CHƯƠNG 3MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

Chia sẻ: Van Quyet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

98
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc được ố mô tả bằng phương trình sai phân: a0 c(k + n) + a1c(k + n − 1) + ... + an −1c(k + 1) + an c(k ) = b0 r (k + m) + b1r (k + m − 1) + ... + bm 1r (k + 1) + bm r (k ) m− 0 z

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNG 3MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

CHƯƠNG 3 MÔ TẢ TOÁN HỌC TOÁN HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 3.1 Hàm truyền đạt Hà 3.2 Phương trình trạng thái
3.1 HÀM TRUYỀN ĐẠT r(k) c(k) Hệ thống rời rạc th tín hiệu ra tín hiệu vào Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân: a0 c(k + n) + a1c(k + n − 1) + ... + an −1c(k + 1) + an c(k ) = b0 r (k + m) + b1r (k + m − 1) + ... + bm −1r (k + 1) + bm r (k ) Trong đó ⎧ai (i = 0, n) (a0 ≠ 0 ) ⎪ : thông số của hệ thống ⎨ ⎪b j ( j = 0, m) (b0 ≠ 0 ) ⎩ n ≥ m , n: bậc của hệ thống
Thực hiện biến đổi Z hai vế phương trình sai phân ta được: [a z ] [ ] + a1 z n −1 + ... + an −1 z + an C ( z ) = b0 z m + b1 z m −1 + ... + bm −1 z + bm R ( z ) n 0 C ( z ) b0 z m + b1 z m −1 + ... + bm −1 z + bm hàm truyền Đặt G ( z ) = = R( z ) a0 z n + a1 z n −1 + ... + an −1 z + an hệ thống rời rạc Biến đổi tương đương G(z) về dạng: ⎛ b0 + b1 z −1 + ... + bm −1 z − m +1 + bm z − m ⎞ C ( z) = z −(n − m ) ⎜ ⎜ a + a z −1 + ... + a z − n +1 + a z − n ⎟ G( z) = ⎟ R( z ) ⎝0 1 ⎠ n −1 n Hai cách biểu diễn trên tương đương nhau. Dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn.
Tính hàm truyền hệ thống rời rạc từ sơ đồ khối Hệ thống Hình Hàm truyền Hai khâu G ( z ) = G1 ( z )G2 ( z ) nối tiếp ⎛ G ( z ) = Z {G1 ( s )} ⎞ cách nhau ⎜1 ⎜ G ( z ) = Z {G ( s )}⎟ ⎟ ⎝2 ⎠ bởi khâu khâ 2 lấy mẫu Hai khâu nối tiếp ti G ( z ) = G1G2 ( z ) không = Z {G1 ( s )G2 ( s )} cách nhau bởi khâu khâu lấy mẫu Hệ thống hồi tiếp ti G( z) Gk ( z ) = có khâu 1 + GH ( z ) lấy mẫu Z {G ( s )} trong trong = 1 + Z {G ( s ) H ( s )} kênh sai số
