Dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong composite ba pha có lớp ngoài làm bằng vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong composite ba pha có lớp ngoài làm bằng vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi" phân tích dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong sandwich với lõi làm bằng vật liệu composite ba pha (pha nền bằng polyme, pha sợi gia cường và pha hạt độn là CNT hoặc GPL) và hai lớp ngoài làm bằng vật có tính chất điện từ trường đàn hồi, vỏ đặt trên nền đàn hồi Pasternak. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong composite ba pha có lớp ngoài làm bằng vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi

44 41 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong composite ba pha có lớp ngoài làm bằng vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi Phạm Hồng Công1,*, Nguyễn Trọng Thưởng2 và Nguyễn Đình Đức2 1 Trung tâm Tin học và Tính toán, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam 2 Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội *Email: phcong@cic.vast.vn Tóm tắt. Bài báo phân tích dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong sandwich với lõi làm bằng vật liệu composite ba pha (pha nền bằng polyme, pha sợi gia cường và pha hạt độn là CNT hoặc GPL) và hai lớp ngoài làm bằng vật có tính chất điện từ trường đàn hồi, vỏ đặt trên nền đàn hồi Pasternak. Phương trình chuyển động tính toán dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất trong đó có kể đến tính phi tuyến hình học von Karman. Sử dụng phương pháp hàm ứng suất và phương pháp Galerkin đi xây dựng hệ phương trình vi phân đi nghiên cứu dao động phi tuyến của vỏ hai độ cong và phương pháp Runge Kutta bậc 4 để xác định đáp ứng động học (đường cong thời gian-độ võng). Ảnh hưởng của tính chất vật liệu, hình dáng kết cấu, nền đàn hồi đến tần số dao động tự do tuyến tính, dao động phi tuyến và quan hệ biên độ-tần số của vỏ thoải hai độ cong được khảo sát trong bài báo. Từ khóa: Vỏ thoải hai độ cong; Vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi; Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất; Phương pháp giải tích. 1. Mở đầu Khoa học công nghệ phát triển nhanh chóng, lĩnh vực khoa học vật liệu đã được phát triển. Theo đó các đối tượng kết cấu dầm, tấm, vỏ làm bằng vật liệu composite ba pha và vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước. So với các vật liệu composite 2 pha (pha nền và pha sợi gia cường) truyền thống thì composite 3 pha (thông thường bao gồm pha nền bằng polyme, pha sợi gia cường và pha hạt độn) có những ưu điểm: nhẹ hơn, khả năng chống cháy tốt hơn, chống rạn nứt, chống thấm, chống mài mòn và chịu