Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
BÀI GiẢNG MÔN HỌC
SỨC BỀN VẬT LiỆU 2
Tp.HCM, tháng 10 năm 2009
1
CHƯƠNG 6:
GV: TRẦN HỮU HUY
XOẮN THUẦN TÚY THANH THẲNG
(cid:153) KHÁI NiỆM CHUNG
(cid:153) XOẮN THANH TiẾT DiỆN TRÒN
(cid:153) XOẮN THANH TiẾT DiỆN CHỮ NHẬT
(cid:153) ĐiỀU KiỆN BỀN VÀ ĐiỀU KiỆN CỨNG
(cid:153) BÀI TẬP
2
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
1
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
KHÁI NiỆM CHUNG
Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz
Quy ước dấu: Mz mang dấu dương khi nhìn vào mặt cắt thấy quay thuận chiều kim đồng hồ và ngược lại.
3
KHÁI NiỆM CHUNG
Trong trường hợp chỉ có mômen xoắn ngoại lực tác dụng, ta thấy dấu của nội lực là dương khi nhìn vào đầu thanh thấy mômen xoắn ngoại lực quay thuận chiều kim đồng hồ.
Ngoại lực gây xoắn là mômen xoắn phân bố, mômen xoắn tập trung tác dụng trong mặt phẳng thẳng góc với trục thanh.
A
B
C
10(kNm)
15(kNm)
1m
1m
+
4
25 M (kNm) z
+
10
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
2
Biểu đồ mômen xoắn
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
KHÁI NiỆM CHUNG
Khi tính toán các trục truyền động, thường ta chỉ biết công suất truyền của motơ bằng mã lực hay bằng kilowat và tốc độ quay (vòng/phút), do đó cần chuyển đổi công suất truyền ra ngẫu lực xoắn tác dụng lên trục.
α
0
α
Giả sử ngẫu lực xoắn M0(Nm) tác dụng làm trục quay một góc α(rad) trong thời gian t(s). A M= Công sinh ra:
W
M
=
=
ω
0
MA 0 = t t
5
Công suất (Nm/s):
KHÁI NiỆM CHUNG
ω: vận tốc gốc (rad/s)
ω =
=
2 n π 60
n π 30
Mà: n: số vòng quay / phút
W M =
M ⇒ =
0
0
n π 30
30W n π
7162
kNm
M
Nm 7,162 =
=
=
(
)
(
)
0
W n
30.750.W n π
Từ đó ta có:
M
9740
kNm
=
=
6
(
) Nm 9, 74 =
(
)
0
W n
W n
30.1020.W n π
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
3
- T/hợp công suất tính bằng mã lực: 1 mã lực = 750 Nm/s. W n - T/hợp công suất tính bằng kilowat: 1kW = 1020 Nm/s.
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Thí nghiệm thanh tròn chịu xoắn
Mz
Mz
Xét thanh tròn chịu xoắn thuần túy như hình vẽ.
7
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Sau khi thanh chịu xoắn bởi ngoại lực Mz , thanh bị biến dạng, người ta nhận thấy những đường tròn trước và sau khi biến dạng vẫn vuông góc với trục thanh.
Các giả thiết:
Từ những nhận xét đó, người ta đề ra các giả thiết sau:
- Trong quá trình biến dạng, mặt cắt ngang vẫn phẳng và thẳng góc với trục thanh.
- Trong quá trình biến dạng, các mặt cắt ngang không chuyển vị theo phương trục thanh, mọi bán kính vẫn thẳng và có chiều dài không đổi.
8
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
4
- Ngoài ra, người ta còn thừa nhận rằng vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tuân theo định luật Hooke.
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
Có thể nhận thấy rằng, thanh chịu uốn thuần túy chỉ là sự xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục z.
Để xét biến dạng xoắn của một phân tố tại một điểm bất kỳ cách tâm một bán kính ρ, ta tách bởi ba cặp mặt cắt sau:
- Hai mặt cắt (1-1) và (2-2) thẳng góc với trục thanh, cách nhau một đoạn dz.
- Hai mặt cắt chứa trục hợp nhau một góc dα.
9
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
- Hai mặt cắt trụ song song trục z, bán kính ρ và (ρ+dρ).
1
2
2
1
ϕd
z
0
B'
γ
F
ρ
B
0
A'
E
A
C'
C
G
ρd
1
2
D'
D
dz
H
10
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
5
Gọi dϕ là góc hợp giữa OAB và OA’B’ (góc xoắn tương đối giữa hai tiết diện lân cận cách nhau một đoạn dz).
