Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số liên tục

FITA- HUA

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC

3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER

3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER

3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F

3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ

3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

FITA- HUA

3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER





3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:

• Biến đổi Fourirer của x(n):

X

(  )



 njenx )(



n



Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc,  =  Ts  - tần số của tín hiệu liên tục Ts - chu kỳ lấy mẫu

• Ký hiệu:

  F 1F  

x(n) X() hay X() = F{x(n)} X() x(n) hay x(n) = F-1{X()}

FITA- HUA

• X() biểu diễn dưới dạng modun & argument:

(

X

 ) (



X

je  ) (

)

- phổ biên độ của x(n)

(X )

Trong đó:

- phổ pha của x(n)

 ( )



arg[

X

 (

)]





• Nhận thấy X() tuần hoàn với chu kỳ 2, thật vậy:

nj 

 ( )2 

n

enx )(



X

 ( )

X

  ( )2



jenx  )(

 



n



n







Áp dụng kết quả: Biểu thức biến đổi F ngược:

)( nx



X

( 

nj) e

  d



 k :2 :0 k

 

0 0

  

1  2

e jk  

 

FITA- HUAVí dụ 3.1.1: Tìm biến đổi F của các dãy:

n



n nua

:)(

a



1



nua (



:)1

a



1 nx )(2

nx )(1 Giải:



n



 nj

X

) 

)( enua



 ae   j



(1





0n 

n



1 jae 

1









n



 nj



X

) 



( nua



)1 e



 jea  1



(2



n



n



1







1





1





1   mjea



 

m



1 m



0  1



j

1  jea 1

1 1 ae 

1



3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER

FITA- HUA







 njenx )(

X

(  )



 njenx )(



nx )(



n



n



n





nx )(





n

Vậy, để X() hội tụ thì điều kiện cần là:

• Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng,

thậy vậy:

2



E



2)( nx

nx )(

x



n

n



    

  



nx )(



Nếu:

E

2)( nx





x

 

n

Ví dụ 3.1.2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:

n



)5.0(

nu )(

FITA- HUA nx )(1

n )(2)(2 nx nu



nu )(



rect

n )(

nx )(4

N

nx )(3 Giải:



n



)5.0(

n nu )(



)5.0(



2 )(1 nx



n

n



0 n



1  5.01



n



2 n nu )(

2



X2() không tồn tại

)(2 nx



 

n

n



n

0





nu )(



X3() không tồn tại

)(3 nx



 

n

n



n

0



N



1



rect



rect

N

)(4 nx

)( N n

N n )(



n

n



n



0

3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER

FITA- HUA

a) Tuyến tính

Nếu:

F

nx )( 1

X ( ) 1

nx )( 2

X ( ) 2



F 

  Xa (

)

 ) (

Thì:

nxa )( 11

nxa )( 2

2 Xa 1

1

2

b) Dịch theo thời gian

Nếu:

nx )(

F

X ( )

F )

 X 0n-j ( )

e

Thì:

nnx ( 0

n  ); (

(

n

)2

FITA- HUA

Ví dụ 3.2.1: Tìm biến đổi F của dãy:





Giải:

 nj

nx )(





n )(

F 

X

 ) (





en )(



1



n



Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:

F



j



j

2 

( 

n



)2



nx (



)2

e

  2 X (

 1) e

c) Liên hiệp phức

Nếu:

nx )(

F

X ( )

Thì:

nx )(*

F  X

(*

 )

FITA- HUAd) Đảo biến số

Nếu:

nx )(

F

X (

)

F

Thì:

nx (



)

X

(

 )

Ví dụ 3.2.2: Tìm biến đổi F của dãy:

ny )(



2 n  nu (

)

Giải:

Theo ví dụ 3.1.1, có kết quả:

n

1 F 

X

(  )



nx )(



nu )(



suy ra:

j 

)2/1(1 e



1 2

  

  

1 ny )(



 nx (

)



n  nu (

)

F 

X

(

 ) 



  2

j 

)2/1(1 e



FITA- HUA

e) Vi phân trong miền tần số

Nếu:

nx )(

F

X (

)

Thì:

nxn )(

F

j

dX( )  d 

n

ng )(



anuna (

);



1

Ví dụ 3.2.3: Tìm biến đổi F của: Giải: Theo ví dụ 3.1.1:

nx )(



n nua )(

F 

X

 ( )



a;



1 j  

1 ae

1



Suy ra:

 j

ae

ng )(



nnx )(

F 

G

 ) (



j



;

a



1

2



 j

 ( dX )  d



ae

 1



FITA- HUA

f) Dịch theo tần số

Nếu:

nx )(

F

X (

)

n

j  0

Thì:

e

nx )(

F 

X

)

 - ( 0

ny )(



a

anun

()

);



1 n  cos( 0

Ví dụ 3.2.4: Tìm biến đổi F của: Giải: Theo ví dụ 3.1.1:

nx )(



n nua )(

F 

X

 ( )



a;



