zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Công nghệ thông tin

Bài tập lớn: Thiết kế và phân tích thuật toán - Bài toán tô màu đồ thị

Chia sẻ: Mai Anh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:66

Báo xấu

513
lượt xem 87
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tô màu đồ thị và sự tổng quát của nó là công cụ hữu dụng trong việc mô hình hóa rất nhiều bài toán khác nhau trong vấn đề xếp lịch, xây dựng chương trình và vấn đề phân công công việc. Bài toán tô màu đồ thị bao gồm nhiều loại: tô màu đỉnh đồ thị (vertex graph coloring) , tô màu cạnh đồ thị (edge graph coloring)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập lớn: Thiết kế và phân tích thuật toán - Bài toán tô màu đồ thị

Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG BÀI TẬP LỚN THIẾT KẾ VÀ PHÂN TÍCH THUẬT TOÁN ĐỀ TÀI 15: BÀI TOÁN TÔ MẦU ĐỒ THỊ Giáo viên hướng dẫn: PGS. NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Sinh viên thực hiện : 1. Nguyễn Thị Thanh Vi 20073430 CNPM K52 2. Ngô Văn Vĩ 20073500 CNPM K52 3. Nhâm Ngọc Trung 20073050 CNPM K52 Hà Nội, 12/2010 1|Page
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 MỤC LỤC MỤC LỤC.........................................................................................................................................2 2.4. Ứng dụng...........................................................................................................................7 2.1. Đọc dữ liệu từ file............................................................................................................36 2.2. Dữ liệu vào từ bàn phím..................................................................................................49 PHỤ LỤC 1: DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH TRONG TÀI LIỆU.......................................................64 I. GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 1. Tổng quan về đồ thị 1.1. Đồ thị và các cách biểu diễn đồ thị Đồ thị là gì Một cách không chính thức, đồ thị là một tập các đ ối t ượng đ ược g ọi là các đ ỉnh (ho ặc nút) nối với nhau bởi các cạnh (hoặc cung). Cạnh có thể có hướng hoặc vô hướng. Đồ thị thường được vẽ dưới dạng một tập các điểm (các đỉnh nối với nhau bằng các đoạn thẳng (các cạnh). Đồ thị biểu diễn được rất nhiều cấu trúc, nhiều bài toán thực tế có thể được biểu di ễn b ằng đồ thị. Ví dụ, cấu trúc liên kết của một website có thể được biểu di ễn bằng m ột đ ồ th ị có hướng như sau: các đỉnh là các trang web hiện có tại website, tồn tại một c ạnh có h ướng n ối từ trang A tới trang B khi và chỉ khi A có chứa 1 liên kết tới B. Cấu trúc đồ thị có thể được mở rộng bằng cách gán trọng số cho mỗi cạnh. Có th ể sử d ụng đồ thị có trọng số để biểu diễn nhiều khái niệm khác nhau. Ví dụ, nếu đồ thị bi ểu diễn một mạng đường giao thông, các trọng số có thể là độ dài của m ỗi con đ ường. M ột cách khác đ ể mở rộng đồ thị cơ bản là qui định hướng cho các cạnh của đồ thị (như đối với các trang web, A liên kết tới B, nhưng B không nhất thiết cũng liên kết tới A). Loại đồ thị này được gọi là đồ thị có hướng. Một đồ thị có hướng với các cạnh có trọng số được gọi là một lưới. 2|Page
