Bài giảng Toán cao cấp_ Giải tích 1_ 864005_Đạo hàm, Vi phân
Trần Thanh Bình tranthanhbinhsgu@gmail.com
Đại học Sài gòn
Tháng 9- 2016
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 1 / 20
1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn
2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
3 QUY TẮC L/HOSPITAL
4 BÀI TẬP
Bài giảng bao gồm
1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20
2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn
2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
3 QUY TẮC L/HOSPITAL
4 BÀI TẬP
Bài giảng bao gồm
1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1 Đạo hàm
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20
3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn
2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
3 QUY TẮC L/HOSPITAL
4 BÀI TẬP
Bài giảng bao gồm
1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20
4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn
2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
3 QUY TẮC L/HOSPITAL
4 BÀI TẬP
Bài giảng bao gồm
1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20
5 Đạo hàm của hàm ẩn
2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
3 QUY TẮC L/HOSPITAL
4 BÀI TẬP
Bài giảng bao gồm
1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20
2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
3 QUY TẮC L/HOSPITAL
4 BÀI TẬP
Bài giảng bao gồm
1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20
3 QUY TẮC L/HOSPITAL
4 BÀI TẬP
Bài giảng bao gồm
1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn
2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20
4 BÀI TẬP
Bài giảng bao gồm
1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn
2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
3 QUY TẮC L/HOSPITAL
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20
Bài giảng bao gồm
1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm 3 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản 4 Vi phân 5 Đạo hàm của hàm ẩn
2 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
3 QUY TẮC L/HOSPITAL 4 BÀI TẬP
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 2 / 20
Bài 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 3 / 20
1. ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
(a, b) .
Định nghĩa 1. Cho hàm f (x ) xác định trên (a, b) và x0
2
1) Ta định nghĩa đạo hàm của f tại x0 bởi
f (x0)
(cid:0)
x
f (x ) x
f (x0 + h) h
f (x0) x0
f / (x0) = lim x0 !
= lim 0 h !
(cid:0) (cid:0)
nếu vế phải tồn tại. 2) Nếu f / (x0) hữu hạn, ta nói f khả vi tại x0. 3) Nếu f khả vi tại x0, ta đặt
f (x ) x
α (x ) =
f (x0) (cid:0) x0 (cid:0) 0
6
= x0 , x , x = x0
(
Ta có
(1)
f (x )
(x
α (x ) = 0
f (x0) =
f / (x0) + α (x )
(cid:0)
(cid:0)
x0) , lim x0 x !
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) 09/06 4 / 20
h
i Bài giảng thứ ba
Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại x0
f liên tục tại x0 ; f khả vi tại x0
Định nghĩa 2.
Các giới hạn một phía
f (x )
f (x0)
lim
(cid:0)
x
x
x0
x (cid:6)0
!
(cid:0)
nếu tồn tại, được ký hiệu f /
(x0) _ đạo hàm phải (trái).
+ (x0) ; f /
(cid:0)
Mệnh đề 2
Đạo hàm f / (x0) tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một
phía f /
(x0) tồn tại và bằng l .
+ (x0) , f /
(cid:0)
1. ĐẠO HÀM
Mệnh đề 1.
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20
f liên tục tại x0 ; f khả vi tại x0
Định nghĩa 2.
Các giới hạn một phía
f (x )
f (x0)
lim
(cid:0)
x
x
x0
x (cid:6)0
!
(cid:0)
nếu tồn tại, được ký hiệu f /
(x0) _ đạo hàm phải (trái).
+ (x0) ; f /
(cid:0)
Mệnh đề 2
Đạo hàm f / (x0) tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một
phía f /
(x0) tồn tại và bằng l .
+ (x0) , f /
(cid:0)
1. ĐẠO HÀM
Mệnh đề 1.
Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại x0
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20
Định nghĩa 2.
Các giới hạn một phía
f (x )
f (x0)
lim
(cid:0)
x
x
x0
x (cid:6)0
!
(cid:0)
nếu tồn tại, được ký hiệu f /
(x0) _ đạo hàm phải (trái).
