BÀI TẬP ÔN TOÁN KINH TẾ
Phần 1. Hàm số và giới hạn
1. Cho biết hàm cung và hàm cầu của thị trường một hàng hóa như sau:
2
4 1; 159 2
SD
Q p Q p
a) Hãy so sánh lượng cung, lượng cầu ở các mức giá p=7; p=8,1
b) Xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của thị trường.
Đ/S: a) Qs<QD khi p=7; Qs>QD khi p=8,1 b)
8; 31pQ

2. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau:
32
100QL
; trong đó L là lượng sử dụng
lao động và Q là lượng sản phẩm đầu ra trong mỗi tuần.
a) Hãy cho biết lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần khi doanh nghiệp sử dụng 64 đơn vị lao
động mỗi tuần và giữ nguyên mức sử dụng các yếu tố đầu vào khác.
b) Tại mức sử dụng 64 đơn vị lao động mỗi tuần, nếu doanh nghiệp thêm 1 đơn vị lao
động mỗi tuần thì sản lượng đầu ra mỗi tuần tăng bao nhiêu (tính xấp xỉ đến 1 chữ số
thập phân)
Đ/S: a) Q=1600 b) ΔQ=16,6
3. Một nhà sản xuất có hàm chi phí như sau:
32
5 20 9TC Q Q Q
a) Hãy tính tổng chi phí sản xuất tại các mức sản lượng Q=1; Q=2 và Q=10.
b) Cho biết chi phí cố định và hàm chi phí khả biến.
Đ/S: a) TC=25 khi Q=1; TC=37 khi Q=2; TC=709 khi Q=10
b) FC=9;
32
5 20VC Q Q Q
4. Với hàm chi phí cho ở bài 3, hãy lập hàm lợi nhuận của nhà sản xuất trong các trường
hợp sau:
a) Nhà sản xuất hoạt động trong môi trường cạnh tranh và giá thị trường của sản phẩm
là p=28.
b) Nhà sản xuất hoạt động trong môi trường độc quyền và lượng cầu đối với sản phẩm ở
mỗi mức giá p là:
190 0,5Qp
Đ/S:
3 2 3 2
) 5 8 9 ) 3 360 9a Q Q Q b Q Q Q

Phần 2. Dãy số
1. Trong điều kiện lãi suất 0,9% một tháng, hãy cho biết:
a) Giá trị tương lai của 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm.
b) Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được sau 4 năm.
Đ/S: a) 4,1419 triệu b) 3,2523 triệu
2. Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu là 6000$ và sẽ đem lại 10.000$ sau 5 năm. Trong
điều kiện lãi suất tiền gửi ngân hàng là 9% một năm có nên đầu tư vào dự án đó hay
không? Tính NPV của dự án đó?
Đ/S: nên đầu tư, NPV=499,3 $
3. Một công ty đề nghị bạn góp vốn 3500$ và đảm bảo sẽ trả cho bạn 750$ mỗi năm liên
tiếp trong 7 năm. Bạn có chấp nhận góp vốn hay không nếu bạn còn có cơ hội đầu tư tiền
vào chỗ khác với lãi suất 9% một năm.
Đ/S: chấp nhận bởi vì với lãi suất 9% một năm giá trị hiện tại của luồng tiền công ty
trả là 3774,7$
4. Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu 40 triệu đồng và sẽ đem lại 10 triệu sau 1 năm, 20 triệu
sau 2 năm và 30 triệu sau 3 năm. Dự án đó có lợi về mặt kinh tế không nếu lãi suất hiện
hành là 10% một năm?
Đ/S: Có lợi bởi vì với lãi suất 10% một năm giá trị hiện tại của luồng tiền dự án đem
lại là 49,159 triệu đồng.
5. Một dự án đòi hỏi phải đầu tư ban đầu 7500$ và sau một năm sẽ đem lại cho bạn 2000$
mỗi năm, liên tiếp trong 5 năm. Hãy tính giá trị hiện tại ròng của dự án đó trong điều kiện
lãi suất 12% một năm. Có nên thực hiện dự án đó hay không?
Đ/S: NPV= - 290,448; không nên thực hiện
Phần 3. Đạo hàm và vi phân
1. Hãy lập hàm chi phí cận biên và hàm chi phí bình quân, cho biết hàm chi phí:
a)
2
3 7 12TC Q Q
b)
2. Cho biết hàm doanh thu:
2
200 3TR Q Q
Hãy lập hàm doanh thu cận biên và hàm cầu đối với sản phẩm.
3. Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất độc quyền với giá p tính bằng $:
500 0,2Qp
Hãy tính MR tại mức sản lượng Q=90 và giải thích ý nghĩa.
