ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÁI NGUYÊN
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập
Bộ môn:
Toán - Tin
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Giới thiệu
Chương I
Chương II
Chương III
Chương IV
Chương V
Chương VI
Chương VII
Chương VIII
MỤC LỤC
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Trong chương trỡnh đào tạo theo hướng đổi mới lấy người học làm trung tâm, chuyển đổi từ niên chế sang tín chỉ, chương trỡnh Toán đào tạo cho Trường đại học Y Dược có sự đổi mới theo hướng tinh giản để phù hợp với cách học tự nghiên cứu của sinh viên. Phần Toán cao cấp mà chúng tôi trỡnh bày dưới đây sẽ bám sát mục tiêu phục vụ việc nghiên cứu khoa học, điều trị trong Y học. Phần bài tập tự ôn luyện sẽ được trỡnh bày kỹ trong các giờ giải đáp thắc mắc và cuốn Bài tập Toán hoc cao cấp- Xác suất thông kê của cùng tác giả.
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Với thời lượng 45 tiết , tương đương với 2 tín chỉ, người học cần nắm được lý thuyết cơ bản và giải được phương trỡnh ma trận, hệ phương trỡnh tuyến tính.
Tính được tích phân suy rộng loại I, II.
Giải được phương trỡnh vi phân tuyến tính cấp 1, cấp 2 có dạng đặc biệt.
Xét được sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số dương, tính được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tập hợp, quan hệ và logic suy luận
Đ1. Tập hợp
1. Các khái niệm cơ bản
2. Các phép toán về tập hợp
Đ2. Các tập hợp số thực
1. Số thực
2. Biểu diễn hỡnh học các số thực
3. Các khoảng số thực
4. Tập hợp bị chặn
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Đ3. Quan hệ
1. Tích Descartes
2. Quan hệ
3. ánh xạ
Đ4. Đại cương về logic suy luận
1. Mệnh đề và các phép toán mệnh đề
2. Hàm mệnh đề
3. Logic suy luận, điều kiện cần và điều kiện đủ
4. Logic chứng minh mệnh đề
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương II. Ma trận - Định thức
Đ1. Ma trận
1. Các khái niệm cơ bản về ma trận
2. Các phép toán đối với ma trận
3. Ma trận chuyển vị
4. Chuyển vị của tích hai ma trận
Đ2. Định thức
1. Định thức của ma trận vuông
2. Tính chất của định thức
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Đ3. Các phương pháp tính định thức
1. Phương pháp khai triển
2. Định thức của tích hai ma trận
Đ4. Ma trận nghịch đảo
1. Khái niệm ma trận nghịch đảo
2. Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo
3. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo và biểu thức của nó
4. Tỡm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp
5. Ma trận nghịch đảo của tích hai ma trận
6. ứng dụng của ma trận nghịch đảo
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Đ5. Hạng của ma trận
1. Hạng của ma trận
2. Tỡm hạng của ma trân bằng biến đổi sơ cấp
Chương III. Hệ phương trỡnh tuyến tính
Đ1. Các khái niệm cơ bản về hệ phương trỡnh tuyến tính
1. Hệ phương trỡnh tuyến tính tổng quát
2. Nghiệm của hệ phương trỡnh tuyến tính
3. Hệ tương đương
4. Các phép biến đổi sơ cấp
5. Hệ tam giác và hệ hỡnh thang
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Đ2. Hệ Cramer
1. Định nghĩa
2. Quy tắc Cramer
Đ3. Hệ phương trỡnh tuyến tính tổng quát
1. Điều kiện có nghiệm
2. Giải hệ phương trỡnh tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp
Đ4. Hệ thuần nhất
1. Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường
2. Mối liên hệ với hệ không thuần nhất
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương IV. Hàm số 4.1. Hàm một biến 4.2 Các hàm sơ cấp cơ bản 4.3. Hàm hai biến 4.4. Định nghĩa và tính chất giới hạn hàm một biến 4.5. Giới hạn hàm hai biến 4.6. Sự liên tục của hàm một biến - hàm hai biến Chương V: Phép tính vi phân 5.1. Đạo hàm - vi phân của hàm một biến 5.2. Đạo hàm và vi phân của hàm hai biến
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương VI. Phép tính tích phân
6.1. Tích phân bất định
6.2. Tích phân đơn giản chứa tam thức bậc hai
6.3. Tích phân các hàm lượng giác
6.4. Tích phân xác định
6.5. Công thức Newton- Leibnitz (Niutơn-Lepnit)
6.6. Tích phân suy rộng
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương VII. Phương trỡnh vi phân
7.1. Phương trỡnh vi phân cấp I
7.2. Phương trỡnh vi phân cấp hai
7.3. Hệ phương trỡnh vi phân
Chương VIII. Lý thuyết chuỗi
8.1 Chuỗi số
8.2. Chuỗi số dương
8.3 Chuỗi số dấu bất kỳ
8.4 Chuỗi lũy thừa
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Ch¬ng I
TËp hîp, quan hÖ vµ logic suy luËn
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§1. TËp hîp
1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm nguyªn thuû cña to¸n häc, kh«ng
®îc ®Þnh nghÜa vµ ta chØ miªu t¶, h×nh dung kh¸i niÖm nµy
b»ng nh÷ng vÝ dô cô thÓ. Ch¼ng h¹n nh tËp hîp c¸c sinh viªn
trong mét líp häc, tËp hîp c¸c sè tù nhiªn, tËp hîp c¸c nghiÖm
cña mét ph¬ng tr×nh ®¹i sè .v.v.
C¸c ®èi tîng t¹o nªn tËp hîp ®îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña tËp
hîp ®ã.
§Ó nãi r»ng a lµ phÇn tö thuéc tËp hîp A ta viÕt a A (®äc lµ a
thuéc A). NÕu a kh«ng ph¶i lµ phÇn tö cña tËp hîp A ta viÕt
a A (®äc lµ a kh«ng thuéc A).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
C¸c ®èi tîng t¹o nªn tËp hîp ®îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña tËp hîp
®ã.
§Ó nãi r»ng a lµ phÇn tö thuéc tËp hîp A ta viÕt a A (®äc lµ a
thuéc A). NÕu a kh«ng ph¶i lµ phÇn tö cña tËp hîp A ta viÕt a A
(®äc lµ a kh«ng thuéc A).
TËp hîp kh«ng chøa phÇn tö nµo ®îc gäi lµ tËp rçng, ký hiÖu .
TËp hîp kh«ng chøa phÇn tö nµo ®îc gäi lµ tËp rçng, ký hiÖu .
§Ó x¸c ®Þnh mét tËp hîp ta sö dông mét trong hai ph¬ng ph¸p
sau:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1. LiÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp
A = {a, b, c, d}
B = {2, 4, 6, 8}
2. ChØ ra tÝnh chÊt ®Æc trng cña c¸c phÇn tö cña tËp hîp
A = {x: x2 = 4}
Cho hai tËp hîp A vµ B. NÕu mäi phÇn tö cña tËp hîp A còng lµ
phÇn tö cña tËp hîp B th× ta nãi r»ng A lµ tËp hîp con cña tËp hîp
B, hay A chøa trong B, hay B bao hµm A, ký hiÖu A B hay B A.
Ngêi ta coi tËp rçng lµ tËp con cña mäi tËp hîp.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. C¸c phÐp to¸n vÒ tËp hîp
A B = {x: xA hoÆc xB}
A B = {x: xA vµ xB}
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6}
a) PhÐp hîp §Þnh nghÜa: Hîp cña hai tËp hîp A vµ B lµ mét tËp hîp gåm c¸c phÇn tö thuéc Ýt nhÊt mét trong hai tËp hîp ®ã. Hîp cña hai tËp hîp A vµ B ®îc ký hiÖu: A B b) PhÐp giao §Þnh nghÜa: Giao cña hai tËp hîp A vµ B lµ mét tËp hîp gåm c¸c phÇn tö ®ång thêi thuéc c¶ hai tËp hîp A vµ B. Giao cña hai tËp hîp A vµ B ®îc ký hiÖu: A B NÕu A B = ta nãi A vµ B lµ c¸c tËp hîp rêi nhau. VÝ dô: Cho hai tËp hîp
A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A B = {2, 4} Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) C¸c tÝnh chÊt cña phÐp hîp vµ phÐp giao
1. TÝnh giao ho¸n
A B = B A ; A B = B A
2. TÝnh chÊt kÕt hîp
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
1. TÝnh chÊt ph©n phèi
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Ó chøng minh c¸c tÝnh chÊt trªn ta cÇn chØ ra mçi phÇn tö cña
tËp hîp ë vÕ tr¸i ®Òu lµ phÇn tö cña tËp hîp ë vÕ ph¶i vµ ngîc l¹i
mçi phÇn tö cña tËp hîp ë vÕ ph¶i ®Òu lµ phÇn tö cña tËp hîp ë vÕ
tr¸i.
ViÖc chøng minh c¸c tÝnh chÊt trªn dµnh cho b¹n ®äc .
d) PhÐp trõ tËp hîp vµ phÇn bï cña mét tËp hîp
§Þnh nghÜa: HiÖu cña tËp hîp A vµ tËp hîp B lµ tËp hîp gåm c¸c
phÇn tö thuéc A nhng kh«ng thuéc B.
HiÖu cña tËp hîp A vµ tËp hîp B ®îc ký hiÖu: A\ B
A\ B = {x: xA vµ x B}
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: Cho hai tËp hîp
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6}
A\ B = {1, 3, 5}
Cho A lµ tËp con cña mét tËp hîp X. Khi ®ã X\ A ®îc gäi lµ phÇn
bï cña cña tËp hîp A trong X.
PhÇn bï cña tËp hîp A ®îc ký hiÖu A. VËy A = X\ A
VÝ dô: Trong tËp hîp c¸c sè thùc, TËp hîp c¸c sè v« tØ lµ phÇn bï
cña tËp hîp c¸c sè h÷u tØ.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh lý: PhÇn bï cña hîp c¸c tËp hîp b»ng giao c¸c phÇn bï cña
chóng. PhÇn bï cña giao c¸c tËp hîp b»ng hîp c¸c phÇn bï cña
chóng, tøc lµ:
BABA
BABA
,
Chøng minh: Ta chøng minh ®¼ng thøc ®Çu, ®¼ng thøc cßn l¹i
chøng minh t¬ng tù.
Gäi x lµ phÇn tö bÊt kú cña
BA , khi ®ã:
Bx
Ax
BA
Ax
Bx
BAx
x
vµ
vµ
Ngîc l¹i, gäi x lµ phÇn tö bÊt kú cña
BA , khi ®ã:
Bx
Ax
Bx
BAx
BAx
Ax vµ
vµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§2. C¸c tËp hîp sè thùc
1. Sè thùc
Ta ®· biÕt tËp c¸c sè tù nhiªn N:
N = {0, 1, 2,..., n,...}
Trong ph¹m vi c¸c sè tù nhiªn cã thÓ thùc hiÖn ®îc phÐp
céng vµ phÐp nh©n. Tuy nhiªn phÐp trõ bÞ h¹n chÕ. Ch¼ng h¹n
kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n sao cho 3 + n = 0. §Ó thùc hiÖn ®îc
phÐp trõ ngêi ta më réng hÖ thèng sè tù nhiªn thµnh hÖ thèng sè
nguyªn Z:
Z = {..., - n,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., n,...}
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Trong tËp c¸c sè nguyªn cã thÓ thùc hiÖn ®îc phÐp céng,
phÐp trõ vµ phÐp nh©n. Tuy nhiªn phÐp chia bÞ h¹n chÕ. Ch¼ng
h¹n, kh«ng tån t¹i sè nguyªn m sao cho 4.m = 7. §Ó thùc hiÖn ®îc
phÐp chia ngêi ta më réng hÖ thèng sè nguyªn thµnh hÖ thèng sè
h÷u tØ Q:
Q = {
: m, n Z, n 0 }
m n
NÕu biÓu diÔn díi d¹ng sè thËp ph©n th× sè h÷u tØ lµ sè thËp
ph©n h÷u h¹n hoÆc sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoµn. Sè nguyªn
còng lµ sè h÷u tØ (víi mÉu sè b»ng 1).
Ta cã bao hµm thøc: N Z Q.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Trong tËp c¸c sè h÷u tØ cã thÓ thÓ thùc hiÖn ®îc c¶ bèn phÐp to¸n
céng, trõ, nh©n vµ chia. Tuy nhiªn, tËp c¸c sè h÷u tØ vÉn cha ®ñ ®Ó ®¸p
øng nhu cÇu tÝnh to¸n. Ch¼ng h¹n, ®é dµi ®êng chÐo cña h×nh vu«ng cã
c¹nh b»ng 1 kh«ng thÓ biÓu diÔn ®îc b»ng mét sè h÷u tØ. §Ó hoµn thiÖn
hÖ thèng sè, ngêi ta bæ xung thªm tËp c¸c sè v« tØ.
NÕu biÓu diÔn díi d¹ng sè thËp ph©n th× sè v« tØ lµ sè thËp
ph©n v« h¹n kh«ng tuÇn hoµn. Ch¼ng h¹n, sè ®o ®é dµi ®êng
chÐo cña h×nh vu«ng cã c¹nh b»ng 1 lµ mét sè v« tØ:
,12
4142135624
...
C¸c sè h÷u tØ vµ c¸c sè v« tØ ®îc gäi lµ sè thùc. TËp hîp c¸c
sè thùc ®îc ký hiÖu lµ R.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. BiÓu diÔn h×nh häc c¸c sè thùc
a) Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña sè thùc
Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña sè thùc x ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau:
x
khi
x
0
x
khi
x
x
0 yx,
Tõ ®Þnh nghÜa, víi mäi sè thùc
yx
x
y
ta cã thÓ suy ra c¸c kÕt qu¶:
0y
.
x y
x y
x
y
x
y
víi .
x
y
x
y
.
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
a) Trôc sè vµ ®é dµi ®¹i sè cña mét ®o¹n th¼ng
Trôc sè lµ mét ®êng th¼ng, trªn ®ã cã x¸c ®Þnh:
- Híng cña ®êng th¼ng (theo chiÒu mòi tªn)
- Mét ®iÓm O cè ®Þnh, gäi lµ gèc to¹ ®é
- §¬n vÞ ®o ®é dµi
A O B …
Trªn trôc sè lÊy hai ®iÓm A, B bÊt kú. §é dµi h×nh häc cña ®o¹n
th¼ng AB (kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B) còng ®îc ký hiÖu AB.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa: §é dµi ®¹i sè cña ®o¹n th¼ng AB trªn trôc sè lµ mét sè
thùc, ký hiÖu lµ AB vµ ®îc x¸c ®Þnh nh sau:
AB = AB nÕu híng tõ A ®Õn B cïng híng víi trôc sè.
AB = BA
nÕu híng tõ A ®Õn B ngîc híng víi trôc sè.
c) BiÓu diÔn sè thùc trªn trôc sè
Trªn trôc sè lÊy mét ®iÓm bÊt M bÊt kú
O M …
x
OM
§Þnh nghÜa: Sè thùc
®îc gäi lµ to¹ ®é cña ®iÓm M.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Nh vËy, mçi ®iÓm M trªn trôc sè ®îc ®Æt t¬ng øng víi mét sè thùc x x¸c ®Þnh, gäi lµ to¹ ®é cña nã. Ngîc l¹i mçi sè thùc x cho t¬ng øng víi mét ®iÓm M trªn trôc sè cã to¹ ®é b»ng x. PhÐp t¬ng øng mét ®èi mét nãi trªn cho phÐp ta ®ång nhÊt sè thùc x
víi ®iÓm M trªn trôc sè. Mçi tËp sè thùc XR lµ mét tËp hîp ®iÓm
cña trôc sè. Trôc sè cßn gäi lµ ®êng th¼ng thùc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3. C¸c kho¶ng sè thùc
a) Kho¶ng h÷u h¹n
ba ,
lµ hai sè thùc cho tríc vµ
x
a
R:
b
ba ta cã c¸c kho¶ng sau: x
ba;
a
ba; bx
x
Víi Kho¶ng ®ãng (cßn gäi lµ ®o¹n): Kho¶ng më:
R:
C¸c kho¶ng nöa më:
ba ;
a
x
ba ;
x R: x
a
x
R:
b b
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
a) L©n cËn cña mét ®iÓm
Víi ox lµ mét sè thùc cho tríc vµ r lµ mét sè d¬ng cho tríc.
x
; r
x
®îc gäi lµ l©n cËn b¸n kÝnh r cña ®iÓm
Kho¶ng
r
o
o
ox vµ
®îc ký hiÖu Vr( ox ). Nh vËy:
x
x
R:
r
Vr( ox ) = x
o
Trong to¸n häc ngêi ta dïng c¸c ký hiÖu vµ
®Ó chØ c¸c ®Çu
mót bªn tr¸i vµ bªn ph¶i cña trôc sè. Víi mäi sè thùc x ta cã
x
. C¸c tËp sè thùc sau ®©y ®îc gäi lµ c¸c kho¶ng v« h¹n:
a ;
x
x
a ;
x
x
R:
R:
a
;
a
b;
x
b;
x
R:
R:
b
;
x
b
x
R
;
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.TËp hîp bÞ chÆn
a) Kh¸i niÖm tËp hîp bÞ chÆn
Mét tËp sè thùc X R ®îc gäi lµ bÞ chÆn trªn nÕu tån t¹i sè thùc b
sao cho víi mäi x X ta lu«n cã: x b.
Sè b ®îc gäi lµ cËn trªn cña tËp X.
Mét tËp sè thùc X R ®îc gäi lµ bÞ chÆn díi nÕu tån t¹i sè thùc a
sao cho víi mäi x X ta lu«n cã: x a.
Sè a ®îc gäi lµ cËn díi cña tËp X.
Mét tËp sè thùc X R ®îc gäi lµ bÞ chÆn nÕu nã võa bÞ chÆn trªn
x X ta lu«n cã: a
x b.
võa bÞ chÆn díi, tøc lµ tån t¹i c¸c sè thùc a vµ b sao cho víi mäi
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: C¸c kho¶ng h÷u h¹n lµ c¸c tËp bÞ chÆn. C¸c kho¶ng (a; +);
[a; + ) lµ c¸c tËp bÞ chÆn díi nhng kh«ng bÞ chÆn trªn. C¸c
kho¶ng (- ; b);(- ;b] lµ c¸c tËp bÞ chÆn trªn nhng kh«ng bÞ chÆn
díi.
b) CËn trªn ®óng vµ cËn díi ®óng
§Þnh nghÜa: CËn trªn nhá nhÊt cña mét tËp hîp bÞ chÆn trªn ®îc
gäi lµ cËn trªn ®óng cña tËp hîp ®ã. CËn díi lín nhÊt cña mét tËp
hîp bÞ chÆn díi ®îc gäi lµ cËn díi ®óng cña tËp hîp ®ã.
CËn trªn ®óng cña tËp hîp X ®îc ký hiÖu supX
CËn díi ®óng cña tËp hîp X ®îc ký hiÖu infX
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Tõ ®Þnh nghÜa ta suy ra:
supX = b khi vµ chØ khi hai ®iÒu kiÖn sau ®îc tho¶ m·n:
. x b víi mäi x X (b lµ cËn trªn cña X)
. Víi mäi sè b’< b lu«n tån t¹i sè xo sao cho xo > b’ (mäi sè b’
kh«ng ph¶i lµ cËn trªn cña X)
infX = a khi vµ chØ khi hai ®iÒu kiÖn sau ®îc tho¶ m·n:
. x a víi mäi x X (a lµ cËn díi cña X)
. Víi mäi sè a’ > a lu«n tån t¹i sè x0 sao cho x0 < a’ (mäi sè
a’>a kh«ng ph¶i lµ cËn díi cña X)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TËp hîp X =(a; b) cã cËn trªn ®óng lµ b. ThËt vËy, râ rµng
x
b) , do ®ã tån t¹i xoK. Sè xo K tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xo (a; b) vµ
x0 > b’. VËy supX = b.
Trong to¸n häc ngêi ta ®· chøng minh ®Þnh lý sau:
T¬ng tù ta chøng minh ®îc infX = a.
§Þnh lý: Mäi tËp sè thùc kh¸c rçng bÞ chÆn trªn (bÞ chÆn díi) ®Òu
cã cËn trªn ®óng(cËn díi ®óng).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Sè cùc ®¹i vµ sè cùc tiÓu
CËn trªn ®óng vµ cËn díi ®óng cña mét tËp hîp X cã thÓ thuéc
hoÆc kh«ng thuéc tËp hîp X.
VÝ dô:
sup[a; b) = b [a; b), inf[a; b) = a [a; b)
sup(a; b] = b (a; b], inf(a; b] = a (a; b]
§Þnh nghÜa: NÕu supX = b X th× sè b ®îc gäi lµ sè cùc ®¹i, hay
sè lín nhÊt cña tËp hîp X. NÕu infX = a X th× sè a ®îc gäi lµ sè
cùc tiÓu, hay sè nhá nhÊt cña tËp hîp X.
Sè lín nhÊt cña tËp hîp X ®îc ký hiÖu maxX
Sè nhá nh©t cña tËp hîp X ®îc ký hiÖu minX
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Tõ ®Þnh nghÜa ta suy ra:
maxX = b bX vµ x b víi mäi x X
minX = a a X vµ x a víi mäi x X
VÝ dô: max[a; b] = b, min[a; b] = a
TËp (a; b) kh«ng cã sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§3. Quan hÖ
1. TÝch Descartes
§Þnh nghÜa: TÝch Descartes cña hai tËp hîp X vµ Y, ký hiÖu X Y lµ
tËp hîp tÊt c¶ c¸c cÆp cã thø tù (x, y), trong ®ã x X vµ y Y.
X Y = {(x, y): x X vµ y Y}
VÝ dô: Cho X = {1, 2, 3}; Y = {a, b}
X Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
Y X = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)}
Tæng qu¸t ta gäi tÝch Descartes cña n tËp hîp X1, X2,..., Xn lµ tËp
hîp ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau:
X1 X2 .. Xn = {(x1, x2,..., xn): xi Xi, i = 1, 2,..., n}
§Æc biÖt, khi X1 = X2 =...= Xn = X ta ký hiÖu X X ... X = Xn
Xn = {(x1, x2,..., xn): xi X, i = 1, 2,..., n}
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Quan hÖ
a) Kh¸i niÖm quan hÖ
§Þnh nghÜa: Quan hÖ hai ng«i trong tËp hîp X lµ mét tËp con cña
tËp hîp X2.
VÝ dô:
- Trong tËp c¸c sè thùc R, quan hÖ “kh«ng nhá h¬n” lµ tËp hîp:
{(x, y): x R, y R, x y} R2
- Trong tËp hîp tÊt c¶ c¸c tam gi¸c quan hÖ “®ång d¹ng” lµ tËp hîp
c¸c cÆp tam gi¸c ( ,
) mµ ®ång d¹ng víi .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) Quan hÖ t¬ng ®¬ng
Cho X2 lµ mét quan hÖ trong tËp hîp X. NÕu (x, y) th× ta nãi
phÇn tö x cã quan hÖ víi phÇn tö y vµ viÕt x y.
§Þnh nghÜa: Mét quan hÖ trong tËp hîp X ®îc gäi lµ quan hÖ
t¬ng ®¬ng nÕu nã cã c¸c tÝnh chÊt sau:
1. TÝnh ph¶n x¹: a a, a X (mäi phÇn tö a cña X cã quan hÖ
víi chÝnh nã)
2. TÝnh ®èi xøng: NÕu a b th× b a (nÕu a cã quan hÖ víi b th× b
còng cã quan hÖ víi a)
3. TÝnh b¾c cÇu: NÕu a b vµ b c th× a c (nÕu a cã quan hÖ
víi b vµ b cã quan hÖ víi c th× a cã quan hÖ víi c)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô:
. Quan hÖ “x ®ång d¹ng víi y” lµ mét quan hÖ t¬ng ®¬ng
trong tËp hîp tÊt c¶ c¸c tam gi¸c.
. Quan hÖ “x lµ b¹n cña y” trong tËp hîp sinh viªn cña mét
trêng ®¹i häc kh«ng ph¶i lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng v× nã kh«ng cã
tÝnh b¾c cÇu.
c) Quan hÖ thø tù
§Þnh nghÜa: Mét quan hÖ trong tËp hîp X ®îc gäi lµ quan hÖ
thø tù nÕu nã cã c¸c tÝnh chÊt sau:
1. TÝnh ph¶n x¹: a a, a X
2. TÝnh ph¶n ®èi xøng: NÕu a b vµ b a th× a = b
3. TÝnh b¾c cÇu: NÕu a b vµ b c th× a c
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô:. Quan hÖ “x y” lµ mét quan hÖ thø tù trong tËp hîp tÊt c¶ c¸c sè thùc
. Quan hÖ “p chia hÕt cho q” lµ mét quan hÖ thø tù trong tËp hîp tÊt
c¶ c¸c sè tù nhiªn.
3. ¸nh x¹
a) Kh¸i niÖm ¸nh x¹: Cho hai tËp hîp X, Y kh«ng rçng bÊt kú
§Þnh nghÜa: Mét ¸nh x¹ f tõ tËp hîp X vµo tËp hîp Y lµ mét quy t¾c
®Æt t¬ng øng mçi phÇn tö x cña tËp X víi mét vµ chØ mét phÇn tö y
cña tËp Y.
§Ó nãi r»ng f lµ ¸nh x¹ tõ tËp hîp X vµo tËp hîp Y ta dïng ký hiÖu:
f: X Y
PhÇn tö y Y t¬ng øng víi phÇn tö x X qua ¸nh x¹ f ®îc gäi lµ
¶nh cña phÇn tö x, ký hiÖu lµ y = f(x)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 1: PhÐp ®Æt t¬ng øng mçi sè thùc x víi phÇn nguyªn cña nã
(ký hiÖu [x]) lµ mét ¸nh x¹ tõ R vµo Z.
VÝ dô 2: PhÐp ®Æt t¬ng øng mçi sè thùc x víi b×nh ph¬ng cña nã
lµ mét ¸nh x¹ tõ R vµo [0; + ].
VÝ dô 3: PhÐp ®Æt t¬ng øng mçi sè thùc x víi lËp ph¬ng cña nã lµ
mét ¸nh x¹ tõ R vµo R.
b) ¶nh vµ nghÞch ¶nh cña mét tËp hîp
Cho ¸nh x¹ f: X Y; A X; B Y.
§Þnh nghÜa: ¶nh cña tËp hîp A qua ¸nh x¹ f lµ tËp hîp ¶nh cña tÊt c¶
c¸c phÇn tö x A. ¶nh cña tËp hîp A qua ¸nh x¹ f ®îc ký hiÖu f(A):
f(A) = {y Y: tån t¹i x A, y = f(x)}
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa: NghÞch ¶nh cña tËp hîp B qua ¸nh x¹ f lµ tËp hîp tÊt
c¶ c¸c phÇn tö cña X cã ¶nh thuéc tËp B.
NghÞch ¶nh cña tËp hîp B qua ¸nh x¹ f ®îc ký hiÖu f-1(B):
f-1(B) = {x X: f(x) = y B}
NghÞch ¶nh cña tËp hîp gåm mét phÇn tö b Y ®îc gäi lµ nghÞch
¶nh cña phÇn tö b vµ ký hiÖu f-1(b):
VÝ dô: XÐt ¸nh x¹ f: R[0; + ) x¸c ®Þnh bëi f(x) = x2
f([-1; 2]) = [0; 4], f([-2; -1]) = [1; 4]
f-1([1; 4]) = [-2; -1] [1; 2]
f-1(1) = {-1; 1}
f-1(b) = {x X: f(x) = b}
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh lý: Víi mäi ¸nh x¹ f: X Y ta lu«n cã:
1. f(A1 A2) = f(A1) f(A2), víi mäi A1 X, A2 X
2. f-1(B1 B2) = f-1(B1) f-1(B2), víi mäi B1 Y, B2 Y
3. f-1(B1 B2) = f-1(B1) f-1(B2), víi mäi B1 Y, B2 Y
ViÖc chøng minh ®Þnh lý nµy dµnh cho b¹n ®äc.
c) §¬n ¸nh, toµn ¸nh vµ song ¸nh
- ¸nh x¹ f: X Y ®îc gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu hai phÇn tö kh¸c nhau
bÊt kú cña tËp X lu«n cã ¶nh kh¸c nhau:
x1 x2 f(x1) f(x2)
Hay nãi c¸ch kh¸c, f lµ ®¬n ¸nh khi vµ chØ khi nghÞch ¶nh cña
mäi phÇn tö y Y hoÆc lµ tËp rçng, hoÆc chØ cã mét phÇn tö
duy nhÊt x X.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- ¸nh x¹ f: X Y ®îc gäi lµ toµn ¸nh nÕu ¶nh cña tËp hîp X lµ
toµn bé tËp hîp Y: f(X) = Y.
Hay nãi c¸ch kh¸c, f lµ toµn ¸nh khi vµ chØ khi nghÞch ¶nh cña
mäi phÇn tö y Y ®Òu kh«ng rçng.
- ¸nh x¹ f: X Y ®îc gäi lµ song ¸nh nÕu nã võa lµ ®¬n ¸nh võa
lµ toµn ¸nh.
VÝ dô:
- ¸nh x¹ f: R [-1;1] ®Æt t¬ng øng mçi sè x R víi sè y=cosx [1;1]
lµ mét toµn ¸nh, nhng kh«ng ph¶i ®¬n ¸nh.
- ¸nh x¹ f: [0; ] R ®Æt t¬ng øng mçi sè x [0; ] víi sè y = cosx
R lµ mét ®¬n ¸nh, nhng kh«ng ph¶i toµn ¸nh.
- ¸nh x¹ f: [0; ] [-1; 1] ®Æt t¬ng øng mçi sè x [0; ] víi sè y =
cosx [-1; 1] lµ mét song ¸nh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
d) ¸nh x¹ ngîc
Gi¶ sö ¸nh x¹ f: X Y lµ mét song ¸nh. Khi ®ã, víi mçi phÇn tö y
Y ®Òu cã nghÞch ¶nh kh«ng rçng (do f lµ toµn ¸nh) vµ nghÞch ¶nh
cña nã ph¶i lµ phÇn tö duy nhÊt x X (do f lµ ®¬n ¸nh). Trong
trêng hîp nµy ta cã ¸nh x¹ f-1: YX ®Æt t¬ng øng mçi phÇn tö y
Y víi phÇn tö x = f-1(y). ¸nh x¹ f-1 ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ngîc cña song
¸nh f. ¸nh x¹ f-1 còng lµ mét song ¸nh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: Gäi X lµ tËp hîp sinh viªn cña mét líp häc vµ Y lµ danh s¸ch
ghi ®Çy ®ñ hä vµ tªn cña c¸c sinh viªn líp ®ã. Gi¶ sö líp häc kh«ng
cã sinh viªn nµo trïng tªn. Khi ®ã, ¸nh x¹ f: X Y ®Æt t¬ng øng
mçi sinh viªn víi tªn gäi cña sinh viªn ®ã trong danh s¸ch, f lµ mét
song ¸nh. ¸nh x¹ ngîc f-1 ®Æt t¬ng øng mçi tªn trong danh s¸ch
víi sinh viªn cã tªn ®ã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§4. §¹i c¬ng vÒ logic suy luËn
1. Mệnh đề và các phép toán mệnh đề
a) MÖnh ®Ò trong logic to¸n.
Trong ng«n ng÷ th«ng thêng, ta hiÓu mÖnh ®Ò lµ nh÷ng c©u m« t¶
mét ®iÒu g× ®ã, hoÆc ph¸t biÓu mét ý kiÕn mang tÝnh kh¼ng ®Þnh.
§èi víi c¸c mÖnh ®Ò mang tÝnh kh¼ng ®Þnh, chóng ta thêng cã lêi
bµn: nãi nh vËy lµ ®óng hoÆc nãi nh vËy lµ sai. Môc ®Ých cña ho¹t
®éng khoa häc lµ kh¼ng ®Þnh ch©n lý kh¸ch quan. Nh÷ng lêi bµn
®óng sai mang tÝnh chñ quan kh«ng cã gi¸ trÞ khoa häc. M«n logic
to¸n häc ®Ò cËp tíi cÊu tróc logic ®Ó ph©n ®Þnh ®óng sai.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Trong logic to¸n häc chóng ta chØ xÐt c¸c mÖnh ®Ò cã hai kh¶ n¨ng
x¶y ra: MÖnh ®Ò ®óng hoÆc mÖnh ®Ò sai. Ta gäi c¸c mÖnh ®Ò ®ã lµ
c¸c mÖnh ®Ò logic. §óng vµ sai ®îc gäi lµ c¸c gi¸ trÞ ch©n lý hay
gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò. Ngêi ta dïng sè 1 vµ sè 0 ®Ó chØ gi¸ trÞ
logic cña mÖnh ®Ò: 1 lµ ®óng vµ 0 lµ sai. Mệnh ®Ò logic lµ mÖnh ®Ò
cã gi¸ trÞ logic.
Ta ký hiÖu mÖnh ®Ò b»ng c¸c ch÷: p, q, r,...
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) C¸c phÐp to¸n mÖnh ®Ò:
- PhÐp phñ ®Þnh: Phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò p lµ mÖnh ®Ò “kh«ng p”,
®îc ký hiÖu p. Gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò p ngîc l¹i víi gi¸ trÞ
logic cña mÖnh ®Ò p. Quan hÖ gi÷a p vµ p thÓ hiÖn ë b¶ng gi¸ trÞ
logic sau:
p
p
0
1
1
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- PhÐp héi: Héi cña hai mÖnh ®Ò p vµ q, ký hiÖu p q, ®äc lµ “p vµ q”.
MÖnh ®Ò p q ®óng khi vµ chØ khi c¶ hai mÖnh ®Ò p vµ q ®Òu ®óng
vµ sai trong tÊt c¶ c¸c trêng hîp cßn l¹i.
B¶ng gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò p q:
p
q
p q
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- PhÐp tuyÓn: TuyÓn cña hai mÖnh ®Ò p vµ q, ký hiÖu lµ p q, ®äc
lµ “p hoÆc q”. MÖnh ®Ò pq sai khi vµ chØ khi c¶ hai mÖnh ®Ò p vµ q
®Òu sai vµ ®óng trong tÊt c¶ c¸c trêng hîp cßn l¹i.
B¶ng gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò pq:
p
q
p q
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- PhÐp kÐo theo: Cho hai mÖnh ®Ò p vµ q, mÖnh ®Ò “p kÐo theo q”,
ký hiÖu pq lµ mét mÖnh ®Ò sai khi vµ chØ khi p ®óng nhng q sai
vµ ®óng trong tÊt c¶ c¸c trêng hîp cßn l¹i
B¶ng gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò pq:
p
q
pq
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Gi¸ trÞ logic cña c¸c mÖnh ®Ò phøc hîp
XuÊt ph¸t tõ c¸c mÖnh ®Ò ®¬n gi¶n ta cã thÓ lËp c¸c mÖnh ®Ò míi
b»ng phÐp phñ ®Þnh, phÐp héi, phÐp tuyÓn, phÐp kÐo theo. Tõ
nh÷ng mÖnh ®Ò míi ®ã ta l¹i tiÕp tôc lËp c¸c mÖnh ®Ò kh¸c.... C¨n
cø vµo c¸c b¶ng gi¸ trÞ logic nªu trªn ta cã thÓ lËp ®îc b¶ng gi¸ trÞ
logic cña c¸c mÖnh ®Ò phøc t¹p h¬n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: XÐt mÖnh ®Ò (p q) (q p). B¶ng logic cña mÖnh ®Ò nµy
®îc x¸c ®Þnh nh sau:
p q q p (p q) (q p)
p
q
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
MÖnh ®Ò (p q) (q p), tøc lµ “p kÐo theo q vµ q kÐo theo p”
®îc ký hiÖu lµ: p q, ®äc lµ “p t¬ng ®¬ng q”. Ta thÊy mÖnh ®Ò
p q ®óng khi vµ chØ khi p, q cã cïng gi¸ trÞ logic (cïng ®óng
hoÆc cïng sai) vµ sai khi p, q cã gi¸ trÞ logic ngîc nhau.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Hµm mÖnh ®Ò
a) Kh¸i niÖm biÕn
§Þnh nghÜa: Mét ký hiÖu mµ ta cã thÓ g¸n cho nã mét phÇn tö bÊt
kú cña tËp hîp X ®îc gäi lµ biÕn. TËp hîp X ®îc gäi lµ miÒn biÕn
thiªn cña biÕn ®ã. C¸c biÕn thêng ®îc ký hiÖu b»ng ch÷ x, y, z,...
Mét biÕn mµ miÒn biÕn thiªn cña nã lµ tËp hîp sè ®îc gäi lµ biÕn
sè. Mét biÕn mµ miÒn biÕn thiªn cña nã lµ tËp hîp c¸c mÖnh ®Ò
®îc gäi lµ biÕn mÖnh ®Ò.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) Hµm mÖnh ®Ò
§Þnh nghÜa: Mét mÖnh ®Ò cã chøa biÕn x, víi miÒn biÕn thiªn X, mµ
khi ta g¸n cho x mét phÇn tö x¸c ®Þnh cña tËp hîp X ta ®îc mét
mÖnh ®Ò cã gi¸ trÞ logic x¸c ®Þnh ®îc gäi lµ hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh
trªn tËp X.
* “NÕu x chia hÕt cho 6 th× x chi hÕt cho 3” lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c
®Þnh trªn tËp Z.
VÝ dô:
* p q lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn tËp hîp c¸c mÖnh ®Ò (p,q).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ta sÏ ký hiÖu “p(x), xX” ®Ó nãi r»ng p lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh
trªn tËp X. Khi ®· nãi tríc vÒ miÒn biÕn thiªn cña x th× ta viÕt ®¬n
gi¶n lµ p(x). B¶n th©n hµm mÖnh ®Ò p(x) kh«ng cã gi¸ trÞ logic, nhng
khi g¸n cho x mét phÇn tö cô thÓ cña tËp X th× nã cã gi¸ trÞ logic.
- TËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña tËp X mµ khi g¸n cho x mÖnh ®Ò p(x)
®óng gäi lµ miÒn ®óng cña hµm mÖnh ®Ò p(x) vµ ®îc ký hiÖu X®.
- TËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña tËp X mµ khi g¸n cho x mÖnh ®Ò
p(x) sai gäi lµ miÒn sai cña hµm mÖnh ®Ò p(x) vµ ®îc ký hiÖu Xs.
Ta cã: X® Xs = X ; X® Xs = .
VÝ dô: XÐt hµm mÖnh ®Ò “x2 - 3x + 2 = 0, x R”.
Khi ®ã: X® = {1; 2}, Xs = R\ {1; 2}.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Lîng tõ
Hai lîng tõ ®îc sö dông nhiÒu trong c¸c mÖnh ®Ò to¸n häc ®ã lµ
lîng tõ phæ biÕn vµ lîng tõ tån t¹i.
Tõ “víi mäi” ®îc ký hiÖu gäi lµ lîng tõ phæ biÕn. C¸c mÖnh ®Ò
sö dông lîng tõ ®îc viÕt díi d¹ng:
“ xX: p(x)” hoÆc “p(x), xX”.
MÖnh ®Ò “ xX: p(x)” ®óng nÕu miÒn ®óng cña p(x) lµ toµn bé tËp
X vµ sai nÕu miÒn sai cña p(x) kh¸c rçng.
Tõ “tån t¹i” ®îc ký hiÖu gäi lµ lîng tõ tån t¹i. C¸c mÖnh ®Ò sö
dông lîng tõ ®îc viÕt díi d¹ng:
“ xX: p(x)”.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
MÖnh ®Ò “ xX: p(x)” ®óng nÕu miÒn ®óng cña p(x) cã Ýt nhÊt mét
phÇn tö xX vµ sai nÕu miÒn sai cña p(x) lµ toµn bé tËp X.
Tõ ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò “xX: p(x)” vµ “ xX: p(x)”
ta suy ra:
. Phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò “xX: p(x)” lµ “ xX: p(x)”.
. Phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò “xX: p(x)” lµ “xX: p(x)”.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3. Logic suy luËn, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu kiÖn ®ñ
a) LuËt
Mçi lÜnh vùc khoa häc cã nh÷ng ®èi tîng riªng. C¸c kÕt luËn khoa
häc thêng mang tÝnh kh¸i qu¸t, ph¶n ¸nh nh÷ng mèi liªn hÖ mang
tÝnh quy luËt trong ph¹m vi mét tËp hîp nhÊt ®Þnh. C¸c kÕt luËn nh
vËy thêng ®îc ph¸t biÓu díi d¹ng c¸c hµm mÖnh ®Ò mµ miÒn
®óng cña nã lµ toµn bé tËp hîp ®ã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa: Mét hµm mÖnh ®Ò p(x), x¸c ®Þnh trªn tËp X, ®îc gäi lµ
mét luËt trªn tËp hîp ®ã nÕu miÒn ®óng cña nã lµ toµn bé tËp X
(miÒn sai lµ tËp rçng).
Nãi c¸ch kh¸c, p(x) lµ mét luËt trªn tËp hîp X nÕu mÖnh ®Ò
“ xX:p(x)” ®óng.
Mét luËt trªn tËp h¬p tÊt c¶ c¸c mÖnh ®Ò ®îc gäi lµ luËt logic.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô:
. MÖnh ®Ò “xR: x2 0” lµ mét luËt trªn tËp hîp c¸c sè thùc.
. MÖnh ®Ò “p p” lµ mét luËt logic. B¶ng logic díi ®©y cho thÊy
mÖnh ®Ò ®ã lu«n lu«n ®óng bÊt kÓ p lµ mÖnh ®Ò ®óng hay mÖnh ®Ò
sai:
p
0
1
p
1
0
p p
1
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: §Þnh nghÜa trªn cã thÓ ¸p dông cho hµm mÖnh ®Ò nhiÒu
biÕn nÕu ta gép mét bé n biÕn thµnh mét biÕn x. Mét luËt trªn
tËp hîp Xn (luËt chøa n biÕn, nhng c¶ n biÕn cã cïng miÒn
biÕn thiªn X) cã thÓ gäi lµ mét luËt trªn tËp hîp X.
VÝ dô:
. MÖnh ®Ò “ (x, y)R ta lu«n cã: x + y = y + x” lµ mét luËt trªn
R. §ã lµ luËt giao ho¸n cña phÐp céng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
. Hµm mÖnh ®Ò hai biÕn “p q (p q)” lµ mét luËt logic. B¶ng logic
dưíi ®©y cho thÊy mÖnh ®Ò ®ã lu«n lu«n ®óng víi (p, q) lµ cÆp
mÖnh ®Ò bÊt kú:
p
q
p
q
q p q p q p p (p q)
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu kiÖn ®ñ
Khi nghiªn cøu c¸c ®èi tîng trong ph¹m vi mét tËp hîp X, c¸c
nhËn ®Þnh mang tÝnh kh¸i qu¸t thêng ®îc ph¸t biÓu díi d¹ng c¸c
hµm mÖnh ®Ò chøa biÕn xX. C¸c mÖnh ®Ò mang tÝnh diÔn gi¶i cã
d¹ng:
xX: p(x) q(x)
(1.1)
Ta ®· biÕt r»ng mÖnh ®Ò (1.1) ®óng khi vµ chØ khi miÒn ®óng cña
hµm mÖnh ®Ò “p(x) q(x)” lµ toµn bé tËp X. Tuy nhiªn víi nh÷ng
phÇn tö xX mµ p(x) sai th× “p(x) q(x)” lu«n lu«n ®óng, do ®ã
mÖnh ®Ò (1.1) ®óng khi vµ chØ khi miÒn ®óng cña p(x) lµ tËp con cña
miÒn ®óng cña q(x), tøc lµ víi bÊt kú phÇn tö x X nµo mµ p(x)
®óng th× q(x) còng ®óng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
MÖnh ®Ò (1.1) thêng ®îc ph¸t biÓu nh sau:
. NÕu p(x) th× q(x),
. q(x) khi p(x),
. §iÒu kiÖn cÇn ®Ó p(x) lµ q(x),
. §iÒu kiªn ®ñ ®Ó q(x) lµ p(x).
Khi chøng minh mÖnh ®Ò (1.1), p(x) lµ gi¶ thiÕt cßn q(x) lµ kÕt luËn.
VÝ dô: Víi sè nguyªn x chia hÕt cho 6 ta chøng minh ®îc x chia hÕt
cho 3, khi ®ã ta ph¸t biÓu nh sau:
. NÕu x chia hÕt cho 6 th× x chia hÕt cho 3,
. x chia hÕt cho 3 khi x chia hÕt cho 6,
. §iÒu kiÖn cÇn ®Ó x chia hÕt cho 6 lµ x chia hÕt cho 3
. §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó x chia hÕt cho 3 lµ x chia hÕt cho 6.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ
NÕu p(x) võa lµ ®iÒu kiÖn cÇn, võa lµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó q(x) th× ta nãi:
. p(x) lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó q(x),
. p(x) khi vµ chØ khi q(x),
. p(x) t¬ng ®¬ng q(x).
Khi p(x) t¬ng ®¬ng q(x) ta ký hiÖu:
p(x) q(x)
(1.2)
HÖ thøc (1.2) cã nghÜa lµ víi mäi x X hai mÖnh ®Ò p(x) vµ q(x) cã
cïng gi¸ trÞ logic. Khi ®ã nÕu mét trong hai mÖnh ®Ò nµy cã mÆt
trong mét mÖnh ®Ò phøc hîp nµo ®ã ta cã thÓ thay mÖnh ®Ò nµy
b»ng mÖnh ®Ò kia mµ kh«ng lµm thay ®æi gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò
phøc hîp Êy.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4. Logic chøng minh mÖnh ®Ò
V× mçi mÖnh ®Ò logic chØ nhËn mét trong hai gi¸ trÞ: ®óng hoÆc sai
do ®ã chøng minh mét mÖnh ®Ò cã nghÜa lµ x¸c ®Þnh ®îc gi¸ trÞ
logic cña mÖnh ®Ò ®ã lµ ®óng.
a) C¨n cø ®Ó chøng minh mét mÖnh ®Ò
C¨n cø ®Ó chøng minh mÖnh ®Ò lµ c¸c mÖnh ®Ò ®óng. Cã hai lo¹i
mÖnh ®Ò ®îc sö dông lµm c¨n cø ®Ó chøng minh:
- C¸c mÖnh ®Ò ®îc thõa nhËn lµ ®óng: ®ã lµ c¸c mÖnh ®Ò ®Þnh
nghÜa vµ c¸c tiªn ®Ò,
- C¸c mÖnh ®Ò ®· ®îc chøng minh lµ ®óng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) PhÐp suy luËn ®óng
PhÐp suy luËn ®óng lµ phÐp suy luËn dùa trªn c¸c luËt logic
hoÆc luËt kÐo theo trªn mét tËp hîp X. LuËt kÐo theo trªn mét
tËp X cã d¹ng:
p(x) q(x)
(1.3)
Trong ®ã x lµ mét biÕn hoÆc mét bé gåm c¸c biÕn víi miÒn
biÕn thiªn lµ tËp X. Ta ®· biÕt r»ng hµm mÖnh ®Ò (1.3) lµ mét
luËt trªn tËp X nÕu miÒn ®óng cña nã lµ toµn bé tËp X, do ®ã
khi p(x) ®óng cã thÓ kÕt luËn r»ng q(x) ®óng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
B¶n th©n c¸c luËt logic vµ c¸c luËt trong ph¹m vi mét tËp hîp X
còng lµ c¸c mÖnh ®Ò ®îc chøng minh lµ ®óng vµ thêng ®îc ph¸t
biÓu díi d¹ng c¸c ®Þnh lý. C¸c ®Þnh lý ®ã ®îc thiÕt lËp tõ c¸c ®Þnh
nghÜa vµ hÖ th«ng tiªn ®Ò. Mçi ®Þnh lý ®îc chøng minh lµ c¨n cø
®Ó chøng minh c¸c ®Þnh lý kh¸c. §ã lµ logic ph¸t triÓn cña mäi hÖ
thèng lý thuyÕt trong khoa häc nãi chung vµ trong to¸n häc nãi
riªng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Mét sè luËt logic cÇn chó ý
p
;
p
p
p
1. LuËt bµi trung:
2. LuËt phñ ®Þnh cña phñ ®Þnh:
p
p
p
p
q
q
3. LuËt ®èi ngÉu:
p
q
p
q
(
p
q
q
(
)
p
)
4. LuËt ph¶n chøng:
5. LuËt giao ho¸n:
p
q
q
p
p
q
q
p
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6. LuËt kÕt hîp:
(
p
q
)
q
r
(
p
r
)
(
p
q
)
q
r
(
p
r
)
7. LuËt ph©n phèi:
p
p
(
(
q
q
q
q
r
r
)
)
(
(
p
p
)
)
(
(
p
q
r
)
)
r
p
q
p
(
q
)
8. LuËt
xpXx
:
)(
[
xpXx
:
])(
9. LuËt
xpXx
:
)(
xpXx
:
])(
[
10. LuËt
Ta cã thÓ chøng minh c¸c luËt nµy b»ng c¸ch lËp b¶ng gi¸ trÞ logic
(dµnh cho sinh viªn).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng II. Ma trËn - §Þnh thøc
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§1. Ma trËn
1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ ma trËn
a) Kh¸i niÖm ma trËn
§Þnh nghÜa: Mét b¶ng gåm mxn sè xÕp thµnh m hµng vµ n cét
®îc gäi lµ mét ma trËn cÊp mxn vµ ®îc ký hiÖu nh sau:
a
12
a
a
1
n
a
22
A
a
11
a
21
2
n
a
a
a
1
m
m
2
mn
C¸c sè
ija ®îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña ma trËn A. Cô thÓ
ija lµ phÇn
tö n»m trªn hµng i vµ cét j cña ma trËn A.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Ó kÝ hiÖu ma trËn ngêi ta thêng viÕt b¶ng sè bªn trong hai dÊu
ngoÆc vu«ng nh trªn hoÆc hai dÊu ngoÆc trßn.
§Ó nãi A lµ ma trËn cÊp mxn cã phÇn tö n»m ë hµng i cét j lµ
ija ta
A
viÕt
nmija
Khi
nm , ta cã ma trËn víi n hµng n cét, ta gäi nã lµ ma trËn vu«ng
cÊp n .
. Trong ma trËn vu«ng cÊp n :
a
11
a
12
a
1
n
a
a
22
A
a
21
2
n
a
a
a
n
2
nn
1
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
,
,
C¸c phÇn tö
gäi lµ c¸c phÇn tö chÐo. §êng th¼ng ®i
a
11
, 22
a
nna
qua c¸c phÇn tö chÐo gäi lµ ®êng chÐo chÝnh cña ma trËn, ®êng
chÐo cßn l¹i gäi lµ ®êng chÐo phô.
- Ma trËn vu«ng cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö n»m vÒ mét phÝa cña ®êng
chÐo chÝnh b»ng kh«ng gäi lµ ma trËn tam gi¸c. Cã hai lo¹i ma trËn
tam gi¸c:
a
11
0
a
12
a
a
1
n
a
a
11
a
0
a
0
0
22
22
vµ
2
n
0
0
a
21
a
a
a
nn
n
2
1
n
nn
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- Ma trËn vu«ng cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö n»m ngoµi ®êng chÐo chÝnh
b»ng kh«ng ®îc gäi lµ ma trËn chÐo. Ma trËn chÐo cÊp n cã d¹ng:
0
0
a
22
0
0
a
11
0
0
nna
a
Trêng hîp ®Æc biÖt, khi
1 ma trËn chÐo
a
11
22
nna
®îc gäi lµ ma trËn ®¬n vÞ. Ma trËn ®¬n vÞ ®îc ký hiÖu I hoÆc E:
0
1
I
1
0
0
1
0
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 1:
A
4321
8765
4
. 8
lµ mét ma trËn cÊp
a
11
a
21
42 víi c¸c phÇn tö:
a
a
, 1
, 2
, 3
13
14
, 6
, 7
a
a
, 5
24
23
a
12
a
22
2
1 B
VÝ dô 2:
3
lµ ma trËn cÊp 1x3 (cßn gäi lµ ma trËn hµng) víi c¸c phÇn tö:
,1
,2
3
.
b
11
b
12
b
13
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4
C
5
VÝ dô 3:
6
lµ ma trËn cÊp
13 (cßn gäi lµ ma trËn cét) víi c¸c phÇn tö:
,4
c
,5
c
6
.
c
11
31
21
b) Ma trËn kh«ng vµ ma trËn ®èi
. Ma trËn kh«ng lµ ma trËn cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö ®Òu b»ng kh«ng.
Ma trËn kh«ng ký hiÖu lµ 0 .
A
A
. Víi mçi ma trËn
ta ®Æt
. Ma trËn A ®îc gäi
nmija
nmija
lµ ma trËn ®èi cña ma trËn A.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Ma trËn b»ng nhau
§Þnh nghÜa: Hai ma trËn A vµ B gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã
,
B
cïng cÊp vµ c¸c phÇn tö cïng vÞ trÝ b»ng nhau, tøc lµ:
aA
nmij
b
nmij
1)
a
ij
b
ij
2) víi mäi i vµ mäi j .
BA .
Khi A b»ng B ta viÕt
ba
c
d
21
43
a
,1
b
,2
c
,3
d
4
VÝ dô:
cã nghÜa lµ .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. C¸c phÐp to¸n ®èi víi ma trËn
a) PhÐp céng ma trËn
[
aA
,
B
§Þnh nghÜa: Cho hai ma trËn
. Tæng cña hai
]
nmij
[
b
]
nmij
ma trËn A vµ B lµ mét ma trËn cÊp
nm , ký hiÖu
BA vµ ®îc x¸c
®Þnh nh sau:
BA
[
a
]
b
nmij
ij
Nh vËy muèn céng hai ma trËn cïng cì ta céng c¸c phÇn tö cïng
vÞ trÝ víi nhau.
VÝ dô:
2
4
1
.
2
4
6
1
3
15
25
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt: PhÐp céng ma trËn cã c¸c tÝnh chÊt sau:
(
CB
)
BA
AB
(
)
ACBA
A
0
0
AA
A
(
A
)
(
A
)
A
0
b) PhÐp nh©n ma trËn víi mét sè
A
§Þnh nghÜa: Cho ma trËn
, k lµ sè thùc bÊt kú. TÝch cña
nmija
ma trËn A víi sè k lµ mét ma trËn cÊp
nm , ký hiÖu kA vµ ®îc x¸c
®Þnh nh sau:
kA
[
]
nmijka
Nh vËy, muèn nh©n mét ma trËn víi mét sè ta nh©n tÊt c¶ c¸c
phÇn tö cña ma trËn víi sè ®ã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
43
41
86
82
VÝ dô:
TÝnh chÊt: PhÐp nh©n ma trËn víi mét sè cã c¸c tÝnh chÊt sau:
BAk
(
)
(
Ahk
)
kA
kA
kB
hA
hAk
(
)
Akh
(
)
.1
A
A
.0
A
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
,
§Þnh nghÜa: Cho hai ma trËn
. TÝch cña ma
c) PhÐp nh©n ma trËn víi ma trËn
aA
bB
nmij
pnij
pm , ký hiÖu AB vµ ®îc
AB
x¸c ®Þnh nh sau:
trËn A víi ma trËn B lµ mét ma trËn cÊp
pmijc
n
c
ij
ba
11
i
j
ba
22
i
j
ba
in
nj
ba
kj
ik
trong ®ã:
,
k
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
C¸ch tÝnh ijc cã thÓ h×nh dung b»ng s¬ ®å sau:
b
1
j
b
2
j
a
a
a
1
i
i
2
in
b
nj
vµ cã thÓ nãi t¾t: ijc b»ng hµng i cña A nh©n víi cét j cña B .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô:
4
1
3
2
3
2
12
8
4
11
1
3
2
2
3
18
14
2
9
18
10
1
1
3
1
2
2
4
3
1
0
4
5
1
8
4
1
0
2
1
0
1
2
3
6
3
4
0
1
2
1
1
12
3
8
2
10
16
2
3
4
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý:
AB (
A
- Muèn nh©n
bªn tr¸i, B bªn ph¶i) ph¶i cã ®iÒu kiÖn: sè cét
BBA(
cña A b»ng sè hµng cña B. Muèn nh©n
bªn tr¸i, A bªn ph¶i)
ph¶i cã ®iÒu kiÖn: sè cét cña B b»ng sè hµng cña A. Do ®ã khi
nh©n AB ®îc cha ch¾c ®· nh©n BA ®îc. Trêng hîp ®Æc biÖt khi
A vµ B lµ hai ma trËn vu«ng cïng cÊp th× nh©n AB vµ BA ®Òu ®îc.
AB
. Khi nh©n AB vµ BA ®îc, cha ch¾c ®· cã
.
BA
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt: PhÐp nh©n ma trËn víi ma trËn cã tÝnh chÊt sau
(
)
CBA
ACB
(
)
AB
BA
AC
CA
(
BCA
)
(
)
CAB
(
BCk
)
(
kCBCkB
(
)
)
IA
A
;
BI
B
§Æc biÖt, trong tËp c¸c ma trËn vu«ng cïng cÊp ta cã:
AI
IA
A
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3. Ma trËn chuyÓn vÞ
A
§Þnh nghÜa: XÐt ma trËn
, nÕu chuyÓn c¸c hµng cña A
nmija
thµnh c¸c cét víi thø tù t¬ng øng (khi ®ã c¸c cét trë thµnh hµng víi
thø tù t¬ng øng) ta ®îc ma trËn míi gäi lµ ma trËn chuyÓn vÞ cña
A, ký hiÖu lµ
tA .
t
A
a
Nh vËy
.
mnji
VÝ dô:
32
A
01
tA
th×
412
503
54
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4. ChuyÓn vÞ cña tÝch hai ma trËn
A
,
B
Gi¶ sö
. Qua phÐp chuyÓn vÞ ta cã:
b
a
ij
pn
t
t
B
A
,
b
nmij
a
ji
ji
np
mn
t
t AB
V× vËy ta cã thÓ nh©n
®îc.
t
t
AB )
(
§Þnh lý:
A
,
B
Chøng minh. Víi hai ma trËn:
t
AB
a
b
ij
nmij
pn
c
AB
C
trong ®ã
ij
ba
ik
kj
pmijc
n
1
k
t
a
A
Ta cã:
trong ®ã
t
a
ij
ji
t
ij
t
B
b
trong ®ã
t
b
ij
ji
a
b
mn
t
ij
np
t
C
c
c
trong ®ã
c
t
ij
t
ij
ji
ba
jk
ki
np
n
1
k
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
t
t
d
t
AB
t AB
Do ®ã cã thÓ nh©n
vµ
trong ®ã
dD
ij
t
ab
ik
t
kj
ij
mp
n
1
k
n
n
d
c
c
Ta nhËn thÊy:
ij
ab
ki
jk
ba
jk
ki
ji
t
ij
k
1
k
1
t
t
t
t
AB
C
(
AB
)
Do ®ã:
§Þnh lý ®îc chøng minh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
A
,
B
21
41
12
13
VÝ dô:
8
14
t
AB
(,
AB
)
3
5
14
3
5
8
t
t
A
,
B
11
42
32
11
14
t
t
AB
5
8
3
Ta cã
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§2. §Þnh thøc
1. §Þnh thøc cña ma trËn vu«ng
XÐt ma trËn vu«ng cÊp n :
j
a
11
a
a
12
a
a
1
a
a
1
n
a
j
2
22
A
a
a
a
ij
2
i
21
2
n
a
1
i
in
a
a
a
a
1
n
n
2
nj
nn
Ta chó ý ®Õn phÇn tö
ija , bá ®i hµng thø i vµ cét thø j ta thu ®îc
1n
ma trËn cÊp
. Ta ký hiÖu nã lµ
ijM vµ gäi nã lµ ma trËn con øng
víi phÇn tö ija .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
A
21
23
22
Ch¼ng h¹n, víi:
a
12
a
a
a
13
a
a
a
11
a
a
31
32
33
ta cã:
22
23
21
23
21
22
M
,
M
,
M
11
12
13
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
32
33
31
33
31
32
M
,
M
,
M
21
22
23
a
12
a
a
13
a
a
11
a
a
13
a
a
11
a
a
12
a
32
33
31
33
31
32
a
13
M
,
M
,
M
31
32
33
a
12
a
a
13
a
a
11
a
a
12
a
a
11
a
a
22
23
21
22
21
23
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)
§Þnh nghÜa: §Þnh thøc cña ma trËn A, ký hiÖu lµ
det( A , ®îc ®Þnh
nghÜa dÇn dÇn nh sau:
NÕu A lµ ma trËn cÊp 1:
A
det(
A
)
th×
.
a
11
11a
NÕu A lµ ma trËn cÊp 2:
A
a
11
a
a
12
a
21
22
det(
aA
)
det(
M
)
det(
M
)
th×
.
11
a
12
11
12
aa
11
22
aa
12
21
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
a
11
a
a
12
a
a
1
n
a
22
A
21
2
n
a
a
a
1
n
n
2
nn
n
det(
A
)
det(
M
)
det(
M
)
det(
M
)
1
1
Mét c¸ch tæng qu¸t, nÕu A lµ ma trËn cÊp n :
a
11
11
a
12
12
a
1
n
n
1
§Ó ký hiÖu ®Þnh thøc, ngêi ta dïng hai g¹ch ®øng ®Æt ë hai bªn:
,
21
23
22
a
11
a
a
12
a
21
22
a
11
a
a
a
12
a
a
a
13
a
a
31
32
33
§Þnh thøc cña ma trËn cÊp n gäi lµ ®Þnh thøc cÊp n .
th× . (2.1)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
21
2.34.1
2
43
1
2
3
1
2
3
5
6
98
64
7
9
4
7
5
8
4
7
5
6
98
45(1
(2)48
36
32(3)42
)35
240
§èi víi ®Þnh thøc cÊp 3 ta cã thÓ tÝnh theo quy t¾c ®êng chÐo nh sau:
A
a
11
a
a
12
a
a
13
a
Cho A lµ ma trËn cÊp 3:
21
22
a
a
31
32
23
a
33
VÝ dô:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Theo ®Þnh nghÜa ta cã:
det(
A
)
det(
M
)
det(
M
)
det(
M
)
a
11
11
a
12
a
13
12
13
a
a
a
a
a
a
22
21
21
a
11
a
12
a
13
a
31
23
a
33
a
31
22
a
33
a
32
23
a
33
aaa
aaa
aaa
11
22
33
aaa
12
23
31
32
21
13
31
22
13
aaa
12
21
33
aa
32
23
+ Ba thµnh phÇn mang dÊu (+) lµ: tÝch c¸c phÇn tö thuéc ®êng
chÐo chÝnh; tÝch cña hai phÇn tö n»m trªn mçi ®êng song song víi
®êng chÐo chÝnh vµ phÇn tö ë gãc ®èi diÖn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
+ Ba thµnh phÇn mang dÊu (-) ®îc thµnh lËp hoµn toµn t¬ng tù
Quy t¾c ®êng chÐo ®îc biÓu diÔn theo s¬ ®å sau:
***
***
***
***
***
***
VÝ dô:
9.5.1
7.6.2
3.5.73).8)(4(
9.2).4(
1.6).8(
240
1
4
2
5
3
6
7
8
9
nhng theo ®êng chÐo phô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc
det(
A
)
det(
tA
)
TÝnh chÊt 1.
.
VÝ dô:
21
31
2
;
2
43
42
HÖ qu¶: Mét tÝnh chÊt ®· ®óng khi ph¸t biÓu vÒ hµng cña ®Þnh thøc
th× nã vÉn cßn ®óng khi trong ph¸t biÓu ta thay hµng b»ng cét.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 2. §æi chç hai hµng (hay hai cét) cña mét ®Þnh thøc ta
®îc mét ®Þnh thøc míi b»ng ®Þnh thøc cò ®æi dÊu.
VÝ dô:
2
;
2
21
43
43
21
TÝnh chÊt 3. Mét ®Þnh thøc cã hai hµng (hay hai cét) nh nhau th×
b»ng kh«ng.
TÝnh chÊt 4. Dùa vµo ®Þnh nghÜa (2.1) vµ ¸p dông tÝnh chÊt 2 ta suy
ra
A
)
det(
det(
)
det(
)
(2.2)
1
i
a
)1(
det(
i
1
aM
)
i
1
i
2
M
i
2
a
in
M
in
C«ng thøc (2.2) gäi lµ khai triÓn cña ®Þnh thøc theo hµng i .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ta cã c«ng thøc khai triÓn ®Þnh thøc theo cét j
j
det(
A
)
1
)1(
det(
M
)
a
det(
M
)
a
det(
M
(2.3)
a
)
2
j
1
j
1
j
2
j
nj
nj
1
4
2
5
3
6
VÝ dô: XÐt
7
8
9
240
ë vÝ dô trªn ta ®· t×m ®îc
.
B©y giê ¸p dông khai triÓn ®Þnh thøc theo hµng 3 ta cã
32
1
3
1
2
13
)1(
7
)8(
9
12(7
6(8)15
)85(9)12
240
¸p
65
64
54
dông khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 2 ta còng cã
64
31
1
3
21
)1(
2
5
)8(
(2
36
9(5)42
6(8)21
)12
240
7
9
97
64
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 5. Mét ®Þnh thøc cã mét hµng (hay mét cét) toµn sè
kh«ng th× b»ng kh«ng.
§ã lµ hÖ qu¶ cña c¸c c«ng thøc (2.2) vµ (2.3).
TÝnh chÊt 6. Khi nh©n c¸c phÇn tö cña mét hµng (hay mét cét) víi
cïng mét sè k th× ®îc mét ®Þnh thøc míi b»ng ®Þnh
thøc cò nh©n víi k .
§ã còng lµ hÖ qu¶ cña c¸c c«ng thøc (2.2) vµ (2.3).
HÖ qu¶: Tõ tÝnh chÊt 6 ta suy ra nhËn xÐt sau: khi c¸c phÇn tö cña
mét hµng (hay mét cét) cã thõa sè chung, ta cã thÓ ®a thõa sè
chung ®ã ra ngoµi dÊu ®Þnh thøc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
32
32
4
)34(4
4
VÝ dô:
84
21
TÝnh chÊt 7. Mét ®Þnh thøc cã hai hµng (hay hai cét) tØ lÖ th× b»ng kh«ng.
ThËt vËy, ®a hÖ sè tØ lÖ ra ngoµi dÊu ®Þnh thøc th× ®îc mét ®Þnh
thøc cã hai hµng (hay hai cét) nh nhau nªn nã b»ng kh«ng.
TÝnh chÊt 8. Khi tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña mét hµng (hay mét cét) cã
d¹ng tæng cña hai sè h¹ng th× ®Þnh thøc cã thÓ ph©n tÝch thµnh tæng
cña hai ®Þnh thøc, ch¼ng h¹n nh:
11
11
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
21
a
12
12
a
22
22
21
12
22
21
12
22
a
a
a
a
a
a
11
12
11
12
a
11
11
a
a
12
12
a
a
a
a
a
21
22
21
22
21
22
§ã lµ hÖ qu¶ cña c¸c c«ng thøc (2.2) vµ (2.3).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 9. Céng vµo c¸c phÇn tö cña mét hµng (hoÆc cét) c¸c
phÇn tö t¬ng øng cña mét hµng (cét) kh¸c sau khi ®· nh©n víi
cïng mét sè th× ®Þnh thøc kh«ng thay ®æi.
312
754
1
3)2(71)2(52)2(4
2
3
312
130
VÝ dô:
516
6
1
5
516
TÝnh chÊt 10. C¸c ®Þnh thøc cña ma trËn tam gi¸c b»ng tÝch c¸c
a
12
a
a
1
n
a
0
a
22
22
a
a
phÇn tö chÐo.
aa
11
22
nn
aa
11
22
nn
a
11
0
2
n
0
a
11
0
a
21
0
0
a
a
a
a
nn
1
n
n
2
nn
,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Ó chøng minh ta dùa vµo khai triÓn (2.2) vµ (2.3).
VÝ dô:
7.5.1
35
321
450
700
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§3. C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh ®Þnh thøc
1. Ph¬ng ph¸p khai triÓn
Ph¬ng ph¸p khai triÓn lµ ph¬ng ph¸p sö dông c¸c c«ng thøc (2.2)
vµ (2.3).
B©y giê ta ®a vµo kh¸i niÖm phÇn bï ®¹i sè, khi ®ã c¸c c«ng thøc
nµy ®îc viÕt ®¬n gi¶n h¬n.
a) Kh¸i niÖm phÇn bï ®¹i sè
a
1
n
a
12
a
a
22
A
a
11
a
21
2
n
a
a
a
n
2
nn
1
n
Cho ma trËn vu«ng cÊp n:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
ë phÇn trªn ta ®· gäi ma trËn
ijM suy ra tõ A b»ng c¸ch bá ®i hµng
j
C
i
)1(
det(
M
)
i cét lµ ma trËn con øng víi phÇn tö
lµ
ij
ij
ija .Ta gäi
phÇn bï ®¹i sè cña phÇn tö ija .
Víi c¸c ký hiÖu ®ã c«ng thøc (2.2) kÕt hîp víi tÝnh chÊt 3 cña ®Þnh
thøc ta cã:
)
A
Ca
1
k
1
i
Ca
2
k
i
2
Ca
kn
in
khi
khi
k
k
i
i
(2.4)
det(
0
KÕt hîp c«ng thøc (2.3) víi tÝnh chÊt 3 ta cã:
det(
)
A
khi
k
j
Ca
1
1
k
j
Ca
2
k
2
j
Ca
nk
nj
0
khi
k
j
(2.5)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VËy c«ng thøc tÝnh ®Þnh thøc b»ng c¸ch khai triÓn theo hµng i hoÆc
cét j bÊt kú ®îc viÕt l¹i nh sau:
det(
)
A
...
+ Khai triÓn theo hµng i :
(2.6)
Ca
1
i
1
i
Ca
2
i
i
2
Ca
in
in
det(
)
A
...
+ Khai triÓn theo cét j :
(2.7)
Ca
1
1
j
j
Ca
2
j
2
j
Ca
nj
nj
VÝ dô: TÝnh ®Þnh thøc sau:
1
241
d =
2
0
131
002
1
101
Khai triÓn ®Þnh thøc ®ã theo hµng 3 ta ®îc:
241
23
)1.(2
132
14
d =
101
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi vÒ d¹ng tam gi¸c
§Ó tÝnh mét ®Þnh thøc ta cã thÓ ¸p dông mét sè tÝnh chÊt cña nã ®Ó
®a ®Þnh thøc vÒ d¹ng tam gi¸c.
VÝ dô: H·y tÝnh
0
3
2
1
5
96
6
1
3
96
0
5
1
Ta cã
(®æi chç hµng 1 vµ hµng 2)
2
6
1
3
1
0
32
1
5
=
(®a thõa sè 3 ë hµng 1 ra ngoµi)
2
6
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1
0
2
1
3
5
3
=
(céng -2 lÇn hµng 1 vµo hµng 3)
0
10
5
3
=
(céng -10 lÇn hµng 2 vµo hµng 3)
1
0
0
2
1
0
3
5
55
.(1.1.3
)55
165
Chó ý: Còng cã thÓ xÐt c¸c biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ cét vµ ¸p dông
chóng ®Ó tÝnh ®Þnh thøc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. §Þnh thøc cña tÝch hai ma trËn
§Þnh lÝ: NÕu A vµ B lµ hai ma trËn cïng cÊp th× cã:
det(
AB
)
det(
A
)
det(
B
)
.
VÝ dô: Cho
A
B
13
12
31
5
8
AB
2
3
17
14
det(
A
,1)
det(
B
)
,23
det(
AB
)
23
Khi ®ã
det(
AB
)
det(
A
)
det(
B
)
Ta thÊy:
VËy râ rµng: .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§4. Ma trËn nghÞch ®¶o
1. Kh¸i niÖm ma trËn nghÞch ®¶o
BA
AB
I
§Þnh nghÜa: Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n. NÕu tån t¹i ma trËn
vu«ng B cÊp n sao cho:
trong ®ã I lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp n th× ta nãi A kh¶ ®¶o vµ gäi B lµ
ma trËn nghÞch ®¶o cña A.
Ngêi ta ký hiÖu ma trËn nghÞch ®¶o cña A lµ
1A , nghÜa lµ:
1
1
IAA
AA
.
A
1A
1
21
21
43
2
23
VÝ dô: th×
2
23
1
21
21
43
01
10
1
21
01
10
2
23
21
43
v×:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Sù duy nhÊt cña ma trËn nghÞch ®¶o
§Þnh lý: Ma trËn nghich ®¶o
1A cña A nÕu cã th× chØ cã mét mµ th«i.
ThËt vËy,gi¶ sö B vµ C ®Òu lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña A, tøc lµ:
AB
BA
I
AC
CA
I
,
(
ACB
)
BI
B
(
CBA
)
IC
C
Khi ®ã ta cã:
vµ
Do phÐp nh©n ma trËn cã tÝnh chÊt kÕt hîp nªn ta suy ra
CB
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3. Sù tån t¹i cña ma trËn nghÞch ®¶o vµ biÓu thøc cña nã
XÐt ma trËn:
a
12
a
a
1
n
a
22
A
a
11
a
21
2
n
a
a
a
n
2
nn
1
n
det(
A
)
0
§Þnh lÝ: NÕu
th× ma trËn A cã nghÞch ®¶o
1A tÝnh bëi c«ng
thøc sau:
1
n
21
11
C
C
C
C
22
t
A
1
C
1
det(
)
A
1
det(
)
A
C
C
nn
2
n
C
C
12
2
n
C
1
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Mét ma trËn vu«ng cã ®Þnh thøc kh¸c kh«ng ®îc gäi lµ ma trËn
Chøng minh. Nh©n
tAC vµ ¸p dông c«ng thøc (2.4) ta ®îc:
det(
A
)
0
0
det(
A
)
AC t
0
0
0
0
det(
A
)
AC t
Nh©n
vµ ¸p dông c«ng thøc (2.5) ta còng ®îc kÕt qu¶ nh vËy.
1
0
...
0
0
1
...
0
t
AC
t
AC
I
Do ®ã:
...
...
1
det(
)
A
1
det(
)
A
0
0
...
1
...
...
vµ ®Þnh lý ®îc chøng minh.
kh«ng suy biÕn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
A
321
352
801
det(
A
01
)
VÝ dô 1: Cho
C
40
C
13
C
5
11
12
13
C
16
C
5
C
2
21
22
23
C
9
C
3
C
1
31
32
33
C
tC
Ta cã:
40
16
9
13
5
3
5
2
1
40
13
5
16
5
2
9
3
1
A
1
tC
Do ®ã:
1
1
40
13
5
16
5
2
9
3
1
VËy:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 2: XÐt ma trËn cÊp 2
A
ba
dc
det(
A
)
ad
bc
0
NÕu
th×:
A
1
d
c
b
a
1
ad
bc
C
C
11
12
C
V×
C
d
b
c
a
21
22
C
C t
Do ®ã:
d
c
b
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4. T×m ma trËn nghÞch ®¶o b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp:
a) C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp:
C¸c phÐp biÕn ®æi sau ®©y ®èi víi ma trËn ®îc gäi lµ c¸c phÐp
biÕn ®æi s¬ cÊp:
1) Nh©n c¸c phÇn tö cña hµng (hoÆc cét) víi sè kh¸c kh«ng.
2) §æi chç hai hµng (hoÆc hai cét).
3) Céng vµo c¸c phÇn tö cña mét hµng (hoÆc cét) c¸c phÇn tö
t¬ng øng cña mét hµng (cét) kh¸c sau khi ®· nh©n víi cïng
mét sè.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
a) T×m ma trËn nghÞch ®¶o b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp
§Ó t×m ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A (cÊp n ) ta ghÐp ma trËn
®¬n vÞ I cÊp n bªn c¹nh ma trËn A, khi ®ã ta ®îc ma trËn cÊp
C
[
IA
]
n
)2( n
:
Sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng ®Ó ®a ma trËn C vÒ d¹ng:
[ BI
]
Khi ®ã ma trËn B chÝnh lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A.
VÝ dô: T×m ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn sau b»ng biÕn ®æi s¬
A
cÊp:
321
352
801
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Toµn bé qu¸ tr×nh biÕn ®æi ®îc thÓ hiÖn trong b¶ng sau:
L1
L2
L3
L
L
1
L
2
L
2
L
2
L
11
3
3
2
L
L
L
2
3
3
1
L
L
3
3
L
L
L
3
3
L
3
L
1
L
1
3
2
2
2
L
L
L
1
2
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
-2 1 0
-1 0 1
1 0 0
-2 1 0
-5 2 1
1 0 0
-2 1 0
5 -2 -1
-1 4 63
13 -5 -3
5 -2 - 1
-0 16 9
-3
13 -5
1 2 3
2 5 3
1 0 8
1 2 3
0 1 -3
0 -2 5
1 2 3
0 1 -3
0 0 -1
1 2 3
0 1 -3
0 0 1
1 2 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
5 - 2 - 1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1A
40
13
5
16
5
2
9
3
1
VËy
Ph¬ng ph¸p nãi trªn cßn gäi lµ ph¬ng ph¸p Gauss- Jordan.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5. Ma trËn nghÞch ®¶o cña tÝch hai ma trËn
§Þnh lÝ: Cho A vµ B lµ hai ma trËn vu«ng cïng cÊp. Gi¶ sö A vµ B
lµ hai ma trËn kh¶ ®¶o. khi ®ã AB còng kh¶ ®¶o vµ
1
(
AB
1)
1
AB
Chøng minh. Ta cã
1
1
1
1
1
(
)
ABAB
(
BBA
)
A
AIA
I
1
1
1
1
1
AB
(
AB
)
B
(
IBBBAA
)
I
1
AB
1
VËy AB kh¶ ®¶o vµ
lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña AB .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh lÝ: NÕu A lµ ma trËn kh¶ ®¶o vµ cã nghÞch ®¶o
1A th×:
(
A
1)
1
A
1)
1A còng kh¶ ®¶o vµ
.
m
1
m
(
A
1
)
(
A
)
,
m
2) mA còng kh¶ ®¶o vµ
nguyªn d¬ng.
1
(
kA
)
0k
ta cã kA còng kh¶ ®¶o vµ
.
3.
1
A
1
k
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6. øng dông cña ma trËn nghÞch ®¶o
Trong tËp c¸c ma trËn vu«ng cÊp n ta xÐt c¸c ph¬ng tr×nh:
AX = B
(2.8)
(2.9)
YA = B
Trong ®è A vµ B lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n cho tríc.
X = A-1B
(2.10)
NÕu A cã ma trËn nghÞch ®¶o, nh©n hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2.8)
víi A-1 vÒ bªn tr¸i ta ®îc:
T¬ng tù nh©n hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2.9) víi A-1 vÒ bªn ph¶i ta
®îc:
Y = B A-1
(2.11)
Nh vËy, khi ma trËn A cã ma trËn nghÞch ®¶o th× mçi ph¬ng tr×nh
(2.8) vµ (2.9) cã mét nghiÖm duy nhÊt ®îc x¸c ®Þnh theo c¸c c«ng
thøc (2.10) vµ (2.11).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
65
A
B
VÝ dô: Cho hai ma trËn:
;
87
21
43
det(
A
)
2
V×
nªn ma trËn A cã nghÞch ®¶o:
4
2
1A
3
1
1
2
Ph¬ng tr×nh AX = B cã mét nghiÖm duy nhÊt:
4
2
65
6
8
3
4
X
3
1
87
8
10
4
5
1
2
1
2
Ph¬ng tr×nh YA = B cã mét nghiÖm duy nhÊt:
65
4
2
2
4
1
2
Y
87
3
1
4
6
2
3
1
2
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý:
p
+) C«ng thøc (2.10) cã thÓ ¸p dông ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh (2.8) khi B
n bÊt kú. T¬ng tù, c«ng thøc (2.11) cã thÓ ¸p
lµ ma trËn cÊp
nq bÊt kú.
dông ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh (2.9) khi B lµ ma trËn cÊp
+) NÕu ma trËn A kh«ng cã nghÞch ®¶o ta cã thÓ gi¶i c¸c ph¬ng
tr×nh (2.8) vµ (2.9) b»ng c¸ch quy vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi
c¸c Èn sè lµ c¸c phÇn tö cña ma trËn ph¶i t×m mµ ta sÏ nghiªn cøu
ë ch¬ng sau.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§5. h¹ng cña ma trËn
1. H¹ng cña ma trËn
XÐt ma trËn cÊp
nm
a
12
a
a
1
n
a
22
A
a
11
a
21
2
n
a
a
a
1
m
m
2
mn
min
Gäi p lµ sè nguyªn d¬ng
.
nm,
§Þnh nghÜa 5.1. Ma tr©n vu«ng cÊp p suy ra tõ A b»ng c¸ch bá ®i
p
pm hµng vµ
n cét gäi lµ ma trËn con cÊp p cña A. §Þnh thøc
cña ma trËn con ®ã gäi lµ ®Þnh thøc con cÊp p cña A.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: XÐt ma trËn
1
43
2
2
11
A
4
1
12
2
.3,2,1p
4,3min
Ta cã
3
, vËy
1
2
3
1
4
1
1
2
4
1
2
4
;0
243
411
;0
1
23
412
0
;0
1
2
1
11
2
12
2
1
2
2
C¸c ®Þnh thøc con cÊp hai lµ
;7
5
C¸c ®Þnh thøc con cÊp 3 cña A lµ:
1
2
3
1
1
1
3
2
;...
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa: H¹ng cña ma trËn A lµ cÊp cao nhÊt cña ®Þnh thøc con
kh¸c kh«ng cña A.
Ta ký hiÖu h¹ng cña ma trËn A lµ
( A .
)
A
)
(
2
VÝ du: XÐt ma tr©n A ë vÝ dô trªn. Ta thÊy c¸c ®Þnh thøc con cÊp ba ®Òu
b»ng kh«ng, nhng cã ®Þnh thøc con cÊp hai kh¸c kh«ng. VËy .
)
A
(
(
tA
)
V× phÐp chuyÓn vÞ kh«ng lµm thay ®æi c¸c ®Þnh thøc con nªn ta lu«n
cã:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. T×m h¹ng cña ma trËn b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp
a) Ma trËn bËc thang: §ã lµ nh÷ng ma trËn cã hai tÝnh chÊt sau
1) C¸c hµng kh¸c kh«ng (lµ hµng cã Ýt nhÊt 1 phÇn tö kh¸c kh«ng)
lu«n ë trªn c¸c hµng kh«ng (lµ hµng cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö b»ng
kh«ng), nÕu nh trong ma trËn ®ã cã hµng kh«ng.
