2012
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi
Chuyên đề: HÀM SỐ
A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT
1. Khảo sát tính biến thiên, cực đại cực tiểu
- Tìm miền xác định - Tính đạo hàm cấp 1 - Xét dấu đạo hàm cấp 1 rồi lập bảng biến thiên rồi suy ra kết luận. 2. Khảo sát tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số
- Tính đạo hàm cấp 2 - Lập bảng xét dấu của đạo hàm cấp 2 rồi suy ra kết quả. B. MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài số 1. Xác định tính biến thiên của hàm số; khoảng lồi lõm, điểm uốn của đồ thị
2
1) .. 2) .. (a, b> 0)
y
y
=
=
x 4 2
12 − x
12 2 x
x
+
3
3
x
y
y
5)
6)
=
=
x
x (
+
2 1)
x + 1
2
x 4(
7) y =
x3 +
8) y=
- 1) 2
16 3
x
1 x
2
y
x
9) y =
10)
16 = +
2
x 4( - 1) 2 x
x
2
2
y
y
11)
12)
=
=
x 5 2 x
+ +
2 + 1 +
x 5 - 20x 2 x - 4x
21 5
2
2 3
y
y
x
.
14)
13) .
2 x x=
( -4)
=
+
- 2 2
x
3
x
x
15) y =
16) y =
>
a (
0)
2
2
2
x
+
a 3
x + 1
1
17) y =
18) y =
3
5 4 x + 3
5
x + 1
3
19) y =
20) y =
2 − x
8 3 x
x 2 x − ( 1)
1
3) 4)
2012
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi
b
y
a x
Bài số 2. Tìm a và b sao cho
có (1,4) là điểm uốn.
=
+
x
C. MỘT SỐ ĐỀ THI GẦN ĐÂY
y
=
x − 1 2 x + 1
1(1997). a) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị (C) của hàm số sau:
b) Chứng tỏ rằng các điểm uốn của (C) thẳng hang.
y
2 x = −
ln(1
+
x 2 )
2
x
. 2(1999) a) Tìm cực trị của hàm số:
y
=
2
x
−
1
2
x
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: .
y
=
f x ( )
=
2
x
1
+
3(2000) Cho hàm số: có đồ thị ((cid:2)). Tìm các tiệm cận, khoảng lồi, lõm và
điểm uốn của ((cid:2)).
y
=
f x ( )
1 = − 1
4 + x x
4(2001) Cho hàm số có đồ thị ((cid:2)). Tìm các tiệm cận, cực trị, khoảng lồi,
lõm, điểm uốn của ((cid:2)).
y
=
x
e
1 −
1
3
5(2002) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: .
y
=
;
a (
>
0)
a
x −
x (
)
6(2003) Khảo sát cực trị của hàm số: .
2
y
xe
= + 1
.x
7(2004) Khảo sát sự biến thiên, tìm tiệm cận, cực trị, khoảng lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số:
y
=
x x 2 (
+
3 4) .
8(2006) Khảo sát chiều biến thiên, tìm cực trị, khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số:
−
x
1 + 1
y
e
.
=
f x = ( ) 2
9(2007) Khảo sát chiều biến thiên, tìm tiệm cận, khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số
2012
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi
2
x
1
y
=
.
x + + 2 2 x x − 2 2
10(2008) Khảo sát chiều biến thiên, tìm cực trị của hàm số:
1
+
x 3
y
=
.
2
x
4
+
11(2009) Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số
y
=
f x ( )
=
x
x + 2 1 2 x + +
1
12(2010-I) Chứng minh rằng đồ thị hàm số:
có ba điểm uốn thẳng hang. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm uốn đó.
x
y
=
.
2
x
+
1
−
21 x 2
13(2010-II) Khảo sát chiều biến thiên, tìm cực trị, khoảng lồi lõm, các điểm uốn của đồ thị hàm số:
y
e
=
.
