intTypePromotion=3

Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

Chia sẻ: Abcdef_6 Abcdef_6 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

0
344
lượt xem
83
download

Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề đạo hàm và ứng dụng', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

  1. Đại số và Giải tích 11 Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CẤP CAO Chủ đề: I- LÝ THUYẾT: y  f ( x) Cho hµm sè: (1) Gi¶ sö hµm sè y  f ( x) cã ®¹o hµm t¹i mäi x  a; b . Khi ®ã t­¬ng øng: f / :  a; b   R x  f / ( x) cho ta mét hµm sè míi. V× hµm sè nµy x©y dùng tõ hµm sè y  f ( x), hoµn toµn x¸c ®Þnh bëi hµm sè ®ã nªn ®­îc gäi lµ ®¹o hµm cña hµm sè y  f ( x). y  f / ( x) T­¬ng tù, nÕu hµm sè: (2) cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm x c; d  a; b th× ta lËp ®­îc ®¹o hµm cña (2) theo c¸ch trªn gäi lµ ®¹o hµm cÊp hai cña y  f ( x) vµ kÝ hiÖu lµ: y //  f // ( x). * TỔNG QUÁT: NÕu hµm sè y ( n-1)  f ( n1) ( x) cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm x  c; d  th× t­¬ng øng: f ( n ) :  c; d   R x  f ( n ) ( x) cho ta ®¹o hµm cña y ( n-1)  f ( n1) ( x), gäi lµ ®¹o hµm cÊp n cña hµm sè y  f ( x) vµ kÝ hiÖu lµ: y ( n )  f ( n ) ( x) Nh­ vËy: / y ( n )   f ( n1) ( x) n  4   II- THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH ĐẠO HÀM CẤP n CỦA HÀM SỐ: * Bước 1: TÝnh y / , y // , y /// , ... vµ tiÕn hµnh dù ®o¸n ®¹o hµm cÊp n dùa trªn logic. * Bước 2: Chøng minh dù ®o¸n b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc. III- MỘT SỐ KẾT QUẢ VÀ VÍ DỤ CẦN LƯU Ý: Bài tập 1: Chøng minh r»ng:  p  p (n) (n) a)  sin ax   a nsin ax  n  b)  cosax   a n cos ax  n      2 2       Giải: Ta có:  p /  sin ax  acosax  asin ax   (*) §óng víi n  1      2  p (k )   a k sin ax  k  Gi¶ sö (*) ®óng ®Õn n  k , tøc lµ:  sin ax      2  p ( k 1)   a k 1sin ax  (k  1)  Ta cÇn chøng minh (*) còng ®óng víi n  k  1, tøc lµ:  sin ax      2 / /  sin ax ( k )  /   a k sin ax  k p   a k cos ax  k p . ax  k p       ( k 1) Ta cã:  sin ax           2  2   2           
  2. Đại số và Giải tích 11 Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG       p p p p  a k 1cos ax  k   a k 1sin ax  k    a k 1sin ax  (k  1)            2  2 2  2  p (n)  cosax  a n cosax  n   Chøng minh t­¬ng tù, ta ®­îc: 2    Ví dụ áp dụng: TÝnh y ( n ) , biÕt y  sin 5 x.cos 2 x Giải: Ta có: 1 y  sin 5 x.cos 2 x   sin 7 x  sin 3 x  2 1 p      p  y ( n )  7 n sin 7 x  n   3n sin 3 x  n        2   2  2  Ví dụ áp dụng: Cho y  x 2 sin x. TÝnh y (25) Giải: ¸p dông c«ng thøc Lai-b¬-nit (Leibnitz). Quy ­íc: u (0)  u n (n)  Cn u ( nk ) .v( k )  u ( n)v  Cnu ( n1) .v /  ...  Cn 1u / .v( n1)  Cn u.v( n) k 1 n n  uv  k 0 (k )  x2   0 k  3 vµ chó ý r»ng: Ta ®­îc: 25.24 (25) y (25)   sin x  .x 2  (25) 2 (24) (23)   sin x  .x 2   sin x  .( x 2 ) /   sin x .( x 2 ) // .x  25 sin x    2  p  p  p     x 2 sin  x  25.   50 x sin  x  24.   600sin  x  23.            