Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp đổi điểm trong cực trị hình học giải tích

Chia sẻ: Caphesua | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằmgóp thêm một phương pháp giải toán độc đáo, sáng tạo, đơn giản, gọn nhẹ, tính toán ít phức tạp dễ thực hiện, ít mắc sai lầm. Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học; khơi dậy tư duy sáng tạo, tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh,…

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp đổi điểm trong cực trị hình học giải tích

MỤC LỤC Mục lục ........................................................................................................................ trang 1 Tài liệu tham khảo ........................................................................................................ trang 2 I. Sơ lược lý lịch tác giả ............................................................................................... trang 3 II. Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị........................................................................... trang 3 III. Mục đích, yêu cầu của đề tài sáng kiến .................................................................. trang 3 1. Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến ........................................... trang 3 2. Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến ................................................................ trang 4 3. Nội dung sáng kiến 3.1. Quy trình xây dựng sáng kiến ............................................................... trang 4 3.2. Ý tưởng .................................................................................................. trang 5 3.3. Cơ sở lý luận ......................................................................................... trang 6 3.4. Giải quyết ý tưởng ................................................................................. trang 7 3.5. Biện pháp tổ chức áp dụng sáng kiến .................................................. trang 17 3.6. Thời gian áp dụng sáng kiến ................................................................ trang 24 3.7. Đơn vị, cá nhân áp dụng sáng kiến lần đầu ......................................... trang 24 3.8. Mức độ khả thi ..................................................................................... trang 24 IV. Hiệu quả đạt được ............................................................................................... trang 25 V. Mức độ ảnh hưởng ................................................................................................ trang 28 VI. Kết luận ............................................................................................................... trang 28 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 1
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)- Nguyễn Văn Đoành- Trần Đức Huyên, Sách giáo khoa hình học 10, NXB Giáo dục, năm 2006. [2] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)- Văn Như Cương (Chủ biên)- Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị, Sách giáo khoa hình học 10 (nâng cao) , NXB Giáo dục, năm 2006. [3] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)- Khu Quốc Anh- Trần Đức Huyên, Sách giáo khoa hình học 12, NXB Giáo dục, năm 2006. [4] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)- Văn Như Cương (Chủ biên)- Phạm Khắc Ban- Lê Huy Hùng- Tạ Mân, Sách giáo khoa hình học 12 (nâng cao) , NXB Giáo dục, năm 2006. [5] Tủ sách Toán học và Tuổi trẻ, Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và thi đại học, cao đẳng môn toán tập 2, NXB Giáo dục, năm 2012. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU CẢNH Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Chợ Mới, ngày 25 tháng 02 năm 2019. BÁO CÁO Kết quả thực hiện sáng kiến, cải tiến, giải pháp kỹ thuật, quản lý, tác nghiệp, ứng dụng tiến bộ kỹ thuật hoặc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng I- Sơ lược lý lịch tác giả: - Họ và tên: VÕ THANH GIANG Nam, nữ: Nam - Ngày tháng năm sinh: 20/10/1990 - Nơi thường trú: Kiến Hưng I- Kiến Thành- Chợ Mới-An Giang - Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh - Chức vụ hiện nay: Giáo viên - Trình độ chuyên môn: ĐHSP Toán - Lĩnh vực công tác: Giáo dục II.- Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị: - Tóm tắt tình hình đơn vị: Ban lãnh đạo nhà trường luôn quan tâm, hỗ trợ sâu sát và kịp thời mọi mặt. Tập thể giáo viên đoàn kết, hòa đồng, hỗ trợ nhau trong công tác giảng dạy, có chuyên môn vững vàng, tâm huyết và trách nhiệm với nghề, không ngừng tự học, sáng tạo, đổi mới trong giảng dạy. Đa số học sinh chăm ngoan, phấn đấu trong học tập. Cơ sở vật chất, trang thiết bị dạy học phần lớn đảm bảo tốt cho công tác dạy và học,…. - Thuận lợi: Được sự quan tâm, hỗ trợ sâu sát của ban Lãnh đạo nhà trường và tổ chuyên môn và đồng nghiệp; thư viện đáp ứng nguồn tài liệu tham khảo phục vụ tốt cho việc giảng dạy; trang thiết bị dạy học đáp ứng được yêu cầu giảng dạy; đa số học sinh có sự phấn đấu trong học tập, chấp hành tốt nội qui nhà trường;…. - Khó khăn: Một bộ phận học sinh còn ham chơi, khả năng tự học chưa cao,… - Tên sáng kiến/đề tài giải pháp: Phương pháp đổi điểm trong cực trị hình học giải tích. - Lĩnh vực: Toán học III. Mục đích yêu cầu của đề tài, sáng kiến: 1. Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến - Học sinh lớp 10 sau khi học xong chương III của hình học thì đã biết cách giải bài toán : “ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tọa độ hai điểm A, B và phương trình (tổng quát hoặc tham số) của đường thẳng  . Tìm tọa độ của điểm M   sao cho MA  MB nhỏ nhất và MA  MB lớn nhất” . Tuy nhiên cách làm đó đòi hỏi học sinh phải tính toán khá phức tạp và phải dựa vào kiến thức của hình học phẳng. Hơn nữa, nếu cho phương trình của đường thẳng ở dạng phương trình tham số thì phải chuyển về dạng tổng quát mới làm được. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 3
- Một dạng nữa, học sinh rất sợ là bài toán: “ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tọa độ hai điểm A, B và phương trình (chính tắc hoặc tham số) của đường thẳng  . Tìm tọa độ của điểm M   sao cho MA  MB nhỏ nhất và MA  MB lớn nhất”. Bằng các kiến thức của hình học không gian ta có thể giải quyết được. Tuy nhiên để giải bài toán này khó hơn rất nhiều so trong mặt phẳng và rất công phu, nắm thật vững kiến thức trong hình học không gian mới giải quyết được. Kể cả học sinh giỏi chưa chắc làm tốt được dạng này. - Và một dạng toán thường gặp nữa là: “ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tọa độ hai điểm A, B và phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  . Tìm tọa độ của điểm M   P  sao cho MA  MB nhỏ nhất và MA  MB lớn nhất” . Đối với dạng này ta cũng có phương pháp giải. Tuy nhiên đòi hỏi tính toán khá phức tạp mới có được kết quả. Tóm lại, khi gặp những dạng toán trên đa số học sinh rất sợ kể cả các em khá giỏi, thường các em gặp khó khăn hoặc bỏ qua không chịu làm trong các đề kiểm tra nếu có các câu dạng này. 2. Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến - Trong giải toán mà thực hiện một phương pháp nào đó mà việc tính toán khá phức tạp hay đòi hỏi sự vận dụng nhiều kiến thức liên quan mới tìm được kết quả thì đa số học sinh rất dễ làm sai và điều đó làm giảm sự say mê, hứng thú của bộ phận học sinh đối với vấn đề đó. - Một bài toán đã có phương pháp giải, mà đòi hỏi sự tính toán phức tạp. Ta nên tìm ra phương pháp khác để khắc phục. Hoặc là phương pháp đó đã gọn nhẹ rồi thì ta cũng phải tìm thêm những cách làm khác để khơi gợi lên sự sáng tạo, đam mê, hứng thú về toán học cho học sinh và cũng thông qua đó rèn luyện tư duy phân tích, tìm tòi, suy luận cho học sinh. - Hơn nữa, với hình thức trắc nghiệm thì yêu cầu học sinh phải có kĩ thuật làm bài nhanh, tính toán đơn giản. Đòi hỏi phải có những phương pháp làm giảm sự tính toán phức tạp nhiều quá trình và phương pháp này tỏ ra hiệu lực trong việc giải quyết các dạng toán đã nêu ở trên, đặc biệt là bài toán thứ hai. - Những dạng thường gặp trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia. 