2) Trªn hai hµng kh¸c kh«ng th× phÇn tö kh¸c kh«ng ®Çu tiªn ë
hµng díi bao giê còng ë bªn ph¶i cét chøa phÇn tö kh¸c kh«ng
®Çu tiªn ë hµng trªn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
A
,
B
,
C
4321
6500
4321
6500
321
540
7000
0000
600
Ch¼ng h¹n c¸c ma trËn sau cã d¹ng bËc thang:
A
)
(
3
Ta thÊy ®Þnh thøc con kh¸c kh«ng cÊp cao nhÊt trong ma trËn A lµ
B
)
(
2
3, vËy , nã b»ng sè hµng kh¸c kh«ng cña A, cßn ®Þnh thøc
con kh¸c kh«ng cÊp cao nhÊt trong ma trËn B lµ 2, vËy , nã
C
3)
(
b»ng sè hµng kh¸c kh«ng cña B , vµ ®Þnh thøc con kh¸c kh«ng cÊp
cao nhÊt trong ma trËn C lµ 3, vËy , nã b»ng sè hµng kh¸c
kh«ng cña C .
Chó ý: H¹ng cña ma trËn d¹ng bËc thang b»ng sè hµng kh¸c kh«ng
cña nã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) T×m h¹ng cña ma tr©n b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp
Do c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng kh«ng lµm thay ®æi tÝnh
kh¸c kh«ng hay b»ng kh«ng cña c¸c ®Þnh thøc con cña ma
trËn, nªn kh«ng thay ®æi h¹ng cña ma trËn. V× vËy ta cã thÓ
¸p dông chóng ®Ó ®a mét ma trËn vÒ d¹ng bËc thang råi ¸p
dông chó ý trªn ®Ó suy ra h¹ng cña ma trËn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: Cho ma trËn
A
1
2
1
3
1
2
4
1
1
2
4
2
¸p dông c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng ta cã:
1
2
1
3
11
2
1
24
4
2
1
0
0
3
7
5
24
0
7
5
0
1
0
0
3
24
7
7
0
00
0
B¶ng sè cuèi cïng lµ mét ma tr©n bËc thang cã hai hµng kh¸c
kh«ng.
A
)
(
2
VËy
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng III
HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
1. HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t
,
x
,...,
HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t cña n Èn sè
cã d¹ng:
x
1
2
nx
(3.1)
xa
b
1
nn
1
xa
b
2
2
nn
2
.............
b
m
xa
nmn
xa
22
m
xa
xa
11
1
12
2
xa
xa
1
21
22
........
xa
11
m
trong ®ã
ija vµ
ija lµ hÖ sè cña Èn
jx ë
ib lµ c¸c h»ng sè cho tríc:
ph¬ng tr×nh thø i , ib ®îc gäi lµ sè h¹ng tù do cña ph¬ng tr×nh thø
i
,1
;
jm
,1
n
i (
).
Khi tÊt c¶ c¸c
ta cã mét hÖ thuÇn nhÊt, ngîc l¹i hÖ ®îc gäi
0ib
lµ kh«ng thuÇn nhÊt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
XÐt ma trËn c¸c hÖ sè ija cña hÖ (3.1)
a
11
a
a
12
a
a
1
n
a
22
A
21
2
n
a
a
a
1
m
m
2
mn
®îc gäi lµ ma trËn hÖ sè cña hÖ. NÕu ghÐp thªm vµo A cét sè
h¹ng tù do ta cã ma trËn:
a
12
a
11
a
a
a
1
n
a
A
22
....
a
1
m
m
2
b
1
b
n
2
2
.....
b
a
m
mn
21
...
a
®îc gäi lµ ma trËn më réng cña hÖ.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NÕu ®Æt:
x
1
B
X
x
x
;
t
t
b
1
b
2
b
m
x
1
2
n
b
1
b
2
x
2
x
n
b
m
Khi ®ã hÖ (3.1) ®îc viÕt díi d¹ng ph¬ng tr×nh ma trËn nh sau:
BXA .
(3.2)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. NghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
,...,
...
c
c
x
x
,
,
,
) mµ khi g¸n
,
cc
1
nc
c
1
x
1
2
n
2
n
2
§Þnh nghÜa: NghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (3.1) lµ mét bé
n sè cã thø tù (
vµo tÊt
c¶ c¸c ph¬ng tr×nh cña hÖ ta ®îc c¸c ®¼ng thøc ®óng.
3. HÖ t¬ng ®¬ng
§Þnh nghÜa: Hai hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi c¸c Èn sè nh nhau
®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm, tøc lµ mçi
nghiÖm cña hÖ nµy ®ång thêi lµ nghiÖm cña hÖ kia vµ ngîc l¹i
(hoÆc c¶ hai hÖ ®Òu v« nghiÖm).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4. C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp
§Þnh nghÜa: C¸c phÐp biÕn ®æi sau ®©y ®èi víi mét hÖ ph¬ng tr×nh
tuyÕn tÝnh ®îc gäi lµ c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp:
1. §æi chç hai ph¬ng tr×nh bÊt kú cho nhau.
2. Nh©n hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh cña hÖ víi mét sè kh¸c kh«ng.
3. Céng vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh hai vÕ t¬ng øng cña mét
ph¬ng tr×nh kh¸c sau khi ®· nh©n víi mét sè bÊt kú.
§Þnh lý: C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp biÕn mét hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn
tÝnh thµnh mét hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh t¬ng ®¬ng víi nã.
ViÖc chøng minh ®Þnh lý nµy dµnh cho b¹n ®äc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5. HÖ tam gi¸c vµ hÖ h×nh thang
a) HÖ tam gi¸c
Lµ hÖ cã d¹ng:
xa
11
1
xa
12
2
xa
22
(3.3)
2
....
b
xa
1
nn
1
xa
b
2
2
nn
.........
xa
nn
n
b
n
,
...
,
Trong ®ã tÊt c¶ c¸c hÖ sè
®Òu kh¸c kh«ng. §©y lµ hÖ cã
a
11
, 22
a
nna
sè ph¬ng tr×nh b»ng sè Èn vµ theo thø tù tõ trªn xuèng c¸c Èn sè
mÊt dÇn. Ph¬ng tr×nh cuèi cho ngay nx , ph¬ng tr×nh liÒn trªn cho
1nx
,..., ph¬ng tr×nh ®Çu cho 1x . HÖ (3.3) cã nghiÖm duy nhÊt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) HÖ h×nh thang
...
xa
11
1
...
xa
12
2
xa
22
xa
1
nn
xa
2
nn
b
1
b
2
Lµ hÖ cã d¹ng:
(3.4)
xa
1
mm
xa
2
mm
.........
2
....
a
x
...
mm
m
xa
nmn
b
m
(0
i
,1
m
)
trong ®ã
vµ
nm . HÖ h×nh thang còng cã ®Æc ®iÓm
aii
,...,
x
,
gièng hÖ tam gi¸c lµ theo thø tù tõ trªn xuèng c¸c Èn sè mÊt dÇn,
nhng hÖ h×nh thang cã sè ph¬ng tr×nh Ýt h¬n sè Èn v× vËy ph¬ng
®îc
tr×nh cuèi cña hÖ cã nhiÒu Èn sè.Trong hÖ (3.4) c¸c Èn
x
1
2
mx
gäi lµ c¸c Èn chÝnh, c¸c Èn cßn l¹i gäi lµ Èn tù do. G¸n cho Èn tù do
c¸c gi¸ trÞ tuú ý vµ chuyÓn c¸c sè h¹ng chøa chóng sang vÕ ph¶i ta
®îc hÖ tam gi¸c ®èi víi c¸c Èn chÝnh, gi¶i hÖ tam gi¸c nµy ta thu
®îc nghiÖm cña hÖ (3.4) phô thuéc
mn Èn tù do.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§2. HÖ Cramer
1. §Þnh nghÜa:
HÖ Cramer lµ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cã sè ph¬ng tr×nh b»ng
2
VËy hÖ Cramer cã d¹ng:
(3.5)
sè Èn vµ ma trËn hÖ sè cña hÖ kh«ng suy biÕn.
xa
b
1
nn
1
xa
b
2
nn
2
............
xa
b
nn
n
n
.
xa
22
n
a
12
a
a
1
n
a
22
A
trong ®ã ma trËn hÖ sè:
(3.6)
a
a
nn
xa
xa
12
2
11
1
xa
xa
22
1
21
........
xa
11
n
a
11
a
21
2
n
a
det(
n
n
1
2
A
)0)
lµ ma trËn kh«ng suy biÕn (
D¹ng ma trËn cña hÖ vÉn lµ:
BXA
(3.7)
B
,
trong ®ã A cã d¹ng (3.6) vµ
.
t
nb
1
bb
, 2
,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Quy t¾c Cramer.
HÖ Cramer cã nghiÖm duy nhÊt ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc
det(
A
)
x
X
BA
1
, tøc lµ:
(3.8)
j
j
A
det(
)
jA lµ ma trËn suy ra tõ A b»ng c¸ch
trong ®ã A lµ ma trËn (3.6),
thay cét thø j bëi cét sè h¹ng tù do.
det(
A
)
0
Chøng minh. V×
, nªn ma trËn A cã nghÞch ®¶o:
A
1
tC
1
det(
)
A
1
1
bAA
(
)
(
AA
)
BB
X
1
BA
Thay
vµo (3.7) ta ®îc:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
X
1
BA
VËy
C
21
1
n
C
X
1
BA
b
1
b
2
1
det(
22
n
2
...........)
A
C
2
n
lµ nghiÖm cña hÖ.
CC
11
CC
12
CC
1
n
b
n
det(
A
)
1
1
j
bC
nj
n
x
NghÜa lµ ta cã:
.
j
nn
bCbC
j
2
2
det(
A
)
j
A
)
det(
AX
AY
b
b
§Ó chøng minh sù duy nhÊt cña nghiÖm ta gi¶ sö hÖ (3.7) cã
hai nghiÖm lµ X vµ Y tøc lµ:
YXA
(
0)
AX
AY
0
B»ng phÐp trõ vÕ víi vÕ ta ®îc
hay
1
Nh©n hai vÕ víi
1A ta cã
YXAA
(
(
YX
0)
0)
NghÜa lµ cã
YX . VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
x
6
2
2
x
3
x
3
x
1
x
1
2
VÝ dô: Gi¶i hÖ:
3
x
5
x
2
x
1
2
3
11
6
A
B
,
Ta cã:
11
1
2
3
5
1
2
1
V× vËy:
6
1
6
1
1
6
1
2
3
1
,
,
2
1
1
1
A
2
A
3
A
1
5
2
5
1
2
1
1
3
1
1
3
5
1
Ta tÝnh ®îc
det(
A
)
3
,0
det(
)
,9
det(
A
)
,10
det(
A
)
17
A
1
2
3
VËy nghiÖm cña hÖ ®· cho lµ:
,3
x
,
x
.
x
1
2
3
9
3
10
3
17
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§3. HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t
1. §iÒu kiÖn cã nghiÖm
AX
B
§Þnh lý Kronecker - Capelli: HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
)
A
(
(
A
)
cã nghiÖm khi vµ chØ khi
ThËt vËy b»ng c¸c biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng vµ b»ng c¸ch ®¸nh
sè l¹i c¸c Èn ta ®a ma trËn A vÒ d¹ng bËc thang
a
11
a
12
a
a
1
r
a
a
11
r
a
a
1
n
a
21
2
r
2
b
1
b
2
n
2
1
r
a
a
a
rr
1
rr
0
rn
0
b
r
b
r
1
0
b
m
r
min
trong ®ã
,tõ ®ã suy ra ®Þnh lý.
nm
,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý:
Tõ ®Þnh lý Kronecker - Capelli ta suy ra:
)(
A
A
)(
NÕu
th× hÖ v« nghiÖm
)(
A
)(
nA
NÕu
th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
)(
A
)(
nrA
NÕu
th× hÖ cã v« sè nghiÖm.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
(
)
A
(
)
A
r
Gi¶ sö
. Ta gi¶i hÖ nh sau:
(
)
A
(
)
A
r
V×
nªn tån t¹i ®Þnh thøc con kh¸c kh«ng cÊp r cña
A, ta gäi nã lµ ®Þnh thøc con c¬ së cña A. C¸c phÇn tö cña ®Þnh
thøc con c¬ së n»m ë r ph¬ng tr×nh, gäi lµ c¸c ph¬ng tr×nh
c¬ së, vµ lµ hÖ sè cña r Èn, gäi lµ r Èn c¬ së. C¸c Èn cßn l¹i gäi
lµ Èn tù do. C¶ hÖ t¬ng ®¬ng víi hÖ míi gåm r ph¬ng tr×nh
c¬ së, gäi lµ hÖ c¬ së. Trong hÖ c¬ së ta chuyÓn c¸c Èn tù do
sang vÕ ph¶i, ta ®îc mét hÖ con cã r ph¬ng tr×nh ®èi víi r Èn
c¬ së. Gi¶i hÖ con ®ã ®èi víi c¸c Èn c¬ së ta ®îc nghiÖm cña
hÖ phô thuéc vÕ ph¶i vµ c¸c Èn tù do. Khi r = n th× kh«ng cã Èn
tù do vµ hÖ trë thµnh hÖ Cramer.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: XÐt hÖ ph¬ng tr×nh
2
x
ax
3
3
2
x
2
(3.9)
x
1
x
1
2
3
ax
3
2
x
3
b
x
1
2
x
3
1) X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.
2) X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó hÖ cã v« sè nghiÖm.
3) X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó hÖ v« nghiÖm.
Gi¶i. XÐt c¸c ma trËn
A
,
A
1
3
2
2
1
1
a
a
3
1
3
2
2
1
1
a
a
3
3
2
b
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
det(
A
2)
a
21
Ta cã
1) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt lµ
221a
det(
A
)
0
. VËy ®¸p sè cña c©u hái 1) lµ
, cßn b bÊt kú.
2) Tõ kÕt luËn trªn ta suy ra: muèn hÖ cã v« sè nghiÖm th×
221a
tríc hÕt ph¶i cã
.
det(
A
)
0
A
3)
(
Khi ®ã
nªn
. V× A cã ®Þnh thøc con cÊp hai
1
2
7
0
3
1
221a
A
)
(
2
nªn
khi
. Theo ®Þnh lÝ trªn, muèn cho hÖ cã
(
A
(
)
A
)
2
nghiÖm th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ
. Ta tÝnh
( A khi
)
221a
b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ta cã:
A
LL
L
3
1
2
2
LL
L
2
1
3
3
21
21
3
4
14
3
21
84
18
21
13
12
42
LL
2
1
1
L
L
2
2
2
26
12
6
14
b
6
LL
L
3
2
3
3
3221
2221
b
3
4
1
3
21
6
18
6
1
b
6
1
b
4
1
0
21
6
0
2
1
L
L
214
2
0
0
6
6
4
b
2
0
0
2
0
0
3
A
)
(
2
3b
A
3)
(
3b
Qua b¶ng cuèi cïng nµy ta thÊy: nÕu vµ nÕu
(
A
(
)
A
)
2
a
,221
b
3
.
)
A
(
(
A
)
a
,221
b
3
VËy khi
khi
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
(
A
(
)
A
)
32
Khi
th× hÖ ®· cho t¬ng ®¬ng víi mét hÖ 2
2
x
x
3
x
1
2
3
ph¬ng tr×nh 3 Èn
nªn nã cã v« sè nghiÖm.
x
x
2
x
1
3
2
3
21
2
21
2
a
,221
b
3
)
A
(
(
A
)
3) Theo kÕt qu¶ trªn khi
th×
. Do ®ã hÖ
v« nghiÖm.
Tãm l¹i:
221a
th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
a
,221
b
3
th× hÖ cã v« sè nghiÖm
a
,221
b
3
th× hÖ v« nghiÖm.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp
XÐt hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t (3.1). Tõ hÖ nµy ta
thµnh lËp ma trËn më réng:
a
12
a
a
11
a
a
1
n
a
n
A
b
1
b
22
2
2
........
a
a
a
1
m
mn
b
m
m
2
21
....
Lóc nµy ta cã thÓ coi viÖc thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp
®èi víi hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh chÝnh lµ thùc hiÖn c¸c phÐp
biÕn ®æi s¬ cÊp ®èi víi c¸c hµng cña ma trËn A ®Ó ®a nã vÒ
d¹ng bËc thang. Cuèi cïng ta thu ®îc hÖ míi t¬ng ®¬ng víi
hÖ ®· cho, Gi¶i hÖ nµy ta thu ®îc nghiÖm cña hÖ ®· cho.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Trong qu¸ tr×nh biÕn ®æi, nÕu trªn ma trËn më réng cã mét
hµng nµo ®ã gåm toµn sè 0 th× ta cã thÓ bá hµng ®ã ®i (t¬ng
øng víi viÖc lo¹i khái hÖ mét ph¬ng tr×nh cã tÊt c¶ c¸c hÖ sè
ë vÕ tr¸i b»ng 0 vµ sè h¹ng tù do ë vÕ ph¶i còng b»ng 0). Cßn
nÕu trªn ma trËn më réng cã mét hµng nµo ®ã cã phÇn tö cuèi
cïng kh¸c kh«ng vµ c¸c phÇn tö cßn l¹i trªn hµng ®ã ®Òu b»ng
kh«ng th× cã thÓ kÕt luËn hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm
(khi ®ã hÖ chøa mét ph¬ng tr×nh cã tÊt c¶ c¸c hÖ sè ë vÕ tr¸i
b»ng 0 vµ sè h¹ng tù do ë vÕ ph¶i kh¸c 0).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
x
x
4
3
2
2
x
x
0
VÝ dô: Gi¶i hÖ
2
x
3
x
1
x
1
x
1
x
1
2
3
1
2
1
4
Ta thµnh lËp ma trËn
2
1
11
11
0
1
Thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp ®èi víi c¸c hµng cña ma
trËn nµy ta cã
1
2
2
1
11
4
0
1
0
12
5
3
4
8
1
0
2
1
1
2
4
3
1
0
2
1
1
2
4
3
1
11
0
21
0
5
3
8
0
0
7
7
1
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VËy hÖ ®· cho t¬ng ®¬ng víi hÖ tam gi¸c:
2
x
x
4
x
1
2
x
2
3
2
3
x
3
7
7
x
3
Gi¶i hÖ nµy ta ®îc:
,1
x
,1
x
1
.
x
1
2
3
§ã còng lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho.
Ph¬ng ph¸p võa tr×nh bµy cßn gäi lµ ph¬ng ph¸p Gauss.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§4. HÖ thuÇn nhÊt
1. §iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm kh«ng tÇm thêng
XÐt hÖ thuÇn nhÊt:
0
0
xa
11
1
xa
21
1
xa
12
2
xa
22
(3.10)
0
xa
22
m
xa
1
nn
xa
2
nn
2
...................
xa
xa
m
nmn
11
0AX
D¹ng ma trËn cña hÖ:
(3.11)
,0
,
0
HÖ thuÇn nhÊt (3.10) lu«n cã nghiÖm kh«ng:
.
x
1
x
,0 2
nx
NghiÖm kh«ng cña hÖ thuÇn nhÊt gäi lµ nghiÖm tÇm thêng
cña nã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Sè nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt n Èn ®îc c¸c ®Þnh th«ng qua
h¹ng cña ma trËn hÖ sè cña nã:
(
A )
n
+) NÕu
th× hÖ thuÇn nhÊt cã duy nhÊt nghiÖm tÇm
thêng.
(
A )
n
+) NÕu
th× hÖ thuÇn nhÊt cã v« sè nghiÖm.
§iÒu kiÖn cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng ®ång nhÊt víi ®iªï
kiÖn hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cã v« sè nghiÖm.
§Þnh lý: HÖ thuÇn nhÊt (3.10) cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng khi
vµ chØ khi h¹ng cña ma trËn hÖ sè cña nã nhá h¬n sè Èn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Tõ ®Þnh lý ta suy ra mét sè hÖ qu¶ sau:
HÖ qu¶ 1: Mét hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt víi sè
ph¬ng tr×nh b»ng sè Èn cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng khi vµ
chØ khi ®Þnh thøc cña ma trËn hÖ sè b»ng 0.
ThËt vËy khi
nm th× ma trËn hÖ sè cña (3.10) lµ ma trËn vu«ng
cÊp n . H¹ng cña ma trËn vu«ng cÊp n nhá h¬n n khi vµ chØ khi
®Þnh thøc cña nã b»ng 0.
HÖ qu¶ 2: Mäi hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt víi sè
ph¬ng tr×nh Ýt h¬n sè Èn ®Òu cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng.
ThËt vËy, h¹ng cña ma trËn hÖ sè cña hÖ kh«ng thÓ vît qu¸
(
mA )
sè ph¬ng tr×nh trong hÖ:
, mµ
nm nªn ®iÒu kiÖn
(
A )
n
lu«n tho¶ m·n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô:
2
x
0
2
05
HÖ
cã ®Þnh thøc
, nªn hÖ chØ cã nghiÖm
3
x
0
1
1
2
3
x
1
x
1
2
,0
x
0
tÇm thêng
.
x
1
2
2
x
0
0
Cßn hÖ
cã ®Þnh thøc
, nªn cã nghiÖm kh«ng
1
2
2
4
2
4
0
2
x
x
1
x
1
2
,2
x
1
tÇm thêng, ch¼ng h¹n
.
x
1
2
2
Thùc ra hai ph¬ng tr×nh ®ã chØ lµ mét. Cho
ta t×m ®îc
1 x
.
x
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Mèi liªn hÖ víi hÖ kh«ng thuÇn nhÊt
XÐt hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt viÕt díi
d¹ng ma trËn:
AX
B
(3.12)
0AX
vµ hÖ thuÇn nhÊt t¬ng øng:
(3.13)
§Þnh lý: HiÖu hai nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.12) lµ mét nghiÖm
cña hÖ (3.13). Tæng cña mét nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.12) vµ mét
nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.13) lµ mét nghiÖm cña (3.12).
ThËt vËy, gi¶ sö
1, XX
2
lµ hai nghiÖm bÊt kú cña (3.12), 1Y lµ mét
B
0
B
nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.13). khi ®ã:
;
;
AX 1
AX 2
XA
(
X
)
AX
AX
BB
0
X
Ta cã:
. VËy
1
2
1
2
1 X
2
(
XA
)
AX
0
B
B
hÖ (3.13). MÆt kh¸c ta cã:
Y
1
1
AY
1
1
1 AY
lµ nghiÖm cña
Do ®ã
X lµ nghiÖm cña hÖ (3.12).
1 Y
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng IV. hµm sè
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.1. Hµm mét biÕn
4.1.1. Kh¸i niÖm hµm sè
Cho tËp hîp X R. ¸nh x¹ f: X R ®îc gäi lµ mét hµm sè
(hay gäi lµ mét hµm) x¸c ®Þnh trªn X
- TËp hîp X ®îc gäi lµ miÒn x¸c ®Þnh cña hµm f. §Æc biÖt
miÒn x¸c ®Þnh cña mét hµm cã thÓ lµ toµn bé R.
xf
:)(
Xx
- TËp hîp
®îc gäi lµ miÒn gi¸ trÞ cña hµm f
VËy mét hµm x¸c ®Þnh trªn X lµ mét phÐp t¬ng øng mçi sè
)(xf
thùc
Xx víi mét sè thùc x¸c ®Þnh mµ ta ký hiÖu lµ
. Ta
f
x
:
xf
)(
viÕt:
)(xf
(®äc lµ f chuyÓn x thµnh f cña x),
lµ ¶nh cña x qua ¸nh x¹ f.
)(xf
Ta còng gäi
lµ trÞ cña f t¹i x.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
2
bx
ax
c
VÝ dô: ¸nh x¹
x¸c ®Þnh mét hµm bËc hai.
x
cos
x
¸nh x¹
x¸c ®Þnh mét hµm lîng gi¸c.
y
)(xf
NÕu ®Æt
, ta cã thÓ biÓu diÔn hµm f nh sau:
y
)(xf
xf
:
y
xf
)(
hay
Gäi x lµ biÕn ®éc lËp, hay ®èi sè (®èi), y lµ biÕn phô thuéc
(ngêi ta còng gäi y lµ hµm)
§èi víi hµm ®· x¸c ®Þnh th× c¸c kÝ hiÖu ®Ó chØ c¸c biÕn râ
rµng lµ kh«ng quan träng. Ch¼ng h¹n ¸nh x¹:
2t
t ;
2 x
y
x
2y
u
2u
;
;
x¸c ®Þnh cïng mét hµm, v×
trong tÊt c¶ c¸c trêng hîp, phÐp t¬ng øng lµ nh nhau:
øng víi mét sè lµ b×nh ph¬ng cña nã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Ó chØ c¸c hµm kh¸c nhau, ta dïng c¸c ch÷ kh¸c nhau:
y
)(x
y
)(xg
y
)(xf
;
;
...
)(xf
TrÞ cña hµm f t¹i x = a ký hiÖu lµ
hay
vµ ®äc lµ
)(
axxf
"f t¹i a"
f
)1(
2
xf
)(
32
x
f
t
)(
3t
2
...
f
0)0(
VÝ dô: NÕu
th×
;
,
a
Hµm
x cho øng mçi sè x víi cïng mét sè a gäi lµ hµm h»ng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
)(xf
4.1.2 §å thÞ cña hµm sè: XÐt hµm
x¸c ®Þnh trong miÒn nµo ®ã.
Chän trong mÆt ph¼ng hÖ trôc täa ®é vu«ng gãc Oxy, biÓu diÔn biÕn ®éc
lËp x trªn trôc hoµnh, biÕn phô thuéc y trªn trôc tung.
Ta gäi tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm cña mÆt ph¼ng cã c¸c täa ®é
xfx
,
)(
(
) lµ ®å thÞ cña hµm f (H×nh vÏ)
y
f(x)
(x,f(x))
0
x
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.1.3. Hµm ®¬n trÞ, hµm ®a trÞ
øng víi mét gi¸ trÞ cña ®èi sè, chØ cã mét gi¸ trÞ cña hµm,
hµm Êy gäi lµ hµm ®¬n trÞ. øng víi mét gi¸ trÞ cña ®èi sè, cã
nhiÒu trÞ cña hµm th× ta cã hµm ®a trÞ.
Chó ý: Ta chØ xÐt hµm ®¬n trÞ, nªn ®Ó cho gän ta dïng ch÷
hµm ®Ó chØ hµm ®¬n trÞ.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.2 C¸c hµm s¬ cÊp c¬ b¶n
y
x
4.2.1 Hµm lòy thõa:
( lµ sè thùc)
MiÒn x¸c ®Þnh phô thuéc vµo .
NÕu
(ph©n sè tèi gi¶n, q lÎ)
p
q
> 0 th× hµm x¸c ®Þnh t¹i mäi x
0x
< 0 th× hµm x¸c ®Þnh t¹i
NÕu
(ph©n sè tèi gi¶n, q ch½n)
p
q
0x
> 0 th× hµm x¸c ®Þnh t¹i
0x
< 0 th× hµm x¸c ®Þnh t¹i
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1
3
y
yx
,
x
2 ,
y
x
VÝ dô: Hµm
x¸c ®Þnh t¹i x
2
y
x
1 ,
y
x
0x
x¸c ®Þnh t¹i
1
2
y
x
x
x¸c ®Þnh khi x 0
1
1
2
y
x
x¸c ®Þnh khi x > 0
x
0x
nÕu
Chó ý: NÕu v« tû th× qui íc chØ xÐt hµm y = x
t¹i
> 0 vµ t¹i mäi x > 0 nÕu < 0.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y=ax(a>
1)
y=x
y=x
2
y
1
1
2
y
x
y=ax(a<
1)
y
1 x
0
x
1
x
§å thÞ:
y
1
0
§å thÞ cña tÊt c¶ c¸c hµm y = x ®Òu ®i qua ®iÓm (1,1);
Chóng ®i qua gèc 0 nÕu > 0 vµ kh«ng ®i qua gèc 0 nÕu < 0.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.2.2. Hµm mò: y = ax (a > 0, a 1) (a gäi lµ c¬ sè)
- MiÒn x¸c ®Þnh: x , hµm mò ax lu«n lu«n d¬ng.
Hµm mò lµ hµm t¨ng nÕu a >1, gi¶m nÕu a < 1
- §å thÞ: C¸c hµm y = ax ®Òu ®i qua ®iÓm (0,1)
4.2.3. Hµm l«garit: y = logax (a > 0, a 1)
0x
- MiÒn x¸c ®Þnh
- Hµm t¨ng khi a > 1, gi¶m khi a < 1, lµ hµm ngîc cña hµm mò
y = ax.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§å thÞ:
y=ax(a
<1)
y=ax(a>
1)
x
y
0
x
y
0
y=logax(a>1
)
y=logax(a<1
)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ hµm y = ax qua ®êng ph©n gi¸c thø
nhÊt.
§Æc biÖt: a = 10 ta cã log10x = lgx (l«garit thËp ph©n)
Khi a = e 2,718 cã logex = lnx (l«garit Nepe)
TÝnh chÊt cña hµm l«garit:
(
)
AB
A
B
A
A
(
AB
)0
A
(
)0
;
log
a
log
a
log
a
log
a
log
a
log
log
A
log
B
A
A
(
AB
)0
0A
;
(
)
a
a
a
log
a
log
a
A
B
log
NaaN
Mäi sè N d¬ng ®Òu cã thÓ viÕt ®îc:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.2.4. C¸c hµm vßng y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx
MiÒn x¸c ®Þnh
+ Hµm y = sinx, y = cosx x¸c ®Þnh t¹i mäi x ; Cã gi¸ trÞ
.
thuéc
1,1
x
2(
k
)1
+ Hµm y = tgx x¸c ®Þnh t¹i mäi
(k nguyªn), lµ
2
hµm t¨ng.
x
k
+ Hµm y = cotgx x¸c ®Þnh t¹i mäi
(k nguyªn), lµ hµm
gi¶m
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§å thÞ
2
-
-/2 /2 3/2 2
x
x
y=cosx
y=sinx
y
1
0
-
1
y
1
0
-
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
y
- -/2 0 /2 x
-/2 0 /2 x
y=tgx
y=cotgx
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.2.5. C¸c hµm vßng ngîc.
a) y = arcsinx
MiÒn x¸c ®Þnh víi
, t¨ng tõ
®Õn
1,1x
2
2
§å thÞ:
y
/
-1 0 1 x
-/2
x
§å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ cña hµm y = sinx;
qua
2
2
®êng ph©n gi¸c gãc phÇn t thø nhÊt
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) y = arccosx
MiÒn x¸c ®Þnh víi
, gi¶m tõ ®Õn 0
1,1x
§å thÞ:
y
/
-1 0 1 x
§å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ cña hµm y = cosx ;(0 x ) qua
®êng ph©n gi¸c gãc phÇn t thø nhÊt.
Chó ý: arcsinx + arccosx =
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) y = arctgx
MiÒn x¸c ®Þnh trªn toµn R, t¨ng tõ
®Õn
2
2
§å thÞ
x
y
/2
0
-/2
x
y
tgx
§å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ hµm
;
qua ®êng ph©n
2
2
gi¸c gãc phÇn t thø nhÊt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
d) y = arccotgx
MiÒn x¸c ®Þnh trªn toµn R, gi¶m tõ ®Õn 0.
x
y
/2
0
x
y
cot gx
,
§å thÞ:
,
2
2
§å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ hµm qua ®êng
ph©n gi¸c gãc phÇn t thø nhÊt
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
arctgx
arc
cot
gx
Chó ý:
2
C¸c c«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t:
arcsin
n
sin
x
cos
x
x
)1(
arcsin
n
x
x
2
k
2
k
arcsin
x
arccos
2
k
tgx
x
arctg
k
x
arc
cot
k
g
cot
gx
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.3. Hµm hai biÕn
4.3.1. §Þnh nghÜa hµm hai biÕn
Gf :
R
XÐt tÝch §Ò c¸c R2 vµ tËp hîp G R2. Ta gäi ¸nh x¹ bÊt kú
lµ mét hµm hai biÕn x¸c ®Þnh trªn G, G ®îc gäi lµ miÒn x¸c
®Þnh cña hµm f.
VËy mét hµm hai biÕn f x¸c ®Þnh trªn G lµ mét phÐp t¬ng
f
,(:
yx
)
yxf
,(
)
øng cho øng mçi cÆp sè thùc cã thø tù (x, y) G víi mét sè
thùc x¸c ®Þnh mµ ta ký hiÖu lµ f(xy). Ta viÕt:
(®äc lµ f chuyÓn (x, y) thµnh f cña (x,y); f(x,y) lµ ¶nh cña (x,y)
qua ¸nh x¹ f. Ta còng gäi f(x,y) lµ trÞ cña f t¹i (x,y).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NÕu ®Æt Z = f(x,y), th× ta cã thÓ biÓu diÔn hµm f nh sau:
f
,(:
yx
)
Z
yxf
,(
)
Z
yxf
,(
)
Hay:
.
Trong ®ã x, y ®îc gäi lµ c¸c biÕn ®éc lËp, Z gäi lµ biÕn phô
thuéc.
§Ó chØ nh÷ng hµm kh¸c nhau ta dïng c¸c ch÷ kh¸c nhau.
Z
yx
,(
)
Z
yxg
,(
)
Z
yxf
,(
)
;
;
...
Ta qui íc r»ng nÕu hµm ®îc x¸c ®Þnh bëi mét biÓu thøc nµo
®ã vµ nÕu kh«ng nãi g× thªm th× miÒn x¸c ®Þnh lµ tËp hîp tÊt c¶
c¸c cÆp sè thùc cã thø tù mµ øng víi nã biÓu thøc ®· cho cã
nghÜa.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.3.2. C¸c tËp hîp ph¼ng, tËp hîp më, tËp hîp ®ãng.
Ta gäi tËp hîp ph¼ng lµ tËp hîp c¸c ®iÓm cïng n»m trong mét mÆt
ph¼ng. Mét tËp hîp ph¼ng ®îc gäi lµ giíi néi (hay bÞ chÆn) nÕu tån
t¹i mét mÆt trßn chøa nã. Ta gäi -l©n cËn cña ®iÓm M trong mÆt
ph¼ng lµ tËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm P cña mÆt ph¼ng sao cho
MP
kho¶ng c¸ch
Hay nãi c¸ch kh¸c, l©n cËn cña ®iÓm M. TËp
hîp E ®îc gäi lµ më (hë) nÕu mäi ®iÓm cña nã ®Òu lµ ®iÓm trong.
§iÓm N ®îc gäi lµ ®iÓm biªn cña tËp hîp E nÕu mäi l©n cËn
cña nã võa chøa nh÷ng ®iÓm thuéc E võa chøa nh÷ng ®iÓm kh«ng
thuéc E. §iÓm biªn cña mét tËp hîp cã thÓ thuéc tËp hîp Êy, cã thÓ
kh«ng thuéc tËp hîp Êy. TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm biªn cña mét tËp
hîp E ®îc gäi lµ biªn cña E.
TËp hîp E ®îc gäi lµ ®ãng (kÝn) nÕu nã chøa mäi ®iÓm biªn cña nã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm M mµ kho¶ng c¸ch tíi mét ®iÓm
cè ®Þnh M0 bÐ h¬n sè d¬ng r (tøc lµ phÇn trong cña mÆt trßn t©m M0
b¸n kÝnh r) lµ mét tËp hîp më. Biªn cña tËp hîp trªn lµ ®êng trßn
t©m M0 b¸n kÝnh r.
TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch M0 M r lµ mét
tËp hîp ®ãng
4.3.3. Hµm ®iÓm. BiÓu diÔn h×nh häc cña hµm hai biÕn.
yxf
,(
)
f
,(:
yx
)
Gi¶ sö cho hµm hai biÕn
.
V× mçi cÆp (x,y) ®Òu ®îc biÓu diÔn bëi mét ®iÓm M(x,y) trong
mÆt ph¼ng XOY, nªn ta còng cã thÓ xem hµm hai biÕn f(x,y) lµ
hµm cña ®iÓm M(x,y)
Mf
:
Mf
(
)
BiÓu diÔn h×nh häc hµm hai biÕn:
z
s
p
0
x M y
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÏ hÖ trôc täa ®é §Ò c¸c Oxyz; víi mçi ®iÓm M(x,y) trong
mÆt ph¼ng Oxy cho øng mét ®iÓm P trong kh«ng gian cã c¸c
täa ®é lµ (x,y,z) trong ®ã z = f(x,y). TËp hîp c¸c ®iÓm P nh thÕ
khi M ch¹y trong miÒn G cña mÆt ph¼ng Oxy ®îc gäi lµ ®å thÞ
cña hµm z = f(x,y) x¸c ®Þnh trªn G. §å thÞ cña hµm hai biÕn
nhiÒu khi lµ mét mÆt cong trong kh«ng gian 3 chiÒu (h.vÏ trªn)
2
2
Z
x
y
VÝ dô 1: Hµm
cã ®å thÞ lµ 1 mÆt parab«l«it trßn xoay.
2
2
Z
1
x
y
VÝ dô 2: Hµm
cã ®å thÞ lµ nöa mÆt cÇu t©m t¹i
0Z
gèc täa ®é, b¸n kÝnh ®¬n vÞ, n»m vÒ phÝa
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
2
Z
x
y
VÝ dô 3: MiÒn x¸c ®Þnh cña hµm
lµ toµn bé mÆt
ph¼ng Oxy.
2
2
2
2
x
y
1
Z
1
x
y
VÝ dô 4: Hµm
x¸c ®Þnh víi x,y sao cho
,
miÒn x¸c ®Þnh lµ mÆt trßn ®ãng t©m O, b¸n kÝnh ®¬n vÞ.
y
x
Z
ln(
x
y
)
VÝ dô 5: Hµm
x¸c ®Þnh víi x,y sao cho
, miÒn
x¸c ®Þnh lµ nöa mÆt ph¼ng më n»m phÝa trªn ®êng ph©n gi¸c
thø hai.
y
2
2
px
Z
y
2
2
px
VÝ dô 6: Hµm
x¸c ®Þnh khi
, miÒn x¸c ®Þnh
y
2
2
px
lµ miÒn ngoµi cña parab«n
kÓ c¶ biªn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4. §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt giíi h¹n hµm mét biÕn
4.4.1. §Þnh nghÜa giíi h¹n hµm mét biÕn
4.4.1.1. Giíi h¹n cña hµm khi x dÇn tíi
0x
y
)(xf
0x , kh«ng
XÐt hµm x¸c ®Þnh ë l©n cËn trÞ h÷u h¹n
0x . Ta gäi sè L lµ giíi h¹n cña hµm
y
)(xf
nhÊt thiÕt x¸c ®Þnh t¹i
0x nÕu:
0
x
x
)(
xf
L
0 ,
0 :
khi x dÇn ®Õn
0
)(xf
)(
xf
L
Nãi chung sè phô thuéc vµo sè
lim
x
x
0
Nãi c¸ch kh¸c nÕu c¸c trÞ cña hµm gÇn L
0x .
mét c¸ch tïy ý khi c¸c trÞ cña biÕn x ®ñ gÇn
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 1: Chøng minh
(2x + 5) = 9
lim
x
2
2(:
x
9)5
2
x
4
2
x
2
ThËt vËy: Ta cã víi mäi
khi
x
2
2
2( x
9)5
2x
NghÜa lµ nÕu lÊy
khi
(®pcm)
th×
2
Chó ý: ë ®Þnh nghÜa trªn, ta kh«ng ®ßi hái x ph¶i b»ng x0. Cho
nªn c¸c ®Þnh nghÜa Êy ¸p dông ®îc cho c¶ trêng hîp hµm
kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x0.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2x
4 2
x
16
x
2
VÝ dô 2: XÐt giíi h¹n cña hµm khi
Hµm nµy kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x = 2, nhng khi x 2, tøc
(
x
)2
4
(4
x
)2
x - 2 0 ta cã:
4 2
x
x
16
2
(
)(2
x
x
)2
16
(4
x
)2
Do ®ã khi x 2 ta cã:
4 2
x
16
x
2
2x
(
2x
NghÜa lµ
khi
vµ
4 2
x
x
16
2
)
4
16
lim
VËy
mÆc dï hµm kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x= 2
x
2
4 2
x
16
x
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.1.2. Giíi h¹n cña hµm khi x dÇn tíi v« cùc.
y
)(xf
y
)(xf
XÐt hµm t¹i mäi x cã trÞ tuyÖt ®èi lín tïy ý. Ta nãi
Nx
)(
xf
L
N
0
0 ,
r»ng L lµ giíi h¹n cña hµm khi x dÇn tíi v« cùc nÕu:
:
Nãi chung sè N phô thuéc vµo sè
VÝ dô 3: Chøng minh
x
1
lim 0
x
0
x
ThËt vËy: V×
<
1
x
1
x
1
0
N
:
Nx
Nªn:
0 ,
(®pcm)
1
1
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.1.3. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm cã giíi h¹n.
xf
)(
C
)(xf
TÝnh chÊt 1: NÕu
, tøc lµ
lu«n lu«n lÊy gi¸ trÞ kh«ng
)(xf
CC
CC
®æi C th×
;
cã giíi h¹n lµ chÝnh nã
x
lim
x
lim
0
x
)(xf
TÝnh chÊt 2: Mét hµm
nÕu ®· cã giíi h¹n (khi
x hay
0x
x
) th× chØ cã mét giíi h¹n mµ th«i.
)(xf
TÝnh chÊt 3: Mét hµm
nÕu cã giíi h¹n d¬ng (©m) khi
x th× lu«n lu«n d¬ng (©m) t¹i mäi x kh¸c
0x
0x
0x vµ ®ñ gÇn
)(xf
xf
)(
0
TÝnh chÊt 4: NÕu hµm
ë l©n cËn
cã giíi
0x vµ nÕu
xf
)(
0
h¹n khi
x th× giíi h¹n Êy ph¶i 0 ; nÕu
ë l©n cËn
0x
)(xf
cã giíi h¹n khi
x th× giíi h¹n Êy vÉn ph¶i 0 .
0x
0x vµ nÕu
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2. V« cïng bÐ - v« cïng lín
4.4.2.1. V« cïng bÐ (VCB)
§Þnh nghÜa: Hµm
)(x ®îc gäi lµ VCB trong qu¸ tr×nh nµo ®ã
nÕu nã dÇn tíi giíi h¹n 0 trong qu¸ tr×nh Êy.
0x
sin
x
VÝ dô: Khi
th×
lµ VCB, x còng lµ VCB
x
Khi
th×
lµ VCB
1
x
Chó ý: Mét sè "rÊt bÐ" kh«ng ph¶i lµ VCB.
Sè 0 lµ VCB trong mäi qu¸ tr×nh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
C¸c tÝnh chÊt:
1) NÕu
)(x lµ VCB trong mét qu¸ tr×nh nµo ®ã vµ C lµ mét
)(.
h»ng sè th×
xC còng lµ VCB trong qu¸ tr×nh Êy.
2) NÕu
)(xn lµ mét sè h÷u h¹n c¸c VCB
)(1 x ,
)(2 x ,...,
trong cïng mét qu¸ tr×nh th× tæng cña chóng
)(2 x +... +
)(1 x +
)(xn còng lµ c¸c VCB trong
)(xn vµ tÝch cña chóng
)(1 x ...
qu¸ tr×nh Êy.
)(xf
3) NÕu
)(x lµ VCB khi
lµ hµm bÞ chÆn trong
x vµ
0x
xfx
).
)(
(
0(
x
x
mét l©n cËn nµo ®ã cña
th×
lµ VCB
0x ;
0
)
khi
x
0x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 3) vÇn ®óng trong qu¸ tr×nh
:
xx
)(xf
x
, cô thÓ ta cã:
A
NÕu
)(x lµ VCB khi
vµ
x
bÞ chÆn trªn tËp
x
xfx
).
)(
(
(víi A lµ sè d¬ng nµo ®ã) th×
lµ VCB khi
0x
VÝ dô: Khi
th× cosx. sinx lµ VCB, v× trong qu¸ tr×nh ®ã
sinx lµ VCB cßn cosx bÞ chÆn.
x
x
Khi
th×
lµ VCB v× trong qu¸ tr×nh ®ã
lµ VCB
sin
x
1
x
cßn sinx bÞ chÆn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2.2 V« cïng lín (VCL)
)(xf
§Þnh nghÜa 1: XÐt hµm
x¸c ®Þnh ë l©n cËn
0x , kh«ng cÇn
x¸c ®Þnh t¹i
0x
)(xf
Ta nãi
lµ VCL khi
x nÕu
0x
0
x
x
)(
Mxf
0M
,
0 :
0
xf
)(
)(xf
Nãi chung phô thuéc vµo M
khi
Ta dïng kÝ hiÖu
®Ó chØ
x hay
0x
lim
x
x
0
)(xf
r»ng
lµ VCL khi
x
0x
M
x
0x
VÝ dô 1: Hµm
lµ VCL khi
. ThËt vËy v×
khi
1
M
1
x
1
x
M
0
0
x
0M
nªn
,
:
.
1
x
1
M
1
M
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
§Þnh nghÜa: XÐt hµm
x¸c ®Þnh t¹i mäi x cã trÞ tuyÖt ®èi ®ñ
(
x
L
)
lín
.
)(xf
)(
Mxf
x
:0M
0A
Ta nãi
lµ VCL khi
nÕu:
:
x
A
.
Nãi chung A phô thuéc M.
)(xf
lim xf
)(
x
Ta dïng kÝ hiÖu
khi
hay
®Ó chØ
x
)(xf
x
r»ng
lµ VCL khi
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng hµm xn (n nguyªn d¬ng) lµ VCL khi
x
x n
M
x
n M
0M
A
n M
ThËt vËy: v×
khi
nªn
,
:
Ax
x n
M
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: Mét sè rÊt lín kh«ng ph¶i lµ VCL
Mét hµm nÕu lµ VCL th× kh«ng bÞ chÆn v× nã cã trÞ tuyÖt
®èi lín h¬n mäi sè d¬ng M cho tríc kÓ tõ mét lóc nµo ®ã
cña qu¸ tr×nh. Nhng mét hµm kh«ng bÞ chÆn cã thÓ kh«ng
ph¶i lµ mét VCL.
ThËt vËy, víi mäi sè d¬ng M cho tríc, trÞ tuyÖt ®èi cña
x
2(
k
)1
k
)(xf
vÉn cã thÓ lín h¬n M, ch¼ng h¹n t¹i
víi
.
M
)1
)(
xf
2(
k
sin(
2
k
)1
2(
k
)1
k
M
V× lóc ®ã:
2
2
2
M
2
2
2
sin
x
)(
xf
x
x
Nhng hµm
kh«ng ph¶i lµ VCL khi
, v× nÕu
f
( x
)
x
k
sin
k
th×
= k
.
= 0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2.3. Liªn hÖ gi÷a VCB - VCL
§Þnh lý: NÕu trong mét qu¸ tr×nh nµo ®ã, hµm f(x) lµ VCB vµ
lµ VCL trong qu¸ tr×nh Êy.
lu«n 0, th×
1
xf
)(
Ngîc l¹i, nÕu trong mét qu¸ tr×nh nµo ®ã hµm f(x) lµ VCL
th×
lµ VCB trong qu¸ tr×nh Êy.
1
xf
)(
0x
VÝ dô: Khi
th×
lµ VCL
1
sin
x
x
Khi
th×
lµ VCB
1
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2.4. So s¸nh c¸c VCB
1) XÐt hai VCB
)(x vµ
)(x trong cïng mét qu¸ tr×nh.
dÇn tíi 0 th× ta nãi
)(x lµ VCB cÊp cao h¬n
)(x .
NÕu tû sè
1
cos
x
x
)(
)(
x
0x
th×
lµ VCB cÊp cao h¬n VCB x v×:
VÝ dô 1: Khi
1
x
0
lim
x
0
cos
x
NÕu tû sè
0 th×
)(x ,
)(x lµ 2
dÇn tíi mét h»ng sè k
)(
x
)(
x
VCB ngang cÊp.
x
1
cos
vµ x2 lµ hai VCB ngang cÊp v×
th×
VÝ dô 2: Khi
1
x
lim
x
0
cos
2
x
- NÕu tû sè
)(x vµ
0x
1
2
kh«ng cã giíi h¹n th× ta nãi c¸c VCB
x
)(
)(
x
)(x kh«ng so s¸nh ®îc víi nhau.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2) Gi¶ sö
)(x vµ
)(x lµ hai VCB trong cïng mét qu¸ tr×nh.
NÕu tû sè
cã giíi h¹n b»ng 1 trong qu¸ tr×nh ®ã th× ta nãi
x
)(
)(
x
( x
)
)(x vµ
)(x lµ hai VCB t¬ng ®¬ng. Ký hiÖu lµ
)(x
B¶ng VCB t¬ng ®¬ng:
0x
Khi
(x lµ VCB) th×: sinx x ; tgx x ; arcsinx x ; arctgx
x ; 1 - cosx
; ln (1 + x) x ; ex - 1 x
2x
2
lim
NÕu
)(x ;
)(x th× lim
(Khö d¹ng
)
)(x
)(x
0
0
x
)(
)(
x
x
)(
)(
x
lim
VÝ dô:
v× sin5x 5x ; sin 3x 3x
lim
x
0
x
0
sin
sin
5
3
x
x
5
3
x
x
5
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Qui t¾c ng¾t bá VCB cÊp cao: NÕu
)(x vµ
)(x lµ 2 VCB trong
)(
x
x
)(
cïng 1 qu¸ tr×nh vµ nÕu
)(x cã cÊp thÊp h¬n th×
)(x .
Do ®ã:
x
),
(
x
)(
Gi¶ sö:
lµ 2 VCB trong cïng 1 qu¸ tr×nh nµo ®ã,
x
),
(
x
)(
®Òu lµ tæng cña nhiÒu VCB. Khi ®ã giíi h¹n cña tû sè
b»ng giíi h¹n cña tû sè hai VCB cÊp thÊp nhÊt ë tö sè vµ
x
)(
)(
x
mÉu sè.
2
3
x
x
lim
VÝ dô:
7
lim
x
0
x
0
sin
x
2
x
x
tg
5
4
x
x
2
x
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2.5. So s¸nh c¸c VCL
XÐt hai v« cïng lín A(x) vµ B(x) trong cïng mét qu¸ tr×nh, t¬ng tù trªn:
NÕu
lµ VCL th× A(x) lµ VCL cÊp cao h¬n VCL B(x)
xA
)(
)(
xB
x
x
3 x
1
lim
VÝ dô: Khi
th×
lµ VCL cÊp cao h¬n VCL x2 v×
x
3 1
2
x
NÕu
dÇn tíi 1 h»ng sè k 0 th× ta nãi A(x) vµ B(x) VCL ngang cÊp.
xA
)(
)(
xB
NÕu
kh«ng cã giíi h¹n, còng kh«ng ph¶i lµ VCL th× ta nãi
xA
)(
)(
xB
hai VCL A(x) vµ B(x) kh«ng so s¸nh víi nhau ®îc.
NÕu
1 ta nãi A(x) vµ B(x) lµ hai VCL t¬ng ®¬ng: A(x) ~ B(x)
xA
)(
)(
xB
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xA
)(xB
lim
NÕu A(x) ~
; B(x) ~
th× lim
xA
)(
)(
xB
xA
)(
xB
)(
NÕu A(x) vµ B(x) lµ hai VCL trong cïng mét qu¸ tr×nh, A(x) vµ
B(x) ®Òu lµ tæng cña nhiÒu VCL, th× giíi h¹n cña tû sè
b»ng giíi
xA
)(
xB
)(
h¹n cña tû sè hai VCL cÊp cao nhÊt ë tö sè vµ ë mÉu sè (qui t¾c
ng¾t bá VCL cÊp thÊp).
2
2
VÝ dô:
lim
=
lim
2
2
x
x
3 .
4
3
4
x
x
2
4
x
x
8
7
3
4
x =
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.3. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n vÒ giíi h¹n vµ øng dông
4.4.3.1. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n vÒ giíi h¹n
f
1) Gi¶ sö c¸c hµm
vµ
®Òu cã giíi h¹n trong cïng mét qu¸
)(1 xf
)(2 x
tr×nh. ThÕ th× trong qu¸ tr×nh Êy:
f
x
)(
lim
lim)(
f
x
)(
- Tæng cña chóng sÏ cã giíi h¹n vµ
.
lim
xf
)(
1
2
xf
1
2
x
)(
lim
lim).
f
x
)(
- TÝch cña chóng còng cã giíi h¹n vµ
lim
fxf
).
(
1
2
xf
(
1
2
- Th¬ng cña chóng còng cã giíi h¹n nÕu giíi h¹n cña mÉu kh¸c
lim
x
)(
kh«ng vµ
;
0
f
lim 2
xf
)(
1
)(
f
x
lim
lim
xf
)(
1
f
x
)(
2
2
2
x
x
VÝ dô:
(x2 + x) =
= 4 + 2 = 6
lim
x
2
lim
x
2
lim
x
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
HÖ qu¶:
)(xf
- NÕu
cã giíi h¹n trong mét qu¸ tr×nh nµo ®ã vµ C lµ mét
lim
xCf
)(
C
lim.
xf
)(
h»ng sè th× trong qu¸ tr×nh Êy ta cã:
),
f
)(x
- NÕu
,...,
lµ mét sè h÷u h¹n c¸c hµm sè giíi h¹n
f n
(1 xf
)(2 x
trong cïng mét qu¸ tr×nh th× trong qu¸ tr×nh Êy ta cã:
f
x
)(
...
f
x
)(
lim
lim)(
f
x
)(
...
lim
f
x
)(
lim
xf
)(
1
2
n
xf
1
2
n
(
x
)...
f
x
)(
lim
lim).
f
(
x
lim)...
f
x
)(
lim
fxf
(
).
1
2
n
xf
(
1
2
n
n
lim
)(
xf
)(
xf
)(xf
§Æc biÖt:
nÕu
cã giíi h¹n trong qu¸ tr×nh nµo ®ã.
lim
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
n
x
¸p dông:
; (n nguyªn d¬ng)
0
x
n
n
0
0
lim
x
1
x
1
x
lim
x
x
0
lim
x
n
n
n
1
)(xPn
...
a
NÕu
lµ ®a thøc bËc n:
)(
xP
n
xa
0
xa
1
n
n
n
1
...
a
)
Th×
=
)(xPn
xa
0
0
xa
1
o
xP
(
n
0
n
lim
x
0)
Suy ra
(nÕu
( 0 xQm
lim
x
x
0
)
)
xP
)(
n
xQ
)(
m
xP
(
n
0
xQ
(
m
0
4
2
4
2
3(
x
7
x
)1
x
2.3
2.7
12
23
VÝ dô:
lim
x
2
6
5
6
5
7
x
1
2.7
6
2
lim
x
2
265
13
x
x
x
2
4
x
1
2
x
.2
x
.6
2
12.4
12.2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2) XÐt hµm hîp
uf
:)(
x
xUf
)(
U
NÕu trong qu¸ tr×nh nµo ®ã
x¸c ®Þnh t¹i
(Uf
)
U x ;
)(
0
0U vµ l©n
cËn cña
U , th× trong qu¸ tr×nh Êy ta cã:
0U vµ
0U
khi
Uf
)
(
)
0Uf
(
lim
xU
f
xUf
)(
Uf
lim
)(
0
2
100
100
2(
x
3
x
)5
(
))
VÝ dô: XÐt
=
lim
x
2
lim xU
(
x
2
2
2
2x
xU
2)(
x
3
x
5
xU
2)(
x
3
x
U
5
19
Trong ®ã
Khi
th×
)2(
2
100
100
2(
x
3
x
)5
19
Khi U 19 th× U100 19100 VËy
lim
x
2
100
100
2
2
100
100
lim(
2
x
3
x
)5
19
lim
2(
x
3
x
)5
19
NghÜa lµ:
=
x
2
x
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.3.2. C¸ch t×m giíi h¹n cña c¸c hµm s¬ cÊp khi
x
0x
Tõ c¸c vÝ dô trªn ®· dÉn ®Õn c¸c kÕt qu¶ sau:
n
sin
x
sin
x
x
;
n
0
0
lim
x
x
x
lim
x
x
0
0
0)
lim
xP
)(
xP
(
)
;
;
0 xQm
(
(
n
n
0
x
lim
x
x
0
x
0
)
)
xP
)(
n
xQ
)(
m
xP
(
n
0
(
xQ
m
0
§Þnh lý: NÕu hµm s¬ cÊp
x¸c ®Þnh t¹i 0x vµ ë l©n cËn 0x th×:
xf
)(
xf
(
)
0
)(xf
lim
x
x
0
)(xf
VËy muèn t×m giíi h¹n cña mét hµm s¬ cÊp
)(xf
)(xf
x¸c ®Þnh, ta chØ viÖc thay x trong
h÷u h¹n 0x t¹i ®ã
khi x dÇn tíi mét trÞ
bëi 0x .
5
3
x
6
2
x
2
x
2
cos
4
VÝ dô:
cos
x
lim
x
2
sin
x
lg
2
4(
x
x
2
2)5
6
.22lg2
2
sin
4
13
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.3.3. Mét sè ®iÓm cÇn chó ý khi t×m giíi h¹n
1) Giíi h¹n ph¶i vµ giíi h¹n tr¸i: Ta gäi giíi h¹n ph¶i (tr¸i) cña
)(xf
(
x
)0
hµm
khi x dÇn tíi
(Tõ bªn tr¸i:
0x tõ bªn ph¶i
0 x
x
)0
)(xf
nÕu khi ®ã hµm
dÇn tíi mét sè x¸c ®Þnh.
0 x
xf
)(
xf
)(
)0
)0
Ký hiÖu:
;
=
( 0 xf
( 0xf
x
lim
x
00
lim
x
x
00
0
Chó ý: NÕu
th× ta viÕt + 0 thay cho 0 + 0 vµ - 0 thay cho 0 - 0
0 x
)(xf
Ngêi ta chøng minh ®îc r¼ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm
cã
giíi h¹n khi
x lµ cã giíi h¹n ph¶i vµ giíi h¹n tr¸i t¹i
0x
0x vµ hai
giíi h¹n Êy b»ng nhau.
lim
xf
)(
)0
)0
Lóc ®ã
( 0xf
( 0 xf
x
x
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
xf
)(
x
0x
VÝ dô: XÐt giíi h¹n cña hµm
khi
x
x
1
xx
;
0
)(xf
Ta cã
=
=
x
x
1
xx
;
0
f
xf
1(
x
1)
Do ®ã
lim)0(
0
x
lim)(
0
x
f
xf
1(
x
)
1
lim)0(
0
x
lim)(
0
x
Hµm f(x) cã giíi h¹n ph¶i vµ giíi h¹n tr¸i t¹i x0 = 0, nhng hai giíi
)(xf
h¹n ®ã kh¸c nhau. VËy hµm
®· cho kh«ng cã giíi h¹n khi
0x
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2) Giíi h¹n khi x dÇn tíi d¬ng v« cùc, ©m v« cùc. Giíi h¹n v« cùc
Gi¶ sö gÆp giíi h¹n
. Trong nhiÒu trêng hîp ta ph¶i xÐt
lim xf
)(
x
tØ mØ hai trêng hîp:
x
+ x dÇn tíi v« cùc tõ c¸c trÞ lu«n d¬ng:
x
+ x dÇn tíi v« cùc tõ c¸c trÞ lu«n ©m:
x
VÝ dô 1: XÐt giíi h¹n cña hµm x3 khi
x
Nh ®· biÕt x3 lµ mét VCL khi
. NÕu xÐt kü h¬n ta cã:
x
3x
th×
x
3x
th×
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
VÝ dô 2: XÐt giíi h¹n cña hµm x2 khi
x
x
2x
Hµm x2 lµ VCL khi
, v× x2 lu«n d¬ng nªn
khi
0x
0x
VÝ dô 3: XÐt giíi h¹n cña hµm
khi
. Ta ®· biÕt
lµ VCL khi
1
x
1
x
NÕu xÐt kü h¬n ta cã:
0x
th×
0x
th×
1
x
1
x
3) Ngêi ta chøng minh ®îc c¸c kÕt qu¶ sau:
( a
)1
log
x
x
x lµ VCL khi
(
)0
khi
xa
log
( a
)1
( a
)1
0x
x
xa
khi
khi
xa
( a
)1
xa
x
0 khi
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
0
.0;
;
;1;
0 0;
;
4.4.4. C¸c d¹ng v« ®Þnh (
)
0
0
Cã 7 d¹ng v« ®Þnh thêng gÆp trong tÝnh to¸n mµ ta sÏ t×m
c¸ch khö chóng b»ng c¸c c¸ch sÏ tr×nh bµy trong gi¸o tr×nh nµy
díi ®©y.
(Víi chó ý r»ng c¸c giíi h¹n kh«ng v« ®Þnh thêng viÕt ngay kÕt qu¶)
Khi gÆp c¸c giíi h¹n d¹ng v« ®Þnh, th× thêng dïng c¸c phÐp
biÕn ®æi thÝch hîp chuyÓn thµnh tæng, hiÖu, tÝch, th¬ng cña c¸c giíi
h¹n kh«ng v« ®Þnh hoÆc c¸c giíi h¹n ®· biÕt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
CÇn nhí vµ sö dông c¸c giíi h¹n sau:
u
e u
1
1
lim
lim
1
1)
5)
u
0
u
0
1
lim
1
2)
ln
a
lim
6)
u
0
u
0
sin
u
tgu
u
u
1(
1
1
u
m
lim
7)
u
1
e
3)
1
u
0
lim
0
u
lim
u
u
a u
u
u m
)
u
1
u
u
)
1
lim
4)
u
0
1ln(
u
Hai d¹ng v« ®Þnh
,
cßn cã thÓ thay thÕ VCB, VCL t¬ng
0
0
®¬ng; hoÆc ng¾t bá VCB bËc cao, VCL bËc thÊp.
C¸c giíi h¹n trªn cho ta c¸c cÆp VCB t¬ng ®¬ng (khi
1ln(
u
)
0u
a
u ln.
1ue
1na
~ u ;
~ u,
~
)
;
lµ
1(
sin ~ u; tgu ~ u ;
mu
)
u
1
~ m.u
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
x
1
1
I
VÝ dô 1:
cã d¹ng
lim
0
x
0
0
x
x
Dïng phÐp biÕn ®æi nh©n biÓu thøc liªn hîp víi tö ta cã:
2
1
x
I
lim
=
2
2
lim
x
0
x
0
1
1(
x
x
x
x
1
x
)1
1
x
1
2
2
sin2
sin2
1
x
x
x
2
VÝ dô 2: TÝnh
2
lim
x
0
lim
x
0
lim
x
0
cos
2
x
x
1
2
x
x
1
2
x
2
2
.4
2
7
VÝ dô 3:
(ng¾t bá VCB cÊp cao) (D¹ng
)
2
3
lim
x
0
0
0
x
x
2
3
7
x
x
x
9
5
x
1
3
3
VÝ dô 4:
(ng¾t bá VCL cÊp thÊp) (D¹ng
3
lim
x
)
2
3
x
x
5
2
x
x
3
1
2
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4
4
(
x
(
x
)1
4
2
4
x
3
x
x
VÝ dô 5:
=
lim
1
4
2
x
)3
2
4
x
lim
x
x
3
x
x
1
2
)
=
(D¹ng
2
lim
x
3
2
3
2
x
x
x
1
lim
I
VÝ dô 6:
D¹ng 1
x
2
x
2
x
.
.(
x
)1
3
1
2
1
x
2
2
x
1
2
1
lim
x
(2
2
x
x
)1
1
I
1
e
e
e
lim
x
2
x
12
1
n
1
I
0.
VÝ dô 7:
. D¹ng (
)
lim
n
an
1
n
a u
1
a
1
ln
a
. (Dïng giíi h¹n c¬ b¶n
)
I
ln
a
lim
0
u
lim
n
u
1
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.5. Giíi h¹n hµm hai biÕn
®iÓm
M0
®iÓm
0:0
®Õn
dÇn
(
M
MM
0
yxf
,(
lim
)
,(
yxf
A
)
yxf
,(
)
4.5.1 §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng sè A lµ giíi h¹n cña hµm f(x,y) = f(M)
khi
nÕu:
,0
)
AMf
T¬ng tù nh ®èi víi hµm mét biÕn, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa c¸c giíi
h¹n sau:
lim
x
x
...
o
y
y
lim
x
y
o
x
0
y
0
2
2
y
y
)
(
x
x
)
(
x
y
Trong ®ã:
0
MM
0
0
2
2
x
y
3
1
VÝ dô:
2
2
lim
x
1
y
2
x
0
y
1
1
x
xy
y
lim
lim
0
2
2
2
2
x
0
y
0
x
y
1
x
y
1
x
y
lim
4.5.2 Chó ý: C¸c ®Þnh lý vÒ giíi h¹n cña tæng, tÝch, th¬ng cña hµm
hai biÕn còng t¬ng tù c¸c ®Þnh lý t¬ng øng ®èi víi hµm mét biÕn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6. Sù liªn tôc cña hµm mét biÕn - hµm hai biÕn
4.6.1. Sù liªn tôc cña hµm mét biÕn
4.6.1.1. C¸c ®Þnh nghÜa
)(xf
§Þnh nghÜa 1: Hµm
®îc gäi lµ liªn tôc t¹i
0x nÕu tháa m·n
hai ®iÒu kiÖn:
)(xf
x¸c ®Þnh t¹i
0x vµ ë l©n cËn
0x
)(xf
khi
x
0x
0x
§Þnh nghÜa 2: Hµm )(xf
®îc gäi lµ liªn tôc tr¸i t¹i
0x (liªn tôc ph¶i
t¹i
0x ), nÕu:
)(xf
*
x¸c ®Þnh t¹i
0x vµ ë l©n cËn bªn tr¸i (ph¶i)
0x ,
x
0
)(xf
)
(
x
)0
*
khi
0 x
( 0xf
0 x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
§Þnh nghÜa 3: Hµm
®îc gäi lµ liªn tôc trong kho¶ng më (a,b)
nÕu nã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x thuéc kho¶ng ®ã.
)(xf
Hµm
®îc gäi lµ liªn tôc trong kho¶ng ®ãng [a,b] nÕu nã liªn
tôc t¹i mäi ®iÓm x trong (a,b), vµ liªn tôc tr¸i t¹i b, liªn tôc ph¶i t¹i a.
0x vµ
VÝ dô: Hµm sinx liªn tôc t¹i mäi x, v× nã x¸c ®Þnh t¹i mäi
sin
x
sin
x
x .
khi
0
0x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6.1.2. TÝnh liªn tôc cña c¸c hµm s¬ cÊp
)(xf
Mäi hµm s¬ cÊp
nÕu ®· x¸c ®Þnh t¹i
0x vµ ë l©n cËn
0x th×
)(xf
liªn tôc t¹i
liªn tôc trªn mäi kho¶ng
0x Do ®ã: Mäi hµm s¬ cÊp
trong ®ã hµm ®îc x¸c ®Þnh.
VÝ dô: Hµm xn (n nguyªn d¬ng) liªn tôc t¹i mäi x.
Hµm cosx liªn tôc t¹i mäi x.
2
1 x
Hµm
liªn tôc trong kho¶ng ®ãng [-1,1], v.v...
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6.13. C¸c phÐp tÝnh vÒ c¸c hµm liªn tôc t¹i cïng mét ®iÓm
f
- NÕu
vµ
liªn tôc t¹i
)(1 xf
)(2 x
0x th× tæng, hiÖu vµ tÝch cña
1
chóng còng liªn tôc t¹i
còng liªn tôc t¹i
0x , th¬ng cña chóng
xf
)(
)(
xf
2
f
)
0
2
x
( 0
0x nÕu
)
)(xU
)(uf
liªn tôc t¹i
liªn tôc t¹i
th× hµm
0x vµ
xUU
( 0
0
hîp
liªn tôc t¹i
- NÕu
)(xUf
0x
4.6.1 4. C¸c bíc ®Ó xÐt sù liªn tôc cña hµm sè t¹i mét ®iÓm
- XÐt xem hµm sè cã x¸c ®Þnh t¹i ®iÓm ®ã vµ l©n cËn ®iÓm ®ã hay kh«ng?
- XÐt xem giíi h¹n ph¶i cã b»ng giíi h¹n tr¸i hay kh«ng?
- XÐt xem giíi h¹n ®ã cã b»ng ®óng trÞ cña hµm t¹i ®iÓm ®ã kh«ng?
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: NÕu thÊy kh«ng tháa m·n mét trong ba ®iÒu kiÖn trªn th× kÕt
luËn hµm sè gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm ®ang xÐt.
x
x
0
xf
)(
VÝ dô: XÐt sù liªn tôc cña hµm
víi
x
0
sin
x
1
)(xf
Gi¶i: XÐt t¹i x = 0, thÊy hµm
x¸c ®Þnh t¹i x = 0 vµ l©n cËn ®iÓm 0.
x
1
f
)0(
f
Giíi h¹n ph¶i vµ giíi h¹n tr¸i tån t¹i vµ
lim)0(
0
x
sin
x
0x
)(xf
)0
TrÞ cña hµm t¹i x= 0 lµ f(0) = 1= f(
.VËy hµm
liªn tôc t¹i
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6.1.5. C¸c tÝnh chÊt cña hµm liªn tôc trªn 1 ®o¹n
)(xf
§Þnh lý 1: NÕu hµm
liªn tôc trªn ®o¹n [a,b] th× nã bÞ chÆn trªn
M
:0
xMxf
)(
,
®o¹n ®ã tøc lµ
ba
,
)(xf
§Þnh lý 2: NÕu hµm
liªn tôc trªn ®o¹n [a,b] th× Ýt nhÊt nã ®¹t
®îc mét lÇn gi¸ trÞ lín nhÊt vµ mét lÇn gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña nã trªn
®o¹n [a,b], nghÜa lµ cã Ýt nhÊt mét trÞ c vµ mét trÞ c' thuéc [a,b] sao
cf
)'(
xf
)(
x
)(xf
)(cf
ba
,
cho
vµ
®èi víi mäi
.
)(xf
)(af
)(bf
§Þnh lý 3: NÕu
liªn tôc trªn ®o¹n [a,b] vµ nÕu
vµ
tr¸i
)(xf
dÊu nhau th×
triÖt tiªu Ýt nhÊt mét lÇn ë trong [a,b], nghÜa lµ cã Ýt
c
)( cf
0
nhÊt mét trÞ
sao cho
ba
,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
§Þnh lý 4: NÕu
liªn tôc trªn ®o¹n [a,b] vµ nÕu lµ mét trÞ
)(xf
trung gian gi÷a trÞ bÐ nhÊt m vµ trÞ lín nhÊt M cña
trªn [a,b]
)(xf
th×
lÊy trÞ Ýt nhÊt mét lÇn trªn [a,b], nghÜa lµ cã Ýt nhÊt mét trÞ
)(cf
c
sao cho
víi
.
Mm,
ba
,
xx
2.
1
VÝ dô: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh:
cã Ýt nhÊt mét nghiÖm
d¬ng nhá h¬n 1.
)(xf
Gi¶i: XÐt hµm
=x.2x - 1 trªn ®o¹n [0,1].
f
1)1(
)(xf
f
)0(
1
f
).0(
f
0)1(
Ta thÊy
liªn tôc trªn ®o¹n [0,1] ;
;
)( cf
0
Theo ®Þnh lý 3, tån t¹i Ýt nhÊt một trÞ
®Ó
, nghÜa lµ c lµ
1,0c
nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6.1.6. Hµm sè gi¸n ®o¹n
)(xf
Hµm
®îc gäi lµ gi¸n ®o¹n t¹i
0x nÕu nã kh«ng liªn tôc t¹i
0x .
)(xf
NÕu
gi¸n ®o¹n t¹i
0x th×
0x ®uîc gäi lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n
)(xf
cña
.
)(xf
Hµm
gi¸n ®o¹n t¹i
0x nÕu gÆp mét trong c¸c trêng hîp sau:
)(xf
1)
kh«ng x¸c ®Þnh t¹i
0x
x
1
xe
0x
VÝ dô: C¸c hµm
®Òu gi¸n ®o¹n t¹i
,
,
sin
x
1
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
)
2)
cã giíi h¹n khi
x , nhng giíi h¹n Êy kh«ng b»ng
.
( 0xf
x
)(xf
VÝ dô: XÐt hµm
=
0x
sin nÕu x 0
x
2 nÕu x = 0
x
1
)(xf
f
Hµm nµy x¸c ®Þnh t¹i 0 vµ
=
lim2)0(
0
x
lim
x
0
sin
x
VËy hµm ®· cho gi¸n ®o¹n t¹i 0.
)(xf
3)
kh«ng cã giíi h¹n khi
)(xf
=
VÝ dô:
x
ox
1 nÕu x 0
x
0
nÕu x = 0
Hµm nµy x¸c ®Þnh t¹i x = 0, nhng kh«ng cã giíi h¹n khi x 0 v×
1
x
lµ VCL khi x 0, vËy nã gi¸n ®o¹n t¹i x = 0.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Cã hai lo¹i ®iÓm gi¸n ®o¹n:
1) §iÓm gi¸n ®o¹n lo¹i 1: NÕu hµm )(xf
gi¸n ®o¹n t¹i
0x ,
)0
nhng t¹i
h÷u h¹n vµ giíi h¹n tr¸i
0x cã giíi h¹n ph¶i
( 0 xf
)(xf
)0
h÷u h¹n th×
. HiÖu
0x lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n lo¹i 1 cña
( 0 xf
)(xf
)0
)0
-
lµ bíc nh¶y cña
t¹i
0x .
( 0 xf
( 0 xf
2) C¸c ®iÓm gi¸n ®o¹n kh¸c gäi lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n lo¹i 2.
)(xf
§iÓm x = a ®îc gäi lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n bá ®îc cña hµm
( af
)0
( af
)0
nÕu tån t¹i c¸c giíi h¹n h÷u h¹n
vµ
, ®ång thêi
( af
)0
( af
)0
=
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
)(
xf
0x
VÝ dô 1: XÐt hµm
, t¹i
hµm nµy gi¸n ®o¹n v× nã
sin
x
x
)0(f
f
)0(
lim
1
kh«ng x¸c ®Þnh t¹i ®ã. Nhng
=
.
x
0
sin
x
x
)(
xf
0x
VËy:
gi¸n ®o¹n lo¹i 1 t¹i
vµ ®©y lµ ®iÓm gi¸n
sin
x
®o¹n bá ®îc víi bíc nh¶y b»ng 0.
x
xf
)(
x
0x
VÝ dô 2: XÐt hµm
, t¹i
hµm kh«ng x¸c ®Þnh nªn
x
f
)0(
1(
x
1)
lim
gi¸n ®o¹n. XÐt:
x
0
f
)0(
lim
1(
x
)
1
x
0
0x
Nh vËy hµm ®· cho gi¸n ®o¹n lo¹i 1 t¹i
, víi bíc nh¶y lµ 2.
0x
)(
xf
VÝ dô 3: XÐt hµm
t¹i
hµm kh«ng x¸c ®Þnh nªn gi¸n
1
x
0x
0x
®o¹n vµ
nÕu
;
nÕu
1
x
1
x
VËy hµm gi¸n ®o¹n lo¹i 2 t¹i x = 0.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6.2. Sù liªn tôc cña hµm hai biÕn
4.6.2.1. §Þnh nghÜa hµm liªn tôc
Z
yxf
,(
)
Mf
(
)
XÐt hµm
x¸c ®Þnh trong miÒn G vµ
,
)
G
.
(
yxM
0
0
Z
yxf
),(
Mf
(
)
Hµm
®îc gäi lµ liªn tôc t¹i M0 nÕu nã x¸c
®Þnh t¹i ®iÓm ®ã vµ tån t¹i giíi h¹n:
lim
yxf
,(
)
)
0 yxf
,
(
0
(1)
0
x
y
x
y
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
x
y
y
z
yxf
,(
)
)
§Æt
,
,
0y
0 yxf
,
(
0
0x
x
x
y
y
Z
xf
(
yx
,
y
)
yxf
(
,
)
Do ®ã:
;
;
0
x
0
y
0
0
0
0
yx,
x ,
y
Ta gäi
lµ c¸c sè gia cña c¸c biÕn ®éc lËp
; Z lµ
sè gia toµn phÇn t¬ng øng cña hµm Z.
§iÒu kiÖn (1) t¬ng ®¬ng víi ®iÒu kiÖn sau:
y
)
0
xf
(
0
yx
,
0
yxf
,
(
0
0
lim
x
y
0
0
VËy cã thÓ ®Þnh nghÜa hµm Z = f (x, y) ®îc gäi lµ liªn tôc
trong miÒn G nÕu nã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm M thuéc miÒn G.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6.2.2. Hµm gi¸n ®o¹n
yxf
,(
)
yxM
(
,
)
Hµm
gi¸n ®o¹n t¹i
nÕu nã kh«ng liªn tôc
0
0
0
Z
yxf
,(
)
t¹i ®iÓm Êy. Nh vËy hµm
gi¸n ®o¹n t¹i
0M nÕu:
- HoÆc nã kh«ng x¸c ®Þnh t¹i
0M ,
- HoÆc nã x¸c ®Þnh t¹i
0M nhng kh«ng tån t¹i giíi h¹n
(Mf
)
cña
khi
0MM
(Mf
)
0M , tån t¹i giíi h¹n
Mf
(
)
Mf
(
lim
)
- HoÆc nã x¸c ®Þnh t¹i
cña
khi
0MM nhng:
0
MM
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng V
PhÐp tÝnh vi ph©n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1 §¹o hµm - vi ph©n cña hµm mét biÕn
5.1.1. §¹o hµm cña hµm mét biÕn
5.1.1.1. §Þnh nghÜa ®¹o hµm t¹i mét ®iÓm
)(xf
(
xf
)
(
xf
)
f
0
x
0
XÐt hµm x¸c ®Þnh t¹i 0x vµ ë l©n cËn 0x . Cho 0x sè gia
x cã trÞ tuyÖt ®èi kh¸ bÐ. NÕu tØ sè
x
x
cã giíi
0 x
)(xf
h¹n (h÷u h¹n) khi th× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ ®¹o hµm
0x
0x t¹i
)
0
0
(
xf
cña hµm ®èi víi
Ký hiÖu: )
(
xf
(
xf
0
f
x
(1) lim
0
x lim
0
x
x
)
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
xf
)(
x
)(xf
2
VÝ dô: Cho
. TÝnh ®¹o hµm cña
t¹i
0 x
Theo ®Þnh nghÜa, ta tÝnh ®¹o hµm theo c¸c bíc sau:
- Cho x sè gia x
2
xf
)(
x
2
- TÝnh sè gia t¬ng øng cña hµm
t¹i
0 x
2
2
2
f
xf
(
x
)
xf
(
)
2(
x
)
2
x
4
(
x
)
0
0
2
)
4
x
4
x
- LËp tû sè
f
x
(
x
x
x
4(
x
4)
- T×m giíi h¹n cña tû sè
lim:0
x
0
lim
x
0
khi
f
x
f
x
2
xf
)(
x
2
VËy ®¹o hµm cña
t¹i
lµ 4
0 x
2
f
)2('
(
x
)
x
2
= 4
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1.2. ý nghÜa thùc tiÔn cña ®¹o hµm
ý nghÜa h×nh häc cña ®¹o hµm:
)(xf
y
)(xf
NÕu hµm
cã ®¹o hµm t¹i
cã
0x th× ®êng cong
yxM
(
,
)
tiÕp tuyÕn t¹i
vµ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn ®ã lµ
0
0
0
k
tg
)
.
0xf
('
y
xf
(
)
xf
(
)(
x
x
)
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i
0M lµ:
0
0
0
y
xf
(
)
(
x
x
)
Ph¬ng tr×nh ph¸p tuyÕn t¹i
0
0
0M lµ:
1
xf
('
)
0
Gãc gi÷a hai ®êng cong b»ng gãc gi÷a hai tiÕp tuyÕn t¹i
tg
giao ®iÓm:
k
2
1
k
1
kk
.
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
2x
2
VÝ dô: XÐt ®êng cong:
t¹i
0 x
y
2x
Theo vÝ dô trªn ®êng cong
cã tiÕp tuyÕn t¹i
k
( 2
x
)'
x
2
mµ hÖ sè gãc lµ:
= 4
)4,2(0M
y
4
(4
x
)2
Ph¬ng tr×nh cña tiÕp tuyÕn ®ã lµ
y
4
(
x
)2
Ph¬ng tr×nh cña ph¸p tuyÕn t¹i
lµ
)4,2(0M
1
4
ý nghÜa c¬ häc: §¹o hµm cña hoµnh ®é S ®èi víi thêi
v
)(' tv
gian t chÝnh lµ vËn tèc tøc thêi cña vËt
.
f
ý nghÜa chung: §¹o hµm )(' x
, t¹i
0x chÝnh lµ vËn tèc biÕn
thiªn cña hµm )(xf
t¹i
0x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1.3. Mét sè trêng hîp ®Æc biÖt
§¹o hµm ph¶i, ®¹o hµm tr¸i: NÕu tû sè
cã giíi h¹n ph¶i
f
x
0x
(tr¸i) t¹i 0x th× giíi h¹n Êy gäi lµ ®¹o hµm ph¶i (tr¸i) t¹i
(
xf
(
xf
)
0
0
('
f
0
lim)0
0
x
(2)
(
xf
(
xf
)
0
0
x
Ký hiÖu:
('
x
f
0
lim)0
0
x
)
x
x
)
x
x
f
('
)0
VÒ mÆt h×nh häc,
b»ng hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn
0 x
f
('
)0
yxM
(
,
)
ph¶i t¹i
vµ
b»ng hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn tr¸i
0
0
0
0 x
yxM
(
,
)
y
)(xf
t¹i
cña ®êng cong
. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó
0
0
0
)(xf
cã ®¹o hµm t¹i
0x lµ nã cã ®¹o hµm ph¶i vµ ®¹o hµm tr¸i t¹i
f
('
)0
f
('
)0
f
('
)
®ã vµ
=
=
.
0 x
0 x
0x
)(xf
)0
f
('
)0
NÕu
th×
kh«ng cã ®¹o hµm t¹i
0x vµ
0 xf
('
0 x
y
)(xf
yxM
(
,
)
®iÓm
lµ mét ®iÓm gãc cña ®å thÞ
.
