intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài toán liên quan đến tham số

Chia sẻ: Le Quoc Do | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST
Báo xấu
306
lượt xem 102
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học Bài toán liên quan đến tham số

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài toán liên quan đến tham số

  1. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn CHƯƠNG VII BÀI TOÁN LIÊN QUAN ð N THAM S Khi gi i các bài toán v phương trình, b t phương trình, h phương trình ta thư ng hay g p các bài toán liên quan ñ n tham s . Có l ñây là d ng toán mà nhi u h c sinh lúng túng nh t. Trong chương này chúng ta s ñi nghiên c u m t s d ng toán mà chúng ta thương hay g p (như xác ñ nh tham s ñ phương trình có nghi m, có k nghi m, nghi m ñúng v i m i x thu c t p D nào ñó… ) và phương pháp gi i các d ng toán ñó. 1. Phương pháp hàm s Bài toán 1: Tìm ñi u ki n c a tham s ñ phương trình f(x)=g(m) có nghi m trên D Phương pháp: D a vào tính ch t phương trình có nghi m ⇔ hai ñ th c a hai hàm s y = f ( x ) và y = g ( m ) c t nhau. Do ñó ñ gi i bài toán này ta ti n hành theo các bư c sau: 1) L p b ng bi n thiên c a hàm s y = f ( x ) . 2) D a vào b ng bi n thiên ta xác ñ nh m ñ ñư ng th ng y = g ( m ) c t ñ th hàm s y = f ( x ) . Chú ý : N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên D và m = min f (x) , M = Max f (x) thì x∈D x∈D phương trình : f ( x ) = k có nghi m khi và ch khi m ≤ k ≤ M. Ví d 1: Tìm m ñ các phương trình sau có nghi m x + x +1 − x − x +1 = m 2 2 1) . x +1 − x = m 4 2 2) Gi i: 1)Xét hàm s f (x) = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 có t p xác ñ nh là D=R. 2x + 1 2x − 1 Ta có: f '(x) = − 2 x2 + x + 1 2 x2 − x + 1 ⇒ f ' ( x ) = 0 ⇔ (2x + 1) x 2 − x + 1 = ( 2x − 1) x 2 + x + 1 (1) 2 2  1 1 3  1 1 3 ⇒  x +  [(x − )2 + ] =  x −  [(x + ) 2 + ] ⇔ x = 0 thay vào (1) ta th y  2 2 4  2 2 4 không th a mãn. V y phương trình f '(x) = 0 vô nghi m ⇒ f '(x) không ñ i d u trên R, mà f '(0) = 1 > 0 ⇒ f (x) > 0 ∀x ∈ R ⇒ f (x) ñ ng bi n. 2x M t khác: limf (x) = lim = 1 và limf (x) = −1. x →+∞ x →+∞ x + x +1 + x − x +1 2 2 x →−∞ B ng bi n thiên: Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai -1-
  2. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn x −∞ +∞ f’(x) + 1 f(x) -1 D a vào b ng bi n thiên ta th y phương trình ñã cho có nghi m ⇔ −1 < m < 1. 2) ðK: x ≥ 0 Xét hàm s f (x) = 4 x 2 + 1 − x v i x ∈ D = [0; +∞) x 1 Ta có: f '(x) = − . 2 4 (x 2 + 1)3 2 x ⇒ f '(x) = 0 ⇔ x x = 4 (x 2 + 1)3 ⇔ x 6 = (x 2 + 1)3 ⇔ x 2 = x 2 + 1 vô nghi m 1 1 ⇒ f '(x) không ñ i d u trên D, mà f '(1) = 4 − < 0 ⇒ f '(x) < 0 ∀x ∈ D 2 8 2 1 M t khác: lim f (x) = lim =0 x →+∞ x →+∞ 4 (x + 1) + 2 3 4 x 2 (x 2 + 1) 2 + 4 x 4 (x 2 + 1) + 4 x 6 ⇒ 0 < f (x) ≤ f (0) = 1 ∀x ∈ D ⇒ phương trình có nghi m ⇔ 0 < m ≤ 1 . Chú ý : N u phương trình chưa có d ng trên thì ta tìm cách cô l p m ñưa v d ng trên. Ví d 2: Tìm m ñ các phương trình sau có nghi m: 1) 4 x 4 − 13x + m + x − 1 = 0 . 2) x x + x + 12 = m( 5 − x + 4 − x ) . Gi i: x ≤ 1  1) Phương trình ⇔ 4 x 4 − 13x + m = 1 − x ⇔  4  x − 13x + m = (1 − x) 2  x ≤ 1  ⇔ 3 . Xét hàm s f (x) = 4x 3 − 6x 2 − 9x v i x ≤ 1 4x − 6x − 9x = 1 − m 2   3  x= 2 Ta có: f '(x) = 12x 2 − 12x − 9 ⇒ f '(x) = 0 ⇔  . x = − 1   2 B ng bi n thiên: x −∞ −1 / 2 1 f’(x) + 0 – 5 f(x) 2 −∞ −11 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai -2-