+ (x0) ; f /
(cid:0)
Mệnh đề 2
Đạo hàm f / (x0) tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một
phía f /
(x0) tồn tại và bằng l .
+ (x0) , f /
(cid:0)
1. ĐẠO HÀM
Mệnh đề 1.
Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại x0 f liên tục tại x0 ; f khả vi tại x0
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20
Mệnh đề 2
Đạo hàm f / (x0) tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một
phía f /
(x0) tồn tại và bằng l .
+ (x0) , f /
(cid:0)
1. ĐẠO HÀM
Mệnh đề 1.
Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại x0 f liên tục tại x0 ; f khả vi tại x0
Định nghĩa 2. Các giới hạn một phía
f (x ) x
x
f (x0) x0
lim (cid:0) x (cid:6)0 (cid:0) ! + (x0) ; f / nếu tồn tại, được ký hiệu f / (x0) _ đạo hàm phải (trái). (cid:0)
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20
1. ĐẠO HÀM
Mệnh đề 1.
Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại x0 f liên tục tại x0 ; f khả vi tại x0
Định nghĩa 2. Các giới hạn một phía
f (x ) x
x
f (x0) x0
lim (cid:0) x (cid:6)0 (cid:0) ! + (x0) ; f / nếu tồn tại, được ký hiệu f / (x0) _ đạo hàm phải (trái). (cid:0)
Mệnh đề 2 Đạo hàm f / (x0) tồn tại và bằng l khi và chỉ khi các đạo hàm một phía f /
(x0) tồn tại và bằng l .
+ (x0) , f / (cid:0)
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 5 / 20
∞
f (x ) = 3px 2; f /
(0) =
+ (0) = +∞; f /
(cid:0)
(cid:0)
f (x ) = 3px, f / (0) = +∞
Ví dụ 2. Cho
1. ĐẠO HÀM
x
.
Ví dụ 1. Cho f (x ) =
j
j
f (x )
f (0)
f (x )
f (0)
1
= 1;
=
x
x
(cid:0) x
x x
(cid:0) x
x (cid:0) x
(cid:0)
lim 0+ !
= lim 0+ x !
lim 0(cid:0) !
= lim 0(cid:0) x !
Vậy f /
(0) =
1. Hàm f không có đạo hàm tại x0.
+ (0) = 1; f / (cid:0)
(cid:0)
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 6 / 20
∞
f (x ) = 3px 2; f /
(0) =
+ (0) = +∞; f /
(cid:0)
(cid:0)
f (x ) = 3px, f / (0) = +∞
1. ĐẠO HÀM
x
.
Ví dụ 1. Cho f (x ) =
j
j
f (x )
f (0)
f (x )
f (0)
1
= 1;
=
x
x
(cid:0) x
x x
(cid:0) x
x (cid:0) x
(cid:0)
lim 0+ !
= lim 0+ x !
lim 0(cid:0) !
= lim 0(cid:0) x !
Vậy f /
(0) =
1. Hàm f không có đạo hàm tại x0.
(cid:0)
+ (0) = 1; f / (cid:0) Ví dụ 2. Cho
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 6 / 20
1. ĐẠO HÀM
x
.
Ví dụ 1. Cho f (x ) =
j
j
f (x )
f (0)
f (x )
f (0)
1
= 1;
=
x
x
(cid:0) x
x x
(cid:0) x
x (cid:0) x
(cid:0)
lim 0+ !
= lim 0+ x !
lim 0(cid:0) !
= lim 0(cid:0) x !
Vậy f /
(0) =
1. Hàm f không có đạo hàm tại x0.
(cid:0)
+ (0) = 1; f / (cid:0) Ví dụ 2. Cho
∞
(0) =
(cid:0)
+ (0) = +∞; f / (cid:0)
f (x ) = 3px 2; f / f (x ) = 3px, f / (0) = +∞
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 6 / 20
1. ĐẠO HÀM
Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Nếu f khả vi tại x0 thì đường cong (C ) : y = f (x ) tại M0 (x0, f (x0)) có tiếp tuyến cho bởi:
f (x0) = f / (x0) (x
x0)
y (cid:0) (cid:0) Nếu f / (x0) = ∞; f / (x0) = ∞ thì đồ thị (C ) tại M0 có tiếp tuyến (cid:6) (hoặc tiếp tuyến một phía) là đường x = x0.