0
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
0
x
0
x
xf
)(
x
0
VÝ dô: XÐt hµm
t¹i
. Ta cã
0 x
f
x
x
x
= 1 nÕu x > 0
- 1 nÕu x < 0
f
0('
1)0
f
0('
)0
1
VËy
Do ®ã ®iÓm 0 lµ ®iÓm gãc cña ®å thÞ
y
x
(
xf
(
xf
)
0
0
§¹o hµm v« h¹n: NÕu tû sè
cã thÓ dÇn tíi
f
x
)
x
x
)(xf
0x
khi
, lóc ®ã ta nãi
cã ®¹o hµm v« h¹n t¹i 0x
y
)(xf
Khi ®ã ®êng cong
cã tiÕp tuyÕn th¼ng ®øng t¹i
yxM
(
,
)
0
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1. 4. Liªn hÖ gi÷a ®¹o hµm vµ liªn tôc: §¹o hµm
liªn tôc
Chøng minh:
)(xf
)(xf
NÕu
cã ®¹o hµm t¹i
cã ®¹o hµm
0x th× nã liªn tôc t¹i
0x . V×
)0x
0x
)
)
khi
, do ®ã
;
( khi
0
0xf
('
t¹i 0x nªn
( 0xf
f
x
f
x
0x
0f
)(xf
x
)
f
)
Suy ra:
.
. VËy
( x
khi
, tøc
( 0xf
liªn tôc t¹i 0x
)(xf
Ngîc l¹i, nÕu
liªn tôc t¹i 0x th× cha ch¾c cã ®¹o hµm t¹i ®ã.
y
x
0x
Ch¼ng h¹n hµm
liªn tôc t¹i
nhng kh«ng cã ®¹o
hµm t¹i ®ã.
)(xf
NÕu
cã ®¹o hµm ph¶i (tr¸i) t¹i
0x th× liªn tôc ph¶i (tr¸i)
t¹i ®iÓm ®ã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1.5. §¹o hµm trong mét kho¶ng, trªn mét ®o¹n
)(xf
Ta nãi hµm
cã ®¹o hµm trong khoµng (a,b) nÕu nã cã
f
)(' x
®¹o hµm t¹i mäi x thuéc kho¶ng ®ã. Khi Êy
lµ mét hµm
cña x x¸c ®Þnh trong kho¶ng (a,b).
)(xf
Ta nãi hµm
cã ®¹o hµm trªn ®o¹n [a,b] nÕu cã ®¹o
hµm trong kho¶ng (a,b), cã ®¹o hµm ph¶i t¹i a, ®¹o hµm tr¸i t¹i
f
)(' x
b. Khi Êy
lµ mét hµm cña x x¸c ®Þnh trªn ®o¹n [a,b].
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1. 6. Qui t¾c tÝnh ®¹o hµm
)(xU
)(xV
§Þnh lý 1: NÕu
vµ
®Òu cã ®¹o hµm ®èi víi x th×
tæng
VU , tÝch VU.
vµ th¬ng
U cña chóng còng cã ®¹o hµm
V
( VU
').
(
VU
)
VU
UVVU
®èi víi x vµ:
;
=
;
U
V
UVVU
2V
y
)(uf
§Þnh lý 2: XÐt hµm hîp
. NÕu hµm
cã ®¹o
)(xuf
)(xUU
hµm ®èi víi U vµ
cã ®¹o hµm ®èi víi x th× hµm hîp
'
y
y
cã ®¹o hµm ®èi víi x vµ
)(xuf
'
x
uf
. x
'
u
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
'
x
)( y
)
0
§Þnh lý 3: NÕu hµm
t¹i ®iÓm
,
0y cã ®¹o hµm
y
( 0
y
)(xf
x
)
vµ nÕu hµm ngîc cña nã
liªn tôc t¹i ®iÓm
th×
y
( 0
0
)
xf
('
)
tån t¹i ®¹o hµm
vµ
0xf
('
0
1
y
('
)
0
xV
)(
(
)0
Chó ý: XÐt hµm
;
. LÊy l«garit tù nhiªn hai
xuy
)(
( xu
)
v
ln
y
(
xv
ln).
)(
xu
y
'
u
v
'.
nu
vÕ ta ®îc:
'.
uv
u
sin
x
y
x
VÝ dô: TÝnh ®¹o hµm
x
ln
y
sin
x
ln
x
cos
x
ln
x
Ta cã
sin
x
'
y
y
x
sin
x
y
'
x
(cos
x
ln
x
)
sin
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1.7. §¹o hµm cÊp cao
)(xf
NÕu hµm
)(xf
th× ®¹o hµm
cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm thuéc kho¶ng nµo ®ã
lµ mét hµm cña x x¸c ®Þnh trªn kho¶ng Êy. §¹o
)(xf
f
(' x
)
hµm
gäi lµ ®¹o hµm cÊp 1 cña hµm
)(xf
)(' x
f
x
)(''
f
f
x
)('
hµm cÊp 1
lµ ®¹o hµm cÊp hai cña hµm
:
.
. §¹o hµm cña ®¹o
)(xf
§¹o hµm cÊp 1 cña ®¹o hµm cÊp hai lµ ®¹o hµm cÊp ba cña
:
)1
(
n
:)1
f
x
)('''
f
x
)(''
§¹o hµm cÊp 1 cña ®¹o hµm cÊp
lµ ®¹o
(
x
xf
)(
)
)1
f
f
(
n
x
)
(
(
n
x
)
(
hµm cÊp n cña f(x):
(3)
C¸c ®¹o hµm tõ cÊp hai trë lªn gäi lµ ®¹o hµm cÊp cao.
y
sin
x
y
'
cos
VÝ dô:
;
2
xx
)
y n
(
sin
n
x
y
''
cos
x
sin
sin
.2
x
x
. . .
2
2
2
2
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1.8. B¶ng ®¹o hµm ®¸ng nhí
arc
cot
gx
14.
0' c
1.
cos
x
sin
x
2
8.
1
x
1
2
'
'
1
tgx
1
tg
x
)(
9.
.
vu
vu
uv
2
x
15.
2.
x
1
cos
x
2
'
x
x
'
'
cot
gx
cot
v
u
v
10
1
xg
e
16.
u
3.
e
'
2
1
sin
x
1
x
x
arcsin
x
11.
cu
.
uc
a
ln
a
2
17.
4.
a
1
x
1
'
vu
'
uv
arccos
x
12.
x
18.
5.
ln
2
u
v
2
v
1
x
'
1
x
'
log
arctgx
13.
6.
'
xa
19.
2
1
ln
x
a
1
x
1
c
v
cv
2
v
y
)(uf
)(xuu
y
uf
.
20.
;
sin
x
cos
x
'
x
'
u
'
x
7.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.2. Vi ph©n cña hµm mét biÕn
)(xf
5.1.2.1. §Þnh nghÜa
XÐt hµm
x¸c ®Þnh t¹i 0x vµ l©n cËn
0x . Cho 0x sè gia tuú ý
x
x
vÉn thuéc l©n cËn ®ã.
f
xf
(
x
)
xf
(
x sao cho
0
NÕu sè gia cña hµm cã d¹ng
)
0
0
(4)
f
xA
.
(
x
)
( x
)
trong ®ã A chØ phô thuéc
x ,
lµ
)( xf
xA .
VCB cÊp cao h¬n x th× ta nãi
0x chø kh«ng phô thuéc
kh¶ vi t¹i
0x vµ biÓu thøc
)( xf
t¹i 0x vµ ký hiÖu lµ dy :
.
xA
dy
®îc gäi lµ vi ph©n cña hµm
(5)
ý nghÜa:
xA .
- BiÓu thøc
lµ tuyÕn tÝnh ®èi víi
,x nªn nã ®¬n gi¶n h¬n
f .
0
- NÕu
th× vi ph©n dy lµ VCB t¬ng ®¬ng víi sè gia f :
f df (6)
2
xf
)(
x
df
x
VÝ dô: Hµm
. XÐt t¹i 0x th×
02
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.2.2. Liªn hÖ gi÷a ®¹o hµm vµ vi ph©n (kh¶ vi) §¹o hµm
)(xf
x
)
)
( 0xf
( 0xf
f
x
f
x
0x
(
0
f
('
xf
).
x
NÕu cã ®¹o hµm th× khi
.
x
0
)(xf
khi )
f cã d¹ng (4)
0x vµ vi ph©n cña
df
('
x
x
f
).
o
Chøng tá kh¶ vi t¹i
nã t¹i 0x lµ: (7)
)
)(xf
x
f
.
AxA
(
)
x
A
0
f
x
(
x
x
)
0x
NÕu kh¶ vi t¹i
( x lµ VCB cÊp cao h¬n
)x
)(xf
)
A
VÕ ph¶i dÇn tíi A khi (v×
( 0
xf
x
df
('
).
x
f
)(xf
VËy cã ®¹o hµm t¹i 0x vµ
C«ng thøc tÝnh vi ph©n cña hµm t¹i x lµ: (8)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
xf
)(
x
df
dx
x
Chó ý: NÕu
th×
; (x lµ biÕn ®éc lËp)
('
f
dx
df
).
x
Do ®ã: (9)
)(
xf
Suy ra:
(10)
df
dx
(§¹o hµm bËc nhÊt cña hµm lµ tû sè gi÷a vi ph©n cña hµm vµ vi
ph©n cña biÕn ®éc lËp)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.2.3. TÝnh bÊt biÕn cña biÓu thøc vi ph©n
y
)(xf
x
)(t
XÐt hµm hîp
;
, trong ®ã t lµ biÕn ®éc lËp. Khi
dy
f
)(
t
.
dt
(
xf
).
(
t
).
dt
f
.
dx
y
f
®ã:
; (v×
)(t
t
dx
t
)( dt
)
y
)(xf
VËy d¹ng cña vi ph©n cña hµm
kh«ng thay ®æi dï
x lµ biÕn ®éc lËp hay lµ hµm kh¶ vi cña mét biÕn ®éc lËp kh¸c.
Ngêi ta gäi ®ã lµ tÝnh bÊt biÕn cña biÓu thøc vi ph©n cÊp 1.
y
sin
x
dy
cos
xdx
y
sin
u
dy
cos
udu
VÝ dô 1:
;
y
)(ty
x
)(tx
VÝ dô 2:
;
'
y x
ty
)('
)('
tx
)(
xy
dy
)(
xy
dx
ThËt vËy:
dy
dx
ty
)(
)(
tx
dt
dt
ty
)(
)(
tx
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.2. 4. øng dông vi ph©n cÊp 1 ®Ó tÝnh gÇn ®óng
)(xf
XÐt hµm
kh¶ vi t¹i
f øng
0x gi¶ sö ta ph¶i tÝnh sè gia
x
)
víi sè gia x hay ph¶i tÝnh
víi
x kh¸ bÐ. NÕu tÝnh
xf
( 0
®óng phøc t¹p, ta tÝnh gÇn ®óng dùa vµo c«ng thøc:
f
dy
Hay (11)
(
xf
x
)
(
xf
)
(
xf
).
x
0
0
)(xf
(fA
)
C¸ch gi¶i: Tõ trÞ sè
cÇn tÝnh, suy ra d¹ng cña hµm
)(xf
x
x
Ph©n tÝch
sao cho
dÔ tÝnh vµ
x cµng
0
x
nhá cµng tèt.
)
)
TÝnh
,
. Thay vµo c«ng thøc (11)
( 0xf
( 0xf
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
(fA
)
VÝ dô: TÝnh sin 460
)(
xf
sin
x
f
)(
x
cos
x
x
;
x
D¹ng hµm
0
180
4
4
180
)
f
sin
Ph©n tÝch 460 = 450 + 10
xf
( 0
4
4
2
2
)
cos
xf
( 0
4
4
2
2
f
TÝnh
.
,0
7194
2
2
2
2
180
VËy sin 460 = sin (450 + 10) sin 450 + cos 450. 10 =
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.2.5. Vi ph©n cÊp cao
df
)('
f
x
dx
)(xf
XÐt hµm )
( xf kh¶ vi t¹i mäi x thuéc kho¶ng nµo ®ã.Vi ph©n
gäi lµ vi ph©n cÊp 1 cña hµm t¹i x Nã lµ mét
2
2
fd
f
)( dxx
hµm cña x, trong ®ã dx kh«ng ®æi. Vi ph©n cña vi ph©n cÊp 1 lµ
3
3
fd
f
x
)( dx
vi ph©n cÊp 2: . Vi ph©n cña vi ph©n cÊp hai lµ vi
n
n
fd
dx
ph©n cÊp 3: ...
.)(
n
)(
f
x
Vi ph©n cña vi ph©n cÊp (n-1) lµ vi ph©n cÊp n: (12)
f
x
)(
f
)(
x
C¸c vi ph©n tõ cÊp hai trë lªn gäi lµ vi ph©n cÊp cao.
3
fd
3
dx
2
fd
2
dx
(
x
f
)()
x
n
fd
n
dx
Tõ c¸c c«ng thøc trªn suy ra: ; , . . . ,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
32x
VÝ dô: XÐt hµm
2
3
dy
26
x
dx
2
yd
12xdx
4 yd
0
3
yd
12dx
Ta cã:
;
;
,
x
)(t
y
)(xf
Chó ý: XÐt hµm hîp
;
, trong ®ã t lµ biÕn ®éc
lËp. Do tÝnh bÊt biÕn cña biÓu thøc vi ph©n cÊp 1, ta cã:
dy
f
x
)( dx
.
V× x kh«ng lµ biÕn ®éc lËp nªn dx kh«ng lµ h»ng
dy
)(
xf
dx
sè, ta cã:
.Ta cã:
2
yd
dyd
(
)
)(
xfd
(
dx
)
xfddx
(.
(
))
dxdxf
()(
)
2
2
2
yd
f
)(
x
dx
)(
xdxf
Râ rµng tÝnh bÊt biÕn cña vi ph©n kh«ng cßn ®óng víi vi
ph©n cÊp cao n÷a.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.2.6. C¸c c«ng thøc tÝnh vi ph©n
d
cot
gx
dx
df
)(
dxxf
1.
9.
1
2
sin
x
dx
d
(arcsin
x
)
0dC
2.
10.
2
x
1
dx
1
d
(arccos
x
)
dx
.
x
dx
3.
11.
2
x
x
d
(
arctgx
)
de
x
e
dx
4.
12.
2
1
dx
x
1
(
ud
)
v
du
dv
dx
d
ln
x
5.
13.
)
1
x
cos
d
sin
x
xdx
6.
14.
vdu
vdu
udv
udv
d
d
cos
x
sin
xdx
7.
15.
(
uvd
u
v
2v
2
dtgx
dx
1(
tg
x
)
dz
.
dxUf
.
)(
duuf
8.
16.
)((
xufd
u
x
1
2
cos
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: NÕu hai hµm f(x) vµ g(x) lµ hai hµm kh¶ vi v« h¹n
lÇn. Khi ®ã ®Ó tÝnh ®¹o hµm cÊp n cña tÝch hai hµm nµy, ta sö
dông c«ng thøc Laibnitz sau ®©y:
n
)(
n
.
gf
.
gfC
)(
k
)(
x
k
n
(
)
kn
)(
x
0
k
T¬ng tù ta cã vi ph©n cÊp n cña tÝch hai hµm (f.g)
nh sau:
n
n
)
)
d
xgxf
).
)(
(
g
k
fC
n
k
(
x
)
(
(
(
kn
)
x
k
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.3. Cùc trÞ cña hµm mét biÕn
5.1.3.1. Cùc trÞ cña mét hµm:
),( ba
)(xf
c
),( ba
XÐt hµm
x¸c ®Þnh trong kho¶ng
,
)(
cf
cf
x
§Þnh nghÜa: Hµm )(xf
®¹t cùc ®¹i t¹i c nÕu
;
)(xf
xf
)(
cf
(
x
)
Hµm
®¹t cùc tiÓu t¹i c nÕu
víi x kh¸ bÐ vÒ
trÞ tuyÖt ®èi.
C¸c cùc ®¹i, cùc tiÓu cña hµm gäi lµ cùc trÞ cña hµm.
Chó ý: C¸c cùc trÞ cña hµm trong mét kho¶ng cha ch¾c
lµ gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña hµm trong kho¶ng ®ã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
§Þnh lý (Phecma-Permat): Gi¶ sö hµm
x¸c ®Þnh trong
kho¶ng (a,b).
)(xf
c
),( ba
NÕu
®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm
, vµ nÕu t¹i c tån t¹i
)(cf
cf
)(
®¹o hµm (h÷u h¹n)
th× ®¹o hµm Êy ph¶i b»ng 0
0
Chó ý: Nh÷ng ®iÓm mµ t¹i ®ã ®¹o hµm triÖt tiªu hay ®¹o
hµm kh«ng tån t¹i gäi lµ nh÷ng ®iÓm tíi h¹n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
* Hai qui t¾c t×m cùc trÞ
Qui t¾c 1: Dïng ®¹o hµm cÊp 1
)(xf
§Þnh lý: (§iÒu kiÖn ®ñ ®Ó cã cùc trÞ): Gi¶ sö hµm
liªn
ba,
tôc trong ®o¹n
chøa ®iÓm
tån t¹i h÷u h¹n
0x . §¹o hµm )(xf
trong ®o¹n Êy (Cã thÓ trõ t¹i ®iÓm
0x :
)(xf
NÕu khi x vît qua
®æi dÊu tõ ©m sang d¬ng
0x vµ
)(xf
th×
®¹t cùc tiÓu t¹i
0x .
)(xf
NÕu khi x vît qua
®æi dÊu tõ d¬ng sang ©m
0x mµ
)(xf
th×
®¹t cùc ®¹i t¹i
0x .
)(xf
)(xf
NÕu khi x vît qua
kh«ng ®æi dÊu th×
0x mµ
kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i
0x .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
VËy: Muèn t×m cùc trÞ cña hµm , ta tiÕn hµnh theo c¸c
bíc sau:
xf
0)('
- T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n (nghiÖm thùc cña ph¬ng tr×nh
)(xf
, vµ nh÷ng ®iÓm t¹i ®ã kh«ng tån t¹i ®¹o hµm song hµm
vÉn liªn tôc).
)(xf
- S¾p xÕp c¸c ®iÓm tíi h¹n theo thø tù t¨ng dÇn, xÐt dÊu
cña . T¹i mçi ®iÓm tíi h¹n qua ®ã ®¹o hµm ®æi dÊu th×
hµm sè ®¹t cùc trÞ.
- T×m cùc ®¹i, cùc tiÓu cña hµm.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Qui t¾c 2: Dïng ®¹o hµm cÊp 2.
)(xf
§Þnh lý: (®iÒu kiÖn ®ñ cña cùc trÞ): Gi¶ sö
cã ®¹o hµm
liªn tôc ®Õn cÊp hai ë l©n cËn 0x .
xf
0)
f
0)
NÕu
;
th×
)(xf ®¹t cùc tiÓu t¹i
0x
( 0
x
( 0
)(xf
xf
0)
f
0)
NÕu
;
th×
®¹t cùc ®¹i t¹i
0x
( 0
x
( 0
)(xf
VËy: Muèn t×m cùc trÞ cña hµm
, ta tiÕn hµnh theo c¸c bíc:
- T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n.
f
)(x
- T×m ®¹o hµm cÊp hai
f
)(x
- XÐt dÊu
t¹i c¸c ®iÓm tíi h¹n, kÕt luËn
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3
y
x
x
1
3
y
x
012
x
1
VÝ dô: T×m cùc trÞ cña hµm : MX§: Mäi x R
Gi¶i: T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n:
2
1x
02 y
T¹i
:
)1(y =
Hµm ®¹t cùc tiÓu vµ ycùc tiÓu =
02 y
1x
T¹i
:
Hµm ®¹t cùc ®¹i vµ ycùc ®¹i =
3
)1(y = 3
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.3. 2. TrÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm trong mét kho¶ng kÝn
)(xf
NÕu hµm
liªn tôc trong kho¶ng ®ãng [a,b] th× nã ®¹t
gi¸ trÞ lín nhÊt vµ trÞ bÐ nhÊt cña nã trong kho¶ng Êy Ýt nhÊt
mét lÇn.
)(xf
Qui t¾c: Muèn t×m trÞ lín nhÊt, nhá nh¸t cña hµm
trong
®o¹n [a,b], chØ viÖc so s¸nh trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm tíi h¹n
trong ®o¹n [a,b] víi trÞ cña hµm t¹i hai ®Çu mót.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm
3
y
x
3 2
x
9
x
35
trong kho¶ng ®ãng [- 4 ; 4 ]
2
3
y
3'
x
6
x
09
,1
Gi¶i: T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n
2 x
x
1
40
1x
T¹i
y
)1(
y
8
3x
T¹i
)3(
41
y
15
TrÞ cña hµm t¹i hai ®Çu mót
;
)4(
y
)4(
1x
VËy trÞ lín nhÊt cña hµm trong [-4, 4 ] lµ 40 t¹i
vµ trÞ
nhá nhÊt cña hµm trong [-4, 4 ] lµ -41 t¹i x = - 4
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2. §¹o hµm vµ vi ph©n cña hµm hai biÕn
5.2.1. §¹o hµm vµ vi ph©n
5.2.1.1. Sè gia riªng vµ ®¹o hµm riªng
z
yxf
,(
)
y
(
)
Cho hµm x¸c ®Þnh trong mét miÒn G nµo ®ã. XÐt
0y
0 yx
,
0
)
®iÓm G. Cho x biÕn thiªn vµ gi÷ (kh«ng ®æi) ta
0yxf
,(
®îc hµm cña mét biÕn x . Cho x sè gia x , ta ®îc sè
xf
(
yx
,
Z
)
(
)
f
,
gia t¬ng øng cña hµm lµ:
(1)
yxf
0
0
0
0
x
x
z
yxf
,(
)
(
)
Vµ gäi lµ sè gia riªng cña hµm
theo x t¹i
0 yx
,
0
0x
Giíi h¹n cña tg sè
nÕu cã khi
gäi lµ ®¹o hµm riªng
fX
x
)
(
0
cña hµm Z ®èi víi biÕn x t¹i
0 yx
,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
(
)
0
0
x
Ký hiÖu: (2)
hay
,
yx
fhay
lim
Z
)
(
X
X
0
0
x
0
z
x
,
yxf
x
Z
x
yxf
,(
)
Do vËy muèn tÝnh
, ta coi y lµ h»ng sè vµ
lµ hµm cña
z
x
mét biÕn x .
x
T¬ng tù, nÕu gi÷
(kh«ng ®æi), cho y sè gia y , ta ®îc
0x
Z
yxf
,(
)
(
)
sè gia t¬ng øng cña hµm
t¹i ®iÓm
lµ
0 yx
,
0
y
Z
(
)
)
f
,
,
yxf
0
0
0
y
y
yxf
(
(3)
0
Z
yxf
,(
)
(
)
vµ gäi lµ sè gia riªng cña hµm
theo y t¹i ®iÓm
0 yx
,
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
0y
Giíi h¹n cña tû sè
(nÕu cã) khi
gäi lµ ®¹o hµm riªng
fy
y
(
)
cña Z ®èi víi biÕn y t¹i ®iÓm
0 yx
,
0
Z
)
(
0
fhay
hay
Z
)
(
,
yx
0
y
y
0
lim
y
0
z
Ký hiÖu: (4)
y
,
yxf
0
y
y
y
Z ln
tg
VÝ dô: T×m ®¹o hµm riªng mçi biÕn cña
x
y
1
1
2
.
.
Gi¶i:
z
x
1
y
2
tg
cos
y
sin.
x
y
x
y
2
x
y
1
1
2
x
z
y
2
2
x
2
y
.
.
tg
cos
y
sin
x
y
2
x
y
x
y
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.1.2. Sè gia toµn phÇn vµ vi ph©n toµn phÇn
Z
yxf
,(
)
)
- XÐt hµm
x¸c ®Þnh trong miÒn G, vµ ®iÓm
yxM
(
0
0
0
xM
(
yx
;
y
)
G. Cho x sè gia
,x y sè gia y sao cho
G.
0
0
(
)
lµ:
0 yx
,
0
Khi ®ã sè gia t¬ng øng cña hµm Z t¹i ®iÓm
y
xf
(
Z
)
(
)
f
,
yxf
0
0
0
0
yx
,
(5)
(
)
vµ gäi lµ sè gia toµn phÇn cña hµm Z t¹i ®iÓm
.
0 yx
,
0
NÕu sè gia toµn phÇn ®îc biÓu diÔn díi d¹ng:
(6)
yBxAz
)
x
(
(
y
)
.
Trong ®ã A, B lµ nh÷ng sè chØ phô thuéc
, cßn vµ
0 , yx
0
2
2
0y
0x
y
x
)0
dÇn tíi 0 khi
vµ
(Tøc lµ khi
, th× ta
yBxA
yxM
(
,
)
nãi hµm Z kh¶ vi t¹i ®iÓm
, cßn biÓu thøc
gäi
0
0
0
yxM
(
,
)
lµ vi ph©n toµn phÇn cña hµm Z= f(x,y) t¹i ®iÓm
0
0
0
dz
Ký hiÖu:
.
yBxA
(7)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
(
)
yBxAz
§¼ng thøc (6) cßn cã thÓ viÕt díi d¹ng
,
)
trong ®ã
( lµ VCB bËc cao h¬n .
NÕu A vµ B kh«ng ®ång thêi b»ng 0 th× dz ~ z , nãi c¸ch kh¸c vi
ph©n toµn phÇn dz lµ phÇn chÝnh cña sè gia toµn phÇn z .
Chó ý: NÕu hµm z kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm cña miÒn G th× ta nãi
r»ng nã kh¶ vi trong miÒn Êy.
yxM
(
,
)
NÕu lµm z kh¶ vi t¹i ®iÓm
th× nã liªn tôc t¹i ®iÓm Êy.
0
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
z
yxf
,(
)
yxM
(
,
)
§Þnh lý 1: NÕu hµm
kh¶ vi t¹i ®iÓm
th×
0
0
0
t¹i ®iÓm Êy tån t¹i c¸c ®¹o hµm riªng
vµ ta cã:
,
x ZZ
y
(8)
dz
x
.
y
z
x
z
y
yx,
Chó ý: Còng nh trong hµm 1 biÕn, víi c¸c biÕn ®éc lËp
x
,dx
y
dy
th×
nªn ta cã thÓ viÕt
(9)
dz
.
dx
.
dy
z
y
z
yxf
,(
)
yxM
(
,
)
NÕu hµm
z
x
t¹i ®iÓm
cã c¸c ®¹o hµm riªng
0
0
0
th× cha ch¾c nã ®· kh¶ vi, thËm chÝ cha ch¾c ®· liªn tôc
,
x ZZ
y
yxM
(
,
)
t¹i
.(§©y lµ ®iÒu kh¸c biÖt víi hµm mét biÕn).
0
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
z
yxf
,(
)
yxM
(
,
)
yxM
(
,
)
§Þnh lý 2: NÕu hµm cã ®¹o hµm riªng ë l©n cËn
0
0
0
0
0
0
yxM
(
,
)
®iÓm vµ nÕu c¸c ®¹o hµm riªng Êy liªn tôc t¹i
0
0
0
z
yxf
,(
)
th× f(x,y) kh¶ vi t¹i .
yxM
(
,
)
VËy: Muèn tÝnh vi ph©n toµn phÇn cña hµm t¹i
0
0
0
®iÓm th× ta ph¶i xÐt xem cã tån t¹i c¸c ®¹o hµm riªng
t¹i ®ã kh«ng? Sau ®ã tÝnh c¸c ®¹o hµm riªng xem nã cã liªn
tôc kh«ng? Sau ®ã ¸p dông c«ng thøc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
2
x
2
x
2
.2
ex
sin.
y
z
e
sin
y
VÝ dô 1:
. T¹i mäi ®iÓm (x,y) ta cã:
;
z
x
2
sin2
y
.
cos
xey
.
z
y
C¸c ®¹o hµm riªng Êy liªn tôc kh¾p n¬i nªn hµm z kh¶ vi t¹i
2
(
x
sin
ydz
cos
ydy
)
dz
2
e
x sin
y
mäi ®iÓm (x,y) vµ ta cã
.
2
2
3
z
x
y
VÝ dô 2:
. T¹i mäi ®iÓm (x,y) ta cã c¸c ®¹o hµm
2
x
2
y
riªng
;
liªn tôc t¹i mäi (x,y) kh¸c (0,0).
2
2
2
2
z
x
z
y
3
3
x
y
3
3
x
y
2
xdx
2
dz
VËy t¹i nh÷ng ®iÓm Êy hµm z kh¶ vi vµ
2
ydy
2
3
3
x
y
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
T¹i ®iÓm (0,0) hµm z liªn tôc nhng nã kh«ng kh¶ vi, v× c¸c
®¹o hµm riªng cña nã kh«ng tån t¹i. ThËt vËy:
2
3
f
0(
x
f
)0,0(
lim
x
0
z
x
)0,
x
x
x
T¬ng tù:
(t¹i ®iÓm (0,0))
z
y
d
(ln
z
)
Chó ý: BiÓu thøc
gäi lµ vi ph©n l«garit cña hµm
dz
z
z
yxf
,(
)
)
)
(ln
Z
Ta cã:
d
)
dx
dy
(10)
(ln
Z
x
(ln
Z
y
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.1.3. øng dông vi ph©n toµn phÇn ®Ó tÝnh gÇn ®óng
Z
dZ
C«ng thøc:
y
x
(
xf
,
yx
y
)
(
)
)
(
f
f
,
(
'
x
,
yx
0
0
yxf
0
0
'
y
,
yx
0
0
0
0
Hay (11)
)
C¸ch gi¶i:
z
yxf
,(
)
,( fA
)
Tõ trÞ sè
cÇn tÝnh, suy ra d¹ng cña
x ,
y
f
(
)
,
xf
(
yx
,
y
)
)
ViÕt
sao cho
dÔ tÝnh vµ
0
0
0 yxf
(
,
0
cµng nhá cµng tèt.
(
)
,
)
)
- TÝnh
;
;
f y
0 yx
,
0
0 yxf x
(
0
0 yxf
,
(
0
- Thay vµo c«ng thøc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
01,3)02,1(
VÝ dô: H·y tÝnh gÇn ®óng
)01,3
02,1(f
z
yxf
,(
)
yx
,
Gi¶i: XÐt hµm
sè cÇn tÝnh lµ
;
.
f
02,01(
02,1(f
)01,03
)01,3
Ph©n tÝch
;
=
;
x
,02,0
y
01,0
x
3
Trong ®ã
;
0
y
,1 0
y
1
1.3)3,1(
2
3
)
yx
TÝnh
xf
yxf
,(
x
y
3
)
x
ln
x
01ln1)3,1(
yxf
,(
y
yf
(
,
f
1)3,1(
yxf
0
0
01,3
)02,1(
02,0.31
01,0.0
06,1
VËy:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.1.4. §¹o hµm hµm hîp
x
vuf
),(
Cho hµm
, trong ®ã u,v lµ nh÷ng hµm cña hai biÕn
v
yxv
,(
)
uyx
:
,
yxu
,(
)
®éc lËp
;
. Khi Êy ta nãi r»ng z lµ mét hµm
vu,
z
,(
,(
hîp cña x, y th«ng qua hai biÕn trung gian
;
yxvyxuf
),
)
vu,
vuf
),(
NÕu
kh¶ vi vµ nÕu
cã c¸c ®¹o hµm riªng
,
,
,
,
liªn tôc th× tån t¹i c¸c ®¹o hµm riªng
vµ ta cã:
u
x
u
y
v
x
v
y
z
x
z
y
.
.
(12)
.
.
z
x
z
y
z
u
z
u
u
x
u
y
z
v
z
v
v
x
v
y
v
x
y
u
xy
z
e
u sin
v
VÝ dô:
,
,
.
u
u
xy
e
e
v
sin
yv
.
cos
cos(
sin(
y
x
y
e
y
x
)
)
TÝnh:
xy
u
u
cos(
sin(
cos
sin
xv
.
y
x
x
e
v
e
e
y
x
)
)
z
x
z
y
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.1.5. §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao
z
yxf
,(
)
1) §¹o hµm cÊp cao: Cho hµm hai biÕn
. C¸c ®¹o
z
hµm riªng
gäi lµ c¸c ®¹o hµm riªng cÊp 1. Chóng lµ
,
x z
y
nh÷ng hµm cña x vµ y vµ cã thÓ cã c¸c ®¹o hµm riªng. C¸c ®¹o
hµm riªng cña ®¹o hµm riªng cÊp 1 gäi lµ nh÷ng ®¹o hµm riªng
cÊp 2 cña z . Ta cã 4 ®¹o hµm riªng cÊp hai.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
yx
,(
:)
c¶ hai lÇn ®Òu lÊy ®¹o hµm riªng víi x.
xx
f
f
2
x
f
x
x
2
yx
,(
:)
lÇn ®Çu lÊy ®¹o hµm riªng ®èi víi x, lÇn
xy
f
y
f
x
f
yx
hai lÊy ®¹o hµm riªng ®èi víi y.
2
yx
,(
:)
lÇn ®Çu lÊy ®¹o hµm riªng ®èi víi y, lÇn
yx
f
x
f
y
f
xy
hai lÊy ®¹o hµm riªng ®èi víi x.
2
yx
,(
:)
c¶ hai lÇn ®Òu lÊy ®¹o hµm riªng víi y.
yy
f
y
f
y
f
yy
yx
,(
)
yx
,(
)
Ngêi ta cßn gäi
lµ ®¹o hµm vu«ng theo x,
lµ
f yy
f xx
yx
)
,(''
yx
)
®¹o hµm vu«ng theo y vµ gäi
,
lµ c¸c ®¹o hµm
,(''
f xy
f yx
ch÷ nhËt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: Vi ph©n toµn phÇn cña hµm hai biÕn còng cã d¹ng
bÊt biÕn.
z
yxf
,(
)
y
)(x
XÐt hµm
, trong ®ã y lµ hµm cña x;
. Khi Êy
Z
xf
,[
(
x
)].
z trë thµnh hµm cña mét biÕnx
§¹o hµm
gäi lµ
dz
dx
.
®¹o hµm toµn phÇn cña z ®èi víi x, vµ: (13)
dz
dx
z
x
z
y
dy
dx
2
z
3
x
y
y
sin
x
VÝ dô:
,
1
2
2
3
x
sin2.
x
cos
x
3
x
Khi ®ã:
dz
dx
2sin
sin2
x
x
2
y
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
5
z
32
yx
y
VÝ dô:
2
2
3
3
4
2
2
4
3
yx
5
y
4
x
20
y
26
yx
12xy
;
;
;
z
2
z
2
z
y
z
x
y
x
2
2
2
2
12
2
yx
12
2
yx
;
z
xy
z
yx
z
yx
z
xy
§Þnh lý Svac (Schwarts): NÕu trong 1 l©n cËn nµo ®ã cña ®iÓm
f
yx
,(
);
f
yx
,(
)
z
yxf
,(
)
(
)
hµm
cã c¸c ®¹o hµm ch÷ nhËt
vµ
''
xy
''
yx
0 yx
,
0
(
)
f
(
)
f
(
)
nÕu c¸c ®¹o hµm Êy liªn tôc t¹i
th×
0 yx
,
0
''
xy
yx
,
0
0
''
yx
yx
,
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
z
yxf
,(
)
2) Vi ph©n toµn phÇn cÊp cao XÐt hµm
. Vi ph©n
dz
dx
dy
toµn phÇn cña nã
nÕu tån t¹i còng lµ mét hµm sè
z
x
z
y
cña x, y. NÕu dz l¹i cã vi ph©n toµn phÇn, ta gäi vi ph©n toµn
z
yxf
,(
)
phÇn ®ã lµ vi ph©n toµn phÇn cÊp hai cña hµm
, ký
zd 2
hiÖu
.
2
zd
(
dzd
)
d
dx
dy
VËy
; Gi¶ thiÕt thªm r»ng c¸c ®¹o hµm
z
x
z
y
ch÷ nhËt cña z liªn tôc, ta cã:
2
2
2
2
2
(14)
2
zd
dx
2
dxdy
dy
z
2
z
2
z
yx
y
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
z
e
x sin
y
VÝ dô:
2
e
x cos
y
e
x sin
y
e
x sin
y
z
2
z
y
z
x
x
2
2
e
x sin
y
e
x cos
y
Ta cã: , , ,
z
2
z
yx
y
2
2
(sin
ydx
2
cos
ydxdy
sin
ydy
)
zd
2
xe
,
VËy:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.2. Cùc trÞ cña hµm hai biÕn
5.2.2.1 Cùc trÞ
z
yxf
,(
)
Cho hµm
x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trong mét miÒn G
yxM
(
,
)
nµo ®ã chøa ®iÓm
0
0
0
§Þnh nghÜa:
yxf
,(
)
yxM
(
,
)
- Hµm
®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm
nÕu trong 1 l©n
0
0
0
yxf
,(
)
)
cËn nµo ®ã cña ®iÓm Êy ta cã
.
0 yxf
(
,
0
yxf
,(
)
yxM
(
,
)
- Hµm
®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm
nÕu trong 1 l©n
0
0
0
yxf
,(
)
)
cËn nµo ®ã cña ®iÓm Êy ta cã
.
0 yxf
(
,
0
yxf
,(
)
C¸c cùc t¹i vµ cùc tiÓu cña hµm
®îc gäi chung lµ
nh÷ng cùc trÞ cña nã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
z
yxf
,(
)
yxM
(
,
)
§Þnh lý: NÕu hµm
®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm
mµ
0
0
0
,
),
f
(
)
t¹i ®ã tån t¹i c¸c ®¹o hµm riªng (h÷u h¹n)
th×
yxf
(
x
0
0
y
yx
,
0
0
c¸c ®¹o hµm riªng Êy ph¶i b»ng 0.
Chó ý: C¸c ®iÓm mµ t¹i ®ã c¶ hai ®¹o hµm riªng ®Òu triÖt
tiªu, hoÆc Ýt nhÊt mét trong hai ®¹o hµm riªng kh«ng tån t¹i gäi
lµ c¸c ®iÓm tíi h¹n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Qui t¾c t×m cùc trÞ: Gi¶ sö trong mét miÒn nµo ®ã chøa
yxf
,(
)
yxM
(
,
)
®iÓm
hµm
cã c¸c ®¹o hµm riªng liªn tôc tíi cÊp
0
0
0
yxf
,(
)
yxM
(
,
)
hai, cßn
lµ ®iÓm tíi h¹n cña
, nghÜa lµ
0
0
0
(
0)
,
0)
,
.
f y
yx
,
0
0
yxf x
(
0
0
,(''
)
Cyx
,(''
yx
)
A
2
B
AC
yx
)
B
§Æt
;
,
vµ
f yy
f xx
,(''
f xy
yxM
(
,
)
NÕu: 0 vµ A 0 th× hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i
0
0
0
yxM
(
,
)
0 vµ A > 0 th× hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i
0
0
0
yxM
(
,
)
0 th× hµm sè kh«ng cã cùc trÞ t¹i ®iÓm
0
0
0
= 0 th× cha kÕt luËn ®îc, cÇn xÐt thªm
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3
3
z
x
y
3
xy
VÝ dô: T×m cùc trÞ cña hµm
2
x
x
3
y
0
Gi¶i: T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n
2
y
3
x
0
yxf
,(
f
yx
,(
0)
0)
y
3
3
Ta cã hai ®iÓm tíi h¹n lµ
;
)0,0(2M
)1,1(1M
6
y
6
x
- TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng cÊp hai
;
,
''
z yy
''
xyz
3
''
z xx
- XÐt dÊu t¹i c¸c ®iÓm tíi h¹n.
2
M
:)1,1(
B
AC
9
36
0
06 A
T¹i
,
nªn hµm ®¹t
1
yxf
,(
)
f
)1,1(
1
cùc tiÓu t¹i
1M vµ Min
2
M
:)0,0(
B
AC
09
T¹i
Hµm kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i
2
)0,0(2M
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.2.2. Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn
yxf
,(
z
)
XÐt hµm
x¸c ®Þnh trong miÒn G. Ta xÐt trêng hîp
x, y kh«ng biÕn thiªn ®éc lËp mµ bÞ rµng buéc bëi mét ®iÒu kiÖn
yxM
,(
)
yx
,(
)
0
nµo ®ã, ch¼ng h¹n
. Tøc lµ ®iÓm
kh«ng ch¹y tïy ý
trong miÒn G, mµ chØ ®îc ch¹y trªn mét ®êng cong C nµo ®ã
yx
,(
0)
yxf
,(
)
cã ph¬ng tr×nh
. C¸c cùc trÞ cña hµm
bÞ rµng
buéc bëi ®iÒu kiÖn trªn ®îc gäi lµ nh÷ng cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn.
yxf
,(
)
yx
,(
)
0
Nãi c¸ch kh¸c, cùc trÞ cña hµm
víi ®iÒu kiÖn
,
)
lµ trÞ cña hµm ®ã t¹i mét ®iÓm
nµo ®ã thuéc ®êng
yxP
(
0
0
0
yxf
,(
)
cong C, lín h¬n hay bÐ h¬n mäi trÞ cña
øng víi nh÷ng
®iÓm cña ®êng C thuéc mét miÒn l©n cËn nµo ®ã cña 0P
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
)(xy
yx
0)
,(
C¸ch gi¶i trong trêng hîp ®¬n gi¶n: Tõ
z
xyxf
,[
(
)]
lµ hµm cña biÕn x. Ta ®îc hµm
cña mét biÕn x, vµ
z
xyxf
,[
(
)]
®a vÒ t×m cùc trÞ cña hµm mét biÕn
z
xy
x
1 y
VÝ dô: T×m cùc trÞ cña hµm
víi
2
x
1 y
y
1
x
z
x
1(
x
)
x
x
Gi¶i: Tõ lµ hµm cña
x
21
x
0
biÕn x x¸c ®Þnh víi mäi x.
z x
1
2
''
x
02
TÝnh lµ ®iÓm tíi h¹n
MaxZ
Z
xxz
)2/1(
1
2
1
4
, hµm ®¹t cùc ®¹i t¹i vµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.3.3. Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm trong mét miÒn ®ãng
),( yxfz
Hµm
liªn tôc vµ x¸c ®Þnh trong miÒn ®ãng vµ giíi
néi G, cã thÓ ®¹t Ýt nhÊt mét lÇn trÞ lín nhÊt vµ trÞ bÐ nhÊt cña
nã trong miÒn ®ã.
z
),( yxf
Qui t¾c: Muèn t×m trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm
trong
miÒn ®ãng G, ta chØ viÖc t×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm tíi h¹n n»m trong
miÒn G. TÝnh trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm Êy vµ so s¸nh chóng víi
nh÷ng trÞ cña hµm trªn biªn cña miÒn G.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
C¸c bíc tiÕn hµnh:
yx
0)
Gi¶i hÖ
f x
,('
yx
0)
f y
,('
- T×m nh÷ng ®iÓm tíi h¹n n»m trong miÒn G.
- TÝnh trÞ cña hµm t¹i ®ã.
- T×m trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm trªn biªn cña miÒn G
(cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn).
- So s¸nh trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm tíi h¹n víi trÞ lín nhÊt vµ
bÐ nhÊt trªn biªn cña miÒn G. KÕt luËn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: T×m trÞ lín nhÊt, bÐ nhÊt cña hµm:
2
2
z
,(
yxf
)
x
y
xy
x
y
0y
x
3 y
0x
trong miÒn G x¸c ®Þnh bëi:
;
;
Gi¶i: VÏ miÒn G: lµ ®ãng OAB (h×nh vÏ)
xf
'
0
- T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n trong miÒn G
yf
'
0
x
y
1
1
2
2
x
y
01
01
y
x
M
)1,1(
G
f
)1,1(
1
§iÓm tíi h¹n vµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
x
02
x
2
01
Trªn OA: y = 0, -3 < x < 0, Z = x2 + x lµ hµm cña 1 biÕn x
''
xxz
'
z x
1
2
1
2
MinZ
Z
f
0.
nªn: ; T¹i hµm z ®¹t
1
2
1
2
1
4
cùc tiÓu vµ
y
2
01
02
y
y
Trªn OB: x = 0, -3 < y < 0, Z = y2 + y lµ hµm cña 1 biÕn y nªn
'
z y
''
yyz
1
2
1
2
MinZ
Z
f
,0
, T¹i hµm z ®¹t
1
2
1
2
1
4
y
3
x
x
3 y
z
3 2
x
9
x
6
cùc tiÓu vµ
3
x
0
Trªn AB ta cã: lµ hµm
cña mét biÕn x, xÐt víi ®iÒu kiÖn:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
6
0
)0;3(
6
x
09
''
xxz
z x
3
2
3
MinZ
Z
f
,
Ta cã ; ,
hµm Z ®¹t cùc tiÓu vµ
2
3
2
3
2
3
4
3
2
f
0)0,0(
)0,0(
t¹i x =
)0,3(
f
)3,0(
6
f
)0,3(
6
C¸c ®iÓm 0, A, B biªn cña G: T¹i O
)3,0(
T¹i A ; T¹i B
So s¸nh c¸c trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm ®· xÐt trªn, ta thÊy:
6LNf
M
)1,1(
Hµm ®¹t trÞ lín nhÊt t¹i A(-3,0) vµ B (0, -3) vµ
1NNf
Hµm ®¹t trÞ nhá nhÊt t¹i vµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng VI
PhÐp tÝnh tÝch ph©n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1. TÝch ph©n bÊt ®Þnh
6.1.1. §Þnh nghÜa - TÝnh chÊt
6.1.1.1. Nguyªn hµm
)(xF
)(xf
Hµm
®îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm
trong mét
)(
xF
xf
)(
kho¶ng nµo ®ã nÕu t¹i mäi ®iÓm cña kho¶ng Êy ta ®Òu cã
x
x
VÝ dô:
sin lµ nguyªn hµm cña
cos tr ªn toµn R
(sin
x
)
cos
x
v×
, x R.
2 x
6
, trong ®ã C lµ h»ng sè tïy ý, lµ nguyªn hµm cña 2x trªn
( 2
x
)6
2
x
toµn R v×
,víi mäi x R .
)(xF
)(xf
xF
)(
C
- NÕu
lµ nguyªn hµm cña hµm
th×
, víi C lµ
)(xf
mét h»ng sè tuú ý còng lµ mét nguyªn hµm cña
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh lý 1: Mäi hµm liªn tôc trªn mét ®o¹n nµo ®ã ®Òu cã
nguyªn hµm trªn ®o¹n Êy.
§Þnh lý 2: NÕu trong mét kho¶ng nµo ®ã hµm )(xf
cã nguyªn
hµm lµ hµm )(xF
th× trong kho¶ng Êy:
)(
CxF
)(xf
- Hµm
, víi C lµ h»ng sè tuú ý, còng lµ mét nguyªn hµm cña
.
)(xf
)(
CxF
- Mäi nguyªn hµm cña
®Òu cã d¹ng
, víi C lµ mét h»ng sè.
Chó ý: NÕu mét hµm cã mét nguyªn hµm th× nã cã v« sè
nguyªn hµm vµ c¸c nguyªn hµm ®ã sai kh¸c nhau mét h»ng sè
céng. §å thÞ cña c¸c nguyªn hµm Êy suy tõ c¸i nµy sang c¸i kia
b»ng mét phÐp tịnh tiÕn song song víi trôc Ox.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1.1. 2. §Þnh nghÜa tÝch ph©n bÊt ®Þnh
)(xF
)(xf
)(
CxF
NÕu
lµ mét nguyªn hµm cña
th× biÓu thøc
, trong
)(xf
®ã C lµ mét trong sè tuú ý, ®îc gäi lµ tÝch ph©n bÊt ®Þnh cña hµm
)(
xf
dx
)(
CxF
Ký hiÖu:
)(xf
lµ hµm díi dÊu tÝch ph©n,
DÊu ®îc gäi lµ dÊu tÝch ph©n,
)(
xf
dx
lµ biÓu thøc díi dÊu tÝch ph©n vµ xlµ biÕn tÝch ph©n.
2
2
xdx
x
c
sin
xdx
cos
x
c
VÝ dô:
,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1.1.3. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n bÊt ®Þnh.
dxxf
)(
xf
)(
)(
xf
dx
)(
dxxfd
TÝnh chÊt 1:
ThËt vËy: Tõ (1) ta cã:
)(
dxxf
C
)(
xF
)(
xf
d
)(
dxxf
)(
dxxf
)(
xF
)(xF
)(xf
TÝnh chÊt 2: Gi¶ sö
cã ®¹o hµm lµ
th×:
dF
)(
x
)(
CxF
dF
)(
x
)(
dxxf
dF
)(
x
)(
xf
dx
)(
CxF
ThËt vËy:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(
xCf
dx
)(
xfC
dx
TÝnh chÊt 3: Víi C lµ h»ng sè th×:
)(xf
)(xg
)(xh
TÝnh chÊt 4: NÕu hµm
,
,
®Òu cã nguyªn hµm th×:
)(
xf
)(
xg
)(
xh
)(
dxxf
)(
xg
dx
)(
xh
dx
dx
U
)(x
)(
xf
dx
)(
CxF
vµ
th×:
TÝnh chÊt 5: NÕu cã
)(
duuf
)(
uF
C
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1.1.4. B¶ng tÝch ph©n c¬ b¶n
dx0
c
adx
ax
c
1.
2.
1
c
(;
)1
x
dx
3.
x
1
dx
ln
x
c
4.
)(
xf
xf
)(
)(
xf
x
ln
x
c
a)
dx
x
)(
xf
cos
x
tgxdx
ln
cos
x
c
b)
)(
xf
sin
x
cot
gxdx
ln
sin
x
c
c)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
2
)(
xf
c
5.
)(
xf
xf
)(
sin
xdx
cos
x
c
6.
cos
xdx
sin
x
c
7.
X
x
dxa
c
(
a
a
;0
_)1
;
8.
a
ln
a
x
x
ea
e
dx
e
c
§Æc biÖt:
tgx
c
9.
dx
2
cos
x
cot
gx
c
10.
dx
sin 2
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
arctg
c
2
2
11.
1
a
x
a
dx
a
x
arctgx
c
2
11':
dx
x
1
arcsin
c
12.
dx
2
2
x
a
a
x
dx
arcsin
x
c
2
12':
1
x
ln
c
13.
2
2
dx
a
x
1
a
2
x
a
ax
dx
2
ln
x
x
b
c
2
14.
x
b
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
2
2
x
dxb
x
b
ln
x
x
b
c
15.
x
2
b
2
2
2
2
2
a
2
x
dx
a
x
arcsin
c
16.
a
2
x
a
x
2
ln
tg
c
17.
x
2
dx
sin
x
ln
tg
c
18.
dx
cos
x
x
2
4
ln
c
2
2
19.
dx
x
a
1
2
a
ax
ax
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1.2. C¸c ph¬ng ph¸p tÝch ph©n bÊt ®Þnh.
6.1.2.1. Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch
Trong nhiÒu bµi to¸n tÝch ph©n, nhiÒu khi chØ cÇn ph©n tÝch,
biÕn ®æi ®¹i sè, biÕn ®æi lîng gi¸c... ®a hµm sè díi dÊu tÝch ph©n
vÒ d¹ng tæng c¸c hµm sè ®¬n gi¶n ®Ó ¸p dông c«ng thøc c¬ b¶n.
Ta thêng gÆp c¸c c«ng thøc lµ trêng hîp riªng cña tÝnh chÊt 5.
)(
xf
dx
)(
xF
c
th×:
NÕu
f
(
ax
)
dx
f
(
()
axdax
)
(
axF
)
c
1.
1
a
1
a
f
(
ax
)
dxb
f
(
ax
()
axdb
b
)
(
axF
b
)
c
2.
1
a
1
a
dxbxf
)
(
()
bxdbxf
(
)
bxF
(
)
c
3.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
2
2
4
2
3
x
2
x
dx
x
4
x
4
x
2
x
4
dx
1)
1
x
1
2
x
5
3
4
2
x
x
x
x
4
x
c
4
3
1
x
1
5
cot
2
xg
c
2)
2
2
dx
2
x
1
2
d
sin
)2(
x
2
x
sin
1
2
HoÆc biÕn ®æi:
2
2
dx
dx
dx
2
1
2
sin
2
x
1
4
cos
sin
sin
x
2
cos
.
x
x
x
dx
2
sin
x
1
4
1
2
cos
x
1
4
1
2
sin
x
(
tgx
cot
g
)
c
1
4
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1.2.2 Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn
x
)(t
§Æt
; trong ®ã
)(t lµ mét hµm kh¶ vi, ®¬n ®iÖu ®èi víi biÕn t.
Khi ®ã ta cã c«ng thøc ®æi biÕn:
)(
xf
dx
f
dt
)(
.
)(
t
t
t
)(x
§Æt
)(t lµ hµm kh¶ vi. Khi ®ã ta
dx
f
f
)(
t
dt
, trong ®ã t lµ biÕn míi vµ
.)(
)(
x
x
cã:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: §æi biÕn tÝch ph©n kh«ng x¸c ®Þnh (bÊt ®Þnh), sau khi tÝnh
tÝch ph©n ph¶i ®æi trë vÒ biÕn ban ®Çu.
NÕu tÝch ph©n chøa d¹ng:
2
x
a
cos
t
x
sin.
a
t
2
x
dx
1.
§Æt
hoÆc
a
2
x
2
dxa
2.
§Æt
x
a
cos
t
2
x
atgt
2
dxa
3.
§Æt
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
x
1) I =
dx
x
1
arctg
x
1
t
arctg
x
dt
.
§Æt
dx
1
x
2
x
1
t
arctg
x
dt
.
§Æt
dx
1
x
2
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
2) I=
x
2
x
x
sin 2
t
dx
sin2.2
t
cos
tdt
§Æt
2
I
4
sin
dt
cos
)2
t
dt
2
t
2sin
t
c
1(2
t
arcsin
sin
t
1,
cos
t
Trë vÒ biÕn x ban ®Çu ta cã:
x
2
x
2
x
2
2
2
dx
2
arcsin
2
x
x
c
t
2sin
2
x
x
VËy
x
2
x
x
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
2
x
a
dx
I
3) I=
x
x
dx
dt
§Æt:
2
a
cos
t
sin
a
cos
t
t
2
2
1
t
I
a
.
dt
a
dt
a
dt
atgt
at
c
2
sin
a
2
cos
t
t
sin
cos
t
t
cos
cos
2
t
tgt
a
cos
t
2
2
d
arccos
tgt
x
a
Trë vÒ trªn x ban ®Çu ta cã:
,
a
x
2
2
x
a
2
2
arccos
C
dx
xa
a
a
VËy
a
x
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1.2.3. Ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
)(xUU
)(xVV
)(xUU
Gi¶ sö
vµ
cã c¸c ®¹o hµm liªn tôc
,
V
)(xV
. Khi ®ã ta cã c«ng thøc:
.
dvu
.
vu
.
duv
)(
dxxf
NÕu
cã thÓ viÕt díi d¹ng udv th× thêng dïng c«ng
thøc tÝch ph©n tõng phÇn ®Ó tÝnh.
)(xp
Gäi
lµ ®a thøc, c¸c d¹ng tÝch ph©n tõng phÇn thêng gÆp.
u
)(xp
xp
sin)(
cos
xdx
,
)(
xp
cos
axdx
x)(
axp
dx
§Æt
,
1)
dv
)(
dxxp
)(
xp
arcsin
xdx
xp )(
arctgxdx
xp
log)(
xdx
§Æt
a
;
;
2)
a x sin
xdx
cos
a x
xdx
§Æt tïy ý
;
3)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
2
x arcsin
xdx
1) I=
dx
2
3
u
arcsin
x
du
dv
x
dx
v
x
Gi¶i: §Æt:
,
.
2
1
3
1
x
3
dxx
3
3
I
x
arcsin
x
.
I
x
arcsin
x
VËy:
1
2
1
3
1
3
1
3
1
3
1
x
3
dxx
I
.
víi
1
2
1 x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
d
1(
2
x
2
u
du
x
2
xdx
;
dv
1
TÝnh 1I §Æt
1
1
xdx
2
x
1
12
)
2
x
2
2
2
2
2
2
2
I
x
1
x
x
2
x
1
dx
x
v
1
x
1
2
dx
1(
x
)
1
1 x
1
2
2
x
1
x
1(.
x
32
)
c
2
3
2
3
2
2
x
arcsin
xdx
x
arcsin
x
x
1
x
1(
x
32
)
c
VËy
2
3
1
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x3
2
I
ex
dx
2)
2
u
du
x
2
xdx
§Æt:
;
v
3
xe
dv
x3
e
dx
1
3
3
x
I
2
ex
x
e x3
dx
e x3
dx
I 1
; §Æt
.
x
1
3
2
3
x
dx
TÝnh 1I . §Æt
u
1
du
1
3
x
3
x
e
dx
e
dv
1
v
1
1
3
3
x
3
x
x
x
e
e
c
e x3
dx
3 xe
1
I
1
3
1
3
1
9
1
3
x
3
3
x
2
3
x
3
x
2
I
ex
xe
e
x
6
x
2
c
VËy
9
2
3
1
3
e
27
1
3
c
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
e x sin
xdx
I
3)
x
x
u
du
e
e
dx
§Æt
dv
sin
xdx
v
cos
x
x
x
x
e
sin
xdx
e
cos
x
e
cos
xdx
e x
cos
xdx
I
1
. §Æt
x
x
coxdx
sin
x
u
du
e
e
dx
§Æt
;
1
1
dv
1
v
1
x
x
e
sin
x
e
sin
xdx
I
1
x
x
x
x
e
sin
xdx
e
cos
x
e
sin
x
e
sin
xdx
VËy
x
x
e
sin
xdx
e
(sin
x
cos
x
)
c
.
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.2. TÝch ph©n ®¬n gi¶n chøa tam thøc bËc hai
Khi tÝnh tÝch ph©n ph©n thøc h÷u tû thùc sù víi mÉu lµ tam thøc
bËc 2, nÕu mÉu cã nghiÖm thùc th× ®a vÒ ph©n thøc ®¬n gi¶n.
Ch¼ng h¹n:
3
x
1
x
1
1
x
2
3
x
2
x
3
2
x
NÕu mÉu kh«ng cã nghiÖm thùc sù, víi nh÷ng d¹ng cô thÓ ta cã
c¸ch lµm riªng.
dx
ax 2
bx
c
dx
dx
dx
2
6.2.1. D¹ng
2
hoÆc
hoÆc
dx
bx
c
ax
ax
bx
c
BiÕn ®æi tam thøc bËc hai vÒ tæng hoÆc hiÖu c¸c b×nh ph¬ng, sau
®ã dïng c«ng thøc tÝch ph©n c¬ b¶n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
dx
hoÆc
2
6.2.2. D¹ng
Ax
2
bx
B
a
c
BA
bx
ax
c
BiÕn ®æi thµnh 2 tÝch ph©n sao cho: mét tÝch ph©n cã tö lµ ®¹o
hµm cña tam thøc bËc hai, mét tÝch ph©n cã tö lµ h»ng sè (d¹ng 1).
I
VÝ dô TÝnh
(
x
2
x
)4
2
x
dx
3
I
dx
dx
Gi¶i:
2
2
2
3
1
2
1
2
x
2(
x
6)2
x
2
3
2(
x
x
2
)2
x
3
dx
2
x
x
3
dx
dx
2
ln
x
x
2
x
3
c
TÝnh
2
2
x
2
x
3
(
x
)1
4
2
2
x
2
x
ln33
x
x
2
x
3
c
VËy
2
1
2
(
x
x
)4
dx
2
x
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
6.2.3. D¹ng
2
(
Ax
B
)
ax
bx
c
Ax
B
Dïng phÐp biÕn ®æi
®a vÒ d¹ng 1)
1
y
(
Ax
)
dxB
6.2.4 D¹ng
2
(
)
x
ax
bx
c
)(x
T¸ch thµnh tæng hai tÝch ph©n, mét tÝch ph©n cã tö lµ
,
mét tÝch ph©n cã tö lµ h»ng sè.
2(
x
)1
dx
I
VÝ dô: TÝnh
2
(
x
)1
x
3
x
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
(2
x
dx
3
I
dx
2
Gi¶i:
2
3)1
2
2
x
3
x
3
(
x
)1
x
3
x
3
3
x
3
(
x
)1
x
2
dx
dx
I
ln
x
x
1
c
1
§Æt
2
2
3
2
3
2
3
4
x
3
x
3
x
3
2
3
4
dx
I
x
dx
1
dy
2
TÝnh
, ®Æt
2
1
y
1
2
y
(
x
)1
x
3
x
3
dy
dy
dy
1
2
y
I
2
VËy:
2
2
1
y
y
y
1
3
1
y
1
2
y
1
y
1
y
1
y
1
1
dy
2
ln
y
y
1
y
c
2
2
3
1
2
y
1
2
3
4
2
2
3
x
I
ln2
x
x
ln3
c
Do ®ã:
3
2
3
2
3
4
1
x
1
1
2
x
3
x
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.3. TÝch ph©n c¸c hµm lîng gi¸c
6.3.1.Ph¬ng ph¸p chung
tg
t
R
(sin
x
,
cos
x
)
dx
§Æt
TÝnh
x
2
2
sin
x
cos
x
x 2
arctgt
dx
Khi ®ã:
,
,
,
2
2
2
1
1
t
t
t
2
t
1
dt
2
t
1
I
VÝ dô: TÝnh
dx
3
sin4
x
cos
x
5
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
t
tg
Gi¶i: §Æt
, ta cã:
x
2
2
1
I
2
c
2
2
2
1
t
2
2
t
dt
8
t
(
t
8
dt
)2
3
4
5
2
2
2
dt
t
1
1
2
t
t
1
t
t
c
VËy
dx
3
sin4
x
cos
x
5
tg
2
1
x
2
Chó ý: Trong mét sè trêng hîp ®Æc biÖt, ta cã thÓ ®i ®Õn kÕt qu¶
nhanh h¬n b»ng c¸c phÐp biÕn ®æi thÝch hîp. Trong c¸c trêng hîp
®ã ph¬ng ph¸p chung nãi trªn cã thÓ ®a ®Õn tÝch ph©n cña c¸c
hµm h÷u tØ phøc t¹p.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.3.2. Mét sè trêng hîp ®Æc biÖt
R
(sin
x
,
cos
x
)
dx
1) TÝch ph©n d¹ng:
R
(sin
x
,
cos
x
)
t
tgx
cos
x
NÕu
lµ mét hµm ch½n ®èi víi
sin vµ
x
, ta ®Æt
t
1
dx
sin
x
cos
x
x
arctgt
Khi ®ã
,
,
,
2
2
2
dt
1 t
1
t
1
t
R
(sin
x
,
cos
x
)
cos
x
t
sin
x
NÕu
lµ hµm lÎ ®èi víi
, ta ®Æt
R
(sin
x
,
cos
x
)
x
t
cos
x
NÕu
lµ hµm lÎ ®èi víi
sin , ta ®Æt
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
3
sin
x
dx
I
1)
x
cos
sin
x
2
sin
x
Hµm díi dÊu lÎ víi
cos
x
dt
t
sin
xdx
§Æt
2
2
2
)
)
dt
I
dx
dt
2
2
x
sin
1(
2
cos
2
sin
x
x
1
cos
2
xd
2
cos
x
(cos
1
x
t
2
t
dt
1
1
2
1
4
t
1
2
t
t
ln
c
t
ln
c
1
2
2
8
1
2
2
8
t
t
12
12
t
1
2
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
I
2
2
2)
sin
x
sin
3
cos
x
dx
2
x
cos
x
Hµm díi dÊu ch½n víi c¶
1
tgx
dx
t
sin
x
cos
x
§Æt
,
;
2
2
2
sin vµ
x
t
1
t
1
t
dt
2
dt
1
I
VËy:
2
2
2
1
2
1
2
t
t
t
2
2
2
3
2
dt
1 t
1
t
2
t
t
1
3
t
1
t
2
1
t
dt
1
2
5
4
t
2
t
1
1
1
arctg
c
arctg
c
5
5
5
1
2
5
2
2
tgx
1
arctg
c
2
2
VËy
5
sin2
x
x
3
cos
x
dx
2sin
1
5
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
nm,
sin
m cos
x
xdx
;
lµ nh÷ng sè nguyªn.
2) TÝch ph©n d¹ng
cos
x
t
sin
x
t
- NÕu m lÎ, ta ®Æt
; n lÎ, ta ®Æt
- NÕu c¶ m vµ n ®Òu ch½n, vµ Ýt nhÊt mét trong hai sè ®ã ©m, ta ®Æt
tgx
t
- NÕu m vµ n ®Òu ch½n d¬ng, ta dïng c¸c c«ng thøc gãc nh©n ®«i
®Ó h¹ bËc:
sin 2
x
1(
cos
x
)2
cos 2
x
1(
cos
x
)2
sin
x
cos
x
2sin
x
;
;
1
2
1
2
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
3
I
dx
1)
4
cos
sin
x
x
sin
x
t
3n
dt
cos
xdx
lÎ, ®Æt
2
2
2
cos
xdx
1(
sin
xdx
)
)
dt
1(
I
c
4
4
4
3
.
x
sin
cos
x
x
sin
cos
x
t
t
1
t
3
1
t
I
c
VËy
3
1
sin
x
1
sin3
x
2
2
I
dx
.
.
2)
6
2
sin
cos
x
x
sin
cos
x
x
1
2
cos
dx
2
cos
x
x
dt
§Æt
tgx
t
dx
2
cos
x
3
5
3
5
x
x
2
2
I
c
I
t
1(
t
).
dt
c
VËy
tg
3
tg
5
t
3
t
5
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
sin
ax sin
bxdx
sin
ax cos
bxdx
cos
ax cos
bxdx
,
3) TÝch ph©n d¹ng
,
Dïng c¸c c«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng
cos
ax
cos
bx
a
)
xb
cos(
a
cos(
xb
)
1
2
sin
ax
sin
bx
a
)
xb
cos(
a
cos(
xb
)
1
2
sin
ax
cos
bx
a
)
xb
sin(
a
sin(
xb
)
1
2
2sin
x
cos
5
xdx
(sin
7
x
)3sin
dxx
VÝ dô: TÝnh tÝch ph©n:
1
2
7sin
xdx
3sin
xdx
cos
7
x
cos
3
x
c
1
2
1
2
1
14
1
6
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.4. TÝch ph©n x¸c ®Þnh
6.4.1. §Þnh nghÜa
Cho hµm
x
b
a
x
ba,
, chia tïy ý ®o¹n
.....
x
ba,
. §Æt
1
2
0
0
x
x
)(xf
thµnh n ®o¹n nhá bëi c¸c ®iÓm
, vµ trªn mçi ®o¹n
x
i
x
1
i
i
x¸c ®Þnh trªn ®o¹n
x
i
x ,1
i
ta lÊy mét ®iÓm itïy ý
n
(
i
3,2,1
,....,
n
)
I
f
(
i
)
x
. LËp tæng:
.
n
i
i
1
)(xf
ba,
trªn
. Cho sè ®iÓm chia
nI gäi lµ tæng tÝch ph©n cña hµm
0
(
n
)
t¨ng lªn v« h¹n
sao cho
; nÕu trong qu¸ tr×nh ®ã
max ix
nI dÇn tíi mét giíi h¹n x¸c ®Þnh I kh«ng phô thuéc vµo c¸ch
ba,
vµ c¸ch lÊy ®iÓm
mµ
chia ®o¹n
i th× ta gäi I lµ tÝch ph©n x¸c ®Þnh
a
],[ ba
)(
dxxf
)(xf
cña hµm
trªn ®o¹n
Ký hiÖu:
b
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NghÜa lµ:
a
n
)(
dxxf
f
)
x
(
i
i
lim
x
0
i
1
b
)(xf
Khi ®ã hµm
lµ
®îc gäi lµ kh¶ tÝch trªn ®o¹n
ba,
,
ba,
kho¶ng lÊy tÝch ph©n, a lµ cËn díi, b lµ cËn trªn cña tÝch ph©n, x lµ
biÕn tÝch ph©n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b
)(
dxxf
)(xf
(nÕu cã) chØ phô thuéc vµo hµm
Chó ý: TÝch ph©n
a
díi dÊu tÝch ph©n vµ c¸c cËn a vµ b mµ kh«ng phô thuéc vµo biÕn
tÝch ph©n.
b
b
NghÜa lµ:
)(
xf
dx
f
)(
t
dt
a
a
- Khi ®Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh, ta gi¶ thiÕt
ba , nÕu
ab ta ®Þnh
a
b
)(
xf
dx
)(
xf
dx
nghÜa:
b
a
b
a
)(
dxxf
)(
dxxf
0
Vµ khi
b th×
a
a
a
b
S
)(
dxxf
(C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch h×nh thang cong)
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.4.2. §Þnh lý vÒ sù tån t¹i cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh
],[ ba
)(xf
§Þnh lý: NÕu hµm
liªn tôc trªn ®o¹n
th× nã kh¶ tÝch
trªn ®o¹n ®ã.
Chó ý: §Þnh lý trªn cho ta ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm )(xf
kh¶ tÝch
,[ ba
]
trªn
. §ã kh«ng ph¶i lµ mét ®iÒu kiÖn cÇn. Mét hµm kh¶ tÝch
],[ ba
trªn
th× kh«ng nhÊt thiÕt liªn tôc trªn ®o¹n ®ã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
- Ngêi ta còng chøng minh ®îc r»ng: NÕu
cã mét ®iÓm
],[ ba
c
gi¸n ®o¹n lo¹i mét
x trªn ®o¹n
th× nã kh¶ tÝch trªn ®o¹n Êy
vµ ta cã:
b
c
b
f
dx
)(
dxxf
)(
dxxf
(
x
)
a
a
c
)(xf
- MÖnh ®Ò trªn vÉn ®óng nÕu
cã mét sè h÷u h¹n ®iÓm gi¸n
],[ ba
®o¹n lo¹i 1 trªn ®o¹n
.
1
dxa x
VÝ dô: Dïng ®Þnh nghÜa tÝnh
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
]1,0[
)(
xf
xa
Gi¶i: V×
liªn tôc trªn ®o¹n
nªn nã kh¶ tÝch trªn
1
n
]1,0[
x
dxa
f
()
x
)
. Do ®ã ta cã
, trong ®ã giíi h¹n cña vÕ
(
i
i
lim
x
max
0
i
1
0
]1,0[
ph¶i tån t¹i kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chia
vµ c¸ch lÊy ®iÓm i
]1,0[
Do ®ã cã thÓ chia
vµ lÊy ®iÓm i mét c¸ch ®Æc biÖt ®Ó viÖc
tÝnh to¸n ®îc dÔ dµng.
]1,0[
0
x
Chia
thµnh n ®o¹n nhá b»ng nhau bëi c¸c ®iÓm chia
,
0
.
1nx
i
xi ,
n
1
1 ,
x
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
i
1
2,1i
x
x
x
- §Æt
(
,..., n)
i
i
i
1
i
n
n
1
n
1
i
n
,
(
i
,1
n
f
a
- Chän trªn
®iÓm
)
)(
i
i
i
n
i
n
i
n
n
i
n
1
n
2
n
n
n
I
a
.
a
a
...
a
- LËp tæng tÝch ph©n
n
i
1
1
n
1
n
1
n
2
n
n
n
I
lim
a
a
...
a
- TÝnh giíi h¹n
lim =
I
n
n
n
1
n
1
)1
dxa x
lim
VËy
n
1
a
a
ln
1
(
aa
n
1
n
1
a
a
ln
0
a
1
1
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.4.3. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh
Gi¶ sö c¸c hµm díi dÊu tÝch ph©n ®Òu kh¶ tÝch trong ®o¹n lÊy
tÝch ph©n.
TÝnh chÊt 1: Thõa sè h»ng sè cã thÓ ®a ra ngoµi dÊu tÝch ph©n
b
b
cf
)(
x
dx
)(
xf
dx
(c: const)
.
c
a
a
TÝnh chÊt 2: TÝch ph©n cña mét tæng ®¹i sè mét sè h÷u h¹n c¸c
hµm b»ng tæng c¸c tÝch ph©n cña mçi sè h¹ng
b
b
b
b
)(
xf
)(
xg
)(
xh
)(
dxxf
)(
dxxg
)(
xh
dx
dx
a
a
a
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 3: Víi ba sè a, b, c bÊt kú, ta lu«n lu«n cã:
b
b
c
)(
dxxf
)(
xf
)(
dxxf
a
c
a
b
cdx
(
bc
a
)
)(
Cxf
TÝnh chÊt 4: NÕu
; (C = const) th×:
a
xf
)(
xg
)(
TÝnh chÊt 5: NÕu
vµ
ba th×:
trªn
ba,
b
b
)(
xf
dx
)(
dxxg
a
a
)(xf
TÝnh chÊt 6: NÕu m vµ M lµ c¸c trÞ bÐ nhÊt vµ lín nhÊt cña
b
bm
(
a
)
f
bMdx
(
a
)
x
)(
vµ
ba th×
trªn
ba,
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.4.4. §Þnh lý vÒ gi¸ trÞ trung b×nh
)(xf
ba,
NÕu
liªn tôc trªn ®o¹n
th× trªn ®o¹n ®ã cã Ýt nhÊt mét
b
b
xf
)(
dx
f
(
b
)(
a
)
f
)(
)(
dxxf
®iÓm sao cho:
. Gi¸ trÞ
®îc
1
a
b
a
a
)(xf
gäi lµ trÞ trung b×nh cña
.
trªn ®o¹n
ba,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.5. C«ng thøc Newton- Leibnitz (Niut¬n-Lepnit)
6.5.1. C«ng thøc ®¹o hµm cËn trªn
Ta ®· biÕt tÝch ph©n x¸c ®Þnh phô thuéc vµo cËn lÊy tÝch ph©n,
x
)(
tf
dt
lµ mét hµm cña x (hµm cña cËn trªn). Ta
do ®ã tÝch ph©n
a
x
)(
x
f
)(
t
dt
®Æt
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
ba,
§Þnh lý: NÕu
liªn tôc trªn
th× hµm
)(x cã ®¹o hµm
trªn ®o¹n ®ã vµ:
x
f
t
)(
dt
xf
)(
(
x
)
d
dx
a
x
f
)(
t
dt
)(xf
Nãi c¸ch kh¸c:
lµ mét nguyªn hµm cña hµm
(
x
)
a
trªn
.
®Òu cã nguyªn hµm trªn
ba,
HÖ qu¶: Mäi hµm liªn tôc trªn
ba,
®o¹n ®ã.
Chó ý: NÕu c¸c cËn tÝch ph©n lµ hµm cña x th×:
x
(
x
t
)(
dt
)
f
)
tf
)(
dt
f
f
)(
x
)(
x
)(
x
)(
x
d
dx
x
)
(
x
)
(
(
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.5.2. C«ng thøc Newton- Leibnitz
)(xf
)(xF
§Þnh lý: NÕu
vµ
lµ mét nguyªn
liªn tôc trªn ®o¹n
ba,
hµm cña nã trªn ®o¹n ®ã, th×:
b
)(
dxxf
)(
bF
)(
aF
a
C«ng thøc trªn lµ c«ng thøc Newton- Leibnitz.C«ng thøc Newton-
b
xf
)(
dx
xF
)(
bF
)(
aF
)(
Leibnitz cã thÓ viÕt
b
a
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.5.3. C¸c vÝ dô
x
1
x
dxx
1) TÝnh
b
a
a
ln
x
0
2
2
sin
t
dt
sin
x
2) TÝnh ®¹o hµm: a)
1
a
a
ln
d x
dx
0
0
2
4
4
1
t
dt
0.1
1
x
2.
x
2
x
1
x
b)
d
dx
2
X
2/1
I
2
3) íc lîng tÝch ph©n:
dx
cos
x
35
0
0
cos
2
x
1
V×
nªn:
I
2
2
1
5
1
8
1
cos
x
2
1
8
1
5
35
.0
.0
2/1
2
16
10
dx
cos
x
35
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.5.4. C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh
6.5.4.1. Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè.
b
)(
dxxf
x
)(t
)(xf
ba,
1. §æi biÕn
víi
liªn tôc trªn
.
. XÐt tÝch ph©n
a
x
)(t
Gi¶ sö phÐp ®æi biÕn
tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn:
)(t cã ®¹o
(
a)
(
b)
vµ
;
th× khi t biÕn thiªn trong
hµm liªn tôc trªn
,
. Khi ®ã:
,
b
)(
dxxf
dt
f
)(
)(
t
t
a
Chó ý: Sau khi tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh b»ng ph¬ng ph¸p ®æi
biÕn, ta kh«ng cÇn trë vÒ biÕn cò nh khi tÝnh tÝch ph©n bÊt ®Þnh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1
2
4
x
dx
I
.
VÝ dô: TÝnh
0
x
sin2
t
dx
2
cos
tdt
0t
0x
§Æt:
. Khi
th×
t
1t
th×
6
6
6
I
2
cos
t
2.
cos
tdt
4
cos
t
2
t
1
dt
VËy:
1
2
t
2sin
2
3
3
2
2
0
6
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b
)(
dxxf
t
)(x
)(xf
2. §æi biÕn:
víi
liªn tôc trªn ®o¹n
. XÐt tÝch ph©n
a
t
)(x
. Gi¶ sö phÐp ®æi biÕn
tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn:
)(x biÕn
ba,
)(
xf
dx
tg )(
dt
vµ cã ®¹o hµm liªn tôc;
trë thµnh
lµ
thiªn, ®¬n ®iÖu trªn
ba,
(
b
)
b
dxxf
)(
a
)(
t
b
)(
mét hµm liªn tôc trong ®o¹n
Khi ®ã:
t
)(
dt
a
(
a
)
2
I
.
VÝ dô: TÝnh
cos
1
xdx
2
x
sin
0
x
t
1
t
sin
x
dt
cos
xdx
x
0
t
0
§Æt
;
; Khi:
2
1
1
I
arctgt
VËy:
2
1
dt
t
4
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: Hoµn toµn gièng tÝch ph©n bÊt ®Þnh, nÕu hµm sè díi
2
2
a
x
ax
sin
t
dÊu tÝch ph©n cã chøa c¨n thøc d¹ng
®Æt:
;
2
2
2
2
x
a
a
x
x
atgt
x ®Æt
;
a
cos
t
Khi ®æi biÕn tÝch ph©n tõ x sang t ph¶i ®æi lu«n cËn lÊy tÝch
ph©n vµ kh«ng cÇn ph¶i quay vÒ biÕn x ,
NÕu hµm sè díi dÊu tÝch ph©n lµ hµm ch½n nghÜa lµ:
a
a
)(
dxxf
2
)(
dxxf
xf
(
)
f
(
x
)
th×
a
0
xf
(
)
f
(
x
)
NÕu hµm sè díi dÊu tÝch ph©n lµ hµm lÎ nghÜa lµ:
a
dxxf
)(
0
th×:
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.6. TÝch ph©n suy réng
,a
:
6.6.1 TÝch ph©n suy réng víi cËn v« h¹n
6.6.1.1. Kho¶ng lÊy tÝch ph©n lµ
Gi¶ sö
vµ kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n h÷u
x¸c ®Þnh trªn
,a
)( xf
b
a
b
x
)(
xf
dx
h¹n
, tÝch ph©n Êy tån t¹i víi mäi
. XÐt tÝch ph©n
a
b
)(
xf
dx
a
b . Ta gäi giíi h¹n (h÷u h¹n hay v« cïng)
lµ tÝch ph©n
lim
b
a
)(
xf
dx
,a
suy réng cña
trong
)( xf
. Ký hiÖu
a
Trong trêng hîp giíi h¹n trªn lµ h÷u h¹n ta nãi tÝch ph©n suy réng
b
)(
xf
dx
lµ héi tô vµ giíi h¹n trªn lµ trÞ cña nã.
)(
xf
dx
lim
)(
xf
dx
b
a
a
a
NÕu giíi h¹n trªn kh«ng tån t¹i hay v« cïng, ta nãi tÝch ph©n
)(
xf
dx
ph©n kú.
suy réng
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.6.1.2. Ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
)(xU
)(xV
Gi¶ sö
vµ
lµ nh÷ng hµm cã ®¹o hµm liªn tôc trªn
. Khi ®ã:
®o¹n
ba,
b
b
b
.
dvu
.
vu
vdu
a
a
a
§©y lµ c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn.
e
ln
xdx
I
VÝ dô:
1
u
ln
du
x
dv
dx
v
x
§Æt
;
dx
x
e
I
x
ln
x
dx
e
ln
e
(1ln1
e
1)1
e
1
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
[
]
6.6.1.3. Kho¶ng lÊy tÝch ph©n lµ
.
a
,
T¬ng tù trªn ta ®Þnh nghÜa tÝch ph©n suy réng:
a
a
(
c
a
)
)(
xf
dx
lim
)(
xf
dx
;
c
c
(
,
)
6.6.1.4. Kho¶ng lÊy tÝch ph©n lµ
a
)(
dxxf
)(
dxxf
)(
dxxf
a
)(
xf
dx
chØ héi tô khi vµ chØ khi hai
Chó ý: TÝch ph©n suy réng
tÝch ph©n ë vÕ ph¶i héi tô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô:
0
0
c
TÝnh
2
2
2
2
2
lim
b
lim
C
dx
x
dx
x
1
dx
x
1
dx
x
1
dx
x
1
1
0
b
0
lim
(
arctg
0
arctgb
)
(
arctgc
arctg
)0
lim
(h÷u h¹n)
b
C
2
2
VËy tÝch ph©n ®· cho héi tô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.6.2. TÝch ph©n suy réng víi hµm kh«ng giíi néi
ba,
6.6.2.1. TÝch ph©n suy réng trªn
)(xf
ba,
Cho hµm
kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n
víi
0 bÐ tïy ý
x
0 b
vµ kh«ng giíi néi khi
Ta gäi giíi h¹n (h÷u h¹n hay v« cïng)
b
b
lim
)(
xf
dx
)(
dxxf
ba,
lµ tÝch ph©n suy réng trªn
, ký hiÖu lµ
0
a
a
Trong trêng hîp giíi h¹n trªn lµ h÷u h¹n, ta nãi tÝch ph©n suy
réng héi tô vµ giíi h¹n trªn lµ trÞ cña nã:
b
b
)(
dxxf
)(
dxxf
(1)
lim
0
a
a
NÕu giíi h¹n trªn lµ v« cïng hay kh«ng tån t¹i, ta nãi tÝch ph©n
suy réng ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
,
)(xf
6.7.2.2. Hµm
vµ kh«ng giíi
kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n
a
b
b
b
)(
xf
dx
)(
xf
dx
x
0 a
néi khi
, ta ®Þnh nghÜa t¬ng tù vµ
(2)
lim
0
a
a
)(xf
6.7.2.3. Hµm
kh«ng giíi néi khi
, ta
ba
,
x víi
0x
0
x
; xa
ba,
chia
vµ viÕt:
thµnh hai kho¶ng
vµ
0
bx ,0
b
b
x
0
)(
xf
dx
)(
dxxf
)(
xf
dx
(3)
a
a
x
0
b
)(
dxxf
héi tô khi vµ chØ
Trong ®¼ng thøc trªn, tÝch ph©n suy réng
a
khi c¶ hai tÝch ph©n suy réng ë vÕ ph¶i héi tô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý:
)(xf
Trong trêng hîp
cã ®iÓm gi¸n ®o¹n v« cùc t¹i
ax (hoÆc
x
)b
)(xF
ba,
, nÕu ta ®· biÕt
lµ hµm liªn tôc trªn ®o¹n
vµ lµ
],( ba
)(xf
nguyªn hµm cña
trªn
th× tÝch ph©n suy réng
ba,
(hoÆc
b
b
)(
xf
dx
)(
bF
)(
aF
)(
xf
dx
(4)
cã thÓ ®îc viÕt lµ:
a
a
)(xf
C«ng thøc (4) vÉn ®óng trong trêng hîp
cã mét sè h÷u
)(xF
ba,
h¹n ®iÓm gi¸n ®o¹n v« cùc trªn
nÕu nguyªn hµm
cña nã
ba,
liªn tôc trªn
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1
dx
VÝ dô 1: TÝnh
2
1
1 x
01 x
Hµm díi dÊu tÝch ph©n kh«ng giíi néi khi
vµ
01 .