1 π
2
14(2011-I) Xét tính lồi, lõm và tìm các điểm uốn của đường cong:
15.(2011-II) Tìm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, khoảng lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số
sau:
2
=
(cid:5) = (cid:7)(cid:8)/(cid:10) − 5(cid:7)(cid:13)/(cid:10).
y
x
x
− 1 2
16. (2012-I) Khảo sát chiều biến thiên, tìm cực trị của hàm số:
3
2012
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi
Chuyên đề: CỰC TRN HÀM NHIỀU BIẾN
A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT
1. Một số khái niệm
z
)
(
=
f x y ( , )
P x y . , 0
0
0
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Định nghĩa 1: Cho hàm số xác định trong lân cận của
P x y trừ đi điểm đó,
f x y ( , )
<
,
)
(
)
,
f x y ( 0
0
0
0
0
a) Nếu với mọi ( , )x y trong lân cận của
z
f x y ( , )
=
,
)
(
)
=
f x y ( , )
f x y ( 0
0
P x y và , 0
0
0
đồng thời thì ta nói rằng hàm số đạt cực đại tại
)
,
=
,
)
z x y gọi là điểm cực đại của hàm số, 0 (
0
0
f x y ( 0
0
gọi là giá trị cực đại của hàm số đó.
P x y trừ đi điểm đó,
f x y ( , )
>
,
)
(
)
,
f x y ( 0
0
0
0
0
b) Nếu với mọi ( , )x y trong lân cận của
z
f x y ( , )
=
,
)
(
)
=
f x y ( , )
f x y ( 0
0
P x y và , 0
0
0
đồng thời thì ta nói rằng hàm số đạt cực tiểu tại
)
,
=
,
)
z x y gọi là điểm cực tiểu của hàm số, 0 (
0
0
f x y ( 0
0
gọi là giá trị cực tiểu của hàm số đó.
x y thì ta gọi chung đó là điểm cực trị của hàm số và (
)
,
0
0
Nếu hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại
giá trị của hàm số lúc này gọi là cực trị của hàm số đó.
2. Điều kiện cần cực trị của hàm hai biến.
z
x y , và tại đó hàm số có (
)
,
=
f x y ( , )
0
0
,
)
=
0
0
(cid:1) Định lý: Nếu hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm
(
,
)
=
0
f x y ( x 0 f x y y 0
0
4
đạo hàm cấp một thì .
2012
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi
f x y có đạo hàm đến cấp hai liên tục trong một lân cận của điểm tới hạn
3. Điều kiện đủ cực trị của hàm hai biến.
)
0
0
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Định lý: Nếu ( , ) ( ,x y và nếu số D (gọi là biệt số) xác định bởi:
D f =
yy
xx
f xy
(2)
)
( ) x y f , 0
0
( x y , 0
0
( x y , 0
0
−
) 2
) ,x y là 0
0
thì (
0
,
xxf
( ) x y < ;
0
0
i) Điểm cực đại nếu D>0 và
0
,
xxf
( ) x y > ;
0
0
ii) Điểm cực tiểu nếu D>0 và
iii) Điểm yên ngựa nếu D<0.
Hơn nữa, nếu D=0 thì chưa thể đưa ra kết luận, và bất kì khả năng nào từ (i) đến iii) đều có thể xảy ra.
z
=
f x y ( , )
4. Các bước đi tìm cực trị. Xét hàm số
,
)
=
0
0
(
,
)
=
0
f x y ( x 0 f x y y 0
0
Bước 1: Tính các ĐHR rồi ìm các điểm tời hạn (cid:14)((cid:7)(cid:15); (cid:5)(cid:15)) bằng cách giải hệ phương trình
Bước 2: Tính các ĐHR cấp 2, tại điểm tới hạn
A f =
,
,
=
,
,
=
f xy
f yy
xx
Đặt , khi đó ta có bảng tổng kết sau:
)
( ) x y B 0
0
( ) x y C 0
0
( x y , 0
0
A
D AC B
2 −
=
Kết luận về (
) ,x y 0
0
> 0
< 0
Cực đại
> 0
> 0
Cực tiểu
< 0
Điểm yên ngựa
= 0
Chưa có kết luận
5
Bước 3: Kết luận điểm cực đại, cực tiểu, GTCĐ, GTCT (nếu có).
2012
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi
B. MỘT SỐ BÀI TẬP
2
+
+
+
=
−
Tìm các giá trị cực đại và cực tiểu địa phương và các điểm yên ngựa của các hàm số sau.
x 3
xy 2
x 2
y 2
y x
y
− + x
y
f x y ( ,
= ) 2
5
f x y ( ,
)
6
+
x
y
=
=
1. 2.
xy
− − x
y
f x y ( ,
)
f x y ( ,
)
(1
)
− x y 2 2 8 xy
=
=
+
+
4. 3.
x 2
y 2
e x
y
f x y ( ,
)
f x y ( ,
)
cos
1 x y 2 2
=
−
−
=
6. 5.
x
x 2
y
y 2
x
y
f x y ( ,
)
(2
)(2
)
f x y ( ,
)
sin
=
−
+
+
−
+
=
7. 8.
x 2
xy
y 2
x
y
f x y ( ,
)
f x y ( ,
)
9
6
10
2
x ( x 2
+ + y + y
1) 2 + 1
2
2
y 2
−
−
=
+
9. 10.
xy
x y 2
xy
x
f x y ( ,
= ) 3
f x y ( ,
)
(
y e )
11. 12.