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 7 / 20
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Quy tắc tính đạo hàm.
Nếu các hàm f , g khả vi tại x0 thì các hàm
f + g , cf , fg , f
= 0
nếu g (x )
cũng khả vi tại x0 và
g
6
(cid:16)
(cid:17)
(f + g )/ (x0) = f / (x0) + g / (x0) ;
(fg )/ (x0) = f / (x0) g (x0) + f (x0) g / (x0) ;
/
f
f / (x0) g (x0)
f (x0) g / (x0)
(x0) =
(cid:0)
g
g 2 (x0)
(cid:18)
(cid:19)
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 8 / 20
1 Quy tắc tính đạo hàm.
Nếu các hàm f , g khả vi tại x0 thì các hàm
f + g , cf , fg , f
= 0
nếu g (x )
cũng khả vi tại x0 và
g
6
(cid:16)
(cid:17)
(f + g )/ (x0) = f / (x0) + g / (x0) ;
(fg )/ (x0) = f / (x0) g (x0) + f (x0) g / (x0) ;
/
f
f / (x0) g (x0)
f (x0) g / (x0)
(x0) =
(cid:0)
g
g 2 (x0)
(cid:18)
(cid:19)
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 8 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Quy tắc tính đạo hàm.
= 0
cũng khả vi tại x0 và
Nếu các hàm f , g khả vi tại x0 thì các hàm f + g , cf , fg , f nếu g (x ) g
6
(cid:16)
(cid:17)
(f + g )/ (x0) = f / (x0) + g / (x0) ;
/
(x0) =
(fg )/ (x0) = f / (x0) g (x0) + f (x0) g / (x0) ; f (x0) g / (x0) f / (x0) g (x0) f g
(cid:0) g 2 (x0)
(cid:18)
(cid:19)
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 8 / 20
Giả sử hàm hợp y = f (u (x )) ; (y = f (u) ; u = u (x )) thỏa mãn các
điều kiện:
Khi đó hàm y = f (u (x )) có đạo hàm theo x và ta có:
(f (u (x0)))/ = f / (u (x )) .u/ (x )(vắn tắt: y /
x = y /
u .u/
x )
1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u.
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Đạo hàm của hàm hợp
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20
Giả sử hàm hợp y = f (u (x )) ; (y = f (u) ; u = u (x )) thỏa mãn các
điều kiện:
Khi đó hàm y = f (u (x )) có đạo hàm theo x và ta có:
(f (u (x0)))/ = f / (u (x )) .u/ (x )(vắn tắt: y /
x = y /
u .u/
x )
1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u.
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Đạo hàm của hàm hợp
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20
Giả sử hàm hợp y = f (u (x )) ; (y = f (u) ; u = u (x )) thỏa mãn các
điều kiện:
Khi đó hàm y = f (u (x )) có đạo hàm theo x và ta có:
(f (u (x0)))/ = f / (u (x )) .u/ (x )(vắn tắt: y /
x = y /
u .u/
x )
1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u.
2 Đạo hàm của hàm hợp
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20
Giả sử hàm hợp y = f (u (x )) ; (y = f (u) ; u = u (x )) thỏa mãn các
điều kiện:
Khi đó hàm y = f (u (x )) có đạo hàm theo x và ta có:
(f (u (x0)))/ = f / (u (x )) .u/ (x )(vắn tắt: y /
x = y /
u .u/
x )
1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u.
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Đạo hàm của hàm hợp
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20
Khi đó hàm y = f (u (x )) có đạo hàm theo x và ta có:
(f (u (x0)))/ = f / (u (x )) .u/ (x )(vắn tắt: y /
x = y /
u .u/
x )
1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u.
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
Giả sử hàm hợp y = f (u (x )) ; (y = f (u) ; u = u (x )) thỏa mãn các điều kiện:
2 Đạo hàm của hàm hợp
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20
Khi đó hàm y = f (u (x )) có đạo hàm theo x và ta có:
(f (u (x0)))/ = f / (u (x )) .u/ (x )(vắn tắt: y /
x = y /
u .u/
x )
2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u.