  3. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn 5 3 D a vào b ng bi n thiên suy ra phương trình có nghi m ⇔ 1 − m ≤ ⇔m≥− . 2 2 2) ði u ki n: 0 ≤ x ≤ 4 . Khi ñó phương trình ⇔ f (x) = (x x + x + 12)( 5 − x − 4 − x ) = m (Vì 5 − x − 4 − x ≠ 0 ) Xét hàm s f (x) = (x x + x + 12)( 5 − x − 4 − x ) v i 0 ≤ x ≤ 4 . 3 1 1 1 Ta có: f '(x) = ( x + )( − ). 2 2 x + 12 2 4 − x 2 5 − x 1 1 Do 0 < 4 − x < 5 − x ⇒ − > 0 ⇒ f '(x) > 0 ∀x ∈ [0;4) . 2 4−x 2 5−x V y f(x) là hàm ñ ng bi n trên [0;4] ⇒ 2 3( 5 − 2) = f (0) ≤ f (x) ≤ f (4) = 12 Suy ra phương trình có nghi m ⇔ 2 3( 5 − 2) ≤ m ≤ 12. Chú ý : Khi g p h phương trình trong ñó m t phương trình c a h không ch a tham s thì ta s ñi gi i quy t phương trình này trư c. T phương trình này ta s tìm ñư c t p nghi m x ∈ D (ñ i v i h m t n) ho c s rút ñư c n này qua n kia. Khi ñó nghi m c a h ph thu c vào nghi m c a phương trình th hai v i k t qu ta tìm ñư c trên.  x 2  1  4 − 5x  Ví d 3: Tìm m ñ h sau có nghi m: 2 ≤  2    (1) .  2 3x − mx x + 16 = 0 (2) Gi i: Ta th y (1) là b t phương trình m t n nên ta s ñi gi i b t phương trình này 2 Ta có: 2x ≤ 25x − 4 ⇔ x 2 ≤ 5x − 4 ⇔ x 2 − 5x + 4 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4 . H có nghi m ⇔ (2) có nghi m x ∈[1;4] . 3x 2 + 16 3x 2 + 16 (2) ⇔ = m . Xét hàm s f (x) = v i x ∈[1;4] x x x x 3 6x 2 x − x (3x 2 + 16) 2 3 x (x 2 − 16) có f '(x) = = ≤ 0 ∀x ∈ [1;4] . x3 2x 3 ⇒ 8 = f (4) ≤ f (x) ≤ f (1) = 19 ∀x ∈ [1;4] . V y h có nghi m ⇔ 8 ≤ m ≤ 19 . Ví d 4: Tìm m ñ h sau có nghi m: 7 2x + x +1 − 7 2 + x +1 + 2007x ≤ 2007  (1)  .  x 2 − (m + 2)x + 2m + 3 = 0  (2) Gi i: Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai -3-
  4. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn Ta có: (1) ⇔ 7 2 + x +1 (7 2(x −1) − 1) ≤ 2007(1 − x) (3) . • N u x > 1 ⇒ VT(3) > 0 > VP(3) ⇒ (3) vô nghi m. • N u x ≤ 1 ⇒ VT(3) ≤ 0 ≤ VP(3) ⇒ (3) ñúng ⇒ (3) có nghi m x ≤ 1 . Suy ra h có nghi m ⇔ (2) có nghi m x ≤ 1 . x 2 − 2x + 3 Ta có: (2) ⇔ m = = f (x) . Xét hàm s f(x) v i x ≤ 1 , có: x−2 x 2 − 4x + 1 f '(x) = ⇒ f '(x) = 0 ⇔ x = 2 − 3 . (x − 2)2 B ng bi n thiên x −∞ 2− 3 1 f’(x) + 0 – 2−2 3 f(x) −∞ −2 D a vào b ng bi n thiên ⇒ h có nghi m ⇔ m ≤ 2 − 2 3 . Ví d 5: Tìm m ñ h phương trình sau có nghi m: 2x − y + m = 0 (1)   .   y + xy = 2 (2) Gi i: Ta th y (2) là phương trình không ch a tham s nên ta s gi i quy t (2) trư c y ≤ 2  Ta có: (2) ⇔ xy = 2 − y ⇔  y 2 − 4y + 4 . Thay vào (1) ta ñư c: x =  y y 2 − 4y + 4 4y − 4 −y+m=0⇔m= = f (y) (3). y y H có nghi m ⇔ (3) có nghi m y ≤ 2 . Xét hàm s f(y) v i y ≤ 2 4 ⇒ f '(y) = 2 > 0 ⇒ f (y) ñ ng bi n trên các kho ng (−∞;0) ∪ (0;2] y lim f (y) = 4; lim f (y) = −∞; lim f (y) = +∞ . Ta có b ng bi n thiên: y →−∞ y → 0+ y → 0− y −∞ 0 2 f’(y) + + +∞ 2 f(y) 4 −∞ ⇒ h có nghi m ⇔ m ∈ (−∞;2] ∪ (4; +∞) . Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai -4-
  5. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn Chú ý : Khi bài toán yêu c u xác ñ nh s nghi m c a phương trình thì ta ph i lưu ý S nghi m c a phương trình f (x) = g(m) chính là s giao ñi m c a ñ th hai hàm s y = f (x) và y = g(m) . Do ñó phương trình có k nghi m ⇔ hai ñ th trên c t nhau t i k giao ñi m. Ví d 6: Tìm t t c các giá tr c a m ñ phương trình sau có ñúng hai nghi m phân bi t: x 4 − 4x 3 + 16x + m + 4 x 4 − 4x 3 + 16x + m = 6 . Gi i: ð t t = 4 x 4 − 4x 3 + 16x + m, t ≥ 0 . Ta có phương