3. Nội dung sáng kiến 3.1. Quy trình xây dựng sáng kiến - Bước 1: Xây dựng ý tưởng làm sáng kiến. - Bước 2: Nghiên cứu thật kĩ cơ sở lý luận, để có hướng giải quyết và hoàn thiện ý tưởng. - Bước 3: Xây dựng đề cương của sáng kiến. - Bước 4: Tiến hành biên soạn nội dung. - Bước 5: Đem vào tổ chuyên môn đánh giá, góp ý. - Bước 6: Hoàn thiện sáng kiến lần đầu. - Bước 7: Tiến hành thực nghiệm giảng dạy, rút kinh nghiệm lần đầu. - Bước 8: Tiến hành khảo sát, đánh giá hiệu quả mang lại của sáng kiến. - Bước 9: Hoàn thiện cuối cùng và đem vào áp dụng trong giảng dạy. - Bước 10: Phát triển sáng kiến này nếu có thể. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 4
3.2. Ý tưởng - Việc giải quyết bài toán : “Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A ', B ' .Tìm tọa độ điểm M ' thuộc trục hoành sao cho M ' A ' M ' B ' nhỏ nhất (với A ', B ' nằm khác phía với trục hoành) và M ' A ' M ' B ' lớn nhất (với A ', B ' nằm cùng phía với trục hoành) ” là rất dễ dàng . - Từ đó, nảy sinh các ý tưởng sau: o Ý tưởng 1, sẽ chuyển bài toán : “ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tọa độ hai điểm A, B và phương trình (tổng quát hoặc tham số) của đường thẳng  . Tìm tọa độ của điểm M   sao cho MA  MB nhỏ nhất và MA  MB lớn nhất” về bài toán trên dựa vào đó tìm đáp án. o Ý tưởng 2, chuyển bài toán “ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tọa độ hai điểm A, B và phương trình (chính tắc hoặc tham số) của đường thẳng  . Tìm tọa độ của điểm M   sao cho MA  MB nhỏ nhất và MA  MB lớn nhất” về bài toán trong mặt phẳng. o Ý tưởng 3, Xét bài toán: “ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tọa độ hai điểm A, B và phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  . Tìm tọa độ của điểm M   P  sao cho MA  MB nhỏ nhất và MA  MB lớn nhất” . Ta đưa nó về bài toán M nằm trên mặt phẳng  P  thành nằm trên đường thẳng  . 3.3. Cơ sở lý luận 3.3.1. Một số kết quả trong hình học phẳng và trong hình học không gian. a) Trong hình học phẳng ta đã biết: - Nếu A, B nằm về hai phía đối với đường thẳng  thì MA  MB nhỏ nhất  M là giao điểm của đường thẳng AB và  . - Nếu A, B nằm về cùng phía đối với đường thẳng  và A ' là điểm đối xứng của A qua  thì MA  MB nhỏ nhất  M là giao điểm của đường thẳng A ' B và  . - Nếu A, B nằm về cùng phía đối với đường thẳng  mà AB cắt  thì MA  MB lớn nhất  M là giao điểm của đường thẳng AB và  . - Nếu A, B nằm về hai phía đối với đường thẳng  và A '' là điểm đối xứng của A qua  mà A '' B cắt  thì MA  MB lớn nhất  M là giao điểm của đường thẳng A '' B và  . b) Trong không gian ta đã biết - Nếu A, B nằm về hai phía đối với mặt phẳng  P  thì MA  MB nhỏ nhất  M là giao điểm của đường thẳng AB và  P  . - Nếu A, B nằm về cùng phía đối với mặt phẳng  P  và A ' là điểm đối xứng của A qua  P  thì Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 5
MA  MB nhỏ nhất  M là giao điểm của đường thẳng A ' B và  P  . - Nếu A, B nằm về cùng phía đối với mặt phẳng  P  mà AB không song song  P  thì MA  MB lớn nhất  M là giao điểm của đường thẳng AB và  P  . - Nếu A, B nằm về hai phía đối với mặt phẳng  P  và A '' là điểm đối xứng của A qua  P  mà A '' B cắt  P  thì MA  MB lớn nhất  M là giao điểm của đường thẳng A '' B và  P  . 3.3.2. Tham số hóa tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng  x  x0  u1t - Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng  có phương trình là  t   nếu điểm  y  y0  u 2 t M   thì M  x0  u1t ; y0  u2t  . - Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng  có phương trình là ax  by  c  0, với  at  c   bt  c  a 2  b2  0 nếu M   thì M  t;  hoặc M  ;t  .  b   a   x  x0  u1t  - Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  có phương trình tham số là  y  y0  u2t  t   z  z  u t  0 3 x  x0 y  y0 z  z0 hoặc phương trình chính tắc là   với u1.u2 .u3  0 thì u1 u2 u3 M  x0  u1t; y0  u2t ; z0  u3t  . 3.3.3. Phương trình mặt phẳng a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Cho mặt phẳng  P  . Nếu n khác 0 và áo giá vuông góc với  P  thì n được gọi là vectơ pháp tuyến của  P  . Chú ý: Nếu a   a1; a2 ; a3  , b   b1; b2 ; b3  không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trong  P  thì  a, b    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  là một vectơ pháp tuyến   của  P  . b) Định nghĩa Phương trình có dạng Ax  By  Cz  D  0 với A2  B2  C 2  0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét: - Nếu  P  có phương trình tổng quát là Ax  By  Cz  D  0 thì có một vectơ pháp tuyến là n   A; B; C  . Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 6