tải tốt hơn. Trong một số trường hợp còn giảm giá thành chế tạo. Phân tích ổn định phi tuyến bằng phương pháp giải tích của tấm sandwich có tính chất điện từ trường đàn hồi (Magneto-electro-elastic) trên nền đàn hồi, lớp lõi làm bằng vật liệu auxetic có hệ số poisson âm và 2 mặt ngoài làm bằng vật liệu điện từ trường đàn hồi đã được nghiên cứu trong [1]. Các phương trình cân bằng được dẫn ra từ lý thuyết bậc cao của Reddy trong đó có kể đến tính phi tuyến hình học von Karman và kể đến ảnh hưởng của tính không hoàn hảo về hình dáng tấm. Nghiên cứu đã phân tích ảnh hưởng của nền đàn hồi, nhiệt độ, tham số không hoàn hảo lên tải tới hạn. Một số các kết quả nghiên cứu tiêu biểu về vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi sử dụng phương pháp hàm ứng suất và phương pháp Galerkin có thể kể đến [2]. Bài báo [3] nghiên cứu đáp ứng phi tuyến hình học của vỏ xuyến làm bằng vật liệu ba pha composite (GPL (graphene platelets)/CNT (carbon nanotubes)/fiber/polymer) chịu áp suất bên ngoài phụ thuộc thời gian điều hòa và tải trọng nén trong mặt phẳng không đổi. Các các phương trình cơ bản được mở rộng dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT) và được giải bằng giới thiệu các hàm điều hòa để ước lượng trường biến dạng và sử dụng phương pháp Galerkin. Qua các nghiên cứu kể trên và đánh giá tổng quan của nhóm tác giả, hiện chưa thấy nghiên cứu nào cho bài toán phân tích dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong composite 3 pha (gồm pha nền bằng polyme, pha sợi gia cường và pha hạt độn bằng CNT hoặc GPL) có lớp ngoài làm bằng vật liệu có
45 Phạm Hồng Công, Nguyễn Trọng Thưởng, Nguyễn Đình Đức tính chất điện từ trường đàn hồi. Trong bài báo này, lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất được sử dụng cùng với phương pháp hàm ứng suất, phương pháp Galerkin. So sánh kết quả của bài báo với các kết quả đã công bố cho thấy độ tin cậy của mô hình đề xuất. Từ đó, bài báo nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đến tần số dao động tự do và đáp ứng động học của vỏ thoải hai độ cong composite có lớp ngoài làm bằng vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi. 2. Phương trình cơ bản Hình 1. Mô hình vỏ thoải hai độ cong trên nền đàn hồi Xét vỏ thoải hai độ cong có chiều dài a , chiều rộng b , độ dày h , các bán kính cong Rx , R y và vỏ được đặt trong hệ tọa độ Đề các xyz có gốc ở góc của vỏ, mặt phẳng xy trùng với mặt giữa của vỏ và z là toạ độ chiều dày vỏ ( −h / 2 ≤ z ≤ h / 2 ) . Vỏ được đặt trên nền đàn hồi mô hình Pasternak với hai hệ số nền K1 (nền Winkler) và K 2 (nền Pasternak) như hình 1. h1 f , hc , h2 f tương ứng là độ dày của lớp trên, giữa và bên dưới. Trong nghiên cứu