ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
BÀI TẬP CHƯƠNG II. TÍNH TOÁN TRÊN MA TRẬN
1. Cho các ma trận
và
.
2 1 0 0 1
A B
t
.
a. Tính các ma trận
(
,
)
2
b. Tính
0 1 1 1 2 3 ⎡ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1 − ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎦ 1 2 1 0 − t 1 ⎡ ⎢ 1 = −⎢ ⎢ 1 −⎣ t AB B A B A A− ,
x
2
x
=
− + .
.
2. Cho
f A với ) ( cos α sin α
Aα sin − cos
f x ( ) α ⎤ ⎥ α ⎦
a. Chứng minh
.
, (
A
)n
=
=
A A A α β α β α
+
A n α
2005
n
3
1
b. Tính
,
−
⎡ ⎢ ⎣
với:
3. Tìm ma trận
)
⎤ ⎥ 3 ⎥ ⎦ (cid:92) sao cho AX 2(
b.
a.
A
A
⎡ ⎢ 1 − ⎢ ⎣ X M∈ 1 1 ⎤ ⎥ 0 1 ⎦
⎡ = ⎢ ⎣
1 1 ⎤ ⎥ 1 1 ⎦ XA= 2 1 ⎤ ⎥ 1 1 − − ⎦
⎡ = ⎢ ⎣
2
4. Tìm ma trận
.
⎡ = ⎢ ⎣
X
X
2
)
−
X M∈
2(
1 0 −⎡ = ⎢ 6 3 ⎣
⎤ ⎥ ⎦
5. Cho ma trận
.
A
a c
b d
⎡ = ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
2
.
f x ( )
(
)
a d x ad bc +
+
−
a. Chứng minh A là nghiệm của k
b. Chứng minh nếu
x − = thì 2
(cid:96)
A
0
A = 0
k ∃ ∈
=
2
.
6. Giả sử ma trận
(cid:92) thỏa
(cid:92)
(
)
X M
(
) (
X A )
0
∀ ∈
=
n
A M∈ Chứng minh
n 0A = .
. Chứng minh :
,
(
)
(cid:92) sao cho AB BA=
A B M∈
n
7. Cho hai ma trận 2
2
a.
A
B
(
−
=
+
A B A B )( − 2
) 2
2
(cid:92) sao cho
2
A
(
)
AB B +
+
A B +
=
b. 8. Tính:
n
n
n
b.
c.
a.
1 1 ⎡ ⎢ 1 3 −⎣
⎤ ⎥ ⎦
1 1 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 1 1 ⎦ ⎣
0 0 0
0 1 1 0 − 0 0
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ĐỊNH THỨC
9. Tính các định thức:
a.
,
13547 13647 28423 28523
1 2 3 1 −
,
,
b.
i
1 2 − 0
2 − 0 3
427 327 543 443 342 721 621
0 2 1 −
246 1014 −
c.
,
i i 1 + 1 0 0 1 1 i − 1 −
2
2 1 2 1 − 4 3 − 3 4 4 3 4 3 − 1 2 − 1 2 − − 3 0 1 1 1 3 0 1 1 1 3 0 0 1 1 3
d.
,
1 1 1
với ε là căn bậc 3 khác 1 của đơn vị.
10. Không khai triển định thức, hãy tìm hệ số của 4x và 2x trong đa thức
.
1 1 ε ε 2 ε 1 2 ε ε 2 ε 2 1 1 ε ε ε ε
( ) f x =
11. Biết 1020 là bội của 17. Không khai triển định thức, hãy chứng minh
là bội của 17.
x 2 1 3 1 x 1 x 1 2 x 1 1 2 1 − 1 x
a.
0 2 0 1 4 5 0 1 5 5 2 0 4 4 5 0
2 =
12. Chứng minh: b 1 b 2 b 3
+ + + + + + + + + a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2
2
2
2
2
2
2
2
( 1) ( 2) ( 3) a a a a + + +
b.
2
2
2
2
2
2
2
2
b b ( 1) b ( 2) b ( 3) + + + 0 = ( 1) ( 2) ( 3) c c c c + + +
13. Tính định thức cấp tổng quát:
(cid:34)
2
2
2
2
1
(cid:34) (cid:34)
a.
2 2 (cid:35)
2 2 (cid:35)
2 3 (cid:35)
2 2 (cid:35)
2 2 (cid:35)
n
1
(cid:37) (cid:34) (cid:34)
2 n
2 2
2 2
− 2
2 2
1 1 1
n n n
b.