Do ®ã:
1
0
1
0
1
dx
dx
dx
dx
2
2
2
2
2
lim
0
lim
0
1
dx
x
1
1
0
1
0
1
x
1
x
1
x
1
x
0
dx
(arcsin
0
arcsin(
1
))
TÝnh
2
lim
0
lim
0
2
1
1
x
1
1
dx
lim
T¬ng tù
héi tô
2
2
0
1
dx
2
x
0
1
1
x
1
dx
vµ:
2
1
1 x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1
VÝ dô 2: TÝnh
dx
3 x
1
0x
Hµm díi dÊu tÝch ph©n kh«ng giíi néi khi
nhng nguyªn
2
3
1,1
hµm cña nã lµ
x liªn tôc trªn ®o¹n
3
2
2
3
x
0
Nªn ta cã
1
1
3
2
dx
x
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.6.3. Tiªu chuÈn héi tô cña tÝch ph©n suy réng
0)( xf
1) Trêng hîp
)(xf
)(xg
§Þnh lý 1: Cho
vµ
kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n h÷u h¹n
(
a
b
)
0
xf
)(
xg
)(
ba,
,
, víi mäi
ax . Khi ®ã:
víi b lín tïy ý vµ
dxxg )(
)(
xf
dx
héi tô
- NÕu
héi tô th×
a
a
)(
xf
dx
xg )(
dx
ph©n kú
- NÕu
ph©n kú th×
a
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
)(xg
§Þnh lý 2: Gi¶ sö
vµ
lµ nh÷ng hµm kh«ng ©m vµ kh¶
víi blín tïy ý. Khi ®ã nÕu tån t¹i giíi h¹n:
tÝch trªn mäi ®o¹n
ba,
lim
k
0(;
k
)
)(
dxxf
dxxg )(
th× c¸c tÝch ph©n suy réng
vµ
x
xf
)(
)(
xg
a
a
sÏ cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
2) Trêng hîp
cã dÊu tïy ý
)(
xf
dx
)(
xf
dx
héi tô. Trong trêng hîp nµy
§Þnh lý 3: NÕu
héi tô th×
a
a
)(
xf
dx
)(
xf
dx
héi tô mµ
ngêi ta gäi
lµ héi tô tuyÖt ®èi. Cßn nÕu
a
a
)(
xf
dx
)(
xf
dx
lµ b¸n héi tô (héi tô kh«ng tuyÖt ®èi).
ph©n kú th× ta nãi
a
a
Chó ý:
- Ngêi ta thêng so s¸nh víi tÝch ph©n suy réng:
1 héi tô,
1 ph©n kú)
(
x
0)( xf
dx
a x
- Khi
, hµm
lµ mét v« cïng bÐ cïng bËc víi:
)0
)(
xf
dx
héi tô khi
1 vµ ph©n kú khi
1
th×
1
x
(
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b
)(
dxxf
6.6.3.2. Sù héi tô cña tÝch ph©n suy réng
a
,
0
( xg
)
( xf
)
b
ba,
C¸c tiªu chuÈn so s¸nh cña nã t¬ng tù phÇn trªn, chØ kh¸c r»ng
,
kh¶ tÝch trªn c¸c ®o¹n
hoÆc
a
mäi
,
b
b
;1
. Khi ®ã hai tÝch ph©n nµy héi tô nÕu
vµ
)
b
(
)
a
0
ab
dx
(
ax
1 .
)(xf
Chó ý: Ngêi ta thêng so s¸nh víi tÝch ph©n suy réng
dx
x
a
ph©n kú nÕu
Gi¶ sö
. NÕu
) vµ
(
kh¶ tÝch trªn
x
b
(;
)0
xf
)(
0
vµ lµ VCL cïng bËc víi
khi
th×
ba,
1
b
x
(
)
b
)(
xf
dx
héi tô khi
1 .
a
0
,
)(xf
xf
)(
0
NÕu
; (
). NÕu
vµ lµ
;1 ph©n kú khi
b
b
)(
xf
dx
x
a
(;
)0
VCL cïng bËc víi
héi tô khi
khi
th×
)
(
a
kh¶ tÝch trªn
a
1
x
a
1 .
;1 ph©n kú khi
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
k
VÝ dô 1: XÐt sù héi tô ph©n kú cña tÝch ph©n
4
ln(ln
.
x
x
)
4
4x
0
Gi¶i: Ta cã
; (
)
1
ln(ln
x
.
x
)
1
ln
x
x
d
)
)1
Mµ
dx
ln
x
x
x
(ln
x
ln
4
4
dx
ph©n kú (v× cã d¹ng
,
a x
VËy tÝch ph©n ®· cho ph©n kú.
1
2sin
x
dx
VÝ dô 2: XÐt
.
x
0 1
2sin
x
1
( x
Ta cã
;
)1,0
1
x
1
x
1
b
)1
,
Mµ
héi tô (v× cã d¹ng
dx
x
)
(
b
1
2
a
dx
0 1 x
1
héi tô. Chøng tá tÝch ph©n ®· cho héi tô tuyÖt ®èi.
dx
2sin
x
x
0 1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng VII
Ph¬ng tr×nh vi ph©n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa
Ph¬ng tr×nh vi ph©n lµ ph¬ng tr×nh liªn hÖ gi÷a biÕn ®éc lËp
(hay c¸c biÕn ®éc lËp) víi hµm cha biÕt vµ c¸c ®¹o hµm cña nã.
NÕu hµm cha biÕt lµ hµm cña mét biÕn ®éc lËp th× ph¬ng tr×nh
®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n thêng gäi t¾t lµ ph¬ng tr×nh vi
ph©n.
CÊp cña ph¬ng tr×nh vi ph©n lµ cÊp cao nhÊt cña ®¹o hµm cã
mÆt trong ph¬ng tr×nh Êy.
NghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n lµ mäi hµm tháa m·n ph¬ng
tr×nh Êy, tøc lµ mäi hµm sao cho khi thÕ nã vµo ph¬ng tr×nh Êy ta
®îc mét ®ång nhÊt thøc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1. Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I
7.1.1. Tæng qu¸t vÒ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I
7.1.1.1. §Þnh nghÜa
Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét lµ ph¬ng tr×nh chøa ®¹o hµm cÊp
yyxF
,
,(
0)
1 cña Èn hµm, nã cã d¹ng:
(1)
Trong ®ã x lµ biÕn ®éc lËp, y lµ Èn hµm (tøc lµ hµm cha biÕt) vµ
y lµ ®¹o hµm cÊp 1 cña nã.
NÕu gi¶i ®îc ph¬ng tr×nh (1) ®èi víi y th× ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp
y
yxf
,(
)
yxf
,(
)
mét cã d¹ng:
hay
(2)
dx
dy
2
y
dx
xdy
0
3
yy
2
x
2
0
VÝ dô:
;
lµ c¸c ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.1.2. §iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm
yxf
),(
y
yxf
,(
)
Cho ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét
.NÕu
liªn
y
)(xy
(
)
tôcc trong mét miÒn chøa ®iÓm
th× tån t¹i mét nghiÖm
0 yx
,
0
x
cña ph¬ng tr×nh ®ã, nghiÖm Êy lÊy gi¸ trÞ
. NÕu ngoµi
0x
0y khi
ra
còng liªn tôc th× nghiÖm Êy lµ duy nhÊt.
f
y
x
y
)(xy
§iÒu kiÖn hµm
lÊy trÞ
®îc gäi lµ ®iÒu kiÖn
0x
0y khi
y
y
®Çu vµ viÕt:
xx
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.1.3. NghiÖm tæng qu¸t, nghiÖm riªng
y
)(x
- NghiÖm: Hµm
lµm cho ph¬ng tr×nh vi ph©n (1) hoÆc
(2) trë thµnh ®ång nhÊt thøc (nghÜa lµ ®¼ng thøc ®óng víi mäi x gäi
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n.
NÕu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cho díi d¹ng Èn
yx
,(
)
0
yx
0),(
th× gäi
lµ tÝch ph©n cña ph¬ng tr×nh vi ph©n.
NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét lµ hµm:
y
cx
),(
(3)
Trong ®ã c lµ h»ng sè tïy ý tháa m·n ph¬ng tr×nh vi ph©n Êy
víi mäi c.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NÕu nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét cho
cyx
),
,(
0
cyx
0),
,(
díi d¹ng Èn
th×
gäi lµ tÝch ph©n tæng
qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n.
NghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét lµ mçi nghiÖm
y
)
mµ ta nhËn ®îc tõ nghiÖm tæng qu¸t (3) b»ng c¸ch cho
0cx
,(
h»ng sè c tïy ý mét gi¸ trÞ cô thÓ
0C .
NÕu nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét cho
cyx
),
,(
0
díi d¹ng Èn
. Cho
ta ®îc ph¬ng tr×nh
0CC
,(
)
0
, gäi lµ tÝch ph©n riªng cña ph¬ng tr×nh vi ph©n.
0 cyx
,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
1 x
y
e
VÝ dô 1: Chøng tá r»ng hµm
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi
2
xydx
1
x
dy
0
ph©n cÊp mét:
.
1
2
x
)2(
x
.
ex
1
2
x
1
2
x
1
2
x
ey
dy
dx
e
.
dx
dy
dx
Gi¶i: Tõ:
e
2
2
12
x
1
x
Thay vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ta cã:
2
1
x
2
ex
.
1
x
2
ex
.
dx
1
x
.
dx
0
2
1
x
2
1 x
y
e
Ta ®îc ®ång nhÊt thøc, chøng tá
lµ nghiÖm.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
3
ex
y
2
0
VÝ dô 2: Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh
(y lµ hµm Èn
cña x) lµ tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét:
y
y
3
yex
3 2
ex
y
0
)(
xy
Gi¶i: Theo c«ng thøc ®¹o hµm cña hµm Èn
víi:
xF
)(
)(
yF
y
yxF
(
,
)
3
ex
y
2
y
2
xy
)(
Khi ®ã
. Thay vµo ph¬ng tr×nh vi ph©n ta cã:
3
y
3
ex
ex
1
y
2
y
2
5
2
y
y
2
2
y
y
5
2
3
ex
3
ex
3
ex
y
3
2
y
ex
.
3
ex
0
3
y
3
y
y
3
3
ex
ex
1
3
ex
ex
1
ex
ex
3
1
ex y
3
y
02
Chøng tá:
lµ tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh trªn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.2. Ph¬ng tr×nh cã biÕn ph©n ly
y
)(xf
7.1.2.1. D¹ng thø nhÊt
(4)
y
)(
xf
dx
C
C«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t
(5)
y
'
yf
)(
7.1.2.2. D¹ng thø hai:
)(
yf
dx
yf
)(
0
y
)(yf
NÕu
,
dy
dx
(6)
dy
)(
yf
c
x
VËy c«ng thøc nghiÖm:
(7)
y
b
dy
f
y)(
lµ nghiÖm
NÕu
th×
f
(
y
)
0
Chó ý: C¸c h»ng sè trong c«ng thøc nghiÖm cã thÓ chän, ®Æt thÝch
hîp ®Ó c«ng thøc nghiÖm gän vµ ®Ñp.
Khi gi¶i ph¬ng tr×nh vi ph©n ta cã thÓ xem y lµ hµm cña x vµ
ngîc l¹i cã thÓ quan niÖm x lµ hµm cña y.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
y
y
VÝ dô 1: T×m tÝch ph©n riªng cña ph¬ng tr×nh
tháa
1
y
y
m·n ®iÒu kiÖn
1
x
1
2
2
2
y
1
ydy
dx
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho viÕt l¹i ®îc:
2
dy
dx
y
1
y
2
ydy
d
1(
)
y
2
x
x
c
c
x
1
y
c
2
2
1
2
1
y
1
y
1
1
1
1
c
c
0
x
y
Thay
,
ta cã
1
2
2
2
2
2
2
2
x
1
y
x
y
1
VËy tÝch ph©n riªng lµ
hay
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
f
y
)(
dy
0
7.1.2. 3. D¹ng thø ba
(8)
xf
)(
1
2
f
Trong ®ã
lµ hµm cña biÕn ®éc lËp x,
lµ hµm cña biÕn ®éc
)(1 xf
)(2 y
lËp y.
f
)(
y
dy
C
(9)
)(
dxxf
1
2
TÝch ph©n tæng qu¸t
cos
.
yx
y
VÝ dô 2: T×m tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh:
cos
.
x
y
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho viÕt l¹i ®îc
dy
dx
dy
y
dx
cos
x
ln
c
ln
y
ln
tg
ln
c
dy
y
dx
cos
x
x
2
4
VËy nghiÖm tæng qu¸t:
tgCy
.
x
2
4
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.2.4. Mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét ®a ®îc
vÒ ph¬ng tr×nh ph©n ly
a) Ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
dyyNxMdxyNxM
)(
)(
)(
)(
0
(10)
1
1
2
2
xM
yN
NÕu
vµ
, chia c¶ hai vÕ cña (10) cho tÝch
0)(2
0)(1
xMyN
),
)(
(
ta ®îc ph¬ng tr×nh cã biÕn ph©n ly:
2
1
dx
dy
0
xM
)(
1
)(
xM
2
yN
)(
1
)(
yN
1
dx
dy
C
TÝch ph©n tæng qu¸t lµ
)(
xM
1
xM
)(
2
)(
yN
2
yN
)(
1
xM
Chó ý: NÕu
t¹i
ax th×
ax lµ mét nghiÖm riªng cña (10)
0)(2
b
yN
NÕu
t¹i
y th×
b
y lµ mét nghiÖm riªng cña (10)
0)(1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 3: T×m tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
2
2
x
1(
y
)
dx
y
1(
x
)
dy
0
2
2
1(
x
1)(
y
)
Gi¶i: Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho:
ta ®îc:
dx
dy
0
2
2
x
x
1
y
y
1
ln
c
2
2
TÝch ph©n tæng qu¸t:
xdx
x
1
ydy
y
1
2
2
d
)
)
d
ln
c
2
2
1
2
1(
x
1
x
1
2
1(
y
1
y
2
2
1ln(
x
)
1ln(
y
)
ln
c
1
2
1
2
2
2
2
1(
x
1)(
y
)
c
VËy tÝch ph©n tæng qu¸t:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
2
x
e
y
x
dxe
VÝ dô 4: T×m nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy sau
)
y
dy
0
x
0
1(
1(
2 xx
)
Gi¶i: Chia c¶ hai vÕ cho
ta cã:
x
x
2
2
y
dy
dx
y
dy
dx
c
2
x
2
x
e
1
x
e
x
1
3
arctge
x
c
x
,0
y
0
Thay
vµo ta cã:
y
3
0
0
arctge
c
c
4
3
x
x
3
arctge
y
arctge
3
VËy nghiÖm riªng
y
3
4
3
4
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
f
(
ax
by
c
)
b) Ph¬ng tr×nh cã d¹ng
; a, b, c lµ h»ng sè (10')
0b
- NÕu
th× ph¬ng tr×nh cã d¹ng (5)
0a
- NÕu
th× ph¬ng tr×nh cã d¹ng (6)
. ba
0
- XÐt trêng hîp:
z
ax
by
c
z
)(xz
§Æt
. Thay cho viÖc t×m hµm y, ta t×m hµm
.
z
a
'by
Ta cã
. Thay vµo (10') ta ®îc:
a
z
)(zf
z
.
zfb
)(
a
Hay
b
§©y lµ ph¬ng tr×nh d¹ng (6) ®· biÕt c¸ch gi¶i.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 5: T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
2
2
y
'
x
2
xy
y
1
y
'
(
x
y
)
2
1
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho viÕt l¹i ®îc:
z
x
y
y
1
z
z
1
y
§Æt
2
2
z
1
z
2 1
z
z
z
Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã:
dz
dx
dx
dx
x
c
c
z
1
z
1
x
c
dz
2
z
dz
2
z
x
y
y
x
Hay:
1
c
x
1
c
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
y
yxe
2
VÝ dô 6: T×m tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
2
x
2
y
y
y
z
z
z
'
2
Gi¶i: §Æt
Z
Z
Z
2
e
Z
2
e
Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã:
z
e
dx
e z
dz
dx
c
dz
dx
dz
z
e
2
yx
e z
(
x
c
)
1
e
(
x
c
)
1
e z
x
c
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.3. Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp cÊp 1
7.1.3.1. §Þnh nghÜa
Ph¬ng tr×nh vi ph©n ®¼ng cÊp 1 lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng
y
yxf
,(
)
(11)
yxf
,(
)
yx
,(
)
Trong ®ã
lµ hµm cña hai biÕn
cã thÓ viÕt ®îc díi
yxf
,(
)
(
xy
/
)
d¹ng
.
VËy ph¬ng tr×nh (11) cã thÓ viÕt ®îc
y
(
xy
/
)
(12)
Chó ý: Muèn nhËn biÕt mét ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 lµ ®¼ng cÊp
y
'(
yxf
,(
)
hay kh«ng, ta ph¶i gi¶i ra ®èi víi y ;
, sau ®ã biÕn ®æi
xy /
yxf
,(
)
xem cã thÓ biÓu diÔn díi d¹ng hµm cña
hay kh«ng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.3. 2. C¸ch gi¶i
u
/
xy
§Æt
, thay viÖc t×m hµm y ta ®i t×m hµm u
y
.
xu
uxu
)(u
y
uxu
Khi ®ã
nªn
. Thay vµo (12) ta cã
.
xu
)(
u
u
.
x
)(
u
u
Hay
du
dx
u
)(
u
0
NÕu
th× ph¬ng tr×nh ®a ®îc vÒ biÕn sè ph©n ly
ln
x
ln
c
;Vµ tÝch ph©n tæng qu¸t lµ:
du
)(
u
u
dx
x
du
)(
u
u
u
/
xy
Sau khi tÝnh tÝch ph©n trªn, thay
ta ®îc tÝch ph©n tæng
qu¸t cña (11)
y
u
)(
u
0
NÕu
t¹i
th×
còng lµ nghiÖm
0
xu
0uu
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 1: T×m tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
y
/
xye
y
x
u
y
.
xu
.
xu
y
u
Gi¶i: §Æt
y
x
uxu
.
ueu
Thay vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ta ®îc:
u
u
.
x
e
e
du
Hay
du
dx
dx
x
dx
x
du
u
e
TÝch ph©n hai vÕ ta cã:
u
u
u
du
c
ln
e
ln
x
c
ln
e
ln
cx
e
dx
x
xy
/
u
/
xy
e
ln
cx
0
Thay
ta ®îc tÝch ph©n tæng qu¸t
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
VÝ dô 2: T×m tÝch ph©n riªng cña ph¬ng tr×nh
xy
'
y
arctg
y
x
1
tháa m·n ®iÒu kiÖn
1 xy
1
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho viÕt l¹i ®îc:
y
y
x
arctg
y
x
uuxu
Thay vµo ph¬ng tr×nh trªn ta ®îc:
1
arctgu
.
x
.
du
arctgu
du
dx
1
arctgu
dx
x
arctgudu
c
ln
arctgudu
ln
cx
TÝch ph©n hai vÕ ta ®îc:
dx
x
du
u
arctgudu
I
u
arctgu
u
§Æt
;
dv
1
v
1
1
1
2
TÝnh:
du
u
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
d
)
2
I
u
.
arctgu
u
arctgu
.
u
.
arctgu
1ln(
u
)
u
.
VËy:
2
2
du
u
1
1
2
1
2
u
1ln(
u
ln
.
xc
VËy tÝch ph©n tæng qu¸t lµ:
2
2
u
.2
arctgu
1(
u
u
1
1
2
u
ln
)(
2
xc
arctgu
.
1(
2
2
2
2
arctg
1
ln
xc
2
y
x
y
x
1x
arctg
.2
1
Thay ®iÒu kiÖn ®Çu
,
2
)
)
2c
ln
2.
2
2/
2
2
2/
2ln
c
e
2
c
c
e
2
y
x
ta cã:
1y
1
2
2/
2
2
.2
arctg
ln
e
.
x
y
VËy tÝch ph©n riªng lµ:
y
x
y
x
1
2
2
2
x
y
.2
arctg
.
ln
y
x
y
x
2
2
y
yxf
,
(
)
Chó ý: Khi gÆp ph¬ng tr×nh
, ®Ó xem ph¬ng tr×nh cã
yxf
,
(
)
ph¶i lµ d¹ng ®¼ng cÊp hay kh«ng, ta kiÓm tra vÕ ph¶i
cã ph¶i
tyxf
,
(
)
yxf
,
(
)
lµ hµm thuÇn nhÊt bËc kh«ng hay kh«ng. Cô thÓ nÕu
víi mäi t th× ph¬ng tr×nh ®· cho lµ ®¼ng cÊp cÊp 1.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 4 T×m tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh:
2
2
2
7(
x
2
xy
6
y
)
dx
(
x
xy
)4
dy
0
2
2
2
2
6
7
x
y
y
2
2
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt l¹i lµ:
7
dy
x
dx
2
xy
4
6
xy
4
xy
xy
2
x
x
2
.27
y
x
y
x
y
Chia c¶ tö vµ mÉu cho
2x ta ®îc:
.41
.6
y
x
uxu
.
xu
u
y
y
.
§Æt
. Thay vµo trªn ta cã:
y
x
2
2
2
u
6
u
7
6
2
u
u
uxu
.
.
x
u
47
4
u
1
ln
c
2
2
4
u
)1
du
4(
u
u
u
7
2
2
2ln
u
u
u
2
1
dx
x
du
dx
4(
)1
du
u
dx
u
7
2
u
x
2
.
xc
2
u
u
ln
7
7
.
xc
2
2
3
2
.2
cx
cx
7
2
7
x
y
2
y
x
y
x
xy
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.4. Ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1
7.1.4.1. §Þnh nghÜa
Ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
y
xqyxp
)(
)(
(13)
( xp
)
)(xq
Trong ®ã
;
lµ nh÷ng hµm sè cña x .
xq
)(
0
NÕu
th× (13) gäi lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt.
xq
)(
0
NÕu
th× (13) gäi lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh«ng
thuÇn nhÊt
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.4.2. C¸ch gi¶i
yxp
)(
0
y
(14)
Khi xÐt ph¬ng tr×nh (13) ngêi ta gäi ph¬ng tr×nh
lµ ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng.
NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (14)
(
)
dx
y
xpec
.
lµ:
(15)
).
yxp
(
(
xp
).
dx
ThËt vËy: Tõ (14) ta cã thÓ viÕt:
dy
dx
dy
y
)(
xp
dx
y
.
ec
ln
y
)(
dxxp
cln
)(
xp
dx
dy
y
(
xp
(
xp
(
xp
dx
dx
dx
)
)
)
)(
exq
Ce
dx
e
NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn
nhÊt (13) lµ: y
(16)
.
Trong ®ã C lµ h»ng sè tïy ý. Râ rµng nghiÖm tæng qu¸t cña
ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt (13) b»ng mét nghiÖm riªng
cña nã céng víi nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt
t¬ng øng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý:
1a
- NÕu ph¬ng tr×nh ®· cho cã hÖ sè cña y lµ
, ta ph¶i
chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho a.
- Trong trêng hîp, ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 lµ tuyÕn
tÝnh kh«ng ph¶i ®èi víi y mµ ®èi víi x , nghÜa lµ cã thÓ ®a vÒ
x
xyp
).
(
yq
)(
d¹ng:
(17)
Trong ®ã x lµ hµm, y lµ biÕn. Khi ®ã nghiÖm tæng qu¸t cña (17)
(
yp
)
dy
(
yp
)
dy
(
yp
)
dy
Ce
e
)(
eyq
dy
cã d¹ng: x
(18)
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
y
'
x
y
1
VÝ dô 1: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh
tháa m·n
)1(
y
x
2
y
'
.
y
x
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt l¹i
. §©y lµ
1
x
2
)(
xp
xq
)(
x
ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 ®èi víi y víi
.
;
¸p
c«ng
thøc
nghiÖm
tæng
(16):
1
x
qu¸t
(
xp
dx
)
(
xp
)
dx
(
xp
)
dx
dông
.
eCy
e
)(
exq
dx
.
)(
dxxp
ln
x
Víi:
dx
x
3
ln
x
ln
x
ln
x
2
eCy
.
e
2
ex
.
dx
Cx
dx
y
Cx
Nªn:
xx
1
x
1
C
1.
C
1y
1x
Thay ®iÒu kiÖn ®Çu
;
ta cã
x
2
1
2
1
2
3
x
x
y
VËy nghiÖm riªng cÇn t×m:
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
tgy
VÝ dô 2: T×m tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
x
cos
y
cos
.
yy
'
x
sin
y
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc viÕt l¹i:
z
sin
y
z
.
y
cos
y
Z
Z
x
§Æt
. Thay vµo trªn ta cã:
xq
)(
x
xp
;1)(
§©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 ®èi víi Z ; víi
.
)(
xp
dx
)(
xp
dx
)(
xp
dx
.
eCz
e
(
exq
).
dx
Nªn:
.
dx
dx
dx
x
x
x
.
eCz
e
dx
.
eCz
.
ex
e
.
ex
dx
.
x
x
x
x
x
eCz
.
e
eCz
.
e
x
1
xe
x
sin
eCy
.
x
1
VËy:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 3: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh:
y
1
ydx
3(
x
1
ln
y
)
dy
0
1
tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu
.
x
3
y
ln
3
x
(;
y
)0
dx
dy
1
y
1
y
x
.
x
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt l¹i
3
y
ln
y
1
y
)(
yp
)(
yq
§©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 ®èi víi x ,
3
y
ln
y
(
yp
)
dy
(
yp
)
dy
(
yp
)
dy
x
Ce
e
)(
eyq
dy
)(
yp
dy
ln3
y
víi ; . ¸p dông c«ng thøc nghiÖm:
3
dy
y
Trong ®ã:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1
y
ln3
y
ln3
y
ln3
y
x
Ce
e
.
e
dy
VËy
ln
y
1
y
3
3
x
Cy
y
dy
.
3
ln
y
ln
3
3
x
Cy
y
4
4
dy
y
1
y
ydy
y
3
3
x
Cy
ln
y
y
4
3
4
dy
y
1
y
3
1
3
dy
y
3
3
x
Cy
ln
y
y
3
3
1
y
3
1
y
3
4
3
3
x
,
y
1
x
Cy
ln
y
. Thay ®iÒu kiÖn ®Çu:
1
3
4
9
C
C
ta cã:
VËy nghiÖm riªng cÇn t×m lµ:
1
3
4
9
1
9
3
1
3
4
y
x
ln
y
9
1
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.5. Ph¬ng tr×nh Becnuly (Bernoulli)
7.1.5.1. §Þnh nghÜa
Ph¬ng tr×nh Becnuly lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
y
yxqyxp
)(
).
(
(19)
xqxp
),
)(
(
Trong ®ã
lµ hai hµm liªn tôc cña x; lµ mét sè thùc
bÊt kú kh¸c 0 vµ kh¸c 1.
NÕu
0 hoÆc
1 th× (19) trë thµnh ph¬ng tr×nh tuyÕn
tÝnh cÊp 1 ®· xÐt ë phÇn trªn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.5.2. C¸ch gi¶i
(
Víi
1
z
y
, chia c¶ hai vÕ cña (19) cho y ta ®îc:
y
)
.
1(
y
1
yxpyy
).
xq
)(
.
. Thay vµo ph¬ng tr×nh trªn ta
zxp
).
zxp
).
1(
xq
)(
xq
)(
).
)
1(
z
(
(
cã:
0y
§Æt
z
z
1
§©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 ®èi víi Z. Sau khi t×m
®îc nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh nµy, trë vÒ biÕn y, ta
®îc nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh Becnuly (19).
xyqxyp
)(
x
).
(
Chó ý: Trong nhiÒu trêng hîp ph¬ng tr×nh Becnuly kh«ng ph¶i
®èi víi y vµ ®èi víi x , nghÜa lµ cã d¹ng:
(20)
,0
1
Trong ®ã
. Khi ®ã nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng
tr×nh (20) vÉn t×m b»ng c¸ch: trong c«ng thøc nghiÖm trªn chç
nµo cã x thay bëi y, cã y thay bëi x.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
3
xdx
y
dy
VÝ dô 2: T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
x
y
1
x
x
.
3.
xy
dx
dy
x
y
3
y
x
1
y
3
2
.
xx
y
x
.
.
1x
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc viÕt l¹i lµ:
2
3
.
z
y
x
z
z
.2
xx
ta cã: ph¬ng tr×nh cho §©y lµ ph¬ng tr×nh Becnuly ®èi víi x. Chia c¶ hai vÕ cña
1
y
Z
2
1
y
dy
dy
dy
3
2
y
2
y
2
y
.
eCz
e
2(
y
).
e
dy
z
.
z
32
y
§Æt . Thay vµo trªn:
2
y
2
2
3
2
.
yCz
y
y
).
dy
z
Cy
y
ydy
2(.
)2.(2
1
2
y
2
4
2
2
z
2
Cy
2
y
.2
z
Cy
2 y
x
2
yCy
(
)
x
2yCy
y
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
2
yyx
xy
13
VÝ dô 3: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh
,
tháa m·n ®iÒu kiÖn
.
11 xy
2
y
.
y
y
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt
2
1
x
1
x
§©y lµ ph¬ng tr×nh Becnuly ®èi víi y.
2
3
2y
yy
.
y
Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho
, ta cã:
2
1
x
1
x
3
.
z
y
z
z
3
2
yy
§Æt
. Thay vµo trªn ta cã:
z
3
1
x
1
2
x
z
.
Z
.
. §©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 víi Z
3
x
3
2
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
dx
dx
3
x
3
x
3
x
.
eCz
e
dx
e
Nªn:
3
2
x
2
3
Cz
.
.
x
dx
Cz
.
.3.
x
2
1
3
x
1
3
x
3
2
x
1
3
x
1
3
x
2
3
2
z
C
x
C
x
3
3
1
x
3
2
1
x
3
2
y
1
C
C
x
y
,1
1
Thay
ta cã:
3
2
1
2
2
3
y
x
VËy nghiÖm riªng cÇn t×m lµ:
1
3
3
2
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.2. Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai
7.2.1. Tæng qu¸t vÒ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai
7.2.1.1 §Þnh nghÜa
Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
yyyxF
,
,(
,
0)
(1)
y
yyxf
,(
,
)
NÕu gi¶i ®îc ph¬ng tr×nh (1) ®èi víi y th×
(2)
yx
2
yx
x
0
y
x
8
ye
y
;
lµ c¸c ph¬ng tr×nh vi
VÝ dô:
yx
2
ph©n cÊp hai
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.2.1.2. §iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm
y
yyxf
,(
.
)'
(
,
,
yyxf
,(
,
liªn tôc trong mét miÒn nµo ®ã chøa ®iÓm
)
th×
)
yyx
0
0
0
y
)(xy
Cho ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai . NÕu hµm
x
)
y
,
tån t¹i mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®ã, nghiÖm Êy vµ
0x
xy
(
0
0
)
,
®¹o hµm cña nã lÊy t¹i ®iÓm nh÷ng trÞ cho tríc:
,
(
xy
o
0y
f
y
f
x
x
. NÕu còng liªn tôc th× nghiÖm Êy lµ duy nhÊt.
®îc
0x
0 ; yy
0
y
y
§iÒu kiÖn y vµ y lÊy t¹i c¸c gi¸ trÞ cho tríc
y
y
0
0
xx
0
xx
0
gäi lµ c¸c ®iÒu kiÖn ®Çu. Ta viÕt ; .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.2.1.3. NghiÖm tæng qu¸t, nghiÖm riªng
y
)(x
- NghiÖm hµm
lµm cho ph¬ng tr×nh (1), (2) trë
thµnh ®ång nhÊt thøc (tøc lµ ®óng víi mäi x) gäi lµ nghiÖm cña
ph¬ng tr×nh vi ph©n.
- NghiÖm
tæng qu¸t cña ph¬ng
tr×nh
(1),
(2)
lµ
y
)
hµm
trong ®ã
lµ nh÷ng h»ng sè tïy ý tháa
1 ccx
,(
,
2
1,cc
2
m·n ph¬ng tr×nh vi ph©n Êy víi mäi
.
1,cc
2
NÕu nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai
,(
0)
,
,(
0)
,
cho díi d¹ng Èn
th×
gäi lµ tÝch
ccyx
,
1
2
ccyx
,
1
2
ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4
y
2.yx
VÝ dô 1: T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
y
x
4
yy
.
3
y
.
2
x
4y ta cã:
1
x
3
z
y
z
3 4
y
.
y
Gi¶i: Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho
2
2
.
z
x
z
.
z
3
x
z
3
1
x
3
x
§Æt . Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã:
dx
dx
dx
2
3
x
3
x
3
x
xp
)(
;
xq
)(
23
x
.
eCz
e
x
)
e
§©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 ®èi víi Z, ta cã:
3(.
3
x
3
3
2
3
.
xCz
x
x
).
dx
z
Cx
x
. VËy:
3(.
).3.(3
dx
x
1
3
x
1
3
3
y
y
Cx
3 3
x
ln
x
z
Cx
3
3 3
x
ln
x
Cx
.
3
ln3
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
0
y
)
- NghiÖm riªng: Hµm
nhËn ®îc tõ nghiÖm
1 ccx
,
,(
0
2
tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai b»ng c¸ch cho
0
nh÷ng h»ng sè tïy ý c¸c trÞ cô thÓ
®îc gäi lµ nghiÖm
1 ;cc
0
2
riªng cña ph¬ng tr×nh vi ph©n.
NÕu nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cho
0
,(
)
,
0
,(
)
díi d¹ng Èn
th×
lµ tÝch ph©n
ccyx
,
1
2
1 ccyx
,
,
0
2
riªng cña nã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
x
sin
2
x
VÝ dô: Chøng tá r»ng hµm
lµ nghiÖm cña
1
2
y
tgx
.
y
2sin
x
ph¬ng tr×nh
.
y
x
2sin
x
1
y
cos
2
x
y
2sin2
x
Gi¶i: Tõ
.
1
2
Thay vµo ph¬ng tr×nh ®îc:
2
2sin2
x
tgx
1(
cos
)2
x
2sin2
x
2
cos
xtgx
2sin2
x
2sin
x
2sin
x
§©y lµ ®iÒu ph¶i chøng minh!
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.2.2. Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai cã thÓ gi¶m cÊp ®îc:
y
''
yyxf
,(
,
)'
XÐt ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai d¹ng
,
yy
:
7.2.2.1. VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo
y
)(xf
(3)
y
xf
)(
dx
y
c
xf
)(
dx
xc
c
Gi¶i: Tõ (3)
, trong ®ã
dx
1
1
2
lµ hµng sè tïy ý.
1 , cc
2
2
y
''
x
xxe
1
VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3
2
x
x
x
y
(
x
xe
)1
dx
c
xe
e
x
c
Gi¶i:
1
1
x
3
4
2
3
x
x
x
y
xe
c
y
xe
e
x
dx
c
xc
1
2
c
1
2
x
3
x
2
x
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
sin
x
VÝ dô 2: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh
, tháa m·n
0
®iÒu kiÖn
;
xy
10
0 xy
y
cos
x
y
sin
x
c
Gi¶i:
c
1
xc
.1
2
0sin
0.
c
0
2
2
Thay ®iÒu kiÖn ®Çu ta cã
1
cos
c
1
0
2
c
1
c
1
0
c
y
sin
x
2
x
VËy nghiÖm riªng cÇn t×m lµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
yxf
,(
)
2. VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh kh«ng chøa y:
(4)
y
)(
xz
y
z
Gi¶i: §Æt
thay vµo (4) cã:
z
zxf
),(
. §©y lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 gi¶i ph¬ng tr×nh
nµy t×m ®îc Z råi gi¶i ra t×m y
y
x
VÝ dô 1: T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
y
x
y
Z
Z
Z
Z
x
y
Z
x
Z
x
1
x
Gi¶i: §Æt
dx
x
dx
x
dx
x
Z
e
.
ex
dx
z
.
.
x
xdx
ec
1
c
1
.
1
x
1
x
2
1
z
y
§©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 ®èi víi Z
. VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
c
x
x
3
3
y
c
ln
x
c
1
2
x
9
cÇn gi¶i lµ:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
y
1(
x
)
2
yx
VÝ dô 2: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh
tháa
1
3
m·n ®iÒu kiÖn
;
.
0 xy
xy
0
2
z
y
1(
y
z
z
x
)
xz
2
z
z
0
Gi¶i: §Æt
2
2
x
x
1
§©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 thuÇn nhÊt víi z nªn:
dx
2
2
1
x
2
x
z
.
ec
z
c
1(
x
)
y
1
1
3
y
c
xc
1
2
. Thay ®iÒu kiÖn ®Çu vµo, ta cã
xc
1
3
c
1
3
y
x
3
x
1
. VËy nghiÖm riªng cÇn t×m lµ
c
2
3
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
yyf
,(
)
7.2.2.3. VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh kh«ng chøa x:
(5)
y p vµ xem p lµ hµm cña y:
y
.
p
.
pp
Gi¶i: §Æt
dp
dx
dp
dy
dy
dx
dp
dy
p
.
,
pyf
(
)
.
pp
dp
dy
.Thay vµo (5) ta cã:
§©y lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 mµ hµm cha biÕt lµ p
vµ biÕn ®éc lËp lµ y.
Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy t×m p, sau ®ã t×m y.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
yy
2
y
0
VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh vi ph©n:
2
2
py
.
y
p
p
0
p
Gi¶i: §Æt
)(
y
yp
pppy
.
.
- NÕu:
p
0
dp
p
dy
y
p
ln
c
ln
p
ln
y
ln
c
1
1
1.cy
dp
p
dy
y
p
y
y
- NÕu: . Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã:
.
pp
y
p
0)
pyp
0
(
c
y
y
0
dp
dy
yc
1
yc
1
dxc
1
dy
dx
dy
y
ln
c
ln
y
ln
c
dxc
1
2
xc
1
2
1
xcec
Thay
dy
y
2
y
lµ nghiÖm tæng qu¸t cÇn t×m.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
3
yy
''
(
y
)'
(
y
)'
VÝ dô 2: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh
1
1
tháa m·n ®iÒu kiÖn:
;
xy
1
1 xy
2
2
p
p
. Thay vµo ph¬ng tr×nh, ta cã:
pyp
0
, tõ nghiÖm nµy kh«ng thÓ x¸c ®Þnh h»ng
1
Gi¶i: §Æt
yp
)(
- NÕu
0
sè 1c tháa m·n
y
y
.
pp
3
ppy
p
p
.
.
p
c
y
xy
1
1
2
py
p
p
0
.
y
p
2
p
0p
NÕu
ta cã:
2
dp
p
p
dy
y
ln
c
dp
ln
y
ln
c
1
1
2
p
dp
p
p
dy
y
1
p
1
ln
p
1ln
p
ln
yc
1
cy
.
1
yc
1
dp
dy
1
p
p
1
1
'
c
1
Thay ®iÒu kiÖn ®Çu
. Ta cã:
y
y
1
2
y
)1(
1
y
1)1(
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
y
yy
2
y
0
y
VËy
1
2
y
y
1
y
y
2
dy
dx
(
y
dy
(
y
dy
dx
dx
y
c
ln2
y
x
c
2
2
)2
y
)2
y
0
y
1)1(
Thay
vµo ta cã
. VËy nghiÖm riªng cÇn t×m:
2 c
y
ln2
y
x
0
Chó ý: Khi t×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2,
kh«ng cÇn ph¶i t×m xong nghiÖm tæng qu¸t råi míi thay c¸c
®iÒu kiÖn ban ®Çu, mµ cã thÓ x¸c ®Þnh tõng h»ng sè mét ngay
sau khi h»ng sè Êy xuÊt hiÖn trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.2.3. Ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai víi hÖ sè lµ h»ng sè.
§Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai lµ ph¬ng
tr×nh bËc nhÊt ®èi víi hµm cha biÕt vµ c¸c ®¹o hµm cña nã.
y
yxa
)(
yxa
)(
xf
)(
(6)
1
2
)(xf
Trong ®ã
,
,
lµ c¸c hµm liªn tôc cña biÕn ®éc lËp x.
)(2 xa
)(1 xa
xf
)(
0
NÕu
th× (6) lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai thuÇn nhÊt.
xf
)(
0
NÕu
th× (6) lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai
kh«ng thuÇn nhÊt.
- §Æc biÖt nÕu
,
lµ c¸c h»ng sè th× (6) lµ ph¬ng tr×nh
)(1 xa
)(2 xa
vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai víi hÖ sè lµ h»ng sè (hÖ sè kh«ng ®æi).
y
yp
qy
)(xf
(7)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.2.3.1. Ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt
0
qy
yp
y
(8)
Trong ®ã p, q lµ h»ng sè, ®Æc biÖt cã thÓ b»ng 0.
2
pk
q
0
C¸ch gi¶i: LËp ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña (8) lµ
(9)
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã 2 nghiÖm
2
k
1, kk
k
NÕu (9) cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt
k th× nghiÖm tæng
1
2
xk
1
xk
1
y
qu¸t cña (8) lµ:
ec
1
ec
2
NÕu (9) cã nghiÖm kÐp (thùc)
0k th× nghiÖm tæng qu¸t cña (8)
xk
0
y
e
(
)
lµ:
c
1
xc
2
i
- NÕu (9) cã nghiÖm phøc
(i: lµ ®¬n vÞ ¶o) th× nghiÖm
2,1
k
x
y
e
(
c
cos
x
c
sin
x
)
tæng qu¸t cña (8) lµ:
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: Kh¸i niÖm vÒ sè phøc:
)
bi
BiÓu thøc
a lµ sè phøc
Rba víi i lµ ®¬n vÞ ¶o tháa
,(
)
)
bi
2
i
1
m·n
; a lµ phÇn thùc
(Re z , k lµ phÇn ¶o
(Im z ;
a lµ sè
bi
phøc liªn hîp cña
a . DÔ thÊy, tÝch cña hai sè phøc liªn hîp
lµ mét sè thùc.
y
5
y
6
y
0
VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh
.
2
3
k
5
k
0
6
k
2
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng:
,
.
1
2 k
3
x
2
x
y
(
VËy nghiÖm tæng qu¸t
;
lµ h»ng sè tïy ý)
ec
1
ec
2
cc
1,
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
4
y
4
y
0
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh
2
k
k
4
4
0
k
2
k
1
2
k
0
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
x
2
e
y
(
)
(
VËy nghiÖm tæng qu¸t:
;
lµ h»ng sè tïy ý)
c
1
xc
2
cc
1 ,
2
y
y
9
0
tháa
1
VÝ dô 3: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh:
m·n ®iÒu kiÖn:
;
1xy
xy
2
2
2
2
i
9
i
)3(
9
k
30
i
2,1
k
,0
y
3sin
3
c
x
x
k
9
0
3
cos
c
1
x
2
Thay ®iÒu kiÖn ®Çu vµo ta cã
c
3
2
3sin
1
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
3
i
VËy
VËy nghiÖm tæng qu¸t:
y
3sin
x
c
3
1
c
c
1
cos
3
1
2
1 c
c
1
c
3
3sin
c
3
cos
3
2
2
1
3cos
1
3
y
cos
3
x
3sin
x
NghiÖm riªng cÇn t×m:
1
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
yp
qy
)(xf
7.2.3.2. Ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt ;
(10)
Trong ®ã p, q lµ h»ng sè, ®Æc biÖt cã thÓ b»ng 0..
y
y
y
C¸ch gi¶i: NghiÖm tæng qu¸t cña (10) lµ
Trong ®ã y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng
y
yp
qy
0
y
øng
;
lµ mét nghiÖm riªng cña (10)
)(xf
Ta xÐt vÕ ph¶i
cã d¹ng ®Æc biÖt:
.
xf
)(
x
xPe
.
)(
a)
, trong ®ã lµ h»ng sè,
lµ ®a thøc bËc n
)(xPn
n
cña x.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NÕu kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng th×
*
y
x
..
xQe
)(
NÕu lµ nghiÖm ®¬n cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng
n
*
x
y
xe
..
th×
xQ
)(
n
NÕu
tr×nh ®Æc
trng
th×
x
2
*
lµ nghiÖm kÐp cña ph¬ng
..
xQex
)(
y
n
Trong ®ã
lµ ®a thøc cã cïng bËc n , c¸c hÖ sè cña
)(xQn
®îc x¸c ®Þnh bëi ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh. Tøc lµ thay
)(xQn
*y vµo
(10)vµ ®ång nhÊt hÖ sè hai vÕ.
Chó ý: NÕu vÕ ph¶i lµ tæng cña c¸c hµm sè ®Æc biÖt th× ta sö
dông nguyªn lý chång chÊt nghiÖm ®Ó t×m nghiÖm b»ng tæng
c¸c nghiÖm riªng cïng mét bíc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
2
y
y
1
x
VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh
y
y
*y
Gi¶i: NghiÖm tæng qu¸t
y
2
y
y
0
Bíc 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng
2
k
2
k
01
k
k
1
Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
1
2
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng;
x
y
e
(
c
)
xc
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Bíc 2: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt
x
.
xf
1)(
x
xPe
)(
1n
VÕ ph¶i
cã d¹ng
, víi
0 ,
n
V×
0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng
*
x
y
e
(0
Ax
B
)
Ax
B
do ®ã nghiÖm
riªng cã d¹ng
0
y
A
y
*
. Thay vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ta cã:
20
A
Ax
B
1
x
*
x
y
3
B
A
1
2
A
1
A
B
1
3
x
y
xce
(
c
)
x
3
VËy nghiÖm tæng qu¸t:
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
x
y
y
xe
2
e
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
y
y
*y
y
0
y
Gi¶i: NghiÖm tæng qu¸t:
2
k
k
01
0
i
(
,0
)1
Bíc 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng:
2,1
Ph¬ng tr×nh ®Æc trng ;
y
sin
x
c
cos
x
c
1
2
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Bíc 2: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt:
x
x
xf
)(
xe
2
e
f
x
)(
VÕ ph¶i:
. (Dïng nguyªn lý chång
xf
)(
1
2
chÊt nghiÖm)
x
xf
)(
xxe
);
,1
1
Víi
cã d¹ng:
kh«ng lµ nghiÖm
.
nxPe
(
n
*
x
y
e
(
Ax
B
)
cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng nªn:
1
)(
xf
2
xe
1
x
.
nxPe
(
);
0
Víi
cã d¹ng
,
kh«ng lµ nghiÖm
n
*
y
e
x .
c
cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng nªn
2
VËy mét nghiÖm
riªng cña ph¬ng
tr×nh cÇn gi¶i
*
x
x
y
e
(
Ax
B
)
.
ec
lµ:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh ®¹o hµm ta cã:
*
x
x
x
y
e
(
Ax
B
)
Ae
ce
x
x
x
x
y
''*
e
(
Ax
B
)
Ae
Ae
ce
x
x
x
x
x
x
Thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc
e
ce
ce
BA
Ax
Ax
B
2
)
(
)
(
xe
2
e
A
2
A
1
x
0
*
y
x
(
xe
)1
e
B
1
2
A
B
2
2
C
2
2
e
1
2
1
2
1
C
x
x
e
cos
sin
)1
x
e
x
c
x
y
(
c
1
2
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
)(
xf
.
e
(
cos
xQx
sin)(
x
)(
xP
n
m
b) )
)(xPn
)(xQm
i
Trong ®ã , lµ h»ng sè. , lµ ®a thøc bËc mn, cña x.
*
x
y
xHe
)(
(.
cos
sin)(
x
)
- NÕu kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng
S
xLx
S
i
th×:
*
y
x
xe
(
cos
sin)(
x
)
xH
)(
S
xLx
S
S
max( mn
,
)
xLxH
);
)(
(
- NÕu lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng th×:
S
S
Trong ®ã lµ c¸c ®a thøc bËc mµ
c¸c hÖ sè cha biÕt cña chóng cã thÓ x¸c ®Þnh ®îc b»ng
ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
y
''
4
x
sin
x
VÝ dô 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh:
y
y
*y
Gi¶i: NghiÖm tæng qu¸t
y
y
''
0
Bíc 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng
k
012
0
k
i
(
,0
)1
Ph¬ng
tr×nh ®Æc
trng
;
nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt
y
cos
x
c
sin
x
c
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
)(
xf
4
x
sin
x
e
(.
cos
xQx
sin)(
x
)
Bíc 2: T×m mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt:
xP
)(
n
m
,0
0
i
i
1s
0n
1m
VÕ ph¶i: cã d¹ng:
1 ;
Víi , nªn vµ lµ nghiÖm
x
y
.0
.
ex
BAx
)
cos
x
DCx
(
sin)
cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng, nªn mét nghiÖm riªng cña ph¬ng
(
x
tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt cÇn gi¶i lµ
(
y
'
''*
y
Ax
A
B
x
cos
cos
DCx
sin)
x
(
x
)
x
xCBAx
sin
(
)
sin
Cx
cos
(
sin
DAx
x
)
BCx
(
CxDAx
x
DCx
cos
(
)
cos
(
)
TÝnh ®¹o hµm:
)
Ax
+
cos
x
sin
DAx
(
Cx
)
A
sin
x
cos
BCx
(
Ax
sin
BCx
(
Ax
)
Cx
)
+
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Thay vµo ph¬ng tr×nh ®· cho vµ ®ång nhÊt hÖ sè hai vÕ, ta
0B
1D
0C
cã: ;
;
;
.
VËy mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt:
*
y
x
(sin
x
x
cos
x
)
NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ:
y
cos
x
c
sin
x
x
(sin
x
x
cos
x
)
c
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
y
2'2''
y
cos
x
VÝ dô 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh
y
y
*y
Gi¶i NghiÖm tæng qu¸t:
y
y
0'2''
Bíc 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng
2
k
2
k
0
k
,0
k
2
Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
1
2
y
NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt
1
c
2
xec
2
2
1
xf
)(
cos
cos
x
)(
2
2
x
x
f
Bíc 2: T×m mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt.
VÕ ph¶i:
.
xf
)(
1
2
x
nxPe
(
);
..
,0
0
Víi
cã d¹ng
lµ nghiÖm ®¬n cña
xf
1)(1
n
y
y
1'2''
ph¬ng tr×nh ®Æc trng nªn mét nghiÖm riªng cña
lµ:
*
.0
.
Aex
x
Ax
y
1
x
.
f
cos
2
x
cos
xQx
sin)(
,0
:
,2
mn
0
, cã d¹ng:
xPe
)(
x
)(2
x
n
m
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
i
0 i
2.
V×
kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc
y
'2''
y
cos
2
x
trng nªn mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh
lµ:
*
x
0
y
cos
2
Cx
2sin
cos
2
Cx
2sin
Be
x
B
x
2
VËy mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i lµ:
*
y
Ax
B
2cos
Cx
2sin
x
TÝnh ®¹o hµm:
y
'*
A
2
B
2sin
x
2
C
cos
2
x
y
''*
4
B
cos
2
x
4
C
2sin
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4
B
cos
2
x
4
C
2sin
x
2
A
4
B
2sin
x
4
C
cos
2
x
1
cos
2
x
Thay vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc:
A
A
2
1
1
2
*
y
2cos
x
2sin
x
CB
4
4
B
§ång nhÊt hÖ sè hai vÕ ®îc:
1
8
x
2
1
8
1
8
4
B
C
4
0
C
1
8
1
2
x
eCCy
x
(cos
2
x
x
)2sin
1
2
1
2
1
8
VËy: NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.3. HÖ Ph¬ng tr×nh vi ph©n
7.3.1 HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n chÝnh t¾c.
7.3.1.1. §Þnh nghÜa:
HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n lµ hÖ c¸c ph¬ng tr×nh chøa biÕn
®éc lËp, c¸c hµm ph¶i t×m vµ c¸c ®¹o hµm cña chóng.
- HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 chÝnh t¾c lµ hÖ ph¬ng
yx
,(
y
f
,
,...,
)
1
1
2
ny
yx
,(
y
f
,
,...,
)
(1)
2
1
2
ny
tr×nh vi ph©n cã d¹ng
dy
1
dx
dy
2
dx
..............
f
yx
,(
,
y
,...,
y
)
n
2
1
n
dy
n
dx
y
,
y
,...,
Trong ®ã x lµ biÕn ®éc lËp,
lµ c¸c hµm ph¶i t×m.
1
2
ny
y
y
x
),...,
y
(
x
)
NghiÖm cña hÖ (1) lµ tËp hîp n hµm
,
1
x
)(1
2
(2
n
n
tháa m·n tÊt c¶ c¸c ph¬ng tr×nh cña hÖ.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
,
,...,
)
y
1
1
ccx
,(
1
2
nc
,
,...,
)
y
2
2
ccx
,(
1
2
nc
- NghiÖm tæng qu¸t cña hÖ (1) lµ tËp hîp n hµm:
,
,...,
c
)
y
n
n
ccx
,(
1
2
n
.............
,
cc
,...,
tháa m·n tÊt c¶ c¸c ph¬ng tr×nh cña hÖ (1), trong ®ã
1
2
nc
lµ n h»ng sè tïy ý.
,...,
NghiÖm riªng cña hÖ (1) lµ nghiÖm cña hÖ cã ®îc tõ
,
cc
1
2
nc
0
0
0
,
c
,...,
nghiÖm tæng qu¸t b»ng c¸ch cho c¸c h»ng sè tïy ý
c
1
2
nc
nh÷ng trÞ cô thÓ .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.3.1.2. §Þnh lý tån t¹i duy nhÊt nghiÖm
yyxf
,(
,
,...,
y
),...,
f
yyx
,(
,
,...,
y
)
NÕu c¸c hµm
liªn tôc trong
1
1
2
n
n
2
n
1
0
0
0
(
,
y
,...,
)
mét miÒn nµo ®ã chøa ®iÓm
th× tån t¹i mét
yx
,
0
1
2
ny
y
y
x
),...,
y
y
x
)(
nghiÖm
,
cña hÖ (1), nghiÖm Êy
2
(2
n
n
y
1
xy
)(1
tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn:
0
0
0
xy
(
)
y
,
,...,
0 )
y
1
xy
(
2
0
y
1
xy
(
n
0 )
n
1
0
0
yx
,
,...,
Trong ®ã
lµ nh÷ng sè cho tríc. NÕu ngoµi ra
0
1
ny
i
i
(
,1
jn
;
n
),1
c¸c ®¹o hµm riªng
®Òu liªn tôc th× nghiÖm Êy lµ
f
y
J
duy nhÊt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.3.1.3. C¸ch gi¶i: LÊy ®¹o hµm hai vÕ 1 ph¬ng tr×nh vi ph©n cña
hÖ, sau ®ã chØ gi÷ l¹i hµm cha biÕt vµ dùa vµo c¸c ph¬ng tr×nh
kh¸c cña hÖ, khö tÊt c¶ c¸c hµm cha biÕt kh¸c. §ã lµ ph¬ng ph¸p
khö.
x
y
(1)
VÝ dô 1: Gi¶i hÖ
(2)
x
y
dx
dt
dy
dt
Gi¶i: §¹o hµm hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) theo t ta cã:
dx
dt
dy
dt
2
xd
2
dt
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
yxyx
x
2''
x
0
Thay
vµ
tõ (1) vµ (2) vµo ta ®îc:
(3)
dy
dt
dx
dt
2
xd
2
dt
2
k
0
2
k
2
Gi¶i (3). Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
2,1
2
t
2
t
x
NghiÖm tæng qu¸t cña (3):
ec
1
ec
2
.2
t
.2
t
)'(
x
2
e
c
2
e
c
1
2
NghiÖm tæng qu¸t ®èi víi y nhËn ®îc tõ ph¬ng tr×nh (1):
y
'
xx
x
dx
dt
.2
t
.2
t
)'(
x
c
2
e
c
2
e
Trong ®ã:
1
2
.2
t
.2
t
y
c
)12(
e
c
)12(
e
VËy
1
2
2
t
2
t
x
VËy nghiÖm cña hÖ
ec
2
2
t
2
t
y
c
c
1
2
ec
1
12
e
12
e
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
'
3
y
2
z
VÝ dô 2: Gi¶i hÖ
(1)
z
'
2
y
z
(2)
z
''
y
'2
z
'
Gi¶i: §¹o hµm hai vÕ cña (2) ta cã
. Thay (1) vµo ta
z
''
3(2
y
z
)2
''
z
z
'
6
y
4
z
z
'
cã
(3)
z
z
z
z
''
.6
4
z
z
'
y
Tõ (2) cã
thay vµo (3) ta cã:
'
2
z
z
'2''
z
0
' z
2
(4)
2
k
2
k
0
1
k
k
1
Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
1
2
z
)
x
ce
(
1
xc
2
x
x
x
x
x
y
z
xc
ec
c
e
)
(
'
(
c
xc
)
ec
e
(
c
xc
NghiÖm tæng qu¸t cña (4) lµ:
e
)
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
x
x
y
e
(
c
)
1
xc
2
ec
2
1
2
x
x
y
e
(
c
)
1
xc
2
ec
2
VËy nghiÖm cña hÖ lµ:
1
2
x
z
e
(
c
)
1
xc
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
1'
1
z
z
'
VÝ dô 3: T×m nghiÖm riªng cña hÖ: (1)
1
y
x
z
1
y
1
(2)
)0(
)0(
z
''
tháa m·n ®iÒu kiÖn: ,
Gi¶i: §¹o hµm hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2):
.
1'
y
2)
y
x
(
1
2
1
z
''
z
''
z
.'
Thay (1) vµ (2) vµo ta ®îc
(3)
1
z
2
1
z
1
z
§©y lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai kh«ng chøa x.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
z
'
p
''
z
pp
.
'
.
pp
'
2
p
.
§Æt
1
z
p
0'
0
z
z
c
Thay vµo (3) ta ®îc
0p
NÕu
ln c
1
dp
dz
p
z
dp
p
dz
z
1
zcp
zc
z
'
dxc
ln
c
z
xCec
.
1
1
1
2
2
dz
dx
dz
z
1
'
z
y
x
NÕu , ta cã:
xcecc
21
xC
1
1
ecc
21
x
y
1
1
y
. Thay vµo (2) cã:
ex
x
)0(
z
1
1
c
1
e
z
)0(
2
c
Thay VËy nghiÖm riªng cña hÖ lµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.3.2. HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cã hÖ sè lµ h»ng sè
7.3.2.1. §Þnh nghÜa: HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt
cã hÖ sè lµ h»ng sè lµ hÖ cã d¹ng:
...
2
ya
12
ya
11
1
n ya
1
n
...
(2)
ya
21
1
ya
22
2
n ya
2
n
...
ya
11
n
ya
2
n
2
ya
nn
n
dy
1
dx
dy
2
dx
.......................
dy
n
dx
Trong ®ã
ija lµ c¸c h»ng sè.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
.
YA
HÖ ph¬ng tr×nh cã thÓ viÕt ®îc díi d¹ng ma trËn sau:
dY
dx
1
12
11
1
n
1
2
...
a
a
...
...
a
...
a
y
y
22
21
2
n
2
A
Y
Trong ®ã:
dY
dx
........
...
a
n
1
n
n
nn
2
;
....
y
a
a
..........
...
a
a
;
n
dy
dx
dy
dx
.......
dy
dx
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
(
A
.
PE
)
0
7.3.2.2. C¸ch gi¶i Ph¬ng tr×nh
.Trong ®ã E lµ ma trËn
®¬n vÞ, lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña ma trËn A (hay
trng cña hÖ) tøc lµ:
còng ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh ®Æc
det(
A
E
.
0
)
p
1
p
P
lµ c¸c Èn ph¶i t×m.
2
....
np
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®Æc trng
...
a
1
n
a
det(
A
E
0)
)
a
11
a
21
...
a
12
22
....
...
...
a
2
n
...
a
a
...
a
1
n
n
2
nn
,
cã n nghiÖm kh¸c nhau
n ,...,
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
i
(;
n
),1
Mçi sè ®Æc trng
cã 1 vÐc t¬ riªng
khi ®ã hÖ (2) cã n nghiÖm
i
ni
p
1
i
p
2
i
.....
p
x
2
1
xep
xep
y
nep
;...;
1
21
21
1
n
1
n
11
x
2
2
2
xep
2
22
22
n
2
y
12
12
x
x
y
NghiÖm thø nhÊt øng víi:
;
;
y
y
11
NghiÖm thø hai øng víi:
;
;
;
NghiÖm thø n øng víi
,...,
n
y
1
y
n
xep
;...;
;
y
nep
1
n
y
2
n
ep
n
2
x
nep
2
n
nn
nep
nn
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ:
yCy
yC
...
1
1
11
2
12
1
...
(4)
nnC
n yC
2
2
21
yC
1
yC
2
22
n
y
.................................................
y
...
yC
n
yC
2
yC
1
n
2
nn
n
1
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7
y
3
y
1
2
VÝ dô 1: Gi¶i hÖ
6
4
y
y
1
2
dy
1
dx
dy
2
dx
7
2
0
11
01
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
6
3
4
1
10
2
1 ;
p
11
p
1
Víi
11 , vÐc t¬ riªng
p
21
3
p
0
21
lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
3
p
0
p
11
p
11
21
6
6
p
2
2
p
1
;
21
p
11
p
11
21
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
p
12
p
2
10
2
p
22
3
3
p
0
p
12
22
Víi , vÐc t¬ riªng
6
6
p
0
p
12
22
1
;1
22 p
p
22
p
12
p
12
xe
y
lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
1 :
y 11
xe
21
2
10
y
10
xe
10
xe
VËy nghiÖm c¬ b¶n: Víi ;
22
12
y
x
10
x
: ;
y
1
ec
1
ec
2
x
10
x
y
2
2
ec
1
ec
2
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1
4
x
3
x
1
2
2
3
x
4
x
1
2
dx
dt
dx
dt
2
8
0
25
0
VÝ dô 2: Gi¶i hÖ
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
3
4
4
3
i34
p
1
i34
. Víi
, vÐc t¬ riªng
2,1
1
p
11
p
21
21
1
i
ip
p
lµ nghiÖm cña
TrÞ riªng
;
11 p
p 21
21
11
p
3
11
ip
3
0
0
21
ip
3
p
3
11
i
.
NghiÖm c¬ b¶n: ¸p dông c«ng thøc ¬le:
x
sin.
i
e x
cos
x
.
i
e x
cos
x
sin.
i
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
i34
Víi
ta cã:
)34(
ti
4
t
e
.1
e
(cos
t
3
i
t
)3sin
)34(
ti
4
t
ei
.
e
i
(
t
3cos
t
)3sin
4
t
4
t
e
3cos
t
x
e
3sin
t
T¸ch riªng phÇn thùc ta cã:
;
11
x
21
4
t
4
t
x
e
3cos
t
e
3sin
t
T¸ch riªng phÇn ¶o ta cã:
;
22
12
x
T¬ng tù nh ®èi víi ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi hÖ sè h»ng
i34
sè, ta kh«ng cÇn xÐt sè ®Æc trng liªn hîp
.
2
(
3cos
t
c
)3sin
4
tet
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ lµ:
x
1
c
1
2
x
(
3sin
t
c
)3cos
4
tet
2
c
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng VIII
lý thuyÕt chuçi
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.1. Chuçi sè
8.1.1 §Þnh nghÜa
,...,
Cho mét d·y v« h¹n c¸c sè
khi ®ã biÓu thøc
,
uu
1
2
nu
u
u
...
...
nU (1)
1
2
nu
®îc gäi lµ chuçi sè. Ký hiÖu lµ
1n
,...,
,.. ®îc gäi lµ c¸c sè h¹ng cña chuçi sè
,
uu
1
nu
2
C¸c sè
nU gäi lµ sè h¹ng tæng qu¸t cña chuçi.
lµ tæng riªng thø n cña chuçi.
2
n
1
n
u
u
u
...
...
gäi lµ phÇn d thø n cña chuçi.
(1),
S
r
n
1
n
n
2
n
khi
lim
S
u
u
XÐt d·y tæng riªng nS
®Þnh b»ng S , nghÜa lµ
, nÕu d·y ®ã cã giíi h¹n x¸c
th× ta nãi r»ng chuçi sè (1) héi
S n
n
S
tô, S lµ tæng cña nã vµ ta viÕt:
nU
1n
n
kh«ng dÉn tíi mét giíi h¹n x¸c ®Þnh th×
S
S
, nÕu d·y nS
Khi
ta nãi r»ng chuçi sè (1) ph©n kú.
Trong trêng hîp chuçi sè (1) héi tô th×:
r
n
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
...
VÝ dô 1: Cho chuçi sè
1
2.1
1
4.3
Sè h¹ng tæng qu¸t:
Un
)1
...
1
Tæng riªng thø n
Sn
1
3.2
1
nn
(
)1
1
n
1
1(
S
lim
Tæng
lim =
S
n
n
n
1
3.2
1
nn
(
1
2.1
1
n
1)
1
1
)0a
nqa
.
(víi
VÝ dô 2: XÐt chuçi sè
n
1
2
1
a
aq
aq
...
naq
...
Chuçi ®· cho cã thÓ viÕt:
§©y lµ mét cÊp sè nh©n v« h¹n cã c«ng béi lµ q
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
0
1
n
1
S
aq
aq
...
aq
a
.
Tæng riªng thø n:
n
q
q
1
1
n
T×m giíi h¹n cña tæng riªng khi
n
;
khi
:
q
1
a
.
lim
S
n
n
lim
n
q
q
1
1
a
q
;
khi
:
q
1
1
n
n
1q
1q
q
lim
0
q
lim
V× nÕu
th×
; nÕu
th×
n
n
S
1q
1q
VËy: nÕu
chuçi ®· cho héi tô vµ cã tæng
nÕu
a
1
q
chuçi ®· cho ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1q
a
...
a
a
...
XÐt t¹i
, chuçi ®· cho cã d¹ng:
lim
S
na
Khi ®ã:
vµ
, do ®ã chuçi ph©n kú.
n
Sn
n
aaaa
....,
1q
XÐt t¹i
, chuçi ®· cho cã d¹ng:
0
a
,
a
Khi ®ã
,
,...
S 3
S
1
2 S
2 kS
1
Ta thÊy d·y tæng riªng nS cã thÓ trÝch ra hai d·y con
lÇn lît cã c¸c giíi h¹n kh¸c nhau lµ a vµ 0 do ®ã chuçi
vµ
kS 2
®· cho ph©n kú.
1
nqa
.
1q
1q
héi tô nÕu
vµ ph©n kú nÕu
.
KÕt luËn: Chuçi sè
n
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.1.2 C¸c ®Þnh lý vÒ chuçi sè héi tô
8.1.2.1. §iÒu kiÖn cÇn ®Ó chuçi sè héi tô
nU héi tô th× sè h¹ng tæng qu¸t
nU cña
§Þnh lý: NÕu chuçi sè
1n
n
0
nã dÇn tíi kh«ng khi
. Tøc lµ
.
n
U
lim
n
0
Nh vËy cã nghÜa lµ nÕu
th× chuçi ph©n kú, cßn
n
U
lim
n
0
chuçi cã thÓ héi tô, cã thÓ ph©n kú.
n
U
lim
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
...
1
5
3
8
5
11
7
14
U
0
VÝ dô 1: Cho chuçi sè
U n
n
lim
n
n
2
n
3
1
2
2
3
Sè h¹ng tæng qu¸t: vµ , vËy chuçi ®·
1
1
1
...
cho ph©n kú.
VÝ dô 2: Cho chuçi sè
2
6
12
0
Cã
vµ
n
U n
U
lim
n
1
nn
(
)1
VËy chuçi ®· cho cã thÓ héi tô, cã thÓ ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.1.2.2. C¸c tÝnh chÊt cña chuçi sè héi tô
nU héi tô vµ cã tæng lµ S th× chuçi sè
TÝnh chÊt 1: NÕu chuçi
1n
,
nUa
.
trong ®ã a lµ mét h»ng sè còng héi tô vµ cã tæng lµ Sa.
.
n
1
nV lµ hai chuçi sè
TÝnh chÊt 2: NÕu chuçi sè
nU vµ chuçi sè
1n
1n
(
)
héi tô, cã tæng lÇn lît lµ
'S vµ
''S th× chuçi sè
còng
n
n VU
n
1
''
'
S
S
héi tô vµ cã tæng lµ
Chó ý:
Tæng hai chuçi ph©n kú cã thÓ ph©n kú còng cã thÓ héi tô.
Tæng mét chuçi héi tô vµ mét chuçi ph©n kú lµ chuçi ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 3 TÝnh héi tô hay ph©n kú cña mét chuçi sè kh«ng
thay ®æi khi ta thªm hoÆc bít ®i mét sè h÷u h¹n c¸c sè h¹ng
®Çu tiªn cña chuçi.
nU , víi m h÷u h¹n th× hai chuçi sÏ
NghÜa lµ:
nU vµ
1n
mn
cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú.
Chó ý: TÝnh héi tô kh«ng thay ®æi nhng tæng cña chuçi
thay ®æi. Do ®ã khi t×m tæng cña chuçi sè ph¶i ®Ó ý xem n b¾t
®Çu tõ bao nhiªu v× nÕu thõa hoÆc thiÕu mét vµi sè h¹ng ®Çu
sÏ ¶nh hëng tíi tæng cña chuçi (nÕu cã).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.2. Chuçi sè d¬ng
nU ®îc gäi lµ chuçi sè d¬ng nÕu
8.2.1 §Þnh nghÜa: Chuçi sè
1n
mäi sè h¹ng cña nã ®Òu d¬ng.
nU ®Òu lµ c¸c sè
Trong trêng hîp mäi sè h¹ng cña chuçi
1n
nU gäi lµ chuçi sè ©m. Nhng do tÝnh chÊt 1) cña chuçi sè
©m th×
1n
®· cã, dÔ dµng suy ra sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi sè ©m tõ sù
héi tô hay ph©n kú cña chuçi sè d¬ng. Do ®ã ta chØ xÐt chuçi sè
d¬ng.
S
US
0
, v×
theo
n
1
n
n
1
1 nU
nU . Ta cã
XÐt chuçi sè d¬ng
1n
gi¶ thiÕt nªn
. VËy
S 1
n
S
n
nS lµ mét hµm ®¬n ®iÖu t¨ng theo n. Do ®ã
lim .
S
n
nS bÞ chÆn trªn th× tån t¹i giíi h¹n
n
nÕu tæng riªng
VËy: NÕu tæng riªng cña mét chuçi sè d¬ng bÞ chÆn trªn th×
chuçi sè ®ã héi tô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.2.2. C¸c tiªu chuÈn héi tô cña chuçi sè d¬ng
8.2.2.1. C¸c ®Þnh lý so s¸nh
nU
§Þnh lý 1 (Tiªu chuÈn so s¸nh): Cho hai chuçi sè d¬ng
1n
n
)
U
víi mäi
;
. Khi ®ã nÕu chuçi
0n
n
( 0 N
n V
n
nV . Gi¶ sö
vµ
1n
nU ph©n
sè
nV héi tô th× chuçi sè
nU héi tô; NÕu chuçi sè
1n
1n
1n
nV ph©n kú.
kú th× chuçi sè
1n
Chó ý: Ngêi ta thêng so s¸nh chuçi sè d¬ng ®· cho víi c¸c
chuçi sè d¬ng sau:
1
nqa
.
1q
1q
(
a
,0
q
)0
;
héi tô khi
, ph©n kú khi
1)
n
1
1s
1s
héi tô khi
, ph©n kú khi
2)
n
1
1
sn
1S
Khi
, ph©n kú.
ta cã chuçi ®iÒu hßa
1
n n
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
1
nn
1 2.
U
VÝ dô 1: XÐt sù héi tô, ph©n kú cña chuçi
n
n
1
2.
n
1
n
2
§©y lµ chuçi sè d¬ng cã:
1
Mµ
n héi tô nªn chuçi ®· cho héi tô. (Tiªu chuÈn so s¸nh).
1 2
n
3n
U
Cã
(Tõ
trë ®i)
VÝ dô 2:
n
1
n
ln
n
ln
n
n
1
n
ph©n kú.
ph©n kú nªn
ph©n kú
n
3
n
1
1
Mµ
n n
1
n
ln
n
n
ln
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh lý 2 (Tiªu chuÈn t¬ng ®¬ng): Cho hai chuçi sè d¬ng:
n
lim
k
nV . Gi¶ sö tån t¹i giíi h¹n
nU vµ
n
1n
1n
U
V
n
0
k
NÕu:
th× c¸c chuçi ®· cho ®ång thêi héi tô, hay
ph©n kú.
0k
NÕu:
nU còng héi tô.
vµ nÕu
nV héi tô th× chuçi sè
1n
1n
k
NÕu:
nU
vµ nÕu chuçi sè
nV ph©n kú th× chuçi sè
1n
1n
ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
VÝ dô 1: XÐt sù héi tô, ph©n kú cña chuçi
(
n
2
n
3)1
n
1
U
Sè h¹ng tæng qu¸t
n
n
(
n
2
lim
:
lim
Ta thÊy:
n
n
n
n
2
n
3).1
n
2
n
1
(
n
2
n
3).1
1
3
héi tô nªn chuçi ®· cho héi tô.
Mµ
n
1
n3
tga
.
VÝ dô 2: XÐt sù héi tô, ph©n kú cña chuçi
n
n
3
tg
0
3n
.
tga
Víi
th×
, chuçi ®· cho lµ chuçi sè d¬ng cã:
U n
n
n
.
tga
a
Ta thÊy:
lim
n
:
nn
0a
NÕu
ph©n kú nªn chuçi ®· cho ph©n kú.
, v×
n
3n
0a
0
NÕu
, chuçi ®· cho cã
nªn héi tô.
0 nS
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.2.2. 2 Tiªu chuÈn §alambe (D ' Alembert)
1
n
D
lim
th× chuçi ®·
nU . NÕu cã
Gi¶ sö cho chuçi sè d¬ng
n
1n
U
U
n
1D
1D
cho héi tô khi
, ph©n kú khi
.
1D
NÕu
ph¶i xÐt thªm b»ng ph¬ng ph¸p kh¸c.
U 1
n
Chó ý: NÕu
nU ph©n kú.
th× chuçi sè d¬ng
1n
lim
n U
n
VÝ dô: XÐt sù héi tô, ph©n kú cña c¸c chuçi sè d¬ng sau:
n
1)
1
5
n
1
n
n
n
U 1
:
15
Ta cã
=
lim
lim
n
n
n
5 1
n
2
5
n
1
n
(5
)1
n
(
)2
lim
n U
n
VËy chuçi ®· cho ph©n kú
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
2.
n
n
!3n
n
1
n
1
n
U
U
n
1
Cã
;
n
n
)1
(
n
1
n
(
3
)!1
n
n
!.3 n
n
n
n
1
U 1
lim
lim
1
1
Ta cã
1
n
n
n
n
1
3
1
n
n
lim
n U
(
!3)1
n
n
)!1(3
e
3
n
n
VËy chuçi ®· cho héi tô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.2.2. 3. Tiªu chuÈn C«si (Cauchy)
Un
C
nU . NÕu
n
lim
n
1n
1C
1C
, th× chuçi Gi¶ sö cho mét chuçi sè d¬ng
1C
®· héi tô khi vµ ph©n kú khi .
n
U
NÕu ph¶i xÐt thªm b»ng ph¬ng ph¸p kh¸c.
Chó ý: NÕu
n
nU ph©n kú
, th× chuçi sè
lim
n
1n
VÝ dô: XÐt sù héi tô, ph©n kú cña chuçi sè d¬ng sau b»ng tiªu
chuÈn C«si:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
n
1
.
n
1)
n
1
1
n
2
n
Cã
U
1
.
n
n
1
n
1
2
1
2
Theo tiªu chuÈn C«si ta cã:
2
n
n
n
n
1
U
.
1
n
lim
n
lim
n
n
1
n
1
2
e
2
1
lim
1
n
VËy chuçi ®· cho ph©n kú.
2
n
2.
1
2
1
n
3
n
n
5
2
n
U
Cã
n
3
n
n
5
1
2
2
n
U
1
Ta cã:
Chuçi ®· cho héi tô
n
n
lim
n
n
3
n
5
1
2
9
25
lim
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.2.2. 4. Tiªu chuÈn tÝch ph©n
nU cña nã
nU mµ c¸c sè h¹ng
Gi¶ sö cho mét chuçi sè d¬ng
1n
)(xf
t¹i c¸c trÞ sè nguyªn cña ®èi sè,
)
lµ trÞ cña mét hµm liªn tôc
vµ hµm
®¬n ®iÖu gi¶m trong
,1( . Khi ®ã:
)(xf
xf
)( dx
nU héi tô
héi tô th× chuçi sè
NÕu
1n
1
xf
)( dx
nU ph©n kú
ph©n kú th× chuçi sè
NÕu
1n
1
)(xf
)(nf
Chó ý: NÕu
tån
t¹i hµm
sao cho
víi
U n
)
)(xf
n
vµ
liªn tôc, ®¬n ®iÖu gi¶m trªn miÒn
th×
( 0 n
;
0n
xf
)(
dx
nU cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú.
vµ
1n
n
0
1k
1k
héi tô khi
, ph©n kú khi
. HoÆc cã
Ta ®· biÕt
du
ku
a
thÓ dïng ®Þnh nghÜa ®Ó xem tÝch ph©n héi tô hay ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: XÐt sù héi tô, ph©n kú cña chuçi sau, dïng tiªu chuÈn tÝch ph©n
1)
n
2
1
n
ln.
k n
2x
2n
Cã
. XÐt hµm
liªn tôc víi
th×
)(
xf
U
n
)(
nUnf
1
k
ln.
n
n
1
kln
x
x
k
k
1
ln
x
)(
xf
TÝnh
, víi k lµ h»ng sè tïy ý, bao giê còng
k
2
x
k
ln.(
x
ln.
x
)
k
1
ln
k
)
x
0
tån t¹i mét sè
ta lu«n cã
.
0x sao cho
0x
k
2
x
ln.(
x
x
ln(.
)
x
)(xf
xf
0)(
VËy
víi k vµ x ®ñ lín. Chøng tá
®¬n ®iÖu gi¶m.
)
1k
1k
Ta cã:
héi tô khi
, ph©n kú khi
dx
k
ln.
x
d
(ln
k
ln
x
x
x
2
2
1k
1k
VËy chuçi ®· cho héi tô khi
, ph©n kú khi
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2)
n
2
x
2x
2x
)(
xf
Cã:
. XÐt hµm
víi
víi
)(
nUxf
n
ln
n
U n
ln
x
ln
n
n
)(xf
2x
Ta thÊy
liªn tôc víi
x
1
xf
)(
0
TÝnh:
ln
2
x
x
3
xf
)(
Víi
®¬n ®iÖu gi¶m trªn
,3(
)
a
x
)(
dxxf
dx
ln
xd
(ln
x
ln
xd
(ln
x
)
Ta cã
lim)
a
ln
x
3
3
3
3
2
2
(ln
a
)
)3(ln
(ln
x
)
lim
a
lim
a
1
2
1
2
2 a
3
1
2
Do ®ã tÝch ph©n nµy ph©n kú. VËy chuçi ®· cho ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.3. Chuçi sè dÊu bÊt kú
8.3.1. Chuçi ®an dÊu
8.3.1.1. §Þnh nghÜa: Ta gäi chuçi ®an dÊu lµ chuçi sè cã d¹ng:
(
u
u
.....)
,
, trong ®ã
... lµ c¸c sè d¬ng.
u
1
2
3
1 uu
,
2
DÜ nhiªn ta chØ cÇn xÐt chuçi sè ®an dÊu víi sè h¹ng ®Çu tiªn
u
u
u
.....
)1(
nU
d¬ng
2
3
1
n
n
0
8.3.1.2. §Þnh lý Lepnit (Tiªu chuÈn héi tô cña chuçi ®an dÊu)
u
u
u
...
,...,
Cho chuèi sè ®an dÊu
. NÕu d·y sè
®¬n
1 uu
,
2
2
3
1
u
u
...
n
®iÖu gi¶m, nghÜa lµ
vµ
khi
th× chuçi sè
0nu
u
1
2
3
®· cho héi tô vµ tæng cña nã kh«ng vît qu¸ sè h¹ng ®Çu tiªn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)1(
VÝ dô: Chuçi
.
n 1
1
n
n
1
Cã
U n
1
n
U
§©y lµ chuçi ®an dÊu, cã d·y
n U
n
1
nU ®¬n ®iÖu gi¶m v×
lim
U
lim
0
vµ
. VËy chuçi ®· cho héi tô (Theo Lepnit).
n
n
n
1
n
Cã
U n
1
n
U
§©y lµ chuçi ®an dÊu, cã d·y
n U
n
1
nU ®¬n ®iÖu gi¶m v×
U
0
vµ
. VËy chuçi ®· cho héi tô (Theo Lepnit).
n
lim
n
lim
n
1
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.3.2 Chuçi cã dÊu bÊt kú sù héi tô tuyÖt ®èi vµ b¸n héi tô
8.3.2.1 §Þnh nghÜa: Chuçi cã dÊu bÊt kú lµ chuçi sè mµ c¸c sè
h¹ng cña nã lµ nh÷ng sè thùc cã dÊu bÊt kú.
8.3.2.2 Sù héi tô tuyÖt ®èi vµ b¸n tuyÖt ®èi §Þnh lý: NÕu chuçi sè
nU còng héi tô.
nU héi tô th× chuçi sè
1n
1n
Un héi tô chØ lµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó
Chó ý: §iÒu kiÖn chuçi sè
1n
Un héi tô chø kh«ng ph¶i lµ ®iÒu kiÖn cÇn, nghÜa lµ
chuçi sè
1n
nU ph©n kú.
cã thÓ chuçi sè
nU héi tô mµ chuçi sè
1n
1n
n
1
)1(
.