2  2  2   Suy ra: y (25)  x 2 600 cos x  50 x sin x Ví dụ áp dụng: Cho y  (1 x 2 ) cos x. TÝnh y (2 n ) Giải: Ta cã: (2 n (2 n2) (2 n ) 1) y (2 n )   cos x  (1 x 2 )  C2 n  cos x  1 (1 x 2 ) /  C2 n  cos x  2 (1 x 2 ) //  p  p 2n(2n 1)    (1 x 2 ) cos( x  np ) 4nx cos  x  (2n 1)  2. cos  x  (2n 2)     2    2   2 p   (1) n (1 x 2 ) cos x 24nx cos  ( x  np ) (1) n1 (4n 2 2n) cos x    2    (1) n (4n 2 2n  1 x 2 ) cos x (1) n 4nx sin x VËy: y (2 n )  (1) n (4n 2 2n  1 x 2 ) cos x 4nx sin x    Ví dụ áp dụng: Cho y  x  x  0 . TÝnh y (10) Giải: Ta cã:
  3. Đại số và Giải tích 11 Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG 1 y/  ; 2x  /    1 / 1  x  1    (1) 1 1 ;  //  y     x 2 x    22 x x  2      1 1.3 y ///  (1) 2 ; 23 x 2 x 3 1 3.5 y (4)  (1) ; 24 x3 x ... 1 1.3.5.7.9.11.13.15.17 y (10)  (1)9 ; 210 x9 x 1 17!! VËy: y (10)   ; ë ®©y 17!!  1.3.5.7.9.11.13.15.17 x  0 210 x9 x Ví dụ áp dụng: Cho y  sin x.sin 2 x.sin 3x. TÝnh y (10) Giải: H­íng dÉn: Ph©n tÝch thµnh tæng råi t×m ®¹o hµm dÇn tõng bËc. §¸p sè: y (10)  28 sin 2 x 218 sin 4 x 28.310 sin 6 x. Ví dụ áp dụng: Cho y  x.cos2 x. TÝnh y (10) Giải: ¸p dông c«ng thøc Lai-b¬-nit (Leibnitz). §¸p sè: y (10)  1024  x.cos2 x  5sin 2 x  . Bài tập 2: Chøng minh r»ng:  1 ( n ) n   (1) n . a .n !      n1  ax  b   ax  b Giải: Ta có: /   1   1 a.1! /  ax  b  (1) §óng (**) víi n  1     ax  b   2 2  ax  b  ax  b  1 ( k ) k   (1) k . a .k !  Gi¶ sö (**) ®óng víi n  k , tøc lµ:     k 1  ax  b   ax  b Ta cÇn chøng minh (**) còng ®óng víi n=k+1, tøc lµ chøng minh: ( k 1) k 1  .(k  1)! 1 k 1 a   (1) .    ax  b  k 2  ax  b ThËt vËy: / / /    1 ( k 1)  1 ( k )  a k .k !    1  (1) k .  (1) k a k .k !      ax  b   ax  b     k 1  k 1         ax  b    ax  b    
  4. Đại số và Giải tích 11 Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG  ax  b k 1  /   k   (1) k 1 a k .k ! (k  1).a. ax  b kk  (1) a .k !.(1). 2 k 2 2 k 2  ax  b  ax  b a k 1.(k  1)! k 1  (1) . (®.p.cm) k 2  ax  b 1 Ví dụ áp dụng: TÝnh y ( n ) , biÕt y  x(1 x) Giải: Ta có: 1 1 1 y  x(1 x) x 1 x   (1) n n ! (1) n n !(1) n n  (1)  1  (n)   n ! n1   Suy ra: y   x n1 (1 x) n1 (1 x) n1   x  5 x 3 Ví dụ áp dụng: Cho hµm sè: y  2 x 3 x  2 A B a) T×m A, B sao cho cã thÓ viÕt y d­íi d¹ng: y   x 1 x 2 b) Tõ ®ã, h·y tÝnh y ( n ) . Giải: Ta có: a) Sö dông ph­¬ng ph¸p ®ång nhÊt thøc, ta ®­îc: 5 x 3 A B   , x  1, x  2 x 2 3 x  2 x 1 x 2 5 x 3  A  x 2  B  x 1   5 x 3  x(A  B) (2A  B)   A  B  5 A  2 VËy ta cã hÖ sau sau ®Ó x¸c ®Þnh A, B:     2A  B  3 B  7     5 x 3 2 7   VËy: 2 x 1 x 2 x 3 x  2   2 2 7 n  7 (n) b) Theo c©u a, y   . Suy ra: y  (1) n !  n1  n1 x 1 x 2   x 1  x 2  Lưu ý: Trong toµn bé c¸c bµi gi¶i trªn, chóng t«i dµnh phÇn chøng minh b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p cho ®éc gi¶. IV- MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: TÝnh ®¹o hµm cÊp n cña c¸c hµm sè sau: a) y  sin 2 x c) y  x.sin 2 x b) y  sin x.cos4 x d) y  (1 x)cos4 x 2 x 1 2 x 1 sin x x e) y  2 f) y  g) y  2 h) y  2 x 3 x  x 2 x  x 2 x 1

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản