zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Ứng dụng của định lí Lagrang

Chia sẻ: Nguyễn Minh Hải | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

14
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Ứng dụng của định lí Lagrang" trình bày các nội dung về: Định lí Lagrang; Ứng dụng định lý Lagrang để giải phương trình; Ứng dụng định lý Lagrang để giải phương trình có nghiệm; Ứng dụng định lý Lagrang để chứng minh bất đẳng thức;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Ứng dụng của định lí Lagrang

CÁC CHUYÊN ð B I DƯ NG H C SINH GI I Chuyên ð : NG D NG C A ð NH LÍ LAGRANG I. Lý thuy t: 1. ð nh lí Lagrang: Cho hàm s y=f(x) liên t c trên [a;b] và kh vi trên (a;b), khi ñó f (b) − f (a ) t m t i s th c c ∈ (a; b) : f '(c) = b−a H qu 1:N u hàm s y=f(x) liên t a trên [a;b] , kh vi trên (a;b) và f(a)=f(b) thì Pt: f’(x)=0 có ít nh t m t nghi m trên (a;b) H qu 2:Cho hàm s y=f(x) có ñ o hàm ñ n c p n. .N u pt f ( n) ( x) = 0 có k nghi m thì Pt f ( n −1) ( x) = 0 có nhi u nh t (k+1) nghi m II. Các ng d ng: 1. ng d ng ñ/l Lagrang ñ gi i pt: Phương pháp: ð gi i pt f(x)=0 ta s d ng h qu 2 ch ng minh s nghi m nhi u nh t c a pt có th có ñư c, sau ñó ta ch ra ñư c các nghi m c a pt Bài 1:Gi i pt: 2003 x + 2005 x = 4006 x + 2 (HSG Ngh an 2005) Gi i: Xét hàm s : f ( x ) = 2003 x + 2005 x − 4006 x − 2 Ta có: f '( x ) = 2003x ln 2003 + 2005x ln 2005 − 4006 f ''( x ) = 2003 x ln 2 2003 + 2005 x ln 2 2005 > 0 ∀x ⇒ f "( x ) = 0 voâ nghieäm ⇒ f'(x)=0 coù nhieàu nhaát laø moät nghieäm ⇒ f(x)=0 coù nhieàu nhaát laø hai nghieäm Mà ta th y f(1)=f(0)=0 nên pt ñã cho có hai nghi m x=0 và x=1 Bài 2: Gi i pt: 3cosx = 2cosx + cosx Gi i: ð t t=cosx; t ∈[-1;1] khi ñó pt tr thành: 3t = 2 t + t ⇔ 3t − 2t − t = 0 , ta th y pt này có hai nghi m t=0 và t=1 ta s c/m ñó là s nghi m nhi u nh t mà pt có th có: Xét hàm s : f (t ) = 3t - 2t - t v i t ∈[-1;1] ta có f '(t ) = 3t ln 3 − 2t ln 2 − 1 f "( x) = 3t ln 2 3 − 2t ln 2 2 > 0 ⇒ f’(x)=0 có nhi u nh t 1 nghi m nên f(x) =0 có nhi u nh t hai nghi m t ñó ta có ñpcm π V y pt có hai h nghi m: x = k 2π ; x = + kπ 2 Bài 3: Gi i pt: 3 x = 1 + x + log3 (1 + 2 x ) (TH&TT) Gi i: ðk: x>-1/2 pt ⇔ 3 x + x = 1 + 2 x + log3 (1 + 2 x ) ⇔ 3 x + log3 3 x = 1 + 2 x + log3 (1 + 2 x ) (1) Xét hàm s : f (t ) = t + log3 t ta có f(t) là hàm ñ ng bi n nên (1) ⇔ f (3 x ) = f (1 + 2 x ) ⇔ 3 x = 2 x + 1 ⇔ 3 x − 2 x − 1 = 0 (2) Xét hàm s : f ( x ) = 3 x − 2 x − 1 ⇒ f '( x ) = 3 x ln 3 − 2 ⇒ f "( x ) = 3 x ln 2 3 > 0 ⇒ f ( x ) = 0 có nhi u nh t là hai nghi m, mà f(0)=f(1)=0 nên pt ñã cho có hai nghi m x=0 và x=1 GV: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa
CÁC CHUYÊN ð B I DƯ NG H C SINH GI I Bài 4: Gi i pt: 5 x + 12 x = 6 x + 11x Gi i: pt ⇔ 12 x − 11x = 6 x − 5 x . Gi s m là nghi m c a pt, xét hàm s f (t ) = t m − (t − 1)m ta có f(12)=f(6) nên theo h qu 1 thì t n t i c ∈ (6;12) : f’(c)=0 hay mc m −1 − m(c − 1)m −1 = 0 ⇔ m[c m −1 − (c − 1) m −1 ]=0 ⇔ m = 0, m = 1 Th l i ta th y tho mãn. V y x=0 và x=1 là nghi m c a pt Bài T p: Gi i các pt sau 1. 3x + 5 x = 2.4 x 2. (1 + x)(2 + 4 x ) = 3.4 x 3. 9 x + 3x = (2 x + 1)2 x +1 2 2 4. 