này, vật liệu composite ba pha gồm có pha nền bằng polyme, pha sợi gia cường và pha hạt độn bằng CNT hoặc GPL. Mô đun đàn hồi, cắt trượt, hệ số Poisson và mật độ khối lượng của vật liệu composite ba pha được cho như sau [4]: ei F i = f F E11 + ficm Eem , E11 −1  2 Ei 2 EF    F v12 ( ) em + vi F E 22 em ( ) 22 − 2v F vi  r Eem 12 em  ei =  f F + frcm − f f E22  , F rcm (1)  EF i Eem F i f F E 22 + frcm Eem   22      −1   i ei  f F + f G12 =icm  r , Gem = , Eem  G F Gi   12 em  ( i 2 1 + vem) ei E 22 ei v12 = f F v12 + ficm vem , ρei = f F ρ F + ficm ρi , v21 =v12 , ei F i em ei ei E11 F F F F trong đó thông số E11 , E22 , G12 , ρ F và v12 tương ứng là các modul đàn hồi, mật độ và tỷ lệ Poisson của các sợi (chỉ số F để chỉ thành phần sợi). Ngoài ra, các tham số frcm và f gcm tương ứng là phần thể tích của hỗn hợp polymer gia cường nanocomposite và f F + ficm = là phần thể tích của sợi) và 1 ( fF
46 Dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong nanocomposite ba pha có lớp ngoài làm bằng vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi Eem 3  1 + 2C i β L fi   1 + 2βi f  i i =  + 5 T i  , vi =v f + v (1 − f ) Em 8  1 − βi f  8  1 − βi f  em i i m i (2)  L i   T i  trong đó i = r , g ứng với trường hợp gia cố bằng ống nano carbon (CNT) và tiểu cầu graphene (GPL), f là tỷ lệ thể tích và fi + fm =1 . Ngoài ra, các tham số hiện có khác trong biểu thức (2) được biểu thị như sau [4]:  Er  1  Er  1  Eg   − Ar  − Ar  −1   E   r =  Em βL  4 r ,βT =  Em  4 d l l g , Ar= r , Br= r , Cr= r ,β L=  m ,  Er  1  Er  1 hr hr dr  Eg    + Br   + Ar  E   + 2 Ag  Em  2  Em  2  m  Eg   −1 E  (3)  lg wg g kg kg = g βT  m = , Ag = , Bg = , kL g , kT = ,  Eg  hg hg  kg   kg   + 2 Bg E   2 Rk   lg  +1  2 Rk    +1   m    hg     ( Ag − 1) ( ) 3 2 = ln  Ag  Ag + Ag − 1   / H 2 2 − 1 / Ag − 1 ,    Vì một hàm phân bố cụ thể và một loại tổ hợp nano cụ thể được xem xét cho mỗi lớp, nên một hệ tọa độ cục bộ đã được xác định cho mỗi lớp là [4]: 2 z − ( zk +1 + zk ) 2dz (4) ξ = , dξ , zk +1 − zk zk +1 − zk trong đó −1 ≤ ξ ≤ 1 và −h / 2 ≤ z ≤ h / 2 . Ngoài ra trong biểu thức (4) biểu diễn tọa độ z của bề mặt dưới và bề mặt trên của lớp thứ k. Bằng cách sử dụng tọa độ cục bộ được đề xuất cho các lớp khác nhau, các hàm phân phối thể tích cho ( ) cả hai loại composites CNT ( fr ) và GPL f g có thể xác định là [4]: fr = fr ψr ( ξ ) , f g = f g ψ g ( ξ ) , fr = 8%, f g = 8% * * * * (5) Bảng 1. Các mô hình phân bố của vỏ thoải hai độ cong [4] ( i = r , g ) UD FG_O FG_X FG_V FG_ Λ ψi ( ζ ) =1 ( ψ i ( ζ= 2 1 − ζ ) ) ψi ( ζ ) = 2 ζ ψi ( ζ ) = 1 + ζ ψi ( ζ ) = 1 − ζ Mối quan hệ của ứng suất và biến dạng của lớp vật liệu lõi được xác định qua định luật Hooke  σc   Q c Q c 0 0 0   εc   xx   11 12   xx   σc   Q c Q c  c 0  ε yy   yy   12 22 0 0    c = c  c   σ yz   0 0 Q44 0 0   γ yz   c   c  c  (6a)  σ xz   0 0 0 Q55 0   γ xz   c   c  c   σ xy   0    0 0 0 Q66   γ xy   
47 Phạm Hồng Công, Nguyễn Trọng Thưởng, Nguyễn Đình Đức trong đó 2 2 i ∂u0 w0 1  ∂w0  i ∂v0 w0 1  ∂w0  ε xx = − +   , ε yy = − +   ∂x Rx 2  ∂x  ∂y Ry 2  ∂y      0 0 0 0 0 0 ∂u ∂v ∂w ∂w ∂w ∂w γi = xy + + γi ,=xz + φx , γi =yz + φy , i c = (6b) ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ej ej ej ej c E11 c E 22 c v21 E11 c= c c ej =Q11 = = = Q55 = r , g , Q22 , Q12 = Q66 G12 , j , Q44 ej ej ej ej ej ej 1 − v12 v21 1 − v12 v21 1 − v12 v21 Mối quan hệ của ứng suất và biến dạng của lớp có tính chất điện từ đàn hồi được xác định qua định luật Hooke [1,2]: σ f  ε f   xx  C 0   xx   0 e31   0 q31   f   11 C12 0 0  f   0 0    σ yy  C12 C 22 0 0 ε 0   yy   0 0 E   0 e32  x 0 q32   H x      f             f 0   γ yz  −  0 e24 Ey  −  0 q  τ yz   0 0 C 44 0 0  24 0  Hy  (7)             f   0 0 0 C55 0   f  e15 0 0    E z  q 0 0  Hz     τ xz  γ xz 15     f    0 0 0 0 C 66   f   0   0 0   0  0 0   τ xy     γ xy    ε f   xx  D f   f   x  0 0 0 e15 0  ε yy  η11 0 0   E  m11 0 0  H   f   f      x      x   = Dy   0 0 e24 0 0   γ yz  + 0 η22 0   Ey  + 0 m22 0  H y , (8)            D f  e e 0 0 0  f   0 0 η33   E z   0 0 m33   H z   31 32  γ xz        z     f  γ   xy  ε f   xx  B f   f   x  0 0 0 q15 0  ε yy  m11 0 0   E  µ11 0 0  H   f   f      x      x   (9) = By   0 0 q24 0 0   γ yz  + 0 m22 0   E y  + 0 µ22 0  H y ,            f q31 q32 0 0 0  f   0 0 m33   E z   0 0 µ33   H z   Bz    γ xz            f  γ   xy  trong đó Cij , eij , mij là các tham số đặc trưng cho độ cứng, áp điện và điện từ [2]. Các thành phần của điện trường và từ trường Ei và H i có thể được thể hiện bằng gradient của các điện thế và từ trường vô hướng Φ và Ψ là [2]: { Ei , H i } = {−Φ,i , −Ψ,i }, i =   x , y, z , (10) trong đó hiệu điện thế và thế năng từ được giả thiết có dạng kết hợp của một hàm cosin và tuyến tính như sau [2]:
48 Dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong nanocomposite ba pha có lớp ngoài làm bằng vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi  Φ( x , y, z ,t ) = cos(βz )Φ( x , y,t ) + 2 zφ0 / h f , −  (11) Ψ( x , y, z ,t ) = cos(βz )Ψ( x , y,t ) + 2 zψ / h , − 0 f trong đó β = π / h f , Φ( x ,t ), Ψ( x ,t ) tương ứng là sự biến thiên trong không gian của điện và từ. Ngoài ra , φ0 và ψ 0 tương ứng là điện thế và từ trường ban đầu. Thay (11) vào (10), ta được:  ∂Φ    ∂Φ   ∂Ψ    ∂Ψ  −   cos ( βz )  −   cos ( βz )   E x   ∂x   ∂x    ∂x   ∂x  (12)    ∂Φ      ∂Φ   H x   ∂Ψ       ∂Ψ    E y  =  = cos ( βz ) −   ,  H y  =  = cos ( βz ) −  .    ∂y   ∂y    ∂y   ∂y   E z   ∂Φ    H 2φ   z   ∂Ψ    2ψ 0  −  −β sin ( β z ) Φ − 0  −  −β sin ( β z ) Ψ −   ∂z      hf    ∂z      hf   Các biểu thức nội lực N i , momen M i và lực trượt ngang Qi của vỏ thoải hai độ cong được tính như sau: hc hc hc − +h 2 2 2 2f ∫ ∫ σ (1, z)dz + ∫ f c f = ( N i , Mi ) σi (1, z )dz + i σi (1, z )dz , i xx , yy, xy, = hc hc hc − −h − 2 1f 2 2 (13)  − hc hc hc +h   2 2 2 2f  5  ∫ ∫ ∫ f c f = Qi  σiz dz + σiz dz + σiz dz  , i x , y. = 6   − hc −h  h − c hc    2 1f 2 2  Sử dụng hàm ứng suất f tương tự trong nghiên cứu [5], phương trình tương thích biến dạng:  ∂4 f ∂4 f ∂4 f   B2  ∂x 4 ( + A2 + B1 + A10 ∂x 2 ∂y 2 ) + A1  ∂y 4     ∂ 3φ 3φ   ∂ x 3φ ∂ y ∂ 3φ y  +  B3  ∂x 3 x + A −B 3 ( 10 ∂x∂y 2   )  +  A4 ∂y3 + B4 − B10 (  ∂x 2 ∂y  )     (14) 2  ∂ 2Φ ∂ 2Φ   ∂2Ψ ∂2Ψ   ∂2 w  ∂2w ∂2w ∂2 w ∂2 w* +  A5 + B5  +  A6 + B6 =  − +2  ∂y 2 ∂x 2   ∂y 2 ∂x 2   ∂x∂y  ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂x∂y       ∂2 w ∂2 w* ∂2 w ∂2 w* 1 ∂2w 1 ∂2w − − − − . ∂x 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂x 2 Rx ∂y 2 Ry ∂x 2 Các phương trình chuyển động phi tuyến của vỏ được rút ra dựa trên lý thuyết dạng trượt bậc nhất và có thể được viết dưới dạng hàm độ võng và các thành phần nội lực, momen như sau: ∂N x ∂N xy ∂ 2u ∂ 2φ + = I 0 2 + I1 2x , ∂x ∂y ∂t ∂t (15a)
49 Phạm Hồng Công, Nguyễn Trọng Thưởng, Nguyễn Đình Đức ∂N xy ∂N y ∂2v ∂φ y + = I0 + I1 2 , ∂x ∂y ∂t 2 ∂t (15b) ∂Qx ∂Qy ∂ w ∂ w 2 ∂ w 2 2 + + N x 2 + 2 N xy + Ny 2 ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y (15c)  ∂2w ∂2w  N Ny ∂2w −k1 w+k 2  2 + 2  + q + x + = 2 , I0  ∂x ∂y  Rx Ry ∂t ∂M x ∂M xy ∂φ2 ∂u2 + − Qx I 2 2x + I1 2 , = ∂x ∂y ∂t ∂t (15d) ∂M xy ∂M y ∂φ y ∂2v + − Qy I 2 2 + I1 2 , = ∂x ∂y ∂t ∂t (15e) hc − 2  ∂D  cos(β z ) ∂Dx + cos(βz ) y + β sin(βz ) D dz h ∫   ∂x ∂y z  − c −h f (15f) 2 hc +h f 2  ∂D  cos(βz ) ∂Dx + cos(βz ) y + β sin(βz ) D dz = 0, + hc ∫   ∂x ∂y z  2 hc − 2  ∂Bx ∂By  h ∫ cos(βz )   ∂x + cos(βz ) ∂y + β sin(βz ) Bz dz   − c −h f (15g) 2 hc +h f 2  ∂Bx ∂By  + ∫ hc cos(βz )   ∂x + cos(βz ) ∂y + β sin(βz ) Bz dz = 0.   2 Để giải phương trình (14) và phương trình (15) với hai ẩn là w và f , kết hợp với điều kiện biên tất cả bốn cạnh của vỏ tựa bản lề và có thể tự do dịch chuyển [5], có thể chọn nghiệm gần đúng = W(t ) sin λm x sin δ n y= φ (t ) sin λm x sin δ n y= ψ (t ) sin λm x sin δ n y, w( x, y, t ) , Φ ( x, y , t ) , Ψ ( x, y , t ) φx ( x, y, t ) =, t ) = Φ x (t ) cos λm x sin δ n y, φ y ( x, y Φ y (t ) sin λm x cos δ n y, (16) 1 1 = A1 cos 2λm x + A2 cos 2δ n y + A3 sin λm x sin δ n y + N x 0 y 2 + N yo x 2 , f 2 2 mπ nπ đó λm trong = = ,δn , m, n là các số tự nhiên lẻ; W, Φ x , Φ y , φ và ψ là biên độ của độ võng, a b góc quay, điện thế và từ trường tương ứng. Đối với sự không hoàn hảo ban đầu, bài báo giả định rằng hàm độ võng không hoàn hảo w * có cùng dạng với độ võng w , ta có:
