Chương 5
Thanh chịu xoắn thuần túy
5.1. Tóm tắt lý thuyết
5.1.1. Định nghĩa:
Thanh chịu xoắn thuần túy là thanh mà trên các mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần ứng lực là mô men xoắn Mz nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh.
Ví dụ: Các trục truyền động, các thanh trong kết cấu không gian,…
5
.1.2. Qui ước dấu của Mz
Nhìn từ bên ngoài vào mặt cắt ngang, nếu Mz có chiều thuận chiều kim
đồng hồ thì nó mang dấu dương và ngược lại.
zM > 0
.1.3
. Công thức qui đổi công suất truyền N của động cơ sang mô men
5
xoắn ngoại lực tác dụng lên trục truyền:
M
=
(5.1)
30N nπ
Trong đó: M là mô men xoắn ngoại lực [N.m], N là công suất của động cơ
[wat], n là số vòng quay của động cơ trong 1 phút [vòng/phút]
5.1.4. Ứng suất trên mặt cắt ngang:
có phương
Tại điểm K cách trọng tâm O một đoạn ρ ứng suất tiếp
ρτ
vuông góc với OK, có chiều gây mô men với O cùng chiều Mz nội lực.
(5.2)
ρτ
M z ρ= I p ễn Th
ị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng
Trần Minh Tú - Nguy
zM
ρ
K
O
τ ρ
maxτ
Trong đó
tâm O. Khi
ρτ đạt giá trị lớn nhất
pI là mô men quán tính độc cực của mặt cắt ngang với trọng D 2
z
z
.
τ = ax m
M D M = 2 W I
p
p
thì ρ=
I
W
=
(5.3)
p
p / 2
D
• Với mặt cắt ngang tròn đặc:
3
4
π
4
3
(cid:17)
(cid:17)
0,1
D
0,
2D
I
=
=
với Wp là mô men chống xoắn của mặt cắt ngang
p
pW
D π 16
D 32
• Với mặt cắt ngang tròn rỗng:
4
π
4
(cid:17)
D
I
0,1
; (5.4)
−
4 η
−
4 η
=
p
;
)
( 1
)
( 1
D 32
3
3
(cid:17)
0,2
D
=
−
4 η
−
pW
(5.5)
( 1
)
( 1
)4 η
D π 16
η=
5.1.5. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
• Góc xoắn (góc xoay) tương đối giữa hai mặt cắt ngang A và B
A
L
và Trong đó d - đường kính trong, D - đường kính ngoài của mặt cắt ngang , d D
=
ϕ = AB
∫
∫
M dz z GI
M dz z GI
p
p
B
0
[rad] (5.6)
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng
c
γ
ϕ
b
a
O
B
A
L
Trong đó G – mô-đun đàn hồi khi trượt của vật liệu
z
GIp – là độ cứng khi xoắn của mặt cắt ngang
const
=
M GI
p
Khi trên đoạn AB chiều dài L có thì:
ϕ = AB
M L z GI
p
z
const
=
(5.7)
M GI
p
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
thì:
i
n
z
ϕ
=
l i (5.8)
AB
Khi đoạn AB gồm nhiều đoạn, trên mỗi đoạn thứ i có chiều dài li , ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
∑
M GI
i
1 =
p
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
i
• Góc xoắn tỉ đối - góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt ngang cách
z
θ=
p
5.1.6. Điều kiện bền và điều kiện cứng
• Điều kiện bền
z
max
max
=
≤
[rad/chiều dài] (5.9) nhau 1 đ.v chiều dài M d ϕ = dz GI
[ ] τ
τ m
ax
M pW
τ =
(5.10)
τ =
Trong đó: [ ] nếu dùng thực nghiệm tìm 0τ
τ 0 n [ ] σ 2
τ =
nếu dùng thuyết bền 3 [ ]
] [ σ 3
nếu dùng thuyết bền 4 [ ]
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng
• Điều kiện cứng:
z
=
≤
[ ] θ
θ m
ax
M GI
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠ p m
ax
• Các bài toán cơ bản:
(5.11)
Xuất phát từ điều kiện bền hoặc điều kiện cứng ta có ba bài toán cơ
bản là:
+ Bài toán 1: Kiểm tra điều kiện bền (hoặc điều kiện cứng)
+ Bài toán 2: Chọn kích thước thanh theo điều kiện bền (hoặc điều
kiện cứng)
+ Bài toán 3: Xác định giá trị cho phép của tải trọng tác dụng (là giá trị lớn nhất của tải trọng đặt lên hệ mà thanh vẫn đảm bảo điều kiện bền hoặc điều kiện cứng
5.2. Đề bài tập tự giải
Bài 5.1: Cho trục tròn tiết diện thay đổi chịu xoắn bởi các mô men xoắn ngoại lực như hình vẽ.
1. Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực 2. Kiểm tra điều kiện bền và điều kiện cứng của trục tròn Biết a=0,5m; M1=2kNm; M2=5kNm; M3=1kNm; G=8.103kN/cm2;
M
M 1
3
2
1-1
1
d
D
D
B
C
A
K
1
a
a
a
a
d D
[σ]=16kN/cm2; [θ]=0,50/m. M
Bài 5.2: Tính ứng suất tiếp lớn nhất và góc xoắn tại các mặt cắt A và B của thanh. Cho G=8.103kN/cm2; m=1,5kNm; M=0,3kNm; d=5cm; a=0,4m.
2M
M
m
A
B
C
d
2a
a
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng
Bài 5.3: Xác định ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang của trục tròn chịu xoắn nếu bằng tensometer ta đo được biến dạng theo phương xiên góc 450 với đường kính là εu=4,25.10-4. Biết số vòng quay của trục là n=120 vòng/phút. G=8.103kN/cm2; d=8cm; D=12cm.
4
5
M
M
d D
Bài 5.4: Một trục tròn đường kính thay đổi, chịu tác dụng của mô men xoắn ngoại lực như hình vẽ. Xác định mô men xoắn cho phép theo điền kiện bền của trục. Với mô men xoắn cho phép vừa xác định, vẽ biểu đồ góc xoắn.
3M
M
d
d 2
d D3
C
A
B
a
a
a
Biết d=5cm; [τ]=6kN/cm2; G=8.103kN/cm2; a=0,5m.
Bài 5.5: Một ống đura và một trục thép lồng và nhau, có liên kết và chịu lực như trên hình vẽ. Xác định mô men xoắn lớn nhất mà hệ chịu được theo điều kiện bền. Biết ứng suất cho phép của vật liệu ống [τ]thép=9kN/cm2; [τ]đura=6kN/cm2; Gthép=3Gđura =8.103kN/cm2; d=2cm.
M
2d 1.5d
d A 2
B
d
a
a
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng
Bài 5.6: Hai ống đồng và thép được lồng vào nhau và gắn cứng hai đầu, ống chịu tác dụng của mômen xoắn M = 3000Nm. Xác định ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang của mỗi ống. Gth = 2Gđ = 8.106 N/cm2 .
δ
m c 5 . 0 = δ
M
M
m c 0 1
®ång
Thép
20kNm
100kNm n
n
30cm
60cm
40cm
Bài 5.7: Cho một thanh thép chịu xoắn có tiết diện tròn đường kính d=16cm. Vẽ biểu đồ mômen xoắn, tìm ứng suất tiếp lớn nhất và góc xoay của tiết diện n-n
