CH
NG 4 : QUAN H GI A NG SU T VÀ BI N D NG
ƯƠ
Ệ Ữ Ứ
Ấ
Ạ
Ế
Trong hai ch ươ
ọ ặ ụ ứ ườ ng trên ta đã nghiên c u hai m t riêng bi ệ ủ ặ
ng liên t c đó là m t tĩnh h c (tr ng bi n d ng), gi a hai m t này có quan h v i nhau. S phân b ặ ế ữ
ạ ủ ụ ự ệ ặ ấ ệ ớ ộ
ấ ủ ứ
ẫ ế ườ ế ề ặ ậ ạ ấ ế ệ ữ ứ ự
ạ ế
ế ế ơ ọ ồ ế ế
ế t c a môi ứ tr ọ ng ng su t) và m t hình h c ườ ố (tr ườ ng ph thu c vào quan h đó. Xét ng su t và bi n d ng c a môi tr ứ ườ quan h gi a ng su t và bi n d ng t c là xét v m t v t lý c a môi ề ặ ậ ạ ng. S khác nhau v m t v t lý đã d n đ n nh ng n i dung khác tr ữ ộ nhau trong lý thuy t c h c v t r n bi n d ng nh lý thuy t đàn h i ồ ế ư ậ ắ tuy n tính, lý thuy t đàn h i phi tuy n và lý thuy t đàn h i d o. ế ế ồ ẻ ủ ứ ấ ạ s
s
s
(4.1)
ế ậ ệ ệ ế ồ
zx); ); ); ); ); ); thi ả ạ
Trong lý thuy t đàn h i nói chung ng su t là hàm c a bi n d ng : ồ x = f1(e x, e y, e z, g xy, g yz, g y = f2(e x, e y,... z = f3(e x, e y,... Txy= f4(e x, e y,... Tyz= f5(e x, e y,... Tzx= f6(e x, e y,... Trong môn h c này ta gi ọ ấ ệ ứ ế ệ
t thành : t v t li u làm vi c đàn h i tuy n tính t c quan h ng su t và bi n d ng là các quan h tuy n tính. Do đó (4.1) ứ ế vi ế s
zx; zx;
zx.
s (4.2)
ệ ố ij : Là các h ng s đàn h i c a v t li u. ố ồ ủ ậ ệ
ằ ấ ả ằ ẽ ố
x = a11e x + a12e y + a13e z + a14g xy + a15g yz + a16g y = a21e x + a22e y + a23e z + a24g xy + a25g yz + a26g ............ Tzx = a61e x + a62e y + a63e z + a64g xy + a65g yz + a66g Trong đó : Các h s a Trong (4.2) : Có t ồ ố ớ v t li u hoàn toàn đàn h i và đ ng h
ng ẳ t c là 36 h ng s đàn h i. Ta s ch ng minh ứ ằ ướ ch có 2 h ng ỉ ồ
r ng đ i v i ậ ệ ằ s đ c l p v i nhau. ớ ố ộ ậ
§4.1. CÔNG VÀ TH C A L C ĐÀN H I Ồ Ế Ủ Ự
ạ ạ ộ
ể Ứ ư ẽ ớ
24
hình h p có các c nh dx, dy, dz t Xét 1 ph n t i đi m M(x,y,z). ầ ử Các m t c a phân t có các ng su t nh hình v (H,4.1). ng v i các ứ ặ ủ ử ấ ng và chuy n v góc. có chuy n v đ ng su t y ph n t ể ị ườ ể ầ ử ấ ấ ứ Khi ph n t ạ ầ ử ị ế b bi n d ng các n i l c sinh ra m t công. ộ ự ị ộ
y
t
d z
P(x,y+dy,z)
xy
¶ t
t
+
xy s
+
¶ ¶ s
dx dx
x
x
y d
N(x+dx,y,z)
¶
xy x s x x t
xy
t ¶
t
+
Q(x,y,z+dz) dx
dx
xz
xz x
x
¶
z
Hình 4.1
¶ s
4.1.1. S gia c a công do ng su t pháp sinh ra: ủ ứ ố ấ
x và s
x +
x x
s .dx, Ứ ấ ¶
ng đ i có đ dài t ộ ng su t pháp trên 2 m t vuông góc tr c x là : ặ ụ ố e x, đ dãn dài tuy t đ i : ộ
x.dx)
ng đ i thêm s ươ ờ ệ ố e x.dx. có đ dài t ộ ố ố ố e d e gia: d ươ x .dx. d t, phân t ệ ố ủ ạ ố e do s Sau th i gian vô cùng bé x. S gia c a đ dãn dài tuy t đ i c a c nh dx : ủ ộ S gia c a công ủ ố
x sinh ra : y và s
y .dy) (a)
s e T ng t ươ ự ố s gia c a công ủ
x.dydz)( d y.dxdz)( d z.dxdy)( d
y .dz).