VÝ dô: Chuçi sè
héi tô theo ®Þnh lý Lepnit, nhng
1
n
n
1
n
1
)1(
.
lµ chuçi ®iÒu hßa, nã ph©n kú.
chuçi sè
1
n
1
n
n
1
n
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Un ®îc gäi lµ héi
nU héi tô th×
1n
1n
§Þnh nghÜa: NÕu chuçi sè
nU ph©n kú th× chuçi sè
tô tuyÖt ®èi.
nU héi tô cßn
1n
1n
nU ®îc gäi lµ b¸n héi tô (héi tô kh«ng tuyÖt ®èi)
1n
n
1
)1(
.
NÕu chuçi sè
VÝ dô 1: Chuçi sè
b¸n héi tô
1
n
n
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
VÝ dô 2: XÐt sù héi tô cña chuçi sè
n
1
n
sin
n
n
2
Gi¶i: LËp chuçi sè
sin
n
n
1
1n
Víi
ta cã
héi tô theo tiªu chuÈn tÝch
n
2
sin
n
1
2
n
1
. V×
2
n n
1
ph©n.
héi tô. VËy chuçi ®· cho héi tô tuyÖt ®èi.
n
2
Suy ra
sin
n
n
1
Chó ý: NÕu dïng tiªu chuÈn §alambe hay C«si mµ biÕt ®îc
nU còng ph©n kú.
nU ph©n kú th×
1n
1n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.3.2.3 Vµi tÝnh chÊt cña chuçi sè héi tô tuyÖt ®èi
nU héi tô tuyÖt ®èi vµ cã tæng lµ S th×
TÝnh chÊt 1 NÕu chuçi
1n
chuçi sè ®îc suy tõ chuçi ®· cho b»ng c¸ch thay ®æi vÞ trÝ
mét c¸ch tïy ý c¸c sè h¹ng cña nã còng héi tô tuyÖt ®èi vµ
còng cã tæng lµ S.
nU b¸n héi tô th× ta cã thÓ thay ®æi vÞ trÝ c¸c
Cßn nÕu chuçi sè
1n
sè h¹ng cña nã ®Ó cho chuçi sè thu ®îc héi tô tíi mét sè bÊt
kú cho tríc hoÆc trë nªn ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
nV . Ta gäi
§Þnh nghÜa: Gi¶ sö cho hai chuçi sè héi tô
nU vµ
1n
1n
tÝch cña chóng lµ chuçi sè lËp nªn b»ng tÊt c¶ nh÷ng tÝch c¸c
sè h¹ng cña chóng tõng ®«i mét ®îc s¾p ®Æt theo thø tù sau:
nV héi tô tuyÖt ®èi vµ cã
nU vµ
1n
1n
TÝnh chÊt 2: NÕu hai chuçi sè
S
.
SS
tæng lµ S vµ S th× tÝch cña chóng còng lµ mét chuçi sè héi tô
tuyÖt ®èi vµ cã tæng lµ .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.4 Chuçi lòy thõa
8.4.1. §Þnh nghÜa
8.4.1.1 Chuçi hµm sè: Chuçi hµm lµ chuçi mµ c¸c sè h¹ng cña
nã
lµ
nh÷ng
hµm
cña
biÕn
®éc
lËp
x:
xU
)(
xu
)(
xu
)(
...
xu
)(
...
(1)
n
1
2
n
n
1
8.4.1.2. Chuçi lòy thõa: Chuçi lòy thõa lµ chuçi hµm cã d¹ng:
n
n
)
a
)
...
)
...
(2)
xa
(
n
x
0
0
xa
(
1
x
0
xa
(
n
x
0
n
0
0
Ta chØ xÐt chuçi lòy thõa trong trêng hîp:
0 x
n
2
n
a
...
...
xa
n
0
xaxa
1
2
xa
n
(3)
n
0
n
x
)
(
aa
n
0
V× mäi chuçi lòy thõa cã d¹ng
, b»ng phÐp ®æi
n
0
x
, ®Òu ®a ®îc vÒ d¹ng (3).
0
x
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.4.1.3 §Þnh lý Aben
x
x
0
NÕu chuçi lòy thõa (3) héi tô t¹i
th× nã héi tô tuyÖt ®èi
0
x
t¹i mäi x tháa m·n bÊt ®¼ng thøc:
.
0x
HÖ qu¶:
x
NÕu chuçi lòy thõa (3) ph©n kú t¹i
th× nã sÏ ph©n kú
0x
x
t¹i mäi x tháa m·n bÊt ®¼ng thøc
.
0x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.4.2. B¸n kÝnh héi tô
r
0(:
r
)
8.4.2.1. §Þnh nghÜa: Sè
sao cho chuçi lòy thõa (3)
(
rr
),
héi tô tuyÖt ®èi trong kho¶ng
vµ ph©n kú trong c¸c kho¶ng
(
r
,
)
,( r
)
r
x
r
,
. T¹i
vµ
x , chuçi (3) cã thÓ héi tô, cã thÓ
ph©n kú. Sè r nãi trªn ®îc gäi lµ b¸n kÝnh héi tô.
(
rr
),
Kho¶ng
lµ kho¶ng héi tô cña chuçi lòy thõa (3).
Do ®ã: Muèn t×m miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa (3) ta t×m kho¶ng
héi tô, råi xÐt thªm sù héi tô t¹i hai ®iÓm mót (MiÒn héi tô lµ tËp hîp
tÊt c¶ c¸c ®iÓm héi tô).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.4.2.2 Quy t¾c t×m b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa
n
a
§Þnh lý: NÕu
(hoÆc
) th× b¸n kÝnh héi tô r
n
lim
n
lim
n
a 1
n
a
n
cña chuçi lòy thõa (3) ®îc x¸c ®Þnh nh sau:
0
p
/1
khi
p
r =
0 khi
0p
khi
rr
),
(
Gi¶ sö biÕt b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa lµ r , khi ®ã
®îc gäi lµ kho¶ng héi tô cña chuçi lòy thõa. Muèn x¸c ®Þnh
miÒn héi tô ta ph¶i xÐt cô thÓ c¸c chuçi sè t¬ng øng víi c¸c
gi¸ trÞ t¹i c¸c ®Çu mót cña kho¶ng héi tô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NÕu cã v« sè c¸c hÖ sè
, th× ta ph¶i t×m miÒn héi tô cña
0na
chuçi lòy thõa theo c¸c bíc sau:
n
lim 1
)(xU
Bíc1:T×m
hoÆc
,gi¶ sö chóng cã giíi h¹n lµ
xU )(
n
n
lim
n
xU
)(
n
)(
xU
n
xU
1)(
Bíc 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh
. NghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh
nµy lµ nh÷ng ®iÓm héi tô cña chuçi lòy thõa - (Kho¶ng héi tô).
Bíc 3: XÐt tai c¸c ®iÓm biªn lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
xU
)(
1
Bíc 4: KÕt luËn vÒ miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa. (HiÓn
nhiªn víi nh÷ng ®iÓm lµ nh÷ng ®iÓm lµ nghiÖm cña bÊt ph¬ng
xU
1)(
tr×nh
lµ nh÷ng ®iÓm ph©n kú).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
n
)1(
VÝ dô 1: T×m miÒn héi tô cña chuçi:
n
1
x
n
6
8
Gi¶i:
C¸ch 1 Dïng quy t¾c t×m b¸n kÝnh héi tô suy ra kho¶ng héi tô,
sau ®ã xÐt t¹i c¸c ®Çu mót ®Ó kÕt luËn vÒ miÒn héi tô.
n
lim
:
lim
1
Ta cã:
n
n
n
a
lim 1
a
1
2
6
1
n
8
6
n
6
6
n
n
8
2
n
VËy b¸n kÝnh héi tô lµ r = 1, suy ra kho¶ng héi tô lµ (-1; 1).
Ta xÐt t¹i c¸c ®Çu mót:
n
)1(
. §©y lµ
T¹i x = 1. Khi ®ã chuçi ®· cho trë thµnh
n
1
1
n
6
8
chuçi sè ®an dÊu, héi tô theo tiªu chuÈn Lepnit.
n
n
)1(
T¹i x= -1.Khi ®ã chuçi ®· cho trë thµnh
.
n
1
n
1
)1(
n
6
8
1
n
6
8
1
1
x
§©y lµ chuçi sè d¬ng, ph©n kú v× t¬ng ®¬ng víi chuçi sè
®iÒu hßa.
VËy miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa ®· cho lµ
1,1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
C¸ch 2: Ta cã:
n
1
n
n
1
n
n
)1(
)1(:
x
n
lim
n
lim
n
lim
n
x
n
6
2
x
n
6
8
x
x
6(
)8
n
n
)2
6(
)(
xU
1
n
)(
xU
n
x
1
1
1
x
Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh
kho¶ng héi tô lµ
(-1, 1).TiÕp tôc xÐt t¹i c¸c ®Çu mót nh c¸ch 1, ta còng thu
1;1
®îc miÒn héi tô lµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
(1)
2
VÝ dô 2: T×m miÒn héi tô cña chuçi
n
1
(
n
x
(
ln)1
)1
n
(
)1
Gi¶i:
n
C¸ch 1 §Æt
x
1 x
. Khi ®ã (1) ®îc viÕt l¹i lµ:
2
n
1
x
ln)1
(
n
(
n
)1
2
1
1
TÝnh:
. Do ®ã b¸n kÝnh héi tô r =1,
2
lim
n
lim
n
a
n
a
n
(
n
(
ln)1
ln)2
(
(
n
n
)1
)2
n
11
0
2
1
x
x
n
.
T¹i x= -2, chuçi ®· cho trë thµnh
2
1
n
suy ra kho¶ng héi tô ®ang xÐt lµ (-1,1). Tõ ®ã suy ra kho¶ng héi
. Ta xÐt t¹i c¸c ®Çu mót:
tô cña chuçi (2) lµ:
)1(
ln)1
)1
n
n
(
(
§©y lµ chuçi sè ®an dÊu, héi tô theo Lepnit.
0x
T¹i
, ®©y lµ chuçi sè
2
, chuçi ®· cho trë thµnh
n
1
1
ln)1
(
n
(
n
)1
0,2
d¬ng, héi tô theo tiªu chuÈn tÝch ph©n.
VËy miÒn héi tô cña chuçi ®· cho lµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
1
n
:
lim
2
2
lim
n
n
x
(
ln)2
)1
(
(
n
n
)2
(
n
x
(
ln)1
)1
n
(
)1
U
x
)(1
n
xU
)(
n
2
(
x
)1
x
1
C¸ch 2: XÐt
lim
2
n
n
(
n
(
ln)1
ln)2
(
(
n
n
)1
)2
11 x
=
2
x
0
Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh suy ra kho¶ng héi tô lµ
2
x
0
.
XÐt t¹i hai ®Çu mót nh trªn, ta cã miÒn héi tô lµ , hay
0,2
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa
n
n
a
...
...
xa
n
0
xa
1
xa
n
Cho chuçi lòy thõa
(4) cã
n
0
(
rr
),
kho¶ng héi tô lµ
. Khi ®ã ta cã:
TÝnh chÊt 1: Chuçi lòy thõa (4) héi tô ®Òu trªn mäi ®o¹n [a,b]
bÊt kú n»m trong kho¶ng héi tô cña nã.
Chó ý: TÝnh chÊt nãi trªn chØ kh¼ng ®Þnh chuçi (4) héi tô ®Òu
trªn mäi ®o¹n n»m trong kho¶ng héi tô cña nã. Song trong
toµn bé kho¶ng héi tô th× chuçi (4) cha ch¾c ®· héi tô ®Òu.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 2: Tæng cña chuçi lòy thõa (4) lµ mét hµm liªn tôc
trong kho¶ng héi tô cña nã.
x
r
Chó ý: NÕu chuçi héi tô t¹i c¶ (hoÆc mét) trong hai mót
th× tæng cña nã còng liªn tôc (mét phÝa) t¹i mót Êy.
TÝnh chÊt 3: Cã thÓ lÊy tÝch ph©n tõng sè h¹ng cña chuçi (4)
trªn ®o¹n [a,b] bÊt kú n»m trong kho¶ng héi tô cña nã.
TÝnh chÊt 4: Cã thÓ lÊy ®¹o hµm tõng sè h¹ng chuçi lòy thõa
(4) t¹i mäi ®iÓm n»m trong kho¶ng héi tô cña nã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
kh«ng ph¶i lµ cËn trªn cña X)
infX = a khi vµ chØ khi hai ®iÒu kiÖn sau ®îc tho¶ m·n:
. x a víi mäi x X (a lµ cËn díi cña X)
. Víi mäi sè a’ > a lu«n tån t¹i sè x0 sao cho x0 < a’ (mäi sè
a’>a kh«ng ph¶i lµ cËn díi cña X)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TËp hîp X =(a; b) cã cËn trªn ®óng lµ b. ThËt vËy, râ rµng
x
b) , do ®ã tån t¹i xoK. Sè xo K tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xo (a; b) vµ
x0 > b’. VËy supX = b.
Trong to¸n häc ngêi ta ®· chøng minh ®Þnh lý sau:
T¬ng tù ta chøng minh ®îc infX = a.
§Þnh lý: Mäi tËp sè thùc kh¸c rçng bÞ chÆn trªn (bÞ chÆn díi) ®Òu
cã cËn trªn ®óng(cËn díi ®óng).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Sè cùc ®¹i vµ sè cùc tiÓu
CËn trªn ®óng vµ cËn díi ®óng cña mét tËp hîp X cã thÓ thuéc
hoÆc kh«ng thuéc tËp hîp X.
VÝ dô:
sup[a; b) = b [a; b), inf[a; b) = a [a; b)
sup(a; b] = b (a; b], inf(a; b] = a (a; b]
§Þnh nghÜa: NÕu supX = b X th× sè b ®îc gäi lµ sè cùc ®¹i, hay
sè lín nhÊt cña tËp hîp X. NÕu infX = a X th× sè a ®îc gäi lµ sè
cùc tiÓu, hay sè nhá nhÊt cña tËp hîp X.
Sè lín nhÊt cña tËp hîp X ®îc ký hiÖu maxX
Sè nhá nh©t cña tËp hîp X ®îc ký hiÖu minX
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Tõ ®Þnh nghÜa ta suy ra:
maxX = b bX vµ x b víi mäi x X
minX = a a X vµ x a víi mäi x X
VÝ dô: max[a; b] = b, min[a; b] = a
TËp (a; b) kh«ng cã sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§3. Quan hÖ
1. TÝch Descartes
§Þnh nghÜa: TÝch Descartes cña hai tËp hîp X vµ Y, ký hiÖu X Y lµ
tËp hîp tÊt c¶ c¸c cÆp cã thø tù (x, y), trong ®ã x X vµ y Y.
X Y = {(x, y): x X vµ y Y}
VÝ dô: Cho X = {1, 2, 3}; Y = {a, b}
X Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
Y X = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)}
Tæng qu¸t ta gäi tÝch Descartes cña n tËp hîp X1, X2,..., Xn lµ tËp
hîp ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau:
X1 X2 .. Xn = {(x1, x2,..., xn): xi Xi, i = 1, 2,..., n} §Æc biÖt, khi X1 = X2 =...= Xn = X ta ký hiÖu X X ... X = Xn
Xn = {(x1, x2,..., xn): xi X, i = 1, 2,..., n}
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Quan hÖ
a) Kh¸i niÖm quan hÖ
§Þnh nghÜa: Quan hÖ hai ng«i trong tËp hîp X lµ mét tËp con cña
tËp hîp X2.
VÝ dô:
- Trong tËp c¸c sè thùc R, quan hÖ “kh«ng nhá h¬n” lµ tËp hîp:
{(x, y): x R, y R, x y} R2
- Trong tËp hîp tÊt c¶ c¸c tam gi¸c quan hÖ “®ång d¹ng” lµ tËp hîp
c¸c cÆp tam gi¸c ( ,
) mµ ®ång d¹ng víi .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) Quan hÖ t¬ng ®¬ng
Cho X2 lµ mét quan hÖ trong tËp hîp X. NÕu (x, y) th× ta nãi
phÇn tö x cã quan hÖ víi phÇn tö y vµ viÕt x y.
§Þnh nghÜa: Mét quan hÖ trong tËp hîp X ®îc gäi lµ quan hÖ
t¬ng ®¬ng nÕu nã cã c¸c tÝnh chÊt sau:
1. TÝnh ph¶n x¹: a a, a X (mäi phÇn tö a cña X cã quan hÖ
víi chÝnh nã)
2. TÝnh ®èi xøng: NÕu a b th× b a (nÕu a cã quan hÖ víi b th× b
còng cã quan hÖ víi a)
3. TÝnh b¾c cÇu: NÕu a b vµ b c th× a c (nÕu a cã quan hÖ
víi b vµ b cã quan hÖ víi c th× a cã quan hÖ víi c)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô:
. Quan hÖ “x ®ång d¹ng víi y” lµ mét quan hÖ t¬ng ®¬ng
trong tËp hîp tÊt c¶ c¸c tam gi¸c.
. Quan hÖ “x lµ b¹n cña y” trong tËp hîp sinh viªn cña mét
trêng ®¹i häc kh«ng ph¶i lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng v× nã kh«ng cã
tÝnh b¾c cÇu. c) Quan hÖ thø tù
§Þnh nghÜa: Mét quan hÖ trong tËp hîp X ®îc gäi lµ quan hÖ
thø tù nÕu nã cã c¸c tÝnh chÊt sau:
1. TÝnh ph¶n x¹: a a, a X
2. TÝnh ph¶n ®èi xøng: NÕu a b vµ b a th× a = b
3. TÝnh b¾c cÇu: NÕu a b vµ b c th× a c
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô:. Quan hÖ “x y” lµ mét quan hÖ thø tù trong tËp hîp tÊt c¶ c¸c sè thùc
. Quan hÖ “p chia hÕt cho q” lµ mét quan hÖ thø tù trong tËp hîp tÊt
c¶ c¸c sè tù nhiªn. 3. ¸nh x¹
a) Kh¸i niÖm ¸nh x¹: Cho hai tËp hîp X, Y kh«ng rçng bÊt kú
§Þnh nghÜa: Mét ¸nh x¹ f tõ tËp hîp X vµo tËp hîp Y lµ mét quy t¾c
®Æt t¬ng øng mçi phÇn tö x cña tËp X víi mét vµ chØ mét phÇn tö y
cña tËp Y.
§Ó nãi r»ng f lµ ¸nh x¹ tõ tËp hîp X vµo tËp hîp Y ta dïng ký hiÖu:
f: X Y
PhÇn tö y Y t¬ng øng víi phÇn tö x X qua ¸nh x¹ f ®îc gäi lµ
¶nh cña phÇn tö x, ký hiÖu lµ y = f(x)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 1: PhÐp ®Æt t¬ng øng mçi sè thùc x víi phÇn nguyªn cña nã
(ký hiÖu [x]) lµ mét ¸nh x¹ tõ R vµo Z.
VÝ dô 2: PhÐp ®Æt t¬ng øng mçi sè thùc x víi b×nh ph¬ng cña nã
lµ mét ¸nh x¹ tõ R vµo [0; + ].
VÝ dô 3: PhÐp ®Æt t¬ng øng mçi sè thùc x víi lËp ph¬ng cña nã lµ
mét ¸nh x¹ tõ R vµo R.
b) ¶nh vµ nghÞch ¶nh cña mét tËp hîp
Cho ¸nh x¹ f: X Y; A X; B Y.
§Þnh nghÜa: ¶nh cña tËp hîp A qua ¸nh x¹ f lµ tËp hîp ¶nh cña tÊt c¶
c¸c phÇn tö x A. ¶nh cña tËp hîp A qua ¸nh x¹ f ®îc ký hiÖu f(A):
f(A) = {y Y: tån t¹i x A, y = f(x)}
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa: NghÞch ¶nh cña tËp hîp B qua ¸nh x¹ f lµ tËp hîp tÊt
c¶ c¸c phÇn tö cña X cã ¶nh thuéc tËp B.
NghÞch ¶nh cña tËp hîp B qua ¸nh x¹ f ®îc ký hiÖu f-1(B):
f-1(B) = {x X: f(x) = y B}
NghÞch ¶nh cña tËp hîp gåm mét phÇn tö b Y ®îc gäi lµ nghÞch
¶nh cña phÇn tö b vµ ký hiÖu f-1(b):
VÝ dô: XÐt ¸nh x¹ f: R[0; + ) x¸c ®Þnh bëi f(x) = x2
f([-1; 2]) = [0; 4], f([-2; -1]) = [1; 4]
f-1([1; 4]) = [-2; -1] [1; 2]
f-1(1) = {-1; 1}
f-1(b) = {x X: f(x) = b}
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh lý: Víi mäi ¸nh x¹ f: X Y ta lu«n cã:
1. f(A1 A2) = f(A1) f(A2), víi mäi A1 X, A2 X 2. f-1(B1 B2) = f-1(B1) f-1(B2), víi mäi B1 Y, B2 Y 3. f-1(B1 B2) = f-1(B1) f-1(B2), víi mäi B1 Y, B2 Y
ViÖc chøng minh ®Þnh lý nµy dµnh cho b¹n ®äc. c) §¬n ¸nh, toµn ¸nh vµ song ¸nh
- ¸nh x¹ f: X Y ®îc gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu hai phÇn tö kh¸c nhau
bÊt kú cña tËp X lu«n cã ¶nh kh¸c nhau:
x1 x2 f(x1) f(x2)
Hay nãi c¸ch kh¸c, f lµ ®¬n ¸nh khi vµ chØ khi nghÞch ¶nh cña
mäi phÇn tö y Y hoÆc lµ tËp rçng, hoÆc chØ cã mét phÇn tö
duy nhÊt x X.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- ¸nh x¹ f: X Y ®îc gäi lµ toµn ¸nh nÕu ¶nh cña tËp hîp X lµ
toµn bé tËp hîp Y: f(X) = Y.
Hay nãi c¸ch kh¸c, f lµ toµn ¸nh khi vµ chØ khi nghÞch ¶nh cña
mäi phÇn tö y Y ®Òu kh«ng rçng.
- ¸nh x¹ f: X Y ®îc gäi lµ song ¸nh nÕu nã võa lµ ®¬n ¸nh võa
lµ toµn ¸nh.
VÝ dô:
- ¸nh x¹ f: R [-1;1] ®Æt t¬ng øng mçi sè x R víi sè y=cosx [1;1]
lµ mét toµn ¸nh, nhng kh«ng ph¶i ®¬n ¸nh.
- ¸nh x¹ f: [0; ] R ®Æt t¬ng øng mçi sè x [0; ] víi sè y = cosx
R lµ mét ®¬n ¸nh, nhng kh«ng ph¶i toµn ¸nh.
- ¸nh x¹ f: [0; ] [-1; 1] ®Æt t¬ng øng mçi sè x [0; ] víi sè y =
cosx [-1; 1] lµ mét song ¸nh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
d) ¸nh x¹ ngîc
Gi¶ sö ¸nh x¹ f: X Y lµ mét song ¸nh. Khi ®ã, víi mçi phÇn tö y
Y ®Òu cã nghÞch ¶nh kh«ng rçng (do f lµ toµn ¸nh) vµ nghÞch ¶nh
cña nã ph¶i lµ phÇn tö duy nhÊt x X (do f lµ ®¬n ¸nh). Trong
trêng hîp nµy ta cã ¸nh x¹ f-1: YX ®Æt t¬ng øng mçi phÇn tö y
Y víi phÇn tö x = f-1(y). ¸nh x¹ f-1 ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ngîc cña song
¸nh f. ¸nh x¹ f-1 còng lµ mét song ¸nh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: Gäi X lµ tËp hîp sinh viªn cña mét líp häc vµ Y lµ danh s¸ch
ghi ®Çy ®ñ hä vµ tªn cña c¸c sinh viªn líp ®ã. Gi¶ sö líp häc kh«ng
cã sinh viªn nµo trïng tªn. Khi ®ã, ¸nh x¹ f: X Y ®Æt t¬ng øng
mçi sinh viªn víi tªn gäi cña sinh viªn ®ã trong danh s¸ch, f lµ mét
song ¸nh. ¸nh x¹ ngîc f-1 ®Æt t¬ng øng mçi tªn trong danh s¸ch
víi sinh viªn cã tªn ®ã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§4. §¹i c¬ng vÒ logic suy luËn
1. Mệnh đề và các phép toán mệnh đề
a) MÖnh ®Ò trong logic to¸n.
Trong ng«n ng÷ th«ng thêng, ta hiÓu mÖnh ®Ò lµ nh÷ng c©u m« t¶
mét ®iÒu g× ®ã, hoÆc ph¸t biÓu mét ý kiÕn mang tÝnh kh¼ng ®Þnh.
§èi víi c¸c mÖnh ®Ò mang tÝnh kh¼ng ®Þnh, chóng ta thêng cã lêi
bµn: nãi nh vËy lµ ®óng hoÆc nãi nh vËy lµ sai. Môc ®Ých cña ho¹t
®éng khoa häc lµ kh¼ng ®Þnh ch©n lý kh¸ch quan. Nh÷ng lêi bµn
®óng sai mang tÝnh chñ quan kh«ng cã gi¸ trÞ khoa häc. M«n logic
to¸n häc ®Ò cËp tíi cÊu tróc logic ®Ó ph©n ®Þnh ®óng sai.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Trong logic to¸n häc chóng ta chØ xÐt c¸c mÖnh ®Ò cã hai kh¶ n¨ng
x¶y ra: MÖnh ®Ò ®óng hoÆc mÖnh ®Ò sai. Ta gäi c¸c mÖnh ®Ò ®ã lµ
c¸c mÖnh ®Ò logic. §óng vµ sai ®îc gäi lµ c¸c gi¸ trÞ ch©n lý hay
gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò. Ngêi ta dïng sè 1 vµ sè 0 ®Ó chØ gi¸ trÞ
logic cña mÖnh ®Ò: 1 lµ ®óng vµ 0 lµ sai. Mệnh ®Ò logic lµ mÖnh ®Ò
cã gi¸ trÞ logic.
Ta ký hiÖu mÖnh ®Ò b»ng c¸c ch÷: p, q, r,...
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) C¸c phÐp to¸n mÖnh ®Ò:
- PhÐp phñ ®Þnh: Phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò p lµ mÖnh ®Ò “kh«ng p”,
®îc ký hiÖu p. Gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò p ngîc l¹i víi gi¸ trÞ
logic cña mÖnh ®Ò p. Quan hÖ gi÷a p vµ p thÓ hiÖn ë b¶ng gi¸ trÞ
logic sau:
p
p
0
1
1
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- PhÐp héi: Héi cña hai mÖnh ®Ò p vµ q, ký hiÖu p q, ®äc lµ “p vµ q”.
MÖnh ®Ò p q ®óng khi vµ chØ khi c¶ hai mÖnh ®Ò p vµ q ®Òu ®óng
vµ sai trong tÊt c¶ c¸c trêng hîp cßn l¹i.
B¶ng gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò p q:
p
q
p q
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- PhÐp tuyÓn: TuyÓn cña hai mÖnh ®Ò p vµ q, ký hiÖu lµ p q, ®äc
lµ “p hoÆc q”. MÖnh ®Ò pq sai khi vµ chØ khi c¶ hai mÖnh ®Ò p vµ q
®Òu sai vµ ®óng trong tÊt c¶ c¸c trêng hîp cßn l¹i.
B¶ng gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò pq:
p
q
p q
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- PhÐp kÐo theo: Cho hai mÖnh ®Ò p vµ q, mÖnh ®Ò “p kÐo theo q”,
ký hiÖu pq lµ mét mÖnh ®Ò sai khi vµ chØ khi p ®óng nhng q sai
vµ ®óng trong tÊt c¶ c¸c trêng hîp cßn l¹i
B¶ng gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò pq:
p
q
pq
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Gi¸ trÞ logic cña c¸c mÖnh ®Ò phøc hîp
XuÊt ph¸t tõ c¸c mÖnh ®Ò ®¬n gi¶n ta cã thÓ lËp c¸c mÖnh ®Ò míi
b»ng phÐp phñ ®Þnh, phÐp héi, phÐp tuyÓn, phÐp kÐo theo. Tõ
nh÷ng mÖnh ®Ò míi ®ã ta l¹i tiÕp tôc lËp c¸c mÖnh ®Ò kh¸c.... C¨n
cø vµo c¸c b¶ng gi¸ trÞ logic nªu trªn ta cã thÓ lËp ®îc b¶ng gi¸ trÞ
logic cña c¸c mÖnh ®Ò phøc t¹p h¬n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: XÐt mÖnh ®Ò (p q) (q p). B¶ng logic cña mÖnh ®Ò nµy
®îc x¸c ®Þnh nh sau:
p q q p (p q) (q p)
p
q
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
MÖnh ®Ò (p q) (q p), tøc lµ “p kÐo theo q vµ q kÐo theo p”
®îc ký hiÖu lµ: p q, ®äc lµ “p t¬ng ®¬ng q”. Ta thÊy mÖnh ®Ò
p q ®óng khi vµ chØ khi p, q cã cïng gi¸ trÞ logic (cïng ®óng
hoÆc cïng sai) vµ sai khi p, q cã gi¸ trÞ logic ngîc nhau.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Hµm mÖnh ®Ò
a) Kh¸i niÖm biÕn
§Þnh nghÜa: Mét ký hiÖu mµ ta cã thÓ g¸n cho nã mét phÇn tö bÊt
kú cña tËp hîp X ®îc gäi lµ biÕn. TËp hîp X ®îc gäi lµ miÒn biÕn
thiªn cña biÕn ®ã. C¸c biÕn thêng ®îc ký hiÖu b»ng ch÷ x, y, z,...
Mét biÕn mµ miÒn biÕn thiªn cña nã lµ tËp hîp sè ®îc gäi lµ biÕn
sè. Mét biÕn mµ miÒn biÕn thiªn cña nã lµ tËp hîp c¸c mÖnh ®Ò
®îc gäi lµ biÕn mÖnh ®Ò.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) Hµm mÖnh ®Ò
§Þnh nghÜa: Mét mÖnh ®Ò cã chøa biÕn x, víi miÒn biÕn thiªn X, mµ
khi ta g¸n cho x mét phÇn tö x¸c ®Þnh cña tËp hîp X ta ®îc mét
mÖnh ®Ò cã gi¸ trÞ logic x¸c ®Þnh ®îc gäi lµ hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh
trªn tËp X.
* “NÕu x chia hÕt cho 6 th× x chi hÕt cho 3” lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c
®Þnh trªn tËp Z.
VÝ dô:
* p q lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn tËp hîp c¸c mÖnh ®Ò (p,q).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ta sÏ ký hiÖu “p(x), xX” ®Ó nãi r»ng p lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh
trªn tËp X. Khi ®· nãi tríc vÒ miÒn biÕn thiªn cña x th× ta viÕt ®¬n
gi¶n lµ p(x). B¶n th©n hµm mÖnh ®Ò p(x) kh«ng cã gi¸ trÞ logic, nhng
khi g¸n cho x mét phÇn tö cô thÓ cña tËp X th× nã cã gi¸ trÞ logic.
- TËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña tËp X mµ khi g¸n cho x mÖnh ®Ò p(x)
®óng gäi lµ miÒn ®óng cña hµm mÖnh ®Ò p(x) vµ ®îc ký hiÖu X®.
- TËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña tËp X mµ khi g¸n cho x mÖnh ®Ò
p(x) sai gäi lµ miÒn sai cña hµm mÖnh ®Ò p(x) vµ ®îc ký hiÖu Xs.
Ta cã: X® Xs = X ; X® Xs = .
VÝ dô: XÐt hµm mÖnh ®Ò “x2 - 3x + 2 = 0, x R”.
Khi ®ã: X® = {1; 2}, Xs = R\ {1; 2}.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Lîng tõ
Hai lîng tõ ®îc sö dông nhiÒu trong c¸c mÖnh ®Ò to¸n häc ®ã lµ
lîng tõ phæ biÕn vµ lîng tõ tån t¹i.
Tõ “víi mäi” ®îc ký hiÖu gäi lµ lîng tõ phæ biÕn. C¸c mÖnh ®Ò
sö dông lîng tõ ®îc viÕt díi d¹ng:
“ xX: p(x)” hoÆc “p(x), xX”.
MÖnh ®Ò “ xX: p(x)” ®óng nÕu miÒn ®óng cña p(x) lµ toµn bé tËp
X vµ sai nÕu miÒn sai cña p(x) kh¸c rçng.
Tõ “tån t¹i” ®îc ký hiÖu gäi lµ lîng tõ tån t¹i. C¸c mÖnh ®Ò sö
dông lîng tõ ®îc viÕt díi d¹ng:
“ xX: p(x)”.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
MÖnh ®Ò “ xX: p(x)” ®óng nÕu miÒn ®óng cña p(x) cã Ýt nhÊt mét
phÇn tö xX vµ sai nÕu miÒn sai cña p(x) lµ toµn bé tËp X.
Tõ ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò “xX: p(x)” vµ “ xX: p(x)”
ta suy ra:
. Phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò “xX: p(x)” lµ “ xX: p(x)”.
. Phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò “xX: p(x)” lµ “xX: p(x)”.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3. Logic suy luËn, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu kiÖn ®ñ
a) LuËt
Mçi lÜnh vùc khoa häc cã nh÷ng ®èi tîng riªng. C¸c kÕt luËn khoa
häc thêng mang tÝnh kh¸i qu¸t, ph¶n ¸nh nh÷ng mèi liªn hÖ mang
tÝnh quy luËt trong ph¹m vi mét tËp hîp nhÊt ®Þnh. C¸c kÕt luËn nh
vËy thêng ®îc ph¸t biÓu díi d¹ng c¸c hµm mÖnh ®Ò mµ miÒn
®óng cña nã lµ toµn bé tËp hîp ®ã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa: Mét hµm mÖnh ®Ò p(x), x¸c ®Þnh trªn tËp X, ®îc gäi lµ
mét luËt trªn tËp hîp ®ã nÕu miÒn ®óng cña nã lµ toµn bé tËp X
(miÒn sai lµ tËp rçng).
Nãi c¸ch kh¸c, p(x) lµ mét luËt trªn tËp hîp X nÕu mÖnh ®Ò
“ xX:p(x)” ®óng.
Mét luËt trªn tËp h¬p tÊt c¶ c¸c mÖnh ®Ò ®îc gäi lµ luËt logic.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô:
. MÖnh ®Ò “xR: x2 0” lµ mét luËt trªn tËp hîp c¸c sè thùc.
. MÖnh ®Ò “p p” lµ mét luËt logic. B¶ng logic díi ®©y cho thÊy
mÖnh ®Ò ®ã lu«n lu«n ®óng bÊt kÓ p lµ mÖnh ®Ò ®óng hay mÖnh ®Ò
sai:
p 0 1
p 1 0
p p 1 1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: §Þnh nghÜa trªn cã thÓ ¸p dông cho hµm mÖnh ®Ò nhiÒu
biÕn nÕu ta gép mét bé n biÕn thµnh mét biÕn x. Mét luËt trªn
tËp hîp Xn (luËt chøa n biÕn, nhng c¶ n biÕn cã cïng miÒn
biÕn thiªn X) cã thÓ gäi lµ mét luËt trªn tËp hîp X.
VÝ dô:
. MÖnh ®Ò “ (x, y)R ta lu«n cã: x + y = y + x” lµ mét luËt trªn
R. §ã lµ luËt giao ho¸n cña phÐp céng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
. Hµm mÖnh ®Ò hai biÕn “p q (p q)” lµ mét luËt logic. B¶ng logic
dưíi ®©y cho thÊy mÖnh ®Ò ®ã lu«n lu«n ®óng víi (p, q) lµ cÆp
mÖnh ®Ò bÊt kú:
p
q
p
q
q p q p q p p (p q)
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu kiÖn ®ñ
Khi nghiªn cøu c¸c ®èi tîng trong ph¹m vi mét tËp hîp X, c¸c
nhËn ®Þnh mang tÝnh kh¸i qu¸t thêng ®îc ph¸t biÓu díi d¹ng c¸c
hµm mÖnh ®Ò chøa biÕn xX. C¸c mÖnh ®Ò mang tÝnh diÔn gi¶i cã
d¹ng:
xX: p(x) q(x)
(1.1)
Ta ®· biÕt r»ng mÖnh ®Ò (1.1) ®óng khi vµ chØ khi miÒn ®óng cña
hµm mÖnh ®Ò “p(x) q(x)” lµ toµn bé tËp X. Tuy nhiªn víi nh÷ng
phÇn tö xX mµ p(x) sai th× “p(x) q(x)” lu«n lu«n ®óng, do ®ã
mÖnh ®Ò (1.1) ®óng khi vµ chØ khi miÒn ®óng cña p(x) lµ tËp con cña
miÒn ®óng cña q(x), tøc lµ víi bÊt kú phÇn tö x X nµo mµ p(x)
®óng th× q(x) còng ®óng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
MÖnh ®Ò (1.1) thêng ®îc ph¸t biÓu nh sau:
. NÕu p(x) th× q(x),
. q(x) khi p(x),
. §iÒu kiÖn cÇn ®Ó p(x) lµ q(x),
. §iÒu kiªn ®ñ ®Ó q(x) lµ p(x).
Khi chøng minh mÖnh ®Ò (1.1), p(x) lµ gi¶ thiÕt cßn q(x) lµ kÕt luËn.
VÝ dô: Víi sè nguyªn x chia hÕt cho 6 ta chøng minh ®îc x chia hÕt
cho 3, khi ®ã ta ph¸t biÓu nh sau:
. NÕu x chia hÕt cho 6 th× x chia hÕt cho 3,
. x chia hÕt cho 3 khi x chia hÕt cho 6,
. §iÒu kiÖn cÇn ®Ó x chia hÕt cho 6 lµ x chia hÕt cho 3
. §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó x chia hÕt cho 3 lµ x chia hÕt cho 6.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ
NÕu p(x) võa lµ ®iÒu kiÖn cÇn, võa lµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó q(x) th× ta nãi:
. p(x) lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó q(x),
. p(x) khi vµ chØ khi q(x),
. p(x) t¬ng ®¬ng q(x).
Khi p(x) t¬ng ®¬ng q(x) ta ký hiÖu:
p(x) q(x)
(1.2)
HÖ thøc (1.2) cã nghÜa lµ víi mäi x X hai mÖnh ®Ò p(x) vµ q(x) cã
cïng gi¸ trÞ logic. Khi ®ã nÕu mét trong hai mÖnh ®Ò nµy cã mÆt
trong mét mÖnh ®Ò phøc hîp nµo ®ã ta cã thÓ thay mÖnh ®Ò nµy
b»ng mÖnh ®Ò kia mµ kh«ng lµm thay ®æi gi¸ trÞ logic cña mÖnh ®Ò
phøc hîp Êy.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4. Logic chøng minh mÖnh ®Ò
V× mçi mÖnh ®Ò logic chØ nhËn mét trong hai gi¸ trÞ: ®óng hoÆc sai
do ®ã chøng minh mét mÖnh ®Ò cã nghÜa lµ x¸c ®Þnh ®îc gi¸ trÞ
logic cña mÖnh ®Ò ®ã lµ ®óng.
a) C¨n cø ®Ó chøng minh mét mÖnh ®Ò
C¨n cø ®Ó chøng minh mÖnh ®Ò lµ c¸c mÖnh ®Ò ®óng. Cã hai lo¹i
mÖnh ®Ò ®îc sö dông lµm c¨n cø ®Ó chøng minh:
- C¸c mÖnh ®Ò ®îc thõa nhËn lµ ®óng: ®ã lµ c¸c mÖnh ®Ò ®Þnh
nghÜa vµ c¸c tiªn ®Ò,
- C¸c mÖnh ®Ò ®· ®îc chøng minh lµ ®óng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) PhÐp suy luËn ®óng
PhÐp suy luËn ®óng lµ phÐp suy luËn dùa trªn c¸c luËt logic
hoÆc luËt kÐo theo trªn mét tËp hîp X. LuËt kÐo theo trªn mét
tËp X cã d¹ng:
p(x) q(x)
(1.3)
Trong ®ã x lµ mét biÕn hoÆc mét bé gåm c¸c biÕn víi miÒn
biÕn thiªn lµ tËp X. Ta ®· biÕt r»ng hµm mÖnh ®Ò (1.3) lµ mét
luËt trªn tËp X nÕu miÒn ®óng cña nã lµ toµn bé tËp X, do ®ã
khi p(x) ®óng cã thÓ kÕt luËn r»ng q(x) ®óng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
B¶n th©n c¸c luËt logic vµ c¸c luËt trong ph¹m vi mét tËp hîp X
còng lµ c¸c mÖnh ®Ò ®îc chøng minh lµ ®óng vµ thêng ®îc ph¸t
biÓu díi d¹ng c¸c ®Þnh lý. C¸c ®Þnh lý ®ã ®îc thiÕt lËp tõ c¸c ®Þnh
nghÜa vµ hÖ th«ng tiªn ®Ò. Mçi ®Þnh lý ®îc chøng minh lµ c¨n cø
®Ó chøng minh c¸c ®Þnh lý kh¸c. §ã lµ logic ph¸t triÓn cña mäi hÖ
thèng lý thuyÕt trong khoa häc nãi chung vµ trong to¸n häc nãi
riªng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Mét sè luËt logic cÇn chó ý
p
; p
p
p
1. LuËt bµi trung:
2. LuËt phñ ®Þnh cña phñ ®Þnh:
p p
p
p
q
q
3. LuËt ®èi ngÉu:
p
q
p
q
(
p
q
q
(
)
p
)
4. LuËt ph¶n chøng:
5. LuËt giao ho¸n:
p
q
q
p
p
q
q
p
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6. LuËt kÕt hîp:
(
p
q
)
q
r
(
p
r
)
(
p
q
)
q
r
(
p
r
)
7. LuËt ph©n phèi:
p p
( (
q q
q q
r r
) )
( (
p p
) )
( (
p q
r ) ) r
p
q
p
(
q
)
8. LuËt
xpXx : )(
[
xpXx :
])(
9. LuËt
xpXx : )(
xpXx :
])(
[
10. LuËt
Ta cã thÓ chøng minh c¸c luËt nµy b»ng c¸ch lËp b¶ng gi¸ trÞ logic (dµnh cho sinh viªn).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng II. Ma trËn - §Þnh thøc
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§1. Ma trËn
1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ ma trËn
a) Kh¸i niÖm ma trËn
§Þnh nghÜa: Mét b¶ng gåm mxn sè xÕp thµnh m hµng vµ n cét
®îc gäi lµ mét ma trËn cÊp mxn vµ ®îc ký hiÖu nh sau:
a 12 a
a 1 n a
22
A
a 11 a 21 2 n
a
a
a
1 m
m
2
mn
C¸c sè
ija ®îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña ma trËn A. Cô thÓ
ija lµ phÇn
tö n»m trªn hµng i vµ cét j cña ma trËn A.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Ó kÝ hiÖu ma trËn ngêi ta thêng viÕt b¶ng sè bªn trong hai dÊu
ngoÆc vu«ng nh trªn hoÆc hai dÊu ngoÆc trßn.
§Ó nãi A lµ ma trËn cÊp mxn cã phÇn tö n»m ë hµng i cét j lµ
ija ta
A
viÕt
nmija
Khi
nm , ta cã ma trËn víi n hµng n cét, ta gäi nã lµ ma trËn vu«ng
cÊp n .
. Trong ma trËn vu«ng cÊp n :
a 11
a 12
a 1 n
a
a
22
A
a 21 2 n a
a
a
n
2
nn
1 n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
,
,
C¸c phÇn tö
gäi lµ c¸c phÇn tö chÐo. §êng th¼ng ®i
a 11
, 22 a
nna
qua c¸c phÇn tö chÐo gäi lµ ®êng chÐo chÝnh cña ma trËn, ®êng
chÐo cßn l¹i gäi lµ ®êng chÐo phô.
- Ma trËn vu«ng cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö n»m vÒ mét phÝa cña ®êng
chÐo chÝnh b»ng kh«ng gäi lµ ma trËn tam gi¸c. Cã hai lo¹i ma trËn
tam gi¸c:
a 11 0
a 12 a
a 1 n a
a 11 a
0 a
0 0
22
22
vµ
2 n 0
0
a
21 a
a
a
nn
n
2
1 n
nn
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
- Ma trËn vu«ng cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö n»m ngoµi ®êng chÐo chÝnh
b»ng kh«ng ®îc gäi lµ ma trËn chÐo. Ma trËn chÐo cÊp n cã d¹ng:
0
0
a
22
0
0
a 11 0 0 nna
a
Trêng hîp ®Æc biÖt, khi
1 ma trËn chÐo
a 11
22
nna
®îc gäi lµ ma trËn ®¬n vÞ. Ma trËn ®¬n vÞ ®îc ký hiÖu I hoÆc E:
0 1
I
1
0
0
1 0 0 0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 1:
A
4321 8765
4 . 8
lµ mét ma trËn cÊp a 11 a 21
42 víi c¸c phÇn tö: a a , 1 , 2 , 3 13 14 , 6 , 7 a a , 5 24 23
a 12 a 22
2
1 B
VÝ dô 2:
3
lµ ma trËn cÊp 1x3 (cßn gäi lµ ma trËn hµng) víi c¸c phÇn tö:
,1
,2
3
.
b 11
b 12
b 13
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4
C
5
VÝ dô 3:
6
lµ ma trËn cÊp
13 (cßn gäi lµ ma trËn cét) víi c¸c phÇn tö:
,4
c
,5
c
6
.
c 11
31
21
b) Ma trËn kh«ng vµ ma trËn ®èi
. Ma trËn kh«ng lµ ma trËn cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö ®Òu b»ng kh«ng.
Ma trËn kh«ng ký hiÖu lµ 0 .
A
A
. Víi mçi ma trËn
ta ®Æt
. Ma trËn A ®îc gäi
nmija
nmija
lµ ma trËn ®èi cña ma trËn A.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) Ma trËn b»ng nhau
§Þnh nghÜa: Hai ma trËn A vµ B gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã
,
B
cïng cÊp vµ c¸c phÇn tö cïng vÞ trÝ b»ng nhau, tøc lµ:
aA
nmij
b nmij
1)
a ij
b ij
2) víi mäi i vµ mäi j .
BA .
Khi A b»ng B ta viÕt
ba
c
d
21 43
a
,1
b
,2
c
,3
d
4
VÝ dô:
cã nghÜa lµ .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. C¸c phÐp to¸n ®èi víi ma trËn
a) PhÐp céng ma trËn
[ aA
,
B
§Þnh nghÜa: Cho hai ma trËn
. Tæng cña hai
] nmij
[ b ] nmij
ma trËn A vµ B lµ mét ma trËn cÊp
nm , ký hiÖu
BA vµ ®îc x¸c
®Þnh nh sau:
BA
[
a
] b nmij
ij
Nh vËy muèn céng hai ma trËn cïng cì ta céng c¸c phÇn tö cïng
vÞ trÝ víi nhau.
VÝ dô:
2
4
1
.
2
4
6
1 3
15 25
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt: PhÐp céng ma trËn cã c¸c tÝnh chÊt sau:
(
CB
)
BA AB ( ) ACBA A 0 0 AA
A
(
A )
(
A )
A
0
b) PhÐp nh©n ma trËn víi mét sè
A
§Þnh nghÜa: Cho ma trËn
, k lµ sè thùc bÊt kú. TÝch cña
nmija
ma trËn A víi sè k lµ mét ma trËn cÊp
nm , ký hiÖu kA vµ ®îc x¸c
®Þnh nh sau:
kA
[
] nmijka
Nh vËy, muèn nh©n mét ma trËn víi mét sè ta nh©n tÊt c¶ c¸c
phÇn tö cña ma trËn víi sè ®ã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
43 41
86 82
VÝ dô:
TÝnh chÊt: PhÐp nh©n ma trËn víi mét sè cã c¸c tÝnh chÊt sau:
BAk ( ) ( Ahk )
kA kA
kB hA
hAk ( )
Akh ( )
.1
A
A
.0
A
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
,
§Þnh nghÜa: Cho hai ma trËn
. TÝch cña ma
c) PhÐp nh©n ma trËn víi ma trËn aA
bB
nmij
pnij
pm , ký hiÖu AB vµ ®îc
AB
x¸c ®Þnh nh sau:
trËn A víi ma trËn B lµ mét ma trËn cÊp pmijc
n
c
ij
ba 11 i
j
ba 22 i
j
ba in
nj
ba kj ik
trong ®ã:
,
k
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
C¸ch tÝnh ijc cã thÓ h×nh dung b»ng s¬ ®å sau:
b 1
j
b 2
j
a
a
a
1 i
i
2
in
b nj
vµ cã thÓ nãi t¾t: ijc b»ng hµng i cña A nh©n víi cét j cña B .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô:
4
1
3 2
3 2
12 8
4
11
1
3 2
2
3
18
14
2
9
18
10
1
1 3 1
2 2 4
3 1
0 4
5 1
8 4
1 0
2 1
0
1
2
3
6
3
4
0
1
2
1
1
12
3
8
2
10
16
2 3 4
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý:
AB (
A
- Muèn nh©n
bªn tr¸i, B bªn ph¶i) ph¶i cã ®iÒu kiÖn: sè cét
BBA(
cña A b»ng sè hµng cña B. Muèn nh©n
bªn tr¸i, A bªn ph¶i)
ph¶i cã ®iÒu kiÖn: sè cét cña B b»ng sè hµng cña A. Do ®ã khi
nh©n AB ®îc cha ch¾c ®· nh©n BA ®îc. Trêng hîp ®Æc biÖt khi
A vµ B lµ hai ma trËn vu«ng cïng cÊp th× nh©n AB vµ BA ®Òu ®îc.
AB
. Khi nh©n AB vµ BA ®îc, cha ch¾c ®· cã
. BA
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt: PhÐp nh©n ma trËn víi ma trËn cã tÝnh chÊt sau
( ) CBA ACB ( )
AB BA
AC CA
( BCA
)
(
) CAB
( BCk
)
(
kCBCkB
(
)
)
IA
A
;
BI
B
§Æc biÖt, trong tËp c¸c ma trËn vu«ng cïng cÊp ta cã:
AI
IA
A
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3. Ma trËn chuyÓn vÞ
A
§Þnh nghÜa: XÐt ma trËn
, nÕu chuyÓn c¸c hµng cña A
nmija
thµnh c¸c cét víi thø tù t¬ng øng (khi ®ã c¸c cét trë thµnh hµng víi
thø tù t¬ng øng) ta ®îc ma trËn míi gäi lµ ma trËn chuyÓn vÞ cña
A, ký hiÖu lµ
tA .
t
A
a
Nh vËy
.
mnji
VÝ dô:
32
A
01
tA
th×
412 503
54
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4. ChuyÓn vÞ cña tÝch hai ma trËn
A
,
B
Gi¶ sö
. Qua phÐp chuyÓn vÞ ta cã:
b
a
ij
pn
t
t
B
A
,
b
nmij a
ji
ji
np
mn
t
t AB
V× vËy ta cã thÓ nh©n
®îc.
t
t AB )
(
§Þnh lý:
A
,
B
Chøng minh. Víi hai ma trËn:
t AB a
b
ij
nmij
pn
c
AB
C
trong ®ã
ij
ba ik
kj
pmijc
n 1 k
t
a
A
Ta cã:
trong ®ã
t a ij
ji
t ij
t
B
b
trong ®ã
t b ij
ji
a b
mn
t ij
np
t
C
c
c
trong ®ã
c
t ij
t ij
ji
ba jk
ki
np
n 1 k
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
t
t
d
t AB
t AB
Do ®ã cã thÓ nh©n
vµ
trong ®ã
dD
ij
t ab ik
t kj
ij
mp
n 1 k
n
n
d
c
c
Ta nhËn thÊy:
ij
ab ki
jk
ba jk ki
ji
t ij
k
1
k
1
t
t
t
t AB
C
(
AB
)
Do ®ã:
§Þnh lý ®îc chøng minh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
A
,
B
21 41
12 13
VÝ dô:
8
14
t
AB
(,
AB
)
3
5
14
3 5
8
t
t
A
,
B
11 42
32 11
14
t
t AB
5
8 3
Ta cã
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§2. §Þnh thøc
1. §Þnh thøc cña ma trËn vu«ng
XÐt ma trËn vu«ng cÊp n :
j
a 11 a
a 12 a
a 1 a
a 1 n a
j
2
22
A
a
a
a
ij
2
i
21 2 n a 1 i in
a
a
a
a
1 n
n
2
nj
nn
Ta chó ý ®Õn phÇn tö
ija , bá ®i hµng thø i vµ cét thø j ta thu ®îc
1n
ma trËn cÊp
. Ta ký hiÖu nã lµ
ijM vµ gäi nã lµ ma trËn con øng
víi phÇn tö ija .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
A
21
23
22
Ch¼ng h¹n, víi:
a 12 a a
a 13 a a
a 11 a a 31
32
33
ta cã:
22
23
21
23
21
22
M
,
M
,
M
11
12
13
a a
a a
a a
a a
a a
a a
32
33
31
33
31
32
M
,
M
,
M
21
22
23
a 12 a
a 13 a
a 11 a
a 13 a
a 11 a
a 12 a
32
33
31
33
31
32
a 13
M
,
M
,
M
31
32
33
a 12 a
a 13 a
a 11 a
a 12 a
a 11 a
a
22
23
21
22
21
23
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)
§Þnh nghÜa: §Þnh thøc cña ma trËn A, ký hiÖu lµ
det( A , ®îc ®Þnh
nghÜa dÇn dÇn nh sau:
NÕu A lµ ma trËn cÊp 1:
A
det(
A )
th×
.
a 11
11a
NÕu A lµ ma trËn cÊp 2:
A
a 11 a
a 12 a
21
22
det(
aA )
det(
M
)
det(
M
)
th×
.
11
a 12
11
12
aa 11
22
aa 12
21
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
a 11 a
a 12 a
a 1 n a
22
A
21 2 n
a
a
a
1 n
n
2
nn
n
det(
A )
det(
M
)
det(
M
)
det(
M
)
1 1
Mét c¸ch tæng qu¸t, nÕu A lµ ma trËn cÊp n :
a 11
11
a 12
12
a 1 n
n 1
§Ó ký hiÖu ®Þnh thøc, ngêi ta dïng hai g¹ch ®øng ®Æt ë hai bªn:
,
21
23
22
a 11 a
a 12 a
21
22
a 11 a a
a 12 a a
a 13 a a
31
32
33
§Þnh thøc cña ma trËn cÊp n gäi lµ ®Þnh thøc cÊp n .
th× . (2.1)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
21
2.34.1
2
43
1
2
3
1
2
3
5 6 98
64 7 9
4 7
5 8
4 7
5 6 98
45(1
(2)48
36
32(3)42
)35
240
§èi víi ®Þnh thøc cÊp 3 ta cã thÓ tÝnh theo quy t¾c ®êng chÐo nh sau:
A
a 11 a
a 12 a
a 13 a
Cho A lµ ma trËn cÊp 3:
21
22
a
a 31
32
23 a 33
VÝ dô:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Theo ®Þnh nghÜa ta cã:
det(
A )
det(
M
)
det(
M
)
det(
M
)
a 11
11
a 12
a 13
12
13
a
a
a
a
a
a
22
21
21
a 11
a 12
a 13
a
31
23 a 33
a 31
22 a 33
a 32
23 a 33
aaa
aaa
aaa 11
22
33
aaa 12
23
31
32
21
13
31
22
13
aaa 12
21
33
aa 32
23
+ Ba thµnh phÇn mang dÊu (+) lµ: tÝch c¸c phÇn tö thuéc ®êng
chÐo chÝnh; tÝch cña hai phÇn tö n»m trªn mçi ®êng song song víi
®êng chÐo chÝnh vµ phÇn tö ë gãc ®èi diÖn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
+ Ba thµnh phÇn mang dÊu (-) ®îc thµnh lËp hoµn toµn t¬ng tù
Quy t¾c ®êng chÐo ®îc biÓu diÔn theo s¬ ®å sau:
***
***
***
***
***
***
VÝ dô:
9.5.1
7.6.2
3.5.73).8)(4(
9.2).4(
1.6).8(
240
1 4
2 5
3 6
7
8
9
nhng theo ®êng chÐo phô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc
det(
A )
det(
tA
)
TÝnh chÊt 1.
.
VÝ dô:
21
31
2
;
2
43
42
HÖ qu¶: Mét tÝnh chÊt ®· ®óng khi ph¸t biÓu vÒ hµng cña ®Þnh thøc
th× nã vÉn cßn ®óng khi trong ph¸t biÓu ta thay hµng b»ng cét.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 2. §æi chç hai hµng (hay hai cét) cña mét ®Þnh thøc ta
®îc mét ®Þnh thøc míi b»ng ®Þnh thøc cò ®æi dÊu. VÝ dô:
2
;
2
21 43
43 21
TÝnh chÊt 3. Mét ®Þnh thøc cã hai hµng (hay hai cét) nh nhau th×
b»ng kh«ng.
TÝnh chÊt 4. Dùa vµo ®Þnh nghÜa (2.1) vµ ¸p dông tÝnh chÊt 2 ta suy
ra
A ) det(
det(
)
det(
)
(2.2)
1 i a )1( det( i 1
aM ) i 1 i
2
M i
2
a in
M in
C«ng thøc (2.2) gäi lµ khai triÓn cña ®Þnh thøc theo hµng i .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ta cã c«ng thøc khai triÓn ®Þnh thøc theo cét j
j
det(
A )
1 )1(
det(
M
)
a
det(
M
)
a
det(
M
(2.3)
a
)
2
j
1
j
1
j
2
j
nj
nj
1 4
2 5
3 6
VÝ dô: XÐt
7
8
9
240
ë vÝ dô trªn ta ®· t×m ®îc
.
B©y giê ¸p dông khai triÓn ®Þnh thøc theo hµng 3 ta cã
32
1
3
1
2
13
)1(
7
)8(
9
12(7
6(8)15
)85(9)12
240
¸p
65
64
54
dông khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 2 ta còng cã
64
31
1
3
21
)1(
2
5
)8(
(2
36
9(5)42
6(8)21
)12
240
7
9
97
64
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 5. Mét ®Þnh thøc cã mét hµng (hay mét cét) toµn sè
kh«ng th× b»ng kh«ng.
§ã lµ hÖ qu¶ cña c¸c c«ng thøc (2.2) vµ (2.3).
TÝnh chÊt 6. Khi nh©n c¸c phÇn tö cña mét hµng (hay mét cét) víi
cïng mét sè k th× ®îc mét ®Þnh thøc míi b»ng ®Þnh
thøc cò nh©n víi k .
§ã còng lµ hÖ qu¶ cña c¸c c«ng thøc (2.2) vµ (2.3).
HÖ qu¶: Tõ tÝnh chÊt 6 ta suy ra nhËn xÐt sau: khi c¸c phÇn tö cña
mét hµng (hay mét cét) cã thõa sè chung, ta cã thÓ ®a thõa sè
chung ®ã ra ngoµi dÊu ®Þnh thøc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
32
32
4
)34(4
4
VÝ dô:
84
21
TÝnh chÊt 7. Mét ®Þnh thøc cã hai hµng (hay hai cét) tØ lÖ th× b»ng kh«ng.
ThËt vËy, ®a hÖ sè tØ lÖ ra ngoµi dÊu ®Þnh thøc th× ®îc mét ®Þnh
thøc cã hai hµng (hay hai cét) nh nhau nªn nã b»ng kh«ng.
TÝnh chÊt 8. Khi tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña mét hµng (hay mét cét) cã
d¹ng tæng cña hai sè h¹ng th× ®Þnh thøc cã thÓ ph©n tÝch thµnh tæng
cña hai ®Þnh thøc, ch¼ng h¹n nh:
11
11
11
a a
a a
a a
a a
a a
a a
21
a 12 12 a 22 22
21
12 22
21
12 22
a
a
a
a
a
a
11
12
11
12
a 11 11 a
a 12 12 a
a
a
a
a
21
22
21
22
21
22
§ã lµ hÖ qu¶ cña c¸c c«ng thøc (2.2) vµ (2.3).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 9. Céng vµo c¸c phÇn tö cña mét hµng (hoÆc cét) c¸c
phÇn tö t¬ng øng cña mét hµng (cét) kh¸c sau khi ®· nh©n víi
cïng mét sè th× ®Þnh thøc kh«ng thay ®æi.
312 754
1 3)2(71)2(52)2(4
2
3
312 130
VÝ dô:
516
6
1
5
516
TÝnh chÊt 10. C¸c ®Þnh thøc cña ma trËn tam gi¸c b»ng tÝch c¸c
a 12 a
a 1 n a
0 a
22
22
a
a
phÇn tö chÐo.
aa 11
22
nn
aa 11
22
nn
a 11 0 2 n
0 a 11 0 a 21
0
0
a
a
a
a
nn
1 n
n
2
nn
,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Ó chøng minh ta dùa vµo khai triÓn (2.2) vµ (2.3).
VÝ dô:
7.5.1
35
321 450
700
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§3. C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh ®Þnh thøc
1. Ph¬ng ph¸p khai triÓn
Ph¬ng ph¸p khai triÓn lµ ph¬ng ph¸p sö dông c¸c c«ng thøc (2.2)
vµ (2.3).
B©y giê ta ®a vµo kh¸i niÖm phÇn bï ®¹i sè, khi ®ã c¸c c«ng thøc
nµy ®îc viÕt ®¬n gi¶n h¬n.
a) Kh¸i niÖm phÇn bï ®¹i sè
a 1 n
a 12 a
a
22
A
a 11 a 21 2 n a
a
a
n
2
nn
1 n
Cho ma trËn vu«ng cÊp n:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
ë phÇn trªn ta ®· gäi ma trËn
ijM suy ra tõ A b»ng c¸ch bá ®i hµng
j
C
i )1(
det(
M
)
i cét lµ ma trËn con øng víi phÇn tö
lµ
ij
ij
ija .Ta gäi
phÇn bï ®¹i sè cña phÇn tö ija .
Víi c¸c ký hiÖu ®ã c«ng thøc (2.2) kÕt hîp víi tÝnh chÊt 3 cña ®Þnh
thøc ta cã:
) A
Ca 1 k
1 i
Ca 2 k
i
2
Ca kn
in
khi khi
k k
i i
(2.4)
det( 0
KÕt hîp c«ng thøc (2.3) víi tÝnh chÊt 3 ta cã:
det(
) A
khi
k
j
Ca 1 1 k
j
Ca 2 k
2
j
Ca nk
nj
0
khi
k
j
(2.5)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VËy c«ng thøc tÝnh ®Þnh thøc b»ng c¸ch khai triÓn theo hµng i hoÆc
cét j bÊt kú ®îc viÕt l¹i nh sau:
det(
) A
...
+ Khai triÓn theo hµng i :
(2.6)
Ca 1 i
1 i
Ca 2 i
i
2
Ca in
in
det(
) A
...
+ Khai triÓn theo cét j :
(2.7)
Ca 1 1 j
j
Ca 2 j
2
j
Ca nj
nj
VÝ dô: TÝnh ®Þnh thøc sau:
1
241
d =
2 0
131 002
1
101
Khai triÓn ®Þnh thøc ®ã theo hµng 3 ta ®îc:
241
23
)1.(2
132
14
d =
101
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi vÒ d¹ng tam gi¸c
§Ó tÝnh mét ®Þnh thøc ta cã thÓ ¸p dông mét sè tÝnh chÊt cña nã ®Ó
®a ®Þnh thøc vÒ d¹ng tam gi¸c.
VÝ dô: H·y tÝnh
0 3 2
1 5 96 6 1
3 96 0 5 1
Ta cã
(®æi chç hµng 1 vµ hµng 2)
2
6
1
3
1 0
32 1 5
=
(®a thõa sè 3 ë hµng 1 ra ngoµi)
2
6
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1 0
2 1
3 5
3
=
(céng -2 lÇn hµng 1 vµo hµng 3)
0
10
5
3
=
(céng -10 lÇn hµng 2 vµo hµng 3)
1 0 0
2 1 0
3 5 55
.(1.1.3
)55
165
Chó ý: Còng cã thÓ xÐt c¸c biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ cét vµ ¸p dông
chóng ®Ó tÝnh ®Þnh thøc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. §Þnh thøc cña tÝch hai ma trËn
§Þnh lÝ: NÕu A vµ B lµ hai ma trËn cïng cÊp th× cã:
det(
AB )
det(
A )
det(
B
)
.
VÝ dô: Cho
A
B
13 12
31 5 8
AB
2 3
17 14
det(
A
,1)
det(
B
)
,23
det(
AB
)
23
Khi ®ã
det(
AB )
det(
A )
det(
B
)
Ta thÊy:
VËy râ rµng: .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§4. Ma trËn nghÞch ®¶o
1. Kh¸i niÖm ma trËn nghÞch ®¶o
BA
AB
I
§Þnh nghÜa: Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n. NÕu tån t¹i ma trËn vu«ng B cÊp n sao cho:
trong ®ã I lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp n th× ta nãi A kh¶ ®¶o vµ gäi B lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña A. Ngêi ta ký hiÖu ma trËn nghÞch ®¶o cña A lµ
1A , nghÜa lµ:
1
1
IAA
AA
.
A
1A
1 21
21 43
2 23
VÝ dô: th×
2 23
1 21
21 43
01 10
1 21
01 10
2 23
21 43
v×:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Sù duy nhÊt cña ma trËn nghÞch ®¶o
§Þnh lý: Ma trËn nghich ®¶o
1A cña A nÕu cã th× chØ cã mét mµ th«i.
ThËt vËy,gi¶ sö B vµ C ®Òu lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña A, tøc lµ:
AB
BA
I
AC
CA
I
,
( ACB
)
BI
B
(
CBA
)
IC
C
Khi ®ã ta cã:
vµ
Do phÐp nh©n ma trËn cã tÝnh chÊt kÕt hîp nªn ta suy ra
CB
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3. Sù tån t¹i cña ma trËn nghÞch ®¶o vµ biÓu thøc cña nã
XÐt ma trËn:
a 12 a
a 1 n a
22
A
a 11 a 21 2 n a
a
a
n
2
nn
1 n
det(
A )
0
§Þnh lÝ: NÕu
th× ma trËn A cã nghÞch ®¶o
1A tÝnh bëi c«ng
thøc sau:
1 n
21
11
C C
C C
22
t
A
1
C
1 det(
) A
1 det(
) A
C
C
nn
2
n
C C 12 2 n C 1 n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Mét ma trËn vu«ng cã ®Þnh thøc kh¸c kh«ng ®îc gäi lµ ma trËn
Chøng minh. Nh©n
tAC vµ ¸p dông c«ng thøc (2.4) ta ®îc:
det(
A )
0
0
det(
A )
AC t
0
0
0
0
det(
A )
AC t
Nh©n
vµ ¸p dông c«ng thøc (2.5) ta còng ®îc kÕt qu¶ nh vËy.
1
0
...
0
0
1
...
0
t
AC
t AC
I
Do ®ã:
...
...
1 det(
) A
1 det(
) A
0
0
...
1
...
...
vµ ®Þnh lý ®îc chøng minh.
kh«ng suy biÕn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
A
321 352 801
det(
A
01
)
VÝ dô 1: Cho
C
40
C
13
C
5
11
12
13
C
16
C
5
C
2
21
22
23
C
9
C
3
C
1
31
32
33
C
tC
Ta cã:
40 16 9
13 5 3
5 2 1
40 13 5
16 5 2
9 3 1
A
1
tC
Do ®ã:
1 1
40 13 5
16 5 2
9 3 1
VËy:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 2: XÐt ma trËn cÊp 2
A
ba dc
det(
A )
ad
bc
0
NÕu
th×:
A
1
d c
b a
1
ad
bc
C
C
11
12
C
V×
C
d b
c a
21
22
C
C t
Do ®ã:
d c
b a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4. T×m ma trËn nghÞch ®¶o b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp:
a) C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp:
C¸c phÐp biÕn ®æi sau ®©y ®èi víi ma trËn ®îc gäi lµ c¸c phÐp
biÕn ®æi s¬ cÊp:
1) Nh©n c¸c phÇn tö cña hµng (hoÆc cét) víi sè kh¸c kh«ng.
2) §æi chç hai hµng (hoÆc hai cét).
3) Céng vµo c¸c phÇn tö cña mét hµng (hoÆc cét) c¸c phÇn tö
t¬ng øng cña mét hµng (cét) kh¸c sau khi ®· nh©n víi cïng
mét sè.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
a) T×m ma trËn nghÞch ®¶o b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp
§Ó t×m ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A (cÊp n ) ta ghÐp ma trËn
®¬n vÞ I cÊp n bªn c¹nh ma trËn A, khi ®ã ta ®îc ma trËn cÊp
C
[
IA
]
n
)2( n
:
Sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng ®Ó ®a ma trËn C vÒ d¹ng:
[ BI
]
Khi ®ã ma trËn B chÝnh lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A.
VÝ dô: T×m ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn sau b»ng biÕn ®æi s¬
A
cÊp:
321 352 801
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Toµn bé qu¸ tr×nh biÕn ®æi ®îc thÓ hiÖn trong b¶ng sau:
L1 L2 L3
L
L
1
L
2
L
2
L 2 L 11
3
3
2
L
L
L
2
3
3
1
L
L 3
3
L
L
L
3
3 L
3
L
1
L
1
3
2
2
2
L
L
L
1
2
1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 -2 1 0 -1 0 1 1 0 0 -2 1 0 -5 2 1 1 0 0 -2 1 0 5 -2 -1 -1 4 63 13 -5 -3 5 -2 - 1 -0 16 9 -3
13 -5
1 2 3 2 5 3 1 0 8 1 2 3 0 1 -3 0 -2 5 1 2 3 0 1 -3 0 0 -1 1 2 3 0 1 -3 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
5 - 2 - 1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1A
40 13 5
16 5 2
9 3 1
VËy
Ph¬ng ph¸p nãi trªn cßn gäi lµ ph¬ng ph¸p Gauss- Jordan.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5. Ma trËn nghÞch ®¶o cña tÝch hai ma trËn
§Þnh lÝ: Cho A vµ B lµ hai ma trËn vu«ng cïng cÊp. Gi¶ sö A vµ B
lµ hai ma trËn kh¶ ®¶o. khi ®ã AB còng kh¶ ®¶o vµ
1
(
AB
1)
1 AB
Chøng minh. Ta cã
1
1
1
1
1
(
) ABAB
( BBA
)
A
AIA
I
1
1
1
1
1 AB
(
AB
)
B
(
IBBBAA
)
I
1
AB 1
VËy AB kh¶ ®¶o vµ
lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña AB .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh lÝ: NÕu A lµ ma trËn kh¶ ®¶o vµ cã nghÞch ®¶o
1A th×:
(
A
1)
1
A
1)
1A còng kh¶ ®¶o vµ
.
m
1
m
(
A
1
)
(
A
)
,
m
2) mA còng kh¶ ®¶o vµ
nguyªn d¬ng.
1
(
kA )
0k
ta cã kA còng kh¶ ®¶o vµ
.
3.
1 A 1 k
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6. øng dông cña ma trËn nghÞch ®¶o
Trong tËp c¸c ma trËn vu«ng cÊp n ta xÐt c¸c ph¬ng tr×nh:
AX = B
(2.8)
(2.9)
YA = B
Trong ®è A vµ B lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n cho tríc.
X = A-1B
(2.10)
NÕu A cã ma trËn nghÞch ®¶o, nh©n hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2.8) víi A-1 vÒ bªn tr¸i ta ®îc: T¬ng tù nh©n hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2.9) víi A-1 vÒ bªn ph¶i ta ®îc:
Y = B A-1
(2.11)
Nh vËy, khi ma trËn A cã ma trËn nghÞch ®¶o th× mçi ph¬ng tr×nh
(2.8) vµ (2.9) cã mét nghiÖm duy nhÊt ®îc x¸c ®Þnh theo c¸c c«ng
thøc (2.10) vµ (2.11).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
65
A
B
VÝ dô: Cho hai ma trËn:
;
87
21 43
det(
A )
2
V×
nªn ma trËn A cã nghÞch ®¶o:
4
2
1A
3
1
1 2
Ph¬ng tr×nh AX = B cã mét nghiÖm duy nhÊt:
4
2
65
6
8
3
4
X
3
1
87
8
10
4
5
1 2
1 2
Ph¬ng tr×nh YA = B cã mét nghiÖm duy nhÊt:
65
4
2
2
4
1
2
Y
87
3
1
4
6
2
3
1 2
1 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý:
p
+) C«ng thøc (2.10) cã thÓ ¸p dông ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh (2.8) khi B
n bÊt kú. T¬ng tù, c«ng thøc (2.11) cã thÓ ¸p
lµ ma trËn cÊp
nq bÊt kú.
dông ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh (2.9) khi B lµ ma trËn cÊp
+) NÕu ma trËn A kh«ng cã nghÞch ®¶o ta cã thÓ gi¶i c¸c ph¬ng
tr×nh (2.8) vµ (2.9) b»ng c¸ch quy vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi
c¸c Èn sè lµ c¸c phÇn tö cña ma trËn ph¶i t×m mµ ta sÏ nghiªn cøu
ë ch¬ng sau.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§5. h¹ng cña ma trËn
1. H¹ng cña ma trËn
XÐt ma trËn cÊp
nm
a 12 a
a 1 n a
22
A
a 11 a 21 2 n
a
a
a
1 m
m
2
mn
min
Gäi p lµ sè nguyªn d¬ng
.
nm,
§Þnh nghÜa 5.1. Ma tr©n vu«ng cÊp p suy ra tõ A b»ng c¸ch bá ®i
p
pm hµng vµ
n cét gäi lµ ma trËn con cÊp p cña A. §Þnh thøc
cña ma trËn con ®ã gäi lµ ®Þnh thøc con cÊp p cña A.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: XÐt ma trËn
1
43
2
2
11
A
4
1
12
2
.3,2,1p
4,3min
Ta cã
3 , vËy
1 2
3 1
4 1
1 2
4 1
2 4
;0
243 411
;0
1 23 412
0
;0
1
2
1
11
2
12
2
1
2
2
C¸c ®Þnh thøc con cÊp hai lµ
;7
5
C¸c ®Þnh thøc con cÊp 3 cña A lµ:
1 2
3 1
1 1
3 2
;...
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa: H¹ng cña ma trËn A lµ cÊp cao nhÊt cña ®Þnh thøc con
kh¸c kh«ng cña A.
Ta ký hiÖu h¹ng cña ma trËn A lµ
( A . )
A )
(
2
VÝ du: XÐt ma tr©n A ë vÝ dô trªn. Ta thÊy c¸c ®Þnh thøc con cÊp ba ®Òu
b»ng kh«ng, nhng cã ®Þnh thøc con cÊp hai kh¸c kh«ng. VËy .
)
A (
(
tA
)
V× phÐp chuyÓn vÞ kh«ng lµm thay ®æi c¸c ®Þnh thøc con nªn ta lu«n
cã:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. T×m h¹ng cña ma trËn b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp
a) Ma trËn bËc thang: §ã lµ nh÷ng ma trËn cã hai tÝnh chÊt sau
1) C¸c hµng kh¸c kh«ng (lµ hµng cã Ýt nhÊt 1 phÇn tö kh¸c kh«ng)
lu«n ë trªn c¸c hµng kh«ng (lµ hµng cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö b»ng
kh«ng), nÕu nh trong ma trËn ®ã cã hµng kh«ng.
2) Trªn hai hµng kh¸c kh«ng th× phÇn tö kh¸c kh«ng ®Çu tiªn ë
hµng díi bao giê còng ë bªn ph¶i cét chøa phÇn tö kh¸c kh«ng
®Çu tiªn ë hµng trªn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
A
,
B
,
C
4321 6500
4321 6500
321 540
7000
0000
600
Ch¼ng h¹n c¸c ma trËn sau cã d¹ng bËc thang:
A )
(
3
Ta thÊy ®Þnh thøc con kh¸c kh«ng cÊp cao nhÊt trong ma trËn A lµ
B )
(
2
3, vËy , nã b»ng sè hµng kh¸c kh«ng cña A, cßn ®Þnh thøc
con kh¸c kh«ng cÊp cao nhÊt trong ma trËn B lµ 2, vËy , nã
C
3)
(
b»ng sè hµng kh¸c kh«ng cña B , vµ ®Þnh thøc con kh¸c kh«ng cÊp
cao nhÊt trong ma trËn C lµ 3, vËy , nã b»ng sè hµng kh¸c
kh«ng cña C .
Chó ý: H¹ng cña ma trËn d¹ng bËc thang b»ng sè hµng kh¸c kh«ng
cña nã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) T×m h¹ng cña ma tr©n b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp
Do c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng kh«ng lµm thay ®æi tÝnh
kh¸c kh«ng hay b»ng kh«ng cña c¸c ®Þnh thøc con cña ma
trËn, nªn kh«ng thay ®æi h¹ng cña ma trËn. V× vËy ta cã thÓ
¸p dông chóng ®Ó ®a mét ma trËn vÒ d¹ng bËc thang råi ¸p
dông chó ý trªn ®Ó suy ra h¹ng cña ma trËn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: Cho ma trËn
A
1 2 1
3 1 2
4 1 1
2 4 2
¸p dông c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng ta cã:
1 2 1
3 11 2 1
24 4 2
1 0 0
3 7 5
24 0 7 5 0
1 0 0
3 24 7 7 0 00 0
B¶ng sè cuèi cïng lµ mét ma tr©n bËc thang cã hai hµng kh¸c
kh«ng.
A )
(
2
VËy
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng III
HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
1. HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t
,
x
,...,
HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t cña n Èn sè
cã d¹ng:
x 1
2
nx
(3.1)
xa b 1 nn 1 xa b 2 2 nn 2 ............. b m
xa nmn
xa 22 m
xa xa 11 1 12 2 xa xa 1 21 22 ........ xa 11 m
trong ®ã
ija vµ
ija lµ hÖ sè cña Èn
jx ë
ib lµ c¸c h»ng sè cho tríc:
ph¬ng tr×nh thø i , ib ®îc gäi lµ sè h¹ng tù do cña ph¬ng tr×nh thø
i
,1
; jm
,1
n
i (
).
Khi tÊt c¶ c¸c
ta cã mét hÖ thuÇn nhÊt, ngîc l¹i hÖ ®îc gäi
0ib
lµ kh«ng thuÇn nhÊt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
XÐt ma trËn c¸c hÖ sè ija cña hÖ (3.1)
a 11 a
a 12 a
a 1 n a
22
A
21 2 n
a
a
a
1 m
m
2
mn
®îc gäi lµ ma trËn hÖ sè cña hÖ. NÕu ghÐp thªm vµo A cét sè
h¹ng tù do ta cã ma trËn:
a 12
a 11 a
a
a 1 n a
A
22 .... a
1 m
m
2
b 1 b n 2 2 ..... b a m
mn
21 ... a
®îc gäi lµ ma trËn më réng cña hÖ.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NÕu ®Æt:
x 1
B
X
x
x
;
t
t
b 1
b 2
b m
x 1
2
n
b 1 b 2
x 2
x
n
b m
Khi ®ã hÖ (3.1) ®îc viÕt díi d¹ng ph¬ng tr×nh ma trËn nh sau:
BXA .
(3.2)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. NghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
,...,
...
c
c
x
x
,
,
,
) mµ khi g¸n
, cc 1
nc
c 1
x 1
2
n
2
n
2
§Þnh nghÜa: NghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (3.1) lµ mét bé n sè cã thø tù ( vµo tÊt c¶ c¸c ph¬ng tr×nh cña hÖ ta ®îc c¸c ®¼ng thøc ®óng.
3. HÖ t¬ng ®¬ng
§Þnh nghÜa: Hai hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi c¸c Èn sè nh nhau
®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm, tøc lµ mçi
nghiÖm cña hÖ nµy ®ång thêi lµ nghiÖm cña hÖ kia vµ ngîc l¹i
(hoÆc c¶ hai hÖ ®Òu v« nghiÖm).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4. C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp
§Þnh nghÜa: C¸c phÐp biÕn ®æi sau ®©y ®èi víi mét hÖ ph¬ng tr×nh
tuyÕn tÝnh ®îc gäi lµ c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp:
1. §æi chç hai ph¬ng tr×nh bÊt kú cho nhau.
2. Nh©n hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh cña hÖ víi mét sè kh¸c kh«ng.
3. Céng vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh hai vÕ t¬ng øng cña mét
ph¬ng tr×nh kh¸c sau khi ®· nh©n víi mét sè bÊt kú.
§Þnh lý: C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp biÕn mét hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn
tÝnh thµnh mét hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh t¬ng ®¬ng víi nã.
ViÖc chøng minh ®Þnh lý nµy dµnh cho b¹n ®äc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5. HÖ tam gi¸c vµ hÖ h×nh thang
a) HÖ tam gi¸c
Lµ hÖ cã d¹ng:
xa 11 1
xa 12 2 xa 22
(3.3)
2 ....
b xa 1 nn 1 xa b 2 2 nn .........
xa nn
n
b n
,
...
,
Trong ®ã tÊt c¶ c¸c hÖ sè
®Òu kh¸c kh«ng. §©y lµ hÖ cã
a 11
, 22 a
nna
sè ph¬ng tr×nh b»ng sè Èn vµ theo thø tù tõ trªn xuèng c¸c Èn sè
mÊt dÇn. Ph¬ng tr×nh cuèi cho ngay nx , ph¬ng tr×nh liÒn trªn cho
1nx
,..., ph¬ng tr×nh ®Çu cho 1x . HÖ (3.3) cã nghiÖm duy nhÊt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) HÖ h×nh thang
...
xa 11 1
...
xa 12 2 xa 22
xa 1 nn xa 2 nn
b 1 b 2
Lµ hÖ cã d¹ng:
(3.4)
xa 1 mm xa 2 mm .........