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 Hình 01: Đồ thị vô hướng Các cách biểu diễn đồ thị - Ma trận kề (Adjaceny matrix) - một ma trận N × N, trong đó N là số đỉnh của đồ thị. Nếu có một cạnh nào đó nối đỉnh vivới đỉnh vj thì phần tử Mi,j bằng 1, nếu không, nó có giá trị 0. Cấu trúc này tạo thuận lợi cho vi ệc tìm các đ ồ th ị con và đ ể đ ảo các đ ồ thị. Labeled graph Adjacency matrix - Danh sách kề (Adjacency list) - Mỗi đỉnh của đồ thị có một danh sách các đỉnh k ề nó (nghĩa là có một cạnh nối từ đỉnh này đến m ỗi đ ỉnh đó). Trong đ ồ th ị vô h ướng, c ấu trúc này có thể gây trùng lặp. Chẳng hạn nếu đỉnh 3 n ằm trong danh sách c ủa đ ỉnh 2 thì đỉnh 2 cũng phải có trong danh sách của đỉnh 3. Lập trình viên có th ể ch ọn cách s ử 3|Page
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 dụng phần không gian thừa, hoặc có thể liệt kê các quan hệ kề c ạnh ch ỉ m ột l ần. Biểu diễn dữ liệu này thuận lợi cho việc từ một đỉnh duy nh ất tìm m ọi đ ỉnh đ ược n ối với nó, do các đỉnh này đã được liệt kê tường minh. The graph pictured above has this adjacency list representation: a adjacent to b,c b adjacent to a,c c adjacent to a,b 1.2. Các bài toán điển hình - Bài toán tập con độc lập - Bài toán tô mầu đồ thị - Bài toán tìm đường đi ngắn nhất - Bài toán luồng cực đại - Bài toán phủ tối thiểu - Kiểm tra tính liên thông của đồ thị - Duyệt đồ thị - … 2. Bài toán tô mầu đồ thị Tô màu đồ thị và sự tổng quát của nó là công cụ hữu dụng trong vi ệc mô hình hóa r ất nhi ều bài toán khác nhau trong vấn đề xếp lịch, xây dựng chương trình và v ấn đ ề phân công công 4|Page
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 việc. Bài toán tô màu đồ thị bao gồm nhiều loại: tô màu đỉnh đồ thị (vertex graph coloring) , tô màu cạnh đồ thị (edge graph coloring) ... 2.1. Bài toán tô mầu cạnh Bài toán Cho G=(V,E) là đơn đồ thị vô hướng ( G không là đồ thị khuyên) , hãy tìm cách gán (tô màu) cho mỗi cạnh của đồ thị một màu sao cho hai cạnh có cùng chung 1 đ ỉnh không b ị tô b ởi cùng một màu. Một phép gán màu cho các cạnh như vậy gọi là m ột phép tô màu c ạnh đ ồ th ị. Nói cách khác, phép tô cạnh đồ thị bởi k màu nói trên có thể được hi ểu là m ột phân ho ạch c ủa t ập cạnh E của G thành k tập con (tương ứng với k màu) sao cho m ỗi t ập con ứng v ới m ột màu i nhất định. Bài toán đặt ra là tìm cách tô màu nào sử dụng số màu ít nhất có thể. Ví dụ Đồ thị trong hình trên có thể tô bởi 4 màu. Đồ thị G gọi là tô được bởi k màu-c ạnh n ếu G có một phép tô k màu-cạnh phù hợp.Thông thường hầu hết các đồ thị không là đồ thị khuyên đều tô được.Và nếu G có tính chất như vậy thì G cũng có thể tô bởi l màu với l>k. 2.2. Bài toán tô mầu đỉnh Một phép tô mầu sử dụng nhiều nhất k mầu gọi là m ột phép tô k m ầu. S ố l ượng m ầu nh ỏ nhất cần để tô các đỉnh của đồ thị G gọi là sắc số đỉnh của đồ thị G, sao cho không có hai đỉnh kề nhau nào được tô cùng mầu. 5|Page
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 Một đồ thị có thể tô được bằng k mầu, trong đó m ỗi một t ập các đ ỉnh cùng m ầu g ọi là m ột lớp mầu. Một đồ thị có thể được tô bằng k mầu nghĩa là có có k tập độc lập trong đồ thị 2.3. Các khái niệm liên quan Định nghĩa 1: Sắc số cạnh: của đồ thị không là đồ thị khuyên χ’(G): là số màu k nhỏ nhất dùng để tô tất cả các cạnh của G sao cho không có 2 cạnh kề cùng màu.Khi đó χ’(G)=k.Theo đ ồ th ị G hình 1.1 ta có thể thấy không có cách nào phù hợp để tô G bởi 3 màu.Do đó G có sắc lớp=4. Các tính chất của sắc số cạnh: • χ′(G) = 1 khi và chỉ khi đồ thị G chỉ có 1 bộ (m ỗi b ộ là 1 t ập các c ặp c ạnh không k ề nhau mà có thể tô bằng đúng 1 màu ). • χ′(G) ≥ Δ(G). • χ′(G) ≤ Δ(G) + 1. (Định lý Vizing) • χ′(G) ≤ Δ(G) + μ(G), G là đa đồ thị. • χ′(G) = Δ(G) nếu G là đồ thị 2 phía • χ′(G) = Δ(G) nếu