ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO TAY MÁY ROBOT HAI BẬC TỰ DO
A SLIDING CONTROLLER FOR A TWO-LINK ROBOT ARM
LÊ TẤN DUY
Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Bài báo này mô tả việc thiết kế bộ điều khiển trượt cho hành trình tay máy robot hai bậc tự do.
Bằng cách thay hàm signum bằng hàm khuếch đại-tích phân (PI) bảo hòa, ta có thể khử
chattering cho các tín hiệu điều khiển mà không gây ra sự sai lệch trong hoạt động của hệ
thống.
ABSTRACT
This paper describes the design of a sliding mode controller for a two-link robot arm. By
replacing the signum function by a satured proportional-integral (PI), control chattering is
eliminated without deterioration of the system.
1. Giới thiệu
Lý thuyết điều khiển trượt và phương pháp lớp biên để giải quyết vấn đề chattering đã
được trình bày trong [1]. Bài báo này trình bày việc tính toán cấu trúc để điều khiển robot hai
bậc tự do áp dụng phương pháp thay hàm signum bằng hàm PI-bão hòa.
Bộ điều khiển này làm cho hệ thống hoạt động một cách ổn định. Tính năng của hệ
thống được kiểm chứng bởi các kết quả mô phỏng với tay máy hai bậc tự do trên quỹ đạo
phẳng.
2. Mô tả toán học
2.1. Hệ phương trình động lực học Lagrange
Sơ đồ cấu trúc động học và các tham số của tay máy hai bậc tự do được vẽ trên hình 1:
Hình 1. Cấu trúc động học của tay máy hai khâu hai bậc tự do
trong đó:
1, 2 Góc quay của từng khâu
l1, l2 Chiều dài của hai khâu
lg1, lg2 Chiều dài từ trục quay đến trọng tâm của từng khâu
m1, m2 Khối lượng toàn bộ của mỗi khâu
J1 , J2 Mômen quán tính của mỗi khâu
mt , Jt Khối lượng tải và mômen quán tính của tải
Y
l
1
l
g1
X
l
g2
l
2
1
1
, J
1
2
, J
2
2
t
, J
t
Hệ phương trình động lực học Lagrange của tay máy hai khâu có cấu trúc như trên
hình 1 được viết dưới dạng ma trận sau [2]:
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2221
1211
2
1
g
g
T
T2T
hh
hh
(1)
trong đó 1 và 2 lần lượt là các mômen điều khiển tác động lên khâu 1 và khâu 2.
Các thành phần của ma trận được tính theo các biểu thức dưới đây:
)Cll2ll(mJJ)Cll2ll(mlmJh 221
2
2
2
1tt222g1
22g
2
12
21g1111
2
2tt222g1
22g22112 lmJJ)Clll(mhh
2
2tt2
22g222 lmJJlmh
221t2g12 S)llmllm(T (2)
)ClCl(gm)ClCl(gmCglmg 12211t122g11211g11
122t122g22 CglmCglmg
trong đó hii là quán tính riêng của từng khâu và hij là quán tính liên kết, Ci và Si lần lượt là các
ký hiệu của cosi và sini (i = 1, 2) và C12 là ký hiệu của cos(1+ 2).
2.2. Hệ phương trình trạng thái
Đặt biến trạng thái cho khớp 1 và 2 như sau:
2
2
22
21
2
1
1
12
11
1
x
x
X
x
x
X
(3)
và tín hiệu vào
2
1
2
1
u
u
U (4)
Hệ phương trình vi phân trạng thái của các khớp 1 và 2 được viết:
Khớp 1:
2
1j jj1112
1211
ub)X(ax
xx
(5)
Khớp 2:
2
1j jj2222
2221
ub)X(ax
xx
(6)
Từ các phương trình (1) đến (6), ta có hệ phương trình trạng thái của khớp 1 và 2 dưới đây:
Khớp 1:
)uhuh(
D
1
ghghTxh)xTx2Tx(h
D
1
x
xx
212122
H
212122
2
12122212
2
2222
H
12
1211
(7)
212122212122
2
1212221222
2
2222
H
12
1211
uhuhghghTxhxTxh2Txh
D
1
x
xx
Khớp 2:
)uhuh(
D
1
ghghTxh)xTx2Tx(h
D
1
x
xx
211112
H
211112
2
12122212
2
2212
H
22
2221
(8)
211112211112
2
1212221212
2
2222
H
22
2221
uhuhghghTxhxTxh2Tx(h
D
1
x
xx
Như vậy mô hình tay máy robot hai bậc tự do là một hệ một đầu vào một đầu ra, được
mô tả bằng hai hệ nhỏ, mỗi hệ tương ứng với từng khớp 1 và 2, được đặc trưng bởi hai hệ
phương trình vi phân trạng thái (7) và (8). Các hệ phương trình này có thể dùng để mô hình
hóa trên máy tính cũng như để tổng hợp luật điều khiển cho tay máy.