Tính hàm truyền hệ thống rời rạc từ sơ đồ khối Hệ thống Hình Hàm truyền RG ( z ) Hệ thống hồi C ( z) = 1 + GH ( z ) tiếp có khâu ⎛ RG ( z ) = Z {R ( s )G ( s )} ⎞ lấy mẫu trong ⎜ ⎜ GH ( z ) = Z {G ( s ) H ( s )}⎟ ⎟ vòng hồi tiếp òng ti ⎝ ⎠ G( z) Hai khâu hồi Gk ( z ) = 1 + G( z) H ( z) tiếp có các ⎛ G ( z ) = Z {G ( s )} ⎞ khâu lấy mẫu ⎜ ⎜ H ( z ) = Z {H ( s )}⎟⎟ đồng bộ trong ⎝ ⎠ n h án h t h u ậ n há th G1 ( z )G2 ( z ) Hệ thống hồi Gk ( z ) = 1 + G1 ( z )G2 H ( z ) ti có các tiếp có các ⎛ G1 ( z ) = Z {G1 ( s )} khâu lấy mẫu ⎞ ⎜ ⎟ G2 ( z ) = Z {G2 ( s )} đồng bộ và ⎜ ⎟ các khâu các khâu nối ⎜ G H ( z ) = Z {G ( s ) H ( s )}⎟ ⎝2 ⎠ 2 tiếp ở nhánh thuận
3.2 PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 3.2.1. Thành lập phương trình trạng thái Thành ph trình tr thái từ phương trình sai phân Trường hợp 1 - Vế phải phương trình sai phân ph ph trình sai phân không chứa sai phân tín hiệu vào c(k + n) + a1c(k + n − 1) + ... + an −1c(k + 1) + an c(k ) = b0 r (k ) x1 (k ) = c(k ) Đặt các biến như sau: xi (k ) = xi −1 (k + 1) (i = 2, n)
Theo cách đặt biến trên, ta có: x1 (k ) = c(k ) x2 (k ) = x1 (k + 1) ⇒ x2 (k ) = c(k + 1) x3 (k ) = x2 (k + 1) ⇒ x3 (k ) = c(k + 2) M xn (k ) = xn −1 (k + 1) ⇒ xn (k ) = c(k + n − 1) ⇒ xn (k + 1) = c(k + n) Phương trình sai phân trong slide trước thành: xn (k + 1) + a1 xn (k ) + ... + an −1 x2 (k ) + an x1 (k ) = b0 r (k ) ⇒ xn (k + 1) = −an x1 (k ) − an −1 x2 (k ) − ... − a2 xn −1 (k ) − a1 xn (k ) + b0 r (k )
Kết hợp các quan hệ có được trong slide trước, ta có: ⎧ x1 (k + 1) = x2 (k ) ⎪ x (k + 1) = x (k ) ⎪2 3 ⎪ ⎨ M ⎪ x (k + 1) = x (k ) ⎪ n −1 n ⎪ xn (k + 1) = − an x1 (k ) − an −1 x2 (k ) − ... − a2 xn −1 (k ) − a1 xn (k ) + b0 r (k ) ⎩ Hệ trên được viết lại: ⎡ x1 (k + 1) ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡ 0 ⎤ 1 0 0 K ⎢ x (k + 1) ⎥ ⎢ 0 0 ⎥ ⎢ x2 ( k ) ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 1 0 K ⎢2 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥ ⎢M ⎥=⎢ M M ⎥ ⎢ M ⎥ + ⎢ M ⎥ r (k ) M M K M ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥ xn −1 (k + 1)⎥ ⎢ 0 0 0 K0 1 ⎥ ⎢ xn −1 (k )⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎢ xn (k + 1) ⎥ ⎢− an − a1 ⎥ ⎢ xn (k ) ⎥ ⎢b0 ⎥ − an −1 − an − 2 K − a2 ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎣⎦
⎡ x1 (k ) ⎤ Đáp ứng của hệ thống ⎢ x (k ) ⎥ ⎢2 ⎥ c(k ) = x1 (k ) = [1 0 K 0 0]× ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ xn −1 (k )⎥ ⎢ xn ( k ) ⎥ ⎣ ⎦ Vậy hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống rời rạc: ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) ⎨ ⎩ c(k ) = Cd x(k ) trong đó ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡0 0⎤ ⎡0⎤ 1 0 K0 ⎢ x (k ) ⎥ ⎢0 0⎥ ⎢0⎥ 0 1 K0 ⎢2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ x(k ) = ⎢ M ⎥; Ad = ⎢ M M ⎥; Bd = ⎢ M ⎥; M M K M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ xn −1 (k )⎥ ⎢0 0 0 K0 1⎥ ⎢0⎥ ⎢ xn ( k ) ⎥ ⎢ − an − a1 ⎥ ⎢b0 ⎥ − an −1 − an − 2 K − a2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦ C = [1 0 K 0 0]