1 j  

1



n

 j 0



n )( nua

 e

ny )(



n nua )(

cos(



)

n

1 ae  e

0n

1 2

n

 j 0



 e

 )( enx

n

1 2

FITA- HUA

F

Y

 ) (



X

)



X



)

  ( 0

  ( 0

1 2

Y

 ) (





1 j 

)

  ( 0

  ( 0

1 2

1(



ae

)

1(



ae

)

  

  

g) Tích 2 dãy

Nếu:

)

F

)

F

nx ( 1

X ( ) 1

nx ( 2

X ( ) 2



Thì:

.)(

F 

(  '

d )'

)'

X



(

X

nxnx )( 1

2

1





1  2





X

(  ' 

d )'

)'

X

(

2

1





1  2

FITA- HUAg) Tích chập 2 dãy

Nếu:

)

F

)

F

nx ( 1

X ( ) 1

nx ( 2

X ( ) 2

Thì:

*)(

F

X

)

(

nx 1

nx )( 2

 X ( ) 2

1

Ví dụ 3.2.4: Tìm y(n)=x(n)*h(n), biết: x(n)=h(n)=(n+2)+(n-2)

Giải:

Theo ví dụ 6.2.1, có kết quả:

j

2 

j

2 

X

(  )



H

(  )



e

 e

j

 2

j

4 

j

4 

Y

 ( )



HX )

 )  (

(

e

 e

 2 2 )



e

 e 2



ny (

)



nx (

(*)

nh

)



1 YF [ )]

(

ny (

)



 (

n



)4



 (2

n

)



 (

n



)4

FITA- HUA

g) Quan hệ Parseval

Nếu:

)

F

)

F

nx ( 2

X ( ) 2

nx ( 1

X ( ) 1





Thì:

)(



X

) d

X

)

(*)

)( nxnx 1

* 2

* (  ( 2

1





 

1  2

n



Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval Nhận xét:

Nếu:

)



)



nx (

)

nx ( 1

nx ( 2





Theo quan hệ Parseval, ta có:

2 )( nx



2 (  d

)

X





 

1  2

n



Với: - gọi là phổ mật độ năng lượng

  X (

)

 (

2)

S xx

FITA- HUA

TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI F

x(n) a1x1(n)+a2x2(n) x(n-n0) ej0n x(n) nx(n) x(-n)

x*(n)

'

X



)

X() a1X1()+a2X2() e-jn0 X() X(- 0) jdX()/d X(- ) X*(- )  '  (

 d

1

2

x1(n)x2(n)

1  2

 j C





)(



X

) d

X

)

)( nxnx 1

* 2

1 * (  ( 2





 

n



x1(n)*x2(n)

1  2 X1()X2()

FITA- HUA

3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z





n

)( nx

Z 

)( zX



)( znx



n



X

(  )



)( zX



jez 





)n(x

F 

) 

e)n(x



Im(z)



ROC X(z)

/ z / = 1

Re(z)

/z/=1 

Hay biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được lấy trên vòng tròn đơn vị theo biến số 

• Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1 X()=X(z) với z=ej

• Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1 X() không hội tụ

Ví dụ 3.3.1: Tìm biến đổi Z & F của các dãy:

n



)5.0(

nu )(

n )(2)(2 nx nu

FITA- HUA nx )(1 Giải:



;

z



5.0 zX )( 1



1 1  5.01

z

Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên:

X

(  )



j 

1 )( zX 1



j 

 ez

1 5.01  e



;

z



2 zX )( 2



1 1  21

z

Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2() không tồn tại

FITA- HUA

3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ

3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số

Miền n: x(n) h(n) y(n)=x(n)*h(n)

Miền : X() H() Y()=X()H()

h(n)

F H()=Y()/X(): gọi là đáp ứng tần số hệ thống

Nếu H() biểu diễn dạng môdun và pha:

- Đáp ứng biên độ

(H )

)

(H



(H)

 (je)

- Đáp ứng pha

(

)

FITA- HUAVí dụ: 3.4.1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:



Giải:

j

3 

h(n)=rect3(n) Biến đổi Fourier của h(n): 

2



 nj



nj 

H

(  )

rect

)( en

e



3



j 

 



1  e 1  e

n



0 n





j

 2/3

j

 2/3



j

 2/3

e

)



je  





j 

2/

j 

2/

sin( sin(

)2/3   )2/

e ( 2/ ( e

e

 

e  e

)

H

  ( )

sin( sin(

 )2/3  )2/



(A:

) 

A (   )

) 

(

Với

sin( sin(

 )2/3  )2/



(A:

) 

  

FITA- HUA

argH()

/H()/

1

/2

-

-2/3 0 2/3  

-/2

-

-2/3

0 2/3  

FITA- HUA

3.4.2 Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối

a. Ghép nối tiếp



y(n) x(n) h1(n) h2(n)

 Miền n:

y(n) x(n) h(n)=h1(n)*h2(n)

Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n)

F H1()H2()



Y() X() H1() H2()

 Miền  :

Y() X() H()=H1()H2()

