intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chủ đề 11: Các dạng toán trọng tâm của hình học giải tích trong mặt phẳng

Chia sẻ: Thái Đức Thuần | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST
Báo xấu
143
lượt xem 24
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các dạng toán về các yếu tố của tam giác, các dạng toán về điểm và đường thẳng, các dạng toán về hình có tính chất đối xứng cao,... là những nội dung chính trong chủ đề 11 "Các dạng toán trọng tâm của hình học giải tích trong mặt phẳng". Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chủ đề 11: Các dạng toán trọng tâm của hình học giải tích trong mặt phẳng

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com CHỦ ĐỀ 11 : CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG. Dạng 1: Các dạng toán về các yếu tố của tam giác Một số bài toán thường gặp là tính tọa độ các đỉnh, viết phương trình các đường thẳng có liên quan đến một tam giác khi biết ba điều kiện cho trước. Chú ý:  Cần nắm vững tính chất của: Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.  Đầu bài thường cho kết hợp các đường như: đường trung tuyến và đường cao, đường cao và đường phân giác trong... Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có B 1;5 và đường cao AH : x  2 y  2  0 , đường phân giác trong CI : x  y  1  0 . Tìm tọa độ đỉnh A và C. Giải Vì BC qua B và vuông góc với AH nên BC qua A B 1;5 , có VTPT n   2; 1 . B'  BC : 2  x  1   y  5  0  BC : 2 x  y  3  0 . I Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: x  y  1  x  4    C  4; 5 . 2 x  y  3  y  5 Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua CI thì BB’ qua B C B 1;5 , có VTPT n1  1;1  BB ' : x  y  6  0 . H Gọi K là giao điểm của BB’ với CI thì tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình  7 x  x  y  6  . Vì K là trung điểm của BB’ nên B '  6;0  , Phương trình AC là B’C 2    x  y  1 y  5  2 x  2 y  2 x  4  B ' C : x  2 y  6  0 . Tọa độ A là nghiệm:    A  4; 1 . x  2 y  6  y  1 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 1
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com Vậy : A  4; 1 , C  4; 5 . 8 1 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A  0; 4  , trực tâm H 1; 2  và trọng tâm G  ;  . Tìm tọa độ 3 3 đỉnh B và C. Giải Gọi I là trung điểm của BC suy ra 2  3 AG  AI  I  4;   . Đường thẳng BC qua A 3  2 I và vuông góc với AH nên BC có phương trình:  3 J 1 x  4   2  y    0  BC : x  2 y  7  0 . H  2 G Vì B  BC  B  2b  7; b  , I là trung điểm của BC nên C 1  2b; 3  b  . B C I Mặt khác , BH  AC  BH . AC  0   6  2b 1  2b    2  b  7  b   0 b  1  5b2  15b  20  0   . b  4 Với b  1 , suy ra B  9;1 , C  1; 4  . Với b  4 , suy ra B  1; 4  , C  9;1 . Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G 1;1 , đường cao AH : 2 x  y  1  0 , các đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x  2 y  1  0 . Biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 6. Hãy tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Giải Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 2