4 x + 2 x = 3x + 3x 2. ng d ng ñ nh lí Lagrang ñ cm pt có nghi m: Phương pháp:ð cm pt f(x)=0 có nghi m trên (a;b) ta ñi xét hàm F(x) có tính ch t :th a mãn các ñi u ki n ñ/l Lagrang , F’(x)=f(x) sau ñó ta cm hàm F(x) th a mãn ñk c a H qu 1 t ñó ta có ñi u ph i ch ng minh a b c Bài 1: Cho các s th c a,b,c th a mãn ñk: + + = 0 . Cmr b 2 ≥ 4ac (1) m + 2 m +1 m Gi i: Ta có (1) chính là ñi u ki n c n và ñ ñ pt: ax2+bx+c=0 có nghi m nên ta chuy n vi c cm (1) v cm pt ax2+bx+c=0 có nghi m * N u a=0 thì (1) luôn ñúng xm+ 2 x m +1 xm * N u a ≠ 0 . Xét hàm s f ( x) = a +b +c ta th y f(x) có ñ o hàm trên R m+2 m +1 m a b c và f(1)= + + = 0 =f(0) nên theo h qu 1 thì pt f’(x)=0 có nghi m (0;1) m + 2 m +1 m hay pt: ax m+1 +bx m +cx m-1 =0 ⇔ ax 2 + bx + c = 0 có nghi m trên (0;1) t ñó ta có ñpcm Bài 2:Cho các s th c a,b,c và s nguyên n>0 tho mãn: 5c(n+2)+6(a+b)=0. Cmr pt π a.sin n x + b.cos n x + c.sinx+c=0 luôn có no trên (0; ) (HSG Ngh an 2004) 2 a 5c b Gi i: Ta có: gt ⇔ + =− (*) n+2 6 n+2 sin n + 2 x cos n+2 x sin 3 x sin 2 x π Xét hàm s f ( x) = a −b +c +c trên [0; ] ta th y f(x) tho n+2 n+2 3 2 2 π b π a 5c mãn ñk ñ/l Lagrang trên [0; ] . M t khác ta l i có: f (0) = − ;f( )= + 2 n+2 2 n+2 6 π π ⇒ f (0) = f ( ) (do (*) ). Theo ñ/l Lagrang thì pt f’(x) có nghi m trên (0; ) 2 2 GV: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa
CÁC CHUYÊN ð B I DƯ NG H C SINH GI I hay pt: a.sin n +1 x.cosx+cos n+1x sinx+c.sin 2 x.cosx+c.sinx.cosx=0 ⇔ sinx.cosx(asin n x + b.cos n x + csinx+c)=0 ⇔ a.sin n x + b.cos n x + c.sinx+c=0 (vì sinx, π π cosx >0 trên (0; ) ) có nghi m trên (0; ) (ñpcm) 2 2 a1 a2 a Bài 3:Cho các s th c a1, a2 ,..., an th a mãn: a0 + + + ... + n = 0 và 2 3 n +1 a1k a2k 2 ank n a0 + + + ... + = 0 v i k >0. Cmr pt sau luôn có nghi m 2 3 n +1 a1 + 2a2 x + ... + nan x n = 0 a1x 2 a2 x3 a n x n +1 Gi i: Xét hàm s f ( x) = a0 x + + + ... + ta có f(0)=f(1)=f(k)=0 2 3 n +1 Nên theo h qu 1 thì pt: f '( x) = a0 + a1x + a2 x 2 + ... + an x n = 0 có hai nghi m phân bi t x1,x2 ⇒ f '( x1 ) = f ' ( x2 ) = 0 ⇒ Pt f "( x) = a1 + 2a2 x + .... + nan x n −1 = 0 có nghi m Bài 4: Pt: a sin x + p 2b sinpx+q 2c sin qx = 0 (v i p,q là các s nguyên dương l ) có ít nh t bao nhiêu nghi m trên [0;2π ] ? Gi i: Xét pt: f(x)= asinx+bsinpx+csinqx=0 . f (0) = f (π ) = f (2π ) nên pt f '(x) = acosx + pb.cos px + qc.cos qx = 0 có 2 n0 x1, x2 : 0 < x1 < π < x2 < 2π π π Vì p,q là các s nguyên dương l nên ta có : f '( ) = 0 ⇒ f '( x1 ) = f '( x2 ) = f '( ) = 0 2 2 ⇒ pt f’’(x)= a sin x + p b sinpx+q c sin qx = 0 có 2 n0 y1, y2 : 2 2 π π Min{x1, }
CÁC CHUYÊN ð B I DƯ NG H C SINH GI I 3. ng d ng ñ/l Lagrang ñ ch ng minh B t ð ng Th c: f (a ) − f (b) Phương pháp:* ð c/m Bñt có d ng: m < < M ta xét hàm s y=f(x) th a a −b f (a ) − f (b) mãn ñi u ki n ñ/l Lagrang trên [a;b], khi ñó có c ∈ (a; b) : f '(c) = sau ñó ta a −b ch ng minh: m
CÁC CHUYÊN ð B I DƯ NG H C SINH GI I sin x 2cos 2 x + 1 Xét hàm s : f ( x) = 3 trên [e-1;e], ta có f '( x) = cos x 3 3 cos 4 x Áp d ng ñ/l Lagrang thì có s e-1

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.04: Bộ 290+ Đề Thi Vào Lớp 10 Năm 2020

290 tài liệu

513 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.