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
Giả sử hàm hợp y = f (u (x )) ; (y = f (u) ; u = u (x )) thỏa mãn các điều kiện:
2 Đạo hàm của hàm hợp
1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20
Khi đó hàm y = f (u (x )) có đạo hàm theo x và ta có:
(f (u (x0)))/ = f / (u (x )) .u/ (x )(vắn tắt: y /
x = y /
u .u/
x )
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
Giả sử hàm hợp y = f (u (x )) ; (y = f (u) ; u = u (x )) thỏa mãn các điều kiện:
2 Đạo hàm của hàm hợp
1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u.
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
Giả sử hàm hợp y = f (u (x )) ; (y = f (u) ; u = u (x )) thỏa mãn các điều kiện:
2 Đạo hàm của hàm hợp
x = y /
Khi đó hàm y = f (u (x )) có đạo hàm theo x và ta có: (f (u (x0)))/ = f / (u (x )) .u/ (x )(vắn tắt: y / u .u/
x )
1 Hàm u (x) có đạo hàm đối với x 2 Hàm y = f (u) có đạo hàm đối với biến u.
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 9 / 20
(c, d ) là hàm ngược của hàm g (y ) ;
Hàm f (x ) : (a, b)
!
y
= 0,
Hàm g (y ) khả vi trên (c, d ) và g / (y )
(c, d )
8
2
Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và
1
f / (x ) =
g / (y )
x, y liên hệ bởi y = f (x ) .
6
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Đạo hàm của hàm ngược:
Giả sử
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20
(c, d ) là hàm ngược của hàm g (y ) ;
Hàm f (x ) : (a, b)
!
y
= 0,
Hàm g (y ) khả vi trên (c, d ) và g / (y )
(c, d )
8
2
Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và
1
f / (x ) =
g / (y )
x, y liên hệ bởi y = f (x ) .
6
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Đạo hàm của hàm ngược:
Giả sử
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20
(c, d ) là hàm ngược của hàm g (y ) ;
Hàm f (x ) : (a, b)
!
y
= 0,
Hàm g (y ) khả vi trên (c, d ) và g / (y )
(c, d )
8
2
Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và
1
f / (x ) =
g / (y )
x, y liên hệ bởi y = f (x ) .
6
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Đạo hàm của hàm ngược:
Giả sử
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20
(c, d ) là hàm ngược của hàm g (y ) ;
Hàm f (x ) : (a, b)
!
y
= 0,
Hàm g (y ) khả vi trên (c, d ) và g / (y )
(c, d )
8
2
Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và
1
f / (x ) =
g / (y )
x, y liên hệ bởi y = f (x ) .
6
3 Đạo hàm của hàm ngược:
Giả sử
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20
(c, d ) là hàm ngược của hàm g (y ) ;
Hàm f (x ) : (a, b)
!
y
= 0,
Hàm g (y ) khả vi trên (c, d ) và g / (y )
(c, d )
8
2
Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và
1
f / (x ) =
g / (y )
x, y liên hệ bởi y = f (x ) .
6
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Đạo hàm của hàm ngược:
Giả sử
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20
y
= 0,
Hàm g (y ) khả vi trên (c, d ) và g / (y )
(c, d )
8
2
Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và
1
f / (x ) =
g / (y )
x, y liên hệ bởi y = f (x ) .
6
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Đạo hàm của hàm ngược:
Giả sử
(c, d ) là hàm ngược của hàm g (y ) ;
Hàm f (x ) : (a, b)
!
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20
Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và
1
f / (x ) =
g / (y )
x, y liên hệ bởi y = f (x ) .
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Đạo hàm của hàm ngược:
Giả sử
(c, d ) là hàm ngược của hàm g (y ) ;
y
= 0,
Hàm f (x ) : (a, b) ! Hàm g (y ) khả vi trên (c, d ) và g / (y )
(c, d )
8
2
6
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Đạo hàm của hàm ngược:
Giả sử
(c, d ) là hàm ngược của hàm g (y ) ;
y
= 0,
(c, d )
8
2
Hàm f (x ) : (a, b) ! Hàm g (y ) khả vi trên (c, d ) và g / (y ) Khi đó hàm f khả vi trên (a, b) và
f / (x ) =
1 g / (y )
x, y liên hệ bởi y = f (x ) .