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com  1  x  2 x  y  1  5  1 3 Tọa độ H là nghiệm của    H   ;  . Gọi d là đường thẳng qua G và x  2 y  1 y  3  5 5  5 song song với BC  d : x  2 y  3  0 . Gọi giao điểm của d và AH là I  tọa độ I là nghiệm của hệ sau  1  x A  2 x  y   1  5 1 7    I  ;  Ta có: x  2 y  3 y  7 5 5  5 6 N HA  3HI  A 1;3 , mà : d  A, BC   5 d I 2S ABC G  BC  2 5 d  A, BC  B C H M Gọi M là trung điểm của BC , khi đó ta có: MA  3MG  M 1;0   m  1  BC m  3   BC  MB  2  5   m  1  4   m  1 . 2 Gọi B  m;  2   Với : m  3  B  3; 1 , C  1;1 . Với : m  1  B  1;1 , C  3; 1 . Bài tập: 1. Cho tam giác ABC có điểm M  2;0  là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là : 7 x  2 y  3  0 và 6 x  y  4  0 . Viết phương trình cạnh AC. Đáp số: AC : 3x  4 y  5  0 . 2. Cho tam giác ABC , biết đường phân giác trong của góc A và đường cao kẻ từ B có phương trình lần lượt là : x  y  2  0 và 4 x  3 y  1  0 . Biết rằng H  1; 1 là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Tìm tọa độ điểm C.  10 3  Đáp số: C   ;   3 4 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 3
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com 3. Cho tam giác ABC biết C  4; 1 đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình lần lượt là : 2 x  3 y  12  0 và 2 x  3 y  0 .Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. Đáp số: AB : 9 x  11y  5  0 ; BC : 3x  2 y 10  0 ; AC : 3x  7 y  5  0 . 4. Cho tam giác ABC có AB  5 , điểm C  1; 1 , đường thẳng AB có phương trình là : x  2 y  3  0 và trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đường thẳng : x  y  2  0 . Tìm tọa độ đỉnh A và B.  1  3  3  1 Đáp số: A  4;   , B  6;   hoặc A  6;   , B  4;   .  2  2  2  2 4 2 5. Cho tam giác ABC có đỉnh A  0; 4  , trọng tâm G  ;  và trực tâm trùng với gốc tọa 3 3 độ. Tìm tọa độ điểm B , C và diện tích tam giác ABC biết xB  xC . Đáp số: B  1; 1 , C  5; 1 , S  15 . 6. Cho tam giác ABC có điểm A  3; 7  , trực tâm H  3; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp I  2;0 . Xác định tọa độ đỉnh C, biết xC  0 . Đáp số: C   65  2;3 . 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đỉnh C  4;1 , phân giác trong góc A có phương trình là: x  y  5  0 , biết rằng S ABC  24 và xA  0 . Viết phương trình cạnh BC. Đáp số: 3x  4 y  16  0 8. Cho điểm M 1;1 và hai đường thẳng d1 : 3x  y  5  0 , d2 : x  y  4  0 . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d qua M cắt d1 , d 2 lần lượt tại A và B sao cho: 2MA  3MB  0 . Đáp số: d : x  y  0 , d : x  1  0 . Dạng 2: Các dạng toán về điểm và đường thẳng Bài toán về điểm, đường thẳng là bài toán rất phổ biến trong các đề thi ĐH_CĐ. Để giải quyết bài toán này ta cần nắm vững các công thức về độ dài đoạn thẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường song song, góc giữa hai đường, góc giữa hai vectơ...Ta xét một số ví dụ sau đây. x  t x 1 y Ví dụ 1: Cho ba đường thẳng 1 : x  3 y  2  0 ;  2 :  , t  R ; 3 :  . Tìm  y  10  3t 3 2 M thuộc  3 sao cho : d  M , 1   3d  M , 2  . Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 4
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com Giải  x  1  2t Ta có : 2 : 3x  y  10  0 , 3 :  , tR ,  y  2t M 3  M 1  3t;2t  . 9t  1 11t  7 d  M , 1   ; d  M , 2   . Ta có : 10 10  10 M t  11 d  M , 1   3d  M , 2   9t  1  3 11t  7   t  11  21   41 20   M  11 ; 11     41 20   18 22   . Vậy có hai điểm M  ;  , M  ;  thỏa mãn bài toán.   18 22   11 11   7 21  M  ;    7 21   5 Ví dụ 2: Cho đường thẳng  : 3x  4 y  4  0 , điểm N  2; 5 và I  2;  . Tìm trên  hai điểm  2 M và P đối xứng nhau qua I , sao cho diện tích tam giác MNP bằng 15. Giải 1 Ta có: SMNP  d  N ,   .MP , M I P 2 3.2  4  5  4 d  N,    6  MP  5 32   4  2  3a  4  Gọi M  a;  , vì I là trung điểm của MP  4  nên N  16  3a   6  3a   P  4  a;   MP   4  2a;   4   2   6  3a  2 a  0  M  0;1 , P  4; 4  MP  5   4  2a    2   25  a  4a  0   a  4   2 .  2    M  4; 4  , P  0;1 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 5
  6. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com Vậy : M  0;1 , P  4; 4  hoặc M  4;4  , P  0;1 . Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M  4; 3 sao cho tam giác tạo bởi đường thẳng đó và hai trục tọa độ có diện tích bằng 3. Giải Giả sử đường thẳng d cắt hai trục toạ độ tại x y A  a;0  và B  0; b  . Khi đó d :   1 . a b 4 3 M  d nên   1  4b  3a  ab  0 1 . a b Tam giác OAB có diện tích bằng 3  ab  6 4b  3a  ab  0   2 . Từ 1 ;  2  ta có hệ:   ab  6  a  4 a  2   hoặc  3. b  3 b   2 Với a  2; b  3  d : 3x  2 y  6  0 . 3 Với a  4; b    d : 3x  8 y  12  0 . 2 Ví dụ 4: Cho đường thẳng d : 3x  4 y  5  0 và đường tròn  C  : x2  y 2  2 x  6 y  9  0 . Tìm điểm M   C  , N  d sao cho MN ngắn nhất. Khi đó viết phương trình đường thẳng  qua tâm 1 đường tròn  C  và tạo với MN góc  sao cho cos  . 5 2 Giải Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 6
  7. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com Đường tròn  C  có tâm I  1;3 , bán kính R  1 . Ta có: d  I , d   2  R nên d nằm ngoài H C  . M1 N Gọi IH là đường thẳng qua I và vuông góc với M d d  IH : 4 x  3 y  5  0 . H là giao điểm của 1 7 IH và d  H  ;  . Gọi M 1 , M 2 là giao I 5 5 điểm của IH với  C  , tọa độ M 1 , M 2 là nghiệm của hệ:  2  8     x  x   5  4 x 3 y 5 0  5  2 11   8 19   2  ;   M1   ;  , M 2   ;  . x  y  2x  6 y  9  0  5 5  5 5 2  y  11  y  19  5  5 MN ngắn nhất khi : N  H , M  M1  MN  1 , Khi đó MN chính là IH  MN : 4 x  3 y  5  0 . n .nMN 4a  3b 1 Gọi n   a; b  với a 2  b2  0 là VTPT của  . Cos    n . nMN 5 a 2  b2 5 2  a  b  31a 2  48ab  17b2  0   a  b  31a  17b   0   . 31a  17b Với : a  b , chọn a  1  b  1   : x  y  4  0 . Với: 31a  17b , chọn a  17  b  31   :17 x  31y  110  0 . Bài tâp: 1. Cho bốn điểm A 1;0  , B  2; 4  , C  1; 4  , D  3;5 . Tìm M thuộc  : 3x  y  5  0 sao cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau. 7  Đáp số: M  9; 32  hoặc M  ; 2  . 3  Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 7
  8. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com 2. Cho đường thẳng d : x  3 y  4  0 và đường tròn  C  : x 2  y 2  4 y  0 . Tìm điểm M   C  , N  d sao cho M và N đối xứng với nhau qua A  3;1 .  38 6   8 4 Đáp số: M  4;0  , N  2; 2  hoặc M  ;  , N   ;  .  5 5  5 5 3. Cho đường thẳng d : 2 x  y  1  0 và hai điểm A 1; 2  , B  0; 1 . Tìm M thuộc d sao cho:  9 43  a) MA  MB nhỏ nhất. Đáp số: M  ;  .  25 25  b) MA  MB lớn nhất. Đáp số: M  2;5  . 4. Cho đường thẳng d : x  y  0 và M  2;1 . Lập phương trình  cắt trục hoành tại A, cắt d tại B sao cho tam giác AMB vuông cân tại M. Đáp số:  : x  y  2  0 hoặc  : 3x  y 12  0 . 5. Cho hai điểm A  2;5 , B  5;1 . Lập phương trình đường thẳng d qua A sao cho khoảng cách từ B đến d bằng 3. Đáp số: d : x  2  0 ; hoặc d : 7 x  24 y 134  0 . 6. Cho điểm M  3;0  và hai đường thẳng d1 : 2 x  y  2  0 , d2 : x  y  3  0 . Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt d1 , d 2 tại A và B sao cho M là trung điểm của AB. Đáp số: d :8x  y  24  0 . 7. Cho điểm P  7;8 và hai đường thẳng d1 : 2 x  5 y  3  0 , d2 : 5x  2 y  7  0 cắt nhau 29 tại A. Viết phương trình đường thẳng d qua P cắt d1 , d 2 tại B và C sao cho S ABC  . 2 Đáp số: d : 7 x  3 y  25  0 . Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 8