G là đơn đồ thị, phẳng và Δ( G) ≥ 7. (chứng minh bởi Vizing 1965 và Sanders & Zhao 2001) • χ′(G) = Δ(G) với hầu hết các đồ thị (chứng minh bởi Erdős & Wilson 1977). Rõ ràng, trong tất cả các cách tô màu cạnh đồ thị thì những c ạnh k ề v ới cùng m ột đ ỉnh ph ải có màu khác nhau.Khi đó nếu gọi ∆ là giá trị lớn nhất trong t ập b ậc c ủa đ ỉnh v ( ∆=maxdeg(v) ) thì hiển nhiên: Χ’(G) ≥ ∆ Từ nhận xét trên cộng với tính chất 3 của sắc số cạnh χ′(G) ta suy ra được nhận xét sau: Δ(G)≤ χ′(G) ≤ Δ(G) + 1 ( Công thức trên cũng là công thức biểu diễn của định lý Vizing mà chúng ta s ẽ phát bi ểu d ưới đây. Định lý Vizing: 6|Page
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 Bất kì một đơn đồ thị G nào cũng có số : χ’(G) thỏa mãn χ’(G)=∆ hoặc χ’=∆+1 Chứng minh: Vì chúng ta chỉ quan tâm đến nội dung của các định lý, lấy cơ sở cho việc xây dựng thuật toán giải quyết bài toán tô màu c ạnh đồ thị. Do đó trong báo cáo này, t ất c ả nh ững phần chứng minh các định lý các bổ để sẽ được trình bày ở phần phụ phía cuối báo cáo. Đến đây, chúng ta đã biết được sắc số cạnh của một đơn đồ thị biến thiên trong kho ảng [Δ(G), Δ(G) +1] . Bài toán tô màu cạnh đồ thị đặt ra yêu c ầu ph ải xác đ ịnh m ột cách tô màu với số màu ít nhất có thể để tô màu tất cả các cạnh của đ ồ th ị. Vậy trong h ệ b ất đ ẳng th ức (1) khi nào bất đẳng thức bên trái xảy ra dấu bằng. Định lý 1: Nếu G là đồ thị 2 phía thì χ’(G) = ∆ 2.4. Ứng dụng - Bài toán lập lịch: Ở đây nhóm xin đưa ra một ví dụ cụ thể là bài toán lập lịch thi: hãy lập l ịch thi trong m ột trường đại học sao cho không có sinh viên nào thi hai môn cùng một lúc Giải pháp: Biểu diễn bằng đồ thị với: • Mỗi môn học là một đỉnh • Nếu hai môn học nào được dự thi bởi cùng 1 sinh viên thì sẽ nối bằng 1 cạnh • Các lập lịch sẽ tương ứng với bài toán tô m ầu c ủa đồ thị này: số các m ầu đ ược tô là số các đợt thi, các đỉnh có cùng mầu sẽ thi cùng 1 đợt. Ví dụ: Có 7 môn thi với thông tin như sau: • Môn 1: có các sinh viên A, B, C và D thi • Môn 2: có các sinh viên A, E, F, G và H thi • Môn 3: có các sinh viên B, E, I, J và K thi • Môn 4: có các sinh viên B, F, L và M thi • Môn 5: có các sinh viên G, L, N và O thi • Môn 6: có các sinh viên J, M, N và P thi 7|Page
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 • Môn 7: có các sinh viên D, H, K, O và P thi Hãy xếp lịch thi thành các đợt sao cho các sinh viên đ ều có th ể d ự thi tu ần t ự các môn mình đăng ký Hình 02: Đồ thị G của bài toán lập lịch trên - Bài toán phân phối các thanh ghi chỉ số (register allocation) Trong lập trình các thanh ghi thường được dung để lưu trữ giá trị các biến tạm th ời. Bài toán yêu cầu tìm số thanh ghi ít nhất cần sử dụng trong một chương trình Giải pháp: Biểu diễn bằng đồ thị với: • Mỗi biến tương ứng là 1 đỉnh • Hai đỉnh được nối với nhau nếu hai biến cùng được ghi xuống tại một thời điểm Số thanh ghi ít nhất cần sử dụng sẽ là số mầu của đồ thị trên II. GIẢI THUẬT 8|Page
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 1. Bài toán tô mầu đỉnh 1.1. Các định nghĩa sử dụng: Để mô tả giải thuật nhóm bắt đầu với việc diễn giải các thuật ngữ, định nghĩa mà gi ải thu ật đề cập tới. - ⌊x ⌋: biểu thị các chức năng sàn tức là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x - ⌈ x⌉: biểu thị chức năng trần nghĩa là số nguyên bé nhất là không bé hơn x - Một đồ thị đơn giản G với n đỉnh bao gồm một tập các đỉnh V,với | V |= n, và một bộ các cạnh E, sao cho mỗi cạnh là một cặp không có thứ tự của các đỉnh khác nhau. Lưu ý rằng định nghĩa của G rõ ràng cấm các vòng lặp(cạnh nối một đỉnh với chính nó) và các cạnh đa (nhiều cạnh tham gia một cặp đỉnh), khi thiết lập E cũng phải được gi ới hạn. Chúng tôi có thể gán nhãn các đỉnh của G với 1 số nguyên, 2, ..., n. - Nếu các cặp không có thứ tự của các đỉnh {u, v} là một cạnh trong G, chúng ta nói u đó là một lân cận của v (hoặc u kề với v) và viết uv ∈ E. Lân cận đối xứng rõ ràng là một mối quan hệ: uv ∈ E nếu và chỉ nếu vu ∈ E . - Bậc của một đỉnh v, ký hiệu là d (v), là số lân cận của v. Số bậc tối đa của tất cả các đỉnh của G được ký hiệu là Δ. - Các ma trận kề của G là một ma trận n × n với các mục trong hàng u và cột v bằng 1 nếu uv ∈ E và bằng 0 nếu ngược lại. - Cho đồ thị G và H, tích đề các G × H được định nghĩa là các đồ thị mà tập các đỉnh là V (G) × V (H)với một cạnh đang kết nối đỉnh (u 1, v 1) với đỉnh (u 2, v 2) nếu và chỉ nếu hoặc u 1 = u 2 và {v 1, v 2} là một cạnh trong H hoặc v 1 = v 2 và {u 1, u 2} là một cạnh trong G. - Đồ thị đầy đủ với m đỉnh được ký hiệu là K m. - Tập độc lập S của đồ thị G là một tập các đỉnh như vậy mà không chứa cặp không có thứ tự của các đỉnh trong S là một cạnh. Với một bộ độc lập S củaG và một đỉnh v bên ngoài S, chúng ta nói v là có thể thêm vào nếu đặt S∪ {v} vẫn là một tập độc lập của G. Ký hiệu ρ (S) là số đỉnh có thể thêm vào của một tập độc lập S của G. Một tập độc lập tối đa không có đỉnh có thể thêm vào. Một tập độc lập tối đa là một tập độc lập với số lượng các đỉnh lớn nhất. Lưu ý rằng một tập độc lập tối đa luôn luôn là tối đa, nhưng không nhất thiết phải ngược lại. - Cho một tập m màu {1, 2, ..., m}, một tập m-màu của các đỉnh của đồ thị G là sự phân một màu duy nhất cho mỗi đỉnh của G sao cho không có hai đỉnh kề nhau có cùng màu. Số màu χ(G) của đồ thị G là giá trị nhỏ nhất của m mà tồn tại tương ứng một một m-màu của các đỉnh củaG. - Thuật toán là một phương pháp giải quyết vấn đề thích hợp để thực hiện như một chương trình máy tính. Trong khi thiết kế thuật toán chúng ta thường phải đối mặt v ới một số phương pháp tiếp cận khác nhau. 9|Page
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 - Thuật toán thời gian - đa thức A có số lượng các bước tính toán luôn luôn bị chặn bởi một hàm đa thức của các kích thước của đầu vào. Do đó, một thuật toán thời gian đa thức là một vấn đề thực sự hữu ích trong thực tế. Các lớp của tất cả các vấn đề như vậy có thuật toán thời gian đa thức được ký hiệu là P. Đối với một số vấn đề, không có thuật toán thời gian đa thức được biết đến, nhưng những vấn đề này có thuật toán thời gian đa thức bất định: hãy thử tất cả các ứng viên cho các giải pháp cùng một lúc và cho m ỗi ứng viên nhất định, xác minh xem đó là một giải pháp chính xác trong thời gian đa thức. 1.2. Thuật toán Nhóm bắt đầu với tích Đề Các cho phép chúng ta chuyển đổi các vấn đề của vi ệc tìm kiếm một tập m-màu của các đỉnh n của một đồ thị tương đương như việc tìm kiếm một bộ độc lập kích thước n trong tích đề các G × Km . - Tích Đề Các Một đơn đồ thị G với n đỉnh là tô được bằng m mầu khi và chỉ khi tích đề các G × K m có một tập độc lập kích thước n. Chứng minh. Giả sử có một tập m-màu của các đỉnh của G. Xác định một tập con S của các đỉnh của tích đề các G × K m như sau. Một đỉnh (u, v) của G × Km thuộc S nếu và chỉ nếu đỉnh u của G được giao màu v đối với tập m màu thích hợp. Vì mỗi đỉnh của G được giao một màu duy nhất, | S | = n. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng S là một tập độc lập. Cho (u 1, v 1) và (u 2, v 2) thuộc S, giả sử có một cạnh {(u 1, v 1), (u 2, v 2)} trong G × K m. Do đó, theo định nghĩa của tích đề các, có hai khả năng: • u 1 = u 2 và {v 1, v 2} là một cạnh trong K m. Nhưng u 1 = u 2 với v 1 = v2, từ mỗi đỉnh trong G đượcgiao một màu duy nhất. Nhưng sau đó {v 1, v1} không thể là một cạnh trong K m khi K m là một đơn đồ thị (mâu thuẫn). • {U 1, u 2} là một cạnh trong G, và v 1 = v 2. Nhưng điều này vi phạm các định nghĩa của một tập m màu của G từ đỉnh kề phải được giao các màu khác nhau (mâu thuẫn). Vì vậy không thể có một cạnh giữa hai đỉnh trong S và S phải là một tập độc lập. Ngược lại, giả sử có một tập độc lập S kích thước n trong tích đề các G × K m. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng G có m màu riêng biệt. Nếu m lớn hơn hoặc bằng n thì G có thể được m màu một cách tầm thường , do đó giả sử m nhỏ hơn n. Sự phân chia các đỉnh của S vào nhiều nhất là m lớp tương đương C 1, C 2 ,..., C m, nơi một đỉnh (u, v) trong S thuộc về lớp tương đương C i khi và chỉ khi v = v i. Rõ ràng , điều này đưa ra một định nghĩa phân chia t ốt c ủa các đ ỉnh trong S. Bây giờ các đỉnh của G vào nhiều nhất là m lớp tương đương C '1, C' 2, ..., C'm, nơi một u đỉnh của G thuộc lớp tương đương C 'i nếu và chỉ nếu (u, v i) thuộc về lớp tương đương C i. Để chứng tỏ điều đó ta đưa ra một định nghĩa phân chia tốt của các đỉnh các đỉnh của G tuân theo: 10 | P a g e
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 • Cho một đỉnh u của G, nếu u thuộc về cả hai C 'i và C' j thì (u, v i) thuộcC i và (u, v j) thuộc C j. Khi K mđầy đủ, {v i, v k} là một cạnh trong K m, do đó, {(u, v i), (u, v j)} là một cạnh trong tích đề các G ×K m. Điều này mâu thuẫn với thực tế là S là một tập độc lập .Vì vậy, các bộ C '1, C' 2 ,..., C 'm là cặp phân chia. • Danh sách các phần tử của S sắp xếp như sau: o (U 1 1, v 1), (u 1 2, v 1), ..., (u 1 i (1), v 1) o (U 2 1, v 2), (u 2 2, v 2), ..., (u 2 i (2), v 2) o ... o (U m 1, v m), (u m 2, v m), ..., (u m i (m), m v) Nếu một số u i j = l k u trong danh sách, thì, khi K m đầy đủ, {v i, v l} là một cạnh trong K m, do đó, {(u i j, v i), (u k l , v l)} là một cạnh trong tích đề các G × K m. Điều này mâu thuẫn với thực tế S là một tập độc lập. Vì vậy, tất cả các u i j xuất hiện trong danh sách là riêng biệt và từ | S | = n , có n u i j i phân biệt mọi đỉnh của G được chứa trong một số lớp tương đương 'C Do đó,.. Chỉ định màu i đến đỉnh u của G nếu u thuộc về các lớp tương đương C i' . Điều này tạo ra một tập m-màu của các đỉnh của G. Bây giờ chúng ta định nghĩa hai thủ tục để thực hiện với tập độc lập trong tích đ ề các G × K m. - Thủ tục 1 Với một tập độc lập S của tích đề các G×Km nếu S không có đỉnh có thể thêm, đầu ra S. Ngược lại, cho mỗi đỉnh có thể thêm (u, v) của S, tìm số ρ (S∪ {(u, v)}) của đỉnh có thể thêm của tập độc lập S ∪ {(u, v)}. Cho (u,v ) max biểu thị một đỉnh có thể thêm sao cho ρ (S ∪ {(u, v) max}) là lớn nhất và chứa tập độc lập S ∪ {(u, v) max}. Lặp lại cho đến khi tập độc lập không có đỉnh có thể thêm vào. - Thủ tục 2 Cho một tập độc lập tối đa S của tích đề các G × K m, nếu không có đỉnh (u 1, v 1) bên ngoài S sao cho (u 1, v 1) có đúng một lân cận (u 2, v 2 ) trong S, đầu ra S.Ngược lại, tìm thấy một đỉnh (u 1, v 1) ngoài S sao cho (u 1, v 1) có đúng một lân cận (u 2, v 2) trong S 1. Xác định S(u1, v1), (u , v ) 2 2 bằng cách thêm (u1, v1) vào S và bỏ (u 2, v 2) từ S. Thực hiện thủ tục 3.1 trên S (u 1, v 1), (u 2, v 2) và đầu ra các tập độc lập kết quả. Giải thuật Với đầu vào là một đơn đồ thị G với n đỉnh, tìm kiếm một tập m-màu của các đỉnh của G. Để {u 1, u 2, ..., u n} biểu thị các đỉnh của G và để {v1, v 2, ..., v m} biểu thị các đỉnh của K m.. Chúng ta tạo các tập độc lập tối đa trong tích đề các G×Km. Ở mỗi giai đoạn, nếu tập độc lập thu được có kích thước n nhỏ nhất, thì đi đến phần III. 11 | P a g e
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 • Phần I. Đối với i = 1, 2, ..., n và j = 1, 2, ..., n lần lượt o Khởi tạo tập độc lập S i, j = {(u i, v j)}. o Thực hiện thủ tục 3.1 trên S i, j. o Đối với r = 1, 2, ..., n thực hiện thủ tục 3.2 lặp lại r lần. o Kết quả là một tập độc lập tối đa S i, j. • Phần II. Với mỗi cặp tập độc lập tối đa S i, j, S k, l tìm thấy trong phần I o Khởi tạo S đặt độc lập i, j, k, l = S i, j ∩ S k, l. o Thực hiện thủ tục 3,1 trên S i, j, k, l. o Đối với r = 1, 2, ..., n thực hiện thủ tục 3,2 lần r lặp đi lặp lại. o Kết quả là một tập độc lập tối đa S i, j, k, l. • Phần III. Nếu một tập độc lập S với kích thước n đã được tìm thấy tại bất kỳ giai đoạn của phần I hoặc phần II, đầu ra S như là một tập m-màu của các đỉnh của G theo Bổ đề Đề các. Ngược lại, kết luận thuật toán không thể tìm thấy bất kỳ tương ứng m-màu của các đỉnh của G. 1.3. Ví dụ Chúng ta thể hiện các bước của thuật toán bằng m ột ví d ụ nh ỏ. Đồ thị đầu vào được thể hiện dưới đây trong hình 3.1 với n = 4 đỉnh có nhãn V = {1, 2, 3, 4}. Các thuật toán tìm kiếm cho một tương ứng 3- màu của các đỉnh bằng cách sử d ụng các thi ết l ập c ủa các màu {1, 2, 3} đại diện bởi màu xanh lá cây, đỏ và màu xanh tương ứng. 12 | P a g e
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 Hình 03.Các đồ thị đầu vào G với 3- màu tương ứng của các đỉnh của nó được tìm thấy bởi thuật toán Thuật toán đầu tiên xây dựng tích đề các G × K 3 hiển thị dưới đây trong các con số 3,2 với 12 đỉnh {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}. Chúng ta tách các đỉnh {1, 2, 3} của thành phần thứ hai K 3 như các màu sắc xanh, đỏ và màu xanh tương ứng. 13 | P a g e
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 Hình 04: tích đề các G×K3với một tập độc lập với kích thước 4 được tìm thấy bằng thuật toán Thuật toán bây giờ tìm kiếm một tập độc lập với kích thước 4 trong tích đề các G × K 3. Phần I cho i = 1 và j = 1 khởi tạo tập độc lập như S 1,1 = {(1, 1)}. Bây giờ chúng ta thực hiện các thủ tục 1. Sau đây là các kết quả dưới dạng bảng: Tập độc lập S 1,1 = {(1, 1)}. Kích thước: 1. Đỉnh có thể thêm (u, Đỉnh có thể thêm ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) v) củaS 1,1 của S 1,1 ∪{(u, v)} (2, 2) (3, 3), (4, 2), (4, 3) 3 2), (4, 3) (2, 3) (3, 2), (4, 3 14 | P a g e
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 (3, 2) (2, 3), (4, 3) 2 (3, 3) (2, 2), (4, 2) 2 ) (4, 3 (2, 2), (2, 3), (3, 3) (4, 3) (2, 2), (2, 3), (3, 2) 3 Tối đa ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) = 3 cho (v, u) = (2, 2). Thêm đỉnh (2, 2) vào S 1,1. Tập độc lập S 1,1 = {(1, 1), (2, 2)}. Kích thước: 2. Đỉnh có thể thêm (u, v) củaS 1,1 Đỉnh có thể thêm của S 1,1 ∪{(u, v)} ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) (3, 3) (4, 2) 1 (4, 2) (3, 3) 1 (4, 3) Không ai 0 Tối đa ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) = 1 cho (v, u) = (3, 3). Thêm đỉnh (3, 3) vào S 1,1. Tập độc lập S 1,1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}:. Kích thước 3. Đỉnh có thể thêm (u, v) củaS 1,1 Đỉnh có thể thêm của S 1,1 ∪{(u, v)} ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) (4, 2) Không ai 0 Tối đa ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) = 0 với (v, u) = (4, 2). Thêm đỉnh (4, 2) để S 1,1. Chúng ta có được một tập độc lập tối đa S 1,1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2)} của kích thước yêu cầu n = 4. Bây giờ đầu ra phần III S 1,1 được yêu cầu đúng 3-màu của đầu vào đồ thị G và thuật toán kết thúc. Lưu ý rằng chúng ta giải thích kết quả như sau: đỉnh 1 được tô với màu 1 (màu xanh), đỉnh 2 được tô với màu 2 (màu đ ỏ), đ ỉnh 3 đ ược tô với màu 3 (màu xanh) và đỉnh 4 được tô với màu 2 ( màu đỏ). 1.4. Độ phức tạp: Tiếp theo để đánh giá độ phức tạp của giải thuật, nhóm sẽ chỉ ra rằng thuật toán kết thúc trong thời gian đa thức, trong khi tìm kiếm một tập m-màu cho một đồ thị với n đỉnh, bằng cách xác định một đa thức của N=nm đó là một cận trên trên tổng số bước tính toán thực hiện bởi thuật toán.Lưu ý rằng chúng ta xem xét 15 | P a g e
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 • kiểm tra xem một cặp của các đỉnh được kết nối bởi một cạnh trong G, và • so sánh xem một số nguyên cho trước nhỏ hơn một số nguyên cho trước được tính toán các bước cơ bản. Mệnh Đề 1 Cho một đồ thị đơn giản G với n đỉnh và một tập độc lập S của G×Km , thủ tục 1 mất ít nhất (nm) 5 bước. Chứng minh Kiểm tra việc một đỉnh riêng có thể thêm thì mất tối đa (nm) 2 bước, từ đỉnh có ít hơn các lân cận nm và cho mỗi lân cận phải mất ít hơn nm bước để kiểm tra xem nó là ở ngoài tập độc lập. Đối với một tập độc lập riêng, việc tìm kiếm số ρ của các đỉnh có thể thêm mất ít nhất (nm) 3 = (nm) (nm) 2 bước, khi nhiều nhất nm đỉnh bên ngoài tập độc lập chúng ta phải kiểm tra xem nó có thể thêm hay không. Đối với một tập độc lập riêng, việc tìm kiếm một đỉnh sao cho ρ là tối đa thì mất ít nhất (nm) 4 = (nm) (nm) 3 bước, khi có hầu hết nm đỉnh bên ngoài. Thủ tục 1 kết thúc khi hầu hết nm đỉnh được thêm, do đó phải mất một tổng của hầu hết (nm) 5 = (nm) (nm) 4bước. Mệnh Đề 2 Cho một đơn đồ thị G với n đỉnh và một tập độc lập tối đa S của G×Km , thủ tục 2 mất ít nhất (nm) 5 +(nm) 2 +1 bước. Chứng minh Để tìm một đỉnh (u 1, v 1) bên ngoài S mà có đúng một lân cận (u 2, v 2) bên trong S có tối đa (nm) 2 bước, khi có ít hơn nm đỉnh ngoài S và chúng ta phải tìm ra nếu ít nhất một trong các lân cận bé hơn nm của bất kỳ đỉnh nào ở trong S. Nếu như một đỉnh (u 1, v 1) đã được tìm thấy, phải mất một bước để hoán đổi (u 1, v 1) và (u 2, v 2). Sau đó, bằng mệnh đề 4.1, phải mất ít nhất (nm) 5 bước để thực hiện các thủ tục 1 vào tập độc lập kết quả. Như vậy, thủ tục 2 mất ít nhất (nm) 2 +1 + (nm) 5 bước. Mệnh Đề 3 Cho một đơn đồ thị G với n đỉnh và m màu, phần I của thuật toán có tối đa (nm) 7 + (nm) 6 + (nm) 4+ (nm) 2 bước. Chứng minh Tại mỗi lượt, thủ tục 1 mất ít nhất (nm) 5 bước bằng mệnh đề 1. Sau đó, thủ tục 2 được thực hiện tối đa nm lần mà theo mệnh đề 2, mất tối đa nm((nm) 5 + (nm) 2+1) = (nm) 6 + (nm)3 + nm bước .Vì vậy, tại mỗi lượt, tối đa (nm) 5 + (nm) 6 + (nm) 3 + nm bước được thực hiện. Có nm lượt cho i = 1, 2, ..., n, và j = 1, 2, ..., m, do đó, một phần I thực hiện tổng cộng tối đa là nm((nm) 5 + (nm) 6 + (nm) 3 +nm) = (nm) 6 + (nm) 7 + (nm) 4 + (nm) 2 bước. 16 | P a g e