50 Dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong nanocomposite ba pha có lớp ngoài làm bằng vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi w * ( x, y, t ) = µ h sin λm x sin δ n y (17) với µ (0 ≤ µ ≤ 1) là tham số không hoàn hảo ban đầu,khi µ = 0 tương đương với vỏ là hoản hảo. Sử dụng các phương trình (16), (17) được thay vào phương trình (14) và thực hiện một số phép biến đổi, ta được: δ n2 λm 2 = A1 W ( W + 2 µ h ) , A2 = W ( W + 2 µ h ) , A3 I1W + I 2 Φ x + I 3Φ y + I 4φ + I 5ψ , = 32 B2 λm 2 32 A1δ n 2 trong đó = I1 h1 h0 , I2 h = 2 , I3 h0 h = 3 , I4 h0 h = 4 , I5 h0 h h0 = ( = 5 , h0 B2 λm 4 + A2 + B1 + A10 λm 2δ n 2 + A1δ n 4 , ) 1 Rx δ h1 = n 2 + 1 2 Ry ( ) λm , h2 =λm3 + B10 − A3 λmδ n 2 , h3 =δ n 3 + B10 − B4 λm 2δ n , − B3 − A4 ( ) h4 = n 2 + B5λm 2 , h5 = n 2 + B6 λm 2 , A5δ A6δ Thay (6) - (9) vào phương trình chuyển động (15), áp dụng phương pháp Galerkin và thực hiện một số phép biến đổi, ta được: 2 (4 1 6 ) l1 W + l1 Φ x + l3Φ y + l1 − l5 N x 0 − l1 N y0 ( W + µh ) + l1 W ( W + µh ) 1 1 7 +l8 ( W + µh ) Φ x + l9 ( W + µh ) Φ y + l10W ( W + 2µh ) 1 1 1 (18a) ∂2W +l11W ( W + µh )( W + 2µh ) + l12 N x 0 + l13 N y0 + l14 + l14 q = I 0 1 1 1 1 , ∂ 2 t l1 W + l1 Φ x + l1 Φ y + l26 ( W + µh ) + l1 W ( W + 2µh ) 21 22 23 24 (18b)  I 2  ∂ 2Φ +l1 N x 0 + l1 N y0 + l1 =  I 2 − 1  x, 25 26 27  I 0  ∂t 2   l31W + l32 Φ x + l33Φ y + l36 ( W + µh ) + l34W ( W + 2µh ) 1 1 1 1 (18c)  I 2  ∂ Φy 2 1 1 1 +l35 N x 0 + l36 N y0 + l37 =  I2 − 1  ,  I 0  ∂t 2   = i ( = = ) ( 2 ) ( 1 ) trong đó l1 i 1,14 , l1 j j 1, 7 , l3 j j 1, 7 là các hệ số. 3. Kết quả giải số và thảo luận Các thông số vật liệu và tải dùng trong phần này như sau: trọng h1 f = h2 f = 0.01( m ) , hc= 8h f , a= b= 20h, a / Rx= 0.5, b / Ry= 0.5 . Các tính chất của vật liệu được cho như sau: CNT: lr = 25 ×10−6 m, dr = 1.4 ×10−9 m, hr = 0.34 ×10−9 m, ρr = 1350kg / m3 , Er = 640GPa, vr = 0.33, GPL: lg = 2.5 ×10−6 m, wg = 1.5 ×10−6 m, hg = 1.5 ×10−9 m, ρg = 1060kg / m3 , E g = 1.01TPa, vg = 0.2,
51 Phạm Hồng Công, Nguyễn Trọng Thưởng, Nguyễn Đình Đức F E11 F E 22 F , v12 F Sợi: = 220.63GPa, = 13.79GPa= 0.2,= 8.96GPa= 1771.5kg / m3 , G12 ,ρF Vật liệu nền: Em 1000 ( 3.52 − 0.0034T ) MPa, ρm 1150kg / m3 , vm 0.34, = = = 3.1. Kiểm tra độ tin cậy Để kiểm tra độ tin cậy của nghiên cứu hiện tại, Bảng 2 so sánh các tần số tuyến tính không thứ nguyên Ω = ωmn a / p / E của vỏ với kết quả số của Dawe và các cộng sự [6], Lim và các cộng sự [7], Wang và Shen [8], Srinivas