  9. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com 1 7 8. Cho đường tròn  C  : x2  y 2  2 x  6 y  9  0 và điểm M  ;  . Tìm trên  C  điểm N 5 5 sao cho MN có độ dài lớn nhất.  8 19  Đáp số: N   ;  .  5 5 Dạng 3: Các dạng toán về hình có tính chất đối xứng cao ( Tam giác cân, tam giác đều, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, hình bình hành). Đây là dạng bài toán tương đối khó, nhưng nếu biết vận dụng linh hoạt các tính chất trong các hình đã nêu trên thì ta giải quyết được bài toán rất nhanh gọn. Sau đây ta xét một số ví dụ. Ví dụ 1: Cho ba đường thẳng d1 : 3x  y  4  0 ; d2 : x  y  6  0 ; d3 : x  3  0 .Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng A và C thuộc d 3 , B thuộc d1 và D thuộc d 2 . Giải Vì B thuộc d1 và D thuộc d 2 , A và C thuộc d1 d3 d3 / /Oy nên BD song song với Ox và B, D đối xứng nhau qua d 3 . Gọi B  xB ; yB  ; D  xD ; yD  , A B 3xB  yB  4  0  ta có:  xD  yD  6  0  3xB  xD  10 . Gọi I y  y d2  B D là giao điểm của AC và BD ta có: D C 3x  x  10  xB  2 xB  xD  2 xI  6   B D   B  2; 2  , D  4; 2  .  xB  xD  6  xD  4 Suy ra I  3; 2  . Gọi A  3; m   IA   0; m  2  ; IB   1;0  . Ta có IA2  IB2   m  2   1 2 m  3  . m  1 Với : m  3  A  3;3 , C 1;3 . Với : m  1  A 1;3 , C  3;3 . Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 9
  10. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com Vậy: A  3;3 , B  2; 2  ; C 1;3 ; D  4; 2  hoặc A 1;3 , B  2; 2  ; C  3;3 ; D  4; 2  . 7 5  3 Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD . Biết I  ;  là trung điểm của cạnh CD, D  3;  và 2 2  2 đường phân giác góc BAC có phương trình  : x  y  1  0 . Tìm tọa độ đỉnh B. Giải  7 Vì I là trung điểm của CD  C  4;  CD   1; 2   nCD   2; 1 . Gọi AE là phân giác của  2 15 BAC . Lấy C’ đối xứng với C qua AE  CC ' : x  y   0 . H là giao điểm của AE và CC’ 2  13 7  5   H  ;  . Vì H là trung điểm của CC’ nên  C '  ;5  . Ta có AB / /CD và đi qua điểm  4 4 2  5   1 C '  ;5   AB : 2 x  y  0 . Tọa độ A  AB  AE  A 1; 2   AD   2;   . Gọi B  b; 2b  2   2  7   BC   4  b;  2b  . Vì ABCD là hình bình hành  AD  BC  b  2  B  2; 4  .  2  Vậy : B  2; 4  . Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt nằm trên hai đường d1 : x  2 y  5  0 ; d2 : x  2 y  1  0 . Biết rằng M  3;3 thuộc AD và điểm N  1; 4  thuộc BC. Viết phương trình các đường thẳng AD và BC. Giải Gọi n   a; b  là vtpt của BC B  BC : a  x  1  b  y  4  0  BC : ax  by  a  4b  0 N d1 A C với a 2  b2  0 . Chọn F  5;0   AB . M d2 D S ABCD  AB.d  AB, CD   BD.d  AD, BC   d  AB, CD   d  AD, BC   d  F , d2   d  M , BC  4 2a  b b  2 a    11b2  20ab  4a 2  0   b  2a 11b  2a   0   . 1 4 a 2  b2 11b  2a Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 10
  11. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com Với : b  2a , chọn a  1  b  2  BC : x  2 y  7  0 . Vì AD qua M  3;3 và song song với BC nên: AD : x  2 y  3  0 . Với : 11b  2a , chọn a  11  b  2  BC :11x  2 y  19  0 . Vì AD qua M  3;3 và song song với BC nên: AD :11x  2 y  39  0 . Vậy: AD : x  2 y  3  0; BC : x  2 y  7  0 hoặc AD :11x  2 y  39  0; BC :11x  2 y  19  0 . Ví dụ 4: Lập phương trình các cạnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A (– 4; 5) và đường chéo BD : 7x – y + 8 = 0. Giải Gọi n   a; b  với a 2  b2  0 là vectơ pháp tuyến của đường A B thẳng AB, ta có : AB, BD  45  4a  3b  12a 2  7ab  12b 2  0   3a  4b 7x - y + 8 = 0 7a  b  Cos45   7a  b  5 a 2  b 2 a  b . 50 2 2 Với : 4a  3b  n   3; 4   AB : 3x  4 y  32  0 D C Với : 3a  4b  n   4;3  AB : 4 x  3 y  1  0 Vì AD  AB và AD, BD  45 nên: AB : 3x  4 y  32  0; AD : 4 x  3 y  1  0 hoặc AB : 4 x  3 y  1  0; AD : 3x  4 y  32  0 . Với : AB : 3x  4 y  32  0; AD : 4 x  3 y  1  0 , tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình 3x  4 y  32  0 x  0    B  0;8  BC : 4 x  3 y  24  0 . 