- Phương trình của mặt phẳng  P  đi qua M  x0 ; y0 ; z0  và nhận n   A; B; C  khác 0 làm vectơ pháp tuyến là A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 . c) Phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của một đường thẳng  lên mặt phẳng  P  . Gọi  ' là hình chiếu vuông góc của một đường thẳng  lên mặt phẳng  P  . - Cách 1: + Tìm giao điểm A của  và  P  . + Chọn trên  một điểm M khác A . Tìm H là hình chiếu vuông góc của M trên  P . + Khi đó đường thẳng  ' đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương là AH , từ đó tìm được phương trình của  '. - Cách 2: Chọn hai điểm A, B thuộc đường thẳng . Tìm A ', B ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên  P  . Khi đó  ' đi qua hai điểm A ', B ' nên ta có phương trình của  ' . - Cách 3: + Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa  và vuông góc với  P  . Khi đó vectơ pháp tuyến của  Q  là nQ   u , n P   + Đường thẳng  '   P    Q  nên  ' là tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ gồm hai phương trình tổng quát của  P  và  Q  . + Từ hệ đó ta tìm hai điểm M , N thuộc  '. Từ đó viết phương trình của  '. 3.4. Ý tưởng giải quyết 3.4.1. Bài toán 1: “ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tọa độ hai điểm A, B và phương trình (tổng quát hoặc tham số) của đường thẳng  . Tìm tọa độ của điểm M   sao cho MA  MB nhỏ nhất và MA  MB lớn nhất” Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A  2;0  và đường thẳng x  t d :  t   . Tìm tọa độ điểm N nằm trên đường thẳng d sao cho độ dài đường gấp y  2  t khúc NAO ngắn nhất. Lời giải. Vì N  d nên N  t ; t  2  Độ dài đường gấp khúc NAO bằng NA  NO . Mà NA  NO   2  t    t  2   t    t  2  2 2 2 2 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 7
 2t 2  8  2t 2  4t  4  2  t2  4   t  1 2 1  Xét A '  0; 2  , O '  1';1 , N '  t;0  . Khi đó, NA  NO  2  N ' A ' N ' O ' Mà N ' chạy trên trục hoành và hai điểm A ', O ' nằm khác phía so với trục hoành. Do đó, độ dài đường gấp khúc NAO ngắn nhất  NA  NO ngắn nhất  N ' A' N ' O ' ngắn nhất  N ' là giao điểm của trục hoành và đường thẳng A ' O ' . 2 Ta có: N ' A '  2 N ' O '  t  2  1  t   t  . 3  2 4 Vậy N   ;  .  3 3 Nhận xét: 1) Để giải bài này ta vẫn dựa vào kiến thức của hình học . Tuy nhiên việc thay đường thẳng d thành trục x ' Ox khi xét vị trí tương đối của các điểm đã làm cho độ phức tạp trong tính toán giảm đi rất nhiều. 2) Chúng ta không cần chuyển phương trình tham số của đường thẳng d thành phương trình tổng quát. Không cần xét vị trí tương đối của hai điểm A, B so với đường thẳng d. 3) Việc chọn điểm A ', B ' phải khéo léo sao cho chúng khác phía so với trục hoành (tung độ của chúng trái dấu) việc tính toán càng dễ hơn. 4) Ta có N '  x ' Ox và nằm giữa hai điểm A ', O ' cùng với tính chất hai tam giác N ' A' y đồng dạng nên N ' A '   . N ' O '   A ' N ' O '. N 'O ' yO ' Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : x  2 y  4  0 và hai điểm A  2;5 , B  4; 5 . Tìm tọa độ điểm M   sao cho MA  MB lớn nhất. Lời giải. Vì M   nên M  2t  4; t  Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 8
