Bài giảng Toán kinh tế: Chương 5

Chương 5: TỰ TƯƠNG QUAN

Nguyễn Phương

Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Ngày 5 tháng 1 năm 2023

NỘI DUNG

1 Bản chất của tự tương quan

2 Hậu quả

3 Nguyên nhân của tự tương quan

4 Phát hiện tự tương quan

5 Khắc phục hiện tượng tự tương quan

Phương pháp bình phương bé nhất tổng quát GLS - FGLS Phương pháp sai phân

Bản chất của tự tương quan

Tự tương quan là sự tương quan giữa các sai số ngẫu nhiên được sắp xếp theo thứ tự thời gian (trong số liệu chuỗi thời gian) hoặc không gian (trong số liệu chéo), tức là cov(ui, uj) (cid:44) 0.

Trong chuỗi thời gian, tự tương quan (còn được gọi là tương quan chuỗi) là tương quan trễ của một chuỗi đã cho với chính nó, bị chậm lại bởi một số đơn vị thời gian cov(ut, ut+s) (cid:44) 0, với s là hằng số khác 0.

Bản chất của tự tương quan

Hiện tượng tự tương quan giữa các sai số ngẫu nhiên có thể sinh ra theo các lược đồ tự hồi quy bậc khác nhau:

Lược đồ tự hồi quy bậc 1 (AR(1)) ut = ρut−1 + εt, εt là ồn trắng. ➤ Nếu |ρ| < 1 thì chuỗi thời gian ut gọi là chuỗi dừng. ➤ Nếu |ρ| = 1 thì chuỗi thời gian ut gọi là chuỗi không dừng. ➤ Nếu |ρ| > 1 thì chuỗi thời gian ut gọi là chuỗi bùng nổ. Lược đồ tự hồi quy bậc p (AR(p)) ut = ρ1ut−1 + ρ2ut−2 + ... + ρput−p + εt, εt là ồn trắng. ρj : hệ số tương quan có độ trễ j,j=1,2,...,p.

Hậu quả

Hậu quả của tự tương quan ➤ Các ước lượng OLS vẫn là ước lượng tuyến tính không chệch nhưng

không phải là ước lượng hiệu quả −→ không phải là ước lượng không chệch tốt nhất.

➤ Phương sai các hệ số ước lượng thu được bằng phương pháp OLS là chệch. ➤ Kết luận từ bài toán xây dựng khoảng tin cậy là không đáng tin cậy. ➤ Kết luận từ bài toán kiểm định giả thuyết thống kê về các hệ số là không đáng tin cậy.

Nguyên nhân của tự tương quan

Nguyên nhân của tự tương quan ➤ Yếu tố mùa vụ: thường xuất hiện với các số liệu có tần suất nhỏ hơn 1 năm, ví dụ: tần suất tháng, quý. . . ➤ Yếu tố xu thế: thường xuất hiện với các số liệu có chiều dài chuỗi thời gian khá lớn. ➤ Hiện tượng mạng nhện (Coweb phenomenon): biến phụ thuộc bị ảnh hưởng bởi giá trị của biến độc lập ở kỳ trước đó.

➤ Các độ trễ: Biến phụ thuộc ở kỳ t phụ thuộc vào chính nó ở các kỳ trước. ➤ Chọn mô hình không phù hợp:

- Do mô hình thiếu biến quan trọng - Do mô hình có dạng hàm sai ➤ Do xử lý số liệu: : phép lấy trung bình, phép nội suy và ngoại suy

Phát hiện tự tương quan

Quan sát đồ thị phần dư

ut không quan sát được −→ quan sát et −→ vẽ đồ thị của et theo thời gian.

Phát hiện tự tương quan

Kiểm định t ➤ Bước 1. Hồi quy Y theo X2, ..., Xk thu được et. ➤ Bước 2. Ước lượng et theo et−1 với t = 2,3,. . . , n

et = ρet−1 + vt

➤ Bước 3. Sử dụng thống kê t thông thường để kiểm định cặp giả thuyết: H0 : ρ = 0; H1 : ρ (cid:44) 0

Phát hiện tự tương quan

t=2(et − et−1)2 t=1 e2 t

Kiểm định Durbin-Watson ➤ Bước 1. Hồi quy Y theo X2, ..., Xk thu được et. ➤ Bước 2. Tính (cid:80)n d = (cid:80)n

Khi n đủ lớn thì d ≈ 2(1 − p). ➤ Bước 3. Tra bảng DW với mức ý nghĩa α số quan sát n và số biến độc lập k′ = k − 1 ta được dL và dU ➤ Bước 4. So sánh dL và dU với d −→ đưa ra kết luận.

