TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA KINH TẾ - BỘ MÔN KINH TẾ HỌC
TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chương 1 – Ma trận
TS. Lê Minh Hiếu https://mathlemin.wordpress.com/
Năm 2021
APPL. MATHS FOR ECO Chapter 1 - MATRIX
Nội dung chương 1
1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TUYẾN TÍNH 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.2 Các dạng ma trận đặc biệt 1.3 Các phép toán tuyến tính đối với ma trận 1.4 Các phép biến đổi ma trận
2. ĐỊNH THỨC 2.1 Định nghĩa 2.2 Các phương pháp tính định thức
3. PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.1 Phép nhân ma trận với ma trận 3.2 Ma trận nghịch đảo
TS. Lê Minh Hiếu
TUD TRONG KINH TẾ – Chương 1
Năm 2021
2 / 13
4. HẠNG CỦA MA TRẬN
Ma trận và các phép toán tuyến tính Các khái niệm cơ bản
1. Ma trận và các phép toán tuyến tính
1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1
Ma trận là một bảng số xếp theo theo dòng và cột. Ma trận cấp m × n là ma trận có m dòng và n cột. Kí hiệu:
A = {aij}m×n .
Cho hai ma trận A = {aij}m×n, B = {bij}m×n. Hai ma trận này gọi là bằng nhau (kí hiệu là A = B) nếu: i = 1, m, j = 1, n, aij = bij,
TS. Lê Minh Hiếu
TUD TRONG KINH TẾ – Chương 1
Năm 2021
3 / 13
Ma trận KHÔNG là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, Ma trận đối của ma trận A = {aij}m×n là ma trận −A = {−aij}m×n.
Ma trận và các phép toán tuyến tính Các dạng ma trận đặc biệt
1. Ma trận và các phép toán tuyến tính
1.2. Các dạng ma trận đặc biệt
Ma trận vuông: số dòng = số cột (đường chéo chính, đường chéo phụ),
Ma trận tam giác: là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0 (ma trận tam giác trên, ma trận tam giác dưới)
Ma trận đường chéo: ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0,
Ma trận dòng (1 × n) và ma trận cột (m × 1),
TS. Lê Minh Hiếu
TUD TRONG KINH TẾ – Chương 1
Năm 2021
4 / 13
Ma trận đơn vị.
Ma trận và các phép toán tuyến tính Các phép biến đổi ma trận
1. Ma trận và các phép toán tuyến tính
1.3. Các phép toán tuyến tính đối với ma trận
Phép cộng (trừ) hai ma trận cùng cấp: A = {aij}m×n, B = {bij}m×n
A ± B = {aij ± bij}m×n ,
Phép nhân ma trận với một số thực α: αA = {αaij}m×n.
1.4. Các phép biến đổi ma trận a) Các phép biến đổi sơ cấp: Đổi chỗ hai dòng (cột), Nhân một dòng (cột) với một số khác 0, Cộng vào một dòng (cột) tích của một dòng (cột) khác với một số k (cid:44) 0,
TS. Lê Minh Hiếu
TUD TRONG KINH TẾ – Chương 1
Năm 2021
5 / 13
b) Phép chuyển vị ma trận.
Định thức Định nghĩa
2. Định thức:
2.1. Định nghĩa Cho ma trận vuông cấp n:
A =
a11 a12 a21 a22 . . . . . . an1 an2 . . . a1n . . . a2n . . . . . . . . . ann
n X
Định thức của ma trận A là một số thực, kí hiệu là det(A) hay |A|, được tính theo công thức:
j=1
det(A) = 1 ≤ i ≤ n, (−1)i+jaij |Mij|,
TS. Lê Minh Hiếu
TUD TRONG KINH TẾ – Chương 1
Năm 2021
6 / 13
trong đó |Mij| là định thức của ma trận Mij nhận được từ ma trận A sau khi bỏ đi dòng i và cột j. Tính chất của định thức: xem giáo trình
Định thức Định nghĩa
Các ví dụ
a) Định thức cấp 1: A = {a11} det(A) = |A| = a11,
b) Định thức cấp 2:
!
A = a11 a12 a21 a22
det(A) = a11a22 − a12a21
c) Định thức cấp 3:
A =
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
TS. Lê Minh Hiếu
TUD TRONG KINH TẾ – Chương 1
Năm 2021
7 / 13
Sử dụng quy tắc Sarus.