Ta có: MA  MB   2  2t    5  t    2t    5  t  2 2 2 2 2  1  144  5t  2t  29  5t  10t  25  5  t      t  1 4 2 2 2  5 25  1 12  Xét A '  ;  , B '  1;2  , M '  t;0  . Khi đó, MA  MB  5 M ' A ' M ' B ' 5 5  Mà M ' chạy trên trục x ' Ox và A ', B ' nằm cùng phía với trục hoành Do đó, MA  MB lớn nhất  M ' A ' M ' B ' lớn nhất  M ' là giao điểm của trục hoành và đường thẳng A ' B '. 6 1 6 Ta có: M ' A '  M ' B '   t   1  t   t  7. 5 5 5 Vậy M  10; 7  . Nhận xét: 1) Theo cách làm thông thường ta phải xét vị trí tương đối của A, B so với đường thẳng . Trong trường hợp này hai điểm đó nằm khác phía. Nếu áp theo phương pháp hình học ta tìm điểm A ' đối xứng với điểm A qua  , sau đó tìm phương trình của đường thẳng A ' B , tìm giao điểm M của  và đường thẳng A ' B. Làm như vậy việc tính khá phức tạp. 2) Tuy nhiên làm theo cách mới này việc tính toán giảm đi rất nhiều và lời giải gọn nhẹ hơn nhiều. 3) Việc chọn hai hai điểm A ' B ' sao cho chúng cùng phía với trục hoành thì tính toán dễ dàng hơn. 4) Vì M '  x ' Ox và nằm về một phía so hai điểm A ', B ' cùng với tính chất hai tam M ' A' y giác đồng dạng nên M ' A '  M ' B '  A' M ' B '. M 'B' yB ' Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;2  , B  0; 1 và đường thẳng d có x  t phương trình tham số  t  . Tìm điểm M thuộc d sao cho  y  2t  1 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 9
a) MA  MB nhỏ nhất. b) MA  MB lớn nhất. Lời giải. a) Vì M  d nên M  t ;2t  1 . Khi đó ta có: MA  MB   t  1   2t  1  t 2   2t  2   5t 2  6t  2  5t 2  8t  4 2 2 2   3 2 1  4 2 4    5 t     t       5  25  5  25     3 1   4 2  Xét A '  ;  , B '  ;  , M '  t;0  . Khi đó MA  MB  5  M ' A ' M ' B ' 5 5   5 5 Mà M ' chạy trên trục x ' Ox và A ', B ' ngược phía với trục hoành Do đó, MA  MB nhỏ nhất  M ' A' M ' B ' nhỏ nhất  M ' là giao điểm của trục hoành và đường thẳng A ' B ' . Khi đó ta có: 1 3 1 4  2 M ' A'   M ' B '   t      t   t  2 5 2 5  15  2 19  Vậy M  ;  .  15 15  b) Tương tự câu a) ta có: 2 2  3 1  4 4 MA  MB  5  t     t     5  25  5  25 3 1  4 2 Xét A ''  ;  , B ''   ;  , M ''  t;0  . Khi đó MA  MB  5 M '' A '' M '' B '' 5 5  5 5 Mà M '' chạy trên trục hoành và A '', B '' nằm cùng phía với trục hoành Do đó, MA  MB lớn nhất  M '' A '' M '' B '' lớn nhất  M '' là giao điểm với đường thẳng A'' B ''. 1 3 1 4  Khi đó, M '' A ''  M '' B ''   t     t   t  2 2 5 2 5  Vậy M  2;5 . Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm P 1;6  , Q  3; 4  và đường thẳng  có phương trình 2 x  y  1  0. Tìm tọa độ điểm M   sao cho: a) MP  MQ nhỏ nhất. b) MP  MQ lớn nhất. Lời giải. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 10
a) Vì M   nên M  t ;2t  1 . Ta có: MP  MQ  1  t    7  2t    3  t    3  2t  2 2 2 2   9 2 9   5t  30t  50  5t  18t  18  5   t  3  1   t     2 2 2   5  25    9 3 Xét P '  3; 1 , Q '   ;  , M '  t;0  . Khi đó MP  MQ  5  M ' P ' M ' Q '  5 5 Mà M ' chạy trên trục x ' Ox và P ', Q ' nằm ngược phía với trục hoành Do đó, MP  MQ nhỏ nhất  M ' P ' M ' Q ' nhỏ nhất  M ' là giao điểm của trục hoành và đường thẳng P ' Q ' . Khi đó ta có: 5 5 9  M ' P '   M 'Q '  3  t      t   t  0 3 3 5  Vậy M  0; 1 . b) Tương tự câu a). Ta có: MP  MQ  1  t    7  2t    3  t    3  2t  2 2 2 2 2  9 9  5t  30t  50  5t  18t  18  5  t  3  1   t    2 2 2  5  25  9 3 Xét P ''  3;1 , Q ''   ;  , M ''  t;0  . Khi đó MP  MQ  5 M '' P '' M '' Q ''  5 5 Mà M '' chạy trên trục x ' Ox và P '', Q '' nằm cùng phía với trục hoành Do đó, MP  MQ lớn nhất  M '' P '' M '' Q '' lớn nhất  M '' là giao điểm của trục hoành và đường thẳng P '' Q '' . Khi đó ta có: 5 5 9  M '' P ''  M '' Q ''  3  t     t   t  9 3 3 5  Vậy M  9; 19  . Bài tập tương tự Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A  2;1 , B 1;0  và đường thẳng  có phương trình là x  2 y  1  0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng  sao cho a) MA  MB nhỏ nhất. b) MA  MB lớn nhất. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 11
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình tham số  x  1  2t là   t   và hai điểm P  2;1 , Q 1;2  . Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d y  t sao cho a) IP  IQ nhỏ nhất. b) IP  IQ lớn nhất. Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A  2;5 , B  4;5 và đường thẳng d : x  2 y  3  0. Biết N  a; b  thuộc d sao cho độ dài NA  NB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a  b. 15 9 A. a  b  6. B. a  b  12. C. a  b  . D. a  b  . 4 4 Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm P 1;6  và Q  3; 4  và đường thẳng  : 2 x  y  1  0 . Tọa độ điểm N thuộc  sao cho NP  NQ lớn nhất. A. N  3;5  . B. N 1;1 . C. N  1; 3 . D. N  9; 19  . 3.4.2. Bài toán 2: “ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tọa độ hai điểm A, B và phương trình (chính tắc hoặc tham số) của đường thẳng  . Tìm tọa độ của điểm M   sao cho MA  MB nhỏ nhất và MA  MB lớn nhất”  4 2 1 Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa Oxyz , cho A 1;0;1 , B  ;  ;   và đường thẳng d  3 3 3 x  t  có phương trình tham số  y  t  t   . Tìm M thuộc d sao cho: z  1  t  a) MA  MB nhỏ nhất. b) MA  MB lớn nhất. Lời giải. a) Vì M  d nên M  t; t;1  t  . 2 2 2  4  2  4  Ta có: MA  MB   t  1  t   t   t    t      t  2 2 2  3  3  3    1 2 2  2 8  2  3t  2t  1  3t  4t  4  3   t      t     2 2   3 9  3  9   1 2  2 2 2  Xét A '  ;  ;0  , B '  ; ;0  , M '  t;0;0  . 3 3  3 3  Khi đó, MA  MB  3  M ' A ' M ' B ' Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 12
Mà M ' chạy trên trục hoành và A ', B ' nằm khác phía với trục hoành. Do đó, MA  MB nhỏ nhất  M ' A' M ' B ' nhỏ nhất  M ' là giao điểm của trục hoành và đường thẳng A ' B ' . 1 1 12  4 Ta có: M ' A '   M ' B '   t     t   t  2 3 2 3  9  4 4 5 Vậy M  ; ;  . 9 9 9 b) Tương tự như câu a) ta có: 2 2 2  4  2  4  MA  MB   t  1  t   t   t    t      t  2 2 2  3  3  3    1 2 2  2  8  2   3t  2t  1  3t  4t  4  3  t      t    2 2   3 9  3  9   1 2  2 2 2  Xét A ''  ; ;0  , B ''  ; ;0  , M ''  t;0;0  . 3 3  3 3  Khi đó, MA  MB  3 M ' A ' M ' B ' Mà M '' chạy trên trục hoành và A '', B '' nằm cùng phía với trục hoành. Do đó, MA  MB lớn nhất  M '' A'' M '' B '' lớn nhất  M '' là giao điểm của trục hoành và đường thẳng A '' B '' . 1 1 12  Ta có: M '' A ''  M '' B ''   t    t   t  0 2 3 2 3  Vậy M  0;0;1 . Nhận xét: 1) Phương pháp này rất hiệu lực đối với bài toán 2 này. Làm theo phương pháp hình học rất phức tạp và khó đặc biệt là trường hợp hai điểm A, B và đường thẳng d không đồng phẳng. 2) Trong lời giải trên không những ta đã thay đường thẳng d thành trục x ' Ox khi xét vị trí tương đối của các điểm mà còn chuyển hệ thống không đồng phẳng gồm hai điểm A, B và đường thẳng d thành hệ thống đồng phẳng gồm hai điểm A ', B ' và trục hoành( trong câu a) hoặc hệ thống đồng phẳng gồm hai điểm A '', B '' và trục hoành( trong câu b). Đó là nguyên nhân cơ bản giúp ta có một lời giải đơn giản. Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M 1;2; 1 , N  7; 2;3 và đường thẳng d x 1 y  2 z  2 có phương trình   . Tìm I thuộc d sao cho IM  IN nhỏ nhất. 3 2 2 Lời giải. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 13
 x  1  3t  Phương trình tham số của d :  y  2  2t  t  .  z  2  2t  Vì I  d nên I  1  3t;2  2t;2  2t  Ta có: IM  IN   2  3t    2t    3  2t   8  3t    4  2t   1  2t  2 2 2 2 2 2  13 13   17t 2  13  17t 2  68t  81  17  t 2   t  2  2   17 17   13   13  Xét A '  0;  ;0  , B '  2; ;0  , M '  t;0;0  .  17   17  Khi đó: MA  MB  17  M ' A ' M ' B ' Mà M ' chạy trên trục hoành và A ', B ' nằm khác phía so với trục hoành. Do đó, MA  MB nhỏ nhất  M ' A' MB ' nhỏ nhất  M ' là giao điểm của trục hoành và đường thẳng A ' B '. Ta có: M ' A '  M ' B '  t    2  t   t  1 Vậy M  2;0;4  . Bài tập tương tự Bài 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3;2; 1 , B 1; 2;1 và x y z 1 đường thẳng  :   . Tìm tọa độ điểm M   sao cho 1 2 1 a) MA  MB nhỏ nhất. b) MA  MB lớn nhất. Bài 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;0  , B  3; 1;4  và x  1 y 1 z  2 đường thẳng  :   . Biết điểm M  a; b; c    sao cho MA  MB nhỏ nhất. 1 1 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  b. B. a  b  c. C. b  a. D. a  b  c. 3.4.3. Bài toán 3: “ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tọa độ hai điểm A, B và phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  . Tìm tọa độ của điểm M   P  sao cho MA  MB nhỏ nhất và MA  MB lớn nhất” Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 1 , B  3;5;5  và mặt phẳng  P  có phương trình 2 x  y  2 z  8  0. Tìm tọa độ điểm M thuộc  P  sao cho MA  MB nhỏ nhất. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 14