Trường hợp 2 - Vế phải phương trình sai phân chứa sai phân tín hiệu vào c(k + n) + a1c(k + n − 1) + ... + an −1c(k + 1) + an c(k ) = b0 r (k + n) + b1r (k + n − 1) + ... + bn −1r (k + 1) + bn r (k ) Đặt các biến như sau: x1 (k ) = c(k ) − β 0 r (k ) x2 (k ) = x1 (k + 1) − β1r (k ) x3 (k ) = x2 (k + 1) − β 2 r (k ) M xn (k ) = xn −1 (k + 1) − β n −1r (k ) Từ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương trình sau: xn (k + 1) = − an x1 (k ) − an −1 x2 (k ) − ... − a2 xn −1 (k ) − a1 xn (k ) + β n r (k )
Theo cách đặt biến trong slide trước, hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống: ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) ⎨ c(k ) = Cd x(k ) + Dd r (k ) ⎩ trong đó ⎡ β1 ⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡0 0⎤ 1 0 K0 ⎢ x (k ) ⎥ ⎢0 0⎥ ⎢β ⎥ 0 1 K0 ⎢2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ x(k ) = ⎢ M ⎥; Ad = ⎢ M M ⎥; Bd = ⎢ M ⎥; M M K M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ β n −1 ⎥ ⎢ xn −1 (k )⎥ ⎢0 0 0 K0 1⎥ ⎢ xn ( k ) ⎥ ⎢− an − an −1 − an − 2 K − a2 − a1 ⎥ ⎢ βn ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Cd = [1 0 K 0 0]; Dd = β 0 ⎧ β 0 = b0 ⎪β = b −a β ⎪1 1 10 ⎪ Các β i (i = 0, n) xác định theo: ⎨β 2 = b2 − a1β1 − a2 β 0 ⎪M ⎪ ⎪β n = bn − a1β n −1 − a2 β n − 2 K − an −1β1 − an β 0 ⎩
3.2.2. Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Ch Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền: th hà C ( z ) b0 z m + b1 z m −1 + ... + bm −1 z + bm G( z) = =n z + a1 z n −1 + ... + an −1 z + an R( z ) Ở hàm truyền trên a0 = 1. Nếu a0 ≠ 1 ta chia tử số và mẫu số cho a0 để được hàm truyền có dạng trên Cách 1 Biến đổi tương đương hàm truyền về dạng phương trình sai phân (z ) ( ) + a1 z n −1 + ... + an −1 z + an C ( z ) = b0 z m + b1 z m −1 + ... + bm −1 z + bm R( z ) n ⇔ c(k + n) + a1c(k + n − 1) + ... + an −1c(k + 1) + an c(k ) = b0 r (k + m) + b1r (k + m − 1) + ... + bm −1r (k + 1 + bm r (k ) Sau đó ta thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình sai phân như mục trước.
