Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tích 11
Chủ đề: ĐẠO HÀM CẤP CAO
I- LÝ THUYẾT:
/
( )
( ) ; .
: ;
Cho hµm sè: (1)
Gi¶ sö hµm sè cã ®¹o hµm t¹i mäi Khi ®ã t¬ng øng:
y f x
y f x x a b
f a b R
/
/
( )
( ),
( ).
( )
cho ta mét hµm sè míi. V× hµm sè nµy x©y dùng tõ hµm sè hoµn toµn x¸c ®Þnh
bëi hµm sè ®ã nªn ®îc gäi lµ ®¹o hµm cña hµm sè
T¬ng tù, nÕu hµm sè: (2
x f x
y f x
y f x
y f x
// //
; ;
( ) ( ).
)
cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm th× ta lËp ®îc ®¹o hµm cña (2) theo c¸ch trªn
gäi lµ ®¹o hµm cÊp hai cña vµ kÝ hiÖu lµ:
x c d a b
y f x y f x
* TỔNG QUÁT:
( -1) ( 1)
( )
( )
( ) ;
: ;
( )
NÕu hµm sè cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm th× t¬ng øng:
cho ta ®¹o hµm cña
n n
n
n
y f x x c d
f c d R
x f x
( -1) ( 1) ( ), ( ) gäi lµ ®¹o hµm cÊp cña hµm sè vµ kÝ hiÖu lµ:
n n
y f x n y f x
( ) ( ) ( )
n n
y f x
Nh vËy:
/
( ) ( 1) ( ) 4
n n
y f x n
II- THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH ĐẠO HÀM CẤP n CỦA HÀM SỐ:
* Bước 1:
// ///
, , ,
/
TÝnh y ... vµ tiÕn hµnh dù ®o¸n ®¹o hµm cÊp n dùa trªn logic.y y
* Bước 2:
Chøng minh dù ®o¸n b»ng
ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc.
III- MỘT SỐ KẾT QUẢ VÀ VÍ DỤ CẦN LƯU Ý:
Bài tập 1:
Chøng minh r»ng:
( ) ( )
sin 2 2
a) sin b) cos cos
n n
n n
ax a ax n ax a ax n
p p
Giải: Ta có:
/
( )
( 1) 1
sin 1
2
sin 2
1 sin ( 1) 2
cos sin (*) §óng víi
Gi¶ sö (*) ®óng ®Õn , tøc lµ: sin
Ta cÇn chøng minh (*) còng ®óng víi , tøc lµ: sin
kk
kk
ax a ax a ax n
n k ax a ax k
n k ax a ax k
p
p
p
/ /
/
( 1) ( )
sin sin .
2 2 2
Ta cã: sin cos
k k k k
ax ax a ax k a ax k ax k
p p p
Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tích 11
1 1 1 ( 1)
2 2 2 2
cos sin sin
k k k
a ax k a ax k a ax k
p p p p
Chøng minh t¬ng tù, ta ®îc:
( )
2
cos cos
nn
ax a ax n p
Ví dụ áp dụng:
( ), sin5 .cos2TÝnh biÕt
n
y y x x
Giải: Ta có:
( )
1
sin 5 .cos 2 sin 7 sin 3
2
17 sin 7 3 sin 3
2 2 2
n n n
y x x x x
y x n x n
p p
Ví dụ áp dụng:
2 (25)
sin .
Cho TÝnh y x x y
Giải:
(0)
¸p dông c«ng thøc Lai-b¬-nit (Leibnitz). Quy íc: u u
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) / 1 / ( 1) ( )
0
. . ... . . n
nk n k k n n n n n n
n n n n
k
uv C u v u v C u v C u v C u v
( )
2
(25) (25) (24) (23)
(25) 2 2 2 2 / 2 //
2
0 3
25.24
sin . sin . sin . 25 sin .( ) sin .( )
2
sin 25. 50 sin 24. 600sin 23.
