http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
1
CHỦ ĐỀ 11 : CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG MẶT PHẲNG.
Dạng 1: Các dạng toán về các yếu tố của tam giác
Một số bài toán thường gặp là tính tọa độ các đỉnh, viết phương trình các đường thẳng có liên
quan đến một tam giác khi biết ba điều kiện cho trước.
Chú ý:
Cần nắm vững tính chất của: Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường
tròn ngoại tiếp của tam giác.
Đầu bài thường cho kết hợp các đường như: đường trung tuyến và đường cao, đường cao
và đường phân giác trong...
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có
1;5B
và đường cao
: 2 2 0AH x y
, đường phân giác
trong
: 1 0CI x y
. Tìm tọa độ đỉnh A và C.
Giải
Vì BC qua B và vuông góc với AH nên BC qua
1;5B
, có VTPT
2; 1n
.
: 2 1 5 0 : 2 3 0BC x y BC x y
.
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
14
4; 5
2 3 5
x y x C
x y y



.
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua CI thì BB’ qua
1;5B
, có VTPT
11;1n
.
Gọi K là giao điểm của BB’ với CI thì tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình
7
62
15
2
x
xy
xy y



. Vì K là trung điểm của BB’ nên
' 6;0B
, Phương trình AC là B’C
' : 2 6 0B C x y
. Tọa độ A là nghiệm:
22
26
xy
xy


44; 1
1
xA
y


.
H
B
C
A
I
B'
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
2
Vậy :
4; 1A
,
4; 5C
.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có
0;4A
, trực tâm
1;2H
và trọng tâm
81
;
33
G


. Tìm tọa độ
đỉnh B và C.
Giải
Gọi I là trung điểm của BC suy ra
23
4;
32
AG AI I 


. Đường thẳng BC qua
I và vuông góc với AH nên BC có phương
trình:
3
1 4 2 0 : 2 7 0
2
x y BC x y



.
Vì
2 7;B BC B b b
, I là trung điểm của
BC nên
1 2 ; 3C b b
.
Mặt khác ,
BH AC
. 0 6 2 1 2 2 7 0BH AC b b b b
2
5 15 20 0bb
1
4
b
b

.
Với
1b
, suy ra
9;1B
,
1; 4C
.
Với
4b
, suy ra
1; 4B
,
9;1C
.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm
1;1G
, đường cao
:2 1 0AH x y
, các đỉnh B, C
thuộc đường thẳng
: 2 1 0xy
. Biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 6. Hãy tìm tọa độ
các đỉnh của tam giác ABC.
Giải
H
G
J
I
A
B
C
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
3
Tọa độ H là nghiệm của
1
21 13
5;
2 1 3 55
5
x
xy H
xy y




 
. Gọi d là đường thẳng qua G và
song song với BC
: 2 3 0d x y
. Gọi giao điểm của d và AH là I
tọa độ I là nghiệm
của hệ sau
1
21 17
5;
2 3 7 55
5
x
xy I
xy y




 
Ta có:
, mà :
6
,5
d A BC
225
,
ABC
S
BC d A BC
Gọi M là trung điểm của BC , khi đó ta có:
3 1;0MA MG M
Gọi
1
;2
m
B m BC




23
5 1 4 1
2
m
BC
MB m m

.
Với :
3m
3; 1B
,
1;1C
.
Với :
1m
1;1B
,
3; 1C
.
Bài tập:
1. Cho tam giác ABC có điểm
2;0M
là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và
đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là :
7 2 3 0xy
và
6 4 0xy
.
Viết phương trình cạnh AC.
Đáp số:
:AC
3 4 5 0xy
.
2. Cho tam giác ABC , biết đường phân giác trong của góc A và đường cao kẻ từ B có
phương trình lần lượt là :
20xy
và
4 3 1 0xy
. Biết rằng
1; 1H
là hình
chiếu vuông góc của C trên AB. Tìm tọa độ điểm C.
Đáp số:
10 3
;
34
C


I
G
N
H
M
A
B
C
d
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
4
3. Cho tam giác ABC biết
4; 1C
đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có
phương trình lần lượt là :
2 3 12 0xy
và
2 3 0xy
.Lập phương trình các cạnh của
tam giác ABC.
Đáp số:
:9 11 5 0AB x y
;
:3 2 10 0BC x y
;
:3 7 5 0AC x y
.
4. Cho tam giác ABC có
5AB
, điểm
1; 1C
, đường thẳng AB có phương trình là :
2 3 0xy
và trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đường thẳng :
20xy
. Tìm
tọa độ đỉnh A và B.
Đáp số:
1
4; 2
A


,
3
6; 2
B


hoặc
3
6; 2
A


,
1
4; 2
B


.
5. Cho tam giác ABC có đỉnh
0;4A
, trọng tâm
42
;
33
G


và trực tâm trùng với gốc tọa
độ. Tìm tọa độ điểm B , C và diện tích tam giác ABC biết
BC
xx
.
Đáp số:
1; 1B
,
5; 1C
,
15S
.
6. Cho tam giác ABC có điểm
3; 7A
, trực tâm
3; 1H
, tâm đường tròn ngoại tiếp
2;0I
. Xác định tọa độ đỉnh C, biết
0
C
x
.
Đáp số:
65 2;3C
.
7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đỉnh
4;1C
, phân giác trong góc A có phương trình là:
50xy
, biết rằng
24
ABC
S
và
0
A
x
. Viết phương trình cạnh BC.
Đáp số:
3 4 16 0xy
8. Cho điểm
1;1M
và hai đường thẳng
1:3 5 0d x y
,
2: 4 0d x y
. Viết phương
trình tổng quát của đường thẳng d qua M cắt
1
d
,
2
d
lần lượt tại A và B sao cho:
2 3 0MA MB
.
Đáp số:
:0d x y
,
: 1 0dx
.
Dạng 2: Các dạng toán về điểm và đường thẳng
Bài toán về điểm, đường thẳng là bài toán rất phổ biến trong các đề thi ĐH_CĐ. Để giải quyết
bài toán này ta cần nắm vững các công thức về độ dài đoạn thẳng, khoảng cách từ một điểm đến
đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường song song, góc giữa hai đường, góc giữa hai
vectơ...Ta xét một số ví dụ sau đây.
Ví dụ 1: Cho ba đường thẳng
1: 3 2 0xy
;
2:10 3
xt
yt

,
tR
;
3
1
:32
xy

. Tìm
M
thuộc
3
sao cho :
12
, 3 ,d M d M
.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
5
Giải
Ta có :
2:3 10 0xy
,
3
12
:2
xt
yt

,
tR
,
31 3 ;2M M t t
.
1
91
,10
t
dM

;
2
11 7
,10
t
dM

. Ta có :
12
, 3 , 9 1 311 7d M d M t t
10
11
11
21
t
t
41 20
;
11 11
18 22
;
7 21
M
M






. Vậy có hai điểm
41 20
;
11 11
M


,
18 22
;
7 21
M


thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng
:3 4 4 0xy
, điểm
2; 5N
và
5
2; 2
I


. Tìm trên
hai điểm
M và P đối xứng nhau qua I , sao cho diện tích tam giác MNP bằng 15.
Giải
Ta có:
1,.
2
MNP
S d N MP

,
2
2
3.2 4 5 4
, 6 5
34
d N MP

Gọi
34
;4
a
Ma



, vì I là trung điểm của MP
nên
16 3 6 3
4 ; 4 2 ;
42
aa
P a MP a

2
220;1 , 4;4
0
63
5 4 2 25 4 0 .
4
24;4 , 0;1
MP
a
a
MP a a a aMP



M
M
P
N
I
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m