Lời giải. Dễ dàng ta thấy M cũng nằm trên hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên  P . Ta có: AB   4;4;6  và vectơ pháp tuyến của  P  là n P    2; 1;2  Gọi  Q  là mặt phẳng chứa hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng  P  . Khi đó, vectơ pháp tuyến của  Q  là nQ    AB; n P    14;20; 4   2  7;10; 2  Do đó, phương trình của  Q  : 7  x  1  10  y  1  2  z  1  0 hay  Q  : 7 x  10 y  2 z  19  0  11  3t  Ta có: M   P    Q   M  t ;3  t ;   2  Ta lại có:  3t  13   3t  1  2 2 MA  MB  1  t   t  2      3  t    2  t   2 2 2 2   2   2  17 2 51 189 17 2 17 53 17  36 36   .t  t   .t  t    t  3    t  1  2 2   4 2 4 4 2 4 2  17 17   6 17   6 17  Xét A '  3; ;0  , B '  1; ;0  , M '  t;0;0  .  17   17  17 Khi đó, MA  MB   M ' A ' M ' B ' 2 Mà M ' chạy trên trục hoành và A ', B ' nằm khác phía với trục hoành. Do đó, MA  MB nhỏ nhất  M ' A' M ' B ' nhỏ nhất  M ' là giao điểm của trục hoành và đường thẳng A ' B '. Khi đó, ta có: M ' A '  M ' B '  3  t    1  t   t  1 Vậy M 1;2;4  . Nhận xét: 1) Theo phương pháp hình học ta dễ nhận thấy điểm M nằm trên đường thẳng  là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng  P  . Vì vậy ta có thể thay giả thiết M   P  thành M . Đây là ý tưởng để giải bài toán này. 2) Việc tìm hình chiếu vuông góc của của đường thẳng AB trên mặt phẳng  P  có nhiều cách. Ở đây ta chọn viết phương trình  Q  chứa hai điểm A, B và vuông góc với  P  . Khi đó    P    Q  . 3) Ta cũng không cần thiết viết phương trình tham số của  và ta chỉ cần tham số tọa độ điểm M theo t . Do đó, ta chỉ việc cho x  t thay vào hệ phương trình gồm hai phương Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 15
trình tổng quát của  P  và  Q  từ đó giải tìm y , z theo t hoặc ta hoán đổi cho y  t rồi tìm x, z theo t hoặc cho z  t tìm x, y theo t . 4) Theo phương pháp này ta đã chuyển bài toán số 3 thành bài toán số 2, cách làm này hoàn toàn khác so cách ta đã biết (phương pháp hình học). Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M  3;1;0  , N  9;4;9  và mặt phẳng  P có phương trình 2 x  y  z  1  0. Tìm tọa độ điểm I thuộc  P sao cho IM  IN lớn nhất. Lời giải. Dễ dàng ta thấy I nằm trên hình chiếu vuông góc của đường thẳng MN trên mặt phẳng  P  . Ta có: MN   12;3;9  và vectơ pháp tuyến của  P  là n P    2; 1;1 Gọi  Q  là mặt phẳng chứa M , N và vuông góc với mp  P  . Khi đó, vectơ pháp tuyến của  Q  là nQ    MN ; n P    12;30;6   6  2;5;1 Do đó, phương trình của  Q  : 2  x  3  5  y  1  z  0 hay  Q  : 2 x  5 y  z  11  0 Ta có: I   P    Q  nên I  t;2;1  2t  . Ta lại có: IM  IN   3  t   1  2    2t  1   9  t    4  2   8  2t  2 2 2 2 2 2 6 24  5t 2  10t  11  5t 2  50t  149  5  t  1   t  5  2 2 5 5  30   2 30  Xét M ' 1; ;0  , N '  5; ;0  , I '  t;0;0  .Khi đó, IM  IN  5 I ' M ' I ' N '  5   5  Mà I ' chạy trên trục hoành và M ', N ' nằm cùng phía với trục hoành Do đó, IM  IN lớn nhất  I ' M ' I ' N ' lớn nhất  I ' là giao điểm của trục hoành và đường thẳng M ' N ' . 1 1 Ta có: I ' M '  I ' N '  1  t   5  t   t  7. 2 2 Vậy I  7;2;13 . Bài tập tương tự Bài 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  5; 2;6  , B  3; 2;1 và mặt phẳng  P  có phương trình là 2 x  y  2 z  6  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc  P  sao cho a) MA  MB nhỏ nhất. b) MA  MB lớn nhất. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 16
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  z  1  0 và điểm A  0; 2;3 , B  2;0;1 . Điểm M  a; b; c  thuộc  P  sao cho MA  MB nhỏ nhất. Giá trị của a2  b2  c2 bằng 41 9 7 A. . B. . C. . D. 3 . 4 4 4 Bài 3. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M  0;1;3 , N 10;6;0  và mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  10  0 . Điểm I  10; a; b  thuộc mặt phẳng  P  sao cho IM  IN lớn nhất. Tính tổng T  a  b . A. T  5 . B. T  1 . C. T  2 . D. T  6 . 3.5. Biện pháp tổ chức áp dụng sáng kiến - Xây dựng nội dung của sáng kiến như chuyên đề dạy học đem vào trong giảng dạy. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 17