2 2 2
vµ chó ý r»ng:
Ta ®îc:
S
k
x k
y x x x x x x x x x x
x x x x x
p p p
(25) 2 600 cos 50 sin
uy ra: y x x x x
Ví dụ áp dụng:
2 (2 )
(1 )cos .Cho TÝnh n
y x x y
Giải:
Ta cã:
(2 ) (2 1) (2 2)
(2 ) 2 1 2 / 2 2 //
2 2
2
2
cos (1 ) cos (1 ) cos (1 )
2 (2 1)
(1 )cos( ) 4 cos (2 1) 2. cos (2 2)
2 2 2
( 1) (1 )cos 24 cos ( )
2
n n n
n
n n
n
y x x C x x C x x
n n
x x n nx x n x n
x x nx x n
p p
p
pp
1 2
2 2
(2 ) 2 2
( 1) (4 2 )cos
( 1) (4 2 1 )cos ( 1) 4 sin
( 1) (4 2 1 )cos 4 sin
VËy:
n
n n
n n
n n x
n n x x nx x
y n n x x nx x
Ví dụ áp dụng:
(10)
0 .Cho TÝnh y x x y
Giải:
Ta cã:
Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tích 11
/
/
/
//
2
/// 2
3 2
(4) 3
4 3
(10) 9
10 9
(10)
10 9
1;
2
1 1 1 1 1
( 1) ;
2 2 2
1 1.3
( 1) ;
2
1 3.5
( 1) ;
2
...
1 1.3.5.7.9.11.13.15.17
( 1) ;
2
1 17!!
2
VËy:
yx
x
yx
x x x
yx x
yx x
yx x
yx
17!! 1.3.5.7.9.11.13.15.17 0 ; ë ®©y x
x
Ví dụ áp dụng:
(10)
sin .sin 2 .sin 3 .Cho TÝnh y x x x y
Giải:
Híng dÉn: Ph©n tÝch thµnh tæng råi t×m ®¹o hµm dÇn tõng bËc.
(10) 8 18 8 10
2 sin 2 2 sin 4 2 .3 sin 6 .
§¸p sè: y x x x
Ví dụ áp dụng:
(10)
. 2 .
Cho cos TÝnh y x x y
Giải:
¸p dông c«ng thøc Lai-b¬-nit (Leibnitz).
(10) 1024 . 2 5sin 2 .§¸p sè: cosy x x x
Bài tập 2:
Chøng minh r»ng:
( )
1
1 . !
( 1) .
nn
n
n
a n
ax b ax b
Giải: Ta có:
//
2 2
( )
1
1 1 .1!
( 1) 1
1 . !
, ( 1) .
§óng (**) víi
Gi¶ sö (**) ®óng víi tøc lµ:
Ta cÇn chøng minh (**) còng ®óng víi n=k+1, tøc lµ chøng m
kk
k
k
a
ax b n
ax b ax b ax b
a k
n k ax b ax b
( 1) 1
1
2
1 .( 1)!
( 1) .
inh:
kk
k
k
a k
ax b ax b
/ /
/
( 1) ( )
1 1
1 1 . ! 1
( 1) . ( 1) . !
ThËt vËy:
k k k
k k k
k k
a k a k
ax b ax b ax b ax b
Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tích 11
/
1
1
2 2 2 2
1
1
2
( 1). .
( 1) . !.( 1). ( 1) . !
.( 1)!
( 1) .
(®.p.cm)
kk
k k k k
k k
k
k
k
ax b k a ax b
a k a k
ax b ax b
a k
ax b
Ví dụ áp dụng:
( ) 1
,(1 )
TÝnh biÕt
n
y y x x
Giải: Ta có:
( )
1 1 1 1
1 1 1
(1 ) 1
( 1) ! ( 1) !( 1) ( 1) 1
!
(1 ) (1 )
Suy ra:
n n n n
n
n n n n
yx x x x
n n
y n
x x x x
Ví dụ áp dụng:
2
5 3
3 2
Cho hµm sè: x
yx x
( )
1 2
.
a) T×m A, B sao cho cã thÓ viÕt díi d¹ng:
b) Tõ ®ã, h·y tÝnh n
A B
y y x x
y
Giải: Ta có:
2
5 3 , 1, 2
1 2
3 2
5 3 2 1
5 3 (
a) Sö dông ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt thøc, ta ®îc:
A B
A B
A B) (2A B)
xx x
x x
x x
x x x
x x
2
( )
1 1
5
2 3
5 3 2
1 2
3 2
2 2 7
( 1) !
1 2 1 2
A B A 2
VËy ta cã hÖ sau sau ®Ó x¸c ®Þnh A, B: A B B 7
7
VËy:
7
b) Theo c©u a, . Suy ra: n n
n n
x
x x
x x
y y n
x x x x
Lưu ý:
Trong toµn bé c¸c bµi gi¶i trªn, chóng t«i dµnh phÇn chøng minh b»ng ph¬ng ph¸p
quy n¹p cho ®éc gi¶.
IV- MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
2 2
2
sin sin . 4 ) .sin (1 ) 4
2 1 2 1
3
2
TÝnh ®¹o hµm cÊp cña c¸c hµm sè sau:
a) b) cos c d) cos
e) f) g)
n
y x y x x y x x y x x
x x
y y y
x
x x
2 2
sin
2 1
h)
x x
y
x x x