trình : t 2 + t − 6 = 0 ⇔ t = 2 ⇔ 4 x 4 − 4x 3 + 16x + m = 2 ⇔ −m = x 4 − 4x 3 + 16x − 16 . Xét hàm s f (x) = x 4 − 4x 3 + 16x − 16  x = −1 ⇒ f '(x) = 4(x 3 − 3x 2 + 4) = 4(x − 2)2 (x + 1) ⇒ f '(x) = 0 ⇔  . x = 2 B ng bi n thiên x −∞ -1 2 +∞ f’(x) – 0 + 0 + +∞ +∞ f(x) -27 D a vào b ng bi n thiên ⇒ phương trình có hai nghi m phân bi t ⇔ −m > −27 ⇔ m < 27 . Ví d 7: Tìm m ñ phương trình : m x 2 + 2 = x + m có ba nghi m phân bi t. Gi i: x Phương trình ⇔ m( x 2 + 2 − 1) = x ⇔ m = (do x 2 + 2 − 1 > 0 ∀x ) x2 + 2 − 1 x2 x + 2 −1− 2 Xét hàm s f (x) = x ⇒ f '(x) = x2 + 2 ( ) 2 x2 + 2 − 1 x2 + 2 − 1 2 − x2 + 2 f '(x) = ⇒ f '(x) = 0 ⇔ x = ± 2 . ( ) 2 x +2 2 x + 2 −1 2 B ng bi n thiên: x −∞ − 2 2 +∞ f’(x) – 0 + 0 – +∞ 2 f(x) − 2 −∞ Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai -5-
  6. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn D a vào b ng bi n thiên ⇒ − 2 < m < 2 . Ví d 8: Tìm t t c các giá tr c a m ñ phương trình : mx 2 + 1 = cos x có ñúng  π m t nghi m x ∈  0;  .  2 Gi i: Ta th y ñ pt có nghi m thì m ≤ 0 . Khi ñó: x sin 2 cos x − 1 2 = −2m . Phương trình ⇔ 2 =m⇔ 2 x x   2 sin t  π Xét hàm s : f (t) = v i t ∈  0;  t  4 t.cos t − sin t cos t ( t − tgt )  π Ta có: f '(t) = = < 0 v i ∀t ∈  0;  ⇒ f(t) ngh ch bi n. t2 t2  4 x sin 2 π 2 2 2 2 8 2 < 1 ∀x ∈ (0; π ) . Mà: f ( ) = và lim f (t) = 1 ⇒ < f (t) < 1 ⇒ 2 < 4 π t →0 π π x 2 2   2 π 8 V y phương trình có ñúng m t nghi m x ∈ (0; ) ⇔ 2 < −2m < 1 2 π 1 4 ⇔−
  7. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn B ng bi n thiên: x 1 1 −∞ −1 − 0 1 2 3 f’(x) − 0 + 0 − − 0 + 27 +∞ − −∞ 9 4 f(x) 11 −7 −∞ 3 D a vào b ng bi n thiên ta th y (a) có ba nghi m phân bi t 11  20  3 ≤ m −3≤9  3 ≤ m ≤ 12 ⇔ ⇔ .  −7 ≤ m − 3 ≤ − 27  −4 ≤ m ≤ −15   4   4 20 −15 V y ≤ m ≤ 12 ∪ − 4 ≤ m ≤ là nh ng giá tr c n tìm. 3 4 Ví d 10: Bi n lu n s nghi m c a phương trình sau: m x2 + 1 = x + 2 − m . Gi i: x+2 PT ⇔ m( x 2 + 1 + 1) = x + 2 ⇔ m = = f (x) (do x2 + 1 + 1 > 0 ) x +1 +1 2 S nghi m c a phương trình chính là s giao ñi m c a ñ th hai hàm s y = m và y = f (x) . x(x + 2) x2 + 1 + 1 − x2 + 1 = x 2 + 1 − 2x + 1 Xét hàm s y = f (x) , ta có: f '(x) = ( x 2 + 1 + 1)2 x 2 + 1( x 2 + 1 + 1)2  1 x ≥ 4 ⇒ f '(x) = 0 ⇔ x 2 + 1 = 2x − 1 ⇔  2 ⇔x= .  x 2 + 1 = 4x 2 − 4x + 1 3  2 x(1 + ) lim f (x) = lim x = −1 và lim f (x) = 1. x →−∞ x →−∞  1 1  x →+∞ −x  1 + 2 −   x x B ng bi n thiên Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai -7-
  8. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn x 4 −∞ +∞ 3 f’(x) + 0 − 5 f(x) 4 −1 1 D a vào b ng bi n thiên suy ra:  5 • N u  m > 4 ⇒ phương trình vô nghi m.   m ≤ −1  5 m= • N u 4 ⇒ phương trình có m t nghi m.   −1 < m ≤ 1 5 • N u 1 < m < ⇒ phương trình có hai nghi m phân bi t. 4 Chú ý : Khi ñ t n ph ta ph i tìm mi n xác ñ nh c a n ph và gi i quy t bài toán n ph trên mi n xác ñ nh v a tìm. C th : * Khi ñ t t = u(x), x ∈ D , ta tìm ñư c t ∈ Y và phương trình f (x, m) = 0 (1) tr thành g(t, m) = 0 (2). Khi ñó (1) có nghi m x ∈ D ⇔ (2) có nghi m t ∈ Y . * ð tìm mi n xác ñ nh c a t ta có th s d ng các phương trình tìm mi n giá tr (vì mi n xác ñ nh c a t chính là mi n giá tr c a hàm u(x) ). * N u bài toán yêu c u xác ñ nh s nghi m thì ta ph i tìm s tương ng gi a x và t, t c là m i giá tr t ∈ Y thì phương trình u(x) = t có bao nhiêu nghi m x ∈ D ?. Ví d 11: Tìm m ñ các phương trình sau có nghi m. 2 1) x + 9 − x = − x + 9x + m . 2) 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = m . 3) m( x − 2 + 2 4 x 2 − 4) − x + 2 = 2 4 x 2 − 4 . Gi i: 1) ði u ki n: 0 ≤ x ≤ 9 . Phương trình ⇔ 9 + 2 x(9 − x) = − x 2 + 9x + m ⇔ 2 − m = x(9 − x) − 2 x(9 − x) x+9−x 9 ð t t = x(9 − x) ⇒ 0 ≤ t ≤ = . 2 2 Ta có phương trình : 2 − m = t − 2t = f (t) (1). 2 9 Phương trình ñã cho có nghi m ⇔ (1) có nghi m t ∈ [0; ] 2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai -8-