7 x  y  8  0 y  8 4 x  3 y  1  0  x  1 Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ :    B  1;1  DC : 3x  4 y  7  0 7 x  y  8  0 y 1 Với : AB : 4 x  3 y  1  0; AD : 3x  4 y  32  0  BC : 3x  4 y  7  0 ; DC : 4 x  3 y  24  0 . Vậy : AB : 3x  4 y  32  0; BC : 4 x  3 y  24  0; DC : 3x  4 y  7  0; AD : 4 x  3 y  1  0 Hoặc AB : 4 x  3 y  1  0; BC : 3x  4 y  7  0; DC : 3x  4 y  24  0; AD : 3x  4 y  32  0 . Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 11
  12. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com Bài tập: 1  1. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  . Đường thẳng chứa AB có phương trình 2  x  2 y  2  0 , AB  2 AD , biết xA  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Đáp số: A  2;0  ; B  2;2  ; C  3;0  ; D  1; 2  . 2. Cho hình bình hành ABCD có diệ tích bằng 4. Biết A 1;0  , B  0; 2  , I là giao điểm của hai đường chéo thuộc đường thẳng : y  x . Tìm tọa độ C và D. 5 8 8 2 Đáp số: C  ;  , D  ;  hoặc C  1;0  , D  0; 2  .  3 3 3 3 3. Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I  6; 2  là giao điểm của hai đường chéo. Điểm M 1;5 thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng  : x  y  5  0 . Viết phương trình cạnh AB. Đáp số: AB : x  4 y  17  0 hoặc AB : y  5  0 . 4. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5. Biết tọa độ đỉnh A 1;5 , hai đỉnh B và D nằm trên đường thẳng d : x  2 y  4  0 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D. Đáp số: B  2;1 ; C  3;1 ; D  6;5 hoặc B  6;5  ; C  3;1 ; D  2;1 . 5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB : x  2 y  1  0 , BD : x  7 y  14  0 , đường thẳng AC qua điểm M  2;1 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.  21 13   14 12  Đáp số: A  3; 2  ; B  ;  ; C  4;3 ; D  ;  .  5 5  5 5 6. Cho đường thẳng  : x  y  1  0 và các điểm A  0; 1 , B  2;1 . Biết tứ giác ABCD là hình thoi có tâm nằm trên đường thẳng  . Tìm tọa độ đỉnh C và D. Đáp số: C  0;2  , D  2;1 hoặc C  4; 1 , D  2; 3 . 7. Cho ba đường thẳng d1 : x  y  0 ; d2 : 2 x  y  1  0 .Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng A thuộc d1 , C thuộc d 2 và B,D thuộc trục hoành . Đáp số: A 1;1 ; B  0;0  ; C 1; 1 ; D  2;0  hoặc A 1;1 ; B  2;0  ; C 1; 1 ; D  0;0  .  1 8. Cho hình thoi ABCD có tâm I  2;1 , AC  2BD , điểm M  0;   AB và  3 N  0;7   CD . Biết điểm B có tung độ dương, tìm tọa độ điểm B.  1 3 Đáp số: B   ;  .  5 5 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 12
  13. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com 9. Cho hình chữ nhật ABCD có AB : 2 x  y  3  0 , tâm I thuộc đường thẳng  : 3x  y  2  0 , điểm M 1;1 là điểm thuộc đường chéo AC. Biết hai đường chéo hợp 1 với nhau một góc  mà cos  . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó. 5 9 3 1 4 Đáp số: A  3;3 , B  ;  , C  1; 1 , D  ;  . 5 5 5 5 Dạng 4: Các bài toán về đường tròn 4.1: Các bài toán lập phương trình đường tròn Lập phương trình đường tròn ta cần xác định tâm và bán kính của đường tròn đó. Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn đi qua A  1;3 và tiếp xúc với hai đường 1 : 7 x  y  0 và 2 : x  y  8  0 . Giải Gọi I  a; b  là tâm của đường tròn  C  . Ta có d1 7a  b a b8 d  I ; 1   , d  I ; 2   , A 50 2 IA   1  a;3  b   IA2  1  a    3  b  2 2 I . d2 Theo bài ta ta có hệ:  7a  b  5 a  b  8 d  I ; 1   d  I ;  2   a  2 a  3   (a  b  8)2  b  4 ; b  1  IA  d  I ;  2  1  a    3  b   2 2    2 Với : a  2 , b  4  R  IA  2   C  :  x  2    y  4   2 . 2 2 Với : a  3 , b  1  R  IA  2 2   C  :  x  3   y  1  8 . 2 2 Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn đi qua A  1; 2  và cắt  : 3x  4 y  7  0 theo đường kính BC sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 2,5 . Giải Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 13