e (s z sinh ra : (s (s
4.1.2. S gia c a công do ng su t ti p sinh ra: xy i th i đi m t, góc tr đ i là t t g xy. Sau ấ ế ể ờ ứ t ở ạ ượ ỷ ố
xy.
xy : Txy.dy.dz.
d g ố ủ Xét thành ph n Tầ d t, góc tr th i gian t đó có s gia ượ ờ ố
ự
L c do T Moment do Txy tác d ng trên 2 m t ph ng đ i di n vuông góc ox : ặ ụ ệ ẳ ố
(Txy.dydz).dx.
xy.
g S gia c a công do Txy sinh ra : (T ủ ố
T ng t s gia c a công do các ng su t ti p Tyz và Tzx sinh ra là ươ ự ố ủ
xz.
xy.dydz.dx). d ấ ế ứ (Tyz.dzdx.dy). d
g :
(b)
zx.
25
g (Tzx.dxdy.dz). d
ứ hình h p b ng t ng s gia c a công do các ng ủ ằ ổ ố ộ ủ ầ ử
xy + Tyzd
z +Txyd
x +s
y +s
z. d
yz + Tzxd
zx )dxdydz.
e e e g g g
S gia công c a ph n t ố su t sinh ra (a+b): ấ y. d x. d d T = (s (4.3) Ta có: dV = dxdydz : Th tích c a ph n t ủ ể tr ầ ử ướ
*S gia c a công c a m t đ n v th tích (công riêng) c bi n d ng. ế ạ d A s là :ẽ ộ ơ ị ể ủ ủ ố
x. d
x +s
y. d
y +s
z. d
z +Txyd
xy + Tyzd
yz + Tzxd
zx
d d
T V
e e e g g g d A = = s (4.4)
ế ồ
ố ớ ậ c b o toàn. N u g i ể ế
ồ ồ ằ ộ ớ ủ ế ế ế ế ạ ạ
A = W ng sinh ra do bi n d ng ạ * Đ i v i v t th hoàn toàn đàn h i năng l ượ ọ W là th năng bi n d ng đàn h i tích lũy khi v t đ ậ ượ ả ạ th bi n d ng thì đ l n c a th năng bi n d ng đàn h i b ng công ngo i ạ ể ế l c A. ự Do v y ta có ậ
ọ ệ (cid:219) ỏ ồ d A = d W
ế ế ỉ
ạ ế ạ ạ ố ủ ế ầ ồ
năng bi n d ng đàn h i là hàm s c a các thành ph n bi n d ng : zx).
ế ạ ậ ị
ể ố ậ
w
w
w
w
w
x +
y +
z +
xy +
yz +
zx.