4. Cho biết hàm cầu đối với một loại hàng hóa như sau:
2
3200 0,5Qp
a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá ở mức giá p<80
b) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại các mức giá p=20; p=50 và giải thích ý nghĩa
5. Cho hàm cầu tuyến tính:
. , 0Q a b p a b
Gọi
là hệ số co dãn của cầu theo giá, hãy chứng minh rằng:
1 ; 1 0 ; 1 0
2 2 2
a a a a
khi p khi p khi p
b b b b
6. Cho tổng doanh thu của một nhà sản xuất độc quyền tại mỗi mức sản lượng Q là
2
500 4TR Q Q
. Hãy tính hệ số co dãn theo giá của cầu đối với sản phẩm của nhà sản
xuất đó tại mức giá p=300 và giải thích ý nghĩa.
7. Cho biết hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau:
32
114 60 54
3Q Q Q
Hãy tìm mức sản lượng tối ưu để lợi nhuận tối đa.
Đ/S: Q=30
8. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu biết hàm doanh thu và hàm chi phí như sau:
a)
2 3 2
4000 33 2 3 400 5000TR Q Q TC Q Q Q
b)
2 3 2
4350 13 5,5 150 675TR Q Q TC Q Q Q
Đ/S: a) Q=20 b) Q=35
9. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất cho biết hàm doanh thu cận biên và
hàm chi phí cận biên như sau:
2
5900 20 6 8 140MR Q MC Q Q
Đ/S: Q=30
10. Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu ngược:
1400 7,5pQ
a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá ở mỗi mức giá p;
b) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa, cho biết hàm chi phí cận biên là:
2
3 12 140MC Q Q
Đ/S: a)
1400
Q
p
p
p
b) Q=20
11. Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm trên thị trường cạnh tranh với giá 20$. Cho biết hàm
sản xuất
32
12QL
và giá thuê lao động là 40$. Hãy xác định mức sử dụng lao động cho
lợi nhuận tối đa.
Đ/S: L=64
12. Một nhà sản xuất độc quyền tiêu thụ sản phẩm trên thị trường có hàm cầu: D(p)=750-p.
Cho biết hàm sản xuất
6QL
và giá thuê lao động là 14$. Hãy xác định mức sử dụng
lao động cho lợi nhuận tối đa.
Đ/S: L=2025
Phần 4: Hàm nhiều biến
1. Một công ty cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất
3
5.Q K L
với
Q, K, L được tính hàng ngày
a) Hãy viết phương trình đường đồng lượng ứng với mức sản lượng Q=200.
b) Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận hàng ngày của công ty
theo K và L, cho biết giá sản phẩm trên thị trường là 4$, giá tư bản là 15$, giá lao
động là 8$ và mỗi ngày công ty phải trả 50$ chi phí khác.
Đ/S:
3 3 3
) . 40 ) 20 . ; 15 8 50; 20 . 15 8 50a K L b TR K L TC K L K L K L
2. Một nhà sản xuất độc quyền có hàm sản xuất
1/3 5/6
40Q K L
và tiêu thụ sản phẩm trên thị
trường có hàm cầu D(p)=350-3p. Hãy lập hàm số biểu diễn tổng doanh thu theo K và L.
Đ/S:
1/3 5/6 1/3 5/6
40 350 40
3
TR K L K L
3. Một công ty độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp (Qi là lượng sản
phẩm i).
22
1 1 2 2
3 2 4TC Q Q Q Q
a) Lượng chi phí mà công ty phải bỏ ra để sản xuất 4 đơn vị sản phẩm 1 và 2 đơn vị sản
phẩm 2 là bao nhiêu?
b) Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm 1 là
1 1 1
320 5D p p
, hàm cầu đối với sản
phẩm 2 là
2 2 2
150 2D p p
. Hãy lập hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của công ty
theo Q1, Q2.
Đ/S: a) TC=48 b)
22
1 2 1 2 1 2
16 9
64 75 2 52
TR Q Q Q Q Q Q
4. Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích như sau:
4U xy y
trong đó x là lượng hàng hóa
A, y là lượng hàng hóa B.
a) Viết phương trình đường bàng quan, cho biết một trong các túi hàng thuộc đường
bàng quan đó là (x=4; y=3)
b) Hãy cho biết trong 2 túi hàng (x=4, y=3) và (x=5, y=2) túi hàng nào được ưa chuộng
hơn?
c) Giả sử người tiêu dùng đang có 8 hàng hóa A, 3 hàng hóa B và có người đề nghị đổi
cho chị ta một số hàng hóa A để lấy 1 hàng hóa B. Hỏi người đó phải đổi ít nhất bao
nhiêu hàng hóa A thì chị ta mới bằng lòng đổi.