  14. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com 3  1  4.2  7 5 T1 Ta có: d  A;     , 32  42 2 M 1 5 1 5 S ABC  d  A,   .BC   . .BC  BC  2 2 2 2 2 I BC Gọi R là bán kính đường tròn  R  AI   1. 2  3a  7  T2 Vì I   : 3x  4 y  7  0  I  a;   4   a  1 1  3a   1  3a  2     1  a    2  IA   1  a;   1  25a  26a  1  0   2 1  4   4  a  25 Với : a  1  I  1;1   C  :  x  1   y  1  1 . 2 2 2 2 1  1 43   1   43  Với : a    I   ;    C  :  x     y    1 . 25  25 25   25   25  4.2: Các bài toán phối hợp giữa điểm, đường thẳng và đường tròn Dạng toán xác định điểm, viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường tròn rất đa dạng. Ta xét các ví dụ điển hình sau. Ví dụ 1: Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  4 x  8 y  11  0 và đường thẳng d : x  y  10  0 .Viết phương trình  vuông góc với d và cắt  C  theo một dây cung BC có độ dài bằng 2. Giải Ta có:  C  :  x  2    y  4   9  I  2; 4  , R  3 2 2 A là tâm và bán kính của đường tròn  C  .   d : x ym  0 , d C m2 2  BC  I d  I ,   B  R2     2 2  m2  4 2  2  m  2  .  m  6 Vậy:  : x  y  2  0 hoặc  : x  y  6  0 . Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 14
  15. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com Ví dụ 2: Cho đường tròn  C  : x2  y 2  4 x  2 y  4  0 có tâm I và đường thẳng d : x  y  1  0 .Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến với  C  và tứ giác IAMB là hình vuông với A và B là hai tiếp điểm. Giải Đường tròn  C  có tâm I  2;1 và bán kính R  3 . Vì tứ giác IAMB là hình vuông nên MI  3 2 . Gọi  C ' là đường tròn tâm I bán kính R '  IM   C ' :  x  2    y  1  18 . M 2 2 là giao điểm của đường thẳng d và  C ' nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình sau :  x  2    y  1  18   x  1 2 2  x  1 2 2 2 2   ; .   x  y  1  0   y  2  2 2   y  2  2 2    Vậy : M 1  2 2; 2  2 2 hoặc M 1  2 2;2  2 2  Ví dụ 3: Cho đường tròn  C  : x2  y 2  2 x  6 y  6  0 và điểm M  3;1 . Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đển (C ) .Viết phương trình đường thẳng T1T2 Giải Đường tròn (C ) có tâm I 1;3 , bán kính T1 R  2 , ta có IM  2 5  R nên M nằm ngoài M (C ) . Vì MT1  MT2  MI 2  R2  4 nên T1 , T2 I thuộc đường tròn  C ' tâm M  3;1 , bán kính R '  4  (C ') : x2  y 2  6 x  2 y  6  0 . T2 Tọa độ T1 , T2 là nghiệm của hệ phương trình sau :  x2  y 2  2x  6 y  6  0   2 1 2 : 2x  y  3  0 .  2 x  y  3  0 . Vậy phương trình TT   x  y 2  6 x  2 y  6  0 Chú ý: Với dạng toán này ta không phải tìm tọa độ T1 và T2 . Bài tập: Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 15
