =
[v ]T α1 ... αn
Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn
Chương 2: Không gian vector
Cách tìm: Giải hệ phương trình. Ở đây ma trận hệ số vuông nên có thể dùng quy tắc Cramer.