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 Mệnh Đề 4 Cho một đơn đồ thị G với n đỉnh và m màu, thuật toán mất ít hơn (nm) 8 +2 (nm) 7 + (nm) 6 + (nm) 5 +(nm) 4 + (nm) 3 + (nm) 2 bước để kết thúc. Chứng minh Có ít hơn (nm) 2 cặp riêng biệt của tập độc lập tối đa được tìm thấy bởi phần I, mà được thực hiện lần lượt. Tương tự như các thực nghiệm về mệnh đề 3, phần II có ít hơn(nm) 2 nm (() 5 nm (+ ) 6 + (nm) 3 + nm) = (nm) 7 + (nm) 8 +(nm) 5 + (nm) 3). Do đó, phần I và phần II cùng nhau mất ít hơn tổng cộng của ((nm 7 + (nm) 6 + (nm) 4 + (nm) 2) + ((nm) 8 + (nm) 7 + (nm) 5 + (nm) 3) = (nm) 8 +2 (nm) 7 + (nm) 6 + (nm) 5+ (nm) 4 + (nm) 3 + (nm) 2 bước để kết thúc. 2. Bài toán tô mầu cạnh 2.1. Giải thuật Về thuật toán giải quyết bài toán tô màu cạnh đồ thị hi ện nay trên th ế gi ới có nhi ều thu ật toán được đề suất như • Thuật toán thu gọn (Contraction algorthms) được đề xuất bởi Zykov • Thuật toán tô màu theo dãy (sequential coloring). Trong đó thuật toán tô màu theo dãy lại được ứng dụng theo nhiều cách khác nhau. Ý tưởng của thuật toán này xoay quanh việc sắp xếp thứ tự các cạnh c ủa đ ồ th ị theo m ột thứ tự nhất định. Đánh trọng số cho các màu được dung để tô. Sau đó duyệt các cạnh theo thứ tự nêu trên. Trong quá trình duyệt sẽ tô màu cho c ạnh bằng màu có tr ọng s ố nh ỏ nh ất mà chưa được sử dụng để tô cho các cạnh kề. Đây là một vận dụng của sử d ụng thu ật toán tham lam. Kết quả của bài toán khác nhau nếu chúng ta chọn được thứ tự c ủa các cạnh khác nhau. Do đó các cải tiến hay các thuật toán khác nhau dựa trên thuật toán này hầu h ết đ ều là c ải tiến việc lựa chọn thứ tự cho các cạnh ban đầu. Trong chương trình ứng dụng của nhóm, giải thuật đưa ra ở mức minh ho ạ m ột cách tô màu cạnh của đồ thị vô hướng. Trong đó, việc xếp thứ tự của đỉnh được đồng nghĩa v ới th ứ tự các đỉnh được sắp xếp của đầu vào. Do đó thuật toán được thu gọn như sau : • Thứ tự các cạnh được sắp xếp trong quá trình nhập dữ liệu về đồ thị. Các cạnh được đánh số theo thứ tự E1, E2, ...,En. • Tìm bậc lớn nhất của đồ thị (Δ) • Chuẩn bị (Δ+1) màu để tô • Bước i: Tô màu cạnh Ei bởi màu có chỉ số nhỏ nhất trong số các màu chưa được sử dụng để tô màu cạnh kề của nó. Trong đó ở bước i tùy theo cách cài đặt sẽ có những cách đánh màu khác nhau. 17 | P a g e
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 Với thuật toán trên chúng ta có thể tìm được 1 cách tô màu cho các c ạnh c ủa đ ồ th ị v ới s ố màu không quá Δ+1 màu ( vấn đề này sẽ thấy rõ hơn khi đi sâu vào phần cài dặt). Vậy đó đã là số màu nhỏ nhất hay chưa. Theo định lý Vizing chúng ta phát bi ểu ở trên, ta có Δ(G)≤ χ′(G) ≤ Δ(G) + 1. Vậy sắc số cạnh chỉ có thể nằm ở 1 trong hai giá trị là Δ( G) và Δ(G) + 1. Với việc chọn số màu lớn nhất có thể tô là Δ( G)+1, thuật toán đã kẹp được cận trên của sắc số cạnh. Với việc lựa chọn màu có chỉ số nhỏ nhất chưa được sử dụng để tô các c ạnh k ề cho m ột cạnh, số màu được sử dụng là số màu nhỏ nhất. 2.2. Ví dụ Ta có đồ thị sau: Ta sắp xếp các cạnh theo thứ tự như sau: 18 | P a g e
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 Bước 1: tô màu cạnh thứ 1 Cạnh này tô màu đỏ trước tiên Bước 2: tô màu cạnh 2. Cạnh 2 kề với cạnh 1 (tô màu đỏ) do đó cạnh 2 sẽ tô màu xanh lá cây Bước 3: tô màu cạnh 3 19 | P a g e
Algo2010N15-NguyenThiThanhVi-NgoVanVi-NhamNgocTrung-CNPMK52 Cạnh 3 kề với cạnh 1 (tô màu đỏ), cạnh 2 (tô màu xanh lá cây) do đó cạnh 3 phải tô màu xanh da trời 20 | P a g e

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.01: Bộ Luận Văn Thạc Sĩ Quản Trị Kinh Doanh MBA

165 tài liệu

2069 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.