- Cách tổ chức dạy bài toán 1: “ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tọa độ hai điểm A, B và phương trình (tổng quát hoặc tham số) của đường thẳng  . Tìm tọa độ của điểm M   sao cho MA  MB nhỏ nhất và MA  MB lớn nhất” HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH - Giới thiệu ví dụ 1: Trong mặt phẳng với - Tiếp nhận ví dụ: đọc kỹ đề, xác định giả thiết, hệ tọa độ Oxy, cho điểm A  2;0  và đường yêu cầu bài toán, suy nghĩ ý tưởng làm bài. x  t thẳng d :   t   . Tìm tọa độ điểm y  2  t N nằm trên đường thẳng d sao cho độ dài đường gấp khúc NAO ngắn nhất. - Độ dài đường gấp khúc NAO bằng NA  NO - Yêu cầu học sinh nêu cách tính độ dài đường gấp khúc NAO - Vậy bài toán trở thành tìm N  d sao cho - Trả lời NA  NO ngắn nhất.  Nếu A, O nằm về hai phía đối với đường - Gọi học sinh nêu cách giải bài toán trên thẳng d thì NA  NO nhỏ nhất  N là trong hình học phẳng giao điểm của đường thẳng AO và d .  Nếu A, O nằm về cùng phía đối với đường thẳng d và A ' là điểm đối xứng của A qua d thì NA  NO nhỏ nhất  - Nêu nhận xét: Nếu làm theo cách này ta phải chuyển phương trình đường thẳng N là giao điểm của đường thẳng A' O và sang dạng tổng quát, sau đó kiểm tra vị trí d . tương đối của A, O so với d và nằm về cùng một phía phải thực hiện khá nhiều tính toán phức tạp. Bây giờ thầy sẽ giới thiệu cho các em cách làm nhẹ nhàng hơn - Làm theo hướng dẫn của thầy + Ta có N  d thì tọa độ N có dạng như + Vì N  d nên N  t ; t  2  thế nào? + Độ dài đường gấp khúc NAO bằng NA  NO + Gọi học sinh tính NA  NO theo t Mà Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 18
NA  NO   2  t    t  2    t    t  2  2 2 2 2  2t 2  8  2t 2  4t  4 + Hướng dẫn:  2  t2  4   t  1 2 1  Xét A '  0; 2  , O '  1';1 , N '  t;0  . Khi đó, + Quan sát, theo dõi để hiểu được thủ thuật làm NA  NO  2  N ' A ' N ' O ' của giáo viên. Mà N ' chạy trên trục hoành và hai điểm A ', O ' nằm khác phía với trục hoành. Do đó, độ dài đường gấp khúc NAO ngắn nhất  NA  NO ngắn nhất  N ' A' N ' O ' ngắn nhất  N ' là giao điểm của trục hoành và đường thẳng A ' O ' - Gọi học làm tiếp . - Nhận xét : Ta có N '  x ' Ox và nằm giữa Ta có: N ' A '  2 N ' O ' hai điểm A ', O ' cùng với tính chất hai tam giác đồng dạng nên  t  2  1  t   t  2 . N ' A' y 3 N ' A'   . N ' O '   A ' N ' O '. N 'O ' yO '  2 4 Vậy N   ;  .  3 3 - Giới thiệu ví dụ 2: Trong mặt phẳng với - Thực hiện ví dụ 2: hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng Vì M   nên M  2t  4; t   : x  2y  4  0 và hai điểm A  2;5 , B  4; 5 . Tìm tọa độ điểm M   Ta có: sao cho MA  MB lớn nhất. MA  MB - Yêu cầu thực hiện tương tự như ví dụ 1,   2  2t    5  t    2t    5  t  2 2 2 2 điểm khác là chọn hai điểm A ', B ' sao cho cùng phía so với trục hoành. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 19
 5t 2  2t  29  5t 2  10t  25 2  1  144  5 t      t  1 4 2  5 25  1 12  Xét A '  ;  , B '  1;2  , M '  t;0  . Khi đó, 5 5  MA  MB  5 M ' A ' M ' B ' Mà M ' chạy trên trục x ' Ox và A ', B ' nằm cùng phía với trục hoành Do đó, MA  MB lớn nhất  M ' A ' M ' B ' lớn nhất  M ' là giao điểm của trục hoành và đường thẳng A ' B '. Ta có: 6 1 6 M ' A '  M ' B '   t   1  t   t  7. 5 5 5 Nhận xét, hoàn chỉnh bài giải của học sinh. Vậy M  10; 7  . Cho bài tập tương tự cho học sinh rèn luyện Rèn luyện thêm thông qua các bài tập tượng tự Bài tập tương tự Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A  2;5 , B  4;5 và đường thẳng d : x  2 y  3  0. Biết N  a; b  thuộc d sao cho độ dài NA  NB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a  b. 15 9 A. a  b  6. B. a  b  12. C. a  b  . D. a  b  . 4 4 Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm P 1;6  và Q  3; 4  và đường thẳng  : 2 x  y  1  0 . Tọa độ điểm N thuộc  sao cho NP  NQ lớn nhất. A. N  3;5  . B. N 1;1 . C. N  1; 3 . D. N  9; 19  . - Cách tổ chức bài toán 2: HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH - Giới thiệu ví dụ: Trong không gian với hệ - Tiếp nhận ví dụ  4 2 1 tọa Oxyz , cho A 1;0;1 , B  ;  ;   và  3 3 3 đường thẳng d có phương trình tham số Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 20