  16. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com 1. Cho hai đường thẳng d1 : 4 x  3 y  14  0 , d2 : 3x  4 y  13  0 và điểm M  2; 2  . Viết phương trình đường tròn  C  qua M tiếp xúc với d1 và cắt d 2 theo dây cung AB  8. Đáp số:  C  :  x  2    y  1  25 hoặc  C  :  x  6    y  5  25 . 2 2 2 2 2. Cho hai đường thẳng d1 : 3x  y  0 , d2 : 3x  y  0 . Gọi  C  là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d 2 tại B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình 3 đường tròn  C  biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương. 2 2 2  1   3 Đáp số:  x     y  2   1.  2 3   3. Cho đường tròn (C ) : x2  y 2  2 x  4 y  2  0 . Gọi  C ' là đường tròn có tâm I  5;1 và cắt  C  tại hai điểm M, N sao cho MN  5 . Hãy viết phương trình của  C ' . Đáp số:  C ' :  x  5   y  1  28  5 7 . 2 2 4. Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng 2, tâm I thuộc đường thẳng d1 : x  y  3  0 và cắt đường thẳng d2 : 3x  4 y  6  0 tại hai điểm A, B sao cho AIB  120 . Đáp số:  C  :  x  11   y  8  4 hoặc  C  :  x  1   y  2   4. 2 2 2 2 5. Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  6 x  2 y  1  0 và đường thẳng d : x  2 y  4  0 .Viết phương trình  song song với d và cắt  C  theo một dây cung BC có độ dài bằng 4. Đáp số:  : x  2 y  4  0 hoặc  : x  2 y  6  0 . 6. Cho đường tròn  C  :  x  1   y  1  25 . Lập phương trình đường thẳng d qua 2 2 M  7;3 cắt  C  tại hai điểm A ,B phân biệt sao cho MA  3MB . Đáp số: d : y  3  0 hoặc d :12 x  5 y  69  0 . 7. Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  11  0 và điểm M  3; 1 .Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt  C  theo một dây cung ngắn nhất. Đáp số: d : 2 x  3 y  9  0 . 8. Cho đường tròn  C  :  x  1   y  2   4 và điểm A  2;1 . Đường thẳng d thay đổi đi 2 2 qua A và cắt (C ) tại hai điểm T1 và T2 . Hai tiếp tuyến của  C  tại hai điểm T1 , T2 cắt nhau tại M. Tìm tập hợp điểm M. Đáp số: d : x  y  3  0 . Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 16
  17. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com 9. Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  2my  m2  24  0 có tâm I thuộc đường thẳng d : mx  4 y  0 . Tìm m để đường thẳng d cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 12. 16 Đáp số: m  3 ; m   . 3 10. Cho đường tròn  C  : x  y 2  6 x  5  0 . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ 2 được hai tiếp tuyến với  C  mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60 .    Đáp số: M 0; 7 hoặc M 0;  7 .  Dạng 5: Các bài toán về elip Elip thường xuất hiện trong đề thi ĐH_CĐ. Đây là bài toán không khó nhưng yêu cầu học sinh phải nắm vững lí thuyết mới làm được. Sau đây ta xét các ví vụ. Ví dụ 1: Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  8 .Viết phương trình chính tắc của elip  E  , biết rằng  E  có độ dài trục lớn bằng 8 và  E  cắt  C  tại 4 điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông. Giải Do tính đối xứng của  E  nên giao điểm của  C  và  E  là đỉnh hình vuông thỏa mãn A  a; a  x2 y 2 4 4 với a  0 , vì A   C   a2  a 2  8  a  2 . Giả sử  E  : 2  2  1  2  2  1 . Mà m n m n 4 x2 y 2 2m  8  m  4  n  . Vậy elip  E  :  1. 3 16 16 3  4 33    Ví dụ 2: Cho elip có tiêu điểm thứ nhất F1  3;0 và đi qua điểm M 1;   . Xác định tọa 5   độ các đỉnh của elip. Giải Vì elip có tiêu điểm thứ nhất F1  3;0   nên c  3  a 2  b2  3 . Phương trình x2 y 2 1 528  E  : 2  2  1 , ta có: M  E  2  2  1  25b4  478b2  1584  0  b2  22 a2  25 . a b a 25b Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 17
