TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP. HỒ CHÍ MINH
BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Môn thi: .................. Toán Cao Cấp 1 ........................
Họ và tên sinh viên: ........................ Nguyễn Hương Giang ........................................
MSSV: ............... 030137210165 .............. Lớp học phần:D13 .........
THÔNG TIN BÀI THI
Bài thi có: (bằng số):…16… trang
(bằng chữ):…mười sáu… trang
YÊU CẦU - Trình bày tiểu luận theo đúng chuẩn như Giảng viên đã hướng dẫn trong lớp học.
- Các ví dụ minh họa phải tính toán chi tiết. - Tiểu luận tối thiểu là 8 trang, font chữ Times New Roman cỡ chữ 13. - Điểm cao sẽ dành cho các bài tập có tính đa dạng và vận dụng.
BÀI LÀM
CÂU 1.(4 ĐIỂM) HÃY TRÌNH BÀY THEO SỰ HIỂU BIẾT CỦA EM VỀ CÁC NỘI DUNG SAU (4 ĐIỂM)
a) Thuật toán Gauss – Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX = B
Để giải hệ phương trình tuyến tính bằng thuật toán Gauss – Jordan, chúng ta
thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Viết ma trận hệ số mở rộng 𝐴̃= (A|B) của phương trình AX = B, gồm
ma trận A là ma trận hệ số ẩn và B là ma trận hệ số tự do.
- Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến đổi ma trận mở rộng
về dạng bậc thang. Phép biến đổi sơ cấp: , với và (với m là số dòng của )
- Bước 3: Dùng định lý Kronecker – Capelli để kiểm tra hệ có nghiệm hay không.
- Bước 4: Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang. - Bước 5: Giải hệ ngược từ dưới lên.
b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên. Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ
minh họa, trong đó ma trận A có ít nhất 3 dòng.
- Định lý về số nghiệm của hệ phương trình AX=B (Định lí Kronecker –Capelli)
Ta luôn có
Nếu r(𝐴̃) ≠ r(A) thì hệ vô nghiệm. Nếu r(𝐴̃) = r(A) thì hệ có nghiệm.
+ Nếu r(𝐴̃) = r(A) = n thì hệ có 1 nghiệm duy nhất. + Nếu r(𝐴̃) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm, phụ thuộc vào n – r(A) ẩn tự do.
Trong đó: n là số ẩn của phương trình.
- Ví dụ minh họa
TH1: Phương trình vô nghiệm
1
A =
(A|B) =
Ta thấy r(A) = 2 < r(𝐴̃) = 3 nên hệ vô nghiệm.
TH2: Phương trình có 1 nghiệm duy nhất
= (A|B) =
Ta thấy r(A) = r(𝐴̃) = 4 = n (số ẩn) nên hệ có nghiệm duy nhất.
2
Ta có, hệ phương trình tương đương:
Vậy nghiệm của hệ phương trình
TH3: Phương trình có vô số nghiệm
=
Ta thấy r(A) = r(𝐴̃) = 2 < 3 (n: số ẩn) nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào 3-2=1 tham số tự do.
3
Ta có, hệ phương trình tương đương:
Đặt =t, t ∈ R
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm và
c) Xét hệ phương sau đây :
Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bản. Hãy giải
phương trình trên bằng ít nhất 2 cách.
Phương trình sau khi thay ngày tháng năm sinh vào:
Cách 1: Dùng thuật toán Gauss – Jordan.
4
Ta thấy r(Ã) = r(A) = 3 = n (số ẩn) nên hệ có 1 nghiệm duy nhất.
Ta có hệ phương trình:
Vậy nghiệm của hệ phương trình
Chứng minh hệ Cramer
= 5.22032 – 1.2002 + 1.(-10)
=108148
(1)
Ta thấy: số ẩn = số phương trình = 3 (2)
Từ (1), (2) G là hệ Cramer
5
Cách 2: Dùng phương trình ma trận AX=B để tìm X trong hệ Cramer
Ta có:
Dạng ma trận của hệ:
Khi đó nghiệm
ứng với
Vậy nghiệm của hệ phương trình
Cách 3: Dùng định thức trong hệ Cramer
Ta có (chứng minh trên)
Trong đó:
- A1 là ma trận có được từ ma trận A bằng cách thay cột 1 bằng cột tự do B. - A2 là ma trận có được từ ma trận A bằng cách thay cột 2 bằng cột tự do B. - A3 là ma trận có được từ ma trận A bằng cách thay cột 3 bằng cột tự do B.
6
= 7.22032 + (-1).24034 + 1.(-22042)
=108148
=5.24034 + (-7).2002 + 1.1992
=108148
= 5.22042 + (-1).1992 + 7.(-10)
=108148
Ta có: ; ;
Vậy nghiệm của hệ phương trình
Cách 4: Biến đổi linh hoạt, đặt ẩn phụ
Đặt , hệ phương trình trở thành:
Do đây là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và làm
cho 3 dòng độc lập tuyến tính nên sẽ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường
Hệ phương trình
7
CÂU 2 (3 ĐIỂM):
a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3. Mỗi cách cho 1 ví dụ
minh họa
Cách 1: Phần bù đại số
, đặt ,
Trong đó, là định thức sinh ra từ định thức của ma trận bằng cách bỏ đi dòng i
và cột j. Còn được gọi là phần bù đại số tương ứng với phần tử .
Cách tính trên là công thức khai triển theo dòng. Có thể chọn dòng hoặc cột tùy ý.
*Thủ thuật: Chọn dòng hoặc cột chứa nhiều số 0 nhất để khai triển cho nhanh.
Ví dụ minh họa:
Cách 2: Qui tắc Sarrus
Để tính định thức của ma trận vuông cấp 3 theo quy tắc Sarrus, ta :
Bước 01: Viết lại 2 cột đầu của định thức theo thứ tự phía sau cột cuối cùng (cột
3) của ma trận vuông ban đầu
Bước 02.1: Tích các phần tử (đủ 3 phần tử) song song với đường chéo chính rồi
cộng chúng lại với nhau
8
Bước 02.2: Tích các phần tử (đủ 3 phần tử) song song với đường chéo phụ rồi
cộng chúng lại với nhau, đặt cho nó một dấu trừ trước tổng
Bước 02.3: Cộng hai phần này lại với nhau, ta có được định thức của ma trận A.
Hoặc ta có thể dựa vào sơ đồ sau:
det(A) = = Tổng 3 đường chéo đỏ - tổng 3 đường chéo xanh
Ví dụ minh họa:
VT
9
b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu 1 phương pháp để xác định tính khả nghịch
của ma trận? Cho 2 ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4) - Đinh nghĩa: Cho A là 1 ma trận vuông cấp n trên k. Ta bảo A là ma trận khả
nghịch nếu tồn tại 1 ma trận B vuông cấp n trên k sao cho: A.B=B.A=In. Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của A(ký hiệu A-1), còn A gọi là ma trận khả nghịch. Trong đó, In là ma trận đơn vị cấp n.
Như vậy: A.A-1=A-1.A=In
- Phương pháp để xác định tính khả nghịch của ma trận: tính det(A)
Nếu det(A) 0 Ma trận A có tính khả nghịch.
Nếu det(A) 0 Ma trận A không có tính khả nghịch.
- Ví dụ minh họa xét tính khả nghịch của ma trận
+ Ma trận cấp 3:
+ Ma trận cấp 4:
10
Ma trận B không có tính khả nghịch.
c) Cho 3 ví dụ cụ thể vận dụng tính khả nghịch của ma trận trong việc giải
các phương trình ma trận sau: A.X = B, X.A=B, A.X.B=C
A.X = B
X.A=B
11
A.X.B=C
CÂU 3. (3 ĐIỂM) HÃY TRÌNH BÀY THEO SỰ HIỂU BIẾT CỦA EM VỀ CÁC
NỘI DUNG SAU
a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector. Cho 2
ví dụ minh hoạ?
Một hệ vector được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có một
tổ hợp tuyến tính không tầm thường của bằng vector 0, nghĩa là
, với
12
Một hệ vector được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ vector
đó không phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ minh họa: Xét tính phụ thuộc tuyến tính/ độc lập tuyến tính của hệ vector
Ví dụ 1:
Xét
Vậy hệ vector A độc lập tuyến tính.
Ví dụ 2:
Xét
Tồn tại để
Vậy hệ vector B phụ thuộc tuyến tính.
b) Không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? Hãy cho
1 ví dụ minh hoạ và xác định số chiều cũng như cơ sở của nó.
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có ít nhất một nghiệm tầm thường,
đây chính là phần tử trung hoà đối với phép cộng. Như vậy nghiệm của hệ phương
13
trình tuyến tính sẽ có thể lập thành một không gian con của không gian với n là số
ẩn của hệ phương trình.
Từ các phương trình ta sẽ tìm được mỗi liên hệ giữa các ẩn, gọi r là số liên hệ
độc lập của hệ phương trình tuyến tính n ẩn, ta có được không gian con có số chiều là n
– r, nghĩa là nó sẽ được lập nên bởi một cơ sở gồm n – r vectors độc lập tuyến tính.
Ví dụ: Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Xét ma trận hệ số ẩn
Ma trận trên gồm r = 2 dòng độc lập tuyến tính (hay ), trong khi
một vector nghiệm tổng quát của hệ phương trình trên có số chiều bằng 4 (
), như vậy hệ phương trình này tạo ra một không gian con W chứa những
vector nghiệm X với số chiều
Chọn , và biểu diễn , theo m,t từ mối liên hệ
Vậy nghiệm tổng quát có dạng
14
Vậy bất kì vector trong không gian nghiệm W của hệ phương trình trên đều biểu diễn
dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai vectors độc lập tuyến tính ;
Như vậy, một trong các cơ sở của không gian nghiệm W sẽ là
c. Xét không gian , hãy cho ví dụ về một không gian con nằm trong không gian
có số chiều bằng 2. Xác định một cơ sở của nó và công thức biểu diễn toạ độ của
một vector trong không gian đó với cơ sở trên?
Xét không gian có vector tổng quát dạng
Nếu thêm ràng buộc , thì không mất tính tổng quát ta đặt
, ta được không gian con W với vector tổng quát dạng:
với
Có thể viết X dưới dạng tổ hợp tuyến tính
15
Như vậy, mọi vector X trong không gian con W đều có thể viết được dưới dạng
tổ hợp tuyến tính của và , và dễ nhận thấy Y, S độc lập tuyến tính.
Không mất tính tổng quát, chọn là cơ sở của không gian con W, và mọi vector
X trong W đều được viết dưới dạng
,
với và còn được gọi là toạ độ của X ứng với cơ sở B trong không gian W.