Cách 2 Đặt biến phụ E(z) thỏa ( ) ⎧C ( z ) = b0 z m + b1 z m −1 + ... + bm −1 z + bm E ( z ) ⎨ ( ) R ( z ) = z n + a1 z n −1 + ... + an −1 z + an E ( z ) ⎩ Biến đổi Z ngược phương trình chứa R(z), ta có: e(k + n) + a1e(k + n − 1) + ... + an −1e(k + 1) + an e(k ) = r (k ) Lúc này ta xem e như c và áp dụng cách thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân đối với trường hợp vế phải không chứa sai phân tín hiệu vào x1 (k ) = e(k ) x2 (k ) = x1 (k + 1) ⇒ x2 (k ) = e(k + 1) Đặt biến: x3 (k ) = x2 (k + 1) ⇒ x3 (k ) = e(k + 2) M xn (k ) = xn −1 (k + 1) ⇒ xn (k ) = e(k + n − 1) ⇒ xn (k + 1) = e(k + n)
Ta được phương trình: ⎡ x1 (k + 1) ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡0⎤ 1 0 K0 ⎢ x (k + 1) ⎥ ⎢ 0 0 ⎥ ⎢ x2 ( k ) ⎥ ⎢0 ⎥ 0 1 K0 ⎢2 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢M ⎥=⎢ M M ⎥ ⎢ M ⎥ + ⎢ M ⎥ r (k ) M M K M ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ xn −1 (k + 1)⎥ ⎢ 0 0 0 K0 1 ⎥ ⎢ xn −1 (k )⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎢ xn (k + 1) ⎥ ⎢− an − a1 ⎥ ⎢ xn (k ) ⎥ ⎢1⎥ − an −1 − an − 2 K − a2 ⎦ ⎣⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ Biến đổi Z ngược phương trình chứa C(z) trong slide trước, ta có: c(k ) = b0 e(k + m) + b1e(k + m − 1) + ... + bm −1e(k + 1) + bm e(k ) ⇒ c(k ) = b0 xm +1 (k ) + b1 xm (k ) + ... + bm −1 x2 (k ) + bm x1 (k ) ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎢ x (k ) ⎥ ⎢2 ⎥ ⇒ c(k ) = [bm 0 K 0]⎢ M ⎥ bm −1 K b1 b0 ⎢ ⎥ ⎢ xn −1 (k )⎥ ⎢ xn ( k ) ⎥ ⎣ ⎦
Cuối cùng ta được hệ phương trình trạng thái: ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) ⎨ ⎩ c(k ) =C d x(k ) Trong đó: ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡0 0⎤ ⎡0 ⎤ 1 0 0 K ⎢ x (k ) ⎥ ⎢0 0⎥ ⎢0 ⎥ 0 1 0 K ⎢2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ x(k ) = ⎢ M ⎥; Ad = ⎢ M M ⎥; Bd = ⎢ M ⎥ M M K M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ xn −1 (k )⎥ ⎢0 0 0 0 1⎥ ⎢0 ⎥ K ⎢ ⎣ xn ( k ) ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣1⎥ ⎢⎦ ⎣ − an − an −1 − an − 2 K − a2 − a1 ⎦ ⎦ Cd = [bm 0 K 0] bm −1 K b1 b0
3.2.3. Thành lập phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Phương pháp này chỉ áp dụng cho hệ có sơ đồ khối: Phương pháp gồm 04 bước Bước 1 - Thành lập hệ phương trình trạng thái liên tục ⎧ x(t ) = Ax(t ) + BeR (t ) & ⎨ ⎩ c(t ) = Cx(t )
Bước 2 – Tính ma trận quá độ hệ liên tục (Φ(s) = (sI − A) ) Φ (t ) = L -1 [Φ ( s )] −1 Bước 3 – Rời rạc hóa phương trình trạng thái ở bước 1 ⎧ Ad = Φ (T ) ⎪ ⎧ x[(k + 1)T ] = Ad x(kT ) + Bd eR (kT ) T ⎪ ⎨ Bd = ∫ Φ (τ ) Bdτ d ⎨ Với: c(kT ) = Cd x(kT ) ⎪ ⎩ 0 ⎪Cd = C ⎩ Bước 4 – Hệ phương trình trạng thái của hệ rời rạc cần tìm với tín hi vào r(kT): hiệu vào r(kT): ⎧ x[(k + 1)T ] = [Ad − Bd Cd ]x(kT ) + Bd r (kT ) ⎨ c(kT ) = Cd x(kT ) ⎩
3.2.4. Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái Hệ thống rời rạc mô tả bởi hệ phương trình trạng thái: ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) ⎨ ⎩ c ( k ) = Cd x ( k ) Hàm truyền hệ rời rạc được tính theo công thức: C ( z) = Cd [zI − Ad ] Bd −1 G( z) = R( z )