6
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 10 / 20
2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược:
4 Đạo hàm của hàm y = u (x )v (x ) trong đó u (x ) > 0 khả vi, v (x ) khả
vi.
Ta có
ln y = v (x ) ln u (x )
(ln y )/ = (v ln u)/
)
1
1
.u/
y / = v / ln u + v .
u
y
)
u/
y / = y
v / ln u + v .
u
)
(cid:18)
(cid:19)
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược:
4 Đạo hàm của hàm y = u (x )v (x ) trong đó u (x ) > 0 khả vi, v (x ) khả
vi.
Ta có
ln y = v (x ) ln u (x )
(ln y )/ = (v ln u)/
)
1
1
.u/
y / = v / ln u + v .
u
y
)
u/
y / = y
v / ln u + v .
u
)
(cid:18)
(cid:19)
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược:
4 Đạo hàm của hàm y = u (x )v (x ) trong đó u (x ) > 0 khả vi, v (x ) khả
vi.
Ta có
ln y = v (x ) ln u (x )
(ln y )/ = (v ln u)/
)
1
1
.u/
y / = v / ln u + v .
u
y
)
u/
y / = y
v / ln u + v .
u
)
(cid:18)
(cid:19)
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20
3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược:
4 Đạo hàm của hàm y = u (x )v (x ) trong đó u (x ) > 0 khả vi, v (x ) khả
vi.
Ta có
ln y = v (x ) ln u (x )
(ln y )/ = (v ln u)/
)
1
1
.u/
y / = v / ln u + v .
u
y
)
u/
y / = y
v / ln u + v .
u
)
(cid:18)
(cid:19)
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20
4 Đạo hàm của hàm y = u (x )v (x ) trong đó u (x ) > 0 khả vi, v (x ) khả
vi.
Ta có
ln y = v (x ) ln u (x )
(ln y )/ = (v ln u)/
)
1
1
.u/
y / = v / ln u + v .
u
y
)
u/
y / = y
v / ln u + v .
u
)
(cid:18)
(cid:19)
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược:
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm 2 Các phương pháp tính đạo hàm
1 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
2 Áp dụng đạo hàm của hàm hợp
3 Áp dụng đạo hàm của hàm ngược: 4 Đạo hàm của hàm y = u (x )v (x ) trong đó u (x ) > 0 khả vi, v (x ) khả
vi. Ta có
(ln y )/ = (v ln u)/
)
.u/
y / = v / ln u + v .
ln y = v (x ) ln u (x ) 1 y
1 u
)
y / = y
v / ln u + v .
u/ u
)
(cid:18)
(cid:19)
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 11 / 20
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
5. Nếu trên khoảng mở, f (x ) là hàm sơ cấp thì f (x ) tính theo các quy tắc 1),2),3). Tại các điểm đặc biệt ta dùng giới hạn để tính đạo hàm.
Ví dụ. Cho
f (x ) =
6
x 2 sin 1 x 0
= 0 , x , x = 0
(cid:26)
Tính f / (x )
Trên mỗi khoảng mở (
∞; 0) và (0; +∞) . Ta có hàm sơ cấp
.
+ x 2 cos
f (x ) = x 2 sin
f / (x ) = 2x sin
1 x
1 x
1 (cid:0) x 2
(cid:0) 1 x )
(cid:19)
0
x sin 1
(cid:18) x = 0.
f (x ) x
x 2 sin 1 x
x
x
x
(cid:0) (cid:0)
(cid:0)
f (0) 0 = lim 0 !
0 = lim x (cid:0) 0 !
Tại x = 0 : lim 0 ! Vậy f / (0) = 0.