dg
e¶
e¶
e¶
dg
dg
xy
y
z
x
zx
yz
c : (4.5) L c đàn h i th a mãn đi u ki n (4.5) g i là có th . ế ề ự (4.6) T (4.5) ừ Th năng sinh ra do bi n d ng và ch do bi n d ng mà có, vì v y th ậ ế ế ạ W = f(e x, e y, e z, g xy, g yz, g d W là Trong mi n đàn h i quá trình bi n d ng là thu n ngh ch nên ề ồ 1 vi phân toàn ph n. N u b qua các vô cùng bé b c cao khi khai tri n s gia ế ỏ ầ c a th năng bi n d ng đàn h i theo bi n d ng ta đ ế ủ ượ ế ạ ạ ồ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ế w e e e d g d g d g d W = .d .d .d (4.7)
w
w
x =
g¶
e¶
So sánh (4.4) và (4.7) : d A = d W : ta có : ¶ ¶ s ; Txy = ;
xy w
x w
y =
g¶
e¶
¶ ¶ s ; Tyz = ; (4.8)
y w
yz w
z =
e¶
g¶
z
¶ ¶ s ; Tzx = ;
zx ể ủ
ậ
ồ ố ớ ị ế ạ
ầ ử ế ng su t là các đ o hàm riêng c a th năng bi n d ng đàn h i đ i v i các ế ế
26
T (4.8) cho phép phát bi u k t lu n đ nh lý Green: Các ph n t ừ ấ ạ Ị Ằ ứ bi n d ng t §4.2. Đ NH LU T HOOKE T NG QUÁT- CÁC H NG S ĐÀN H I C A V T LI U. Ệ ạ ng ng. ươ ứ Ậ Ố Ổ Ồ Ủ Ậ
zx.
w
x =
e¶
x
2
s 4.2.1. D a vào đ nh lý Green : ự T (4.2) ta có : ị x = a11e x + a12e y + a13e z + a14g xy + a15g yz + a16g ¶ ừ (4.8) ta có : s
e
x
yz
w g : Tyz = a51e x + a52e y + a53e z + a54g xy + a55g yz + a56g
zx.
¶ (cid:222) = a15 (a). ¶ ¶
w
g¶
yz
¶ 2
T (4.2) ta có ừ ¶ T (4.8) ta có: Tyz = ừ
w e
g
yz
(cid:222) = a51 (b). ¶ ¶
l y đ o hàm, so sánh (a) ộ ụ ứ ự ấ ạ
ổ ố ớ ồ ủ
x Vì giá tr đ o hàm không ph thu c vào th t ị ạ và (b) ta có : a15 = a51. T ng quát đ i v i các h ng s đàn h i c a (4.2) ta có: ố ằ aij = aji ệ ố ầ
ng trình (4.2) đ i x ng qua đ (4.9) ng chéo ố ứ ươ ằ ậ
V y các h ng s c a h ph ườ chính. Do đó các h ng s c n xác đ nh ch còn 36 - 15 = 21 h s . ệ ố ố ủ ằ ị ỉ
ẳ
ướ
ố ứ ặ ậ ặ
ng : ướ ấ ậ ệ ng là v t th có tính ch t đ i x ng hoàn toàn, b t kỳ ấ ấ ố ứ ể ậ cũng là m t ph ng đ i x ng. Tính ch t c , ấ ơ ầ ử ẳ ng là nh nhau. ư ươ ọ
x c a ph ủ
s s đ i chi u tr c y thì ng su t pháp ng trình (4.2) không thay đ i khi ta thay đ i h t a đ : ổ ệ ọ ộ ổ ng ứ ề ấ ươ trình th nh t ứ ấ ụ
zx.
s (c)
ổ
zx
x = a11e x + a12e y + a13e z - a14g xy - a15g yz + a16g
4.2.2. D a vào tính ch t v t li u đ ng h ự V t th đ ng h ể ẳ m t ph ng nào đi qua ph n t ẳ lý c a v t li u theo m i ph ủ ậ ệ Do đó các ph ươ +Gi ả ử ổ trong h (4.2) không thay đ i: ệ ổ x = a11e x + a12e y + a13e z + a14g xy + a15g yz + a16g g xy các bi n d ng góc Nh ng ư ạ ế và g yz đ i d u vì khi đ i chi u ề ổ ấ t tr c đây tr c y thì góc tr ượ ướ ụ làm góc vuông nh l i nay ỏ ạ làm cho góc vuông l n lên ớ (cid:222) (d).
a
14
14
=
=
a
0
14
a 15
-=
15
s ồ ấ -= (cid:252) Đ ng nh t (c) và (d) ta có : a (cid:239) (cid:222) (cid:253) (cid:239) (cid:254)
16 = 0.