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
tg γ ≈ γ =
= ρ
=
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
d . ϕ ρ dz
d ϕ dz
Gọi góc B’FB là biến dạng trượt γ của phân tố. BB ' FB
Theo giả thiết mặt cắt ngang không chuyển vị theo phương dọc trục thanh nên ta thấy không có ứng suất pháp tác dụng lên các mặt của phân tố.
11
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Đồng thời, giả thiết các bán kích có chiều dài không đổi nên cũng không có ứng suất tiếp hướng tâm trên mặt ABEF
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
Theo giả thiết trong quá trình biến dạng mặt cắt ngang vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh nên các góc vuông tại HGCD và EFBA không thay đổi nên không có ứng suất tiếp hướng tâm trên mặt ABEF Như vậy trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ tồn tại ứng suất tiếp theo phương bán kính gọi là τρ và phân tố đang xét là trượt thuần túy.
G. G. ρ γ =
Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng trượt:
τ = ρ
12
d ϕ dz
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
6
(a)
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
2
Gọi dA là vi phân diện tích tại một điểm đang xét trên mặt cắt ngang của thanh
M
dA.
G
I
ρ =
ρ
dA G =
z
p
ρ
∫
d ϕ dz
d ϕ dz
M d ϕ z ⇒ = dz GI
p
∫ = τ A
A
z
ρ
(b)
ρτ =
M I
p
13
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Thay (b) vào (a) ta được:
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
2
Mz
z
z
R
τ
=
=
=
max
M I
M I
p
ρτ
p
M z W p
ρτ
Mz
R
τ max
14
1
2
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
7
Ta thấy τρ phân bố theo quy luật bậc nhất, có phương vuông góc với bán kính và có cùng chiều quay với Mz, có giá trị bằng không tại tâm của tiết diện và cực đại tại biên của tiết diện. 1 Ứng suất tiếp cực trị:
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
3
4
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
π
3
0, 2D
=
=
=
≈
W p
D D
p R
D π 16
32.
2
4
3
I
3
4
=
=
− η
W p
Với Wp = Ip/R được gọi là mômen chống xoắn của tiết diện I - Đối với tiết diện tròn
- Đối với tiết diện vành khăn π ) 4 − η =
( 1
( 1
) 4 − η ≈
( 0, 2D 1
)
D D
p R
D π 16
32.
2
η =
d D
15
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Với:
d / dz
Công thức tính biến dạng khi xoắn
Gọi θ là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài hay còn gọi là góc xoắn tỉ đối (rad/m). θ = ϕ
dz
d ⇒ ϕ =
M d ϕ z = dz GI
M z GI
p
p
n
L
i
dz
⇒ ϕ =
= ∑
0
∫
M z GI
M L z GI
1
p
p
Ta có:
16
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
8
Công thức trên chỉ áp dụng khi Mz / GIp là hằng số.
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
DẠNG ĐỨT GÃY KHI XOẮN
Nghiên cứu trạng thái ứng suất của trục tròn chịu xoắn, ta thấy tại một điểm trên mặt ngoài, phân tố ở trạng thái trượt thuần túy và ứng suất đạt giá trị cực đại. Ở trạng thái này, góc phá hoại theo hai phương nghiêng 450 so với trục ứng suất kéo chính và nén chính.
- Qua thí nghiệm ta cũng biết vật liệu dẻo chịu kéo và nén tốt như nhau, còn chịu cắt thì kém hơn. Do đó, khi bị xoắn trục thép sẽ bị gãy theo mặt cắt ngang.
17
XOẮN THANH TiẾT DiỆN CHỮ NHẬT
- Đối với vật liệu giòn, trục gãy theo góc nghiêng 450
Thí nghiệp xoắn thanh tiết diện chữ nhật cho thấy những đường song song và thẳng góc với trục không còn song song và thẳng góc với trục, tiết diện bị vênh, giả thiết mặt cắt phẳng không thể áp dụng được nữa. Do đó, không thể dựa trên các giả thiết để đơn giản hóa bài toán được.
18
Từ đó, ta thừa nhận một số kết quả tìm được bằng lý thuyết đàn hồi.
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
9
Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất tiếp và luật phân bố như trên hình vẽ bên dưới. Quy luật biến thiên của τ không còn là bậc nhất như đối với mặt cắt tròn.