2 ....
a
x
...
mm
m
xa nmn
b m
(0
i
,1
m
)
trong ®ã
vµ
nm . HÖ h×nh thang còng cã ®Æc ®iÓm
aii
,...,
x
,
gièng hÖ tam gi¸c lµ theo thø tù tõ trªn xuèng c¸c Èn sè mÊt dÇn, nhng hÖ h×nh thang cã sè ph¬ng tr×nh Ýt h¬n sè Èn v× vËy ph¬ng ®îc tr×nh cuèi cña hÖ cã nhiÒu Èn sè.Trong hÖ (3.4) c¸c Èn
x 1
2
mx
gäi lµ c¸c Èn chÝnh, c¸c Èn cßn l¹i gäi lµ Èn tù do. G¸n cho Èn tù do c¸c gi¸ trÞ tuú ý vµ chuyÓn c¸c sè h¹ng chøa chóng sang vÕ ph¶i ta ®îc hÖ tam gi¸c ®èi víi c¸c Èn chÝnh, gi¶i hÖ tam gi¸c nµy ta thu ®îc nghiÖm cña hÖ (3.4) phô thuéc
mn Èn tù do.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§2. HÖ Cramer
1. §Þnh nghÜa: HÖ Cramer lµ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cã sè ph¬ng tr×nh b»ng
2
VËy hÖ Cramer cã d¹ng:
(3.5)
sè Èn vµ ma trËn hÖ sè cña hÖ kh«ng suy biÕn. xa b 1 nn 1 xa b 2 nn 2 ............ xa b nn n
n
. xa 22 n a 12 a
a 1 n a
22
A
trong ®ã ma trËn hÖ sè:
(3.6)
a
a
nn
xa xa 12 2 11 1 xa xa 22 1 21 ........ xa 11 n a 11 a 21 2 n a det(
n n 1 2 A )0)
lµ ma trËn kh«ng suy biÕn (
D¹ng ma trËn cña hÖ vÉn lµ:
BXA
(3.7)
B
,
trong ®ã A cã d¹ng (3.6) vµ
.
t
nb
1 bb , 2 , Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Quy t¾c Cramer.
HÖ Cramer cã nghiÖm duy nhÊt ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc
det(
A
)
x
X
BA
1
, tøc lµ:
(3.8)
j
j A det( ) jA lµ ma trËn suy ra tõ A b»ng c¸ch trong ®ã A lµ ma trËn (3.6),
thay cét thø j bëi cét sè h¹ng tù do.
det(
A )
0
Chøng minh. V×
, nªn ma trËn A cã nghÞch ®¶o:
A
1
tC
1 det(
) A
1
1 bAA
(
)
(
AA
)
BB
X
1
BA
Thay
vµo (3.7) ta ®îc:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
X
1
BA
VËy
C
21
1 n C
X
1 BA
b 1 b 2
1 det(
22 n 2 ...........)
A
C
2
n
lµ nghiÖm cña hÖ. CC 11 CC 12 CC 1 n
b n
det(
A
)
1
1
j
bC nj n
x
NghÜa lµ ta cã:
.
j
nn bCbC j 2 2 det(
A )
j A )
det(
AX
AY
b
b
§Ó chøng minh sù duy nhÊt cña nghiÖm ta gi¶ sö hÖ (3.7) cã hai nghiÖm lµ X vµ Y tøc lµ:
YXA
(
0)
AX
AY
0
B»ng phÐp trõ vÕ víi vÕ ta ®îc
hay
1
Nh©n hai vÕ víi
1A ta cã
YXAA ( ( YX
0) 0)
NghÜa lµ cã
YX . VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
x
6
2
2 x
3 x
3
x 1 x 1
2
VÝ dô: Gi¶i hÖ:
3 x
5
x
2
x 1
2
3 11
6
A
B
,
Ta cã:
11 1 2
3 5
1 2 1
V× vËy:
6
1
6
1
1
6
1
2
3
1
,
,
2
1
1
1
A 2
A 3
A 1
5
2
5
1
2
1 1
3
1 1
3 5
1 Ta tÝnh ®îc
det(
A
)
3
,0
det(
)
,9
det(
A
)
,10
det(
A
)
17
A 1
2
3
VËy nghiÖm cña hÖ ®· cho lµ:
,3
x
,
x
.
x 1
2
3
9 3
10 3
17 3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§3. HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t
1. §iÒu kiÖn cã nghiÖm
AX
B
§Þnh lý Kronecker - Capelli: HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
)
A (
(
A )
cã nghiÖm khi vµ chØ khi
ThËt vËy b»ng c¸c biÕn ®æi s¬ cÊp vÒ hµng vµ b»ng c¸ch ®¸nh
sè l¹i c¸c Èn ta ®a ma trËn A vÒ d¹ng bËc thang
a 11
a 12 a
a 1 r a
a 11 r a
a 1 n a
21
2
r
2
b 1 b 2
n
2
1 r
a
a
a
rr
1 rr
0
rn 0
b r b r
1
0
b m
r
min
trong ®ã
,tõ ®ã suy ra ®Þnh lý.
nm ,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý:
Tõ ®Þnh lý Kronecker - Capelli ta suy ra:
)( A
A )(
NÕu
th× hÖ v« nghiÖm
)( A
)( nA
NÕu
th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
)( A
)( nrA
NÕu
th× hÖ cã v« sè nghiÖm.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
(
) A
(
) A
r
Gi¶ sö
. Ta gi¶i hÖ nh sau:
(
) A
(
) A
r
V×
nªn tån t¹i ®Þnh thøc con kh¸c kh«ng cÊp r cña
A, ta gäi nã lµ ®Þnh thøc con c¬ së cña A. C¸c phÇn tö cña ®Þnh
thøc con c¬ së n»m ë r ph¬ng tr×nh, gäi lµ c¸c ph¬ng tr×nh
c¬ së, vµ lµ hÖ sè cña r Èn, gäi lµ r Èn c¬ së. C¸c Èn cßn l¹i gäi
lµ Èn tù do. C¶ hÖ t¬ng ®¬ng víi hÖ míi gåm r ph¬ng tr×nh
c¬ së, gäi lµ hÖ c¬ së. Trong hÖ c¬ së ta chuyÓn c¸c Èn tù do
sang vÕ ph¶i, ta ®îc mét hÖ con cã r ph¬ng tr×nh ®èi víi r Èn
c¬ së. Gi¶i hÖ con ®ã ®èi víi c¸c Èn c¬ së ta ®îc nghiÖm cña
hÖ phô thuéc vÕ ph¶i vµ c¸c Èn tù do. Khi r = n th× kh«ng cã Èn
tù do vµ hÖ trë thµnh hÖ Cramer.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: XÐt hÖ ph¬ng tr×nh
2
x
ax
3
3
2 x
2
(3.9)
x 1 x 1
2
3 ax 3
2
x
3
b
x 1
2
x 3
1) X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.
2) X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó hÖ cã v« sè nghiÖm.
3) X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó hÖ v« nghiÖm.
Gi¶i. XÐt c¸c ma trËn
A
,
A
1 3 2
2 1 1
a a 3
1 3 2
2 1 1
a a 3
3 2 b
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
det(
A
2)
a
21
Ta cã
1) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt lµ
221a
det(
A )
0
. VËy ®¸p sè cña c©u hái 1) lµ
, cßn b bÊt kú.
2) Tõ kÕt luËn trªn ta suy ra: muèn hÖ cã v« sè nghiÖm th×
221a
tríc hÕt ph¶i cã
.
det(
A )
0
A
3)
(
Khi ®ã
nªn
. V× A cã ®Þnh thøc con cÊp hai
1
2
7
0
3
1
221a
A )
(
2
nªn
khi
. Theo ®Þnh lÝ trªn, muèn cho hÖ cã
(
A (
)
A )
2
nghiÖm th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ
. Ta tÝnh
( A khi )
221a
b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ta cã:
A
LL L 3 1 2 2 LL L 2 1 3 3
21 21 3
4 14 3
21 84 18
21 13 12
42 LL 2 1 1 L L 2 2 2 26 12
6 14 b 6
LL L 3 2 3 3
3221 2221 b 3 4 1 3
21 6 18
6 1
b
6 1
b
4 1 0
21 6 0
2 1 L L 214 2 0 0
6
6 4 b 2 0 0
2 0 0 3
A )
(
2
3b
A
3)
(
3b
Qua b¶ng cuèi cïng nµy ta thÊy: nÕu vµ nÕu
(
A (
)
A )
2
a
,221
b
3
.
)
A (
(
A )
a
,221
b
3
VËy khi
khi
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
(
A (
)
A )
32
Khi
th× hÖ ®· cho t¬ng ®¬ng víi mét hÖ 2
2
x
x
3
x 1
2
3
ph¬ng tr×nh 3 Èn
nªn nã cã v« sè nghiÖm.
x
x
2
x 1
3
2
3
21 2 21 2
a
,221
b
3
)
A (
(
A )
3) Theo kÕt qu¶ trªn khi
th×
. Do ®ã hÖ
v« nghiÖm.
Tãm l¹i:
221a
th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
a
,221
b
3
th× hÖ cã v« sè nghiÖm
a
,221
b
3
th× hÖ v« nghiÖm.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh b»ng biÕn ®æi s¬ cÊp
XÐt hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t (3.1). Tõ hÖ nµy ta
thµnh lËp ma trËn më réng:
a 12
a
a 11 a
a 1 n a
n
A
b 1 b 22 2 2 ........
a
a
a
1 m
mn
b m
m
2
21 ....
Lóc nµy ta cã thÓ coi viÖc thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp
®èi víi hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh chÝnh lµ thùc hiÖn c¸c phÐp
biÕn ®æi s¬ cÊp ®èi víi c¸c hµng cña ma trËn A ®Ó ®a nã vÒ
d¹ng bËc thang. Cuèi cïng ta thu ®îc hÖ míi t¬ng ®¬ng víi
hÖ ®· cho, Gi¶i hÖ nµy ta thu ®îc nghiÖm cña hÖ ®· cho.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Trong qu¸ tr×nh biÕn ®æi, nÕu trªn ma trËn më réng cã mét
hµng nµo ®ã gåm toµn sè 0 th× ta cã thÓ bá hµng ®ã ®i (t¬ng
øng víi viÖc lo¹i khái hÖ mét ph¬ng tr×nh cã tÊt c¶ c¸c hÖ sè
ë vÕ tr¸i b»ng 0 vµ sè h¹ng tù do ë vÕ ph¶i còng b»ng 0). Cßn
nÕu trªn ma trËn më réng cã mét hµng nµo ®ã cã phÇn tö cuèi
cïng kh¸c kh«ng vµ c¸c phÇn tö cßn l¹i trªn hµng ®ã ®Òu b»ng
kh«ng th× cã thÓ kÕt luËn hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm
(khi ®ã hÖ chøa mét ph¬ng tr×nh cã tÊt c¶ c¸c hÖ sè ë vÕ tr¸i
b»ng 0 vµ sè h¹ng tù do ë vÕ ph¶i kh¸c 0).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
x
x
4
3
2
2
x
x
0
VÝ dô: Gi¶i hÖ
2 x
3 x
1
x 1 x 1 x 1
2
3
1
2
1
4
Ta thµnh lËp ma trËn
2 1
11 11
0 1
Thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp ®èi víi c¸c hµng cña ma
trËn nµy ta cã
1 2
2 1 11
4 0
1 0
12 5 3
4 8
1 0
2 1
1 2
4 3
1 0
2 1
1 2
4 3
1
11
0
21
0
5
3
8
0
0
7
7
1
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VËy hÖ ®· cho t¬ng ®¬ng víi hÖ tam gi¸c:
2
x
x
4
x 1
2
x
2
3
2
3 x 3
7
7
x 3
Gi¶i hÖ nµy ta ®îc:
,1
x
,1
x
1
.
x 1
2
3
§ã còng lµ nghiÖm cña hÖ ®· cho.
Ph¬ng ph¸p võa tr×nh bµy cßn gäi lµ ph¬ng ph¸p Gauss.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§4. HÖ thuÇn nhÊt
1. §iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm kh«ng tÇm thêng
XÐt hÖ thuÇn nhÊt:
0
0
xa 11 1 xa 21 1
xa 12 2 xa 22
(3.10)
0
xa 22 m
xa 1 nn xa 2 nn 2 ................... xa xa m nmn 11
0AX
D¹ng ma trËn cña hÖ:
(3.11)
,0
,
0
HÖ thuÇn nhÊt (3.10) lu«n cã nghiÖm kh«ng:
.
x 1
x ,0 2
nx
NghiÖm kh«ng cña hÖ thuÇn nhÊt gäi lµ nghiÖm tÇm thêng
cña nã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Sè nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt n Èn ®îc c¸c ®Þnh th«ng qua
h¹ng cña ma trËn hÖ sè cña nã:
(
A )
n
+) NÕu
th× hÖ thuÇn nhÊt cã duy nhÊt nghiÖm tÇm
thêng.
(
A )
n
+) NÕu
th× hÖ thuÇn nhÊt cã v« sè nghiÖm.
§iÒu kiÖn cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng ®ång nhÊt víi ®iªï
kiÖn hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cã v« sè nghiÖm.
§Þnh lý: HÖ thuÇn nhÊt (3.10) cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng khi
vµ chØ khi h¹ng cña ma trËn hÖ sè cña nã nhá h¬n sè Èn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Tõ ®Þnh lý ta suy ra mét sè hÖ qu¶ sau: HÖ qu¶ 1: Mét hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt víi sè
ph¬ng tr×nh b»ng sè Èn cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng khi vµ
chØ khi ®Þnh thøc cña ma trËn hÖ sè b»ng 0.
ThËt vËy khi
nm th× ma trËn hÖ sè cña (3.10) lµ ma trËn vu«ng
cÊp n . H¹ng cña ma trËn vu«ng cÊp n nhá h¬n n khi vµ chØ khi
®Þnh thøc cña nã b»ng 0.
HÖ qu¶ 2: Mäi hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt víi sè
ph¬ng tr×nh Ýt h¬n sè Èn ®Òu cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng.
ThËt vËy, h¹ng cña ma trËn hÖ sè cña hÖ kh«ng thÓ vît qu¸
(
mA )
sè ph¬ng tr×nh trong hÖ:
, mµ
nm nªn ®iÒu kiÖn
(
A )
n
lu«n tho¶ m·n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô:
2
x
0
2
05
HÖ
cã ®Þnh thøc
, nªn hÖ chØ cã nghiÖm
3
x
0
1 1
2 3
x 1 x 1
2
,0
x
0
tÇm thêng
.
x 1
2
2
x
0
0
Cßn hÖ
cã ®Þnh thøc
, nªn cã nghiÖm kh«ng
1 2
2 4
2
4
0
2 x
x 1 x 1
2
,2
x
1
tÇm thêng, ch¼ng h¹n
.
x 1
2
2
Thùc ra hai ph¬ng tr×nh ®ã chØ lµ mét. Cho
ta t×m ®îc
1 x
.
x 1 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2. Mèi liªn hÖ víi hÖ kh«ng thuÇn nhÊt XÐt hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt viÕt díi
d¹ng ma trËn:
AX B
(3.12)
0AX
vµ hÖ thuÇn nhÊt t¬ng øng:
(3.13)
§Þnh lý: HiÖu hai nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.12) lµ mét nghiÖm
cña hÖ (3.13). Tæng cña mét nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.12) vµ mét
nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.13) lµ mét nghiÖm cña (3.12).
ThËt vËy, gi¶ sö
1, XX
2
lµ hai nghiÖm bÊt kú cña (3.12), 1Y lµ mét
B
0
B
nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.13). khi ®ã:
;
;
AX 1
AX 2
XA (
X
)
AX
AX
BB
0
X
Ta cã:
. VËy
1
2
1
2
1 X
2
( XA
)
AX
0
B
B
hÖ (3.13). MÆt kh¸c ta cã:
Y 1
1
AY 1
1
1 AY lµ nghiÖm cña Do ®ã
X lµ nghiÖm cña hÖ (3.12).
1 Y 1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng IV. hµm sè
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.1. Hµm mét biÕn
4.1.1. Kh¸i niÖm hµm sè
Cho tËp hîp X R. ¸nh x¹ f: X R ®îc gäi lµ mét hµm sè
(hay gäi lµ mét hµm) x¸c ®Þnh trªn X
- TËp hîp X ®îc gäi lµ miÒn x¸c ®Þnh cña hµm f. §Æc biÖt
miÒn x¸c ®Þnh cña mét hµm cã thÓ lµ toµn bé R.
xf
:)(
Xx
- TËp hîp
®îc gäi lµ miÒn gi¸ trÞ cña hµm f
VËy mét hµm x¸c ®Þnh trªn X lµ mét phÐp t¬ng øng mçi sè
)(xf
thùc
Xx víi mét sè thùc x¸c ®Þnh mµ ta ký hiÖu lµ
. Ta
f x
:
xf )(
viÕt:
)(xf
(®äc lµ f chuyÓn x thµnh f cña x),
lµ ¶nh cña x qua ¸nh x¹ f.
)(xf
Ta còng gäi
lµ trÞ cña f t¹i x.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
2 bx
ax
c
VÝ dô: ¸nh x¹
x¸c ®Þnh mét hµm bËc hai.
x
cos
x
¸nh x¹
x¸c ®Þnh mét hµm lîng gi¸c.
y
)(xf
NÕu ®Æt
, ta cã thÓ biÓu diÔn hµm f nh sau:
y
)(xf
xf :
y
xf )(
hay
Gäi x lµ biÕn ®éc lËp, hay ®èi sè (®èi), y lµ biÕn phô thuéc (ngêi ta còng gäi y lµ hµm)
§èi víi hµm ®· x¸c ®Þnh th× c¸c kÝ hiÖu ®Ó chØ c¸c biÕn râ
rµng lµ kh«ng quan träng. Ch¼ng h¹n ¸nh x¹:
2t t ;
2 x
y
x
2y
u
2u
;
;
x¸c ®Þnh cïng mét hµm, v×
trong tÊt c¶ c¸c trêng hîp, phÐp t¬ng øng lµ nh nhau:
øng víi mét sè lµ b×nh ph¬ng cña nã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Ó chØ c¸c hµm kh¸c nhau, ta dïng c¸c ch÷ kh¸c nhau:
y
)(x
y
)(xg
y
)(xf
;
;
...
)(xf
TrÞ cña hµm f t¹i x = a ký hiÖu lµ
hay
vµ ®äc lµ
)( axxf
"f t¹i a"
f
)1(
2
xf )(
32 x
f
t )(
3t 2
...
f
0)0(
VÝ dô: NÕu
th×
;
,
a
Hµm
x cho øng mçi sè x víi cïng mét sè a gäi lµ hµm h»ng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
)(xf
4.1.2 §å thÞ cña hµm sè: XÐt hµm
x¸c ®Þnh trong miÒn nµo ®ã.
Chän trong mÆt ph¼ng hÖ trôc täa ®é vu«ng gãc Oxy, biÓu diÔn biÕn ®éc
lËp x trªn trôc hoµnh, biÕn phô thuéc y trªn trôc tung.
Ta gäi tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm cña mÆt ph¼ng cã c¸c täa ®é
xfx , )(
(
) lµ ®å thÞ cña hµm f (H×nh vÏ)
y
f(x)
(x,f(x))
0
x
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.1.3. Hµm ®¬n trÞ, hµm ®a trÞ
øng víi mét gi¸ trÞ cña ®èi sè, chØ cã mét gi¸ trÞ cña hµm,
hµm Êy gäi lµ hµm ®¬n trÞ. øng víi mét gi¸ trÞ cña ®èi sè, cã
nhiÒu trÞ cña hµm th× ta cã hµm ®a trÞ.
Chó ý: Ta chØ xÐt hµm ®¬n trÞ, nªn ®Ó cho gän ta dïng ch÷
hµm ®Ó chØ hµm ®¬n trÞ.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.2 C¸c hµm s¬ cÊp c¬ b¶n
y
x
4.2.1 Hµm lòy thõa:
( lµ sè thùc)
MiÒn x¸c ®Þnh phô thuéc vµo .
NÕu
(ph©n sè tèi gi¶n, q lÎ)
p q
> 0 th× hµm x¸c ®Þnh t¹i mäi x
0x
< 0 th× hµm x¸c ®Þnh t¹i
NÕu
(ph©n sè tèi gi¶n, q ch½n)
p q
0x
> 0 th× hµm x¸c ®Þnh t¹i
0x
< 0 th× hµm x¸c ®Þnh t¹i
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1 3
y
yx ,
x
2 ,
y
x
VÝ dô: Hµm
x¸c ®Þnh t¹i x
2
y
x
1 ,
y
x
0x
x¸c ®Þnh t¹i
1 2
y
x
x
x¸c ®Þnh khi x 0
1
1 2
y
x
x¸c ®Þnh khi x > 0
x
0x
nÕu
Chó ý: NÕu v« tû th× qui íc chØ xÐt hµm y = x
t¹i
> 0 vµ t¹i mäi x > 0 nÕu < 0.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y=ax(a> 1)
y=x
y=x 2
y 1
1 2
y
x
y=ax(a< 1)
y
1 x
0
x
1
x
§å thÞ: y 1 0
§å thÞ cña tÊt c¶ c¸c hµm y = x ®Òu ®i qua ®iÓm (1,1);
Chóng ®i qua gèc 0 nÕu > 0 vµ kh«ng ®i qua gèc 0 nÕu < 0.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.2.2. Hµm mò: y = ax (a > 0, a 1) (a gäi lµ c¬ sè)
- MiÒn x¸c ®Þnh: x , hµm mò ax lu«n lu«n d¬ng.
Hµm mò lµ hµm t¨ng nÕu a >1, gi¶m nÕu a < 1
- §å thÞ: C¸c hµm y = ax ®Òu ®i qua ®iÓm (0,1)
4.2.3. Hµm l«garit: y = logax (a > 0, a 1)
0x
- MiÒn x¸c ®Þnh
- Hµm t¨ng khi a > 1, gi¶m khi a < 1, lµ hµm ngîc cña hµm mò
y = ax.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§å thÞ:
y=ax(a <1)
y=ax(a> 1)
x
y 0
x
y 0
y=logax(a>1 )
y=logax(a<1 )
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ hµm y = ax qua ®êng ph©n gi¸c thø
nhÊt.
§Æc biÖt: a = 10 ta cã log10x = lgx (l«garit thËp ph©n)
Khi a = e 2,718 cã logex = lnx (l«garit Nepe)
TÝnh chÊt cña hµm l«garit:
(
) AB
A
B
A
A
(
AB
)0
A
(
)0
;
log a
log a
log a
log a
log a
log
log
A
log
B
A
A
(
AB
)0
0A
;
(
)
a
a
a
log a
log a
A B
log
NaaN
Mäi sè N d¬ng ®Òu cã thÓ viÕt ®îc:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.2.4. C¸c hµm vßng y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx
MiÒn x¸c ®Þnh
+ Hµm y = sinx, y = cosx x¸c ®Þnh t¹i mäi x ; Cã gi¸ trÞ
.
thuéc
1,1
x
2(
k
)1
+ Hµm y = tgx x¸c ®Þnh t¹i mäi
(k nguyªn), lµ
2
hµm t¨ng.
x
k
+ Hµm y = cotgx x¸c ®Þnh t¹i mäi
(k nguyªn), lµ hµm
gi¶m
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§å thÞ
2
-
-/2 /2 3/2 2
x
x
y=cosx
y=sinx
y 1 0 - 1
y 1 0 - 1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
y
- -/2 0 /2 x
-/2 0 /2 x
y=tgx
y=cotgx
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.2.5. C¸c hµm vßng ngîc.
a) y = arcsinx
MiÒn x¸c ®Þnh víi
, t¨ng tõ
®Õn
1,1x
2
2
§å thÞ:
y
/
-1 0 1 x
-/2
x
§å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ cña hµm y = sinx;
qua
2
2
®êng ph©n gi¸c gãc phÇn t thø nhÊt
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b) y = arccosx
MiÒn x¸c ®Þnh víi
, gi¶m tõ ®Õn 0
1,1x
§å thÞ:
y
/
-1 0 1 x
§å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ cña hµm y = cosx ;(0 x ) qua
®êng ph©n gi¸c gãc phÇn t thø nhÊt.
Chó ý: arcsinx + arccosx =
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) y = arctgx
MiÒn x¸c ®Þnh trªn toµn R, t¨ng tõ
®Õn
2
2
§å thÞ
x
y /2 0 -/2
x
y
tgx
§å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ hµm
;
qua ®êng ph©n
2
2
gi¸c gãc phÇn t thø nhÊt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
d) y = arccotgx
MiÒn x¸c ®Þnh trªn toµn R, gi¶m tõ ®Õn 0.
x
y /2 0
x
y
cot gx
,
§å thÞ:
, 2 2
§å thÞ ®èi xøng víi ®å thÞ hµm qua ®êng
ph©n gi¸c gãc phÇn t thø nhÊt
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
arctgx
arc
cot
gx
Chó ý:
2
C¸c c«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t:
arcsin
n
sin
x
cos
x
x
)1(
arcsin
n
x
x
2 k 2 k
arcsin
x
arccos
2 k
tgx
x
arctg
k
x
arc
cot
k g
cot
gx
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.3. Hµm hai biÕn
4.3.1. §Þnh nghÜa hµm hai biÕn
Gf :
R
XÐt tÝch §Ò c¸c R2 vµ tËp hîp G R2. Ta gäi ¸nh x¹ bÊt kú
lµ mét hµm hai biÕn x¸c ®Þnh trªn G, G ®îc gäi lµ miÒn x¸c
®Þnh cña hµm f.
VËy mét hµm hai biÕn f x¸c ®Þnh trªn G lµ mét phÐp t¬ng
f
,(:
yx
)
yxf ,(
)
øng cho øng mçi cÆp sè thùc cã thø tù (x, y) G víi mét sè
thùc x¸c ®Þnh mµ ta ký hiÖu lµ f(xy). Ta viÕt:
(®äc lµ f chuyÓn (x, y) thµnh f cña (x,y); f(x,y) lµ ¶nh cña (x,y)
qua ¸nh x¹ f. Ta còng gäi f(x,y) lµ trÞ cña f t¹i (x,y).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NÕu ®Æt Z = f(x,y), th× ta cã thÓ biÓu diÔn hµm f nh sau:
f
,(:
yx
)
Z
yxf ,(
)
Z
yxf ,(
)
Hay:
.
Trong ®ã x, y ®îc gäi lµ c¸c biÕn ®éc lËp, Z gäi lµ biÕn phô
thuéc.
§Ó chØ nh÷ng hµm kh¸c nhau ta dïng c¸c ch÷ kh¸c nhau.
Z
yx ,(
)
Z
yxg ,(
)
Z
yxf ,(
)
;
;
...
Ta qui íc r»ng nÕu hµm ®îc x¸c ®Þnh bëi mét biÓu thøc nµo
®ã vµ nÕu kh«ng nãi g× thªm th× miÒn x¸c ®Þnh lµ tËp hîp tÊt c¶
c¸c cÆp sè thùc cã thø tù mµ øng víi nã biÓu thøc ®· cho cã
nghÜa.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.3.2. C¸c tËp hîp ph¼ng, tËp hîp më, tËp hîp ®ãng.
Ta gäi tËp hîp ph¼ng lµ tËp hîp c¸c ®iÓm cïng n»m trong mét mÆt
ph¼ng. Mét tËp hîp ph¼ng ®îc gäi lµ giíi néi (hay bÞ chÆn) nÕu tån
t¹i mét mÆt trßn chøa nã. Ta gäi -l©n cËn cña ®iÓm M trong mÆt
ph¼ng lµ tËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm P cña mÆt ph¼ng sao cho
MP
kho¶ng c¸ch
Hay nãi c¸ch kh¸c, l©n cËn cña ®iÓm M. TËp
hîp E ®îc gäi lµ më (hë) nÕu mäi ®iÓm cña nã ®Òu lµ ®iÓm trong.
§iÓm N ®îc gäi lµ ®iÓm biªn cña tËp hîp E nÕu mäi l©n cËn
cña nã võa chøa nh÷ng ®iÓm thuéc E võa chøa nh÷ng ®iÓm kh«ng
thuéc E. §iÓm biªn cña mét tËp hîp cã thÓ thuéc tËp hîp Êy, cã thÓ
kh«ng thuéc tËp hîp Êy. TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm biªn cña mét tËp
hîp E ®îc gäi lµ biªn cña E.
TËp hîp E ®îc gäi lµ ®ãng (kÝn) nÕu nã chøa mäi ®iÓm biªn cña nã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm M mµ kho¶ng c¸ch tíi mét ®iÓm
cè ®Þnh M0 bÐ h¬n sè d¬ng r (tøc lµ phÇn trong cña mÆt trßn t©m M0
b¸n kÝnh r) lµ mét tËp hîp më. Biªn cña tËp hîp trªn lµ ®êng trßn
t©m M0 b¸n kÝnh r.
TËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch M0 M r lµ mét
tËp hîp ®ãng
4.3.3. Hµm ®iÓm. BiÓu diÔn h×nh häc cña hµm hai biÕn.
yxf ,(
)
f
,(:
yx
)
Gi¶ sö cho hµm hai biÕn
.
V× mçi cÆp (x,y) ®Òu ®îc biÓu diÔn bëi mét ®iÓm M(x,y) trong
mÆt ph¼ng XOY, nªn ta còng cã thÓ xem hµm hai biÕn f(x,y) lµ
hµm cña ®iÓm M(x,y)
Mf :
Mf (
)
BiÓu diÔn h×nh häc hµm hai biÕn:
z s p
0
x M y
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÏ hÖ trôc täa ®é §Ò c¸c Oxyz; víi mçi ®iÓm M(x,y) trong
mÆt ph¼ng Oxy cho øng mét ®iÓm P trong kh«ng gian cã c¸c
täa ®é lµ (x,y,z) trong ®ã z = f(x,y). TËp hîp c¸c ®iÓm P nh thÕ
khi M ch¹y trong miÒn G cña mÆt ph¼ng Oxy ®îc gäi lµ ®å thÞ
cña hµm z = f(x,y) x¸c ®Þnh trªn G. §å thÞ cña hµm hai biÕn
nhiÒu khi lµ mét mÆt cong trong kh«ng gian 3 chiÒu (h.vÏ trªn)
2
2
Z
x
y
VÝ dô 1: Hµm
cã ®å thÞ lµ 1 mÆt parab«l«it trßn xoay.
2
2
Z
1
x
y
VÝ dô 2: Hµm
cã ®å thÞ lµ nöa mÆt cÇu t©m t¹i
0Z
gèc täa ®é, b¸n kÝnh ®¬n vÞ, n»m vÒ phÝa
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
2
Z
x
y
VÝ dô 3: MiÒn x¸c ®Þnh cña hµm
lµ toµn bé mÆt
ph¼ng Oxy.
2
2
2
2
x
y
1
Z
1
x
y
VÝ dô 4: Hµm
x¸c ®Þnh víi x,y sao cho
,
miÒn x¸c ®Þnh lµ mÆt trßn ®ãng t©m O, b¸n kÝnh ®¬n vÞ.
y
x
Z
ln(
x
y
)
VÝ dô 5: Hµm
x¸c ®Þnh víi x,y sao cho
, miÒn
x¸c ®Þnh lµ nöa mÆt ph¼ng më n»m phÝa trªn ®êng ph©n gi¸c
thø hai.
y
2
2
px
Z
y
2
2
px
VÝ dô 6: Hµm
x¸c ®Þnh khi
, miÒn x¸c ®Þnh
y
2
2
px
lµ miÒn ngoµi cña parab«n
kÓ c¶ biªn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4. §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt giíi h¹n hµm mét biÕn
4.4.1. §Þnh nghÜa giíi h¹n hµm mét biÕn
4.4.1.1. Giíi h¹n cña hµm khi x dÇn tíi
0x
y
)(xf
0x , kh«ng
XÐt hµm x¸c ®Þnh ë l©n cËn trÞ h÷u h¹n
0x . Ta gäi sè L lµ giíi h¹n cña hµm
y
)(xf
nhÊt thiÕt x¸c ®Þnh t¹i
0x nÕu:
0
x
x
)( xf
L
0 ,
0 :
khi x dÇn ®Õn
0
)(xf
)( xf
L
Nãi chung sè phô thuéc vµo sè
lim x x
0
Nãi c¸ch kh¸c nÕu c¸c trÞ cña hµm gÇn L
0x .
mét c¸ch tïy ý khi c¸c trÞ cña biÕn x ®ñ gÇn
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 1: Chøng minh
(2x + 5) = 9
lim x 2
2(:
x
9)5
2
x
4
2
x
2
ThËt vËy: Ta cã víi mäi
khi
x 2
2
2( x
9)5
2x
NghÜa lµ nÕu lÊy
khi
(®pcm)
th× 2
Chó ý: ë ®Þnh nghÜa trªn, ta kh«ng ®ßi hái x ph¶i b»ng x0. Cho
nªn c¸c ®Þnh nghÜa Êy ¸p dông ®îc cho c¶ trêng hîp hµm
kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x0.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2x
4 2 x 16 x 2
VÝ dô 2: XÐt giíi h¹n cña hµm khi
Hµm nµy kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x = 2, nhng khi x 2, tøc
(
x
)2
4
(4
x
)2
x - 2 0 ta cã:
4 2 x x
16 2
(
)(2 x
x )2
16
(4
x
)2
Do ®ã khi x 2 ta cã:
4 2 x 16 x 2
2x
(
2x
NghÜa lµ
khi
vµ
4 2 x x
16 2
) 4
16
lim
VËy
mÆc dï hµm kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x= 2
x
2
4 2 x 16 x 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.1.2. Giíi h¹n cña hµm khi x dÇn tíi v« cùc.
y
)(xf
y
)(xf
XÐt hµm t¹i mäi x cã trÞ tuyÖt ®èi lín tïy ý. Ta nãi
Nx
)( xf
L
N
0
0 ,
r»ng L lµ giíi h¹n cña hµm khi x dÇn tíi v« cùc nÕu:
:
Nãi chung sè N phô thuéc vµo sè
VÝ dô 3: Chøng minh
x
1 lim 0 x
0
x
ThËt vËy: V×
<
1 x
1 x
1
0
N
:
Nx
Nªn:
0 ,
(®pcm)
1
1 x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.1.3. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm cã giíi h¹n.
xf
)(
C
)(xf
TÝnh chÊt 1: NÕu
, tøc lµ
lu«n lu«n lÊy gi¸ trÞ kh«ng
)(xf
CC
CC
®æi C th×
;
cã giíi h¹n lµ chÝnh nã
x
lim x
lim 0 x
)(xf
TÝnh chÊt 2: Mét hµm
nÕu ®· cã giíi h¹n (khi
x hay 0x
x
) th× chØ cã mét giíi h¹n mµ th«i.
)(xf
TÝnh chÊt 3: Mét hµm
nÕu cã giíi h¹n d¬ng (©m) khi
x th× lu«n lu«n d¬ng (©m) t¹i mäi x kh¸c
0x
0x
0x vµ ®ñ gÇn
)(xf
xf )(
0
TÝnh chÊt 4: NÕu hµm
ë l©n cËn
cã giíi
0x vµ nÕu
xf )(
0
h¹n khi
x th× giíi h¹n Êy ph¶i 0 ; nÕu
ë l©n cËn
0x
)(xf
cã giíi h¹n khi
x th× giíi h¹n Êy vÉn ph¶i 0 .
0x
0x vµ nÕu
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2. V« cïng bÐ - v« cïng lín
4.4.2.1. V« cïng bÐ (VCB)
§Þnh nghÜa: Hµm
)(x ®îc gäi lµ VCB trong qu¸ tr×nh nµo ®ã
nÕu nã dÇn tíi giíi h¹n 0 trong qu¸ tr×nh Êy.
0x
sin
x
VÝ dô: Khi
th×
lµ VCB, x còng lµ VCB
x
Khi
th×
lµ VCB
1 x
Chó ý: Mét sè "rÊt bÐ" kh«ng ph¶i lµ VCB.
Sè 0 lµ VCB trong mäi qu¸ tr×nh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
C¸c tÝnh chÊt:
1) NÕu
)(x lµ VCB trong mét qu¸ tr×nh nµo ®ã vµ C lµ mét
)(.
h»ng sè th×
xC còng lµ VCB trong qu¸ tr×nh Êy.
2) NÕu
)(xn lµ mét sè h÷u h¹n c¸c VCB
)(1 x ,
)(2 x ,...,
trong cïng mét qu¸ tr×nh th× tæng cña chóng
)(2 x +... +
)(1 x +
)(xn còng lµ c¸c VCB trong
)(xn vµ tÝch cña chóng
)(1 x ...
qu¸ tr×nh Êy.
)(xf
3) NÕu
)(x lµ VCB khi
lµ hµm bÞ chÆn trong
x vµ 0x
xfx ). )(
(
0(
x
x
mét l©n cËn nµo ®ã cña
th×
lµ VCB
0x ;
0 )
khi
x 0x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 3) vÇn ®óng trong qu¸ tr×nh
: xx
)(xf
x
, cô thÓ ta cã: A
NÕu
)(x lµ VCB khi
vµ
x bÞ chÆn trªn tËp
x
xfx ). )(
(
(víi A lµ sè d¬ng nµo ®ã) th×
lµ VCB khi
0x
VÝ dô: Khi
th× cosx. sinx lµ VCB, v× trong qu¸ tr×nh ®ã
sinx lµ VCB cßn cosx bÞ chÆn.
x
x
Khi
th×
lµ VCB v× trong qu¸ tr×nh ®ã
lµ VCB
sin x
1 x
cßn sinx bÞ chÆn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2.2 V« cïng lín (VCL)
)(xf
§Þnh nghÜa 1: XÐt hµm
x¸c ®Þnh ë l©n cËn
0x , kh«ng cÇn
x¸c ®Þnh t¹i
0x
)(xf
Ta nãi
lµ VCL khi
x nÕu 0x
0
x
x
)( Mxf
0M
,
0 :
0
xf )(
)(xf
Nãi chung phô thuéc vµo M khi Ta dïng kÝ hiÖu
®Ó chØ
x hay 0x
lim x x
0
)(xf
r»ng
lµ VCL khi
x 0x
M
x
0x
VÝ dô 1: Hµm
lµ VCL khi
. ThËt vËy v×
khi
1 M
1 x
1 x
M
0
0
x
0M
nªn
,
:
.
1 x
1 M
1 M
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
§Þnh nghÜa: XÐt hµm
x¸c ®Þnh t¹i mäi x cã trÞ tuyÖt ®èi ®ñ
(
x
L
)
lín
.
)(xf
)( Mxf
x
:0M
0A
Ta nãi
lµ VCL khi
nÕu:
:
x A
.
Nãi chung A phô thuéc M.
)(xf
lim xf )(
x
Ta dïng kÝ hiÖu
khi
hay
®Ó chØ
x
)(xf
x
r»ng
lµ VCL khi
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng hµm xn (n nguyªn d¬ng) lµ VCL khi
x
x n
M
x
n M
0M
A
n M
ThËt vËy: v×
khi
nªn
,
:
Ax
x n
M
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: Mét sè rÊt lín kh«ng ph¶i lµ VCL
Mét hµm nÕu lµ VCL th× kh«ng bÞ chÆn v× nã cã trÞ tuyÖt
®èi lín h¬n mäi sè d¬ng M cho tríc kÓ tõ mét lóc nµo ®ã
cña qu¸ tr×nh. Nhng mét hµm kh«ng bÞ chÆn cã thÓ kh«ng
ph¶i lµ mét VCL.
ThËt vËy, víi mäi sè d¬ng M cho tríc, trÞ tuyÖt ®èi cña
x
2(
k
)1
k
)(xf
vÉn cã thÓ lín h¬n M, ch¼ng h¹n t¹i
víi
.
M
)1
)( xf
2( k
sin( 2 k
)1
2( k
)1
k
M
V× lóc ®ã:
2
2
2 M
2
2
2 sin
x
)( xf
x
x
Nhng hµm
kh«ng ph¶i lµ VCL khi
, v× nÕu
f
( x
)
x
k
sin
k
th×
= k
.
= 0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2.3. Liªn hÖ gi÷a VCB - VCL
§Þnh lý: NÕu trong mét qu¸ tr×nh nµo ®ã, hµm f(x) lµ VCB vµ
lµ VCL trong qu¸ tr×nh Êy.
lu«n 0, th×
1 xf )(
Ngîc l¹i, nÕu trong mét qu¸ tr×nh nµo ®ã hµm f(x) lµ VCL
th×
lµ VCB trong qu¸ tr×nh Êy.
1 xf )(
0x
VÝ dô: Khi
th×
lµ VCL
1 sin
x
x
Khi
th×
lµ VCB
1 x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2.4. So s¸nh c¸c VCB
1) XÐt hai VCB
)(x vµ
)(x trong cïng mét qu¸ tr×nh.
dÇn tíi 0 th× ta nãi
)(x lµ VCB cÊp cao h¬n
)(x .
NÕu tû sè
1
cos
x
x )( )( x 0x
th×
lµ VCB cÊp cao h¬n VCB x v×:
VÝ dô 1: Khi
1
x
0
lim x 0
cos x
NÕu tû sè
0 th×
)(x ,
)(x lµ 2
dÇn tíi mét h»ng sè k )( x )( x
VCB ngang cÊp.
x
1
cos
vµ x2 lµ hai VCB ngang cÊp v×
th×
VÝ dô 2: Khi 1
x
lim
x
0
cos 2 x
- NÕu tû sè
)(x vµ
0x 1 2 kh«ng cã giíi h¹n th× ta nãi c¸c VCB x )( )( x
)(x kh«ng so s¸nh ®îc víi nhau.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2) Gi¶ sö
)(x vµ
)(x lµ hai VCB trong cïng mét qu¸ tr×nh.
NÕu tû sè
cã giíi h¹n b»ng 1 trong qu¸ tr×nh ®ã th× ta nãi
x )( )( x
( x
)
)(x vµ
)(x lµ hai VCB t¬ng ®¬ng. Ký hiÖu lµ
)(x
B¶ng VCB t¬ng ®¬ng:
0x
Khi
(x lµ VCB) th×: sinx x ; tgx x ; arcsinx x ; arctgx
x ; 1 - cosx
; ln (1 + x) x ; ex - 1 x
2x 2
lim
NÕu
)(x ;
)(x th× lim
(Khö d¹ng
)
)(x
)(x
0 0
x )( )( x
x )( )( x
lim
VÝ dô:
v× sin5x 5x ; sin 3x 3x
lim x 0
x
0
sin sin
5 3
x x
5 3
x x
5 3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Qui t¾c ng¾t bá VCB cÊp cao: NÕu
)(x vµ
)(x lµ 2 VCB trong
)( x
x )(
cïng 1 qu¸ tr×nh vµ nÕu
)(x cã cÊp thÊp h¬n th×
)(x .
Do ®ã:
x ),
(
x )(
Gi¶ sö:
lµ 2 VCB trong cïng 1 qu¸ tr×nh nµo ®ã,
x ),
(
x )(
®Òu lµ tæng cña nhiÒu VCB. Khi ®ã giíi h¹n cña tû sè
b»ng giíi h¹n cña tû sè hai VCB cÊp thÊp nhÊt ë tö sè vµ
x )( )( x
mÉu sè.
2
3
x
x
lim
VÝ dô:
7
lim x 0
x 0
sin x 2
x
x tg 5 4 x
x 2 x
1 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.2.5. So s¸nh c¸c VCL
XÐt hai v« cïng lín A(x) vµ B(x) trong cïng mét qu¸ tr×nh, t¬ng tù trªn:
NÕu
lµ VCL th× A(x) lµ VCL cÊp cao h¬n VCL B(x)
xA )( )( xB
x
x
3 x
1
lim
VÝ dô: Khi
th×
lµ VCL cÊp cao h¬n VCL x2 v×
x
3 1 2 x
NÕu
dÇn tíi 1 h»ng sè k 0 th× ta nãi A(x) vµ B(x) VCL ngang cÊp.
xA )( )( xB
NÕu
kh«ng cã giíi h¹n, còng kh«ng ph¶i lµ VCL th× ta nãi
xA )( )( xB
hai VCL A(x) vµ B(x) kh«ng so s¸nh víi nhau ®îc.
NÕu
1 ta nãi A(x) vµ B(x) lµ hai VCL t¬ng ®¬ng: A(x) ~ B(x)
xA )( )( xB
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xA
)(xB
lim
NÕu A(x) ~
; B(x) ~
th× lim
xA )( )( xB
xA )( xB )(
NÕu A(x) vµ B(x) lµ hai VCL trong cïng mét qu¸ tr×nh, A(x) vµ
B(x) ®Òu lµ tæng cña nhiÒu VCL, th× giíi h¹n cña tû sè
b»ng giíi
xA )( xB )(
h¹n cña tû sè hai VCL cÊp cao nhÊt ë tö sè vµ ë mÉu sè (qui t¾c
ng¾t bá VCL cÊp thÊp).
2
2
VÝ dô:
lim
=
lim
2
2
x
x
3 . 4
3 4
x x
2 4
x x
8 7
3 4
x = x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.3. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n vÒ giíi h¹n vµ øng dông
4.4.3.1. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n vÒ giíi h¹n
f
1) Gi¶ sö c¸c hµm
vµ
®Òu cã giíi h¹n trong cïng mét qu¸
)(1 xf
)(2 x
tr×nh. ThÕ th× trong qu¸ tr×nh Êy:
f
x )(
lim
lim)(
f
x )(
- Tæng cña chóng sÏ cã giíi h¹n vµ
.
lim
xf )( 1
2
xf 1
2
x )(
lim
lim).
f
x )(
- TÝch cña chóng còng cã giíi h¹n vµ
lim
fxf ). ( 1
2
xf ( 1
2
- Th¬ng cña chóng còng cã giíi h¹n nÕu giíi h¹n cña mÉu kh¸c
lim
x )(
kh«ng vµ
;
0
f lim 2
xf )( 1 )( f x
lim lim
xf )( 1 f x )(
2
2
2
x
x
VÝ dô:
(x2 + x) =
= 4 + 2 = 6
lim x 2
lim x 2
lim x 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
HÖ qu¶:
)(xf
- NÕu
cã giíi h¹n trong mét qu¸ tr×nh nµo ®ã vµ C lµ mét
lim
xCf )(
C
lim.
xf )(
h»ng sè th× trong qu¸ tr×nh Êy ta cã:
),
f
)(x
- NÕu
,...,
lµ mét sè h÷u h¹n c¸c hµm sè giíi h¹n
f n
(1 xf
)(2 x
trong cïng mét qu¸ tr×nh th× trong qu¸ tr×nh Êy ta cã:
f
x )(
...
f
x )(
lim
lim)(
f
x )(
...
lim
f
x )(
lim
xf )( 1
2
n
xf 1
2
n
(
x
)...
f
x )(
lim
lim).
f
(
x
lim)...
f
x )(
lim
fxf ( ). 1
2
n
xf ( 1
2
n
n
lim
)( xf
)( xf
)(xf
§Æc biÖt:
nÕu
cã giíi h¹n trong qu¸ tr×nh nµo ®ã.
lim
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
n
x
¸p dông:
; (n nguyªn d¬ng)
0 x
n
n
0
0
lim x
1 x
1 x
lim x x 0 lim x
n
n
n
1
)(xPn
...
a
NÕu
lµ ®a thøc bËc n:
)( xP n
xa 0
xa 1
n
n
n
1
...
a
)
Th×
=
)(xPn
xa 0
0
xa 1
o
xP ( n
0
n
lim x
0)
Suy ra
(nÕu
( 0 xQm
lim x x 0
) )
xP )( n xQ )( m
xP ( n 0 xQ ( m
0
4
2
4
2
3(
x
7
x
)1
x
2.3
2.7
12
23
VÝ dô:
lim x 2
6
5
6
5
7
x
1
2.7
6 2
lim x 2
265 13
x
x
x 2
4
x 1
2
x .2
x .6 2
12.4 12.2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2) XÐt hµm hîp
uf
:)(
x
xUf
)(
U
NÕu trong qu¸ tr×nh nµo ®ã
x¸c ®Þnh t¹i
(Uf
)
U x ;
)(
0
0U vµ l©n
cËn cña
U , th× trong qu¸ tr×nh Êy ta cã:
0U vµ
0U
khi
Uf ) (
)
0Uf (
lim
xU
f
xUf )(
Uf
lim
)(
0
2
100
100
2(
x
3
x
)5
(
))
VÝ dô: XÐt
=
lim x 2
lim xU ( x
2
2
2
2x
xU
2)(
x
3
x
5
xU
2)(
x
3
x
U
5
19
Trong ®ã
Khi
th×
)2(
2
100
100
2(
x
3
x
)5
19
Khi U 19 th× U100 19100 VËy
lim x 2
100
100
2
2
100
100
lim(
2
x
3
x
)5
19
lim
2(
x
3
x
)5
19
NghÜa lµ:
=
x
2
x 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.3.2. C¸ch t×m giíi h¹n cña c¸c hµm s¬ cÊp khi
x 0x
Tõ c¸c vÝ dô trªn ®· dÉn ®Õn c¸c kÕt qu¶ sau:
n
sin
x
sin
x
x
;
n 0
0
lim x x
x
lim x x 0
0
0)
lim
xP )(
xP (
)
;
;
0 xQm ( (
n
n
0
x
lim x x 0
x 0
) )
xP )( n xQ )( m
xP ( n 0 ( xQ m
0
§Þnh lý: NÕu hµm s¬ cÊp
x¸c ®Þnh t¹i 0x vµ ë l©n cËn 0x th×: xf )(
xf (
)
0
)(xf lim x x
0
)(xf
VËy muèn t×m giíi h¹n cña mét hµm s¬ cÊp
)(xf
)(xf
x¸c ®Þnh, ta chØ viÖc thay x trong
h÷u h¹n 0x t¹i ®ã
khi x dÇn tíi mét trÞ bëi 0x .
5
3
x
6
2
x
2
x
2
cos
4
VÝ dô:
cos x
lim x 2
sin
x lg 2 4( x
x 2 2)5
6 .22lg2 2 sin 4 13
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.4.3.3. Mét sè ®iÓm cÇn chó ý khi t×m giíi h¹n
1) Giíi h¹n ph¶i vµ giíi h¹n tr¸i: Ta gäi giíi h¹n ph¶i (tr¸i) cña
)(xf
(
x
)0
hµm
khi x dÇn tíi
(Tõ bªn tr¸i:
0x tõ bªn ph¶i
0 x
x
)0
)(xf
nÕu khi ®ã hµm
dÇn tíi mét sè x¸c ®Þnh.
0 x
xf )(
xf )(
)0
)0
Ký hiÖu:
;
=
( 0 xf
( 0xf
x
lim x 00
lim x x 00
0
Chó ý: NÕu
th× ta viÕt + 0 thay cho 0 + 0 vµ - 0 thay cho 0 - 0
0 x
)(xf
Ngêi ta chøng minh ®îc r¼ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm
cã
giíi h¹n khi
x lµ cã giíi h¹n ph¶i vµ giíi h¹n tr¸i t¹i
0x
0x vµ hai
giíi h¹n Êy b»ng nhau.
lim
xf )(
)0
)0
Lóc ®ã
( 0xf
( 0 xf
x
x 0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
xf
)(
x
0x
VÝ dô: XÐt giíi h¹n cña hµm
khi
x
x
1
xx ;
0
)(xf
Ta cã
=
= x
x
1
xx ;
0
f
xf
1(
x
1)
Do ®ã
lim)0( 0
x
lim)( 0
x
f
xf
1(
x
)
1
lim)0( 0
x
lim)( 0
x
Hµm f(x) cã giíi h¹n ph¶i vµ giíi h¹n tr¸i t¹i x0 = 0, nhng hai giíi
)(xf
h¹n ®ã kh¸c nhau. VËy hµm
®· cho kh«ng cã giíi h¹n khi
0x
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2) Giíi h¹n khi x dÇn tíi d¬ng v« cùc, ©m v« cùc. Giíi h¹n v« cùc
Gi¶ sö gÆp giíi h¹n
. Trong nhiÒu trêng hîp ta ph¶i xÐt
lim xf )( x
tØ mØ hai trêng hîp:
x
+ x dÇn tíi v« cùc tõ c¸c trÞ lu«n d¬ng:
x
+ x dÇn tíi v« cùc tõ c¸c trÞ lu«n ©m:
x
VÝ dô 1: XÐt giíi h¹n cña hµm x3 khi
x
Nh ®· biÕt x3 lµ mét VCL khi
. NÕu xÐt kü h¬n ta cã:
x
3x
th×
x
3x
th×
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
VÝ dô 2: XÐt giíi h¹n cña hµm x2 khi
x
x
2x
Hµm x2 lµ VCL khi
, v× x2 lu«n d¬ng nªn
khi
0x
0x
VÝ dô 3: XÐt giíi h¹n cña hµm
khi
. Ta ®· biÕt
lµ VCL khi
1 x
1 x
NÕu xÐt kü h¬n ta cã:
0x
th×
0x
th×
1 x 1 x
3) Ngêi ta chøng minh ®îc c¸c kÕt qu¶ sau:
( a
)1
log
x
x
x lµ VCL khi
( )0
khi
xa
log
( a
)1
( a
)1
0x
x
xa
khi
khi
xa
( a
)1
xa
x
0 khi
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
0
.0;
;
;1;
0 0;
;
4.4.4. C¸c d¹ng v« ®Þnh (
)
0 0
Cã 7 d¹ng v« ®Þnh thêng gÆp trong tÝnh to¸n mµ ta sÏ t×m
c¸ch khö chóng b»ng c¸c c¸ch sÏ tr×nh bµy trong gi¸o tr×nh nµy
díi ®©y.
(Víi chó ý r»ng c¸c giíi h¹n kh«ng v« ®Þnh thêng viÕt ngay kÕt qu¶)
Khi gÆp c¸c giíi h¹n d¹ng v« ®Þnh, th× thêng dïng c¸c phÐp
biÕn ®æi thÝch hîp chuyÓn thµnh tæng, hiÖu, tÝch, th¬ng cña c¸c giíi
h¹n kh«ng v« ®Þnh hoÆc c¸c giíi h¹n ®· biÕt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
CÇn nhí vµ sö dông c¸c giíi h¹n sau:
u
e u
1
1
lim
lim
1
1)
5)
u
0
u
0
1
lim
1
2)
ln
a
lim
6)
u
0
u
0
sin u tgu u
u
1(
1
1 u
m
lim
7)
u
1
e
3)
1
u
0
lim 0 u
lim u
u a u u u m ) u
1 u
u
)
1
lim
4)
u
0
1ln( u
Hai d¹ng v« ®Þnh
,
cßn cã thÓ thay thÕ VCB, VCL t¬ng
0 0 ®¬ng; hoÆc ng¾t bá VCB bËc cao, VCL bËc thÊp.
C¸c giíi h¹n trªn cho ta c¸c cÆp VCB t¬ng ®¬ng (khi
1ln(
u
)
0u a
u ln.
1ue
1na
~ u ;
~ u,
~
) ;
lµ 1(
sin ~ u; tgu ~ u ; mu )
u
1
~ m.u
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
x
1
1
I
VÝ dô 1:
cã d¹ng
lim 0 x
0 0
x x
Dïng phÐp biÕn ®æi nh©n biÓu thøc liªn hîp víi tö ta cã:
2
1
x
I
lim
=
2
2
lim x 0
x
0
1 1(
x
x
x x
1
x
)1
1
x
1
2
2
sin2
sin2
1
x
x x 2
VÝ dô 2: TÝnh
2
lim x 0
lim x 0
lim x 0
cos 2 x
x
1 2
x x
1 2 x 2 2
.4
2
7
VÝ dô 3:
(ng¾t bá VCB cÊp cao) (D¹ng
)
2
3
lim x 0
0 0
x x 2 3 7 x x
x 9 5 x
1 3
3
VÝ dô 4:
(ng¾t bá VCL cÊp thÊp) (D¹ng
3
lim x
)
2 3
x x
5 2
x x
3 1
2 3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4
4
(
x
(
x
)1
4
2
4
x
3
x
x
VÝ dô 5:
=
lim
1
4
2 x )3 2
4
x
lim x
x
3
x
x
1
2
)
=
(D¹ng
2
lim x
3 2
3 2
x x
x
1
lim
I
VÝ dô 6:
D¹ng 1
x
2 x 2 x
.
.(
x
)1
3 1 2 1 x 2
2 x
1
2
1
lim x
(2 2
x x
)1 1
I
1
e
e
e
lim x
2 x 12
1 n
1
I
0.
VÝ dô 7:
. D¹ng (
)
lim n
an
1 n
a u
1
a
1
ln
a
. (Dïng giíi h¹n c¬ b¶n
)
I
ln
a
lim 0 u
lim n
u
1 n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.5. Giíi h¹n hµm hai biÕn
®iÓm
M0
®iÓm 0:0
®Õn
dÇn (
M MM 0
yxf ,(
lim
)
,( yxf
A
)
yxf ,(
)
4.5.1 §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng sè A lµ giíi h¹n cña hµm f(x,y) = f(M) khi nÕu: ,0 ) AMf T¬ng tù nh ®èi víi hµm mét biÕn, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa c¸c giíi h¹n sau: lim x
x
...
o y
y
lim
x y
o
x 0 y
0
2
2
y y )
(
x
x
)
(
x y
Trong ®ã:
0
MM 0
0
2
2
x
y
3
1
VÝ dô:
2
2
lim x 1 y 2
x 0 y 1
1 x
xy y
lim
lim
0
2
2
2
2
x 0 y 0
x y
1
x
y
1
x
y
lim
4.5.2 Chó ý: C¸c ®Þnh lý vÒ giíi h¹n cña tæng, tÝch, th¬ng cña hµm hai biÕn còng t¬ng tù c¸c ®Þnh lý t¬ng øng ®èi víi hµm mét biÕn. Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6. Sù liªn tôc cña hµm mét biÕn - hµm hai biÕn
4.6.1. Sù liªn tôc cña hµm mét biÕn
4.6.1.1. C¸c ®Þnh nghÜa
)(xf
§Þnh nghÜa 1: Hµm
®îc gäi lµ liªn tôc t¹i
0x nÕu tháa m·n
hai ®iÒu kiÖn:
)(xf
x¸c ®Þnh t¹i
0x vµ ë l©n cËn
0x
)(xf
khi
x 0x
0x
§Þnh nghÜa 2: Hµm )(xf
®îc gäi lµ liªn tôc tr¸i t¹i
0x (liªn tôc ph¶i
t¹i
0x ), nÕu:
)(xf
*
x¸c ®Þnh t¹i
0x vµ ë l©n cËn bªn tr¸i (ph¶i)
0x ,
x
0
)(xf
)
(
x
)0
*
khi
0 x
( 0xf
0 x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
§Þnh nghÜa 3: Hµm
®îc gäi lµ liªn tôc trong kho¶ng më (a,b)
nÕu nã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x thuéc kho¶ng ®ã.
)(xf
Hµm
®îc gäi lµ liªn tôc trong kho¶ng ®ãng [a,b] nÕu nã liªn
tôc t¹i mäi ®iÓm x trong (a,b), vµ liªn tôc tr¸i t¹i b, liªn tôc ph¶i t¹i a.
0x vµ
VÝ dô: Hµm sinx liªn tôc t¹i mäi x, v× nã x¸c ®Þnh t¹i mäi sin
x
sin
x
x .
khi
0
0x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6.1.2. TÝnh liªn tôc cña c¸c hµm s¬ cÊp
)(xf
Mäi hµm s¬ cÊp
nÕu ®· x¸c ®Þnh t¹i
0x vµ ë l©n cËn
0x th×
)(xf
liªn tôc t¹i
liªn tôc trªn mäi kho¶ng
0x Do ®ã: Mäi hµm s¬ cÊp
trong ®ã hµm ®îc x¸c ®Þnh.
VÝ dô: Hµm xn (n nguyªn d¬ng) liªn tôc t¹i mäi x.
Hµm cosx liªn tôc t¹i mäi x.
2
1 x
Hµm
liªn tôc trong kho¶ng ®ãng [-1,1], v.v...
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6.13. C¸c phÐp tÝnh vÒ c¸c hµm liªn tôc t¹i cïng mét ®iÓm
f
- NÕu
vµ
liªn tôc t¹i
)(1 xf
)(2 x
0x th× tæng, hiÖu vµ tÝch cña
1
chóng còng liªn tôc t¹i
còng liªn tôc t¹i
0x , th¬ng cña chóng
xf )( )( xf
2
f
)
0
2
x ( 0
0x nÕu
)
)(xU
)(uf
liªn tôc t¹i
liªn tôc t¹i
th× hµm
0x vµ
xUU ( 0
0
hîp
liªn tôc t¹i
- NÕu )(xUf
0x
4.6.1 4. C¸c bíc ®Ó xÐt sù liªn tôc cña hµm sè t¹i mét ®iÓm
- XÐt xem hµm sè cã x¸c ®Þnh t¹i ®iÓm ®ã vµ l©n cËn ®iÓm ®ã hay kh«ng?
- XÐt xem giíi h¹n ph¶i cã b»ng giíi h¹n tr¸i hay kh«ng?
- XÐt xem giíi h¹n ®ã cã b»ng ®óng trÞ cña hµm t¹i ®iÓm ®ã kh«ng?
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: NÕu thÊy kh«ng tháa m·n mét trong ba ®iÒu kiÖn trªn th× kÕt
luËn hµm sè gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm ®ang xÐt.
x
x
0
xf )(
VÝ dô: XÐt sù liªn tôc cña hµm
víi
x
0
sin x 1
)(xf
Gi¶i: XÐt t¹i x = 0, thÊy hµm
x¸c ®Þnh t¹i x = 0 vµ l©n cËn ®iÓm 0.
x
1
f
)0(
f
Giíi h¹n ph¶i vµ giíi h¹n tr¸i tån t¹i vµ
lim)0( 0
x
sin x
0x
)(xf
)0
TrÞ cña hµm t¹i x= 0 lµ f(0) = 1= f(
.VËy hµm
liªn tôc t¹i
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6.1.5. C¸c tÝnh chÊt cña hµm liªn tôc trªn 1 ®o¹n
)(xf
§Þnh lý 1: NÕu hµm
liªn tôc trªn ®o¹n [a,b] th× nã bÞ chÆn trªn
M
:0
xMxf
)(
,
®o¹n ®ã tøc lµ
ba ,
)(xf
§Þnh lý 2: NÕu hµm
liªn tôc trªn ®o¹n [a,b] th× Ýt nhÊt nã ®¹t
®îc mét lÇn gi¸ trÞ lín nhÊt vµ mét lÇn gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña nã trªn
®o¹n [a,b], nghÜa lµ cã Ýt nhÊt mét trÞ c vµ mét trÞ c' thuéc [a,b] sao
cf
)'(
xf )(
x
)(xf
)(cf
ba ,
cho
vµ
®èi víi mäi
.
)(xf
)(af
)(bf
§Þnh lý 3: NÕu
liªn tôc trªn ®o¹n [a,b] vµ nÕu
vµ
tr¸i
)(xf
dÊu nhau th×
triÖt tiªu Ýt nhÊt mét lÇn ë trong [a,b], nghÜa lµ cã Ýt
c
)( cf
0
nhÊt mét trÞ
sao cho
ba ,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
§Þnh lý 4: NÕu
liªn tôc trªn ®o¹n [a,b] vµ nÕu lµ mét trÞ
)(xf
trung gian gi÷a trÞ bÐ nhÊt m vµ trÞ lín nhÊt M cña
trªn [a,b]
)(xf
th×
lÊy trÞ Ýt nhÊt mét lÇn trªn [a,b], nghÜa lµ cã Ýt nhÊt mét trÞ
)(cf
c
sao cho
víi
.
Mm,
ba ,
xx 2.
1
VÝ dô: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh:
cã Ýt nhÊt mét nghiÖm
d¬ng nhá h¬n 1.
)(xf
Gi¶i: XÐt hµm
=x.2x - 1 trªn ®o¹n [0,1].
f
1)1(
)(xf
f
)0(
1
f
).0(
f
0)1(
Ta thÊy
liªn tôc trªn ®o¹n [0,1] ;
;
)( cf
0
Theo ®Þnh lý 3, tån t¹i Ýt nhÊt một trÞ
®Ó
, nghÜa lµ c lµ
1,0c
nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6.1.6. Hµm sè gi¸n ®o¹n
)(xf
Hµm
®îc gäi lµ gi¸n ®o¹n t¹i
0x nÕu nã kh«ng liªn tôc t¹i
0x .
)(xf
NÕu
gi¸n ®o¹n t¹i
0x th×
0x ®uîc gäi lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n
)(xf
cña
.
)(xf
Hµm
gi¸n ®o¹n t¹i
0x nÕu gÆp mét trong c¸c trêng hîp sau:
)(xf
1)
kh«ng x¸c ®Þnh t¹i
0x
x
1 xe
0x
VÝ dô: C¸c hµm
®Òu gi¸n ®o¹n t¹i
,
,
sin x
1 x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
)
2)
cã giíi h¹n khi
x , nhng giíi h¹n Êy kh«ng b»ng
.
( 0xf
x
)(xf
VÝ dô: XÐt hµm
=
0x sin nÕu x 0 x
2 nÕu x = 0
x
1
)(xf
f
Hµm nµy x¸c ®Þnh t¹i 0 vµ
=
lim2)0( 0
x
lim x 0
sin x
VËy hµm ®· cho gi¸n ®o¹n t¹i 0.
)(xf
3)
kh«ng cã giíi h¹n khi
)(xf
=
VÝ dô:
x ox 1 nÕu x 0 x 0
nÕu x = 0
Hµm nµy x¸c ®Þnh t¹i x = 0, nhng kh«ng cã giíi h¹n khi x 0 v×
1 x
lµ VCL khi x 0, vËy nã gi¸n ®o¹n t¹i x = 0.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Cã hai lo¹i ®iÓm gi¸n ®o¹n:
1) §iÓm gi¸n ®o¹n lo¹i 1: NÕu hµm )(xf
gi¸n ®o¹n t¹i
0x ,
)0
nhng t¹i
h÷u h¹n vµ giíi h¹n tr¸i
0x cã giíi h¹n ph¶i
( 0 xf
)(xf
)0
h÷u h¹n th×
. HiÖu
0x lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n lo¹i 1 cña
( 0 xf
)(xf
)0
)0
-
lµ bíc nh¶y cña
t¹i
0x .
( 0 xf
( 0 xf
2) C¸c ®iÓm gi¸n ®o¹n kh¸c gäi lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n lo¹i 2.
)(xf
§iÓm x = a ®îc gäi lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n bá ®îc cña hµm
( af
)0
( af
)0
nÕu tån t¹i c¸c giíi h¹n h÷u h¹n
vµ
, ®ång thêi
( af
)0
( af
)0
=
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
)( xf
0x
VÝ dô 1: XÐt hµm
, t¹i
hµm nµy gi¸n ®o¹n v× nã
sin x
x
)0(f
f
)0(
lim
1
kh«ng x¸c ®Þnh t¹i ®ã. Nhng
=
.
x
0
sin x
x
)( xf
0x
VËy:
gi¸n ®o¹n lo¹i 1 t¹i
vµ ®©y lµ ®iÓm gi¸n
sin x
®o¹n bá ®îc víi bíc nh¶y b»ng 0.
x
xf
)(
x
0x
VÝ dô 2: XÐt hµm
, t¹i
hµm kh«ng x¸c ®Þnh nªn
x
f
)0(
1(
x
1)
lim
gi¸n ®o¹n. XÐt:
x
0
f
)0(
lim
1(
x
)
1
x
0
0x
Nh vËy hµm ®· cho gi¸n ®o¹n lo¹i 1 t¹i
, víi bíc nh¶y lµ 2.
0x
)( xf
VÝ dô 3: XÐt hµm
t¹i
hµm kh«ng x¸c ®Þnh nªn gi¸n
1 x
0x
0x
®o¹n vµ
nÕu
;
nÕu
1 x
1 x
VËy hµm gi¸n ®o¹n lo¹i 2 t¹i x = 0.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6.2. Sù liªn tôc cña hµm hai biÕn
4.6.2.1. §Þnh nghÜa hµm liªn tôc
Z
yxf ,(
)
Mf (
)
XÐt hµm
x¸c ®Þnh trong miÒn G vµ
,
)
G
.
( yxM 0
0
Z
yxf ),(
Mf (
)
Hµm
®îc gäi lµ liªn tôc t¹i M0 nÕu nã x¸c
®Þnh t¹i ®iÓm ®ã vµ tån t¹i giíi h¹n: lim
yxf ,(
)
)
0 yxf , (
0
(1)
0
x y
x y
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
x
y
y
z
yxf ,(
)
)
§Æt
,
,
0y
0 yxf , (
0
0x
x
x
y
y
Z
xf (
yx ,
y
)
yxf
(
,
)
Do ®ã:
;
;
0 x
0 y
0
0
0
0
yx,
x ,
y
Ta gäi
lµ c¸c sè gia cña c¸c biÕn ®éc lËp
; Z lµ
sè gia toµn phÇn t¬ng øng cña hµm Z.
§iÒu kiÖn (1) t¬ng ®¬ng víi ®iÒu kiÖn sau:
y
)
0
xf ( 0
yx , 0
yxf , ( 0 0
lim x y
0 0
VËy cã thÓ ®Þnh nghÜa hµm Z = f (x, y) ®îc gäi lµ liªn tôc
trong miÒn G nÕu nã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm M thuéc miÒn G.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4.6.2.2. Hµm gi¸n ®o¹n
yxf ,(
)
yxM (
,
)
Hµm
gi¸n ®o¹n t¹i
nÕu nã kh«ng liªn tôc
0
0
0
Z
yxf ,(
)
t¹i ®iÓm Êy. Nh vËy hµm
gi¸n ®o¹n t¹i
0M nÕu:
- HoÆc nã kh«ng x¸c ®Þnh t¹i
0M ,
- HoÆc nã x¸c ®Þnh t¹i
0M nhng kh«ng tån t¹i giíi h¹n
(Mf
)
cña
khi
0MM
(Mf
)
0M , tån t¹i giíi h¹n Mf ( )
Mf (
lim
)
- HoÆc nã x¸c ®Þnh t¹i cña
khi
0MM nhng:
0
MM
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng V
PhÐp tÝnh vi ph©n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1 §¹o hµm - vi ph©n cña hµm mét biÕn
5.1.1. §¹o hµm cña hµm mét biÕn
5.1.1.1. §Þnh nghÜa ®¹o hµm t¹i mét ®iÓm
)(xf
( xf
)
( xf
)
f
0
x
0
XÐt hµm x¸c ®Þnh t¹i 0x vµ ë l©n cËn 0x . Cho 0x sè gia
x cã trÞ tuyÖt ®èi kh¸ bÐ. NÕu tØ sè
x
x
cã giíi
0 x
)(xf
h¹n (h÷u h¹n) khi th× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ ®¹o hµm
0x
0x t¹i
)
0
0
( xf
cña hµm ®èi víi
Ký hiÖu: )
( xf
( xf
0
f x
(1) lim 0 x lim 0 x
x
) x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
xf )(
x
)(xf
2
VÝ dô: Cho
. TÝnh ®¹o hµm cña
t¹i
0 x
Theo ®Þnh nghÜa, ta tÝnh ®¹o hµm theo c¸c bíc sau:
- Cho x sè gia x
2
xf )(
x
2
- TÝnh sè gia t¬ng øng cña hµm
t¹i
0 x
2
2
2
f
xf (
x
)
xf (
)
2(
x
)
2
x
4
(
x
)
0
0
2
)
4
x
4 x
- LËp tû sè
f x
( x x
x
4(
x
4)
- T×m giíi h¹n cña tû sè
lim:0 x 0
lim x 0
khi f x
f x
2
xf )(
x
2
VËy ®¹o hµm cña
t¹i
lµ 4
0 x
2
f
)2('
(
x
)
x
2
= 4
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1.2. ý nghÜa thùc tiÔn cña ®¹o hµm
ý nghÜa h×nh häc cña ®¹o hµm:
)(xf
y
)(xf
NÕu hµm
cã ®¹o hµm t¹i
cã
0x th× ®êng cong
yxM (
,
)
tiÕp tuyÕn t¹i
vµ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn ®ã lµ
0
0
0
k
tg
)
.
0xf ('
y
xf (
)
xf (
)(
x
x
)
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i
0M lµ:
0
0
0
y
xf (
)
(
x
x
)
Ph¬ng tr×nh ph¸p tuyÕn t¹i
0
0
0M lµ:
1 xf ('
)
0
Gãc gi÷a hai ®êng cong b»ng gãc gi÷a hai tiÕp tuyÕn t¹i
tg
giao ®iÓm:
k 2 1
k 1 kk . 1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
2x
2
VÝ dô: XÐt ®êng cong:
t¹i
0 x
y
2x
Theo vÝ dô trªn ®êng cong
cã tiÕp tuyÕn t¹i
k
( 2 x
)'
x
2
mµ hÖ sè gãc lµ:
= 4
)4,2(0M
y
4
(4
x
)2
Ph¬ng tr×nh cña tiÕp tuyÕn ®ã lµ
y
4
(
x
)2
Ph¬ng tr×nh cña ph¸p tuyÕn t¹i
lµ
)4,2(0M
1 4
ý nghÜa c¬ häc: §¹o hµm cña hoµnh ®é S ®èi víi thêi
v
)(' tv
gian t chÝnh lµ vËn tèc tøc thêi cña vËt
.
f
ý nghÜa chung: §¹o hµm )(' x
, t¹i
0x chÝnh lµ vËn tèc biÕn
thiªn cña hµm )(xf
t¹i
0x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1.3. Mét sè trêng hîp ®Æc biÖt
§¹o hµm ph¶i, ®¹o hµm tr¸i: NÕu tû sè
cã giíi h¹n ph¶i
f x
0x
(tr¸i) t¹i 0x th× giíi h¹n Êy gäi lµ ®¹o hµm ph¶i (tr¸i) t¹i
( xf
( xf
)
0
0
('
f
0
lim)0 0 x
(2)
( xf
( xf
)
0
0
x Ký hiÖu:
('
x
f
0
lim)0 0 x
) x x ) x x
f
('
)0
VÒ mÆt h×nh häc,
b»ng hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn
0 x
f
('
)0
yxM (
,
)
ph¶i t¹i
vµ
b»ng hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn tr¸i
0
0
0
0 x
yxM (
,
)
y
)(xf
t¹i
cña ®êng cong
. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó
0
0
0
)(xf
cã ®¹o hµm t¹i
0x lµ nã cã ®¹o hµm ph¶i vµ ®¹o hµm tr¸i t¹i
f
('
)0
f
('
)0
f
('
)
®ã vµ
=
=
.
0 x
0 x
0x
)(xf
)0
f
('
)0
NÕu
th×
kh«ng cã ®¹o hµm t¹i
0x vµ
0 xf ('
0 x
y
)(xf
yxM (
,
)
®iÓm
lµ mét ®iÓm gãc cña ®å thÞ
.
0
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
0
x
0
x
xf
)(
x
0
VÝ dô: XÐt hµm
t¹i
. Ta cã
0 x
f x
x
x
= 1 nÕu x > 0
- 1 nÕu x < 0
f
0('
1)0
f
0('
)0
1
VËy
Do ®ã ®iÓm 0 lµ ®iÓm gãc cña ®å thÞ
y x
( xf
( xf
)
0
0
§¹o hµm v« h¹n: NÕu tû sè
cã thÓ dÇn tíi
f x
) x x
)(xf
0x
khi
, lóc ®ã ta nãi
cã ®¹o hµm v« h¹n t¹i 0x
y
)(xf
Khi ®ã ®êng cong
cã tiÕp tuyÕn th¼ng ®øng t¹i
yxM (
,
)
0
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1. 4. Liªn hÖ gi÷a ®¹o hµm vµ liªn tôc: §¹o hµm
liªn tôc
Chøng minh:
)(xf
)(xf
NÕu
cã ®¹o hµm t¹i
cã ®¹o hµm
0x th× nã liªn tôc t¹i
0x . V×
)0x
0x
)
)
khi
, do ®ã
;
( khi 0
0xf ('
t¹i 0x nªn
( 0xf
f x
f x
0x
0f
)(xf
x
)
f
)
Suy ra:
.
. VËy ( x
khi
, tøc
( 0xf
liªn tôc t¹i 0x
)(xf
Ngîc l¹i, nÕu
liªn tôc t¹i 0x th× cha ch¾c cã ®¹o hµm t¹i ®ã.
y
x
0x
Ch¼ng h¹n hµm
liªn tôc t¹i
nhng kh«ng cã ®¹o
hµm t¹i ®ã.
)(xf
NÕu
cã ®¹o hµm ph¶i (tr¸i) t¹i
0x th× liªn tôc ph¶i (tr¸i)
t¹i ®iÓm ®ã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1.5. §¹o hµm trong mét kho¶ng, trªn mét ®o¹n
)(xf
Ta nãi hµm
cã ®¹o hµm trong khoµng (a,b) nÕu nã cã
f
)(' x
®¹o hµm t¹i mäi x thuéc kho¶ng ®ã. Khi Êy
lµ mét hµm
cña x x¸c ®Þnh trong kho¶ng (a,b).
)(xf
Ta nãi hµm
cã ®¹o hµm trªn ®o¹n [a,b] nÕu cã ®¹o
hµm trong kho¶ng (a,b), cã ®¹o hµm ph¶i t¹i a, ®¹o hµm tr¸i t¹i
f
)(' x
b. Khi Êy
lµ mét hµm cña x x¸c ®Þnh trªn ®o¹n [a,b].
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1. 6. Qui t¾c tÝnh ®¹o hµm
)(xU
)(xV
§Þnh lý 1: NÕu
vµ
®Òu cã ®¹o hµm ®èi víi x th×
tæng
VU , tÝch VU.
vµ th¬ng
U cña chóng còng cã ®¹o hµm V
( VU
').
( VU )
VU
UVVU
®èi víi x vµ:
;
=
;
U V
UVVU 2V
y
)(uf
§Þnh lý 2: XÐt hµm hîp
. NÕu hµm
cã ®¹o
)(xuf
)(xUU
hµm ®èi víi U vµ
cã ®¹o hµm ®èi víi x th× hµm hîp
'
y
y
cã ®¹o hµm ®èi víi x vµ
)(xuf
' x
uf . x
' u
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
'
x
)( y
)
0
§Þnh lý 3: NÕu hµm
t¹i ®iÓm
,
0y cã ®¹o hµm
y ( 0
y
)(xf
x
)
vµ nÕu hµm ngîc cña nã
liªn tôc t¹i ®iÓm
th×
y ( 0
0
)
xf ('
)
tån t¹i ®¹o hµm
vµ
0xf ('
0
1 y ('
)
0
xV )(
(
)0
Chó ý: XÐt hµm
;
. LÊy l«garit tù nhiªn hai
xuy
)(
( xu )
v
ln
y
( xv
ln).
)( xu
y
'
u
v
'.
nu
vÕ ta ®îc:
'. uv u
sin
x
y
x
VÝ dô: TÝnh ®¹o hµm
x
ln y
sin
x
ln
x
cos
x
ln
x
Ta cã
sin x
' y y
x
sin
x
y
'
x
(cos
x
ln
x
)
sin x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1.7. §¹o hµm cÊp cao
)(xf
NÕu hµm
)(xf
th× ®¹o hµm
cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm thuéc kho¶ng nµo ®ã lµ mét hµm cña x x¸c ®Þnh trªn kho¶ng Êy. §¹o
)(xf
f
(' x
)
hµm
gäi lµ ®¹o hµm cÊp 1 cña hµm
)(xf
)(' x
f
x )(''
f
f
x )('
hµm cÊp 1
lµ ®¹o hµm cÊp hai cña hµm
:
.
. §¹o hµm cña ®¹o )(xf
§¹o hµm cÊp 1 cña ®¹o hµm cÊp hai lµ ®¹o hµm cÊp ba cña
:
)1
(
n
:)1
f
x )('''
f
x )(''
§¹o hµm cÊp 1 cña ®¹o hµm cÊp
lµ ®¹o
( x xf )(
)
)1
f
f
( n x )
(
( n x )
(
hµm cÊp n cña f(x):
(3)
C¸c ®¹o hµm tõ cÊp hai trë lªn gäi lµ ®¹o hµm cÊp cao.
y
sin
x
y
'
cos
VÝ dô:
;
2
xx
)
y n (
sin
n
x
y
''
cos
x
sin
sin
.2
x
x
. . .
2
2
2 2
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.1.8. B¶ng ®¹o hµm ®¸ng nhí
arc
cot
gx
14.
0' c
1.
cos
x
sin
x
2
8.
1 x
1
2
'
'
1
tgx
1
tg
x )(
9.
. vu
vu
uv
2
x
15.
2.
x
1 cos
x
2
'
x
x
'
'
cot
gx
cot
v
u
v
10
1
xg
e
16. u
3. e
'
2
1 sin
x
1
x
x
arcsin
x
11.
cu
. uc
a
ln
a
2
17.
4. a
1
x
1
' vu
' uv
arccos
x
12.
x
18.
5. ln
2
u v
2 v
1 x
'
1
x
'
log
arctgx
13.
6.
'
xa
19.
2
1 ln
x
a
1
x
1
c v
cv 2 v
y
)(uf
)(xuu
y
uf .
20.
;
sin
x
cos
x
' x
' u
' x
7.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.2. Vi ph©n cña hµm mét biÕn
)(xf
5.1.2.1. §Þnh nghÜa XÐt hµm
x¸c ®Þnh t¹i 0x vµ l©n cËn
0x . Cho 0x sè gia tuú ý
x
x
vÉn thuéc l©n cËn ®ã.
f
xf (
x
)
xf (
x sao cho 0 NÕu sè gia cña hµm cã d¹ng
)
0
0
(4) f
xA .
(
x
)
( x
)
trong ®ã A chØ phô thuéc
x ,
lµ
)( xf
xA .
VCB cÊp cao h¬n x th× ta nãi
0x chø kh«ng phô thuéc kh¶ vi t¹i
0x vµ biÓu thøc
)( xf
t¹i 0x vµ ký hiÖu lµ dy :
. xA
dy
®îc gäi lµ vi ph©n cña hµm (5) ý nghÜa:
xA .
- BiÓu thøc
lµ tuyÕn tÝnh ®èi víi
,x nªn nã ®¬n gi¶n h¬n
f .
0
- NÕu
th× vi ph©n dy lµ VCB t¬ng ®¬ng víi sè gia f :
f df (6)
2
xf )(
x
df
x
VÝ dô: Hµm
. XÐt t¹i 0x th×
02 x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.2.2. Liªn hÖ gi÷a ®¹o hµm vµ vi ph©n (kh¶ vi) §¹o hµm
)(xf
x
)
)
( 0xf
( 0xf
f x
f x
0x
(
0
f
(' xf
).
x
NÕu cã ®¹o hµm th× khi
. x
0
)(xf
khi )
f cã d¹ng (4)
0x vµ vi ph©n cña
df
('
x
x
f
). o
Chøng tá kh¶ vi t¹i
nã t¹i 0x lµ: (7)
)
)(xf
x
f
. AxA
(
) x
A
0
f x
( x x
)
0x
NÕu kh¶ vi t¹i
( x lµ VCB cÊp cao h¬n
)x
)(xf
)
A
VÕ ph¶i dÇn tíi A khi (v×
( 0 xf
x
df
('
).
x
f
)(xf
VËy cã ®¹o hµm t¹i 0x vµ
C«ng thøc tÝnh vi ph©n cña hµm t¹i x lµ: (8)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
xf
)(
x
df
dx
x
Chó ý: NÕu
th×
; (x lµ biÕn ®éc lËp)
(' f
dx
df
).
x
Do ®ã: (9)
)( xf
Suy ra:
(10)
df dx
(§¹o hµm bËc nhÊt cña hµm lµ tû sè gi÷a vi ph©n cña hµm vµ vi
ph©n cña biÕn ®éc lËp)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.2.3. TÝnh bÊt biÕn cña biÓu thøc vi ph©n
y
)(xf
x
)(t
XÐt hµm hîp
;
, trong ®ã t lµ biÕn ®éc lËp. Khi
dy
f
)( t
. dt
( xf
). ( t
).
dt
f . dx
y f
®ã:
; (v×
)(t
t
dx
t )( dt
)
y
)(xf
VËy d¹ng cña vi ph©n cña hµm
kh«ng thay ®æi dï
x lµ biÕn ®éc lËp hay lµ hµm kh¶ vi cña mét biÕn ®éc lËp kh¸c.