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 12 / 20
4. Các hàm lượng giác ngược
(arcsin x )/ = 1
x 2 ,
p1
(cid:0)
(arccos x )/ =
2
(ax )/ = ax ln a
1
(
1; 1)
p1
x 2 ; x
3
(cid:0)
2
(cid:0)
(loga x )/ = 1
(cid:0)
x ln a
(arctan x )/ = 1
1+x 2 ;
1
(arccot x )/ =
1+x 2
(cid:0)
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1, x > 0
1
(x α)/ = αx α
(cid:0)
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
4. Các hàm lượng giác ngược
(arcsin x )/ = 1
x 2 ,
p1
(cid:0)
(arccos x )/ =
1
(
1; 1)
p1
x 2 ; x
3
(cid:0)
2
(cid:0)
(loga x )/ = 1
(cid:0)
x ln a
(arctan x )/ = 1
1+x 2 ;
1
(arccot x )/ =
1+x 2
(cid:0)
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1, x > 0
1
2
(x α)/ = αx α (cid:0) (ax )/ = ax ln a
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
4. Các hàm lượng giác ngược
(arcsin x )/ = 1
x 2 ,
p1
(cid:0)
(arccos x )/ =
1
(
1; 1)
p1
x 2 ; x
(cid:0)
2
(cid:0)
(cid:0)
(arctan x )/ = 1
1+x 2 ;
1
(arccot x )/ =
1+x 2
(cid:0)
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1, x > 0
1
2
3
(x α)/ = αx α (cid:0) (ax )/ = ax ln a (loga x )/ = 1 x ln a
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
(arcsin x )/ = 1
x 2 ,
p1
(cid:0)
(arccos x )/ =
1
(
1; 1)
p1
x 2 ; x
(cid:0)
2
(cid:0)
(cid:0)
(arctan x )/ = 1
1+x 2 ;
1
(arccot x )/ =
1+x 2
(cid:0)
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
4. Các hàm lượng giác ngược
1, x > 0
1
2
3
(x α)/ = αx α (cid:0) (ax )/ = ax ln a (loga x )/ = 1 x ln a
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
(arccos x )/ =
1
(
1; 1)
p1
x 2 ; x
(cid:0)
2
(cid:0)
(cid:0)
(arctan x )/ = 1
1+x 2 ;
1
(arccot x )/ =
1+x 2
(cid:0)
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
4. Các hàm lượng giác ngược
x 2 ,
1, x > 0
1
(arcsin x )/ = 1 p1 (cid:0)
2
3
(x α)/ = αx α (cid:0) (ax )/ = ax ln a (loga x )/ = 1 x ln a
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
(arctan x )/ = 1
1+x 2 ;
1
(arccot x )/ =
1+x 2
(cid:0)
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
4. Các hàm lượng giác ngược
x 2 ,
1, x > 0
1
(arcsin x )/ = 1 p1 (cid:0)
2
1; 1)
(arccos x )/ = x 2 ; x (
1 p1
3
(cid:0)
2
(cid:0)
(cid:0)
(x α)/ = αx α (cid:0) (ax )/ = ax ln a (loga x )/ = 1 x ln a
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
1
(arccot x )/ =
1+x 2
(cid:0)
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
4. Các hàm lượng giác ngược
x 2 ,
1, x > 0
1
(arcsin x )/ = 1 p1 (cid:0)
2
1; 1)
1 p1
3
2
(cid:0)
(x α)/ = αx α (cid:0) (ax )/ = ax ln a (loga x )/ = 1 x ln a
(arccos x )/ = x 2 ; x ( (cid:0) (cid:0) (arctan x )/ = 1 1+x 2 ;
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
3. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
4. Các hàm lượng giác ngược
x 2 ,
1, x > 0
1
(arcsin x )/ = 1 p1 (cid:0)
2
1; 1)
1 p1
3
2
(cid:0)
(x α)/ = αx α (cid:0) (ax )/ = ax ln a (loga x )/ = 1 x ln a
(arccos x )/ = x 2 ; x ( (cid:0) (cid:0) (arctan x )/ = 1 1+x 2 ; (arccot x )/ = 1 1+x 2
(cid:0)
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 13 / 20
4. Vi phân
Định nghĩa Cho hàm f khả vi tại x0. Khi đó đại lượng f / (x0) ∆x gọi là vi phân của f tại x0 ứng với số gia ∆x, ký hiệu là df (x0) . Nếu f (x ) = x, ta có dx = 1.∆x = ∆x. Vậy cũng có thể viết
df (x ) = f / (x ) dx
udv
= vdu
Đạo hàm f / (x ) cũng còn ký hiệu: f / (x ) = df (x ) dx . Các quy tắc tính vi phân d (u + v ) = du + dv ; d (uv ) = vdu + udv ; d
u v
(cid:0) v 2
(cid:1)
(cid:0)
x0) (khi x
x0) là VCB cấp cao hơn x0)
Ứng dụng vi phần để tính gần đúng. Trong (1) ta có α (x ) (x f / (x0) (x (cid:0) Do đó khi ∆x = x f (x0 + ∆x )
(cid:0) f (x0)
(cid:0) ! x0, nhỏ, ta có thể coi f / (x0) ∆x hay
(cid:0)
(cid:25)
(2)
∆f (x0)
df (x0)
(cid:25)
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 14 / 20
Ví dụ:
Tính gần đúng a = sin 460 = sin
4 + π π 180
Áp dụng công thức (2) cho ta
(cid:0)
(cid:1)
.