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
XOẮN THANH TiẾT DiỆN CHỮ NHẬT
τ1
τ
=
Mz
max
2
M z hb α
h
τ max
Ứng suất tiếp bằng không tại các góc và lớn nhất tại trung điểm cạnh dài:
τ = γτ 1
max
Với b và h là kích thước cạnh ngắn và cạnh dài của tiết diện chữ nhật Ứng suất tiếp tại điểm giữa cạnh ngắn:
θ =
3
19
M z G hb β
b
XOẮN THANH TiẾT DiỆN CHỮ NHẬT
Góc xoắn tỷ đối:
Bảng giá trị α, β, γ
20
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
10
α 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 β 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 γ 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 h/b 4 6 8 10 ∞ h/b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 α 0,203 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 γ 1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
ĐiỀU KiỆN BỀN – ĐiỀU KiỆN CỨNG Điều kiện bền:
;
σ
= σ = τ 1
max
max
= σ = −τ 3
max
min
Tìm ứng suất chính ta được: σ
- Đối với vật liệu dẻo:
1
]
2 2
2 1
2 3
1
3
3
2
1
σ
[ σ + σ + σ + σ σ + σ σ + σ σ ≤ σ 2 [
[ σ − σ ≤ σ 3 [
] ]
⇒ τ
≤
⇒ τ
≤
max
max
] 3
σ 2
Theo TB ƯS tiếp lớn nhất: Theo TB TNBĐHD:
- Đối với vật liệu giòn:
σ
σ
k
k
1
+
] [ σ ≤ σ ⇒ τ
[ ≤ σ
]
σ + 1
3
max
k
k
21
σ
σ
[ [
] ]
[ [
] ]
n
n
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
ĐiỀU KiỆN BỀN – ĐiỀU KiỆN CỨNG
[ ] ≤ θ
maxθ
Áp dụng thuyết bền TTƯS tới hạn (thuyết bền Mohr)
π
=
Điều kiện cứng:
rad 1 m 180 m
Cần lưu ý đơn vị trong tính toán:
Ba bài toán cơ bản:
- Bài toán kiểm tra bền, kiểm tra cứng.
- Bài toán xác định kích thước tiết diện.
22
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
11
- Bài toán xác định tải trọng cho phép.
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
BÀI TẬP:
3
2
0
2
/m ;
0,8
=
Biết: Bài 1: Cho thanh hai đầu ngàm chịu xoắn như hình vẽ. ) [ ] θ =
( G 8.10 kN / cm ;
) [ ] τ =
( 8 kN / cm
(
)
30(kNm)
10(kNm)
D
A
B
D
C
1m
1m
1m
Yêu cầu:
23
- Vẽ biểu đồ mômen xoắn.
BÀI LÀM: Vẽ biểu đồ mômem xoắn
- Xác định đường kính trục tròn theo điều kiện bền và điều kiện cứng. - Tính góc xoắn ϕAD
30(kNm)
10(kNm)
B
M A
D
C
(30+ )M A
(20+ )MA
M A
+
+
+
24
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
12
Bỏ ngàm A và thay vào đó bằng phản lực MA Sau đó vẽ biểu đồ mômen xoắn theo MA ta được biểu đồ như hình vẽ.
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
BÀI LÀM: Vẽ biểu đồ mômem xoắn
+
+
(
)
(
)
0
0
ϕ = ⇒
+
+
=
AB
M 100 A GI
30 M 100 A GI
p
p
p
0 M
⇒
+
= ⇒
= −
( 16, 67 kNm
20 M 100 A GI )
300M 5000 A
A
Điều kiện chuyển vị:
13,33
+
+
M (kNm)
z
3,33
-
16,67
25
BÀI LÀM:
Từ đó ta vẽ được biểu đồ mômen xoắn như sau:
3
3
D
≥
=
=
( 10,14 cm
)
Xác định đường kích trục tròn
1667 0, 2.8
z [ ] τ
Theo điều kiện bền: M 0, 2
0
0,5
/m
rad / cm 0,87 rad / cm
=
=
(
)
(
)
[ ] θ =
(
)
0,5.3,14 180.100
4
4
D
≥
=
=
( 12, 44 cm
)
4
M z 0,1.G.
1667 3 0,1.8.10 .0,87.10−
[ ] θ
26
Theo điều kiện cứng:
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
13
Từ hai điều kiện trên, chọn D=12,44(cm).
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
BÀI LÀM:
Tính góc xoắn ϕAD
4
4
4
0,1D
0,1.12, 44
=
=
=
PI
Mômen quán tính độc cực của tiết diện
( 2395 cm
)
−
3
−
8.10
rad
= −
(
)
ϕ = AD
16, 67.100.100 3 8.10 .2395
27
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
14
Góc xoắn