Định thức Các phương pháp tính định thức
2.2. Các phương pháp tính định thức
a) Phương pháp khai triển: |Mij| gọi là phần bù của phần tử aij, khi đó: Aij = (−1)i+j|Mij| gọi là phần bù đại số của aij.
Khai triển theo dòng i
det(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ainAin
Khai triển theo cột j
det(A) = a1jA1j + a2jA2j + . . . + anjAnj
b) Phương pháp biến đổi về dạng tam giác:
d = = a11a22 . . . ann.
a11 a12 a22 0 . . . . . . 0 0 . . . a1n . . . a2n . . . . . . . . . ann
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
TS. Lê Minh Hiếu
TUD TRONG KINH TẾ – Chương 1
Năm 2021
8 / 13
Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo
Phép nhân ma trận với ma trận
3. Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo
3.1. Phép nhân ma trận với ma trận
Định nghĩa 1.1 Cho hai ma trận A = {aij}m×n và B = {bij}n×p,
Khi đó, tồn tại ma trận C = {cij}m×p gọi là tích của ma trận A với ma trận B, ký hiệu là C = AB
i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n, cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj,
Phần tử cij là tích vô hướng của dòng i ma trận trước với cột j của ma trận sau.
Một số tính chất:
(AB)C = A(BC), A(B + C) = AB + AC, (B + C)D = BD + CD,
TS. Lê Minh Hiếu
TUD TRONG KINH TẾ – Chương 1
Năm 2021
9 / 13
α(AB) = (αA)B = A(αB), (AB)0 = B0.A0, |AB| = |A|.|B|.
Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo Ma trận nghịch đảo
3.2. Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa 2.1 Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n là một ma trận vuông được ký hiệu là A−1 sao cho: AA−1 = A−1A = En, En là ma trận đơn vị cấp n.
- Ma trận nghịch đảo A−1 của ma trận vuông A nếu tồn tại thì sẽ duy nhất; - Điều kiện cần và đủ để tồn tại A−1 là det(A) (cid:44) 0, hay ta nói ma trận A không suy biến; - Một số tính chất cơ bản
(cid:16)
= A,
(cid:12) (cid:12)
A−1(cid:17)−1 (cid:12)A−1(cid:12)
(cid:12) = |A|−1, (cid:12)
TS. Lê Minh Hiếu
TUD TRONG KINH TẾ – Chương 1
Năm 2021
10 / 13
(AB)−1 = B−1A−1.
Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo Ma trận nghịch đảo
Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
a) Sử dụng ma trận phụ hợp: Cho ma trận vuông A cấp n. Ma trận phụ hợp của A là một ma trận vuông cấp n
A∗ =
A11 A21 A12 A22 . . . . . . A1n A2n . . . An1 . . . An2 . . . . . . . . . Ann
Aij là phần bù đại số của aij ∈ A;
A∗ A−1 = 1 det(A)
b) Phương pháp biến đổi ma trận:
TS. Lê Minh Hiếu
TUD TRONG KINH TẾ – Chương 1
Năm 2021
11 / 13
- Lập ma trận mở rộng C = [A|En], - Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đối với hệ vecto dòng của ma trận C về dạng [En|B], - Khi đó, B là ma trận nghịch đảo của ma trận A.
Hạng của ma trận
4. Hạng của ma trận
4.1. Định nghĩa
Hạng của một ma trận A là hạng của hệ vecto cột (hoặc dòng) của nó, ký hiệu là r(A),
Cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của một ma trận bằng hạng của ma trận đó,
Ma trận A có cấp là m × n thì: 0 ≤ r(A) ≤ min{m, n}.
4.2. Cách tìm hạng ma trận
a) Phương pháp định thức bao quanh
Nếu ma trận A có một định thức con D (cid:44) 0 cấp r, mà tất cả các định thức con cấp r + 1 bao quanh nó đều bằng 0 thì hạng của ma trận A bằng r.
TS. Lê Minh Hiếu
TUD TRONG KINH TẾ – Chương 1
Năm 2021
12 / 13
b) Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp - Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.
Hạng của ma trận
Ma trận có dạng:
b11 0 . . . 0 0 . . . 0 b12 b22 . . . 0 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b1s b2s . . . bss 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b1n b2n . . . bsn 0 . . . 0
TS. Lê Minh Hiếu
TUD TRONG KINH TẾ – Chương 1
Năm 2021
13 / 13
∀i = 1, 2, ..., s, bii (cid:44) 0, s ≤ n, Hạng của ma trận này bằng s.