3. Thiết kế điều khiển trượt cho tay máy robot hai bậc tự do
3.1. Thiết kế bộ điều khiển kiểu trượt đơn thuần
Chọn mặt trượt cho từng khớp có dạng sau:
Khớp 1 S1 = C1.e11 + e12 = 0 (9)
với e11 = x11d - x11 và e12 = x12d - x12
Khớp 2 S2 = C2.e21 + e22 = 0 (10)
với e21 = x21d - x21 và e22 = x22d - x22
Tín hiệu điều khiển cho từng khớp có dạng [1]:
)Ssgn(.K)q,q(a
ˆ
qe.CB
ˆ
ud
1
Từ (3) và (4), ta có:
)Ssgn(.K
)Ssgn(.K
)X(a
ˆ
)X(a
ˆ
x
x
e.C
e.C
hh
hh
u
u
22
11
2
1
22
21
222
211
2212
1211
2
1
(11)
hay viết cho từng khớp:
Khớp 1
)X(a
ˆ
)Ssgn(.Kxe.Ch)X(a
ˆ
)Ssgn(.Kxe.Chu 222222221211121211111
(12)
Khớp 2
)X(a
ˆ
)Ssgn(.Kxe.Ch)X(a
ˆ
)Ssgn(.Kxe.Chu 222222222211121211122
(13)
trong đó
S1 , S2 được xác định theo công thức (9) và (10)
212122
2
1212221222
2
2222
H
1ghghTxhxTxh2Txh
D
1
)X(a
ˆ (14)
211112
2
1212221212
2
2212
H
2ghghTxhxTxh2Txh
D
1
)X(a
ˆ (15)
với 2
122211H hhhD
3.2. Dùng phương pháp lớp biên để giải quyết vấn đề chattering
Như đã nói ở phần 3.1, thay hàm signum bằng hàm bão hòa V(S/), tín hiệu điều
khiển được viết lại như sau:
)/S(V.K)q,q(a
ˆ
qe.CB
ˆ
ud
1
với:
1
/S
1
)/S(V
1/S
1/S1
1/S
và K là ma trận (n x n) xác định dương và chọn đủ lớn để đảm bảo điều kiện trượt được thỏa
mãn dù có tồn tại nhiễu và các tham số không xác định.
Tương tự như cách khai triển ở phần 3.1, ta có tín hiệu điều khiển cho từng khớp:
Khớp 1
)X(a
ˆ
S
V.Kxe.Ch)X(a
ˆ
S
V.Kxe.Chu 2
2
2
222222121
1
1
121211111
(16)
Khớp 2
)X(a
ˆ
S
V.Kxe.Ch)X(a
ˆ
S
V.Kxe.Chu 2
2
2
122222221
1
1
121211122
(17)
trong đó )X(a
ˆ
),X(a
ˆ21 được xác định theo (14) và (15).
3.3. Bộ điều khiển trượt dùng hàm bão hòa-PI
Sử dụng hàm bão hòa-PI, tín hiệu điều khiển sẽ có dạng:
)S(.K)q,q(a
ˆ
qe.CB
ˆ
ud
1
nếu
nếu
n
ếu
trong đó
T
21 S,SS và K được chọn như trong mục 3.2 ở trên. (Si) với i = 1,2 là
các hàm bão hòa-PI được định nghĩa như sau:
iii
t
t
ii
i
i
iii
iSkhidtSI
S
Skhi)Ssgn(
)S(
0i
(18)
trong đó Ii là các hệ số tích phân dương [1].
Ta có tín hiệu điều khiển cho từng khớp:
Khớp 1
)X(a
ˆ
)S(.Kxe.Ch)X(a
ˆ
)S(.Kxe.Chu 222222221211121211111
(19)
Khớp 2
)X(a
ˆ
)S(.Kxe.Ch)X(a
ˆ
)S(.Kxe.Chu 221222222211121211122
(20)
trong đó )X(a
ˆ
),X(a
ˆ21 được xác định theo (14) và (15).
4. Các kết quả mô phỏng và nhận xét
Ta thực hiện mô phỏng trên một tay máy hai bậc tự do có các tham số như sau:
l (m) lg (m) m (kg) J (kg.m2)
Khâu 1 0,4 0,2 21,8 0,728
Khâu 2 0,25 0,125 15 0,196
Việc mô phỏng được thực hiện với trường hợp có tải (khối lượng tải mt = 10 kg và
mômen quán tính của tải Jt = 0,1 kg.m2) của các hàm signum, bão hòa (sat) và bão hòa-PI
(sat-PI) được sử dụng trong bộ điều khiển.
4.1. Hàm signum
Khâu 1 Khâu 2