Ngêi ta gäi ®ã lµ tÝnh bÊt biÕn cña biÓu thøc vi ph©n cÊp 1.
y
sin
x
dy
cos
xdx
y
sin
u
dy
cos
udu
VÝ dô 1:
;
y
)(ty
x
)(tx
VÝ dô 2:
;
' y x
ty )(' )(' tx
)( xy
dy
)( xy
dx
ThËt vËy:
dy dx
ty )( )( tx
dt dt
ty )( )( tx
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.2. 4. øng dông vi ph©n cÊp 1 ®Ó tÝnh gÇn ®óng
)(xf
XÐt hµm
kh¶ vi t¹i
f øng
0x gi¶ sö ta ph¶i tÝnh sè gia
x
)
víi sè gia x hay ph¶i tÝnh
víi
x kh¸ bÐ. NÕu tÝnh
xf ( 0
®óng phøc t¹p, ta tÝnh gÇn ®óng dùa vµo c«ng thøc:
f
dy
Hay (11)
( xf
x
)
( xf
)
( xf
).
x
0
0
)(xf
(fA )
C¸ch gi¶i: Tõ trÞ sè
cÇn tÝnh, suy ra d¹ng cña hµm
)(xf
x
x
Ph©n tÝch
sao cho
dÔ tÝnh vµ
x cµng
0 x
nhá cµng tèt.
)
)
TÝnh
,
. Thay vµo c«ng thøc (11)
( 0xf
( 0xf
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
(fA )
VÝ dô: TÝnh sin 460
)( xf
sin
x
f
)( x
cos
x
x
;
x
D¹ng hµm
0
180 4
4
180
)
f
sin
Ph©n tÝch 460 = 450 + 10
xf ( 0
4
4
2 2
)
cos
xf ( 0
4
4
2 2
f
TÝnh
.
,0
7194
2 2
2 2
180
VËy sin 460 = sin (450 + 10) sin 450 + cos 450. 10 =
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.2.5. Vi ph©n cÊp cao
df
)(' f x
dx
)(xf
XÐt hµm ) ( xf kh¶ vi t¹i mäi x thuéc kho¶ng nµo ®ã.Vi ph©n
gäi lµ vi ph©n cÊp 1 cña hµm t¹i x Nã lµ mét
2
2
fd
f
)( dxx
hµm cña x, trong ®ã dx kh«ng ®æi. Vi ph©n cña vi ph©n cÊp 1 lµ
3
3 fd
f
x )( dx
vi ph©n cÊp 2: . Vi ph©n cña vi ph©n cÊp hai lµ vi
n
n fd
dx
ph©n cÊp 3: ...
.)( n )( f x
Vi ph©n cña vi ph©n cÊp (n-1) lµ vi ph©n cÊp n: (12)
f
x )(
f
)( x
C¸c vi ph©n tõ cÊp hai trë lªn gäi lµ vi ph©n cÊp cao.
3 fd 3 dx
2 fd 2 dx
(
x
f
)() x
n fd n dx
Tõ c¸c c«ng thøc trªn suy ra: ; , . . . ,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
32x
VÝ dô: XÐt hµm
2
3
dy
26 x
dx
2 yd
12xdx
4 yd
0
3 yd
12dx
Ta cã:
;
;
,
x
)(t
y
)(xf
Chó ý: XÐt hµm hîp
;
, trong ®ã t lµ biÕn ®éc
lËp. Do tÝnh bÊt biÕn cña biÓu thøc vi ph©n cÊp 1, ta cã:
dy
f
x )( dx .
V× x kh«ng lµ biÕn ®éc lËp nªn dx kh«ng lµ h»ng
dy
)( xf
dx
sè, ta cã:
.Ta cã:
2 yd
dyd (
)
)( xfd
(
dx
)
xfddx (.
(
))
dxdxf ()(
)
2
2
2 yd
f
)( x
dx
)( xdxf
Râ rµng tÝnh bÊt biÕn cña vi ph©n kh«ng cßn ®óng víi vi
ph©n cÊp cao n÷a.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.2.6. C¸c c«ng thøc tÝnh vi ph©n
d
cot
gx
dx
df
)(
dxxf
1.
9.
1 2 sin
x dx
d
(arcsin
x
)
0dC
2.
10.
2
x
1 dx
1
d
(arccos
x
)
dx
.
x
dx
3.
11.
2
x
x
d
(
arctgx
)
de
x
e
dx
4.
12.
2
1 dx x
1
( ud
) v
du
dv
dx
d
ln x
5.
13.
)
1 x cos
d
sin x
xdx
6.
14.
vdu vdu
udv udv
d
d
cos
x
sin
xdx
7.
15.
( uvd u v
2v
2
dtgx
dx
1(
tg
x
)
dz
.
dxUf .
)( duuf
8.
16.
)(( xufd
u
x
1 2 cos
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: NÕu hai hµm f(x) vµ g(x) lµ hai hµm kh¶ vi v« h¹n
lÇn. Khi ®ã ®Ó tÝnh ®¹o hµm cÊp n cña tÝch hai hµm nµy, ta sö
dông c«ng thøc Laibnitz sau ®©y:
n
)( n
. gf
. gfC
)( k )( x
k n
( ) kn )( x
0 k
T¬ng tù ta cã vi ph©n cÊp n cña tÝch hai hµm (f.g)
nh sau:
n
n
)
)
d
xgxf ). )(
(
g
k fC n
k ( x )
(
( (
kn ) x
k
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.3. Cùc trÞ cña hµm mét biÕn
5.1.3.1. Cùc trÞ cña mét hµm:
),( ba
)(xf
c
),( ba
XÐt hµm
x¸c ®Þnh trong kho¶ng
,
)( cf
cf
x
§Þnh nghÜa: Hµm )(xf
®¹t cùc ®¹i t¹i c nÕu
;
)(xf
xf )(
cf (
x
)
Hµm
®¹t cùc tiÓu t¹i c nÕu
víi x kh¸ bÐ vÒ
trÞ tuyÖt ®èi.
C¸c cùc ®¹i, cùc tiÓu cña hµm gäi lµ cùc trÞ cña hµm.
Chó ý: C¸c cùc trÞ cña hµm trong mét kho¶ng cha ch¾c
lµ gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña hµm trong kho¶ng ®ã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
§Þnh lý (Phecma-Permat): Gi¶ sö hµm
x¸c ®Þnh trong
kho¶ng (a,b).
)(xf
c
),( ba
NÕu
®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm
, vµ nÕu t¹i c tån t¹i
)(cf
cf
)(
®¹o hµm (h÷u h¹n)
th× ®¹o hµm Êy ph¶i b»ng 0
0
Chó ý: Nh÷ng ®iÓm mµ t¹i ®ã ®¹o hµm triÖt tiªu hay ®¹o
hµm kh«ng tån t¹i gäi lµ nh÷ng ®iÓm tíi h¹n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
* Hai qui t¾c t×m cùc trÞ
Qui t¾c 1: Dïng ®¹o hµm cÊp 1
)(xf
§Þnh lý: (§iÒu kiÖn ®ñ ®Ó cã cùc trÞ): Gi¶ sö hµm
liªn
ba,
tôc trong ®o¹n
chøa ®iÓm
tån t¹i h÷u h¹n
0x . §¹o hµm )(xf
trong ®o¹n Êy (Cã thÓ trõ t¹i ®iÓm
0x :
)(xf
NÕu khi x vît qua
®æi dÊu tõ ©m sang d¬ng
0x vµ
)(xf
th×
®¹t cùc tiÓu t¹i
0x .
)(xf
NÕu khi x vît qua
®æi dÊu tõ d¬ng sang ©m
0x mµ
)(xf
th×
®¹t cùc ®¹i t¹i
0x .
)(xf
)(xf
NÕu khi x vît qua
kh«ng ®æi dÊu th×
0x mµ
kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i
0x .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
VËy: Muèn t×m cùc trÞ cña hµm , ta tiÕn hµnh theo c¸c
bíc sau:
xf
0)('
- T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n (nghiÖm thùc cña ph¬ng tr×nh
)(xf
, vµ nh÷ng ®iÓm t¹i ®ã kh«ng tån t¹i ®¹o hµm song hµm
vÉn liªn tôc).
)(xf
- S¾p xÕp c¸c ®iÓm tíi h¹n theo thø tù t¨ng dÇn, xÐt dÊu
cña . T¹i mçi ®iÓm tíi h¹n qua ®ã ®¹o hµm ®æi dÊu th×
hµm sè ®¹t cùc trÞ.
- T×m cùc ®¹i, cùc tiÓu cña hµm.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Qui t¾c 2: Dïng ®¹o hµm cÊp 2.
)(xf
§Þnh lý: (®iÒu kiÖn ®ñ cña cùc trÞ): Gi¶ sö
cã ®¹o hµm
liªn tôc ®Õn cÊp hai ë l©n cËn 0x .
xf
0)
f
0)
NÕu
;
th×
)(xf ®¹t cùc tiÓu t¹i
0x
( 0
x ( 0
)(xf
xf
0)
f
0)
NÕu
;
th×
®¹t cùc ®¹i t¹i
0x
( 0
x ( 0
)(xf
VËy: Muèn t×m cùc trÞ cña hµm
, ta tiÕn hµnh theo c¸c bíc:
- T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n.
f
)(x
- T×m ®¹o hµm cÊp hai
f
)(x
- XÐt dÊu
t¹i c¸c ®iÓm tíi h¹n, kÕt luËn
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3
y
x
x
1 3
y
x
012
x
1
VÝ dô: T×m cùc trÞ cña hµm : MX§: Mäi x R
Gi¶i: T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n:
2
1x
02 y
T¹i
:
)1(y =
Hµm ®¹t cùc tiÓu vµ ycùc tiÓu =
02 y
1x
T¹i
:
Hµm ®¹t cùc ®¹i vµ ycùc ®¹i =
3 )1(y = 3 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.1.3. 2. TrÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm trong mét kho¶ng kÝn
)(xf
NÕu hµm
liªn tôc trong kho¶ng ®ãng [a,b] th× nã ®¹t
gi¸ trÞ lín nhÊt vµ trÞ bÐ nhÊt cña nã trong kho¶ng Êy Ýt nhÊt
mét lÇn.
)(xf
Qui t¾c: Muèn t×m trÞ lín nhÊt, nhá nh¸t cña hµm
trong
®o¹n [a,b], chØ viÖc so s¸nh trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm tíi h¹n
trong ®o¹n [a,b] víi trÞ cña hµm t¹i hai ®Çu mót.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm
3
y
x
3 2 x
9
x
35
trong kho¶ng ®ãng [- 4 ; 4 ]
2
3
y
3'
x
6
x
09
,1
Gi¶i: T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n
2 x
x 1
40
1x
T¹i
y )1(
y
8
3x
T¹i
)3(
41
y
15
TrÞ cña hµm t¹i hai ®Çu mót
;
)4(
y
)4(
1x
VËy trÞ lín nhÊt cña hµm trong [-4, 4 ] lµ 40 t¹i
vµ trÞ
nhá nhÊt cña hµm trong [-4, 4 ] lµ -41 t¹i x = - 4
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2. §¹o hµm vµ vi ph©n cña hµm hai biÕn
5.2.1. §¹o hµm vµ vi ph©n
5.2.1.1. Sè gia riªng vµ ®¹o hµm riªng
z
yxf ,(
)
y
(
)
Cho hµm x¸c ®Þnh trong mét miÒn G nµo ®ã. XÐt
0y
0 yx ,
0
)
®iÓm G. Cho x biÕn thiªn vµ gi÷ (kh«ng ®æi) ta
0yxf ,(
®îc hµm cña mét biÕn x . Cho x sè gia x , ta ®îc sè
xf (
yx ,
Z
)
(
)
f
,
gia t¬ng øng cña hµm lµ:
(1)
yxf 0
0
0
0
x
x
z
yxf ,(
)
(
)
Vµ gäi lµ sè gia riªng cña hµm
theo x t¹i
0 yx ,
0
0x
Giíi h¹n cña tg sè
nÕu cã khi
gäi lµ ®¹o hµm riªng
fX x
)
(
0
cña hµm Z ®èi víi biÕn x t¹i
0 yx , Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
(
)
0
0
x
Ký hiÖu: (2) hay
, yx
fhay
lim
Z
)
(
X
X
0
0
x
0
z x
, yxf x
Z x
yxf ,(
)
Do vËy muèn tÝnh
, ta coi y lµ h»ng sè vµ
lµ hµm cña
z x
mét biÕn x .
x
T¬ng tù, nÕu gi÷
(kh«ng ®æi), cho y sè gia y , ta ®îc
0x
Z
yxf ,(
)
(
)
sè gia t¬ng øng cña hµm
t¹i ®iÓm
lµ
0 yx ,
0
y
Z
(
)
)
f
,
,
yxf 0
0
0
y
y
yxf ( (3) 0
Z
yxf ,(
)
(
)
vµ gäi lµ sè gia riªng cña hµm
theo y t¹i ®iÓm
0 yx ,
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
0y
Giíi h¹n cña tû sè
(nÕu cã) khi
gäi lµ ®¹o hµm riªng
fy y
(
)
cña Z ®èi víi biÕn y t¹i ®iÓm
0 yx ,
0
Z
)
(
0
fhay
hay
Z
)
(
, yx 0
y
y
0
lim y 0
z Ký hiÖu: (4) y
, yxf 0 y
y y
Z ln
tg
VÝ dô: T×m ®¹o hµm riªng mçi biÕn cña
x y
1
1
2
.
.
Gi¶i:
z x
1 y
2
tg
cos
y
sin.
x y
x y
2 x y
1
1
2
x
z y
2
2
x 2 y
.
.
tg
cos
y
sin
x y
2 x y
x y
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.1.2. Sè gia toµn phÇn vµ vi ph©n toµn phÇn
Z
yxf ,(
)
)
- XÐt hµm
x¸c ®Þnh trong miÒn G, vµ ®iÓm
yxM ( 0
0
0
xM (
yx ;
y
)
G. Cho x sè gia
,x y sè gia y sao cho
G.
0
0
(
)
lµ:
0 yx ,
0
Khi ®ã sè gia t¬ng øng cña hµm Z t¹i ®iÓm
y
xf (
Z
)
(
)
f
,
yxf 0
0
0
0
yx , (5)
(
)
vµ gäi lµ sè gia toµn phÇn cña hµm Z t¹i ®iÓm
.
0 yx ,
0
NÕu sè gia toµn phÇn ®îc biÓu diÔn díi d¹ng:
(6)
yBxAz
) x
(
(
y
)
.
Trong ®ã A, B lµ nh÷ng sè chØ phô thuéc
, cßn vµ
0 , yx
0
2
2
0y
0x
y
x
)0
dÇn tíi 0 khi
vµ
(Tøc lµ khi
, th× ta
yBxA
yxM (
,
)
nãi hµm Z kh¶ vi t¹i ®iÓm
, cßn biÓu thøc
gäi
0
0
0
yxM (
,
)
lµ vi ph©n toµn phÇn cña hµm Z= f(x,y) t¹i ®iÓm
0
0
0
dz
Ký hiÖu:
. yBxA
(7)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
( )
yBxAz
§¼ng thøc (6) cßn cã thÓ viÕt díi d¹ng
,
)
trong ®ã
( lµ VCB bËc cao h¬n .
NÕu A vµ B kh«ng ®ång thêi b»ng 0 th× dz ~ z , nãi c¸ch kh¸c vi
ph©n toµn phÇn dz lµ phÇn chÝnh cña sè gia toµn phÇn z .
Chó ý: NÕu hµm z kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm cña miÒn G th× ta nãi
r»ng nã kh¶ vi trong miÒn Êy.
yxM (
,
)
NÕu lµm z kh¶ vi t¹i ®iÓm
th× nã liªn tôc t¹i ®iÓm Êy.
0
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
z
yxf ,(
)
yxM (
,
)
§Þnh lý 1: NÕu hµm
kh¶ vi t¹i ®iÓm
th×
0
0
0
t¹i ®iÓm Êy tån t¹i c¸c ®¹o hµm riªng
vµ ta cã:
, x ZZ
y
(8)
dz
x
. y
z x
z y
yx,
Chó ý: Còng nh trong hµm 1 biÕn, víi c¸c biÕn ®éc lËp
x
,dx
y
dy
th×
nªn ta cã thÓ viÕt
(9)
dz
. dx
. dy
z y
z
yxf ,(
)
yxM (
,
)
NÕu hµm
z x t¹i ®iÓm
cã c¸c ®¹o hµm riªng
0
0
0
th× cha ch¾c nã ®· kh¶ vi, thËm chÝ cha ch¾c ®· liªn tôc
, x ZZ
y
yxM (
,
)
t¹i
.(§©y lµ ®iÒu kh¸c biÖt víi hµm mét biÕn).
0
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
z
yxf ,(
)
yxM (
,
)
yxM (
,
)
§Þnh lý 2: NÕu hµm cã ®¹o hµm riªng ë l©n cËn
0
0
0
0
0
0
yxM (
,
)
®iÓm vµ nÕu c¸c ®¹o hµm riªng Êy liªn tôc t¹i
0
0
0
z
yxf ,(
)
th× f(x,y) kh¶ vi t¹i .
yxM (
,
)
VËy: Muèn tÝnh vi ph©n toµn phÇn cña hµm t¹i
0
0
0
®iÓm th× ta ph¶i xÐt xem cã tån t¹i c¸c ®¹o hµm riªng
t¹i ®ã kh«ng? Sau ®ã tÝnh c¸c ®¹o hµm riªng xem nã cã liªn
tôc kh«ng? Sau ®ã ¸p dông c«ng thøc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
2
x
2
x
2
.2 ex
sin.
y
z
e
sin
y
VÝ dô 1:
. T¹i mäi ®iÓm (x,y) ta cã:
;
z x
2
sin2
y
.
cos
xey .
z y
C¸c ®¹o hµm riªng Êy liªn tôc kh¾p n¬i nªn hµm z kh¶ vi t¹i
2
(
x
sin
ydz
cos
ydy
)
dz
2
e
x sin
y
mäi ®iÓm (x,y) vµ ta cã
.
2
2
3
z
x
y
VÝ dô 2:
. T¹i mäi ®iÓm (x,y) ta cã c¸c ®¹o hµm
2
x
2
y
riªng
;
liªn tôc t¹i mäi (x,y) kh¸c (0,0).
2
2
2
2
z x
z y
3 3
x
y
3 3
x
y
2
xdx
2
dz
VËy t¹i nh÷ng ®iÓm Êy hµm z kh¶ vi vµ
2
ydy 2
3 3
x
y
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
T¹i ®iÓm (0,0) hµm z liªn tôc nhng nã kh«ng kh¶ vi, v× c¸c
®¹o hµm riªng cña nã kh«ng tån t¹i. ThËt vËy:
2
3
f
0(
x
f
)0,0(
lim x 0
z x
)0, x
x x
T¬ng tù:
(t¹i ®iÓm (0,0))
z y
d
(ln
z
)
Chó ý: BiÓu thøc
gäi lµ vi ph©n l«garit cña hµm
dz z
z
yxf ,(
)
)
)
(ln
Z
Ta cã:
d
)
dx
dy
(10)
(ln Z x
(ln Z y
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.1.3. øng dông vi ph©n toµn phÇn ®Ó tÝnh gÇn ®óng
Z
dZ
C«ng thøc:
y
x
( xf
, yx
y
)
(
)
)
(
f
f
,
(
' x
, yx 0
0
yxf 0
0
' y
, yx 0
0
0
0
Hay (11) )
C¸ch gi¶i:
z
yxf ,(
)
,( fA )
Tõ trÞ sè
cÇn tÝnh, suy ra d¹ng cña
x , y
f
(
)
,
xf (
yx ,
y
)
)
ViÕt
sao cho
dÔ tÝnh vµ
0
0
0 yxf ( ,
0
cµng nhá cµng tèt.
(
)
,
)
)
- TÝnh
;
;
f y
0 yx ,
0
0 yxf x (
0
0 yxf , (
0
- Thay vµo c«ng thøc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
01,3)02,1(
VÝ dô: H·y tÝnh gÇn ®óng
)01,3
02,1(f
z
yxf ,(
)
yx
,
Gi¶i: XÐt hµm
sè cÇn tÝnh lµ
;
.
f
02,01(
02,1(f
)01,03
)01,3
Ph©n tÝch
;
=
;
x
,02,0
y
01,0
x
3
Trong ®ã
;
0
y ,1 0
y
1
1.3)3,1(
2
3
)
yx
TÝnh
xf
yxf ,( x
y
3
)
x
ln
x
01ln1)3,1(
yxf ,( y
yf
(
,
f
1)3,1(
yxf 0
0
01,3
)02,1(
02,0.31
01,0.0
06,1
VËy:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.1.4. §¹o hµm hµm hîp
x
vuf ),(
Cho hµm
, trong ®ã u,v lµ nh÷ng hµm cña hai biÕn
v
yxv ,(
)
uyx : ,
yxu ,(
)
®éc lËp
;
. Khi Êy ta nãi r»ng z lµ mét hµm
vu,
z
,(
,(
hîp cña x, y th«ng qua hai biÕn trung gian
;
yxvyxuf ),
)
vu,
vuf ),(
NÕu
kh¶ vi vµ nÕu
cã c¸c ®¹o hµm riªng
,
,
,
,
liªn tôc th× tån t¹i c¸c ®¹o hµm riªng
vµ ta cã:
u x
u y
v x
v y
z x
z y
.
.
(12)
.
.
z x z y
z u z u
u x u y
z v z v
v x v y
v
x
y
u
xy
z
e
u sin
v
VÝ dô:
,
,
.
u
u
xy
e
e
v
sin
yv .
cos
cos(
sin(
y
x
y
e
y
x
)
)
TÝnh:
xy
u
u
cos(
sin(
cos
sin
xv .
y
x
x
e
v
e
e
y
x
)
)
z x z y Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.1.5. §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao
z
yxf ,(
)
1) §¹o hµm cÊp cao: Cho hµm hai biÕn
. C¸c ®¹o
z
hµm riªng
gäi lµ c¸c ®¹o hµm riªng cÊp 1. Chóng lµ
, x z
y
nh÷ng hµm cña x vµ y vµ cã thÓ cã c¸c ®¹o hµm riªng. C¸c ®¹o
hµm riªng cña ®¹o hµm riªng cÊp 1 gäi lµ nh÷ng ®¹o hµm riªng cÊp 2 cña z . Ta cã 4 ®¹o hµm riªng cÊp hai.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
yx ,(
:)
c¶ hai lÇn ®Òu lÊy ®¹o hµm riªng víi x.
xx f
f 2
x
f x
x
2
yx ,(
:)
lÇn ®Çu lÊy ®¹o hµm riªng ®èi víi x, lÇn
xy f
y
f x
f yx
hai lÊy ®¹o hµm riªng ®èi víi y.
2
yx ,(
:)
lÇn ®Çu lÊy ®¹o hµm riªng ®èi víi y, lÇn
yx f
x
f y
f xy
hai lÊy ®¹o hµm riªng ®èi víi x.
2
yx ,(
:)
c¶ hai lÇn ®Òu lÊy ®¹o hµm riªng víi y.
yy f
y
f y
f yy
yx ,(
)
yx ,(
)
Ngêi ta cßn gäi
lµ ®¹o hµm vu«ng theo x,
lµ
f yy
f xx
yx
)
,(''
yx
)
®¹o hµm vu«ng theo y vµ gäi
,
lµ c¸c ®¹o hµm
,('' f xy
f yx
ch÷ nhËt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: Vi ph©n toµn phÇn cña hµm hai biÕn còng cã d¹ng
bÊt biÕn.
z
yxf ,(
)
y
)(x
XÐt hµm
, trong ®ã y lµ hµm cña x;
. Khi Êy
Z
xf ,[
(
x
)].
z trë thµnh hµm cña mét biÕnx
§¹o hµm
gäi lµ
dz dx
.
®¹o hµm toµn phÇn cña z ®èi víi x, vµ: (13)
dz dx
z x
z y
dy dx
2
z
3 x
y
y
sin
x
VÝ dô:
,
1
2
2
3
x
sin2.
x
cos
x
3
x
Khi ®ã:
dz dx
2sin sin2
x x
2
y
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
5
z
32
yx
y
VÝ dô:
2
2
3
3
4
2
2
4
3 yx
5
y
4
x
20
y
26
yx
12xy
;
;
;
z 2
z 2
z y
z x
y
x
2
2
2
2
12
2 yx
12
2 yx
;
z xy
z yx
z yx
z xy
§Þnh lý Svac (Schwarts): NÕu trong 1 l©n cËn nµo ®ã cña ®iÓm
f
yx ,(
);
f
yx ,(
)
z
yxf ,(
)
(
)
hµm
cã c¸c ®¹o hµm ch÷ nhËt
vµ
'' xy
'' yx
0 yx ,
0
(
)
f
(
)
f
(
)
nÕu c¸c ®¹o hµm Êy liªn tôc t¹i
th×
0 yx ,
0
'' xy
yx , 0
0
'' yx
yx , 0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
z
yxf ,(
)
2) Vi ph©n toµn phÇn cÊp cao XÐt hµm
. Vi ph©n
dz
dx
dy
toµn phÇn cña nã
nÕu tån t¹i còng lµ mét hµm sè
z x
z y
cña x, y. NÕu dz l¹i cã vi ph©n toµn phÇn, ta gäi vi ph©n toµn
z
yxf ,(
)
phÇn ®ã lµ vi ph©n toµn phÇn cÊp hai cña hµm
, ký
zd 2
hiÖu
.
2 zd
( dzd
)
d
dx
dy
VËy
; Gi¶ thiÕt thªm r»ng c¸c ®¹o hµm
z x
z y
ch÷ nhËt cña z liªn tôc, ta cã:
2
2
2
2
2
(14)
2 zd
dx
2
dxdy
dy
z 2
z 2
z yx
y
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
z
e
x sin
y
VÝ dô:
2
e
x cos
y
e
x sin
y
e
x sin
y
z 2
z y
z x
x
2
2
e
x sin
y
e
x cos
y
Ta cã: , , ,
z 2
z yx
y
2
2
(sin
ydx
2
cos
ydxdy
sin
ydy
)
zd
2
xe
,
VËy:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.2. Cùc trÞ cña hµm hai biÕn
5.2.2.1 Cùc trÞ
z
yxf ,(
)
Cho hµm
x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trong mét miÒn G
yxM (
,
)
nµo ®ã chøa ®iÓm
0
0
0
§Þnh nghÜa:
yxf ,(
)
yxM (
,
)
- Hµm
®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm
nÕu trong 1 l©n
0
0
0
yxf ,(
)
)
cËn nµo ®ã cña ®iÓm Êy ta cã
.
0 yxf ( ,
0
yxf ,(
)
yxM (
,
)
- Hµm
®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm
nÕu trong 1 l©n
0
0
0
yxf ,(
)
)
cËn nµo ®ã cña ®iÓm Êy ta cã
.
0 yxf ( ,
0
yxf ,(
)
C¸c cùc t¹i vµ cùc tiÓu cña hµm
®îc gäi chung lµ
nh÷ng cùc trÞ cña nã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
z
yxf ,(
)
yxM (
,
)
§Þnh lý: NÕu hµm
®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm
mµ
0
0
0
,
),
f
(
)
t¹i ®ã tån t¹i c¸c ®¹o hµm riªng (h÷u h¹n)
th×
yxf ( x 0
0
y
yx , 0
0
c¸c ®¹o hµm riªng Êy ph¶i b»ng 0.
Chó ý: C¸c ®iÓm mµ t¹i ®ã c¶ hai ®¹o hµm riªng ®Òu triÖt
tiªu, hoÆc Ýt nhÊt mét trong hai ®¹o hµm riªng kh«ng tån t¹i gäi
lµ c¸c ®iÓm tíi h¹n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Qui t¾c t×m cùc trÞ: Gi¶ sö trong mét miÒn nµo ®ã chøa
yxf ,(
)
yxM (
,
)
®iÓm
hµm
cã c¸c ®¹o hµm riªng liªn tôc tíi cÊp
0
0
0
yxf ,(
)
yxM (
,
)
hai, cßn
lµ ®iÓm tíi h¹n cña
, nghÜa lµ
0
0
0
(
0)
,
0)
,
.
f y
yx , 0
0
yxf x (
0
0
,(''
) Cyx
,(''
yx
)
A
2 B
AC
yx
)
B
§Æt
;
,
vµ
f yy
f xx
,('' f xy
yxM (
,
)
NÕu: 0 vµ A 0 th× hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i
0
0
0
yxM (
,
)
0 vµ A > 0 th× hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i
0
0
0
yxM (
,
)
0 th× hµm sè kh«ng cã cùc trÞ t¹i ®iÓm
0
0
0
= 0 th× cha kÕt luËn ®îc, cÇn xÐt thªm
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
3
3
z
x
y
3
xy
VÝ dô: T×m cùc trÞ cña hµm
2
x
x
3
y
0
Gi¶i: T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n
2
y
3
x
0
yxf ,( f yx ,(
0) 0)
y
3 3
Ta cã hai ®iÓm tíi h¹n lµ
;
)0,0(2M
)1,1(1M
6
y
6
x
- TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng cÊp hai
;
,
'' z yy
'' xyz 3
'' z xx
- XÐt dÊu t¹i c¸c ®iÓm tíi h¹n.
2
M
:)1,1(
B
AC
9
36
0
06 A
T¹i
,
nªn hµm ®¹t
1
yxf ,(
)
f
)1,1(
1
cùc tiÓu t¹i
1M vµ Min
2
M
:)0,0(
B
AC
09
T¹i
Hµm kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i
2
)0,0(2M
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.2.2. Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn
yxf ,(
z
)
XÐt hµm
x¸c ®Þnh trong miÒn G. Ta xÐt trêng hîp x, y kh«ng biÕn thiªn ®éc lËp mµ bÞ rµng buéc bëi mét ®iÒu kiÖn
yxM ,(
)
yx
,(
)
0
nµo ®ã, ch¼ng h¹n
. Tøc lµ ®iÓm
kh«ng ch¹y tïy ý
trong miÒn G, mµ chØ ®îc ch¹y trªn mét ®êng cong C nµo ®ã
yx
,(
0)
yxf ,(
)
cã ph¬ng tr×nh
. C¸c cùc trÞ cña hµm
bÞ rµng
buéc bëi ®iÒu kiÖn trªn ®îc gäi lµ nh÷ng cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn.
yxf ,(
)
yx
,(
)
0
Nãi c¸ch kh¸c, cùc trÞ cña hµm
víi ®iÒu kiÖn
,
)
lµ trÞ cña hµm ®ã t¹i mét ®iÓm
nµo ®ã thuéc ®êng
yxP ( 0 0
0
yxf ,(
)
cong C, lín h¬n hay bÐ h¬n mäi trÞ cña
øng víi nh÷ng
®iÓm cña ®êng C thuéc mét miÒn l©n cËn nµo ®ã cña 0P
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
)(xy
yx
0)
,(
C¸ch gi¶i trong trêng hîp ®¬n gi¶n: Tõ
z
xyxf ,[
(
)]
lµ hµm cña biÕn x. Ta ®îc hµm
cña mét biÕn x, vµ
z
xyxf ,[
(
)]
®a vÒ t×m cùc trÞ cña hµm mét biÕn
z
xy
x
1 y
VÝ dô: T×m cùc trÞ cña hµm
víi
2
x
1 y
y
1
x
z
x
1(
x
)
x
x
Gi¶i: Tõ lµ hµm cña
x
21
x
0
biÕn x x¸c ®Þnh víi mäi x.
z x
1 2
''
x
02
TÝnh lµ ®iÓm tíi h¹n
MaxZ
Z
xxz
)2/1(
1 2
1 4
, hµm ®¹t cùc ®¹i t¹i vµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
5.2.3.3. Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm trong mét miÒn ®ãng
),( yxfz
Hµm
liªn tôc vµ x¸c ®Þnh trong miÒn ®ãng vµ giíi
néi G, cã thÓ ®¹t Ýt nhÊt mét lÇn trÞ lín nhÊt vµ trÞ bÐ nhÊt cña
nã trong miÒn ®ã.
z
),( yxf
Qui t¾c: Muèn t×m trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm
trong
miÒn ®ãng G, ta chØ viÖc t×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm tíi h¹n n»m trong
miÒn G. TÝnh trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm Êy vµ so s¸nh chóng víi
nh÷ng trÞ cña hµm trªn biªn cña miÒn G.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
C¸c bíc tiÕn hµnh:
yx
0)
Gi¶i hÖ
f x ,('
yx
0)
f y ,('
- T×m nh÷ng ®iÓm tíi h¹n n»m trong miÒn G.
- TÝnh trÞ cña hµm t¹i ®ã.
- T×m trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm trªn biªn cña miÒn G
(cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn).
- So s¸nh trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm tíi h¹n víi trÞ lín nhÊt vµ
bÐ nhÊt trªn biªn cña miÒn G. KÕt luËn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: T×m trÞ lín nhÊt, bÐ nhÊt cña hµm:
2
2
z
,( yxf
)
x
y
xy
x
y
0y
x
3 y
0x
trong miÒn G x¸c ®Þnh bëi:
;
;
Gi¶i: VÏ miÒn G: lµ ®ãng OAB (h×nh vÏ)
xf '
0
- T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n trong miÒn G
yf '
0
x y
1 1
2 2
x y
01 01
y x
M
)1,1(
G
f
)1,1(
1
§iÓm tíi h¹n vµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
x
02
x 2
01
Trªn OA: y = 0, -3 < x < 0, Z = x2 + x lµ hµm cña 1 biÕn x
'' xxz
' z x
1 2
1 2
MinZ
Z
f
0.
nªn: ; T¹i hµm z ®¹t
1 2
1 2
1 4
cùc tiÓu vµ
y 2
01
02
y
y
Trªn OB: x = 0, -3 < y < 0, Z = y2 + y lµ hµm cña 1 biÕn y nªn
' z y
'' yyz
1 2
1 2
MinZ
Z
f
,0
, T¹i hµm z ®¹t
1 2
1 2
1 4
y
3
x
x
3 y
z
3 2 x
9
x
6
cùc tiÓu vµ
3
x
0
Trªn AB ta cã: lµ hµm
cña mét biÕn x, xÐt víi ®iÒu kiÖn:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
6
0
)0;3(
6
x
09
'' xxz
z x
3 2
3
MinZ
Z
f
,
Ta cã ; ,
hµm Z ®¹t cùc tiÓu vµ
2
3 2
3 2
3 4
3 2
f
0)0,0(
)0,0(
t¹i x =
)0,3(
f
)3,0(
6
f
)0,3(
6
C¸c ®iÓm 0, A, B biªn cña G: T¹i O
)3,0(
T¹i A ; T¹i B
So s¸nh c¸c trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm ®· xÐt trªn, ta thÊy:
6LNf
M
)1,1(
Hµm ®¹t trÞ lín nhÊt t¹i A(-3,0) vµ B (0, -3) vµ
1NNf
Hµm ®¹t trÞ nhá nhÊt t¹i vµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng VI
PhÐp tÝnh tÝch ph©n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1. TÝch ph©n bÊt ®Þnh
6.1.1. §Þnh nghÜa - TÝnh chÊt
6.1.1.1. Nguyªn hµm
)(xF
)(xf
Hµm
®îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm
trong mét
)( xF
xf )(
kho¶ng nµo ®ã nÕu t¹i mäi ®iÓm cña kho¶ng Êy ta ®Òu cã
x
x
VÝ dô:
sin lµ nguyªn hµm cña
cos tr ªn toµn R
(sin
x
)
cos
x
v×
, x R.
2 x
6
, trong ®ã C lµ h»ng sè tïy ý, lµ nguyªn hµm cña 2x trªn
( 2 x
)6
2
x
toµn R v×
,víi mäi x R .
)(xF
)(xf
xF
)(
C
- NÕu
lµ nguyªn hµm cña hµm
th×
, víi C lµ
)(xf
mét h»ng sè tuú ý còng lµ mét nguyªn hµm cña
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh lý 1: Mäi hµm liªn tôc trªn mét ®o¹n nµo ®ã ®Òu cã
nguyªn hµm trªn ®o¹n Êy.
§Þnh lý 2: NÕu trong mét kho¶ng nµo ®ã hµm )(xf
cã nguyªn
hµm lµ hµm )(xF
th× trong kho¶ng Êy:
)( CxF
)(xf
- Hµm
, víi C lµ h»ng sè tuú ý, còng lµ mét nguyªn hµm cña
.
)(xf
)( CxF
- Mäi nguyªn hµm cña
®Òu cã d¹ng
, víi C lµ mét h»ng sè.
Chó ý: NÕu mét hµm cã mét nguyªn hµm th× nã cã v« sè
nguyªn hµm vµ c¸c nguyªn hµm ®ã sai kh¸c nhau mét h»ng sè
céng. §å thÞ cña c¸c nguyªn hµm Êy suy tõ c¸i nµy sang c¸i kia
b»ng mét phÐp tịnh tiÕn song song víi trôc Ox.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1.1. 2. §Þnh nghÜa tÝch ph©n bÊt ®Þnh
)(xF
)(xf
)( CxF
NÕu
lµ mét nguyªn hµm cña
th× biÓu thøc
, trong
)(xf
®ã C lµ mét trong sè tuú ý, ®îc gäi lµ tÝch ph©n bÊt ®Þnh cña hµm
)( xf
dx
)( CxF
Ký hiÖu:
)(xf
lµ hµm díi dÊu tÝch ph©n,
DÊu ®îc gäi lµ dÊu tÝch ph©n,
)( xf
dx
lµ biÓu thøc díi dÊu tÝch ph©n vµ xlµ biÕn tÝch ph©n.
2
2
xdx
x
c
sin
xdx
cos
x
c
VÝ dô:
,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1.1.3. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n bÊt ®Þnh.
dxxf )(
xf )(
)( xf
dx
)( dxxfd
TÝnh chÊt 1:
ThËt vËy: Tõ (1) ta cã:
)( dxxf
C
)( xF
)( xf
d
)( dxxf
)( dxxf
)( xF
)(xF
)(xf
TÝnh chÊt 2: Gi¶ sö
cã ®¹o hµm lµ
th×:
dF
)( x
)( CxF
dF
)( x
)( dxxf
dF
)( x
)( xf
dx
)( CxF
ThËt vËy:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)( xCf
dx
)( xfC
dx
TÝnh chÊt 3: Víi C lµ h»ng sè th×:
)(xf
)(xg
)(xh
TÝnh chÊt 4: NÕu hµm
,
,
®Òu cã nguyªn hµm th×:
)( xf
)( xg
)( xh
)( dxxf
)( xg
dx
)( xh
dx
dx
U
)(x
)( xf
dx
)( CxF
vµ
th×:
TÝnh chÊt 5: NÕu cã
)( duuf
)( uF
C
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1.1.4. B¶ng tÝch ph©n c¬ b¶n
dx0
c
adx
ax
c
1. 2.
1
c (;
)1
x
dx
3.
x
1
dx
ln
x
c
4.
)( xf xf )(
)( xf
x
ln
x
c
a)
dx x
)( xf
cos
x
tgxdx
ln
cos
x
c
b)
)( xf
sin
x
cot
gxdx
ln
sin
x
c
c)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
2
)( xf
c
5.
)( xf xf )(
sin
xdx
cos
x
c
6.
cos
xdx
sin
x
c
7.
X
x
dxa
c
(
a
a ;0
_)1
;
8.
a ln
a
x
x
ea
e
dx
e
c
§Æc biÖt:
tgx
c
9.
dx 2 cos
x
cot
gx
c
10.
dx sin 2
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
arctg
c
2
2
11.
1 a
x a
dx
a
x
arctgx
c
2
11':
dx x
1
arcsin
c
12.
dx 2
2
x a
a
x
dx
arcsin
x
c
2
12':
1
x
ln
c
13.
2
2
dx
a
x
1 a 2
x a ax
dx
2
ln
x
x
b
c
2
14.
x
b
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
2
2
x
dxb
x
b
ln
x
x
b
c
15.
x 2
b 2
2
2
2
2
a
2 x
dx
a
x
arcsin
c
16.
a 2
x a
x 2
ln
tg
c
17.
x 2
dx sin x
ln
tg
c
18.
dx cos
x
x 2
4
ln
c
2
2
19.
dx
x
a
1 2 a
ax ax
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1.2. C¸c ph¬ng ph¸p tÝch ph©n bÊt ®Þnh.
6.1.2.1. Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch
Trong nhiÒu bµi to¸n tÝch ph©n, nhiÒu khi chØ cÇn ph©n tÝch,
biÕn ®æi ®¹i sè, biÕn ®æi lîng gi¸c... ®a hµm sè díi dÊu tÝch ph©n
vÒ d¹ng tæng c¸c hµm sè ®¬n gi¶n ®Ó ¸p dông c«ng thøc c¬ b¶n.
Ta thêng gÆp c¸c c«ng thøc lµ trêng hîp riªng cña tÝnh chÊt 5.
)( xf
dx
)( xF
c
th×:
NÕu
f
(
ax
)
dx
f
(
() axdax
)
( axF
)
c
1.
1 a
1 a
f
(
ax
) dxb
f
(
ax
() axdb
b
)
( axF
b
)
c
2.
1 a
1 a
dxbxf
)
(
() bxdbxf
(
)
bxF
(
)
c
3.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
2
2
4
2
3
x
2
x
dx
x
4
x
4
x
2
x
4
dx
1)
1 x
1 2 x
5
3
4
2
x
x
x
x
4
x
c
4 3
1 x
1 5
cot
2 xg
c
2)
2
2
dx 2
x
1 2
d sin
)2( x 2 x
sin
1 2
HoÆc biÕn ®æi:
2
2
dx
dx
dx
2
1 2 sin
2
x
1 4
cos sin
sin x 2 cos . x
x x
dx 2 sin
x
1 4
1 2 cos
x
1 4
1 2 sin
x
( tgx
cot
g
)
c
1 4
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1.2.2 Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn
x
)(t
§Æt
; trong ®ã
)(t lµ mét hµm kh¶ vi, ®¬n ®iÖu ®èi víi biÕn t.
Khi ®ã ta cã c«ng thøc ®æi biÕn:
)( xf
dx
f
dt
)( . )( t
t
t
)(x
§Æt
)(t lµ hµm kh¶ vi. Khi ®ã ta
dx
f
f
)( t
dt
, trong ®ã t lµ biÕn míi vµ .)( )( x x
cã:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: §æi biÕn tÝch ph©n kh«ng x¸c ®Þnh (bÊt ®Þnh), sau khi tÝnh
tÝch ph©n ph¶i ®æi trë vÒ biÕn ban ®Çu.
NÕu tÝch ph©n chøa d¹ng:
2
x
a
cos
t
x
sin. a
t
2 x
dx
1.
§Æt
hoÆc
a
2
x
2
dxa
2.
§Æt
x
a cos
t
2
x
atgt
2
dxa
3.
§Æt
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
x
1) I =
dx x
1
arctg x
1
t
arctg
x
dt
.
§Æt
dx 1 x
2
x
1
t
arctg
x
dt
.
§Æt
dx 1 x
2
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
2) I=
x 2
x
x
sin 2
t
dx
sin2.2
t
cos
tdt
§Æt
2
I
4
sin
dt
cos
)2 t
dt
2 t
2sin t
c
1(2
t
arcsin
sin
t
1,
cos
t
Trë vÒ biÕn x ban ®Çu ta cã:
x 2
x 2
x 2
2
2
dx
2
arcsin
2
x
x
c
t 2sin
2
x
x
VËy
x
2
x
x 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
2
x
a
dx
I
3) I=
x
x
dx
dt
§Æt:
2
a cos
t
sin a cos
t t
2
2
1
t
I
a
.
dt
a
dt
a
dt
atgt
at
c
2
sin a 2 cos
t t
sin cos
t t
cos
cos 2 t
tgt a cos
t
2
2
d
arccos
tgt
x
a
Trë vÒ trªn x ban ®Çu ta cã:
,
a x
2
2
x
a
2
2
arccos
C
dx
xa
a
a
VËy
a x
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.1.2.3. Ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
)(xUU
)(xVV
)(xUU
Gi¶ sö
vµ
cã c¸c ®¹o hµm liªn tôc
,
V
)(xV
. Khi ®ã ta cã c«ng thøc:
. dvu
. vu
. duv
)( dxxf
NÕu
cã thÓ viÕt díi d¹ng udv th× thêng dïng c«ng
thøc tÝch ph©n tõng phÇn ®Ó tÝnh.
)(xp
Gäi
lµ ®a thøc, c¸c d¹ng tÝch ph©n tõng phÇn thêng gÆp.
u
)(xp
xp
sin)(
cos
xdx ,
)( xp
cos
axdx
x)( axp
dx
§Æt
,
1)
dv
)(
dxxp
)( xp
arcsin
xdx
xp )(
arctgxdx
xp
log)(
xdx
§Æt
a
;
;
2)
a x sin
xdx
cos a x
xdx
§Æt tïy ý
;
3)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
2
x arcsin
xdx
1) I=
dx
2
3
u
arcsin
x
du
dv
x
dx
v
x
Gi¶i: §Æt:
,
.
2
1 3
1
x
3 dxx
3
3
I
x
arcsin
x
.
I
x
arcsin
x
VËy:
1
2
1 3
1 3
1 3
1 3
1
x
3
dxx
I
.
víi
1
2
1 x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
d 1(
2 x
2
u
du
x
2
xdx
;
dv 1
TÝnh 1I §Æt
1
1
xdx 2 x
1
12
) 2 x
2
2
2
2
2
2
2
I
x
1
x
x
2
x
1
dx
x
v 1 x 1
2 dx
1(
x
)
1
1 x 1
2
2
x
1
x
1(.
x
32 )
c
2 3
2
3
2
2
x
arcsin
xdx
x
arcsin
x
x
1
x
1(
x
32 )
c
VËy
2 3
1 3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x3
2
I
ex
dx
2)
2
u
du
x
2
xdx
§Æt:
;
v
3 xe
dv
x3 e
dx
1 3
3
x
I
2 ex
x
e x3
dx
e x3
dx
I 1
; §Æt
.
x
1 3
2 3
x
dx
TÝnh 1I . §Æt
u 1
du 1
3
x
3
x
e
dx
e
dv 1
v 1
1 3
3
x
3
x
x
x
e
e
c
e x3
dx
3 xe
1 I
1 3
1 3
1 9
1 3
x
3
3
x
2
3
x
3
x
2
I
ex
xe
e
x
6
x
2
c
VËy
9
2 3
1 3
e 27
1 3
c
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
e x sin
xdx
I
3)
x
x
u
du
e
e
dx
§Æt
dv
sin
xdx
v
cos
x
x
x
x
e
sin
xdx
e
cos
x
e
cos
xdx
e x
cos
xdx
I 1
. §Æt
x
x
coxdx
sin
x
u
du
e
e
dx
§Æt
;
1
1
dv 1
v 1
x
x
e
sin
x
e
sin
xdx
I 1
x
x
x
x
e
sin
xdx
e
cos
x
e
sin
x
e
sin
xdx
VËy
x
x
e
sin
xdx
e
(sin
x
cos
x
)
c
.
1 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.2. TÝch ph©n ®¬n gi¶n chøa tam thøc bËc hai
Khi tÝnh tÝch ph©n ph©n thøc h÷u tû thùc sù víi mÉu lµ tam thøc
bËc 2, nÕu mÉu cã nghiÖm thùc th× ®a vÒ ph©n thøc ®¬n gi¶n.
Ch¼ng h¹n:
3 x
1
x
1
1 x
2
3
x 2 x
3
2
x
NÕu mÉu kh«ng cã nghiÖm thùc sù, víi nh÷ng d¹ng cô thÓ ta cã
c¸ch lµm riªng.
dx
ax 2
bx
c
dx
dx
dx
2
6.2.1. D¹ng
2
hoÆc
hoÆc
dx bx
c
ax
ax
bx
c
BiÕn ®æi tam thøc bËc hai vÒ tæng hoÆc hiÖu c¸c b×nh ph¬ng, sau
®ã dïng c«ng thøc tÝch ph©n c¬ b¶n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
dx
hoÆc
2
6.2.2. D¹ng
Ax 2
bx
B
a
c
BA bx
ax
c
BiÕn ®æi thµnh 2 tÝch ph©n sao cho: mét tÝch ph©n cã tö lµ ®¹o
hµm cña tam thøc bËc hai, mét tÝch ph©n cã tö lµ h»ng sè (d¹ng 1).
I
VÝ dô TÝnh
( x 2 x
)4 2 x
dx 3
I
dx
dx
Gi¶i:
2
2
2
3
1 2
1 2
x 2( x
6)2 x 2 3
2( x
x
2
)2 x
3
dx 2
x
x
3
dx
dx
2
ln
x
x
2
x
3
c
TÝnh
2
2
x
2
x
3
(
x
)1
4
2
2
x
2
x
ln33
x
x
2
x
3
c
VËy
2
1 2
( x x
)4 dx 2 x
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
6.2.3. D¹ng
2
(
Ax
B
)
ax
bx
c
Ax
B
Dïng phÐp biÕn ®æi
®a vÒ d¹ng 1)
1 y
(
Ax
) dxB
6.2.4 D¹ng
2
( )
x
ax
bx
c
)(x
T¸ch thµnh tæng hai tÝch ph©n, mét tÝch ph©n cã tö lµ
,
mét tÝch ph©n cã tö lµ h»ng sè.
2(
x
)1
dx
I
VÝ dô: TÝnh
2
(
x
)1
x
3
x
3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
(2
x
dx
3
I
dx
2
Gi¶i:
2
3)1 2
2
x
3
x
3
(
x
)1
x
3
x
3
3
x
3
(
x
)1
x
2
dx
dx
I
ln
x
x
1
c 1
§Æt
2
2
3 2
3 2
3 4
x
3
x
3
x
3 2
3 4
dx
I
x
dx
1
dy
2
TÝnh
, ®Æt
2
1 y
1 2 y
(
x
)1
x
3
x
3
dy
dy
dy
1 2 y
I
2
VËy:
2
2
1
y
y
y
1
3
1 y
1 2 y
1 y
1 y
1 y
1
1
dy
2
ln
y
y
1
y
c
2
2
3 1 2
y
1 2
3 4
2
2
3
x
I
ln2
x
x
ln3
c
Do ®ã:
3 2
3 2
3 4
1
x
1
1 2
x
3 x 1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.3. TÝch ph©n c¸c hµm lîng gi¸c
6.3.1.Ph¬ng ph¸p chung
tg
t
R
(sin
x
,
cos
x
)
dx
§Æt
TÝnh
x 2
2
sin
x
cos
x
x 2
arctgt
dx
Khi ®ã:
,
,
,
2
2
2
1 1
t t
t 2 t
1
dt 2 t 1
I
VÝ dô: TÝnh
dx 3
sin4
x
cos
x
5
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
t
tg
Gi¶i: §Æt
, ta cã:
x 2
2
1
I
2
c
2
2
2
1
t
2
2 t
dt 8 t
( t
8
dt
)2
3
4
5
2
2
2 dt t 1 1
2 t t
1
t t
c
VËy
dx 3
sin4
x
cos
x
5
tg
2
1 x 2
Chó ý: Trong mét sè trêng hîp ®Æc biÖt, ta cã thÓ ®i ®Õn kÕt qu¶
nhanh h¬n b»ng c¸c phÐp biÕn ®æi thÝch hîp. Trong c¸c trêng hîp
®ã ph¬ng ph¸p chung nãi trªn cã thÓ ®a ®Õn tÝch ph©n cña c¸c
hµm h÷u tØ phøc t¹p.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.3.2. Mét sè trêng hîp ®Æc biÖt
R
(sin
x
,
cos
x
)
dx
1) TÝch ph©n d¹ng:
R
(sin
x
,
cos
x
)
t
tgx
cos
x
NÕu
lµ mét hµm ch½n ®èi víi
sin vµ x
, ta ®Æt
t
1
dx
sin
x
cos
x
x
arctgt
Khi ®ã
,
,
,
2
2
2
dt 1 t
1
t
1
t
R
(sin
x
,
cos
x
)
cos
x
t
sin
x
NÕu
lµ hµm lÎ ®èi víi
, ta ®Æt
R
(sin
x
,
cos
x
)
x
t
cos
x
NÕu
lµ hµm lÎ ®èi víi
sin , ta ®Æt
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
3
sin
x
dx
I
1)
x cos
sin x 2
sin x
Hµm díi dÊu lÎ víi
cos
x
dt
t
sin
xdx
§Æt
2
2
2
)
)
dt
I
dx
dt
2
2
x sin 1( 2 cos 2
sin x
x 1
cos 2
xd 2 cos
x (cos 1 x
t 2 t
dt
1
1 2
1 4
t
1 2
t
t
ln
c
t
ln
c
1 2
2 8
1 2
2 8
t t
12 12
t
1 2 1 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
I
2
2
2)
sin
x
sin
3
cos
x
dx 2 x
cos x
Hµm díi dÊu ch½n víi c¶
1
tgx
dx
t
sin
x
cos
x
§Æt
,
;
2
2
2
sin vµ x t
1
t
1
t
dt
2
dt
1
I
VËy:
2
2
2
1 2
1 2
t
t
t
2
2
2
3 2
dt 1 t 1 t 2 t t
1
3 t
1
t 2 1
t
dt 1 2
5 4
t
2 t
1
1
1
arctg
c
arctg
c
5
5
5
1 2 5 2
2 tgx
1
arctg
c
2
2
VËy
5
sin2
x
x
3
cos
x
dx 2sin
1 5
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
nm,
sin
m cos x
xdx
;
lµ nh÷ng sè nguyªn.
2) TÝch ph©n d¹ng
cos
x
t
sin
x
t
- NÕu m lÎ, ta ®Æt
; n lÎ, ta ®Æt
- NÕu c¶ m vµ n ®Òu ch½n, vµ Ýt nhÊt mét trong hai sè ®ã ©m, ta ®Æt
tgx t
- NÕu m vµ n ®Òu ch½n d¬ng, ta dïng c¸c c«ng thøc gãc nh©n ®«i
®Ó h¹ bËc:
sin 2
x
1(
cos
x )2
cos 2
x
1(
cos
x )2
sin
x
cos
x
2sin
x
;
;
1 2
1 2
1 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
3
I
dx
1)
4
cos sin
x x
sin
x
t
3n
dt
cos
xdx
lÎ, ®Æt
2
2
2
cos
xdx
1(
sin
xdx
)
)
dt
1(
I
c
4
4
4
3
. x sin
cos x
x sin
cos x
t t
1 t 3
1 t
I
c
VËy
3
1 sin
x
1 sin3
x
2
2
I
dx
.
.
2)
6
2
sin cos
x x
sin cos
x x
1 2 cos
dx 2 cos
x
x
dt
§Æt
tgx t
dx 2 cos
x
3
5
3
5
x
x
2
2
I
c
I
t
1(
t
).
dt
c
VËy
tg 3
tg 5
t 3
t 5
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
sin
ax sin
bxdx
sin
ax cos
bxdx
cos
ax cos
bxdx
,
3) TÝch ph©n d¹ng
,
Dïng c¸c c«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng
cos
ax
cos
bx
a
) xb
cos(
a
cos(
xb )
1 2
sin
ax
sin
bx
a
) xb
cos(
a
cos(
xb )
1 2
sin
ax
cos
bx
a
) xb
sin(
a
sin(
xb )
1 2
2sin
x
cos
5
xdx
(sin
7
x
)3sin
dxx
VÝ dô: TÝnh tÝch ph©n:
1 2
7sin
xdx
3sin
xdx
cos
7
x
cos
3
x
c
1 2
1 2
1 14
1 6
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.4. TÝch ph©n x¸c ®Þnh
6.4.1. §Þnh nghÜa
Cho hµm
x
b
a
x
ba, , chia tïy ý ®o¹n ..... x
ba, . §Æt
1
2
0
0
x
x
)(xf thµnh n ®o¹n nhá bëi c¸c ®iÓm , vµ trªn mçi ®o¹n
x i
x 1 i
i
x¸c ®Þnh trªn ®o¹n x i
x ,1
i
ta lÊy mét ®iÓm itïy ý
n
(
i
3,2,1
,....,
n
)
I
f
( i
)
x
. LËp tæng:
.
n
i
i
1
)(xf
ba,
trªn
. Cho sè ®iÓm chia
nI gäi lµ tæng tÝch ph©n cña hµm
0
(
n
)
t¨ng lªn v« h¹n
sao cho
; nÕu trong qu¸ tr×nh ®ã
max ix
nI dÇn tíi mét giíi h¹n x¸c ®Þnh I kh«ng phô thuéc vµo c¸ch
ba,
vµ c¸ch lÊy ®iÓm
mµ chia ®o¹n
i th× ta gäi I lµ tÝch ph©n x¸c ®Þnh
a
],[ ba
)( dxxf
)(xf
cña hµm
trªn ®o¹n
Ký hiÖu:
b
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NghÜa lµ:
a
n
)( dxxf
f
)
x
( i
i
lim x 0
i
1
b
)(xf
Khi ®ã hµm
lµ
®îc gäi lµ kh¶ tÝch trªn ®o¹n
ba,
,
ba,
kho¶ng lÊy tÝch ph©n, a lµ cËn díi, b lµ cËn trªn cña tÝch ph©n, x lµ
biÕn tÝch ph©n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b
)( dxxf
)(xf
(nÕu cã) chØ phô thuéc vµo hµm
Chó ý: TÝch ph©n
a
díi dÊu tÝch ph©n vµ c¸c cËn a vµ b mµ kh«ng phô thuéc vµo biÕn
tÝch ph©n.
b
b
NghÜa lµ:
)( xf
dx
f
)( t
dt
a
a
- Khi ®Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh, ta gi¶ thiÕt
ba , nÕu
ab ta ®Þnh
a
b
)( xf
dx
)( xf
dx
nghÜa:
b
a
b
a
)( dxxf
)( dxxf
0
Vµ khi
b th× a
a
a
b
S
)( dxxf
(C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch h×nh thang cong)
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.4.2. §Þnh lý vÒ sù tån t¹i cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh
],[ ba
)(xf
§Þnh lý: NÕu hµm
liªn tôc trªn ®o¹n
th× nã kh¶ tÝch
trªn ®o¹n ®ã.
Chó ý: §Þnh lý trªn cho ta ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm )(xf
kh¶ tÝch
,[ ba
]
trªn
. §ã kh«ng ph¶i lµ mét ®iÒu kiÖn cÇn. Mét hµm kh¶ tÝch
],[ ba
trªn
th× kh«ng nhÊt thiÕt liªn tôc trªn ®o¹n ®ã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
- Ngêi ta còng chøng minh ®îc r»ng: NÕu
cã mét ®iÓm
],[ ba
c
gi¸n ®o¹n lo¹i mét
x trªn ®o¹n
th× nã kh¶ tÝch trªn ®o¹n Êy
vµ ta cã:
b
c
b
f
dx
)( dxxf
)( dxxf
(
x
)
a
a
c
)(xf
- MÖnh ®Ò trªn vÉn ®óng nÕu
cã mét sè h÷u h¹n ®iÓm gi¸n
],[ ba
®o¹n lo¹i 1 trªn ®o¹n
.
1
dxa x
VÝ dô: Dïng ®Þnh nghÜa tÝnh
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
]1,0[
)( xf
xa
Gi¶i: V×
liªn tôc trªn ®o¹n
nªn nã kh¶ tÝch trªn
1
n
]1,0[
x dxa
f
()
x
)
. Do ®ã ta cã
, trong ®ã giíi h¹n cña vÕ
( i
i
lim x max
0
i
1
0
]1,0[
ph¶i tån t¹i kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chia
vµ c¸ch lÊy ®iÓm i
]1,0[
Do ®ã cã thÓ chia
vµ lÊy ®iÓm i mét c¸ch ®Æc biÖt ®Ó viÖc
tÝnh to¸n ®îc dÔ dµng.
]1,0[
0
x
Chia
thµnh n ®o¹n nhá b»ng nhau bëi c¸c ®iÓm chia
,
0
.
1nx
i xi , n
1 1 , x n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
i
1
2,1i
x
x
x
- §Æt
(
,..., n)
i
i
i
1
i n
n
1 n
1
i n
,
( i
,1
n
f
a
- Chän trªn
®iÓm
)
)( i
i
i n
i n
i n
n
i n
1 n
2 n
n n
I
a
.
a
a
...
a
- LËp tæng tÝch ph©n
n
i
1
1 n
1 n
1 n
2 n
n n
I
lim
a
a
... a
- TÝnh giíi h¹n
lim = I
n
n
n
1 n
1
)1
dxa x
lim
VËy
n
1 a a ln
1 ( aa n 1 n
1 a a ln
0
a
1
1 n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.4.3. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh
Gi¶ sö c¸c hµm díi dÊu tÝch ph©n ®Òu kh¶ tÝch trong ®o¹n lÊy
tÝch ph©n.
TÝnh chÊt 1: Thõa sè h»ng sè cã thÓ ®a ra ngoµi dÊu tÝch ph©n
b
b
cf
)( x
dx
)( xf
dx
(c: const)
. c
a
a
TÝnh chÊt 2: TÝch ph©n cña mét tæng ®¹i sè mét sè h÷u h¹n c¸c
hµm b»ng tæng c¸c tÝch ph©n cña mçi sè h¹ng
b
b
b
b
)( xf
)( xg
)( xh
)( dxxf
)( dxxg
)( xh
dx
dx
a
a
a
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 3: Víi ba sè a, b, c bÊt kú, ta lu«n lu«n cã:
b
b
c
)( dxxf
)( xf
)( dxxf
a
c
a
b
cdx
( bc
a
)
)( Cxf
TÝnh chÊt 4: NÕu
; (C = const) th×:
a
xf )(
xg )(
TÝnh chÊt 5: NÕu
vµ
ba th×:
trªn
ba,
b
b
)( xf
dx
)( dxxg
a
a
)(xf
TÝnh chÊt 6: NÕu m vµ M lµ c¸c trÞ bÐ nhÊt vµ lín nhÊt cña
b
bm (
a
)
f
bMdx (
a
)
x )(
vµ
ba th×
trªn
ba,
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.4.4. §Þnh lý vÒ gi¸ trÞ trung b×nh
)(xf
ba,
NÕu
liªn tôc trªn ®o¹n
th× trªn ®o¹n ®ã cã Ýt nhÊt mét
b
b
xf )(
dx
f
(
b )(
a
)
f
)(
)( dxxf
®iÓm sao cho:
. Gi¸ trÞ
®îc
1 a
b
a
a
)(xf
gäi lµ trÞ trung b×nh cña
.
trªn ®o¹n
ba,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.5. C«ng thøc Newton- Leibnitz (Niut¬n-Lepnit)
6.5.1. C«ng thøc ®¹o hµm cËn trªn
Ta ®· biÕt tÝch ph©n x¸c ®Þnh phô thuéc vµo cËn lÊy tÝch ph©n,
x
)( tf
dt
lµ mét hµm cña x (hµm cña cËn trªn). Ta
do ®ã tÝch ph©n
a
x
)( x
f
)( t
dt
®Æt
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
ba,
§Þnh lý: NÕu
liªn tôc trªn
th× hµm
)(x cã ®¹o hµm
trªn ®o¹n ®ã vµ:
x
f
t )(
dt
xf )(
(
x
)
d dx
a
x
f
)( t
dt
)(xf
Nãi c¸ch kh¸c:
lµ mét nguyªn hµm cña hµm
(
x
)
a
trªn
.
®Òu cã nguyªn hµm trªn
ba, HÖ qu¶: Mäi hµm liªn tôc trªn
ba,
®o¹n ®ã.
Chó ý: NÕu c¸c cËn tÝch ph©n lµ hµm cña x th×:
x
(
x
t )(
dt
) f
) tf )(
dt
f
f
)( x )( x
)( x )( x
d dx
x
)
(
x
)
( (
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.5.2. C«ng thøc Newton- Leibnitz
)(xf
)(xF
§Þnh lý: NÕu
vµ
lµ mét nguyªn
liªn tôc trªn ®o¹n
ba,
hµm cña nã trªn ®o¹n ®ã, th×:
b
)( dxxf
)( bF
)( aF
a
C«ng thøc trªn lµ c«ng thøc Newton- Leibnitz.C«ng thøc Newton-
b
xf )(
dx
xF )(
bF )(
aF )(
Leibnitz cã thÓ viÕt
b a
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.5.3. C¸c vÝ dô
x
1
x
dxx
1) TÝnh
b a
a ln
x
0
2
2
sin
t
dt
sin
x
2) TÝnh ®¹o hµm: a)
1 a a ln d x dx
0
0
2
4
4
1
t
dt
0.1
1
x
2.
x
2
x
1
x
b)
d dx
2
X
2/1
I
2
3) íc lîng tÝch ph©n:
dx cos
x
35
0
0
cos
2 x
1
V×
nªn:
I
2
2
1 5
1 8
1 cos
x
2
1 8
1 5
35
.0
.0
2/1
2
16
10
dx cos
x
35
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.5.4. C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh
6.5.4.1. Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè.
b
)( dxxf
x
)(t
)(xf
ba,
1. §æi biÕn
víi
liªn tôc trªn
.
. XÐt tÝch ph©n
a
x
)(t
Gi¶ sö phÐp ®æi biÕn
tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn:
)(t cã ®¹o
(
a)
(
b)
vµ
;
th× khi t biÕn thiªn trong
hµm liªn tôc trªn
,
. Khi ®ã:
,
b
)( dxxf
dt
f
)( )( t t
a
Chó ý: Sau khi tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh b»ng ph¬ng ph¸p ®æi
biÕn, ta kh«ng cÇn trë vÒ biÕn cò nh khi tÝnh tÝch ph©n bÊt ®Þnh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1
2
4
x
dx
I
.
VÝ dô: TÝnh
0
x
sin2
t
dx
2
cos
tdt
0t
0x
§Æt:
. Khi
th×
t
1t
th×
6
6
6
I
2
cos
t
2.
cos
tdt
4
cos
t 2
t
1
dt
VËy:
1 2
t 2sin 2
3
3 2
2
0
6 0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b
)( dxxf
t
)(x
)(xf
2. §æi biÕn:
víi
liªn tôc trªn ®o¹n
. XÐt tÝch ph©n
a
t
)(x
. Gi¶ sö phÐp ®æi biÕn
tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn:
)(x biÕn
ba,
)( xf
dx
tg )(
dt
vµ cã ®¹o hµm liªn tôc;
trë thµnh
lµ
thiªn, ®¬n ®iÖu trªn
ba,
(
b
)
b
dxxf )(
a )(
t
b )(
mét hµm liªn tôc trong ®o¹n
Khi ®ã:
t )( dt
a
(
a
)
2
I
.
VÝ dô: TÝnh
cos 1
xdx 2 x
sin
0
x
t
1
t
sin
x
dt
cos
xdx
x
0
t
0
§Æt
;
; Khi:
2
1
1
I
arctgt
VËy:
2
1
dt t
4
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: Hoµn toµn gièng tÝch ph©n bÊt ®Þnh, nÕu hµm sè díi
2
2 a
x
ax
sin
t
dÊu tÝch ph©n cã chøa c¨n thøc d¹ng
®Æt:
;
2
2
2
2 x
a
a
x
x
atgt
x ®Æt
;
a cos
t
Khi ®æi biÕn tÝch ph©n tõ x sang t ph¶i ®æi lu«n cËn lÊy tÝch
ph©n vµ kh«ng cÇn ph¶i quay vÒ biÕn x ,
NÕu hµm sè díi dÊu tÝch ph©n lµ hµm ch½n nghÜa lµ:
a
a
)( dxxf
2
)( dxxf
xf (
)
f
(
x
)
th×
a
0
xf (
)
f
(
x
)
NÕu hµm sè díi dÊu tÝch ph©n lµ hµm lÎ nghÜa lµ:
a
dxxf )(
0
th×:
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.6. TÝch ph©n suy réng
,a
:
6.6.1 TÝch ph©n suy réng víi cËn v« h¹n 6.6.1.1. Kho¶ng lÊy tÝch ph©n lµ Gi¶ sö
vµ kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n h÷u
x¸c ®Þnh trªn
,a
)( xf
b
a
b
x
)( xf
dx
h¹n
, tÝch ph©n Êy tån t¹i víi mäi
. XÐt tÝch ph©n
a
b
)( xf
dx
a
b . Ta gäi giíi h¹n (h÷u h¹n hay v« cïng)
lµ tÝch ph©n
lim b
a
)( xf
dx
,a
suy réng cña
trong
)( xf
. Ký hiÖu
a
Trong trêng hîp giíi h¹n trªn lµ h÷u h¹n ta nãi tÝch ph©n suy réng
b
)( xf
dx
lµ héi tô vµ giíi h¹n trªn lµ trÞ cña nã.
)( xf
dx
lim
)( xf
dx
b
a
a
a
NÕu giíi h¹n trªn kh«ng tån t¹i hay v« cïng, ta nãi tÝch ph©n
)( xf
dx
ph©n kú.
suy réng
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.6.1.2. Ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
)(xU
)(xV
Gi¶ sö
vµ
lµ nh÷ng hµm cã ®¹o hµm liªn tôc trªn
. Khi ®ã:
®o¹n
ba,
b
b
b
. dvu
. vu
vdu
a
a
a
§©y lµ c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn.
e
ln
xdx
I
VÝ dô:
1
u
ln
du
x
dv
dx
v
x
§Æt
;
dx x
e
I
x
ln
x
dx
e
ln
e
(1ln1
e
1)1
e 1
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
[
]
6.6.1.3. Kho¶ng lÊy tÝch ph©n lµ
. a ,
T¬ng tù trªn ta ®Þnh nghÜa tÝch ph©n suy réng:
a
a
(
c
a
)
)( xf
dx
lim
)( xf
dx
;
c
c
(
,
)
6.6.1.4. Kho¶ng lÊy tÝch ph©n lµ
a
)( dxxf
)( dxxf
)( dxxf
a
)( xf
dx
chØ héi tô khi vµ chØ khi hai
Chó ý: TÝch ph©n suy réng
tÝch ph©n ë vÕ ph¶i héi tô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô:
0
0
c
TÝnh
2
2
2
2
2
lim b
lim C
dx x
dx x
1
dx x
1
dx x
1
dx x
1
1
0
b
0
lim
(
arctg 0
arctgb )
(
arctgc
arctg
)0
lim
(h÷u h¹n)
b
C
2 2
VËy tÝch ph©n ®· cho héi tô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.6.2. TÝch ph©n suy réng víi hµm kh«ng giíi néi
ba,
6.6.2.1. TÝch ph©n suy réng trªn
)(xf
ba,
Cho hµm
kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n
víi
0 bÐ tïy ý
x
0 b
vµ kh«ng giíi néi khi
Ta gäi giíi h¹n (h÷u h¹n hay v« cïng)
b
b
lim
)( xf
dx
)( dxxf
ba,
lµ tÝch ph©n suy réng trªn
, ký hiÖu lµ
0
a
a
Trong trêng hîp giíi h¹n trªn lµ h÷u h¹n, ta nãi tÝch ph©n suy
réng héi tô vµ giíi h¹n trªn lµ trÞ cña nã:
b
b
)( dxxf
)( dxxf
(1)
lim 0
a
a
NÕu giíi h¹n trªn lµ v« cïng hay kh«ng tån t¹i, ta nãi tÝch ph©n
suy réng ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
,
)(xf
6.7.2.2. Hµm
vµ kh«ng giíi
kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n a
b
b
b
)( xf
dx
)( xf
dx
x
0 a
néi khi
, ta ®Þnh nghÜa t¬ng tù vµ
(2)
lim 0
a
a
)(xf
6.7.2.3. Hµm
kh«ng giíi néi khi
, ta
ba ,
x víi 0x
0 x
; xa
ba,
chia
vµ viÕt:
thµnh hai kho¶ng
vµ
0
bx ,0
b
b
x 0
)( xf
dx
)( dxxf
)( xf
dx
(3)
a
a
x
0
b
)( dxxf
héi tô khi vµ chØ
Trong ®¼ng thøc trªn, tÝch ph©n suy réng
a
khi c¶ hai tÝch ph©n suy réng ë vÕ ph¶i héi tô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý:
)(xf
Trong trêng hîp
cã ®iÓm gi¸n ®o¹n v« cùc t¹i
ax (hoÆc
x
)b
)(xF
ba,
, nÕu ta ®· biÕt
lµ hµm liªn tôc trªn ®o¹n
vµ lµ
],( ba
)(xf
nguyªn hµm cña
trªn
th× tÝch ph©n suy réng
ba,
(hoÆc
b
b
)( xf
dx
)( bF
)( aF
)( xf
dx
(4)
cã thÓ ®îc viÕt lµ:
a
a
)(xf
C«ng thøc (4) vÉn ®óng trong trêng hîp
cã mét sè h÷u
)(xF
ba,
h¹n ®iÓm gi¸n ®o¹n v« cùc trªn
nÕu nguyªn hµm
cña nã
ba,
liªn tôc trªn
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1
dx
VÝ dô 1: TÝnh
2
1
1 x
01 x
Hµm díi dÊu tÝch ph©n kh«ng giíi néi khi
vµ
01 .
Do ®ã:
1
0
1
0
1
dx
dx
dx
dx
2
2
2
2
2
lim 0
lim 0
1
dx x
1
1
0
1
0
1
x
1
x
1
x
1
x
0
dx
(arcsin
0
arcsin(
1
))
TÝnh
2
lim 0
lim 0
2
1
1
x
1
1
dx
lim
T¬ng tù
héi tô
2
2
0
1
dx 2
x
0
1
1
x
1
dx
vµ:
2
1
1 x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1
VÝ dô 2: TÝnh
dx 3 x
1
0x
Hµm díi dÊu tÝch ph©n kh«ng giíi néi khi
nhng nguyªn
2 3
1,1
hµm cña nã lµ
x liªn tôc trªn ®o¹n
3 2
2 3
x
0
Nªn ta cã
1 1
3 2
dx x 3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
6.6.3. Tiªu chuÈn héi tô cña tÝch ph©n suy réng
0)( xf
1) Trêng hîp
)(xf
)(xg
§Þnh lý 1: Cho
vµ
kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n h÷u h¹n
(
a
b
)
0
xf )(
xg )(
ba,
,
, víi mäi
ax . Khi ®ã:
víi b lín tïy ý vµ
dxxg )(
)( xf
dx
héi tô
- NÕu
héi tô th×
a
a
)( xf
dx
xg )(
dx
ph©n kú
- NÕu
ph©n kú th×
a
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
)(xg
§Þnh lý 2: Gi¶ sö
vµ
lµ nh÷ng hµm kh«ng ©m vµ kh¶
víi blín tïy ý. Khi ®ã nÕu tån t¹i giíi h¹n:
tÝch trªn mäi ®o¹n
ba,
lim
k 0(;
k )
)( dxxf
dxxg )(
th× c¸c tÝch ph©n suy réng
vµ
x
xf )( )( xg
a
a
sÏ cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)(xf
2) Trêng hîp
cã dÊu tïy ý
)( xf
dx
)( xf
dx
héi tô. Trong trêng hîp nµy
§Þnh lý 3: NÕu
héi tô th×
a
a
)( xf
dx
)( xf
dx
héi tô mµ
ngêi ta gäi
lµ héi tô tuyÖt ®èi. Cßn nÕu
a
a
)( xf
dx
)( xf
dx
lµ b¸n héi tô (héi tô kh«ng tuyÖt ®èi).
ph©n kú th× ta nãi
a
a
Chó ý:
- Ngêi ta thêng so s¸nh víi tÝch ph©n suy réng:
1 héi tô,
1 ph©n kú)
(
x
0)( xf
dx a x - Khi
, hµm
lµ mét v« cïng bÐ cïng bËc víi:
)0
)( xf
dx
héi tô khi
1 vµ ph©n kú khi
1
th×
1 x (
a
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
b
)( dxxf
6.6.3.2. Sù héi tô cña tÝch ph©n suy réng
a
,
0
( xg
)
( xf
)
b
ba,
C¸c tiªu chuÈn so s¸nh cña nã t¬ng tù phÇn trªn, chØ kh¸c r»ng ,
kh¶ tÝch trªn c¸c ®o¹n
hoÆc a
mäi
,
b
b
;1
. Khi ®ã hai tÝch ph©n nµy héi tô nÕu
vµ
)
b
(
)
a
0
ab
dx ( ax 1 . )(xf
Chó ý: Ngêi ta thêng so s¸nh víi tÝch ph©n suy réng dx x a ph©n kú nÕu Gi¶ sö
. NÕu
) vµ
(
kh¶ tÝch trªn
x
b
(;
)0
xf )(
0
vµ lµ VCL cïng bËc víi
khi
th×
ba, 1 b
x
(
)
b
)( xf
dx
héi tô khi
1 .
a
0
,
)(xf
xf )(
0
NÕu
; (
). NÕu
vµ lµ
;1 ph©n kú khi b
b
)( xf
dx
x
a
(;
)0
VCL cïng bËc víi
héi tô khi
khi
th×
)
(
a
kh¶ tÝch trªn a 1 x a 1 .
;1 ph©n kú khi
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
k
VÝ dô 1: XÐt sù héi tô ph©n kú cña tÝch ph©n
4 ln(ln
. x
x
)
4
4x
0
Gi¶i: Ta cã
; (
)
1 ln(ln
x .
x
)
1 ln
x
x
d
)
)1
Mµ
dx ln
x
x
x (ln x ln
4
4
dx ph©n kú (v× cã d¹ng , a x
VËy tÝch ph©n ®· cho ph©n kú.
1
2sin
x
dx
VÝ dô 2: XÐt
.
x
0 1
2sin
x
1
( x
Ta cã
;
)1,0
1
x
1
x
1
b
)1
,
Mµ
héi tô (v× cã d¹ng
dx x
)
( b
1 2
a
dx 0 1 x
1
héi tô. Chøng tá tÝch ph©n ®· cho héi tô tuyÖt ®èi.
dx
2sin x x
0 1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng VII
Ph¬ng tr×nh vi ph©n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh nghÜa
Ph¬ng tr×nh vi ph©n lµ ph¬ng tr×nh liªn hÖ gi÷a biÕn ®éc lËp
(hay c¸c biÕn ®éc lËp) víi hµm cha biÕt vµ c¸c ®¹o hµm cña nã.
NÕu hµm cha biÕt lµ hµm cña mét biÕn ®éc lËp th× ph¬ng tr×nh
®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n thêng gäi t¾t lµ ph¬ng tr×nh vi
ph©n.
CÊp cña ph¬ng tr×nh vi ph©n lµ cÊp cao nhÊt cña ®¹o hµm cã
mÆt trong ph¬ng tr×nh Êy.
NghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n lµ mäi hµm tháa m·n ph¬ng
tr×nh Êy, tøc lµ mäi hµm sao cho khi thÕ nã vµo ph¬ng tr×nh Êy ta
®îc mét ®ång nhÊt thøc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1. Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I
7.1.1. Tæng qu¸t vÒ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I
7.1.1.1. §Þnh nghÜa
Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét lµ ph¬ng tr×nh chøa ®¹o hµm cÊp
yyxF ,
,(
0)
1 cña Èn hµm, nã cã d¹ng:
(1)
Trong ®ã x lµ biÕn ®éc lËp, y lµ Èn hµm (tøc lµ hµm cha biÕt) vµ
y lµ ®¹o hµm cÊp 1 cña nã.
NÕu gi¶i ®îc ph¬ng tr×nh (1) ®èi víi y th× ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp
y
yxf ,(
)
yxf ,(
)
mét cã d¹ng:
hay
(2)
dx dy
2
y
dx
xdy
0
3
yy
2
x
2
0
VÝ dô:
;
lµ c¸c ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.1.2. §iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm
yxf ),(
y
yxf ,(
)
Cho ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét
.NÕu
liªn
y
)(xy
(
)
tôcc trong mét miÒn chøa ®iÓm
th× tån t¹i mét nghiÖm
0 yx ,
0
x
cña ph¬ng tr×nh ®ã, nghiÖm Êy lÊy gi¸ trÞ
. NÕu ngoµi
0x
0y khi
ra
còng liªn tôc th× nghiÖm Êy lµ duy nhÊt.
f y
x
y
)(xy
§iÒu kiÖn hµm
lÊy trÞ
®îc gäi lµ ®iÒu kiÖn
0x
0y khi
y
y
®Çu vµ viÕt:
xx
0
0
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.1.3. NghiÖm tæng qu¸t, nghiÖm riªng
y
)(x
- NghiÖm: Hµm
lµm cho ph¬ng tr×nh vi ph©n (1) hoÆc
(2) trë thµnh ®ång nhÊt thøc (nghÜa lµ ®¼ng thøc ®óng víi mäi x gäi
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n.
NÕu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cho díi d¹ng Èn
yx
,(
)
0
yx
0),(
th× gäi
lµ tÝch ph©n cña ph¬ng tr×nh vi ph©n.
NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét lµ hµm:
y
cx ),(
(3)
Trong ®ã c lµ h»ng sè tïy ý tháa m·n ph¬ng tr×nh vi ph©n Êy
víi mäi c.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NÕu nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét cho
cyx
),
,(
0
cyx
0),
,(
díi d¹ng Èn
th×
gäi lµ tÝch ph©n tæng
qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n.
NghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét lµ mçi nghiÖm
y
)
mµ ta nhËn ®îc tõ nghiÖm tæng qu¸t (3) b»ng c¸ch cho
0cx ,(
h»ng sè c tïy ý mét gi¸ trÞ cô thÓ
0C .
NÕu nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét cho
cyx
),
,(
0
díi d¹ng Èn
. Cho
ta ®îc ph¬ng tr×nh
0CC
,(
)
0
, gäi lµ tÝch ph©n riªng cña ph¬ng tr×nh vi ph©n.