  9. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn 9 Xét hàm s f(t) v i t ∈ [0; ] , có f '(t) = 2t − 2 > 0 ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t = 1. 2 B ng bi n thiên: t 9 0 1 2 f’(t) − 0 + 45 f(t) 0 4 −1 45 37 V y phương trình có nghi m ⇔ −1 ≤ 2 − m ≤ ⇔ − ≤ m ≤ 3. 4 4 2) ði u ki n: −3 ≤ x ≤ 6 . t −9 2 ð t t = 3 + x + 6 − x ⇒ t = 9 + 2 (3 + x)(6 − x) ⇒ (3 + x)(6 − x) = 2 2 t −9 2 Phương trình ñã cho tr thành: t − = m ⇔ t − 2t = 9 − 2m (2). 2 2 1 1 Xét hàm s t(x) = 3 + x + 6 − x ⇒ t '(x) = − 2 x+3 2 6−x 3 ⇒ t '(x) = 0 ⇔ 6 − x = x + 3 ⇔ x = . Ta có b ng bi n thiên c a t(x) 2 x 3 −3 6 2 t’(x) + 0 − 3 2 t(x) 3 3 D a vào b ng bi n thiên ⇒ t ∈ [3;3 2] . ⇒ (1) có nghi m ⇔ (2) có nghi m t ∈ [3;3 2] . Xét hàm s f (t) = t 2 − 2t v i 3 ≤ t ≤ 3 2 , có f '(t) = 2t − 2 > 0 ∀t ∈ [3;3 2] ⇒ f(t) là hàm ñ ng bi n trên [3;3 2] ⇒ 3 = f (3) ≤ f (t) ≤ f (3 2) = 18 − 6 2 ∀t ∈ [3;3 2]. 6 2 −9 V y phương trình có nghi m ⇔ 3 ≤ 9 − 2m ≤ 18 − 6 2 ⇔ ≤ m ≤ 3. 2 3) ði u ki n : x ≥ 2 . Ta th y x = 2 không là nghi m c a phương trình nên ta chia hai v phương trình  x−2  x+2 cho 4 x 2 − 4 , ta ñư c: m  4 + 2 − 4 = 2 (*).  x+2  x−2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai -9-
  10. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn x+2 2(t 4 + 1) 4 ð t t= 4 > 0 ⇒ t (x − 2) = x + 2 ⇒ x = 4 4 >2 ⇔ 4 > 0 ⇔ t >1 x−2 t −1 t −1 1  t 2 + 2t Khi ñó (*) tr thành: m  + 2  − t = 2 ⇔ m = = f (t) (3). t  2t + 1 Phương trình ñã cho có nghi m ⇔ (3) có nghi m t > 1. 2t 2 + 2t + 2 Xét hàm s f(t) v i t > 1, có: f '(t) = > 0 ∀t > 1 . ( 2t + 1) 2 ⇒ f (t) > f (1) = 1 ∀t > 1 . V y phương trình có nghi m ⇔ m > 1 . Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi ñ t n ph ta thư ng g p khó khăn khi xác ñ nh mi n xác ñ nh c a t . trên chúng ta ñã làm quen v i ba cách tìm mi n xác ñ nh c a t. Tuy nhiên ngoài nh ng cách trên ta còn có nh ng cách khác ñ tìm mi n xác ñ nh c a t. Ch ng h n: câu 2) ta có th áp d ng BðT Côsi ñ tìm xác ñ nh c a t : 2 (3 + x)(6 − x) ≤ 9 ⇒ 9 ≤ t ≤ 18 ⇒ 3 ≤ t ≤ 3 2 . 2 câu 3 ñ tìm mi n xác ñ nh ta có th làm như sau: 1 1 t = 41+ vì > 0 ∀x > 2 ⇒ t > 1. x−2 x−2 Ví d 12: Tìm m ñ các phương trình 1) tan 2 x + cot 2 x + m(tan x + cot x) + 3 = 0 có nghi m . 2) log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0 có nghi m trên [1;3 3 ] . 2 2 2 2 2 1 −x −x −x 3) m.9 2x − (2m + 1)6 2x + m.4 2x = 0 có nghi m x th a mãn x ≥ . 2 Gi i: 1) ð t t = tan x + cot x ⇒ tan 2 x + cot 2 x = t 2 − 2 và | t |≥ 2 . t +1 2 Phương trình ñã cho tr thành: t 2 + mt + 1 = 0 ⇔ = − m (3) ( vì t ≠ 0 ). t Phương trình ñã cho có nghi m ⇔ (3) có nghi m t th a mãn | t |≥ 2 . t +1 t −1 2 2 Xét hàm s f (t) = v i | t |≥ 2 , ta có: f '(t) = 2 > 0 ∀t : | t |≥ 2 t t B ng bi n thiên t −∞ -2 2 +∞ f’(t) + + -5/2 +∞ f(t) −∞ 5/2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai - 10 -
  11. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn 5 D a vào b ng bi n thiên, ta th y phương trình có nghi m ⇔| m |≥ . 2 2) ð t t = log 3 x + 1 ⇒ log 3 x = t 2 − 1 . V i 1 ≤ x ≤ 3 2 2 3 ⇒1≤ t ≤ 2. Phương trình ñã cho tr thành: t 2 + t = 2m + 2 (2) Phương trình ñã cho có nghi m trên [1;3 3 ] ⇔ (2) có nghi m 1 ≤ t ≤ 2 . Xét hàm s f (t) = t 2 + t v i 1 ≤ t ≤ 2 , ta th y f(t) là hàm ñ ng bi n trên [1;2] Suy ra 2 = f (1) ≤ f (t) ≤ f (2) = 5 ∀t ∈ [1;2] . 3 V y phương trình có nghi m ⇔ 2 ≤ 2m + 2 ≤ 5 ⇔ 0 ≤ m ≤ . 2 3) ð t u = 2x − x ⇒ u '(x) = 4x − 1 . 2 1 L p b ng bi n thiên c a u(x) ta ⇒ u ≥ 0 ∀x : x ≥ . 2 B t phương trình tr thành: m9 − (2m + 1)6 + m4 = 0 u u u 2u u 3 3 ⇔ m  − (2m + 1)   + m = 0 ⇔ mt 2 − (2m + 1)t + m = 0 2 2 u 3 (trong ñó ta ñ t t =   ⇒ t ≥ 1 ∀u ≥ 0 ) 2 t ⇔ m(t 2 − 2t + 1) = t ⇔ m = 2 = f (t) (3) (do t=1 không là nghi m PT) t − 2t + 1 Yêu c u bài toán ⇔ (3) có nghi m t > 1. 1 − t2 Xét hàm s f (t) v i t > 1, có f '(t) = < 0 ∀t > 1 và lim f (t) = 0 (t 2 − 2t + 1) 2 x →+∞ B ng bi n thiên t 1 +∞ f’(t) + +∞ f(t) 0 V y m > 0 là nh ng giá tr c n tìm. Ví d 13: Tìm m ñ phương trình sau có nghi m (4m − 3) x + 3 + (3m − 4) 1 − x + m − 1 = 0 (1). Gi i: ði u ki n : −3 ≤ x ≤ 1 . Phương trình ⇔ m(4 x + 3 + 3 1 − x + 1) = 3 x + 3 + 4 x − 1 + 1 3 x + 3 + 4 1− x +1 ⇔ = m (2). 4 x + 3 + 3 1− x +1 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai - 11 -
  12. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn  2t  x+3=2 1 + t2 ( ) ( )  2 2 Vì x + 3 + 1 − x = 4 nên ta có th ñ t:  v i 0 ≤ t ≤ 1.  1− x = 2 1 − t2   1 + t2 12t + 8(1 − t 2 ) + 1 + t 2 7t 2 − 12t − 9 Khi ñó (2) tr thành: m = = = f (t) (3). 16t + 6(1 − t 2 ) + t 2 + 1 5t 2 − 16t − 7 (1) có nghi m ⇔ (3) có nghi m t ∈ [−1;1] . 52t 2 + 8t + 60 Xét hàm s f(t) v i t ∈ [0;1] , có f '(t) = − < 0 ∀t ∈ [0;1] (5t 2 − 16t − 7)2 7 9 ⇒ = f (1) ≤ f (t) ≤ f (0) = ∀t ∈ [0;1] 9 7 7 9 V y phương trình có nghi m ⇔ ≤ m ≤ . 9 7 Chú ý : Ch c có l các b n s th c m c vì sao l i nghĩ ra các ñ t như v y ? M i nhìn vào có v th y các ñ t t trên thi u t nhiên. Th c ch t ra các ñ t trên ta ñã b qua m t bư c ñ t trung gian. C th :  x + 3 = 2sin α π ( ) ( )  2 2 T ñ ng th c x + 3 + 1 − x = 4 ta ñ t  v i α ∈ [0; ] ,  1 − x = 2cos α  2  2t  x+3=2 α  1 + t2 sau ñó ta l i ti p t c ñ t t = tan nên ta m i có:  . ð n ñây ch c  1 − x = 21 − t 2 2   1 + t2 các b n th y cách ñ t trên hoàn toàn r t t nhiên ph i không?!. Ví d 14: Xác ñ nh m i giá tr c a tham s m ñ h sau có 2 nghi m phân bi t log 3 (x + 1) − log 3 (x − 1) > log 3 4  (1)  .  log 2 (x 2 − 2x + 5) − m log 2 2 = 5 (2)  x − 2x + 5 Gi i: ði u ki n : x > 1. x +1 x +1 (1) ⇔ log 3 > log 3 2 ⇔ > 2 ⇔ 1 < x < 3 (Do x > 1). x −1 x −1 V y h ñã cho có hai nghi m phân bi t ⇔ (2) có hai nghi m phân bi t 1 < x < 3 . ð t t = log 2 (x − 2x + 5) ⇒ 2 < t < 3 ∀x ∈ (1;3) và (2) tr thành 2 m t + = 5 ⇔ t 2 − 5t = − m (3) t Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai - 12 -
  13. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn T cách ñ t t ta có: ( x − 1) 2 = 2t − 4 ⇒ V i m i giá tr t ∈ (2;3) thì cho ta ñúng m t giá tr x ∈ (1;3) . Suy ra (2) có 2 nghi m phân bi t x ∈ (1;3) ⇔ (3) có 2 nghi m phân bi t t ∈ (2;3) . 5 Xét hàm s f (t) = t 2 − 5t v i t ∈ (2;3) ⇒ f '(t) = 2t − 5 ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t = 2 B ng bi n thiên t 5 2 3 2 f’(t) − 0 + −6 −6 f(t) 25 − 4 25 25 ⇒ (3) có 2 nghi m phân bi t t ∈ (2;3) ⇔ − < − m < −6 ⇔ 6 < m < . 