FITA- HUAb. Ghép song song

h1(n)

y(n) x(n)

 Miền n: h2(n) 

y(n) x(n) h1(n)+h2(n)

H1()

Y() X()

 Miền : H2() 

Y() X() H1()+H2()

FITA- HUA

3.4.3 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức



Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Aejn

ny (

)



nx (

(*)

nh

)



nh (

(*)

nx

)



mnxmh ()



(

)



m





 nj



 mj

 ( j

 mn

)



Ae

e)m(h



(H)n(x



)

ny )(

Aemh )

(





m



m



n

nh )(



nu )(

Ví dụ: 3.4.3: Tìm y(n) biết:

nx

)(

 nj 32 e

1 2

  

  

 nj 3

e

 nj 3

ny )(



Hnx )(

 ) (



2 e





j

 j



 3

1



e



e





     

1 1 2

     

 3

1 2

FITA- HUA

3.4.4 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin

Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:

j

 j

A)n(x



cos(



)n



  n

e

 e

n

A 2

Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:

)

(H



(H)

 (je)

 j

 nj 0

)n(y



(H)n(x



e)



(H



e)

 (H

n

 ) 0

A 2





 nj 0

nj 0

)n(y





e)



(*H



e)





e)

 (HRe.A

nj

 (H



A 2

FITA- HUA

 nj 0

(HRe.A)n(y





e)



(HA



n

(

)

  cos

)





Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin:

j

 j

 sin(A)n(x



)n



  n

e

 e

n

A 2 j

 nj 0

(HIm.A)n(y

e)





(HA



n

(

  sin)

)



Ta cũng được kết quả: 

FITA- HUA3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HiỆU

3.5.1 Khái niệm lấy mẫu tín hiệu

xq(n) Mã hóa xd(n) xa(t) Rời rạc hóa x(n) Lượng tử hóa

Quá trình lấy mẫu tín hiệu

xs(t)

X xa(t) Chuyển xung -> mẫu xa(nTs) = x(n)

sa(t)



xa(t)

FITA- HUA

)( t



 (

t



)

s a

nT s



n



Ts 2Ts …

Tín hiệu tương tự

Chuỗi xung lấy mẫu

xs(t)

xa(nTs)

0 Ts 2Ts …

Tín hiệu được lấy mẫu

Tín hiệu rời rạc

Tốc độ lấy mẫu càng lớn -> khôi phục tín hiệu càng chính xác

FITA- HUA3.5.2 Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự



Lấy mẫu

A

cos(

)



cos



t



 nTx s

a

 Tn s

  Atxa

t = nTs

nx )(



A

cos(

A

cos(



n

)



 nTx s

a

 ) Tn s

sT

Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc

 - tần số của tín hiệu tương tự Ts - chu kỳ lấy mẫu

FITA- HUA

3.5.3 Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và





phổ tín hiệu tương tự

X



 fX



F s

F(X a

)mF s



m



F F s

  

  

Trong đó: X(f) – phổ của tín hiệu rời rạc

Xa(F) – phổ của tín hiệu tương tự

/Xa(F)/

1 F

Ví dụ: 3.5.1: Hãy vẽ phổ biên độ tín hiệu rời rạc, biết phổ biên độ tín hiệu tương tự cho như hình vẽ, với các tốc độ lấy mẫu: a)Fs>2FM b) Fs=2FM c) Fs<2FM

0 -FM

FM

/X(F/Fs)/

Fs

FITA- HUA

a)

F

0 -FM

-Fs

Fs

FM /X(F/Fs)/

Fs

b)

F

0 -FM

-Fs

Fs

FM /X(F/Fs)/

Fs

c)

F

0 2Fs

-FM

-2Fs

-Fs

FM

Fs

 cos3)(

2000

 t



sin5

6000

 t



cos

12000

 t

txa

FITA- HUA3.5.4 Định lý lấy mẫu

“Tín hiệu tương tự xa(t) có dải phổ hữu hạn (-FM ,FM) chỉ có thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu xa(nTs) nếu tốc độ lấy mẫu thỏa Fs ≥ 2FM”

• Fs =2FM=FN: Tốc độ (tần số) Nyquist



Ví dụ 3.5.2: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự:

3 cos

2000

 t



sin5

6000

 t



10 cos

12000

 t

)( txa

Giải: Tín hiệu có các tần số: F1=1 kHz, F2=3 kHz, F3=6 kHz FM=max{F1, F2, F3}=6 kHz  FN =2FM = 12 kHz

FITA- HUA3.5.5 Khôi phục lại tín hiệu tương tự

• Để khôi phục lại tín hiệu tương tự xa(t) thì phổ của tín hiệu được khôi phục phải giống với phổ ban đầu của xa(t).

- :



)



fH ( lp

f s 2 caùc ôû :

f s 2 soá

taàn

coøn

laïi

 T  s   0

• Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vô hạn của phổ tín hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách người ta cho các mẫu xa(nTs) đi qua mạch lọc thông thấp lý tưởng trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu có đáp ứng tần số: