Tr
ườ
ng Đ i h c Bách khoa tp H Chí Minh ứ
ụ
ạ ọ ồ B môn Toán ng d ng ộ -------------------------------------------------------------------------------------
C höông 1: M a traän
• G iaûng vieân: Ts. Ñ aëng Vaên Vinh (9/2010)
w w w .tanbachkhoa.edu.vn
N O Ä I D U N G
I. Ñònh nghóa ma traän vaø ví duï
II. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
III. Caùc pheùp toaùn ñoái vôùi ma traän
IV. Haïng cuûa ma traän
V. Ma traän nghòch ñaûo
Sách tham kh o:ả
1/ David C. Lay. Linear algebra and its applications.
2/ Howard A. Elementary linear algebra, ninth edition
Gi s m t công ty kinh doanh 3 m t hàng: áo, qu n, kính. ả ử ộ ặ ầ
Công ty này có hai c a hàng A và B. ử
Gi ng hàng bán đ c trong 1 tháng là: s s l ả ử ố ượ ượ
C s A: 100 áo, 120 qu n, 300 kính. ơ ở ầ
C s B: 125 áo, 100 qu n, 250 kính. ơ ở ầ
A B
S p x p d li u ắ ế ữ ệ d ng ở ạ b ng: ả áo 100 125 qu nầ 120 100 kính 300 250
Vi t g n h n: ế ọ ơ
ơ ả ệ
ụ I. Các khái ni m c b n và ví d .
Đ nh nghĩa ma tr n ậ ị
Ma tr n c m ậ ở xn là b ng s (th c ho c ph c) hình ch nh t có m ặ ự ứ ử ả ậ ố
hàng và n c t . ộ
C t jộ
ậ
...
...
ø Ø
œ Œ
a 1 j
a 1 n
=
ở xn Ma tr n A c m a 11 œ Œ
...
...
A
œ Œ Hàng i
a 1 i
a ij
a in
œ Œ
œ Œ
a
...
a
...
a
1 m
mj
mn
œ Œ ß º
ơ ả ệ
ụ I. Các khái ni m c b n và ví d .
Ví d 1.ụ
(cid:246) (cid:230)
=A
(cid:247) (cid:231)
143 32502
ł Ł ·
Đây là ma tr n th c c 2x3. ậ ự ở
ậ
=
=
=
=
=
;3
;4
;1
a
;2
;0
a
5
a 11
a 12
a 13
21
a 22
23
Ma tr n A có 2 hàng và 3 c t. ộ = c a ầ ử ủ
+
Ph n t A: Ví d 2ụ
1
i
2
=
(cid:246) (cid:230)
A
(cid:247) (cid:231)
3
i
i
22
- ł Ł ·
ơ ả ụ ệ
I. Các khái ni m c b n và ví d . ---------------------------------------------------------
(
Ma tr n A có m hàng và n c t th ng đ ộ ườ ượ c ký hi u b i ệ ở
) nmija
ậ = A ·
ng K đ c ký ợ ấ ả ậ ở xn trên tr ườ ượ
T p h p t hi u là M t c các ma tr n c m mxn[K] ậ ệ
ị
c g i là ma tr n ầ ử ượ ậ ọ
ij = 0 v i m i i và j). Đ nh nghĩa ma tr n không ậ Ma tr n có t t c các ph n t ấ ả ậ không, ký hi u 0, (a ệ là không đ ớ ọ
000
=
(cid:246) (cid:230)
A
(cid:247) (cid:231)
000
ł Ł
I. C aùc khaùi nieäm cô baûn vaø ví duï
bên trái ầ ộ ể ừ
ầ ử khác không đ u tiên c a m t hàng k t Ph n t c s đ ph n t ủ ầ ử ơ ở c a hàng đó. ủ c g i là ượ ọ
Đ nh nghĩa ma tr n d ng b c thang ậ ạ ậ ị
1. Hàng không có ph n t c s (n u t n t i) thì n m d i ầ ử ơ ở ế ồ ạ ằ ướ
cùng 2. Ph n t i n m bên ph i (không ả
cùng c t) so v i ph n t ướ ằ c s c a hàng trên. c s c a hàng d ầ ử ơ ở ủ ớ ộ ầ ử ơ ở ủ
ơ ả ệ I. Các khái ni m c b n và ví d ụ.
Ví dụ
012
3
2
- (cid:246) (cid:230)
700
2
6
(cid:247) (cid:231)
=A
(cid:247) (cid:231)
(cid:247) (cid:231) - Không là ma tr n ậ b c thang ậ
(cid:247) (cid:231)
140 000
2 0
5 540
ł Ł ·
112
2
- (cid:246) (cid:230)
=
B
000
3
(cid:247) (cid:231)
(cid:247) (cid:231) Không là ma tr n ậ b c thang ậ
(cid:247) (cid:231)
000
5
ł Ł
ệ ụ ơ ả .
I. Các khái ni m và ví d c b n Ví dụ
031
2
2
- (cid:246) (cid:230)
(cid:247) (cid:231)
700
1
4
ậ ạ ậ
=A
(cid:247) (cid:231) Là ma tr n d ng b c thang
(cid:247) (cid:231) -
(cid:247) (cid:231)
000 000
2 0
5 540
ł Ł ·
- (cid:246) (cid:230)
(cid:247) (cid:231)
=
B
ạ
(cid:247) (cid:231) Là ma tr n d ng ậ b c thang ậ
021 100 000
2 3 7
(cid:247) (cid:231)
ł Ł
ơ ả ụ ệ
I. Các khái ni m c b n và ví d ----------------------------------------------------------
(
(
ị
T A
= ể ị ủ ở Xm · ·
) a mnij ộ
Đ nh nghĩa ma tr n chuy n v ể ị ) nmija Chuy n v c a là ma tr n c n thu đ ằ = ậ A b ng cách chuy n hàng thành c t. ể ậ A c t ượ ừ
Ví dụ
(cid:246) (cid:230) 2 4 - (cid:247) (cid:231) (cid:246) (cid:230) 2 31 (cid:247) (cid:231) =A -=TA 01 (cid:247) (cid:231)
329
239
ł Ł 4 0 (cid:247) (cid:231) · 3 ł Ł ·
I. Các khái ni m c b n và ví d . ụ ệ
ơ ả ----------------------------------------------------------
ậ
ậ ằ ằ
Đ nh nghĩa ma tr n vuông ị N u s hàng và c t c a ma tr n A b ng nhau và b ng n, thì A ế ố đ ượ ọ ộ ủ c g i là ma tr n vuông c p n. ậ ấ
- (cid:246) (cid:230) 2 (cid:247) (cid:231) =A
ł Ł 3 · 1 222
c ký ậ ấ ườ ng s K đ ố ượ
T p h p các ma tr n vuông c p n trên tr ợ ậ hi u b i ệ ở [K] nM
I. Các khái ni m c b n và ví d . ụ ệ
ơ ả ----------------------------------------------------------
đ ng chéo chính c a ma ầ ử 11, a22,…,ann t o nên ạ ườ ủ
Các ph n t a tr n vuông A. ậ
2
3 1
1
- (cid:230) (cid:246)
3
4 0 5
(cid:231) (cid:247)
(cid:231) (cid:247)
2 1 3 7
- (cid:231) (cid:247)
2
1 6 8
(cid:231) (cid:247) - Ł ł
I. Các khái ni m c b n và ví d . ụ ệ
ơ ả ----------------------------------------------------------
=
(
a ượ c g i là ma tr n tam giác trên ậ ọ ·
)ij n n
ậ 0, " > i j - (cid:246) (cid:230) 1 2 3 (cid:247) (cid:231) Đ nh nghĩa ma tr n tam giác trên ậ ị A Ma tr n vuông đ = n uế a ij = A 0 3 6 (cid:247) (cid:231)
(cid:247) (cid:231) - 0 0 2 ł Ł
Đ nh nghĩa ma tr n tam giác d
(
i i ướ ượ ọ c g i là ma tr n tam giác d ậ ướ a ·
)ij n n
0, = = j (cid:230) (cid:246) 2 0 0
ậ ị Ma tr n vuông đ ậ A " < n uế i a ij (cid:231) (cid:247) = A 4 1 0 (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) - 5 7 2 Ł ł
ệ ơ ả ụ
ậ ị
n u các ph n t c g i là n m ế ậ ầ ử ằ
ij = 0, i ≠ j). I. Các khái ni m c b n và ví d . --------------------------------------------------------------- Đ nh nghĩa ma tr n chéo Ma tr n vuông A đ ậ ngoài đ ườ ượ ọ ma tr n chéo ng chéo đ u b ng không, có nghĩa là (a ề ằ
(cid:246) (cid:230) 02 0 (cid:247) (cid:231)
= D 30 0 (cid:247) (cid:231)
(cid:247) (cid:231) - 00 2 ł Ł
ị ơ
đ c g i ậ ng chéo đ u b ng 1 đ ề ượ ọ
ij = 0, i ≠ j; và aii = 1 v i m i i). Đ nh nghĩa ma tr n đ n v ị ậ Ma tr n chéo v i các ph n t ầ ử ườ ớ ị, t c là (a là ma tr n đ n v ậ ứ ơ ọ ằ ớ
(cid:246) (cid:230) 001 (cid:247) (cid:231)
= I 010 (cid:247) (cid:231)
(cid:247) (cid:231)
100 ł Ł
ế ổ ơ ấ .
II. Các phép bi n đ i s c p
a
Các phép bi n đ i s c p đ i v i hàng ổ ơ ấ ố ớ ế
;
0
h i
a h i
fi „ 1. Nhân m t hàng tùy ý v i ớ m t s khác không ộ ố ộ
b
b
ộ ượ c nhân v i m t s ộ ố ớ
;
h i
j
fi " 2. C ng vào m t hàng m t hàng khác đã đ h ộ tùy ý ộ + h i
h
h i
j
« 3. Đ i ch hai hàng tùy ý ổ ổ
T ng t có ba phép bi n đ i s c p đ i v i c t. ươ ự ố ớ ộ ổ ơ ấ ế
Chú ý: các phép bi n đ i s c p là các phép bi n đ i c b n, ổ ơ ả ổ ơ ấ ế
th ng dùng nh t!!! ườ ế ấ
ế ổ ơ ấ .
II. Các phép bi n đ i s c p
Đ nh lý 1 ị
M i ma tr n đ u có th đ a v ma tr n d ng b c thang b ng ể ư ề ằ ậ ậ ậ
ạ ọ các phép bi n đ i s c p đ i v i hàng. ổ ơ ấ ố ớ ề ế
Chú ý Khi dùng các phép bi n đ i s c p đ i v i hàng ta thu đ c ổ ơ ấ ố ớ ượ
ế nhi u ma tr n b c thang khác nhau ậ ề ậ
ế ổ ơ ấ .
II. Các phép bi n đ i s c p Ví dụ Dùng các phép bi n đ i s c p đ i v i hàng đ a ma tr n sau ố ớ ư ế ậ
ề ậ
- (cid:230) (cid:246) đây v ma tr n d ng b c thang. 2 ạ 1 1 ổ ơ ấ ậ 1 1
(cid:231) (cid:247) - 5 2 3 1 4 (cid:231) (cid:247)
- (cid:231) (cid:247) 4 3 2 3 7
(cid:231) (cid:247) - - Ł ł 1 1 2 3 1
c t khác không đ u tiên t bên trái. Ch n ướ ọ
ầ ắ ầ ừ ộ khác không tùy ý làm ph n t ph n t B c 1. B t đ u t ầ ử ừ c s . ầ ử ơ ở
- (cid:230) (cid:246) 1 1 1 2 1
(cid:231) (cid:247) - 2 3 1 4 5 (cid:231) (cid:247)
- (cid:231) (cid:247) 3 2 3 7 4
(cid:231) (cid:247) - - Ł ł 1 1 2 3 1
ế ổ ơ ấ .
B c 2. Dùng bđsc đ i v i hàng, kh t t c các ph n t còn l i c a II. Các phép bi n đ i s c p ướ ử ấ ả ầ ử ố ớ ạ ủ
c t.ộ
h 2 h 3 h 4
h 2 h 3 fi + h 4
h 12 h 13 h 1
- (cid:230) (cid:246) 1 1 1 2 1 - (cid:230) (cid:246) fi - (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) - (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi 2 3 1 4 5 fi - (cid:231) (cid:247) = (cid:231) (cid:247) A - (cid:231) (cid:247) - 3 2 3 7 4 (cid:231) (cid:247)
1 0 0 0
1 1 1 2
1 1 0 1
1 2 3 0 1 1 1 2
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) - - - Ł ł Ł ł 1 1 2 3 1
t c các hàng t c s và ướ ấ ả
ừ ụ hàng ch a ph n t ầ ử ơ ở ứ c 1 và 2 cho ma tr n còn ậ ướ
B c . Che t nh ng hàng trên nó. Áp d ng b ữ iạ l
1 1
1 2 1
1 1
1
2
1
h 4
fi + h h 4 3
0 1
1
0
3
fi +
0 1 0 0
1 1
0 3 1 4
h 3 h 4
h h 2 3 h 22 h 4
0 0
1
1
4
- (cid:230) (cid:246) - (cid:230) (cid:246) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi (cid:231) (cid:247) (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi fi - (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
0 0
1
1
4
0 0
0
0 0
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) - - - Ł ł Ł ł
1
2
3
đị
ạ ướ
Ví d :ụ Xác nh dòng in I
trong m ng l i
, và I
đệ , I đệ ướ đ in d i ây:
• Áp d ng đ nh lu t Kirchhoff cho nút A, ta có: ụ ậ ị
I1 = I2 + I3
2 + I3 = I1
nut B: I ́
• Áp d ng đ nh lu t Kirchhoff cho vòng 1 va vong 2: ụ ậ ị ̀ ̀
7I1 +3I3 -30 = 0
11I2 -3I3 -50 = 0
- - (cid:230) (cid:246)
1 7
1 0
1 3
0 30
(cid:231) (cid:247)
̣ Ta co hê: ́ (cid:231) (cid:247)
0 11
3 50
(cid:231) (cid:247) - Ł ł
1
1
1
0
- - (cid:230) (cid:246)
7
0
3
30
(cid:231) (cid:247)
Ma tr n c a h th ng là: ậ ủ ệ ố (cid:231) (cid:247)
0 11
3 50
(cid:231) (cid:247) - Ł ł
Dùng bđsc đ i v i hàng, đ a vê ma trân bâc thang: ố ớ ư ̀ ̣ ̣
1
1
1
0
- - (cid:230) (cid:246)
0
7
10
30
(cid:231) (cid:247)
(cid:231) (cid:247)
0
0
131
20
(cid:231) (cid:247) - Ł ł
=
=
=
I
,
I
,
I
-
1
2
3
570 131
590 131
20 131
Cuôi cung ta co gia tri cua dong điên: ́ ̀ ́ ́ ̣ ̉ ̀ ̣
ố ớ
ậ III. Các phép toán đ i v i ma tr n
S b ng nhau c a hai ma tr n ự ằ ủ ậ
ế ậ ở
Hai ma tr n b ng nhau n u: 1) cùng c ; 2) các ph n t ầ ử ở ij = bij v i m i i và j). nh ng v trí t ằ ng ng b ng nhau (a ằ ươ ứ ữ ớ ọ ị
Phép c ng hai ma tr n ộ
ậ Cùng cở
T ng A + B: ổ
Các ph n t ng ng c ng l i t ầ ử ươ ứ ộ ạ
Ví dụ
421
3
62
=
=
A
;
B
3
50
1
4
7
- - (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) 02 10 (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) =+ (cid:247) (cid:231) BA ł Ł ł Ł ł Ł 44 12
ố ớ
ậ III. Các phép toán đ i v i ma tr n
t c các ph n ớ ộ ố ấ ố ớ ấ ả ầ
ậ c a ma tr n. Phép nhân ma tr n v i m t s . ậ ộ ố Nhân ma tr n v i m t s , ta l y s đó nhân v i t ớ ậ t ử ủ
Ví dụ
421
42
8
=
=
A
2 A
- - (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) · (cid:247) (cid:231)
3
50
6
0
10
ł Ł ł Ł
Tính ch t:ấ
a) A + B = B + A; b) (A + B) + C = A + ( B + C);
c) A + 0 = A; d) k(A + B) = kA + kB;
e) k (mA) = (km) A; f) (k + m)A = kA + mA;
ố ớ
ậ III. Các phép toán đ i v i ma tr n
ớ
;
A
p
Phép nhân hai ma tr n v i nhau = = · ·
) i pj +
=
=
AB
C
(
B c ij
j
n ba 22 i
j
pj
) nmijc
= ++ ... ba ip · ậ ( ) a ij m v i ớ
( b ba 11 i b 1
j
Ø ø
*
*
Ø ø Ø ø Œ œ
=
=
...
...
* ...
AB
Œ œ Œ œ Œ œ
a 1 i
a 2 i
a ip
b 2 j
Œ œ Œ œ Œ œ
c ij
*
Œ œ Œ œ Œ œ º ß º ß
b pj
Œ œ º ß
Đ tìm ph n t ể ủ ậ ớ
ng hai véct ấ ở c t 3 c a B (coi nh nhân tích vô h ộ ma tr n tích: l y hàng 2 c a A nhân v i v i nhau) ư ầ ử 2,3 c ủ ơ ớ ướ
ố ớ
ậ III. Các phép toán đ i v i ma tr n Ví dụ
2
41
=
=
A
;
B
1 3
22 0 1
- (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - (cid:246) (cid:230) Tính AB (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231)
4
1
0
2
4
3
ł Ł (cid:247) (cid:231) ł Ł
1
- (cid:230) (cid:246)
2
1 4
2 2 = 3 0 1
= A B
4 1 0
7 c c c 12 11 12 c c c c 22 21 22 21
c c 13 13 c c 23 23
2 4 3
(cid:230) (cid:246) - (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:231) (cid:247) · · (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) Ł ł Ł ł Ł ł (cid:231) (cid:247)
Ł ł
(cid:230) (cid:246)
= · + -
· + · = 2 1 ( 1) 3 4 2 7
2
) 1 4
1 3
11c = (
(cid:231) (cid:247) -
2
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł ł
ố ớ
ậ III. Các phép toán đ i v i ma tr n
Tính ch t c a phép nhân hai ma tr n ấ ủ ậ
a. A(BC) = (AB)C; b. A(B + C) = AB + AC;
c. (B + C)A = BA + CA; d. ImA = A = AIm
e. k (AB) = (kA)B = A(kB).
Chú ý:
AB „ BA
2.
= 1. Nói chung AB = AC 0=AB CB = (cid:218)= 0 A B 0 3.
ố ớ
ậ III. Các phép toán đ i v i ma tr n
0
=
Nâng ma tr n lên lũy th a. ừ ậ
Qui öôùc: A
I=
2A
A A
n
=
=
(cid:215)
3A
A A A
A
(cid:215)L1 44 2 4 43 A A A A
n
(cid:215) (cid:215) (cid:215)
n
n
1
n
1
0
- = + = )( xf a x ++ ... ; ( · - xa n + Aaxa 1 ) a nnij
1
n
n
=
+
( )
+ + ...
-
f A
A 1
+ . A a I a 1
0
a A n
a n
-
ố ớ
ậ III. Các phép toán đ i v i ma tr n
Ví dụ
2
1
2
=
=
A
;
f x ( )
2
x
+ x
4
3
3
4
2
- (cid:230) (cid:246) - Tính f(A). (cid:231) (cid:247) Ł ł
= ( ) 2
4
f A
A
+ A
3 I
-
2
1 2
1
2
1 0
1 +
- - - (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
= ( ) 2
4
3
f A
- (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
3 4 3 4
3 4
0 1
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
+
- - (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
= ( ) 2
f A
- (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
6 1 18 13
8 4 12 16
3 0 0 3
Ł ł Ł ł Ł ł
3
8
( )
f A
= (cid:231)
- - (cid:230) (cid:246)
(cid:247)
24 13
Ł ł
i bài toán bán hàng. ạ Ví dụ Xét l
130
80
(cid:230) (cid:246)
= (cid:231)
T 2
240 c: 115 150 150
Gi ả ử s tháng th hai bán đ ứ ượ (cid:247)
Ł ł
Khi đó l ng hàng bán trong 2 tháng: ượ
230 200 540
=
+
= (cid:231)
(cid:230) (cid:246)
T T T 1 2
240 250 400
(cid:247)
Ł ł
G/s l i trong tháng 1: áo 15 ngàn, qu n 30 ngàn, kính 10 ngàn. ầ
ử ờ
(cid:230) (cid:246)
(cid:231) (cid:247)
= d ng ma tr n
15 30
L 1
Ghi ở ạ ậ (cid:231) (cid:247)
10
(cid:231) (cid:247)
Ł ł
L i nhu n trong tháng 1 c a t ng c s : ủ ừ ơ ở ậ ợ
15
(cid:230) (cid:246)
100 120 300
8.100
=
=
30
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:231) (cid:247)
T L 1 1
125 100 250
7.375
10
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) Ł ł Ł ł (cid:231) (cid:247)
Ł ł
G/s l i trong tháng 2: áo 25 ngàn, qu n 35 ngàn, kính 17 ngàn. ầ
25
ử ờ (cid:230) (cid:246)
(cid:231) (cid:247)
35
= d ng ma tr n: L 2
L i trong 2 tháng ờ ở ạ ậ (cid:231) (cid:247)
(cid:231) (cid:247)
Ł ł
17 ủ ơ ở
L i trong 2 tháng trên t ng s n ph m c a c s A: ừ ẩ ả ờ
=
+
=
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
+ T L T L 1 1 2
2
8100 7375
10130 10675
18230 18050
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł ł Ł ł Ł ł
ư ̉ ́ ự ̉ ̉ ̣ ̣ ̀ ́ Ví dụ Khao sat s chuyên đông dân c cua môt thanh phô.
0s
0r
G/s năm 1990, dân c cua tp A va vung ngoai ô la: va ư ̉ ử ̀ ̀ ̣ ̀ ̀
(cid:230) (cid:246)
X
= (cid:231)
0
Đăt biêu thi cho c dân tp va ngoai ô cua năm 1990. ư ̣ ̉ ̣ ̀ ̣ ̉ (cid:247)
r 0 s 0
Ł ł
=
=
;
X
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
X la c dân tp va ngoai ô cac năm 91,92,... 1
2
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) ̀ ư ̀ ̣ ́
r 2 s 2
r 1 s 1
,...
Ł ł Ł ł
G/s theo nghiên c u thây môi năm co khoang 5% dân tp chuyên ứ ́ ̃ ́ ̉ ̉
ử
̣ ̀ ̣ ̉ ̀
=
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
r 0
0r Sau môt năm, c dân cua tp đ
(cid:231) (cid:247) ượ ư ̣ ̉ ́ (cid:231) (cid:247)
r 0 r 0
ra ngoai ô va 3% dân ngoai ô chuyên vao tp. 0.95 0.95 c phân bô: 0.05 0.05 Ł ł Ł ł
0.03
=
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
s 0
0s c dân cua ngoai ô đ
0.97
0.03 0.97
ư ượ ̉ ̣ ́ (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
s 0 c phân bô: s 0
Ł ł Ł ł
C dân cua tp va ngoai ô năm 1991 la: ư ̉ ̀ ̣ ̀
0.95
0.03
0.95 0.03
=
+
=
=
M
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
r 0
s 0
0.05
0.97
0.05 0.97
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
r 0 s 0
r 0 s 0
r 1 s 1
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
= X M X dang vecto:
1
0
(cid:215) Ghi ở ̣ ́
=
G/s s di chuyên dân sô la ôn đinh. ử ự ̉ ́ ̀ ̉ ̣
X M X
2
1
(cid:215) Khi đo, c dân cua tp va ngoai năm 1992: ́ ư ̉ ̀ ̣
X
M X
+ =
1k
k
(cid:215) Noi chung ta co công th c: ứ ́ ́
́ ̣ Ví dụ Theo vi du trên.
600.000
(cid:230) (cid:246)
X
= (cid:231)
0
400.000
Biêt năm 1990, dân c cua tp A va vung ngoai ô: ư ̉ ́ ̀ ̀ ̣ (cid:247)
Ł ł
C dân cua tp A va ngoai ô năm 1991: ư ̉ ̀ ̣
0.95 0.03
600.000
582.000
=
=
X
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
1
0.05 0.97
400.000
418.000
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł ł Ł ł Ł ł
C dân cua tp A va ngoai ô năm 1992: ư ̉ ̀ ̣
0.95 0.03
582.000
565.440
=
=
X
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
2
0.05 0.97
418.000
434.560
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł ł Ł ł Ł ł
Ví d ụ S d ng ĐSTT trong x lý nh. ử ả ử ụ
c l u trong ma tr n Xét ch v i to đ các đi m đ ớ ạ ộ ữ ể ượ ư ậ
1 2 3 4 5 6 7 8
Đ nhỉ
0 0.5 6
5.5
0.5
0 5.5 6
D
= (cid:231)
Hoành độ (cid:230) (cid:246)
0
0
0 1.58 6.42 8
8
8
(cid:247)
Ł ł
Tung độ
A
(cid:230) (cid:246)
= (cid:231)
1 0.25 0
1
Xét ma tr nậ (cid:247)
Ł ł
0 0.5 6 5.895 2.105 2 7.5 8
(cid:230) (cid:246)
= AD
0
0
0 1.580 6.420 8
8
8
(cid:222) (cid:231) (cid:247)
Ł ł
T ươ ứ ng ng v i ch : ữ ớ
0.75 0
(cid:230) (cid:246)
S
= (cid:231)
0
1
Tính , SA SAD Xét ma tr nậ (cid:247)
SAD t
Ł ł
ng ng v i ch ươ ứ ớ ữ
ạ
IV. H ng c a ma tr n ậ ủ -----------------------------------------------------------------------------------------------------
ủ ươ
s A ả ử mxn t ươ ậ ậ
ộ ậ ố
ng đ ọ ạ ậ ậ
Đ nh nghĩa h ng c a ma tr n ậ ạ ị ng hàng (c t) v i ma tr n b c Gi ớ thang E. Khi đó ta g i h ng c a ma tr n A là s các hàng ủ khác không c a ma tr n b c thang ủ
r(A) = s hàng khác không c a ma tr n b c thang E ủ ố ậ ậ
ạ
ậ IV. H ng c a ma tr n ủ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
Tìm h ng c a ma tr n sau ủ ạ
(cid:230) (cid:246) ậ 1 2 1 1
Gi
i.ả
(cid:231) (cid:247) = A 2 4 2 2 (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) 3 6 3 4 Ł ł
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) 1 2 1 1 1 2 1 1
h 2 h 3
h 2 h 3
h 2 1 h 3 1
fi - (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi = A 2 4 2 2 0 0 0 0 fi - (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) 3 6 3 4 Ł ł 0 0 0 1 Ł ł
(cid:230) (cid:246) 1 2 1 1
h 2
h 3
= ( ) 2 r A
« (cid:231) (cid:247) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi 0 0 0 1 (cid:222) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) 0 0 0 0 Ł ł
ạ
ậ IV. H ng c a ma tr n ủ -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính ch t c a h ng ma tr n ậ
ấ ủ ạ
1. r (A) = 0 A = 0
BĐSC
£ 2. A = (aij)mxn r(A) min{m, n}
B, thì r (B) = r (A)
3. N u A ế
2 2 2
2 2 2
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
=
A
= ( ) 1. r A
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) fi fi (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł ł Ł ł
ậ
ị
ả V. Ma tr n ngh ch đ o ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ị
ậ
ượ ậ ả
c g i là ma tr n kh ngh ch n u t n ế ồ c g i là ượ ọ
Đ nh nghĩa ma tr n ngh ch đ o ị ả Ma tr n vuông A đ i ma tr n I sao cho t ậ ạ ngh ch đ o c a A và ký hi u là A ả ủ
-1. ị ị ậ ọ AB = I =BA. Khi đó B đ ệ
2 2
- (cid:230) (cid:246) 1 (cid:230) (cid:246) 2 1 B Gi ả ử = (cid:231) (cid:247) A = (cid:231) (cid:247) - Ł ł 2 Ł ł 5 3 · · 3 s 5 2 2
1
- (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) 2 1 3 1 1 0 = = = AB I (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) - Ł ł Ł ł Ł ł 5 3 5 2 0 1 - (cid:230) (cid:246) 3 1 - = A B = (cid:231) (cid:247) - (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) 3 1 2 1 1 0 -
}
Ł ł 5 2 = = = BA I (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) - Ł ł Ł ł Ł ł 5 2 5 3 0 1
ậ
ị
ả V. Ma tr n ngh ch đ o -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Chú ý
ả ấ ả ậ ị
Không ph i b t kỳ ma tr n vuông A nào cũng kh ngh ch. Có r t nhi u ma tr n vuông không kh ngh ch. ấ ề ả ậ ị
Đ nh nghĩa ị
c g i là Ma tr n kh ngh ch đ ả ậ ị ượ ọ ma tr n không suy bi n ế ậ
Ma tr n không kh ngh ch đ c g i là ậ ả ị ượ ọ ma tr n suy bi n ế ậ
ậ
ị
ả V. Ma tr n ngh ch đ o -----------------------------------------------------------------------------------------------------
S t n t i c a ma tr n kh ngh ch. ự ồ ạ ủ ả ậ ị
Cho ma tr n vuông A, các m nh đ sau đây t ng đ ng ề ệ ậ ươ ươ
1. T n t i A ồ ạ -1 (A không suy bi n)ế
2. r(A) = n
T
ng đ
ng hàng
ươ
ươ
3. AX = 0 suy ra X = 0.
I
4. A
ậ
ị
ả V. Ma tr n ngh ch đ o -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Đ nh nghĩa ma tr n s c p ậ ơ ấ ị
I b ng đúng 1 phép bi n đ i s c p ổ ơ ấ ế
c t Ma tr n thu đ ậ ằ ượ ừ c g i là ma tr n s c p. đ ậ ơ ấ ượ ọ
Ví dụ
1 0 0
1 0 0
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
h
3
h 33
=
=
I
0 1 0
0 1 0
E 1
0 0 1
0 0 3
fi (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł ł Ł ł
1 0 0
1 0 0
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
h
2
2
h 12
=
fi + h =
I
0 1 0
2 1 0
E 2
0 0 1
0 0 1
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł ł Ł ł
ậ
ị
ả V. Ma tr n ngh ch đ o -----------------------------------------------------------------------------------------------------
1 0 0
0 0 1
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
h
3
1
=
h =
I
0 1 0
0 1 0
E 3
0 0 1
1 0 0
« (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
Ł ł Ł ł
bi n đ i s c p đ i v i hàng ộ ổ ơ ấ ố ớ ủ ế ồ
c a ma tr n A đ ng ậ ng ng. M t phép nghĩa v i ớ nhân bên trái A v i ma tr n s c p t ậ ơ ấ ươ ứ ớ
ộ ổ ơ ấ ủ ế ậ ồ
ng ng. M t phép bi n đ i s c p đ i v i c t nghĩa v i ớ nhân bên ph iả A v i ma tr n s c p t ố ớ ộ c a ma tr n A đ ng ớ ậ ơ ấ ươ ứ
ậ
ị
ả V. Ma tr n ngh ch đ o -----------------------------------------------------------------------------------------------------
3 2
1
2 1
1
- (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
h
3
1
=
h fi =
A
B
1 1
0
1 1
0
2 1
1
3 2
1
« (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) - Ł ł Ł ł
3 2
1
0 0 1
2 1
1
- (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
=
1 1
0
0 1 0
1 1
0
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
2 1
1
1 0 0
3 2
1
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) - Ł ł Ł ł Ł ł
ậ
ị
ả V. Ma tr n ngh ch đ o -----------------------------------------------------------------------------------------------------
bñsc haøng (cid:219) =
A
I
...
I E E n n
E A 1
1
(cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi -
= 1
A
...
E E n n
E I 1
1
- (cid:222) -
bñsc haøng
ôû treân
1
I
A
- (cid:219) (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi
-1
ậ
ị
ả V. Ma tr n ngh ch đ o -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Bđsc đ i v i hàng ố ớ
[ I|A-1 ]
111
(cid:246) (cid:230)
[ A|I ] ị
Ví dụ Tìm ngh ch đ o (n u có) c a ma tr n ế
ả ủ
(cid:247) (cid:231)
A
ậ = (cid:247) (cid:231)
221 321
(cid:247) (cid:231)
ł Ł
111
001
111
1
00
ø Ø ø Ø
=
[
IA |
]
œ Œ œ Œ - fi
œ Œ œ Œ
221 321
010 100
110 210
011 101
- œ Œ œ Œ ß º ß º
Cách tìm A
ậ
ị
ả V. Ma tr n ngh ch đ o -----------------------------------------------------------------------------------------------------
111
1
0
0
011
1
1
1
- ø Ø ø Ø
110
1
1
0
010
1
2
1
œ Œ œ Œ - - fi - fi
œ Œ œ Œ
100
0
11
100
0
1
1
- - œ Œ œ Œ ß º ß º
- ø Ø
1-
=
001 010
2 1
1 2
0 1
AI |[
]
œ Œ - - fi
œ Œ
100
0
1
1
- œ Œ ß º
- (cid:246) (cid:230)
=-
(cid:247) (cid:231)
1A
2 1
1 2
0 1
- - (cid:247) (cid:231)
0
1
1
(cid:247) (cid:231) - ł Ł
ậ
ị
ả V. Ma tr n ngh ch đ o -----------------------------------------------------------------------------------------------------
ấ ủ ả ậ ị
ố ớ ậ ẳ ị ị
Tính ch t c a ma tr n ngh ch đ o Đ i v i hai ma tr n kh ngh ch A và B, các kh ng đ nh sau đây ả đúng.