4 4 Ví d 14: Cho phương trình x + 3x − 6x − ax − 6x + 3x + 1 = 0 (1). Tìm t t 6 5 4 3 2 c các giá tr c a tham s a, ñ phương trình có ñúng 2 nghi m phân bi t. Gi i: Vì x = 0 không ph i là nghi m phương trình . Chia hai v pt cho x3 ta ñư c 1 1 1 1 (x 3 + 3 ) + 3(x 2 + 2 ) − 6(x + ) − a = 0 .ð t t = x + ta có ñư c phương trình: x x x x t(t − 3) + 3(t − 2) − 6t = a ⇔ t + 3t − 9t = a + 6 (2) 2 2 3 2 T cách ñ t t, ta có: x 2 − tx + 1 = 0 (3) ⇒ ∆ = t 2 − 4 ≥ 0 ⇔ t ≥ 2 . T ñây ta có: * N u t = ±2 thì phương trình (3) có m t nghi m. *N u t > 2 thì v i m i giá tr c a t cho tương ng hai giá tr c a x. Nên (1) có ñúng hai nghi m phân bi t ⇔ (2) ho c có ñúng hai nghi m t=2 và t=-2 ho c (2) có ñúng m t nghi m th a mãn |t|>2. 2 = a + 6  TH 1: N u (2) có ñúng hai ngi m t = ±2 ⇒  h vô nghi m. 22 = a + 6  TH 2: (2) có ñúng m t nghi m th a mãn |t|>2. Xét hàm s f (t) = t 3 + 3t 2 − 9t v i t > 2 , có: f '(t) = 3t 2 + 6t − 9 = 3(t − 1)(t + 3) . Ta có b ng bi n thiên: t −∞ -3 -2 2 +∞ f’(t) + 0 - + 27 +∞ f(t) −∞ 22 2 D a vào b ng bi n thiên ta th y phương trình (2) có ñúng m t nghi m t > 2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai - 13 -
  14. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn a + 6 < 2 a < −4 ⇔ ⇔ . a + 6 > 27 a > 21 Ví d 15: Tìm m ñ phương trình sau có b n nghi m phân bi t. m( 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2) = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 − 1 (1). Gi i: ði u ki n : x ≤ 1 . 0 ≤ t ≤ 1  ð t t = 1 + x2 − 1 − x2 ≥ 0 ⇒ t2 = 2 − 2 1 − x4 ⇔  . 2 1 − x = 2 − t 4 2  −t + t + 1 2 (1) tr thành: m(t + 2) = 1 − t 2 + t ⇔ m = = f (t) (2). t+2 2 2  2 − t2   2 − t2  T cách ñ t t ⇒ 1 − x =  2  ⇔x=± 4  41−   2  ∀t ∈ [0;1]      ⇒ v i m i giá tr t ∈ (0;1] ta có hai giá tr x, còn t = 0 ⇒ x = 0 . 2 2  2 − t1  2  2 − t2  M t khác: 1 −   =1−  2  ⇔ t1 = t 2 ⇔ t1 = t 2 2 2  2   2      ⇒ (1) có b n nghi m phân bi t ⇔ (2) có ñúng hai nghi m t ∈ (0;1] − t 2 − 4t + 1 Xét hàm s f(t) v i t ∈ [0;1] , có: f '(t) = ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t = 5 − 2. (t + 2)2 B ng bi n thiên t 0 5−2 1 f’(t) + 0 − 1 1 f(t) 2 3 −2 5 1 ⇒ (2) có hai nghi m phân bi t t ∈ (0;1] ⇔ −2 5 < m ≤ . 3 1 V y −2 5 < m ≤ là nh ng giá tr c n tìm. 3 Ví d 16: Bi n lu n s nghi m c a phương trình : 3 2 3 2 3 2 x +1 m.2 + (2m + 1)(3 − 5) x + (3 + 5) x =0 (1). Gi i: 3 2 3 2 x x 3− 5  3+ 5  (1) ⇔ 2m + (2m − 1)   +  =0 (2).  2   2  Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai - 14 -
  15. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn 3 2 x 3+ 5  ð t t =  ⇒ t ≥ 1 . Khi ñó (2) tr thành:  2  1 t2 − 1 2m + (2m − 1) + t = 0 ⇔ −2m(t + 2) = t − 1 ⇔ −2m = 2 = f (t) (3). t t+2 3 2 x 3+ 5  V i ∀t ≥ 1 ⇒ t =   ⇔ x = ± log 3 + 3 5 t (*) .  2  2 • N u t = 1 ⇒ (*) có m t giá tr x = 0 • N u t > 1 ⇒ (*) có hai giá tr x. ⇒ S nghi m c a (1) ph thu c vào s nghi m t ≥ 1 c a (3) t 2 + 4t + 1 Xét hàm s f(t) v i t ≥ 1 , có: f '(t) = > 0 ∀t ≥ 1 . (t + 2) 2 B ng bi n thiên: t 1 +∞ f’(t) + +∞ f(t) 0 D a vào b ng bi n thiên, ta có: * N u −2m < 0 ⇔ m > 0 ⇒ (3) vô nghi m ⇒ (1) vô nghi m. * N u m = 0 ⇒ (3) có m t nghi m t = 1 ⇒ (1) có m t nghi m x = 0 * N u m < 0 ⇒ (3) có m t nghi m t > 1 ⇒ (1) có hai nghi m phân bi t. Ví d 17: Tìm t t c các giá tr c a m ñ phương trình : (m − 1)log 2 (x − 2) − (m − 5)log 1 (x − 2) + m − 1 = 0 (1) 1 2 2 có hai nghi m tho mãn ñi u ki n : 2 < x1 ≤ x 2 < 4 . Gi i: ð t t = log 1 (x − 2) ⇒ t ∈ (−2;0) ∀x ∈ (2;4) và m i t ∈ (−2;0) cho m t giá tr 2 x ∈ (2;4) . Khi ñó (1) tr thành: t 2 − 5t + 1 (m − 1)t − (m − 5)t + m − 1 = 0 ⇔ m = 2 = f (t) (2). t2 − t + 1 Yêu c u bài toán ⇔ (2) có hai nghi m −2 < t1 ≤ t 2 < 0 . t2 + 4 Xét hàm s f(t) v i t ∈ (−2;0) , có f '(t) = − < 0 ∀t ∈ (−2;0). (t 2 − t + 1)2 15 ⇒ 1 = f (0) < m < f (−2) = là nh ng giá tr c n tìm. 7 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai - 15 -