C. MỘT SỐ ĐỀ THI GẦN ĐÂY
z
=
z x y ( , )
=
2 x y 3
3 y + −
x 12
−
y 15 .
1(1999). Tìm cực trị của hàm hai biến sau:
4
4
2
z
y
x
=
f x y ( , )
= + −
x 2
+
xy 4
−
2 y 2 ,
2(2000). Tìm cực trị của hàm hai biến
trên miền phẳng (cid:7)(cid:17)(cid:5) bỏ đi điểm (cid:17)(0,0).
4
4
u
y
y
=
f x y ( , )
x = + (
4 )
−
x (
+
).
3(2001). Tìm cực trị của hàm hai biến
4
z
x
y
=
f x y ( , )
4 y = + − +
x (
3 ) .
3
2
2
4(2002). Tìm cực trị của hàm hai biến sau
z
xy
=
x 2
−
+
x 5
2 y + .
5(2003). Tìm cực trị của hàm hai biến sau:
6
6(2004). Tìm cực trị của hàm hai biến sau
2012
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi
z
xy
y
=
z x y ( , )
=
+
47
x − −
.
(
)
1 2
y 4
x + 3
xy
z
=
z x y ( , )
=
.
2 2 x y
y
+
x 8(
+
)
7(2006). Tìm cực trị của hàm hai biến sau:
4
z
=
z x y ( , )
=
x 16
4 y + −
xy 8
+ 1.
8(2007). Tìm cực trị của hàm hai biến sau
2
z
y
=
z x y ( , )
=
x e x (
+
).
9(2008). Tìm cực trị của hàm hai biến sau
z
y
x
xe
= + −
.y
10(2009). Tìm cực trị của hàm hai biến sau
3
3
z
y
x
=
= − +
xy 3 .
( z x y ,
)
11(2010-I). Tìm cực trị của hàm hai biến sau
4
z
=
z x y ( , )
=
x 16
4 y + −
xy 8
+ 1.
12(2010-II). Tìm cực trị của hàm hai biến sau
z
xy
y
=
z x y ( , )
=
+
47
x − −
13(2011-I). Tìm cực trị của hàm hai biến sau
(
)
1 2
y 4
x + 3
.
2
2
y
z x y ( , )
1
x = − −
14(2011-II). Tìm cực trị tự do của hàm hai biến:
3
2
x
xy
z x y ( , )
= − −
x 4
.
7
15(2012-I). Tìm cực trị tự do của hàm hai biến:
2012
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi
Chuyên đề: ĐẠO HÀM. ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG VÀ GRADIENT
A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT
I. Đạo hàm cấp một, cấp cao của hàm số nhiều biến, đạo hàm hàm !n, hàm ngược
II. Đạo hàm theo hướng.
1. Gradient của một hàm số
Gradient của hàm số ..là một vec tơ, ký hiệu là grad f , được xác định bởi :
grad f
=
i
+
j
+
k
f ∂ x ∂
f ∂ y ∂
f ∂ z ∂
. (1)
2. Đạo hàm theo hướng
w
P
=
f x y z ( , , )
=
x y z ( , , )
x
R
z y = + + k j
i
Cho hàm số xác định trong một miền D. Xét điểm và :
=
grad f (
) .uP
df ds
là véc tơ chỉ vị trí của P, một hướng xác định bởi véc tơ v. Khi đó đạo hàm theo hướng củahàm f x y z tại điểm (cid:20) theo hướng của véc tơ v được xác định bởi công thức: ( , , )
u
v = ; v
θ
trong đó u là véc tơ đơn vị cùng hướng với véc tơ v, tức là
=
grad f
cos
P
df ds
hay là:
trong đó θ là góc giữa grad f và u.
3. Một số tính chất:
df ds
Tính chất 1: Đạo hàm theo hướng theo một hướng nào đó cho trước là tích vô hướng của grad f
và véc tơ đơn vị theo hướng đó
Tính chất 2: Hướng của véc tơ grad f trùng với hướng mà theo hướng đó hàm f tăng nhanh nhất.
8
Tính chất 3 : Độ dài của véc tơ grad f là tốc độ tăng lớn nhất của f.