  18. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com   Vậy bốn đỉnh của elip là:  5;0  ,  5;0  , 0; 22 , 0;  22 .  x2 y 2 Ví dụ 3: Cho elip  E  :   1 . Tìm trên  E  điểm M sao cho MF1  4MF2 trong đó F1 , 25 9 F2 là các tiêu điểm của  E  . Giải Trường hợp 1: F1  3;0  và F2  3;0  Theo định nghĩa elip thì MF1  MF2  2a  10  5MF2  10  MF2  2 . Vậy M nằm trên đường tròn tâm F2 , bán kính R  2 có phương trình là  C  :  x  3  y 2  4 . Tọa độ của M là nghiệm 2  x2 y 2   1 x  5 của hệ:  25 9   M  5;0  .  x  32  y 2  4 y  0  Trường hợp 2: F1  3;0  và F2  3;0  Làm hoàn toàn tương tự như trường hợp 1 ta có M  5;0  . Vậy : M  5;0  ; M  5;0  . x2 y 2 Ví dụ 4: Cho elip  E  :   1 . Và hai điểm A  3; 2  , B  3; 2  . Tìm trên  E  điểm C có 9 4 tọa độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Giải a 2 b2 Phương trình đường thẳng AB : 2 x  3 y  0 . Gọi C  a; b  với a  0 , b  0 , ta có  1 9 4 2a  3b 1 85 85 a b d  C; AB   , SABC  d  C; AB  . AB  2a  3b  3 .   13 2 2 13 13 3 4 a b  85 a b 2  2 170 170  3  2 a  3 2 3 . 2    1  3 . SABC lớn nhất là: 3   2 2  2 . 13  9 4  13 13  a  b  1 b  2  9 4  Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 18
  19. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com  2  Vậy: C  3 ; 2  .  2   x2 y 2 Ví dụ 5: Cho elip  E  :   1 . Viết phương trình tiếp tuyến của  E  biết . 9 4 a) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x  y  2013  0 . b) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : 2 x  y  1  0 một góc 45 . Giải a) Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d : x  y  2013  0   : x  y  m  0 .  là tiếp tuyến của  E   16.1  9.1  m2  m  5 . Vậy tiếp tuyến cần tìm là :  : x  y  5  0 và  : x  y  5  0 . b) Giả sử k là hệ số góc của tiếp tuyến  , vì tuyến tạo với đường thẳng d : 2 x  y  1  0 một  k  3 2k  góc 45 nên : 1   1  2k k  1  3 Với : k  3 thì  : y  3x  m   : 3x  y  m  0 , vì  là tiếp tuyến của E nên 9.9  1.4  m2  m   85   : 3x  y  85  0 . 1 1 Với : k  thì  : y  x  C   : x  3 y  3C  0 , vì  là tiếp tuyến của E nên 3 3 9.1  9.4  9C 2  m   5   : x  3 y  5  0 . Vậy có 4 tiếp tuyến là:  : 3x  y  85  0 ;  : x  3 y  5  0 . x2 y 2 Ví dụ 6: Cho elip  E  :   1 và M 1;1 , lập phương trình đường thẳng qua M cắt 9 4 elip tại hai điểm A, b sao cho MA  MB . Giải Phương trình đường thẳng d qua M 1;1 với hệ số góc k có dạng y  k  x  1  1 . Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 19
  20. h a n g e Vi h a n g e Vi XC e XC e F- w F- w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k http://baigiangtoanhoc.com 4 x 2  36 y 2  1 Tọa độ giao điểm A, B của d và  E  là nghiệm của hệ phương trình :   y  kx  k  1    4 x2  9  kx  k  1  36  4  9k 2 x 2  18k  k  1 x  9k 2  18k  27  0 , ta có : 2   32k 2  8k  12  0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với k , ta có 18k  k  1 18k  k  1 xA  xB  , mà M là trung điểm của AB nên xA  xB  2 xM  2  2 4  9k 2 4  9k 2 4 4 k   y    x  1  1  d : 4 x  9 y  13  0 . 9 9 Vậy d : 4 x  9 y 13  0 . Bài tâp: 5 1. Viết phương trình chính tắc của elip  E  có tâm sai bằng , nhận các trục tọa độ làm 3 trục đối xứng và hình chữ nhật cơ sở của  E  có chu vi bằng 20. x2 y 2 Đáp số:  E  :  1 9 4 2. Cho hình thoi ABCD có 4 đỉnh trùng với các đỉnh của một elip, bán kính đường tròn nội 1 tiếp hình thoi bằng 2 . Viết phương trình chính tắc của elip, biết tâm sai e  . 2 x2 y 2 Đáp số:  E  :   1. 14 7 3 2 x2 y 2 3. Cho elip  E  :   1 . M và N là hai điểm trên elip sao cho tam giác OMN vuông 25 4 tai O với O là gốc tọa độ. Gọi H là hình chiếu của O lên MN. Chứng minh rằng khi M, N thay đổi thì H chạy trên một đường tròn tâm O cố định. Hãy viết phương trình đường tròn đó. 100 Đáp số:  C  : x 2  y 2  . 29 x2 y 2 4. Cho elip  E  :   1 và hai điểm A  3; 4  , B  5;3 . Xác định M trên elip sao cho 8 2 diện tích tam giác MAB có giá trị nhỏ nhất. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
6=>0