a a 15 ng t ự ế
27
T n u đ i chi u tr c z ta có a ươ ụ ề ổ
B ng cách ch ng minh t ứ ươ ế ế
ằ c a ba ph ủ ươ ầ ằ
ng t ự ng trình đ u trong h ph ệ ươ ố ầ ố ố ta đi đ n k t lu n ba h ng s cu i ằ ậ ng trình (4.2) đ u b ng 0. ề ng trình cu i trong h ố ủ ươ ệ
Do aij = aji nên ba h ng s đ u c a ba ph ằ ng trình (4.2) cũng b ng 0. ằ ở ph ươ * H ph ệ ươ s
s
zx
zx
s (4.9)
H ph ế ệ ươ
ng trình (4.2) tr thành : x = a11e x + a12e y + a13e z y = a21e x + a22e y + a23e z z = a31e x + a32e y + a33e z Tyx = a44g xy + a45g yz + a46g Tyz = a54g xy + a55g yz + a56g Tzx = a64g xy + a65g yz + a66g zx ng trình (4.9) cho ta k t lu n : ậ - Các ng su t pháp không có quan h v i các bi n d ng góc. - Các ng su t ti p không có quan h v i các bi n d ng dài t ấ ấ ế ệ ớ ệ ớ ạ ạ ế ế ứ ứ ươ ng
ng trình ( 4.9) : đ i.ố Xét ph ứ ươ ủ ệ ươ
zx xy không đ i nh ng ổ
zx
g yz và g ng trình th (4) c a h ph Tyx = a44g xy - a45g yz + a46g N u ta đ i chi u tr c z thì T ề ụ ế ổ ư (e) ẽ ổ zx s đ i
Tyx = a44g xy - a45g yz - a46g d u: ấ
-=
a
a
45
45
=
=
a
a
0
45
46
-=
a
a
46
46
(f) (cid:252) (cid:239) (cid:222) (cid:253) Đ ng nh t (e) và (f) ta có : ấ ồ (cid:239) (cid:254)
a54 = a64 = 0.
ta có : a Do aij = aji (cid:222) ng t T ự ươ
H ph ệ ươ ng trình (4.9) có th rút g n nh sau: ể ư s
s
s
(4.10)
56 = a65 = 0. ọ x = a11e x + a12e y + a13e z y = a21e x + a22e y + a23e z z = a31e x + a32e y + a33e z Tyx = a44g xy Tyz = a55g xy Tzx = a66g xy ị
ng trình (3) c a h ph ng trình ( 4.10), ta ươ ủ ệ ươ
B ng cách hoán v vòng ph ằ có:
x
y z
s
z = a31e x + a32e y + a33e z x = a31e y + a32e z + a33e x (4.14)
28
s Hoán v vòng ta có: ị
x = a12e y + a13e z + a11e x
Ph ng trình (4.10) : ươ ủ ệ ươ
ng trình (1) c a h ph Đ ng nh t (4.14) và (1) ta có : ấ ồ
(cid:222) Vì aij = aj i
s a31 = a12 a32 = a13 a33 = a11 a12 = a21 a31 = a13 a32 = a23
a = a11 = a22 = a33
* Đ t ặ b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23 B ng phép hoán v vòng các ph ị ằ ươ ng trình (4,5,6) c a h (4.10) ta có : ủ ệ
(4.15) c = a44 = a55 = a66 Do đó (4.10) có d ng : ạ s
s
zx
x = ae x + b(e y + e z) y = ae y + b(e x + e z) z = ae z + b(e x + e y) Txy = cg xy Tyz = cg yz Tzx = cg
s (4.11)
x = bq y = bq z = bq
*Ta có: q ng đ i. ạ ể ươ ố s nên s (4.12) s = e x + e y + e z: là bi n d ng th tích t ế + (a - b) e x + (a - b) e y + (a - b) e z
*Đ t ặ b = l
x
y
z
x = l y = l z = l
ba- )
(
a -b = 2 n s q e (4.12) (cid:219) s q e (4.13) s q e +2n +2n +2n
1 2
Th c nghi m ch ng minh r ng khi xoay h tr c t a đ ta có c = ệ ụ ọ ộ ự ứ ệ ằ
xy
(cid:222) c = n fi g
yz
zx
g (4.14) g
ấ
ệ ủ ượ ế ẳ ồ
29
Txy = n Tyz = n Tzx = n ng trình (4.18) và (4.19) là quan h gi a ng su t và ệ ữ ứ ậ c g i là đ nh lu t ng đ ị ọ ướ ạ i d ng ng su t theo bi n d ng. Đ i v i lo i ố ớ ạ ế Các h ph ươ bi n d ng c a v t th đàn h i và đ ng h ể ậ ạ Hooke t ng quát vi t d ổ ế ướ ạ ứ ấ
l và n . Hai h ng s này đ ố ậ ằ ỉ ằ ố ượ ọ c g i
v t li u này ch có hai h ng s v t lý là ậ ệ là h ng s LaMê. ố ằ
$4.3. M T D NG KHÁC C A Đ NH LU T HOOKE T NG QUÁT Ị Ộ Ạ Ổ Ủ Ậ
y + s
x + s
s q q
T (4.18) ta có : ừ Trong đó : q ng đ i. + 2n ạ ể ươ ố
z = 3l = e x + e y + e z : Đ bi n d ng th tích t ộ ế x + s
y + s
z)
1 +
u 2
l 3
(cid:222) (s q (a)
lq
e
=
y
s
s
z
e
e
+
=
y
z
lq
s
lq n
y n 2
=
e
z
= s - (cid:252) (cid:239) - (cid:239) - (cid:222) (cid:253) (b) T (4.18) ừ - (cid:239) (cid:239) (cid:254)
(c) ặ
ø Ø
s
s
l
z
s
+
s
+
+
+
s
s
- -
s .(
x
y
z
)
y n 2 z n 2 - (e y + e z) e x = q M t khác Thay (a) và (b) vào(c) ta có : s (
y
x
z
)
n
+
l 3(
n )2
l 3
+ x n 2 s
œ Œ e x = ß º
s
y
s
+
s
+
-
s (
x
y
z
)
n
n 2 + n +
n )2
=
l
+ x n 2 s
+
ø Ø
s
x
-
s .(
x
y
)
n
l
n +
n
(
)
1 + l l 3( l l 3(
œ Œ e x = (4.15) ß º
n + + n )2 n l 3( l l
n )2 E = Đ t ặ + n +
s [
m
s
+
m = (416) l + n (2 )
x
y
]) z
m
s
+
- Ta có (4.20) : e x = ;
y
s ( s (
x
]) z
- T ng t (4.17) ươ ự :e y =
s [
m
s
+
y
z
- ; ])
s (
x
1 E s 1 [ E 1 E
. : e z =
T (4.21) ta có : ừ
n
n )2
2
n =
+
+
m
+
2
2(
)2
n =œ
n =œ
l 3( l
+ n +
l + n
l
l l
n + 2 n +
l + n
l
ø Ø ø Ø Œ Œ E = ß º ß º
E +m
)1
(2
30
(cid:222) n =
E +m
(2
)1
(cid:219) n = G Mà G =
ạ
Txy g xy =
g yz = Tyz (4.18)
zx =
g Tzx Lúc này (4.19) có d ng : 1 G 1 G 1 G
ậ ọ ị
Các h ph ươ ệ t d quát vi ế ướ ạ ng trình (4.22) và (4.23) đ i d ng bi n d ng theo ng su t. ạ ổ c g i là đ nh lu t Hooke t ng ượ ấ ứ ế
*Đ nh lu t Hooke kh i ố ậ ị
T (4.17) ta có : ừ
x + s
y + s
. S
z) - 2m (e x + e y + e z) m 21 E
E(e x + e y + e z) = (s (*) - (cid:219) q (*) = = S (1 - 2m ) (cid:219) (4.19)
q ng đ i. V i: ớ ạ ố
y + s
ươ
31
Ph Eq = e x + e y + e z : Bi n d ng th tích t ế x + s S =s z: Hàm ng su t t ng. c g i là Đ nh lu t Hooke kh i. ng trình (4.19) đ ậ ể ấ ổ ị ứ ượ ọ ố ươ
