Trong 2D, phép quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trong mặt phẳng Oxy. Trong 3D, chúng ta có thể quay trên nhiều mặt phẳng: Oxy, Oxz, Oyz, Mặt phẳng bất kì. Chúng ta có thể xác định mặt phẳng quay bằng vetơ vuông góc với nó.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Các phép biến đổi 3 chiều
- ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH
CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI 3 CHIEÀU
Daãn nhaäp
• Cuøng moät loaïi ñoái töôïng coù theå xuaát hieän trong nhieàu
caûnh vaø xuaát hieän nhieàu laàn trong moät caûnh vôùi caùc
phöông vò, maøu saéc khaùc nhau.
• Neáu ta coù caùc moâ hình ñoái töôïng toát, ta coù theå phaùt sinh
ra caùc ñoái töôïng khaùc nhau töø moät moâ hình duy nhaát
nhôø caùc pheùp bieán ñoåi.
• Caùc pheùp bieán ñoåi quan troïng nhaát laø caùc pheùp bieán ñoåi
Affine vaø caùc pheùp chieáu.
Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc pheùp bieán ñoåi 3 chieàu 1/11
- ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH
Heä toaï ñoä baøn tay phaûi/baøn tay traùi
• Heä toïa ñoä theo quy öôùc baøn tay phaûi: ñeå baøn tay phaûi
sao cho ngoùn caùi höôùng theo truïc z, khi naém tay laïi, caùc
ngoùn tay chuyeån ñoäng theo höôùng töø truïc x ñeán truïc y.
• Heä toïa ñoä theo quy öôùc baøn tay traùi: ñeå baøn tay phaûi sao
cho ngoùn caùi höôùng theotruïc z, khi naém tay laïi, caùc ngoùn
tay chuyeån ñoäng theo höôùng töø truïc x ñeán truïc y.
Heä toaï ñoä thuaàn nhaát (Homogeneous Coordinates)
• Moãi ñieåm (x, y, z) trong khoâng gian Descartes ñöôïc bieåu
dieãn bôûi moät boä boán toïa ñoä trong khoâng gian 4 chieàu
thu goïn (hx, hy, hz, h). Ngöôøi ta thöôøng choïn h=1.
projected
homogeneous homogeneous Descartes
(x,y,z,w) (x/w,y/w,z/w,1) (x/w,y/w,z/w)
w
w=1
x
• (x, y, z)Descartes (x, y, z, 1)Homogeneous
• (x, y, z, w)Homogeneous (x/w, y/w, z/w)Descartes (w ≠ 0).
Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc pheùp bieán ñoåi 3 chieàu 2/11
- ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH
Caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính
• Pheùp bieán ñoåi tuyeán tính laø toå hôïp cuûa caùc PBÑ:
♦ Tæ leä æa d gö a d g
ç
(x' y' z') = (x y z)ç b e h vôùi b e h ≠ 0
♦ Quay çc f i c f i
è
♦ Bieán daïng vaø
♦ Ñoái xöùng
• Caùc tính chaát cuûa caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính
♦ Thoaû maõn tính chaát veà toå hôïp tuyeán tính.
T(s1P1 + s2P2) = s1T(P1) + s2T(P2)
♦ Goác toaï ñoä laø ñieåm baát ñoäng.
♦ AÛnh cuûa ñöôøng thaúng laø ñöôøng thaúng.
♦ AÛnh cuûa caùc ñöôøng thaúng song song laø caùc ñöôøng thaúng
song song.
♦ Baûo toaøn tæ leä khoaûng caùch
♦ Toå hôïp caùc pheùp bieán ñoåi coù tính phaân phoái
Pheùp tònh tieán
y
• Dòch chuyeån moät ñieåm töø
vò trí ñeán vò trí khaùc trong (x',y',z')
khoâng gian theo vector
tr =(trx,try,trz)
offset tr. (x,y,z)
x
z
Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc pheùp bieán ñoåi 3 chieàu 3/11
- ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH
Pheùp bieán ñoåi Affine
• Pheùp bieán ñoåi Affine laø toå hôïp cuûa caùc pheùp bieán ñoåi:
♦ Tuyeán tính tæ leä, quay, bieán daïng tònh tieán
♦ Tònh tieán
æ a b c 0ö
ç
ç d e f 0
(x' y' z' 1) = (x y z 1).ç
g h i 0
ç
• Caùc tính chaát ç trx try trz 1
è
♦ Goác toaï ñoä khoâng laø ñieåm baát ñoäng.
♦ AÛnh cuûa ñöôøng thaúng laø ñöôøng thaúng.
♦ AÛnh cuûa caùc ñöôøng thaúng song song laø caùc ñöôøng thaúng
song song.