Phát hiện tự tương quan

Ví dụ Kết quả hồi quy: ˆYi = 12, 5 + 3, 16Xi − −2, 15Di; n = 20; d = 0, 9 Với α = 0, 05, n = 20, k′ = 2, tra bảng ta được: dL = 1, 10 và dU = 1, 54. Do d = 0, 9 < dL nên có thể kết luận mô hình trên có hiện tượng tự tương quan dương bậc 1.

Điều kiện áp dụng kiểm định Durbin - Watson ➤ Chỉ kiểm định tự tương quan bậc 1. ➤ Mô hình hồi quy phải có hệ số chặn. ➤ Chuỗi số là liên tục: không có quan sát bị mất. ➤ Mô hình không chứa biến trễ của biến phụ thuộc. ➤ Khuyết điểm: có 2 vùng không quyết định được, và không có bảng tra khi n lớn.

Phát hiện tự tương quan

Kiểm định Breusch-Godfrey (kiểm định tự tương quan bậc p) ➤ Bước 1. Hồi quy mô hình

Yt = β1 + β2X2t + ... + βkXkt + ut,

thu được et. ➤ Bước 2. Hồi quy mô hình

et = α1 + α2X2t + ... + αkXkt + γ1et−1 + γ2et−2 + ... + γpet−p + εt,

2 + . . . + γ2

1 + γ2

α(p) thì bác bỏ H0, tức là có tự tương quan. α(p) thì chấp nhận H0, tức là không tự

Kiểm định F: như thông thường Kiểm định LM(Lagrange Multiplier Test): Với n đủ lớn thì (n − p).R2 có phân phối xấp xĩ χ2(p) - Nếu LM = (n − p).R2 > χ2 - Nếu LM = (n − p).R2 ≤ χ2 tương quan.

➤ Bước 3. Kiểm định H0 : không có tự tương quan, tức là (cid:44) 0. Nếu bác bỏ H0 : γ1 = γ2 = . . . = γp = 0, H1 : γ2 H0 thì chấp nhận mô hình có tự tương quan bậc nào đó.

Phát hiện tự tương quan

Đặc điểm của kiểm định BG

➤ Áp dụng cho mẫu có kích thước lớn. ➤ Có thể áp dụng cho những mô hình có chứa biến trễ của biến độc lập. ➤ Kiểm định tự tương quan với bậc bất kỳ. ➤ Kiểm định BG đòi hỏi phải xác định trước bậc của tự tương quan −→ thường phải kiểm định với nhiều giá trị của p.

Phát hiện tự tương quan

(a) Kiểm định tự tương quan bậc 1

(b) Kiểm định tự tương quan bậc 2

Khắc phục hiện tượng tự tương quan

Phương pháp 1. Phương pháp bình phương bé nhất tổng quát GLS - FGLS.

Phương pháp 2. Phương pháp sai phân.

Phương pháp 3. Sử dụng phương sai hiệu chỉnh

Khắc phục hiện tượng tự tương quan Phương pháp bình phương bé nhất tổng quát GLS - FGLS

Trong thực hành, người ta thường giả sử rằng ut theo mô hình hồi quy bậc nhất, tức là ut = ρut−1 + εt. Để đơn giản, ta xét mô hình hồi quy: Yt = β1 + β2Xt + ut

Trường hợp đã biết ρ - phương pháp bình phương bé nhất tổng quát GLS:

Biến đổi, ta được:

Yt − ρYt−1 = β1(1 − ρ) + β2(Xt − ρXt−1) + (ut − ρut−1)

t = Yt − ρYt−1; X∗

2 = β2, ta được:

t + εt

t = Xt − ρXt−1; β∗ 1 + β∗ t = β∗ Y∗

1 = β1(1 − ρ); β∗ 2X∗

Đặt Y∗

Trường hợp chưa biết ρ - phương pháp bình phương bé nhất tổng quát FGLS:

Thực tế, không có giá trị ρ −→ ước lượng ρ.

Khắc phục hiện tượng tự tương quan Phương pháp bình phương bé nhất tổng quát GLS - FGLS

Các phương pháp ước lượng ρ ➤ Sử dụng thống kê d - Durbin - Watson: d ≈ 2(1 − ˆρ) ⇒ ˆρ ≈ 1 − d 2 ➤ Sử dụng mô hình hồi quy phụ: et = ρet−1 + vt ➤ Ước lượng ρ nhiều bước: thủ tục lặp Cochrance - Orcutt, Prais - Winsten

Khắc phục hiện tượng tự tương quan Phương pháp sai phân

Phương pháp sai phân là trường hợp đặc biệt của phương pháp bình phương bé nhất tổng quát khi ρ = 1. Khi ρ = 1, ta được:

Yt − Yt−1 = β2(Xt − Xt−1) + (ut − ut−1)

Đặt ∆Yt = Yt − Yt−1, ∆Xt = Xt − ρXt−1, ta được:

∆Yt = β2∆Xt + εt

Bài giảng Toán kinh tế: Chương 5 - Nguyễn Phương