  16. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn Bài toán 2: Tìm m ñ b t phương trình f ( x ) > g ( m ) có nghi m trên D. Phương pháp: V i d ng toán này trư c h t ta ñi kh o sát và l p b ng bi n thiên c a hàm s f (x) trên D, r i d a vào các tính ch t sau ñ chúng ta ñ nh giá tr c a tham s : 1) B t phương trình f (x) ≥ g(m) có nghi m trên D ⇔ max f (x) ≥ g(m) x ∈D 2) B t phương trình f (x) ≤ g(m) có nghi m trên D ⇔ min f (x) ≤ g(m) x ∈D Ví d 1: Tìm m ñ b t phương trình sau có nghi m 1) 4 − x + x + 5 ≥ m 2) mx − x − 3 ≤ m + 1. Gi i: 1) ði u ki n : −5 ≤ x ≤ 4 . Xét hàm s f (x) = 4 − x + x + 5 −1 1 4−x − x+5 ⇒ f '(x) = + = . 2 4 − x 2 x + 5 2 (4 − x)(x + 5) 1 ⇒ f '(x) = 0 ⇔ 4 − x − x + 5 = 0 ⇔ x = − . 2  −1  Suy ra max f (x) = max f (4),f ( ),f (−5)  = 3 2 . [-5;4]  2  V y b t phương trình có nghi m ⇔ m ≤ max f (x) = 3 2 . [ − 5;4] 2) ði u ki n : x ≥ 3 . x − 3 +1 x − 3 +1 B t phương trình ⇔ m ≤ . Xét hàm s f (x) = v i x ≥ 3. x −1 x −1 5−x − x −3 Ta có: f '(x) = ⇒ f '(x) = 0 ⇔ x = 4 và lim f (x) = 0 . 2 x − 3(x − 1) 2 x →+∞ B ng bi n thiên: x 3 4 +∞ f’ + 0 - 2 f 3 1 0 2 2 V y b t phương trình có nghi m ⇔ m ≤ max f (x) = . x ≥3 3 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai - 16 -
  17. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn Ví d 2: Tìm m ñ các b t phương trình sau có nghi m x +1 lg 2 x − mlg x + m + 3 ≤ 0 1) 4 − m.2 x + 3 − 2m ≤ 0 (1) 2)  (2).  x >1 Gi i: 1) ð t t = 2 x , t > 0 . Khi ñó b t phương trình tr thành: t2 + 3 t 2 − 2mt + 3 − 2m ≤ 0 ⇔ f (t) = ≤ 2m (3). t +1 (1) có nghi m ⇔ (3) có nghi m t > 0 . Xét hàm s f(t) v i t > 0 , ta có: t 2 + 2t − 3 f '(t) = ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t = 1 (do t > 0 ). ( t + 1) 2 B ng bi n thiên: t 0 1 +∞ f’(t) − 0 + 3 +∞ f(t) 2 ⇒ (3) có nghi m t > 0 ⇔ 2m ≥ 2 ⇔ m ≥ 1 . V y m ≥ 1 là nh ng giá tr c n tìm. 2) ð t t = lg x ⇒ t > 0 ∀x > 1 . Khi ñó b t phương trình ñã cho tr thành: t 2 − mt + m + 3 ≥ 0 ⇔ t 2 + 3 ≤ m(t − 1) (1). t2 + 3 * t < 1 ⇒ (1) ⇔ ≥ m (2). t −1 t2 + 3 t 2 − 2t − 3 Xét hàm s f (t) = v i t ∈ (0;1) , có f '(t) = < 0 ∀t ∈ (0;1) t −1 (t − 1)2 ⇒ (2) có nghi m t ∈ (0;1) ⇔ m < f (0) = −3 . t2 + 3 * t > 1 ⇒ (1) ⇔ m ≥ = f (t) (3). t −1 Ta có b ng bi n thi n f(t) t 1 3 +∞ f’(t) − 0 + +∞ +∞ f(t) 6 (3) có nghi m t > 1 ⇔ m ≥ 6 .  m < −3 V y là nh ng giá tr c n tìm. m ≥ 6 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai - 17 -
  18. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn Ví d 3: Tìm m ñ b t phương trình : m( x 2 − 2x + 2 + 1) + x(2 − x) ≤ 0 (1) có nghi m x ∈ [0;1 + 3] . Gi i: ð t t = x 2 − 2x + 2 = (x − 1)2 + 1 ⇒ t ∈ [1;2] ∀x ∈ [0;1 + 3] t2 − 2 Khi ñó (1) tr thành: m(t + 1) ≤ t − 2 ⇔ m ≤ 2 = f (t) (2). t +1 t 2 + 2t + 2 Xét hàm s f(t) trên [1;2] , ta có: f '(t) = > 0 ∀t ∈ [1;2] (t + 1) 2 (1) có nghi m x ∈ [0;1 + 3] ⇔ (2) có nghi m t ∈ [1;2] 2 ⇔ m ≤ max f (t) = f (2) = . [1;2] 3 Ví d 4: Tìm m ñ b t phương trình sau có nghi m: 2 2 2 2sin x + 3cos x ≥ m.3sin x. Gi i: t t 2 2 1 2 2 1 B t phương trình ⇔ ( )sin x + 3( )sin x ≥ m ⇔   + 3   ≥ m 3 9 3 9 t t 2 1 v i t = sin x ⇒ t ∈ [0;1] . Xét hàm s f (t) =   + 3   , ta th y f(t) là hàm 2 3 9 ngh ch bi n. ⇒ max f (t) = f (0) = 4 . V y b t phương trình có nghi m ⇔ m ≤ 4 . [0;1] Ví d 5: Tìm m ñ h b t phương trình sau có nghi m:  2x + 1 − 1 ≥ 2x − 1  (1)  . | 8x − 5 | + x + 2x + 1 − 2m ≥ 0 3  (2) 1 Gi i: ði u ki n: x ≥ . 