Đ/S: a) xy+4y=24 b)Túi hàng (x=4, y=3) được ưa chuộng hơn vì có giá trị lợi ích lớn
hơn c) Ít nhất 6 hàng hóa A
5. Xét hàm số Cobb – Douglas:
12
12
. . .... n
n
w A x x x

. Tính hệ số co dãn của w theo xk
Đ/S: hệ số co dãn của w theo xk đúng bằng lũy thừa của xk
6. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau:
32
12 .Q K L
a) Hãy tính hàm cận biên của K (MPPk) và hàm cận biên của L (MPPL) tại điểm K=125,
L=100 và giải thích ý nghĩa.
b) Chứng tỏ rằng MPPk giảm khi K tăng và L không đổi
c) Chứng tỏ rằng MPPL giảm khi L tăng và K không đổi
Đ/S:
a) MPPk=16; MPPL=15. Khi K=125, L=100 nếu tăng lượng sử dụng vốn têm 1 đơn
vị và giữ nguyên lượng sử dụng lao động thì sản lượng đầu ra tăng thêm 16. Nếu
tăng lượng sử dụng thêm 1 đơn vị và giữ nguyên lượng sử dụng vốn thì sản
lượng đầu ra tăng thêm 15 đơn vị.
b)
" 0 0, 0
KK
Q khi K L
c)
" 0 0, 0
LL
Q khi K L
7. Cho biết hàm lợi ích của người tiêu dùng
0,4 0,7
.U x y
trong đó x là lượng hàng hóa A, y
là lượng hàng hóa B.
a) Hãy lập các hàm số biểu diễn lợi ích cận biên của mỗi hàng hóa. Hàm lợi ích này có
phù hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
b) Nếu lượng hàng hóa A tăng 1% và lượng hàng hóa B không đổi thì lợi ích tăng bao
nhiêu %?
Đ/S:
a)
0,6 0,7 0,4 0,3
12
0,4 0,7MU x y MU x y


. Hàm lợi ích phù hợp với quy luật lợi ích
cận biên giảm dần.
b) Lợi ích tăng 0,4%.
8. Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp như sau:
2 2 3 3
1 2 1 2 1 2
45 125 84 6 0,8 1, 2TC Q Q Q Q Q Q
Hãy lập các hàm số biểu diễn chi phí cận biên của mỗi sản phẩm.
Đ/S:
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 1 2
125 2,4 12 84 3,6 12MC Q Q Q MC Q Q Q
9. Cho biết hàm cầu đối với một mặt hàng như sau:
35 0,4 0,15 0,12 s
Q p m p
Trong đó Q, p là lượng cầu và giá cả của hàng hóa đó, m là thu nhập và ps là giá hàng hóa
thay thế. Hãy lập hàm số biểu diễn:
a) Hệ số co giãn của cầu theo giá p
b) Hệ số co giãn của cầu theo thu nhập
c) Hệ số co giãn của cầu theo giá hàng hóa thay thế
Đ/S: a)
0,4
35 0,4 0,15 0,12
p
s
p
p m p
b)
0,15
35 0, 4 0,15 0,12
m
s
m
p m p
c)
0,12
35 0, 4 0,15 0,12
s
s
p
s
p
p m p
10. Đánh giá hiệu quả của quy mô qua các hàm sản xuất:
3
0,4 0,3 0,6 0,8 2
) 20 ) 5 ) 12 .a Q K L b Q K L c Q K L
Phần 5. Cực trị hàm nhiều biến
1. Cho biết hàm lợi ích:
12
3U x x
trong đó x1 là lượng hàng hóa A, x2 là lượng hàng
hóa B. Hãy chọn túi hàng lợi ích tối đa trong điều kiện giá hàng hóa A là 5$, giá hàng hóa
B là 20$, ngân sách tiêu dùng là 185$.
Đ/S: x1=17, x2=5
2. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng:
1 2 1 2
2U x x x x
Trong điều kiện hàng hóa thứ nhất bán được với giá 2$, hàng hóa thứ hai được bán với
giá 5$ và thu nhập dành cho tiêu dùng là 51$. Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt
hàng nếu người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình
Đ/S: x1=13, x2=5
3. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng:
0,6 0,25
12
U x x
Trong điều kiện hàng hóa thứ nhất được bán với giá 8$, hàng hóa thứ hai được bán với
giá 5$ và thu nhập dành cho tiêu dùng là 680$, hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt
hàng nếu người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình.
Đ/S: x1=60, x2=40