♦ Baûo toaøn tæ leä khoaûng caùch
♦ Toå hôïp caùc pheùp bieán ñoåi coù tính phaân phoái
Caùc pheùp bieán ñoåi Affine cô sôû
• Pheùp bieán ñoåi Affine coù theå xem laø toå hôïp cuûa caùc pheùp
bieán ñoåi cô sôû:
♦ Tònh tieán
♦ Tæ leä (taâm tæ leä ñaët taïi goác toaï ñoä)
♦ Quay quanh truïc x
♦ Quay quanh truïc y
♦ Quay quanh truïc z
♦ Ñoái xöùng qua truïc x, y, z*
♦ Bieán daïng* (taâm bieán daïng ñaët taïi goác toaï ñoä)
Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc pheùp bieán ñoåi 3 chieàu 4/11
- ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH
• Pheùp tònh tieán y
é 1 0 0 0ù (x',y',z')
ê 0 1 0 0
Tr(Trx , Try , Trz ) = ê tr =(trx,try,trz)
ê 0 0 1 0 (x,y,z)
ê
ê Trx
ë Try Trz 1
x
• Pheùp bieán ñoåi tæ leä z
y
és x 0 0 0ù
ê0 sy 0 0ú
S(s x , s y , s z ) = ê ú
ê0 0 sz 0ú
ê ú
ë0 0 0 1
Khi sx=sy=sz: pheùp ñoàng daïng z
x
• Pheùp quay quanh truïc z
é cos(θ ) sin(θ ) 0 0ù
ê- sin(θ ) cos(θ ) 0 0ú
R(z,θ ) = ê ú y
ê 0 0 1 0ú
ê ú
ë 0 0 0 1
x
z
• Pheùp quay quanh truïc x • Pheùp quay quanh truïc y
é1 0 0 0ù écos(θ ) 0 - sin(θ ) 0ù
ê0 cos(θ ) sin(θ ) 0ú ê 0 1 0 0ú
R(x,θ ) = ê ú R(y, θ ) = ê ú
ê0 - sin(θ ) cos(θ ) 0ú êsin(θ ) 0 cos(θ ) 0ú
ê ú ê ú
ë0 0 0 1 ë 0 0 0 1
Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc pheùp bieán ñoåi 3 chieàu 5/11
- ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH
• Caùch xaùc ñònh chieàu döông trong caùc pheùp quay
Caùc ñònh nghóa veà chieàu quay ñöôïc duøng chung cho caû heä
toïa ñoä theo quy öôùc baøn tay phaûi vaø baøn tay traùi. Cuï theå
chieàu döông ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:
♦ Quay quanh truïc x: töø truïc döông y ñeán truïc döông z.
♦ Quay quanh truïc y: töø truïc döông z ñeán truïc döông x.
♦ Quay quanh truïc z: töø truïc döông x ñeán truïc döông y.
• Ví duï, xeùt treân heä toaï ñoä baøn tay traùi, khi nhìn doïc töø
phía truïc quay veà goác toaï ñoä, chieàu döông seõ laø chieàu
ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà
Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc pheùp bieán ñoåi 3 chieàu 6/11
- ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH
• Pheùp ñoái xöùng qua maët phaúng yOz, zOx vaø xOy
é− 1 0 0 0 ù
ê0 1 0 0 ú
Mr(x) = ê ú
ê0 0 1 0 ú
ê ú
ë0 0 0 1
é1 0 0 0 ù
ê0 −1 0 0 ú
Mr(y) = ê ú
ê0 0 1 0 ú
ê ú
ë0 0 0 1
é1 0 0 0 ù
ê0 1 0 0 ú
Mr(z) = ê ú
ê0 0 −1 0 ú
ê ú
ë0 0 0 1
• Pheùp ñoái xöùng qua truïc x, y vaø z
é1 0 0 0 ù é− 1 0 0 0ù é− 1 0 0 0 ù
ê0 −1 0 0 ú ê ú ê 0 −1 ú
Mx = ê ú My = ê 0 1 0 0ú
Mz = ê
0 0 ú
ê0 0 −1 0 ú ê0 0 −1 0ú ê0 0 1 0 ú
ê ú ê ú ê ú
ë0 0 0 1 ë0 0 0 1 ë0 0 0 1
• Pheùp bieán daïng
é 1 h yx h zx 0ù
êh 1 h zy 0ú
Sh = ê xy ú
ê h xz h yz 1 0ú
ê ú
ë 0 0 0 1
y y
x x
z z
Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc pheùp bieán ñoåi 3 chieàu 7/11
- ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH
Caùc pheùp bieán ñoåi Affine toång quaùt
• Toå hôïp caùc pheùp bieán ñoåi Affine laø moät pheùp bieán ñoåi
Affine.