0 cyx ,
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
1 x
y
e
VÝ dô 1: Chøng tá r»ng hµm
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi
2
xydx
1
x
dy
0
ph©n cÊp mét:
.
1
2 x
)2( x
. ex
1
2 x
1
2 x
1
2 x
ey
dy
dx
e
.
dx
dy
dx
Gi¶i: Tõ:
e
2
2
12
x
1
x
Thay vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ta cã:
2
1
x
2
ex .
1
x
2
ex .
dx
1
x
.
dx
0
2
1
x
2
1 x
y
e
Ta ®îc ®ång nhÊt thøc, chøng tá
lµ nghiÖm.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
3
ex
y
2
0
VÝ dô 2: Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh
(y lµ hµm Èn
cña x) lµ tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét:
y
y 3 yex
3 2 ex
y
0
)( xy
Gi¶i: Theo c«ng thøc ®¹o hµm cña hµm Èn
víi:
xF )( )( yF
y
yxF (
,
)
3 ex
y
2
y
2
xy )(
Khi ®ã
. Thay vµo ph¬ng tr×nh vi ph©n ta cã:
3
y
3 ex
ex
1
y
2
y
2
5
2
y
y
2
2
y
y
5
2
3
ex
3
ex
3
ex
y
3
2
y
ex .
3
ex
0
3
y
3
y
y
3
3 ex
ex
1
3 ex
ex
1
ex ex
3 1
ex y 3
y
02
Chøng tá:
lµ tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh trªn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.2. Ph¬ng tr×nh cã biÕn ph©n ly
y
)(xf
7.1.2.1. D¹ng thø nhÊt
(4)
y
)( xf
dx
C
C«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t
(5)
y '
yf )(
7.1.2.2. D¹ng thø hai:
)( yf
dx
yf )(
0
y
)(yf
NÕu
,
dy dx
(6) dy )( yf
c
x
VËy c«ng thøc nghiÖm:
(7)
y
b
dy f y)( lµ nghiÖm
NÕu
th×
f
(
y )
0
Chó ý: C¸c h»ng sè trong c«ng thøc nghiÖm cã thÓ chän, ®Æt thÝch
hîp ®Ó c«ng thøc nghiÖm gän vµ ®Ñp.
Khi gi¶i ph¬ng tr×nh vi ph©n ta cã thÓ xem y lµ hµm cña x vµ
ngîc l¹i cã thÓ quan niÖm x lµ hµm cña y.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
y
y
VÝ dô 1: T×m tÝch ph©n riªng cña ph¬ng tr×nh
tháa
1 y
y
m·n ®iÒu kiÖn
1
x
1 2
2
2
y
1
ydy
dx
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho viÕt l¹i ®îc:
2
dy dx
y
1
y
2
ydy
d
1(
)
y
2
x
x
c
c
x
1
y
c
2
2
1 2
1
y
1
y
1
1
1
1
c
c
0
x
y
Thay
,
ta cã
1 2
2
2
2
2
2
2
x
1
y
x
y
1
VËy tÝch ph©n riªng lµ
hay
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
f
y )(
dy
0
7.1.2. 3. D¹ng thø ba
(8)
xf )( 1
2
f
Trong ®ã
lµ hµm cña biÕn ®éc lËp x,
lµ hµm cña biÕn ®éc
)(1 xf
)(2 y
lËp y.
f
)( y
dy
C
(9)
)( dxxf 1
2
TÝch ph©n tæng qu¸t
cos
. yx
y
VÝ dô 2: T×m tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh:
cos
. x
y
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho viÕt l¹i ®îc
dy dx
dy y
dx cos
x
ln
c
ln
y
ln
tg
ln
c
dy y
dx cos
x
x 2
4
VËy nghiÖm tæng qu¸t:
tgCy
.
x 2 4
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.2.4. Mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét ®a ®îc
vÒ ph¬ng tr×nh ph©n ly
a) Ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
dyyNxMdxyNxM
)(
)(
)(
)(
0
(10)
1
1
2
2
xM
yN
NÕu
vµ
, chia c¶ hai vÕ cña (10) cho tÝch
0)(2
0)(1
xMyN ), )(
(
ta ®îc ph¬ng tr×nh cã biÕn ph©n ly:
2
1
dx
dy
0
xM )( 1 )( xM 2
yN )( 1 )( yN 1
dx
dy
C
TÝch ph©n tæng qu¸t lµ
)( xM 1 xM )( 2
)( yN 2 yN )( 1
xM
Chó ý: NÕu
t¹i
ax th×
ax lµ mét nghiÖm riªng cña (10)
0)(2
b
yN
NÕu
t¹i
y th× b
y lµ mét nghiÖm riªng cña (10)
0)(1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 3: T×m tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
2
2
x
1(
y
)
dx
y
1(
x
)
dy
0
2
2
1(
x
1)(
y
)
Gi¶i: Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho:
ta ®îc:
dx
dy
0
2
2
x x
1
y y
1
ln
c
2
2
TÝch ph©n tæng qu¸t:
xdx x
1
ydy y
1
2
2
d
)
)
d
ln
c
2
2
1 2
1( x 1 x
1 2
1( y 1 y
2
2
1ln(
x
)
1ln(
y
)
ln
c
1 2
1 2
2
2
2
1(
x
1)(
y
)
c
VËy tÝch ph©n tæng qu¸t:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
2
x
e
y
x dxe
VÝ dô 4: T×m nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy sau
) y
dy 0
x
0
1(
1(
2 xx
)
Gi¶i: Chia c¶ hai vÕ cho
ta cã:
x
x
2
2
y
dy
dx
y
dy
dx
c
2
x
2
x
e 1
x
e
x
1
3
arctge
x
c
x
,0
y
0
Thay
vµo ta cã:
y 3
0
0
arctge
c
c
4
3
x
x
3
arctge
y
arctge 3
VËy nghiÖm riªng
y 3
4
3 4
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
f
(
ax
by
c
)
b) Ph¬ng tr×nh cã d¹ng
; a, b, c lµ h»ng sè (10')
0b
- NÕu
th× ph¬ng tr×nh cã d¹ng (5)
0a
- NÕu
th× ph¬ng tr×nh cã d¹ng (6)
. ba
0
- XÐt trêng hîp:
z
ax
by
c
z
)(xz
§Æt
. Thay cho viÖc t×m hµm y, ta t×m hµm
.
z
a
'by
Ta cã
. Thay vµo (10') ta ®îc:
a
z
)(zf
z
. zfb )(
a
Hay
b
§©y lµ ph¬ng tr×nh d¹ng (6) ®· biÕt c¸ch gi¶i.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 5: T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
2
2
y
'
x
2
xy
y
1
y
'
(
x
y
)
2
1
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho viÕt l¹i ®îc:
z
x
y
y
1 z
z
1 y
§Æt
2
2
z
1
z
2 1
z
z
z
Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã:
dz dx
dx
dx
x
c
c
z
1 z
1 x c
dz 2 z
dz 2 z
x
y
y
x
Hay:
1 c x
1 c x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
y
yxe
2
VÝ dô 6: T×m tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
2
x
2
y
y
y
z
z
z
'
2
Gi¶i: §Æt
Z
Z
Z
2
e
Z
2
e
Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã:
z e
dx
e z
dz
dx
c
dz dx
dz z e
2
yx
e z
(
x
c
)
1
e
(
x
c
)
1
e z
x
c
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.3. Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp cÊp 1
7.1.3.1. §Þnh nghÜa
Ph¬ng tr×nh vi ph©n ®¼ng cÊp 1 lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng
y
yxf ,(
)
(11)
yxf ,(
)
yx ,(
)
Trong ®ã
lµ hµm cña hai biÕn
cã thÓ viÕt ®îc díi
yxf ,(
)
(
xy /
)
d¹ng
.
VËy ph¬ng tr×nh (11) cã thÓ viÕt ®îc
y (
xy /
)
(12)
Chó ý: Muèn nhËn biÕt mét ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 lµ ®¼ng cÊp
y '(
yxf ,(
)
hay kh«ng, ta ph¶i gi¶i ra ®èi víi y ;
, sau ®ã biÕn ®æi
xy /
yxf ,(
)
xem cã thÓ biÓu diÔn díi d¹ng hµm cña
hay kh«ng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.3. 2. C¸ch gi¶i
u
/
xy
§Æt
, thay viÖc t×m hµm y ta ®i t×m hµm u
y
. xu
uxu
)(u
y
uxu
Khi ®ã
nªn
. Thay vµo (12) ta cã
. xu
)( u
u
.
x
)( u
u
Hay
du dx
u )(
u
0
NÕu
th× ph¬ng tr×nh ®a ®îc vÒ biÕn sè ph©n ly
ln
x
ln
c
;Vµ tÝch ph©n tæng qu¸t lµ:
du )( u
u
dx x
du )( u
u
u
/
xy
Sau khi tÝnh tÝch ph©n trªn, thay
ta ®îc tÝch ph©n tæng
qu¸t cña (11)
y
u )(
u
0
NÕu
t¹i
th×
còng lµ nghiÖm
0 xu
0uu
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 1: T×m tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
y
/ xye
y x
u
y
. xu
. xu
y
u
Gi¶i: §Æt
y x
uxu
.
ueu
Thay vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ta ®îc:
u
u
.
x
e
e
du
Hay
du dx
dx x
dx x
du u e
TÝch ph©n hai vÕ ta cã:
u
u
u
du
c
ln
e
ln
x
c
ln
e
ln
cx
e
dx x
xy /
u
/
xy
e
ln
cx
0
Thay
ta ®îc tÝch ph©n tæng qu¸t
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
VÝ dô 2: T×m tÝch ph©n riªng cña ph¬ng tr×nh
xy
' y
arctg
y x
1
tháa m·n ®iÒu kiÖn
1 xy
1
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho viÕt l¹i ®îc:
y
y x
arctg
y x
uuxu
Thay vµo ph¬ng tr×nh trªn ta ®îc:
1 arctgu
.
x
. du arctgu
du dx
1 arctgu
dx x
arctgudu
c
ln
arctgudu
ln
cx
TÝch ph©n hai vÕ ta ®îc:
dx x
du
u
arctgudu
I
u
arctgu
u
§Æt
;
dv 1
v 1
1
1
2
TÝnh:
du u
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
d
)
2
I
u . arctgu
u arctgu .
u . arctgu
1ln(
u
)
u .
VËy:
2
2
du u
1
1 2
1 2
u
1ln(
u
ln
. xc
VËy tÝch ph©n tæng qu¸t lµ:
2
2
u .2
arctgu
1( u u 1 1 2 u
ln
)(
2 xc
arctgu . 1(
2
2
2
2
arctg
1
ln
xc
2
y x
y x
1x
arctg .2
1
Thay ®iÒu kiÖn ®Çu
,
2 ) ) 2c ln
2.
2
2/
2
2
2/
2ln
c
e
2
c
c
e
2
y x ta cã: 1y 1 2
2/
2
2
.2
arctg
ln
e .
x
y
VËy tÝch ph©n riªng lµ:
y x
y x
1 2
2
2
x
y
.2
arctg .
ln
y x
y x
2
2
y
yxf ,
(
)
Chó ý: Khi gÆp ph¬ng tr×nh
, ®Ó xem ph¬ng tr×nh cã
yxf ,
(
)
ph¶i lµ d¹ng ®¼ng cÊp hay kh«ng, ta kiÓm tra vÕ ph¶i
cã ph¶i
tyxf ,
(
)
yxf ,
(
)
lµ hµm thuÇn nhÊt bËc kh«ng hay kh«ng. Cô thÓ nÕu
víi mäi t th× ph¬ng tr×nh ®· cho lµ ®¼ng cÊp cÊp 1.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 4 T×m tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh:
2
2
2
7(
x
2
xy
6
y
)
dx
(
x
xy )4
dy
0
2
2
2
2
6
7
x
y
y
2 2
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt l¹i lµ: 7 dy x dx
2 xy 4
6 xy 4
xy
xy
2 x
x
2
.27
y x
y x
y
Chia c¶ tö vµ mÉu cho
2x ta ®îc:
.41
.6 y x
uxu
. xu
u
y
y
.
§Æt
. Thay vµo trªn ta cã:
y x
2
2
2
u
6
u
7
6
2
u
u
uxu
.
.
x
u 47 4 u 1
ln
c
2
2
4 u )1 du 4( u u u 7 2 2 2ln u u
u 2 1 dx x
du dx 4( )1 du u dx u 7 2 u x 2 . xc 2 u u
ln
7
7
. xc
2
2
3
2
.2
cx
cx
7
2
7
x
y
2
y x
y x
xy Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.4. Ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1
7.1.4.1. §Þnh nghÜa
Ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
y
xqyxp )(
)(
(13)
( xp
)
)(xq
Trong ®ã
;
lµ nh÷ng hµm sè cña x .
xq )(
0
NÕu
th× (13) gäi lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt.
xq )(
0
NÕu
th× (13) gäi lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh«ng
thuÇn nhÊt
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.4.2. C¸ch gi¶i
yxp )(
0
y
(14)
Khi xÐt ph¬ng tr×nh (13) ngêi ta gäi ph¬ng tr×nh lµ ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng. NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (14)
(
)
dx
y
xpec .
lµ:
(15)
). yxp
(
( xp
).
dx
ThËt vËy: Tõ (14) ta cã thÓ viÕt:
dy dx
dy y
)( xp
dx
y
. ec
ln
y
)( dxxp
cln
)( xp
dx
dy y
( xp
( xp
( xp
dx
dx
dx
)
)
)
)( exq
Ce
dx
e
NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt (13) lµ: y
(16)
.
Trong ®ã C lµ h»ng sè tïy ý. Râ rµng nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt (13) b»ng mét nghiÖm riªng cña nã céng víi nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý:
1a
- NÕu ph¬ng tr×nh ®· cho cã hÖ sè cña y lµ
, ta ph¶i
chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho a.
- Trong trêng hîp, ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 lµ tuyÕn
tÝnh kh«ng ph¶i ®èi víi y mµ ®èi víi x , nghÜa lµ cã thÓ ®a vÒ
x
xyp ).
(
yq )(
d¹ng:
(17)
Trong ®ã x lµ hµm, y lµ biÕn. Khi ®ã nghiÖm tæng qu¸t cña (17)
( yp
)
dy
( yp
)
dy
( yp
)
dy
Ce
e
)( eyq
dy
cã d¹ng: x
(18)
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
y
'
x
y
1
VÝ dô 1: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh
tháa m·n
)1(
y x
2
y
'
.
y
x
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt l¹i
. §©y lµ
1 x
2
)( xp
xq )(
x
ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 ®èi víi y víi
.
;
¸p
c«ng
thøc
nghiÖm
tæng
(16):
1 x qu¸t
( xp
dx
)
( xp
)
dx
( xp
)
dx
dông
. eCy
e
)( exq
dx
.
)( dxxp
ln
x
Víi:
dx x
3
ln
x
ln
x
ln
x
2
eCy .
e
2 ex .
dx
Cx
dx
y
Cx
Nªn:
xx
1 x
1
C
1.
C
1y
1x
Thay ®iÒu kiÖn ®Çu
;
ta cã
x 2 1 2
1 2
3
x
x
y
VËy nghiÖm riªng cÇn t×m:
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
tgy
VÝ dô 2: T×m tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
x cos
y
cos
. yy
'
x
sin
y
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc viÕt l¹i:
z
sin
y
z . y
cos
y
Z
Z
x
§Æt
. Thay vµo trªn ta cã:
xq
)(
x
xp
;1)(
§©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 ®èi víi Z ; víi
.
)( xp
dx
)( xp
dx
)( xp
dx
. eCz
e
( exq ).
dx
Nªn:
.
dx
dx
dx
x
x
x
. eCz
e
dx
. eCz
. ex
e
. ex
dx
.
x
x
x
x
x
eCz .
e
eCz .
e
x
1
xe
x
sin
eCy .
x
1
VËy:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô 3: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh:
y
1
ydx
3(
x
1
ln
y
)
dy
0
1
tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu
.
x
3 y
ln
3
x
(;
y
)0
dx dy
1 y
1
y
x
.
x
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt l¹i
3 y
ln y
1
y
)( yp
)( yq
§©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 ®èi víi x ,
3 y
ln y
( yp
)
dy
( yp
)
dy
( yp
)
dy
x
Ce
e
)( eyq
dy
)( yp
dy
ln3
y
víi ; . ¸p dông c«ng thøc nghiÖm:
3
dy y
Trong ®ã:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1
y
ln3
y
ln3
y
ln3
y
x
Ce
e
. e
dy
VËy
ln y
1
y
3
3
x
Cy
y
dy
.
3
ln y ln
3
3
x
Cy
y
4
4
dy y
1 y ydy y
3
3
x
Cy
ln
y
y
4
3
4
dy y
1 y 3
1 3
dy y
3
3
x
Cy
ln
y
y
3
3
1 y
3
1 y
3
4 3
3
x
,
y
1
x
Cy
ln
y
. Thay ®iÒu kiÖn ®Çu:
1 3
4 9
C
C
ta cã:
VËy nghiÖm riªng cÇn t×m lµ:
1 3 4 9
1 9
3
1 3 4
y
x
ln
y
9
1 3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.5. Ph¬ng tr×nh Becnuly (Bernoulli)
7.1.5.1. §Þnh nghÜa
Ph¬ng tr×nh Becnuly lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
y
yxqyxp )(
).
(
(19)
xqxp ), )(
(
Trong ®ã
lµ hai hµm liªn tôc cña x; lµ mét sè thùc
bÊt kú kh¸c 0 vµ kh¸c 1.
NÕu
0 hoÆc
1 th× (19) trë thµnh ph¬ng tr×nh tuyÕn
tÝnh cÊp 1 ®· xÐt ë phÇn trªn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.1.5.2. C¸ch gi¶i
(
Víi
1
z
y
, chia c¶ hai vÕ cña (19) cho y ta ®îc: y
)
.
1(
y
1 yxpyy ). xq )( . . Thay vµo ph¬ng tr×nh trªn ta
zxp ).
zxp ).
1(
xq )(
xq )(
).
)
1(
z
(
(
cã:
0y §Æt z z 1 §©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 ®èi víi Z. Sau khi t×m
®îc nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh nµy, trë vÒ biÕn y, ta
®îc nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh Becnuly (19).
xyqxyp )(
x
).
(
Chó ý: Trong nhiÒu trêng hîp ph¬ng tr×nh Becnuly kh«ng ph¶i ®èi víi y vµ ®èi víi x , nghÜa lµ cã d¹ng:
(20)
,0
1
Trong ®ã
. Khi ®ã nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng
tr×nh (20) vÉn t×m b»ng c¸ch: trong c«ng thøc nghiÖm trªn chç
nµo cã x thay bëi y, cã y thay bëi x.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
3
xdx
y
dy
VÝ dô 2: T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
x y
1
x
x .
3. xy
dx dy
x y
3 y x
1 y
3
2
. xx
y
x
.
.
1x
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc viÕt l¹i lµ:
2
3
.
z
y
x
z
z
.2 xx
ta cã: ph¬ng tr×nh cho §©y lµ ph¬ng tr×nh Becnuly ®èi víi x. Chia c¶ hai vÕ cña 1 y
Z 2
1 y
dy
dy
dy
3
2 y
2 y
2 y
. eCz
e
2(
y
). e
dy
z
.
z
32 y
§Æt . Thay vµo trªn:
2 y
2
2
3
2
. yCz
y
y
).
dy
z
Cy
y
ydy
2(.
)2.(2
1 2 y
2
4
2
2
z
2 Cy
2 y .2
z
Cy
2 y
x
2 yCy (
)
x
2yCy
y 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
2
yyx
xy
13
VÝ dô 3: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh
,
tháa m·n ®iÒu kiÖn
.
11 xy
2
y
.
y
y
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt
2
1 x
1 x
§©y lµ ph¬ng tr×nh Becnuly ®èi víi y.
2
3
2y
yy
.
y
Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho
, ta cã:
2
1 x
1 x
3
.
z
y
z
z
3
2 yy
§Æt
. Thay vµo trªn ta cã:
z 3
1 x
1 2 x
z
.
Z .
. §©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 víi Z
3 x
3 2 x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
dx
dx
dx
3 x
3 x
3 x
. eCz
e
dx
e
Nªn:
3 2 x
2
3
Cz
.
.
x
dx
Cz
.
.3.
x 2
1 3 x
1 3 x
3 2 x
1 3 x
1 3 x
2
3
2
z
C
x
C
x
3
3
1 x
3 2
1 x
3 2
y
1
C
C
x
y ,1
1
Thay
ta cã:
3 2
1 2
2
3
y
x
VËy nghiÖm riªng cÇn t×m lµ:
1 3
3 2
1 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.2. Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai
7.2.1. Tæng qu¸t vÒ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai
7.2.1.1 §Þnh nghÜa
Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
yyyxF ,
,(
,
0)
(1)
y
yyxf
,(
,
)
NÕu gi¶i ®îc ph¬ng tr×nh (1) ®èi víi y th×
(2)
yx
2 yx
x
0
y
x 8 ye
y
;
lµ c¸c ph¬ng tr×nh vi
VÝ dô: yx 2 ph©n cÊp hai
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.2.1.2. §iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm
y
yyxf ,(
.
)'
(
,
,
yyxf
,(
,
liªn tôc trong mét miÒn nµo ®ã chøa ®iÓm )
th× )
yyx 0 0
0
y
)(xy
Cho ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai . NÕu hµm
x
)
y
,
tån t¹i mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®ã, nghiÖm Êy vµ
0x
xy ( 0
0
)
,
®¹o hµm cña nã lÊy t¹i ®iÓm nh÷ng trÞ cho tríc:
,
( xy o
0y
f y
f x
x
. NÕu còng liªn tôc th× nghiÖm Êy lµ duy nhÊt.
®îc
0x
0 ; yy
0
y
y
§iÒu kiÖn y vµ y lÊy t¹i c¸c gi¸ trÞ cho tríc
y
y
0
0
xx 0
xx 0
gäi lµ c¸c ®iÒu kiÖn ®Çu. Ta viÕt ; .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.2.1.3. NghiÖm tæng qu¸t, nghiÖm riªng
y
)(x
- NghiÖm hµm
lµm cho ph¬ng tr×nh (1), (2) trë
thµnh ®ång nhÊt thøc (tøc lµ ®óng víi mäi x) gäi lµ nghiÖm cña
ph¬ng tr×nh vi ph©n.
- NghiÖm
tæng qu¸t cña ph¬ng
tr×nh
(1),
(2)
lµ
y
)
hµm
trong ®ã
lµ nh÷ng h»ng sè tïy ý tháa
1 ccx ,( ,
2
1,cc
2
m·n ph¬ng tr×nh vi ph©n Êy víi mäi
.
1,cc
2
NÕu nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai
,(
0)
,
,(
0)
,
cho díi d¹ng Èn
th×
gäi lµ tÝch
ccyx , 1
2
ccyx , 1
2
ph©n tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4
y
2.yx
VÝ dô 1: T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
y x
4 yy .
3 y .
2 x
4y ta cã:
1 x
3
z
y
z
3 4 y
.
y
Gi¶i: Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho
2
2
.
z
x
z
.
z
3
x
z 3
1 x
3 x
§Æt . Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã:
dx
dx
dx
2
3 x
3 x
3 x
xp )(
;
xq )(
23 x
. eCz
e
x
)
e
§©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 ®èi víi Z, ta cã:
3(.
3 x
3
3
2
3
. xCz
x
x
).
dx
z
Cx
x
. VËy:
3(.
).3.(3
dx x
1 3 x
1
3
3
y
y
Cx
3 3 x
ln
x
z
Cx
3
3 3 x
ln
x
Cx . 3
ln3
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
0
y
)
- NghiÖm riªng: Hµm
nhËn ®îc tõ nghiÖm
1 ccx , ,(
0 2
tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai b»ng c¸ch cho
0
nh÷ng h»ng sè tïy ý c¸c trÞ cô thÓ
®îc gäi lµ nghiÖm
1 ;cc
0 2
riªng cña ph¬ng tr×nh vi ph©n.
NÕu nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cho
0
,(
)
,
0
,(
)
díi d¹ng Èn
th×
lµ tÝch ph©n
ccyx , 1
2
1 ccyx , ,
0 2
riªng cña nã.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
x
sin
2
x
VÝ dô: Chøng tá r»ng hµm
lµ nghiÖm cña
1 2
y
tgx
. y
2sin
x
ph¬ng tr×nh
.
y
x
2sin
x
1
y
cos
2
x
y
2sin2
x
Gi¶i: Tõ
.
1 2
Thay vµo ph¬ng tr×nh ®îc:
2
2sin2
x
tgx
1(
cos
)2 x
2sin2
x
2
cos
xtgx
2sin2
x
2sin
x
2sin
x
§©y lµ ®iÒu ph¶i chøng minh!
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.2.2. Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai cã thÓ gi¶m cÊp ®îc:
y ''
yyxf
,(
,
)'
XÐt ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai d¹ng
, yy
:
7.2.2.1. VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo y
)(xf
(3)
y
xf )(
dx
y
c
xf )(
dx
xc
c
Gi¶i: Tõ (3)
, trong ®ã
dx
1
1
2
lµ hµng sè tïy ý.
1 , cc
2
2
y
''
x
xxe
1
VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3
2
x
x
x
y
(
x
xe
)1
dx
c
xe
e
x
c
Gi¶i:
1
1
x 3
4
2
3
x
x
x
y
xe
c
y
xe
e
x
dx
c
xc 1
2
c 1
2
x 3
x 2
x 3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
sin
x
VÝ dô 2: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh
, tháa m·n
0
®iÒu kiÖn
;
xy
10
0 xy
y
cos
x
y
sin
x
c
Gi¶i:
c 1
xc .1
2
0sin
0.
c
0
2
2
Thay ®iÒu kiÖn ®Çu ta cã
1
cos
c 1
0
2
c 1
c 1
0
c
y
sin x
2
x
VËy nghiÖm riªng cÇn t×m lµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
yxf ,(
)
2. VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh kh«ng chøa y:
(4)
y
)( xz
y z
Gi¶i: §Æt
thay vµo (4) cã:
z
zxf ),(
. §©y lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 gi¶i ph¬ng tr×nh
nµy t×m ®îc Z råi gi¶i ra t×m y
y
x
VÝ dô 1: T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
y x
y
Z
Z
Z
Z
x
y
Z
x
Z x
1 x
Gi¶i: §Æt
dx x
dx x
dx x
Z
e
. ex
dx
z
.
. x
xdx
ec 1
c 1
.
1 x
1 x
2
1
z
y
§©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 ®èi víi Z
. VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh
c x
x 3
3
y
c
ln
x
c
1
2
x 9
cÇn gi¶i lµ:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
y
1(
x
)
2
yx
VÝ dô 2: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh
tháa
1
3
m·n ®iÒu kiÖn
;
.
0 xy
xy
0
2
z
y
1(
y
z
z
x
)
xz
2
z
z
0
Gi¶i: §Æt
2
2
x x
1
§©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 thuÇn nhÊt víi z nªn:
dx
2
2 1
x 2 x
z
. ec
z
c
1(
x
)
y
1
1
3
y
c
xc 1
2
. Thay ®iÒu kiÖn ®Çu vµo, ta cã
xc 1 3
c
1
3
y
x
3
x
1
. VËy nghiÖm riªng cÇn t×m lµ
c
2
3 1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
yyf ,(
)
7.2.2.3. VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh kh«ng chøa x:
(5)
y p vµ xem p lµ hµm cña y:
y
.
p
. pp
Gi¶i: §Æt
dp dx
dp dy
dy dx
dp dy
p
.
, pyf
(
)
. pp
dp dy
.Thay vµo (5) ta cã:
§©y lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 mµ hµm cha biÕt lµ p
vµ biÕn ®éc lËp lµ y.
Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy t×m p, sau ®ã t×m y.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
yy
2 y
0
VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh vi ph©n:
2
2
py
. y
p
p
0
p
Gi¶i: §Æt )( y yp pppy . . - NÕu: p 0
dp p
dy y
p
ln
c
ln
p
ln
y
ln
c
1
1
1.cy
dp p
dy y
p
y
y
- NÕu: . Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã: . pp y p 0) pyp 0 ( c y y 0 dp dy
yc 1
yc 1
dxc 1
dy dx
dy y
ln
c
ln
y
ln
c
dxc 1
2
xc 1
2
1
xcec
Thay
dy y 2 y
lµ nghiÖm tæng qu¸t cÇn t×m.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
3
yy
''
(
y
)'
(
y
)'
VÝ dô 2: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh
1
1
tháa m·n ®iÒu kiÖn:
;
xy
1
1 xy
2
2
p
p
. Thay vµo ph¬ng tr×nh, ta cã: pyp
0
, tõ nghiÖm nµy kh«ng thÓ x¸c ®Þnh h»ng 1
Gi¶i: §Æt yp )( - NÕu 0 sè 1c tháa m·n
y y . pp 3 ppy p p . . p c y xy
1 1
2
py
p
p
0
. y
p
2 p
0p
NÕu
ta cã:
2
dp p
p
dy y
ln
c
dp
ln
y
ln
c
1
1
2
p
dp p
p
dy y
1 p
1
ln
p
1ln
p
ln
yc 1
cy . 1
yc 1
dp dy 1 p
p
1
1
'
c 1
Thay ®iÒu kiÖn ®Çu
. Ta cã:
y y 1 2
y )1( 1 y 1)1(
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
y
yy
2
y
0
y
VËy
1 2
y y
1
y
y
2
dy dx
(
y
dy
(
y
dy
dx
dx
y
c
ln2
y
x
c
2
2
)2 y
)2 y
0
y
1)1(
Thay
vµo ta cã
. VËy nghiÖm riªng cÇn t×m:
2 c
y
ln2
y
x
0
Chó ý: Khi t×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2,
kh«ng cÇn ph¶i t×m xong nghiÖm tæng qu¸t råi míi thay c¸c
®iÒu kiÖn ban ®Çu, mµ cã thÓ x¸c ®Þnh tõng h»ng sè mét ngay
sau khi h»ng sè Êy xuÊt hiÖn trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.2.3. Ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai víi hÖ sè lµ h»ng sè.
§Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai lµ ph¬ng
tr×nh bËc nhÊt ®èi víi hµm cha biÕt vµ c¸c ®¹o hµm cña nã.
y
yxa )(
yxa )(
xf )(
(6)
1
2
)(xf
Trong ®ã
,
,
lµ c¸c hµm liªn tôc cña biÕn ®éc lËp x.
)(2 xa
)(1 xa
xf )(
0
NÕu
th× (6) lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai thuÇn nhÊt.
xf )(
0
NÕu
th× (6) lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai
kh«ng thuÇn nhÊt.
- §Æc biÖt nÕu
,
lµ c¸c h»ng sè th× (6) lµ ph¬ng tr×nh
)(1 xa
)(2 xa
vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai víi hÖ sè lµ h»ng sè (hÖ sè kh«ng ®æi).
y
yp
qy
)(xf
(7)
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.2.3.1. Ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt
0
qy
yp
y
(8)
Trong ®ã p, q lµ h»ng sè, ®Æc biÖt cã thÓ b»ng 0.
2
pk
q
0
C¸ch gi¶i: LËp ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña (8) lµ
(9)
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã 2 nghiÖm
2
k 1, kk k
NÕu (9) cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt
k th× nghiÖm tæng
1
2
xk 1
xk 1
y
qu¸t cña (8) lµ:
ec 1
ec 2
NÕu (9) cã nghiÖm kÐp (thùc)
0k th× nghiÖm tæng qu¸t cña (8)
xk 0
y
e
(
)
lµ:
c 1
xc 2
i
- NÕu (9) cã nghiÖm phøc
(i: lµ ®¬n vÞ ¶o) th× nghiÖm
2,1 k
x
y
e
(
c
cos
x
c
sin
x
)
tæng qu¸t cña (8) lµ:
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Chó ý: Kh¸i niÖm vÒ sè phøc:
)
bi
BiÓu thøc
a lµ sè phøc
Rba víi i lµ ®¬n vÞ ¶o tháa ,(
)
)
bi
2 i
1
m·n
; a lµ phÇn thùc
(Re z , k lµ phÇn ¶o
(Im z ;
a lµ sè
bi
phøc liªn hîp cña
a . DÔ thÊy, tÝch cña hai sè phøc liªn hîp
lµ mét sè thùc.
y
5
y
6
y
0
VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh
.
2
3
k
5
k
0
6
k
2
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng:
,
.
1
2 k
3
x
2
x
y
(
VËy nghiÖm tæng qu¸t
;
lµ h»ng sè tïy ý)
ec 1
ec 2
cc 1,
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
4
y
4
y
0
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh
2
k
k 4
4
0
k
2
k 1
2
k 0
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng x 2
e
y
(
)
(
VËy nghiÖm tæng qu¸t:
;
lµ h»ng sè tïy ý)
c 1
xc 2
cc 1 ,
2
y
y 9
0
tháa
1
VÝ dô 3: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh: m·n ®iÒu kiÖn:
;
1xy
xy
2
2
2
2
i 9
i )3(
9
k
30 i
2,1
k ,0 y
3sin
3
c
x
x
k 9 0 3 cos c 1
x
2 Thay ®iÒu kiÖn ®Çu vµo ta cã
c 3 2 3sin
1
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng 3 i
VËy VËy nghiÖm tæng qu¸t: y 3sin x c 3 1 c c 1 cos 3 1
2
1 c
c
1
c 3
3sin
c 3
cos
3
2
2
1
3cos
1 3
y
cos
3
x
3sin
x
NghiÖm riªng cÇn t×m:
1 3
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
yp
qy
)(xf
7.2.3.2. Ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt ;
(10)
Trong ®ã p, q lµ h»ng sè, ®Æc biÖt cã thÓ b»ng 0..
y
y y
C¸ch gi¶i: NghiÖm tæng qu¸t cña (10) lµ
Trong ®ã y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng
y
yp
qy
0
y
øng
;
lµ mét nghiÖm riªng cña (10)
)(xf
Ta xÐt vÕ ph¶i
cã d¹ng ®Æc biÖt:
.
xf )(
x
xPe . )(
a)
, trong ®ã lµ h»ng sè,
lµ ®a thøc bËc n
)(xPn
n
cña x.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NÕu kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng th×
*
y
x .. xQe )(
NÕu lµ nghiÖm ®¬n cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng
n
*
x
y
xe
..
th×
xQ )( n
NÕu
tr×nh ®Æc
trng
th×
x
2
*
lµ nghiÖm kÐp cña ph¬ng .. xQex )(
y
n
Trong ®ã
lµ ®a thøc cã cïng bËc n , c¸c hÖ sè cña
)(xQn
®îc x¸c ®Þnh bëi ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh. Tøc lµ thay
)(xQn *y vµo
(10)vµ ®ång nhÊt hÖ sè hai vÕ.
Chó ý: NÕu vÕ ph¶i lµ tæng cña c¸c hµm sè ®Æc biÖt th× ta sö
dông nguyªn lý chång chÊt nghiÖm ®Ó t×m nghiÖm b»ng tæng
c¸c nghiÖm riªng cïng mét bíc.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
2
y
y
1
x
VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh
y
y
*y
Gi¶i: NghiÖm tæng qu¸t
y
2
y
y
0
Bíc 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng
2
k
2
k
01
k
k
1
Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
1
2
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng;
x
y
e
(
c
)
xc 1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Bíc 2: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt
x .
xf
1)(
x
xPe )(
1n
VÕ ph¶i
cã d¹ng
, víi
0 ,
n
V×
0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng
*
x
y
e
(0
Ax
B
)
Ax
B
do ®ã nghiÖm
riªng cã d¹ng
0
y
A
y
*
. Thay vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ta cã:
20
A
Ax
B
1
x
*
x
y
3
B
A 1 2 A
1
A B
1 3
x
y
xce (
c
)
x
3
VËy nghiÖm tæng qu¸t:
1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
x
y
y
xe
2 e
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
y
y
*y
y
0 y
Gi¶i: NghiÖm tæng qu¸t:
2
k
k
01
0
i
( ,0
)1
Bíc 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng:
2,1
Ph¬ng tr×nh ®Æc trng ;
y
sin
x
c
cos
x
c 1
2
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Bíc 2: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt:
x
x
xf )(
xe
2
e
f
x )(
VÕ ph¶i:
. (Dïng nguyªn lý chång
xf )( 1
2
chÊt nghiÖm)
x
xf
)(
xxe
);
,1
1
Víi
cã d¹ng:
kh«ng lµ nghiÖm
. nxPe ( n
*
x
y
e
(
Ax
B
)
cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng nªn:
1
)( xf
2
xe
1
x . nxPe (
);
0
Víi
cã d¹ng
,
kh«ng lµ nghiÖm
n
*
y
e
x . c
cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng nªn
2
VËy mét nghiÖm
riªng cña ph¬ng
tr×nh cÇn gi¶i
*
x
x
y
e
(
Ax
B
)
. ec
lµ:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh ®¹o hµm ta cã:
*
x
x
x
y
e
(
Ax
B
)
Ae
ce
x
x
x
x
y
''*
e
(
Ax
B
)
Ae
Ae
ce
x
x
x
x
x
x
Thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc e ce ce
BA
Ax
Ax
B
2
)
(
)
(
xe
2 e
A
2
A
1
x
0
* y
x ( xe
)1 e
B
1 2
A B 2 2 C
2
2
e 1 2 1 2 1
C
x
x
e
cos
sin
)1
x
e
x
c
x
y
(
c 1
2
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i 1 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
)( xf
. e
(
cos
xQx
sin)(
x
)( xP n
m
b) )
)(xPn
)(xQm
i
Trong ®ã , lµ h»ng sè. , lµ ®a thøc bËc mn, cña x.
*
x
y
xHe )(
(.
cos
sin)(
x
)
- NÕu kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng
S
xLx S
i
th×:
*
y
x xe
(
cos
sin)(
x
)
xH )( S
xLx S
S
max( mn
,
)
xLxH ); )(
(
- NÕu lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng th×:
S
S
Trong ®ã lµ c¸c ®a thøc bËc mµ
c¸c hÖ sè cha biÕt cña chóng cã thÓ x¸c ®Þnh ®îc b»ng
ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
y ''
4
x
sin
x
VÝ dô 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh:
y
y
*y
Gi¶i: NghiÖm tæng qu¸t
y
y ''
0
Bíc 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng
k
012
0
k
i
( ,0
)1
Ph¬ng
tr×nh ®Æc
trng
;
nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt
y
cos
x
c
sin
x
c 1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
x
)( xf
4
x
sin
x
e
(.
cos
xQx
sin)(
x
)
Bíc 2: T×m mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt:
xP )( n
m
,0
0 i
i
1s
0n
1m
VÕ ph¶i: cã d¹ng:
1 ;
Víi , nªn vµ lµ nghiÖm
x
y
.0 . ex
BAx )
cos x
DCx (
sin)
cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng, nªn mét nghiÖm riªng cña ph¬ng
(
x
tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt cÇn gi¶i lµ
( y ' ''* y
Ax A
B x cos
cos DCx sin) x ( x ) x xCBAx sin ( ) sin
Cx cos ( sin DAx x ) BCx ( CxDAx x DCx cos ( ) cos ( )
TÝnh ®¹o hµm:
) Ax +
cos
x
sin
DAx (
Cx
)
A
sin
x
cos
BCx (
Ax
sin
BCx (
Ax
)
Cx
)
+
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Thay vµo ph¬ng tr×nh ®· cho vµ ®ång nhÊt hÖ sè hai vÕ, ta
0B
1D
0C
cã: ;
;
;
.
VËy mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt:
*
y
x
(sin
x
x
cos
x
)
NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ:
y
cos
x
c
sin
x
x
(sin
x
x
cos
x
)
c 1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
y
2'2'' y
cos
x
VÝ dô 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh
y
y
*y
Gi¶i NghiÖm tæng qu¸t:
y
y 0'2''
Bíc 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng
2
k
2
k
0
k
,0
k
2
Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
1
2
y
NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt
1 c
2 xec 2
2
1
xf )(
cos
cos
x )(
2
2
x
x
f
Bíc 2: T×m mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt.
VÕ ph¶i:
.
xf )( 1
2
x
nxPe (
);
..
,0
0
Víi
cã d¹ng
lµ nghiÖm ®¬n cña
xf 1)(1
n
y
y 1'2''
ph¬ng tr×nh ®Æc trng nªn mét nghiÖm riªng cña
lµ:
*
.0 . Aex
x
Ax
y 1
x
.
f
cos
2
x
cos
xQx
sin)(
,0
:
,2
mn
0
, cã d¹ng:
xPe )(
x
)(2 x
n
m
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
i
0 i
2.
V×
kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc
y
'2'' y
cos
2
x
trng nªn mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh
lµ:
*
x
0
y
cos
2
Cx
2sin
cos
2
Cx
2sin
Be
x
B
x
2
VËy mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i lµ:
*
y
Ax
B
2cos
Cx
2sin
x
TÝnh ®¹o hµm:
y
'*
A
2
B
2sin
x
2 C
cos
2
x
y
''*
4
B
cos
2
x
4 C
2sin
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
4
B
cos
2
x
4 C
2sin
x
2
A
4
B
2sin
x
4 C
cos
2
x
1
cos
2
x
Thay vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc:
A
A
2
1
1 2
*
y
2cos
x
2sin
x
CB 4 4
B
§ång nhÊt hÖ sè hai vÕ ®îc:
1 8
x 2
1 8
1 8
4
B
C 4
0
C
1 8
1
2
x
eCCy
x
(cos
2
x
x )2sin
1
2
1 2
1 8
VËy: NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.3. HÖ Ph¬ng tr×nh vi ph©n
7.3.1 HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n chÝnh t¾c.
7.3.1.1. §Þnh nghÜa:
HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n lµ hÖ c¸c ph¬ng tr×nh chøa biÕn
®éc lËp, c¸c hµm ph¶i t×m vµ c¸c ®¹o hµm cña chóng.
- HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 chÝnh t¾c lµ hÖ ph¬ng
yx ,(
y
f
,
,...,
)
1
1
2
ny
yx ,(
y
f
,
,...,
)
(1)
2
1
2
ny
tr×nh vi ph©n cã d¹ng dy 1 dx dy 2 dx
..............
f
yx ,(
,
y
,...,
y
)
n
2
1
n
dy n dx
y
,
y
,...,
Trong ®ã x lµ biÕn ®éc lËp,
lµ c¸c hµm ph¶i t×m.
1
2
ny
y
y
x
),...,
y
(
x
)
NghiÖm cña hÖ (1) lµ tËp hîp n hµm
,
1
x )(1
2
(2
n
n
tháa m·n tÊt c¶ c¸c ph¬ng tr×nh cña hÖ.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
,
,...,
)
y 1 1
ccx ,( 1
2
nc
,
,...,
)
y 2
2
ccx ,( 1
2
nc
- NghiÖm tæng qu¸t cña hÖ (1) lµ tËp hîp n hµm:
,
,...,
c
)
y n
n
ccx ,( 1
2
n
.............
, cc
,...,
tháa m·n tÊt c¶ c¸c ph¬ng tr×nh cña hÖ (1), trong ®ã
1
2
nc
lµ n h»ng sè tïy ý.
,...,
NghiÖm riªng cña hÖ (1) lµ nghiÖm cña hÖ cã ®îc tõ
, cc 1
2
nc
0
0
0
,
c
,...,
nghiÖm tæng qu¸t b»ng c¸ch cho c¸c h»ng sè tïy ý
c 1
2
nc
nh÷ng trÞ cô thÓ .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.3.1.2. §Þnh lý tån t¹i duy nhÊt nghiÖm
yyxf
,(
,
,...,
y
),...,
f
yyx ,(
,
,...,
y
)
NÕu c¸c hµm
liªn tôc trong
1
1
2
n
n
2
n
1
0
0
0
(
,
y
,...,
)
mét miÒn nµo ®ã chøa ®iÓm
th× tån t¹i mét
yx , 0 1
2
ny
y
y
x
),...,
y
y
x )(
nghiÖm
,
cña hÖ (1), nghiÖm Êy
2
(2
n
n
y 1
xy )(1
tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn:
0
0
0
xy (
)
y
,
,...,
0 )
y 1
xy ( 2 0
y 1
xy ( n
0 )
n
1
0
0
yx ,
,...,
Trong ®ã
lµ nh÷ng sè cho tríc. NÕu ngoµi ra
0
1
ny
i
i (
,1
jn ;
n ),1
c¸c ®¹o hµm riªng
®Òu liªn tôc th× nghiÖm Êy lµ
f y
J
duy nhÊt.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.3.1.3. C¸ch gi¶i: LÊy ®¹o hµm hai vÕ 1 ph¬ng tr×nh vi ph©n cña
hÖ, sau ®ã chØ gi÷ l¹i hµm cha biÕt vµ dùa vµo c¸c ph¬ng tr×nh
kh¸c cña hÖ, khö tÊt c¶ c¸c hµm cha biÕt kh¸c. §ã lµ ph¬ng ph¸p
khö.
x
y
(1)
VÝ dô 1: Gi¶i hÖ
(2)
x
y
dx dt dy dt
Gi¶i: §¹o hµm hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) theo t ta cã:
dx dt
dy dt
2 xd 2 dt
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
yxyx
x 2'' x
0
Thay
vµ
tõ (1) vµ (2) vµo ta ®îc:
(3)
dy dt
dx dt
2 xd 2 dt
2
k
0
2
k
2
Gi¶i (3). Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
2,1
2 t
2 t
x
NghiÖm tæng qu¸t cña (3):
ec 1
ec 2
.2 t
.2 t
)'( x
2
e
c
2
e
c 1
2
NghiÖm tæng qu¸t ®èi víi y nhËn ®îc tõ ph¬ng tr×nh (1):
y
' xx
x
dx dt
.2 t
.2 t
)'( x
c
2 e
c
2 e
Trong ®ã:
1
2
.2
t
.2 t
y
c
)12(
e
c
)12(
e
VËy
1
2
2 t
2 t
x
VËy nghiÖm cña hÖ
ec 2
2 t
2 t
y
c
c
1
2
ec 1
12 e
12 e
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
'
3
y
2
z
VÝ dô 2: Gi¶i hÖ
(1)
z
'
2
y
z
(2)
z
''
y '2
z
'
Gi¶i: §¹o hµm hai vÕ cña (2) ta cã
. Thay (1) vµo ta
z
''
3(2
y
z )2
''
z
z
'
6
y
4
z
z
'
cã
(3)
z
z
z
z
''
.6
4
z
z
'
y
Tõ (2) cã
thay vµo (3) ta cã:
' 2
z
z '2''
z
0
' z 2
(4)
2
k
2
k
0
1
k
k
1
Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
1
2
z
)
x ce ( 1
xc 2
x
x
x
x
x
y
z
xc
ec
c
e
)
(
'
(
c
xc
)
ec
e
(
c
xc
NghiÖm tæng qu¸t cña (4) lµ: e
)
2
2
1
1
2
2
1
2
1 2
x
x
y
e
(
c
)
1
xc 2
ec 2
1 2
x
x
y
e
(
c
)
1
xc 2
ec 2
VËy nghiÖm cña hÖ lµ:
1 2
x
z
e
(
c
)
1
xc 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
y
1'
1 z
z
'
VÝ dô 3: T×m nghiÖm riªng cña hÖ: (1)
1
y
x
z
1
y
1
(2)
)0(
)0(
z
''
tháa m·n ®iÒu kiÖn: ,
Gi¶i: §¹o hµm hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2):
.
1' y 2) y x
(
1
2
1
z
''
z
''
z
.'
Thay (1) vµ (2) vµo ta ®îc
(3)
1 z
2
1 z 1 z
§©y lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai kh«ng chøa x.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
z
'
p
''
z
pp .
'
. pp
'
2 p
.
§Æt
1 z
p
0'
0
z
z
c
Thay vµo (3) ta ®îc
0p
NÕu
ln c 1
dp dz
p z
dp p
dz z
1
zcp
zc
z
'
dxc
ln
c
z
xCec .
1
1
1
2
2
dz dx
dz z
1
' z
y
x
NÕu , ta cã:
xcecc 21
xC
1
1 ecc 21
x
y
1
1
y
. Thay vµo (2) cã:
ex x
)0( z
1
1 c
1
e
z
)0(
2
c
Thay VËy nghiÖm riªng cña hÖ lµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7.3.2. HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cã hÖ sè lµ h»ng sè
7.3.2.1. §Þnh nghÜa: HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt
cã hÖ sè lµ h»ng sè lµ hÖ cã d¹ng:
...
2
ya 12
ya 11 1
n ya 1
n
...
(2)
ya 21 1
ya 22
2
n ya
2
n
...
ya 11 n
ya 2 n
2
ya nn
n
dy 1 dx dy 2 dx ....................... dy n dx
Trong ®ã
ija lµ c¸c h»ng sè.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
. YA
HÖ ph¬ng tr×nh cã thÓ viÕt ®îc díi d¹ng ma trËn sau:
dY dx
1
12
11
1 n
1
2
... a a ...
... a ... a
y y
22
21
2
n
2
A
Y
Trong ®ã:
dY dx
........ ... a
n
1 n
n
nn
2
; .... y
a a .......... ... a a
;
n
dy dx dy dx ....... dy dx
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
(
A .
PE )
0
7.3.2.2. C¸ch gi¶i Ph¬ng tr×nh
.Trong ®ã E lµ ma trËn
®¬n vÞ, lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña ma trËn A (hay
trng cña hÖ) tøc lµ:
còng ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh ®Æc det(
A E .
0
)
p 1 p
P
lµ c¸c Èn ph¶i t×m.
2 .... np
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®Æc trng
...
a 1 n
a
det(
A
E
0)
)
a 11 a 21 ...
a 12 22 ....
... ...
a 2 n ...
a
a
...
a
1 n
n
2
nn
,
cã n nghiÖm kh¸c nhau
n ,..., 1 2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
i (;
n ),1
Mçi sè ®Æc trng
cã 1 vÐc t¬ riªng
khi ®ã hÖ (2) cã n nghiÖm
i
ni
p 1 i p 2 i ..... p
x
2
1
xep
xep
y
nep
;...;
1
21
21
1
n
1 n
11
x
2
2
2
xep
2
22
22
n
2
y 12
12
x
x
y
NghiÖm thø nhÊt øng víi: ; ; y y 11 NghiÖm thø hai øng víi: ; ; ;
NghiÖm thø n øng víi
,...,
n
y 1 y
n
xep ;...; ; y nep 1 n
y 2
n
ep n 2 x nep 2 n
nn
nep nn
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ:
yCy
yC
...
1
1
11
2
12
1
...
(4)
nnC n yC
2
2
21
yC 1
yC 2
22
n
y ................................................. y
...
yC n
yC 2
yC 1
n
2
nn
n
1
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
7
y
3
y
1
2
VÝ dô 1: Gi¶i hÖ
6
4
y
y 1
2
dy 1 dx dy 2 dx
7
2
0
11
01
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
6
3 4
1
10
2
1 ;
p 11
p 1
Víi
11 , vÐc t¬ riªng
p
21
3
p
0
21
lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
3
p
0
p 11 p 11
21
6 6
p 2
2
p
1
;
21
p 11
p 11
21
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
p 12
p
2
10
2
p
22
3
3
p
0
p 12
22
Víi , vÐc t¬ riªng
6
6
p
0
p 12
22
1
;1
22 p
p 22
p 12
p 12
xe
y
lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
1 :
y 11
xe 21 2
10
y
10 xe
10
xe
VËy nghiÖm c¬ b¶n: Víi ;
22
12 y
x
10
x
: ;
y 1
ec 1
ec 2
x
10
x
y
2
2
ec 1
ec 2
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1
4
x
3
x
1
2
2
3
x
4
x
1
2
dx dt dx dt
2
8
0
25
0
VÝ dô 2: Gi¶i hÖ
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
3 4
4 3
i34
p 1
i34
. Víi
, vÐc t¬ riªng
2,1
1
p 11 p
21
21
1
i
ip
p
lµ nghiÖm cña
TrÞ riªng
;
11 p
p 21
21
11
p 3 11 ip 3
0 0
21
ip 3 p 3 11
i
.
NghiÖm c¬ b¶n: ¸p dông c«ng thøc ¬le: x
sin. i
e x
cos
x
.
i
e x
cos
x
sin. i
x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
i34
Víi
ta cã:
)34( ti
4
t
e .1
e
(cos
t 3
i
t )3sin
)34( ti
4
t
ei .
e
i (
t 3cos
t )3sin
4
t
4
t
e
3cos t
x
e
3sin t
T¸ch riªng phÇn thùc ta cã:
;
11 x
21
4
t
4
t
x
e
3cos t
e
3sin t
T¸ch riªng phÇn ¶o ta cã:
;
22
12 x
T¬ng tù nh ®èi víi ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi hÖ sè h»ng
i34
sè, ta kh«ng cÇn xÐt sè ®Æc trng liªn hîp
.
2
(
3cos t
c
)3sin
4 tet
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ lµ:
x 1
c 1
2
x
(
3sin t
c
)3cos
4 tet
2
c 1
2
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng VIII
lý thuyÕt chuçi
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.1. Chuçi sè
8.1.1 §Þnh nghÜa
,...,
Cho mét d·y v« h¹n c¸c sè
khi ®ã biÓu thøc
, uu 1
2
nu
u
u
...
...
nU (1)
1
2
nu
®îc gäi lµ chuçi sè. Ký hiÖu lµ
1n
,...,
,.. ®îc gäi lµ c¸c sè h¹ng cña chuçi sè
, uu 1
nu
2
C¸c sè nU gäi lµ sè h¹ng tæng qu¸t cña chuçi.
lµ tæng riªng thø n cña chuçi.
2
n
1
n
u u
u ... ...
gäi lµ phÇn d thø n cña chuçi.
(1), S r n
1
n
n
2
n
khi
lim
S
u u XÐt d·y tæng riªng nS ®Þnh b»ng S , nghÜa lµ
, nÕu d·y ®ã cã giíi h¹n x¸c th× ta nãi r»ng chuçi sè (1) héi
S n
n
S
tô, S lµ tæng cña nã vµ ta viÕt:
nU
1n
n
kh«ng dÉn tíi mét giíi h¹n x¸c ®Þnh th×
S
S
, nÕu d·y nS Khi ta nãi r»ng chuçi sè (1) ph©n kú. Trong trêng hîp chuçi sè (1) héi tô th×:
r n
n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
...
VÝ dô 1: Cho chuçi sè
1 2.1
1 4.3
Sè h¹ng tæng qu¸t:
Un
)1
...
1
Tæng riªng thø n
Sn
1 3.2
1 nn (
)1
1
n
1
1(
S
lim
Tæng
lim = S
n
n
n
1 3.2 1 nn ( 1 2.1 1
n
1) 1
1
)0a
nqa .
(víi
VÝ dô 2: XÐt chuçi sè
n
1
2
1
a
aq
aq
...
naq
...
Chuçi ®· cho cã thÓ viÕt:
§©y lµ mét cÊp sè nh©n v« h¹n cã c«ng béi lµ q
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
0
1
n
1
S
aq
aq
...
aq
a .
Tæng riªng thø n:
n
q q
1 1
n
T×m giíi h¹n cña tæng riªng khi
n
;
khi
:
q
1
a .
lim S
n
n
lim n
q q
1 1
a q ; khi
:
q
1
1
n
n
1q
1q
q lim
0
q
lim
V× nÕu
th×
; nÕu
th×
n
n
S
1q
1q
VËy: nÕu
chuçi ®· cho héi tô vµ cã tæng
nÕu
a
1
q
chuçi ®· cho ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
1q
a
...
a
a
...
XÐt t¹i
, chuçi ®· cho cã d¹ng:
lim
S
na
Khi ®ã:
vµ
, do ®ã chuçi ph©n kú.
n
Sn
n
aaaa
....,
1q
XÐt t¹i
, chuçi ®· cho cã d¹ng:
0
a
,
a
Khi ®ã
,
,...
S 3
S 1
2 S
2 kS
1
Ta thÊy d·y tæng riªng nS cã thÓ trÝch ra hai d·y con
lÇn lît cã c¸c giíi h¹n kh¸c nhau lµ a vµ 0 do ®ã chuçi
vµ
kS 2
®· cho ph©n kú.
1
nqa .
1q
1q
héi tô nÕu
vµ ph©n kú nÕu
.
KÕt luËn: Chuçi sè
n
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.1.2 C¸c ®Þnh lý vÒ chuçi sè héi tô
8.1.2.1. §iÒu kiÖn cÇn ®Ó chuçi sè héi tô
nU héi tô th× sè h¹ng tæng qu¸t
nU cña
§Þnh lý: NÕu chuçi sè
1n
n
0
nã dÇn tíi kh«ng khi
. Tøc lµ
.
n
U lim n
0
Nh vËy cã nghÜa lµ nÕu
th× chuçi ph©n kú, cßn
n
U lim n
0
chuçi cã thÓ héi tô, cã thÓ ph©n kú.
n
U lim n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
...
1 5
3 8
5 11
7 14
U
0
VÝ dô 1: Cho chuçi sè
U n
n
lim n
n 2 n 3
1 2
2 3
Sè h¹ng tæng qu¸t: vµ , vËy chuçi ®·
1
1
1
...
cho ph©n kú.
VÝ dô 2: Cho chuçi sè
2
6
12
0
Cã
vµ
n
U n
U lim n
1 nn (
)1
VËy chuçi ®· cho cã thÓ héi tô, cã thÓ ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.1.2.2. C¸c tÝnh chÊt cña chuçi sè héi tô
nU héi tô vµ cã tæng lµ S th× chuçi sè
TÝnh chÊt 1: NÕu chuçi
1n
,
nUa .
trong ®ã a lµ mét h»ng sè còng héi tô vµ cã tæng lµ Sa.
.
n
1
nV lµ hai chuçi sè
TÝnh chÊt 2: NÕu chuçi sè
nU vµ chuçi sè
1n
1n
(
)
héi tô, cã tæng lÇn lît lµ
'S vµ
''S th× chuçi sè
còng
n
n VU
n
1
''
' S
S
héi tô vµ cã tæng lµ
Chó ý:
Tæng hai chuçi ph©n kú cã thÓ ph©n kú còng cã thÓ héi tô.
Tæng mét chuçi héi tô vµ mét chuçi ph©n kú lµ chuçi ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 3 TÝnh héi tô hay ph©n kú cña mét chuçi sè kh«ng
thay ®æi khi ta thªm hoÆc bít ®i mét sè h÷u h¹n c¸c sè h¹ng
®Çu tiªn cña chuçi.
nU , víi m h÷u h¹n th× hai chuçi sÏ
NghÜa lµ:
nU vµ
1n
mn
cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú.
Chó ý: TÝnh héi tô kh«ng thay ®æi nhng tæng cña chuçi
thay ®æi. Do ®ã khi t×m tæng cña chuçi sè ph¶i ®Ó ý xem n b¾t
®Çu tõ bao nhiªu v× nÕu thõa hoÆc thiÕu mét vµi sè h¹ng ®Çu
sÏ ¶nh hëng tíi tæng cña chuçi (nÕu cã).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.2. Chuçi sè d¬ng
nU ®îc gäi lµ chuçi sè d¬ng nÕu
8.2.1 §Þnh nghÜa: Chuçi sè
1n
mäi sè h¹ng cña nã ®Òu d¬ng.
nU ®Òu lµ c¸c sè
Trong trêng hîp mäi sè h¹ng cña chuçi
1n
nU gäi lµ chuçi sè ©m. Nhng do tÝnh chÊt 1) cña chuçi sè
©m th×
1n
®· cã, dÔ dµng suy ra sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi sè ©m tõ sù héi tô hay ph©n kú cña chuçi sè d¬ng. Do ®ã ta chØ xÐt chuçi sè d¬ng.
S
US
0
, v×
theo
n
1
n
n
1
1 nU
nU . Ta cã
XÐt chuçi sè d¬ng
1n
gi¶ thiÕt nªn
. VËy
S 1 n
S n
nS lµ mét hµm ®¬n ®iÖu t¨ng theo n. Do ®ã
lim . S
n
nS bÞ chÆn trªn th× tån t¹i giíi h¹n
n
nÕu tæng riªng VËy: NÕu tæng riªng cña mét chuçi sè d¬ng bÞ chÆn trªn th× chuçi sè ®ã héi tô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.2.2. C¸c tiªu chuÈn héi tô cña chuçi sè d¬ng
8.2.2.1. C¸c ®Þnh lý so s¸nh
nU
§Þnh lý 1 (Tiªu chuÈn so s¸nh): Cho hai chuçi sè d¬ng
1n
n
)
U
víi mäi
;
. Khi ®ã nÕu chuçi
0n
n ( 0 N
n V
n
nV . Gi¶ sö
vµ
1n
nU ph©n
sè
nV héi tô th× chuçi sè
nU héi tô; NÕu chuçi sè
1n
1n
1n
nV ph©n kú.
kú th× chuçi sè
1n
Chó ý: Ngêi ta thêng so s¸nh chuçi sè d¬ng ®· cho víi c¸c
chuçi sè d¬ng sau:
1
nqa .
1q
1q
(
a
,0
q
)0
;
héi tô khi
, ph©n kú khi
1)
n
1
1s
1s
héi tô khi
, ph©n kú khi
2)
n
1
1 sn
1S
Khi
, ph©n kú.
ta cã chuçi ®iÒu hßa
1 n n 1 Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
1 nn 1 2.
U
VÝ dô 1: XÐt sù héi tô, ph©n kú cña chuçi
n
n
1 2. n
1 n 2
§©y lµ chuçi sè d¬ng cã:
1 Mµ n héi tô nªn chuçi ®· cho héi tô. (Tiªu chuÈn so s¸nh). 1 2
n
3n
U
Cã
(Tõ
trë ®i)
VÝ dô 2:
n
1
n ln n
ln n n
1 n
ph©n kú.
ph©n kú nªn
ph©n kú
n
3
n
1
1 Mµ n n 1
n ln n
n ln n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
§Þnh lý 2 (Tiªu chuÈn t¬ng ®¬ng): Cho hai chuçi sè d¬ng:
n
lim
k
nV . Gi¶ sö tån t¹i giíi h¹n
nU vµ
n
1n
1n
U V
n
0
k
NÕu:
th× c¸c chuçi ®· cho ®ång thêi héi tô, hay
ph©n kú.
0k
NÕu:
nU còng héi tô.
vµ nÕu
nV héi tô th× chuçi sè
1n
1n
k
NÕu:
nU
vµ nÕu chuçi sè
nV ph©n kú th× chuçi sè
1n
1n
ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
VÝ dô 1: XÐt sù héi tô, ph©n kú cña chuçi
(
n
2
n 3)1
n
1
U
Sè h¹ng tæng qu¸t
n
n
(
n
2
lim
:
lim
Ta thÊy:
n
n
n
n
2 n 3).1 n 2 n
1
(
n
2 n 3).1
1 3
héi tô nªn chuçi ®· cho héi tô.
Mµ
n
1 n3
tga .
VÝ dô 2: XÐt sù héi tô, ph©n kú cña chuçi
n
n
3
tg
0
3n
.
tga
Víi
th×
, chuçi ®· cho lµ chuçi sè d¬ng cã:
U n
n
n
. tga
a
Ta thÊy:
lim
n
: nn
0a
NÕu
ph©n kú nªn chuçi ®· cho ph©n kú.
, v×
n
3n
0a
0
NÕu
, chuçi ®· cho cã
nªn héi tô.
0 nS
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.2.2. 2 Tiªu chuÈn §alambe (D ' Alembert)
1
n
D
lim
th× chuçi ®·
nU . NÕu cã
Gi¶ sö cho chuçi sè d¬ng
n
1n
U U
n
1D
1D
cho héi tô khi
, ph©n kú khi
.
1D
NÕu
ph¶i xÐt thªm b»ng ph¬ng ph¸p kh¸c.
U 1
n
Chó ý: NÕu
nU ph©n kú.
th× chuçi sè d¬ng
1n
lim n U
n
VÝ dô: XÐt sù héi tô, ph©n kú cña c¸c chuçi sè d¬ng sau:
n
1)
1
5 n 1
n
n
n
U 1
:
15
Ta cã
=
lim
lim n
n
n 5 1 n 2
5 n
1
n (5 )1 n ( )2
lim n U
n
VËy chuçi ®· cho ph©n kú
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
2.
n n !3n n 1
n
1
n
U
U
n
1
Cã
;
n
n )1 ( n 1 n ( 3
)!1
n n !.3 n
n
n
n
1
U 1
lim
lim
1
1
Ta cã
1
n
n
n
n
1 3
1 n
n lim n U
( !3)1 n n )!1(3
e 3
n
n VËy chuçi ®· cho héi tô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.2.2. 3. Tiªu chuÈn C«si (Cauchy)
Un
C
nU . NÕu
n
lim n
1n
1C
1C
, th× chuçi Gi¶ sö cho mét chuçi sè d¬ng
1C
®· héi tô khi vµ ph©n kú khi .
n
U
NÕu ph¶i xÐt thªm b»ng ph¬ng ph¸p kh¸c.
Chó ý: NÕu
n
nU ph©n kú
, th× chuçi sè
lim n
1n
VÝ dô: XÐt sù héi tô, ph©n kú cña chuçi sè d¬ng sau b»ng tiªu
chuÈn C«si:
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
n
1
.
n
1)
n
1
1 n
2
n
Cã
U
1
.
n
n
1 n
1 2
1 2
Theo tiªu chuÈn C«si ta cã:
2
n
n
n
n
1
U
.
1
n
lim n
lim n
n
1 n
1 2
e 2
1 lim
1 n VËy chuçi ®· cho ph©n kú.
2
n
2.
1 2
1
n
3 n n 5
2
n
U
Cã
n
3 n n 5
1 2
2
n
U
1
Ta cã:
Chuçi ®· cho héi tô
n
n
lim n
n 3 n 5
1 2
9 25
lim
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.2.2. 4. Tiªu chuÈn tÝch ph©n
nU cña nã
nU mµ c¸c sè h¹ng
Gi¶ sö cho mét chuçi sè d¬ng
1n
)(xf
t¹i c¸c trÞ sè nguyªn cña ®èi sè,
)
lµ trÞ cña mét hµm liªn tôc vµ hµm
®¬n ®iÖu gi¶m trong
,1( . Khi ®ã:
)(xf
xf
)( dx
nU héi tô
héi tô th× chuçi sè
NÕu
1n
1
xf
)( dx
nU ph©n kú
ph©n kú th× chuçi sè
NÕu
1n
1
)(xf
)(nf
Chó ý: NÕu
tån
t¹i hµm
sao cho
víi
U n
)
)(xf
n
vµ
liªn tôc, ®¬n ®iÖu gi¶m trªn miÒn
th×
( 0 n ;
0n
xf )(
dx
nU cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú.
vµ
1n
n 0
1k
1k
héi tô khi
, ph©n kú khi
. HoÆc cã
Ta ®· biÕt
du ku
a
thÓ dïng ®Þnh nghÜa ®Ó xem tÝch ph©n héi tô hay ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
VÝ dô: XÐt sù héi tô, ph©n kú cña chuçi sau, dïng tiªu chuÈn tÝch ph©n
1)
n
2
1 n ln.
k n
2x
2n
Cã
. XÐt hµm
liªn tôc víi
th×
)( xf
U n
)( nUnf
1 k ln. n
n
1 kln
x
x
k
k
1
ln
x
)( xf
TÝnh
, víi k lµ h»ng sè tïy ý, bao giê còng
k
2
x k ln.( x
ln. x )
k
1
ln
k
)
x
0
tån t¹i mét sè
ta lu«n cã
.
0x sao cho
0x
k
2
x ln.( x
x ln(. ) x
)(xf
xf
0)(
VËy
víi k vµ x ®ñ lín. Chøng tá
®¬n ®iÖu gi¶m.
)
1k
1k
Ta cã:
héi tô khi
, ph©n kú khi
dx k ln. x
d (ln k ln
x x
x
2
2
1k
1k
VËy chuçi ®· cho héi tô khi
, ph©n kú khi
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2)
n
2
x
2x
2x
)( xf
Cã:
. XÐt hµm
víi
víi
)( nUxf
n ln n U n
ln x
ln n n
)(xf
2x
Ta thÊy
liªn tôc víi
x
1
xf )(
0
TÝnh:
ln 2 x
x
3
xf )(
Víi
®¬n ®iÖu gi¶m trªn
,3( )
a
x
)( dxxf
dx
ln
xd
(ln
x
ln
xd
(ln
x
)
Ta cã
lim) a
ln x
3
3
3
3
2
2
(ln
a
)
)3(ln
(ln
x
)
lim a
lim a
1 2
1 2
2 a 3
1 2
Do ®ã tÝch ph©n nµy ph©n kú. VËy chuçi ®· cho ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.3. Chuçi sè dÊu bÊt kú
8.3.1. Chuçi ®an dÊu
8.3.1.1. §Þnh nghÜa: Ta gäi chuçi ®an dÊu lµ chuçi sè cã d¹ng:
(
u
u
.....)
,
, trong ®ã
... lµ c¸c sè d¬ng.
u 1
2
3
1 uu ,
2
DÜ nhiªn ta chØ cÇn xÐt chuçi sè ®an dÊu víi sè h¹ng ®Çu tiªn
u
u
u
.....
)1(
nU
d¬ng
2
3
1
n
n
0
8.3.1.2. §Þnh lý Lepnit (Tiªu chuÈn héi tô cña chuçi ®an dÊu)
u
u
u
...
,...,
Cho chuèi sè ®an dÊu
. NÕu d·y sè
®¬n
1 uu ,
2
2
3
1
u
u
...
n
®iÖu gi¶m, nghÜa lµ
vµ
khi
th× chuçi sè
0nu
u 1
2
3
®· cho héi tô vµ tæng cña nã kh«ng vît qu¸ sè h¹ng ®Çu tiªn.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
)1(
VÝ dô: Chuçi
.
n 1 1 n
n
1
Cã
U n
1 n
U
§©y lµ chuçi ®an dÊu, cã d·y
n U n
1
nU ®¬n ®iÖu gi¶m v×
lim
U
lim
0
vµ
. VËy chuçi ®· cho héi tô (Theo Lepnit).
n
n
n
1 n
Cã
U n
1 n
U
§©y lµ chuçi ®an dÊu, cã d·y
n U n
1
nU ®¬n ®iÖu gi¶m v×
U
0
vµ
. VËy chuçi ®· cho héi tô (Theo Lepnit).
n
lim n
lim n
1 n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.3.2 Chuçi cã dÊu bÊt kú sù héi tô tuyÖt ®èi vµ b¸n héi tô
8.3.2.1 §Þnh nghÜa: Chuçi cã dÊu bÊt kú lµ chuçi sè mµ c¸c sè
h¹ng cña nã lµ nh÷ng sè thùc cã dÊu bÊt kú.
8.3.2.2 Sù héi tô tuyÖt ®èi vµ b¸n tuyÖt ®èi §Þnh lý: NÕu chuçi sè
nU còng héi tô.
nU héi tô th× chuçi sè
1n
1n
Un héi tô chØ lµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó
Chó ý: §iÒu kiÖn chuçi sè
1n
Un héi tô chø kh«ng ph¶i lµ ®iÒu kiÖn cÇn, nghÜa lµ
chuçi sè
1n
nU ph©n kú.
cã thÓ chuçi sè
nU héi tô mµ chuçi sè
1n
1n
n
1
)1(
.
VÝ dô: Chuçi sè
héi tô theo ®Þnh lý Lepnit, nhng
1 n
n
1
n
1
)1(
.
lµ chuçi ®iÒu hßa, nã ph©n kú.
chuçi sè
1 n
1 n
n
1
n
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Un ®îc gäi lµ héi
nU héi tô th×
1n
1n
§Þnh nghÜa: NÕu chuçi sè
nU ph©n kú th× chuçi sè
tô tuyÖt ®èi.
nU héi tô cßn
1n
1n
nU ®îc gäi lµ b¸n héi tô (héi tô kh«ng tuyÖt ®èi)
1n
n
1
)1(
.
NÕu chuçi sè
VÝ dô 1: Chuçi sè
b¸n héi tô
1 n
n
1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
2
VÝ dô 2: XÐt sù héi tô cña chuçi sè
n
1
n sin n
n 2
Gi¶i: LËp chuçi sè
sin n
n
1
1n
Víi
ta cã
héi tô theo tiªu chuÈn tÝch
n 2
sin n
1 2 n
1 . V× 2 n n 1
ph©n.
héi tô. VËy chuçi ®· cho héi tô tuyÖt ®èi.
n 2
Suy ra
sin n
n
1
Chó ý: NÕu dïng tiªu chuÈn §alambe hay C«si mµ biÕt ®îc
nU còng ph©n kú.
nU ph©n kú th×
1n
1n
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.3.2.3 Vµi tÝnh chÊt cña chuçi sè héi tô tuyÖt ®èi
nU héi tô tuyÖt ®èi vµ cã tæng lµ S th×
TÝnh chÊt 1 NÕu chuçi
1n
chuçi sè ®îc suy tõ chuçi ®· cho b»ng c¸ch thay ®æi vÞ trÝ
mét c¸ch tïy ý c¸c sè h¹ng cña nã còng héi tô tuyÖt ®èi vµ
còng cã tæng lµ S.
nU b¸n héi tô th× ta cã thÓ thay ®æi vÞ trÝ c¸c
Cßn nÕu chuçi sè
1n
sè h¹ng cña nã ®Ó cho chuçi sè thu ®îc héi tô tíi mét sè bÊt
kú cho tríc hoÆc trë nªn ph©n kú.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
nV . Ta gäi
§Þnh nghÜa: Gi¶ sö cho hai chuçi sè héi tô
nU vµ
1n
1n
tÝch cña chóng lµ chuçi sè lËp nªn b»ng tÊt c¶ nh÷ng tÝch c¸c
sè h¹ng cña chóng tõng ®«i mét ®îc s¾p ®Æt theo thø tù sau:
nV héi tô tuyÖt ®èi vµ cã
nU vµ
1n
1n
TÝnh chÊt 2: NÕu hai chuçi sè
S
. SS
tæng lµ S vµ S th× tÝch cña chóng còng lµ mét chuçi sè héi tô
tuyÖt ®èi vµ cã tæng lµ .
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.4 Chuçi lòy thõa
8.4.1. §Þnh nghÜa
8.4.1.1 Chuçi hµm sè: Chuçi hµm lµ chuçi mµ c¸c sè h¹ng cña
nã
lµ
nh÷ng
hµm
cña
biÕn
®éc
lËp
x:
xU )(
xu )(
xu )(
...
xu )(
...
(1)
n
1
2
n
n
1
8.4.1.2. Chuçi lòy thõa: Chuçi lòy thõa lµ chuçi hµm cã d¹ng:
n
n
)
a
)
...
)
...
(2)
xa ( n
x 0
0
xa ( 1
x 0
xa ( n
x 0
n
0
0
Ta chØ xÐt chuçi lòy thõa trong trêng hîp:
0 x
n
2
n
a
...
...
xa n
0
xaxa 1
2
xa n
(3)
n
0
n
x
)
( aa n
0
V× mäi chuçi lòy thõa cã d¹ng
, b»ng phÐp ®æi
n
0
x
, ®Òu ®a ®îc vÒ d¹ng (3).
0 x
x Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.4.1.3 §Þnh lý Aben
x
x
0
NÕu chuçi lòy thõa (3) héi tô t¹i
th× nã héi tô tuyÖt ®èi
0
x
t¹i mäi x tháa m·n bÊt ®¼ng thøc:
.
0x
HÖ qu¶:
x
NÕu chuçi lòy thõa (3) ph©n kú t¹i
th× nã sÏ ph©n kú
0x
x
t¹i mäi x tháa m·n bÊt ®¼ng thøc
.
0x
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.4.2. B¸n kÝnh héi tô
r
0(:
r
)
8.4.2.1. §Þnh nghÜa: Sè
sao cho chuçi lòy thõa (3)
(
rr ),
héi tô tuyÖt ®èi trong kho¶ng
vµ ph©n kú trong c¸c kho¶ng
(
r ,
)
,( r
)
r
x
r
,
. T¹i
vµ
x , chuçi (3) cã thÓ héi tô, cã thÓ
ph©n kú. Sè r nãi trªn ®îc gäi lµ b¸n kÝnh héi tô.
(
rr ),
Kho¶ng
lµ kho¶ng héi tô cña chuçi lòy thõa (3).
Do ®ã: Muèn t×m miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa (3) ta t×m kho¶ng
héi tô, råi xÐt thªm sù héi tô t¹i hai ®iÓm mót (MiÒn héi tô lµ tËp hîp
tÊt c¶ c¸c ®iÓm héi tô).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
8.4.2.2 Quy t¾c t×m b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa
n
a
§Þnh lý: NÕu
(hoÆc
) th× b¸n kÝnh héi tô r
n
lim n
lim n
a 1 n a
n
cña chuçi lòy thõa (3) ®îc x¸c ®Þnh nh sau:
0
p
/1
khi
p
r =
0 khi
0p
khi
rr ), (
Gi¶ sö biÕt b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa lµ r , khi ®ã
®îc gäi lµ kho¶ng héi tô cña chuçi lòy thõa. Muèn x¸c ®Þnh
miÒn héi tô ta ph¶i xÐt cô thÓ c¸c chuçi sè t¬ng øng víi c¸c
gi¸ trÞ t¹i c¸c ®Çu mót cña kho¶ng héi tô.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
NÕu cã v« sè c¸c hÖ sè
, th× ta ph¶i t×m miÒn héi tô cña
0na
chuçi lòy thõa theo c¸c bíc sau:
n
lim 1
)(xU
Bíc1:T×m
hoÆc
,gi¶ sö chóng cã giíi h¹n lµ
xU )( n
n
lim n
xU )( n )( xU n
xU
1)(
Bíc 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh
. NghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh
nµy lµ nh÷ng ®iÓm héi tô cña chuçi lòy thõa - (Kho¶ng héi tô).
Bíc 3: XÐt tai c¸c ®iÓm biªn lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
xU )(
1
Bíc 4: KÕt luËn vÒ miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa. (HiÓn
nhiªn víi nh÷ng ®iÓm lµ nh÷ng ®iÓm lµ nghiÖm cña bÊt ph¬ng
xU
1)(
tr×nh
lµ nh÷ng ®iÓm ph©n kú).
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
n
)1(
VÝ dô 1: T×m miÒn héi tô cña chuçi:
n
1
x n
6
8
Gi¶i: C¸ch 1 Dïng quy t¾c t×m b¸n kÝnh héi tô suy ra kho¶ng héi tô, sau ®ã xÐt t¹i c¸c ®Çu mót ®Ó kÕt luËn vÒ miÒn héi tô.
n
lim
:
lim
1
Ta cã:
n
n
n
a lim 1 a
1
2
6
1 n
8
6
n
6 6
n n
8 2
n
VËy b¸n kÝnh héi tô lµ r = 1, suy ra kho¶ng héi tô lµ (-1; 1). Ta xÐt t¹i c¸c ®Çu mót:
n
)1(
. §©y lµ
T¹i x = 1. Khi ®ã chuçi ®· cho trë thµnh
n
1
1 n
6
8
chuçi sè ®an dÊu, héi tô theo tiªu chuÈn Lepnit.
n
n
)1(
T¹i x= -1.Khi ®ã chuçi ®· cho trë thµnh
.
n
1
n
1
)1( n 6
8
1 n
6
8
1
1
x
§©y lµ chuçi sè d¬ng, ph©n kú v× t¬ng ®¬ng víi chuçi sè ®iÒu hßa. VËy miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa ®· cho lµ
1,1
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
C¸ch 2: Ta cã:
n
1
n
n
1
n
n
)1(
)1(:
x
n
lim n
lim n
lim n
x n
6
2
x n
6
8
x x
6( )8 n n )2 6(
)( xU 1 n )( xU n
x
1
1
1
x
Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh
kho¶ng héi tô lµ
(-1, 1).TiÕp tôc xÐt t¹i c¸c ®Çu mót nh c¸ch 1, ta còng thu
1;1
®îc miÒn héi tô lµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
(1)
2
VÝ dô 2: T×m miÒn héi tô cña chuçi
n
1
(
n
x ( ln)1
)1 n (
)1
Gi¶i:
n
C¸ch 1 §Æt
x
1 x
. Khi ®ã (1) ®îc viÕt l¹i lµ:
2
n
1
x ln)1
(
n
(
n
)1
2
1
1
TÝnh:
. Do ®ã b¸n kÝnh héi tô r =1,
2
lim n
lim n
a n a
n ( n (
ln)1 ln)2
( (
n n
)1 )2
n
11
0
2
1
x
x
n
.
T¹i x= -2, chuçi ®· cho trë thµnh
2
1
n
suy ra kho¶ng héi tô ®ang xÐt lµ (-1,1). Tõ ®ã suy ra kho¶ng héi . Ta xÐt t¹i c¸c ®Çu mót: tô cña chuçi (2) lµ: )1( ln)1
)1
n
n
(
(
§©y lµ chuçi sè ®an dÊu, héi tô theo Lepnit.
0x
T¹i
, ®©y lµ chuçi sè
2
, chuçi ®· cho trë thµnh
n
1
1 ln)1
(
n
(
n
)1
0,2
d¬ng, héi tô theo tiªu chuÈn tÝch ph©n. VËy miÒn héi tô cña chuçi ®· cho lµ
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
n
1
n
:
lim
2
2
lim n
n
x ( ln)2
)1 (
(
n
n
)2
(
n
x ( ln)1
)1 n (
)1
U x )(1 n xU )( n
2
(
x
)1
x
1
C¸ch 2: XÐt
lim
2
n
n ( n (
ln)1 ln)2
( (
n n
)1 )2
11 x
=
2
x
0
Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh suy ra kho¶ng héi tô lµ
2
x
0
.
XÐt t¹i hai ®Çu mót nh trªn, ta cã miÒn héi tô lµ , hay
0,2
.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa
n
n
a
...
...
xa n
0
xa 1
xa n
Cho chuçi lòy thõa
(4) cã
n
0
(
rr ),
kho¶ng héi tô lµ
. Khi ®ã ta cã:
TÝnh chÊt 1: Chuçi lòy thõa (4) héi tô ®Òu trªn mäi ®o¹n [a,b]
bÊt kú n»m trong kho¶ng héi tô cña nã.
Chó ý: TÝnh chÊt nãi trªn chØ kh¼ng ®Þnh chuçi (4) héi tô ®Òu
trªn mäi ®o¹n n»m trong kho¶ng héi tô cña nã. Song trong
toµn bé kho¶ng héi tô th× chuçi (4) cha ch¾c ®· héi tô ®Òu.
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
TÝnh chÊt 2: Tæng cña chuçi lòy thõa (4) lµ mét hµm liªn tôc
trong kho¶ng héi tô cña nã.
x
r