và các cộng sự [9]. Các thông số hình học và vật liệu được chọn là a / b= 1, b / h= 10, v= 0.3, m= n= 1, Rx = Ry → ∞. Bảng 2. So sánh tần số tuyến tính không thứ nguyên Ω = ωmn a / p / E ( a= /b 1, b= 10, v 0.3) /h = Dawe et al. Lim et al. Wang and Srinivas et Bài báo [6] [7] Shen [8] al. [9] 0.5768 0.57694 0.57733 0.57769 0.5781 Tiếp theo, Bảng 3 so sánh các tỷ lệ tần số phi tuyến với tuyến tính của một tấm đẳng hướng với kết quả phân tích của Singh và các cộng sự [10], Chen và Doong [11], Wang và Shen [12]. Bảng 3. So sánh tỷ lệ tần số phi tuyến trên tuyến tính ω NL / ωmn , ( a= 1, b= 10, v 0.3) /b /h = A/h Singh et al. Chen and Wang and Hiện tại [10] Doong [11] Shen [12] 0.2 1.023 1.024 1.0206 1.0223 0.4 1.090 1.091 1.0802 1.0864 0.6 1.192 1.192 1.1728 1.1855 0.8 1.321 1.324 1.2912 1.3118 1 1.468 1.476 1.4293 1.4582 Từ kết quả so sánh trong bảng 1 và 2 cho thấy sự phù hợp của phương pháp được sử dụng trong nghiên cứu này với kết quả của các nghiên cứu khác đã được công bố. 3.2. Kết quả số và thảo luận Bảng 4 thể hiện ảnh hưởng của điện thế φ0 (V ) , từ trường ψ 0 ( A ) của lớp có tính chất điện từ và trường đàn hồi lên tần số dao động tự do của vỏ trong trường hợp sợi là GPL. Các thông số được chọn a / b = 1, ( m, n ) = (1,1) , K1 = 1( GPa / m ) , K 2 = 0.02 ( GPa.m ) , b / h = 20. Từ bảng ta thấy khi tăng từ trường ψ 0 =( −200 A, 0 A, 200 A ) thì tần số dao động tự do tăng và khi tăng điện thế φ0 =0V , 400V ,800V ) thì tần số dao động tự do giảm. ( Bảng 4. Ảnh hưởng của điện thế φ0 (V ) , từ trường ψ 0 ( A ) của lớp có tính chất điện từ lên tần số tự nhiên của vỏ thoải hai độ cong ( φ0 , ψ0 ) = ( 0, −200 ) ( 0, 0 ) ( 0, 200 ) ( 400, 200 ) (800, 200 ) 5853.801 5854.262 5854.724 5854.678 5854.632 Hình 2 thể hiện ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích của các thành phần nền, sợi, hạt lên đường cong biên độ độ võng – thời gian. Các thông số đầu vào được chọn là a / b = 1, hc / h f = 8, b / h = 20, φ0 = (V ) , ψ 0 = ( A ) , ( m, n ) = (1,1) , a / Rx = 0.5, b / Ry = 0.5, K1 = 1( GPa / m ) , K 2 = 0.02 ( GPa.m ) . 400 200
52 Dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong nanocomposite ba pha có lớp ngoài làm bằng vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi ( ) * Từ hình vẽ ta có thể thấy rằng trường hợp sử dụng GPL f g có độ võng thấp nhất và độ võng cao nhất ứng với trường hợp chỉ có nền ( f F ) . Hình 2. Ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích các thành phần của lớp composite ba pha lên đường cong biên độ độ võng – thời gian Bảng 5 cho thấy ảnh hưởng của mô hình phân bố CNT _ UD, FG _ CNT _ O, FG _ CNT _ X , FG _ CNT _ Λ, FG _ CNT _ V trong mô hình vật liệu CNT và hệ số nền đàn hồi ( ) K1 ( GPa / m ) , K 2 ( GPa.m ) lên tần số tự nhiên s −1 của vỏ thoải hai độ cong. Các thông số được chọn: a / b = 1, b / h = 20, hc / h f = 8, a / Rx = 0.5, b / Ry = 0.5, ∆m = ∆T = φ0 = (V ) , ψ 0 = ( A ) . 