• Moïi pheùp bieán ñoåi Affine ñeàu coù theå phaân raõ thaønh toå
hôïp caùc pheùp bieán ñoåi Affine cô sôû.
Pheùp tæ leä vôùi taâm baát kyø
• Pheùp tæ leä vôùi taâm ñaët taïi ñieåm (xf, yf, zf) coù theå xeùt nhö
toå hôïp cuûa caùc pheùp bieân ñoåi cô sôû:
♦ Tònh tieán ñieåm baát ñoäng (x f , y f , z f ) veà goác toïa ñoä.
♦ Thöïc hieän pheùp bieán ñoåi tæ leä vôùi taâm laø goác toaï ñoä.
♦ Tònh tieán ngöôïc ñieåm baát ñoäng töø goác toïa ñoä trôû veà vò trí
ban ñaàu.
æ sx 0 0 0ö
ç ÷
ç 0 sy 0 0÷
• Ma traän bieán ñoåi seõ laø: S f (s x ,s y ,s z ) = ç
0 0 sz 0÷
ç ÷
ç (1-s )x
è x f (1-s y )y f (1-s z )z f 1÷
ø
Pheùp quay quanh moät truïc baát kyø
• Giaû söû truïc quay xaùc ñònh bôûi 2 ñieåm P1 vaø P2 (chieàu
döông höôùng töø P1 ñeán P2 theå hieän bôûi vector k).
Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc pheùp bieán ñoåi 3 chieàu 8/11
- ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH
• AÙp duïng qui taéc phaân raõ, ta coù theå bieåu dieãn quay quanh
k moät goùc θ thaønh daõy caùc pheùp bieán ñoåi cô sôû sau:
♦ Tònh tieán truïc k veà goác toïa ñoä: Tr(-P0) (thaønh truïc k')
♦ Quay quanh truïc x ñeå ñaët truïc k' naèm treân maët phaúng
xOz: R(x,α) (thaønh truïc k'').
♦ Goùc quay ñöôïc xaùc ñònh döïa treân chieáu cuûa k' leân maët
phaúng yOz. Ta khoâng caàn tính α cuï theå. Thay vaøo ñoù ta
tính sin(α) vaø cos(α) moät caùch tröïc tieáp.
y
P1
P0 P1
k k= ,
P0 P0 P1
d k'
ky α d = k2 + k2
y z
x
k" kz ky
cos(α ) = , sin(α ) =
d d
z
♦ Quay quanh truïc y ñeå ñöa truïc k' veà truïc z: R(y,-β). Töông
töï böôùc tröôùc, ta khoâng caàn tính cuï theå β.
♦ Thöïc hieän pheùp quay quanh truïc z moät goùc θ: R(z,θ)
♦ Thöïc hieän chuoãi caùc pheùp bieán ñoåi ngöôïc laïi quaù trình
treân.
y
d
cos(β ) = = d,
1
x kx
k" sin(β ) = = kx
β 1
kx
z
Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc pheùp bieán ñoåi 3 chieàu 9/11
- ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH
• Nhö vaäy, pheùp quay quanh 1 truïc baát kyø coù theå ñöôïc
phaân raõ thaønh chuoãi caùc bieán ñoåi cô sôû sau:
Tr(-P0) R(x,α) R(y,-β) R(z, θ) R(y, β) R(x, -α) Tr(P0)
Modeling transformation
• Bieán ñoåi töø Heä toïa ñoä ñoái töôïng sang Heä toïa ñoä theá giôùi
thöïc.
yt
Tractor
System yW
xt
zt
World xW
zW
yfW
zfW xfW
Front-Wheel
System
Pheùp bieán ñoåi Heä toaï ñoä
• Caàn thöïc hieän moät pheùp quay vaø moät pheùp tònh tieán (goïi
laø Rigid boby transformation).
• Neáu chuyeån ñoåi giöõa hai heä toaï ñoä baøn tay traùi vaø baøn
tay phaûi thì caàn theâm moät pheùp ñoái xöùng nöõa.
Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc pheùp bieán ñoåi 3 chieàu 10/11
- ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH
Rigid boby transformation
• Bao goàm pheùp tònh tieân vaø pheùp quay vaø caùc toå hôïp cuûa
chuùng.
• Do khoâng laøm thay ñoåi hình daïng vaø kích thöôùc ñoái
töôïng, chæ laøm thay ñoåi vò trí, phöông höôùng cuûa chuùng
trong khoâng gian.
Ví duï veà pheùp tònh tieán
Ví duï veà pheùp quay
Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc pheùp bieán ñoåi 3 chieàu 11/11
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