, ∆x =
f (x ) = sin x, x0 =
π 4
π 180
Ta có
f
f
f /
a
+
+
π 4
π 180
π 4
π 4
p2 2
π 180
(cid:0)
π 180 )
(cid:25)
p2 2 (cid:1)
(cid:25)
(cid:17)
(cid:16)
(cid:17)
(cid:16)
(cid:17)
(cid:16)
(cid:1) 0, 7071 (1 + 0, 017) 0, 7194
(cid:25) (cid:25)
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 15 / 20
Dạng bất biến của vi phân cấp 1
x dx. t dt = y /
t dt = y /
x dx.
x x /
x dx đúng khi x là biến độc lập hay biến
Cho y = y (x ) và x = x (t) ; khi đó y là hàm của biến t : y = y (x (t)). Vi phân của y theo x : dy = y / Vi phân của y theo t: dy = y / Như vậy, công thức dy = y / phụ thuộc.
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 16 / 20
5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
(a, b) là hàm ẩn, xác định từ
2
Khái niệm: Ta nói hàm y = f (x ) , x phương trình
(3)
F (x, y ) = 0
nếu
x
F (x, f (x )) = 0
(a, b)
8
2
Ví dụ: Phương trình
(4)
x 2 a2 +
y 2 b2 = 1
xác định hai hàm ẩn
a2
a2
x 2
y1 = f1 (x ) =
x 2; y2 = f2 (x ) =
b a
b a
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
p
p
Đạo hàm của hàm ẩn Để tính đạo hàm của hàm ẩn cho bởi 3, ta lấy đạo hàm phương trình 3, coi y là hàm của x.
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 17 / 20
Ví dụ: Lấy đạo hàm (4) ta có:
(5)
2x a2 +
2y .y / b2 = 0
suy ra
y / =
x y
(cid:0)
b2 a2 (cid:1)
tại những x mà y
= 0.
6
Nói riêng:
=
y / 1 =
x y1 (x )
b2 a2 (cid:1)
(cid:0)
b a (cid:1)
(cid:0)
x pa2
x 2
(cid:0)
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 18 / 20
Ví dụ: Tiếp tuyến của đường
x 2 a2 +
y 2 b2 = 1
tại (x0, y0) là
xx0 a2 +
yy0 b2 = 1
Gọi y (x ) _hàm ẩn xác định bởi (4) Phương trình tiếp tuyến:
y
x0)
y0 = y / (x0) (x
(cid:0)
(cid:0)
, ta có
Thay y / (x0) =
x0 y0
y
(x
y0 =
x0)
xx0 a2 +
yy0 b2 =
x 2 0 a2 +
y 2 0 b2 = 1
x0 y0
b2 a2 (cid:1) (cid:0) b2 a2 (cid:1)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
)
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 19 / 20
Nói thêm về bài giảng
Bài giảng giới thiệu các định nghĩa và tính chất của Đạo hàm và Vi phân.
Khoa Toán-Ứng dụng (Institute) Bài giảng thứ ba 09/06 20 / 20