(A-1)-1 = A
Tích AB là hai ma tr n kh ngh ch. ậ ả ị
(AB)-1 = B-1A-1
(AT)-1 = (A-1)T
Ví dụ Gia s ta muôn ma hoa câu: “STUDY LINEAR ALGEBRA”. ̉ ử ́ ̃ ́
Ki hiêu theo th t bang ch cai: A = 1, B = 2, C = 3,.... ứ ự ữ ́ ̣ ̉ ́
Co day sô: ́ ̃ 19 20 21 4 25 12 9 14 5 1 18 1 12 7 5 2 18 1. ́ 19 20 21 4 25 12 9 14 5 1 18 1 12 7 5 2 18 1.
Chia day thanh cac ma trân nho c 3 x 1: ̃ ̀ ́ ̣ 19 20 21 4 25 12 9 19 20 21 4 25 12 9
̉ ở 14 5 1 18 1 12 7 5 2 18 1. 14 5 1 18 1 12 7 5 2 18 1.
6
5
4
3
2
1
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) 4 19 (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) = (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) = X 2 18 = = X 12 7 X 1 18 = (cid:231) (cid:247) X 9 14 = (cid:231) (cid:247) X 25 (cid:231) (cid:247) X (cid:231) (cid:247) 20 (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) 1 Ł ł (cid:231) (cid:247) 5 Ł ł 1 Ł ł 5 Ł ł 15 Ł ł 21 Ł ł
- (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) 1 1 0 0 1 0
1
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) = = - Chon môt ma trân tuy ̣ ̣ ̣ ̀ A- 2 1 1 A 2 1 1 (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) - - 3 2 2 1 1 1 Ł ł Ł ł
iX
Nhân A v i cac ta co day sô ớ ́ ́ ̃ ́
25
35
= -
= -
=
34
Y 6
Y 4
Y 5
= -
Y 3
33 19
18
9 3 14
23 14 18
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) 38 19 (cid:230) (cid:246) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) = - = (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) 34 0 Y 2 (cid:231) (cid:247) Y 1 (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) - - - (cid:231) (cid:247) Ł ł (cid:231) (cid:247) Ł ł Ł ł (cid:231) (cid:247) - - 17 Ł ł - 18 Ł ł Ł ł
Ghi lai kêt qua dang day va g i cho ng i nhân: ̉ ở ̀ ở ườ ̣ ́ ̣ ̃ ̣
1
19 0 -18 38 -34 -17 23 -14 -18 25 -34 -18 9 3 -14 35 -33 -19 19 0 -18 38 -34 -17 23 -14 -18 25 -34 -18 9 3 -14 35 -33 -19
iA Y-
Ng i nhân muôn biêt đ c y nghia phai nhân ườ ́ ượ ̣ ́ ́ ̃ ̉
va tra ng c bang qui c đê co đ c câu ban đâu. ượ ướ ́ ượ ̀ ̉ ̉ ̀
VI. K t lu n ậ ế ------------------------------------------------
ậ ậ
ể ị
Ma tr n b c thang ậ Ma tr n chuy n v ? ậ ậ ơ
S b ng nhau ố ớ ự ằ Phép c ngộ
Ma tr n vuông ? Ma tr n là gì? ậ Ma tr n chéo? Ma tr n không? ậ ậ ị Ma tr n đ n v ? Ma tr n đ i x ng? ậ ố ứ ậ Các phép toán đ i v i ma tr n: Nhân ma tr n v i m t s ậ ộ ố Nhân hai ma tr n v i nhau ậ ớ ớ
Nâng lên lũy th aừ
H ng c a ma tr n là gì? ủ ạ ậ
Làm th nào đ tìm h ng c a m t ma tr n cho tr c? ủ ế ể ậ ạ ộ ướ
ị ả ậ Ngh ch đ o c a ma tr n A là gì? ậ
ị ả ủ ả ủ ộ ế ể ậ ị
Ma tr n kh ngh ch là gì? Làm th nào đ tìm ngh ch đ o c a m t ma tr n cho tr c?ướ