2 3 2 (cid:35) 2 2
1
1 1 1 (cid:35) 1 1
(cid:34) 3 − (cid:34) 3 − (cid:34) 5 − (cid:35) (cid:37) (cid:35) (cid:34) 3 2 3 n − (cid:34) 1 2 3 n −
n n n (cid:35) n n −
c.
x a 2 x (cid:35) x x
(cid:34) x x (cid:34) x x (cid:34) x a 3 (cid:35) (cid:37) (cid:35) (cid:34) x (cid:34) x
a 1n − x
a 1 x x (cid:35) x x
x x x (cid:35) x a n
(cấp n)
d.
x z z (cid:35) z z
y x z (cid:35) z z
(cid:34) y y (cid:34) y y (cid:34) x y (cid:35) (cid:37) (cid:35) (cid:34) x z (cid:34) z z
y y y (cid:35) y x
14. Giải phương trình:
( 1) ( 2) ( 3) d d d d + + +
2
3
a.
x x 1 2 1 + x − 2 x 1 0 0 = = b. x 0 0 x 1 − x 5 1 1 1 1 2 1 3 x x 1 4 9 x 1 8 27 x 0 2 − 100 x 0 0 1 +
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
1 x
c.
2 x 0 =
n x
(cid:34) (cid:34) (cid:34) (cid:37) (cid:34) (cid:34) 1 1 1 (cid:35) 1 1 1 − 1 (cid:35) 1 1 1 1 − (cid:35) 1 1 1 1 1 (cid:35) 1 − − 1 1 1 1 (cid:35) 1 n x −
HẠNG MA TRẬN – MA TRẬN KHẢ NGHỊCH
b.
a.
5 4 3 − 6
2 6 4 − 4
3 5 1 7
1 3 3 2 3 5 5 1
2 3 0 4
5 4 7 1
− − − −
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
c.
d.
e.
1 a 1 2 − 1 10
1 2 − 5 a 6 1 −
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
3 1 1 4 4 10 1 a 1 7 17 3 2 2 4 3
3 2 2 2 5 2 8
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
f.
1 1 1 m 1 1 1 m 1 1 1 m 1 1 1 m
15. Tìm hạng của ma trận: 3 4 1 − ⎡ ⎢ 3 0 1 ⎢ 2 3 5 − − ⎢ 2 5 3 −⎣ 2 0 ⎡ ⎢ 1 − ⎢ 3 − ⎢ 5 − ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1 − ⎤ ⎥ 3 − ⎥ 4 − ⎥ 5 − ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
16. Cho ma trận 3 2 1 0
m
3 3
. Tìm m sao cho
m − A
2 2
m
2 1 5 3
m m − 3 m
⎡ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
a.
rankA rank =
⎤ ⎥ ⎥ 3 ⎥ ⎥+ 7 ⎦ 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 2 3 4 1 1 1 1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
b.
rankA rank =
1 0 0 1 4 0 1 0 2 5 4 1 0 5 2 0 1 6 3 3 14 32 6 32 77
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
c.
rankA rank =
1
a
1
a.
(cấp n)
a
1
a
a a (cid:35) a +
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦
b.
(cấp 2n)
a 0 (cid:35) 0 b
b 0 (cid:35) 0 a
(cid:34) a a (cid:34) a + (cid:35) (cid:37) (cid:35) (cid:34) a + (cid:34) a a (cid:34) 0 0 (cid:34) b a (cid:35) (cid:37) (cid:35) (cid:34) b a (cid:34) 0 0
17. Tìm hạng của ma trận: a +⎡ ⎢ a ⎢ (cid:35) ⎢ a ⎢ a ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
18. Tìm ma trận đảo của:
a.
b.
c.
2 1 ⎡ ⎢ 2 2 −⎣
⎤ ⎥ ⎦
1 0 3 2 1 1 3 2 2
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
2 0 0 ⎤ ⎥ 1 1 0 ⎥ 1 2 1 − − ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
d.
e.
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
2 1 0 0 3 2 0 0 1 1 3 4 1 2 3 2
−
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
a
1
b.
a.
1 1 0 1 (cid:35) 0 0
a
4 10 1 0 ⎡ ⎢ 4 8 18 7 ⎢ 10 18 40 17 ⎢ 7 17 3 1 ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎦
19. Tìm ma trận đảo của ma trận cấp n: (cid:34) a 1 1 +⎡ ⎤ ⎥ ⎢ (cid:34) 1 1 ⎥ ⎢ (cid:35) (cid:35) (cid:37) (cid:35) ⎥ ⎢ (cid:34) 1 1 ⎣ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
(cid:34) 1 1 (cid:34) 1 + (cid:35) (cid:37) (cid:35) (cid:34) 1 +