2 1 5 Ta có: (1) ⇔ 2x + 1 ≥ 2x − 1 + 1 ⇔ 1 ≥ 2 2x − 1 ⇔ ≤ x ≤ . 2 8 Khi ñó: (2) ⇔ −8x + 5 + x + 2x + 1 − 2m ≥ 0 ⇔ f (x) = x − 6x + 6 ≥ 2m (3). 3 3 1 5 1 5 Xét hàm s f (x) trên  ;  , ta có: f '(x) = 3x 2 − 6 ≤ 0 ∀x ∈  ;  . 2 8 2 8 1 25 ⇒ max f (x) = f ( ) = . 1 5 ; 2 8 2 8   Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai - 18 -
  19. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn 1 5 25 25 H có nghi m ⇔ (3) có nghi m x ∈  ;  ⇔ 2m ≤ max f (x) = ⇔m≤ .  2 8 1 5 ; 8 16 2 8   Ví d 5: Tìm t t c giá tr c a tham s a ñ h sau có nghi m (x,y) tho mãn ñi u ki n x ≥ 4 .  x + y =3  (1)  .   x+5+ y+3≤a (2) Gi i: ði u ki n : x, y ≥ 0 x ≥ 4 ð t t = x ⇒ y = 3 − t , do  ⇒ 2 ≤ t ≤ 3 . Khi ñó (2) tr thành:  y≥0 a ≥ t 2 + 5 + t 2 − 6t + 12 = f (t) (3). t t −3 Xét hàm s f(t) v i t ∈ [ 2;3] , có f '(t) = + t2 + 5 t 2 − 6t + 12 ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t (t − 3)2 + 3 = (3 − t) t 2 + 5 (*) ⇒ t 2 (t − 3)2 + 3t 2 = (3 − t)2 t 2 + 5(3 − t)2 ⇔ 2t 2 − 30t + 45 = 0 phương trình vô nghi m vì t ∈ [ 2;3] BBT: t 2 3 f '(t) + 14 + 3 f (t) 5 H có nghi m ⇔ (3) có nghi m t ∈ [1;2] ⇔ a ≥ min f (t) = f (2) = 5 . [1;2] V y a ≥ 5 là nh ng giá tr c n tìm. Chú ý : ð b t phương trình : f (x) ≥ k (f (x) ≤ k) ∀x ∈ D ⇔ k ≤ min f (x) (k ≥ max f (x)) . D D Ví d 6: Tìm m ñ b t phương trình : (x + 3)(x + 1)(x + 4x + 6) ≥ m nghi m ñúng 2 ∀x ∈ R . Gi i: B t phương trình ⇔ (x 2 + 4x + 3)(x 2 + 4x + 6) ≥ m . ð t t = x 2 + 4x + 3 = (x + 2) 2 − 1 ⇒ t ≥ −1 và b t phương trình tr thành: t 2 + 3t ≥ m ∀t ≥ −1 (*) Xét hàm s f (t) = t + 3t ⇒ f '(t) = 2t + 3 > 0 ∀t ≥ −1 ⇒ min f (t) = −2 . 2 t ≥−1 B t phương trình ñã cho nghi m ñúng v i ∀x ∈ R ⇔ (*) nghi m ñúng v i ∀t ≥ −1 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai - 19 -
  20. Nguy n T t Thu http//:www.maths.vn ⇔ m ≤ min f (t) = −2 là nh ng giá tr c n tìm. t ≥−1 Ví d 7: Tìm m ñ b t phương trình : (4 + x)(6 − x) ≤ x 2 − 2x + m nghi m ñúng ∀x ∈ [ −4;6] . Gi i: 4+x+6−x ð t t = (4 + x)(6 − x) ⇒ 0 ≤ t ≤ = 5. 2 Khi ñó b t phương trình tr thành: t ≤ 24 − t 2 + m ⇔ t 2 + t ≤ m + 24 (*). Yêu c u bài toán ⇔ (*) nghi m ñúng ∀t ∈ [0;5] . Xét hàm s f (t) = t 2 + t v i t ∈ [0;5] , ta th y f(t) là hàm ñ ng bi n trên [0;5] Suy ra max f (t) = f (5) = 30 . [0;5] V y (* ) nghi m ñúng ∀t ∈ [0;5] ⇔ m + 24 ≥ 30 ⇔ m ≥ −6 . 1 Ví d 8: Tìm m ñ b t phương trình sau nghi m ñúng v i m i | x |≥ . 2 2 2 2 −x −x −x 9 2x − 2(m − 1)6 2x + (m + 1)4 2x ≥ 0. Gi i: 2 2x − x 2 −x 3 Chia hai v b t phương trình cho 4 2x và ñ t t =   , ta ñư c: 2 t 2 − 2(m − 1)t + m + 1 ≥ 0 (1). t + 2t + 1 2 1 V i | x |≥ ⇒ 2x − x ≥ 0 ⇒ t ≥ 1 ⇒ (1) ⇔ m ≤ = f (t) . 2 2 2t − 1 Yêu c u bài toán ⇔ m ≤ min f (t) . t ≥1 2t − 2t − 4 2 Ta có f '(t) = ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t = 2 . (2t − 1) 2 B ng bi n thiên t 1 2 +∞ f’(t) − 0 + 4 +∞ f(t) 3 V y m ≤ min f (t) ⇔ m ≤ 3 . t ≥1 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai - 20 -
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0