0, 0, 400 200 Kết quả chỉ ra, mô hình FG _ X có tần số tự nhiên lớn nhất, mô hình FG _ O có tần số tự nhiên nhỏ nhất. Bảng 5. Ảnh hưởng của mô hình phân bố và hệ số nền đàn hồi lên tần số tự nhiên của vỏ Các mô hình K1 ( GPa / m ) , (m,n) phân bố CNTs K ( GPa.m ) 2 (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) CNT _ UD (0,0) 734.538 1811.887 1921.169 2683.445 FG _ CNT _ O (0,0) 734.513 1811.865 1921.148 2683.421 FG _ CNT _ X (0,0) 734.557 1811.906 1921.187 2683.461 FG _ CNT _ V (0,0) 734.531 1811.884 1921.166 2683.435 FG _ CNT _ Λ (0,0) 734.532 1811.882 1921.166 2683.433 CNT _ UD (1,0.02) 2393.338 3022.474 3089.690 3703.782 FG _ CNT _ O (1,0.02) 2393.326 3022.451 3089.666 3703.748 FG _ CNT _ X (1,0.02) 2393.340 3022.476 3089.691 3703.785 FG _ CNT _ V (1,0.02) 2393.328 3022.453 3089.667 3703.753 FG _ CNT _ Λ (1,0.02) 2393.332 3022.462 3089.676 3703.764
53 Phạm Hồng Công, Nguyễn Trọng Thưởng, Nguyễn Đình Đức 4. Kết luận Bài báo đã thiết lập nghiệm giải tích dao động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong composite ba pha có lớp ngoài làm bằng vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi. Kết quả số đã chỉ ra ảnh hưởng của nền đàn hồi, mô hình phân bố vật liệu, cấu trúc vật liệu, tham số của lớp có tính chất điện từ đàn hồi lên tần số dao động và đáp ứng động học của vỏ thoải hai độ cong composite ba pha có lớp ngoài làm bằng vật liệu có tính chất điện từ trường đàn hồi. Kết quả của nghiên cứu góp phần vào việc tính toán kết cấu và ứng dụng loại kết cấu này trong thực tiễn. Lời cảm ơn Nghiên cứu này được tài trợ bởi đề tài cơ sở cấp viện Cơ học năm 2022 có tên ″Xây dựng đánh giá mới các hệ số đàn hồi cho một lớp vật liệu đa tinh thể Tetragonal″. Tài liệu tham khảo [1] V.D. Quang, T.Q. Quan, T. Phuong. Static buckling analysis and geometrical optimization of magneto-electro- elastic sandwich plate with auxetic honeycomb core. Thin-Walled Structures, 173, (2022), 108935 [2] N.D Dat, T.Q. Quan. V. Mahesh, N.D. Duc. Analytical solutions for nonlinear magneto-electro-elastic vibration of smart sandwich plate with carbon nanotube reinforced nanocomposite core in hygrothermal environment. International Journal of Mechanical Sciences, 86, (2020), 105906 [3] S.M. Mirfatah, S. Tayebikhorami, M.A. Shahmohammadi, H. Salehipour, O. Civalek. Thermo-elastic damped nonlinear dynamic response of the initially stressed hybrid GPL/CNT/fiber/polymer composite toroidal shells surrounded by elastic foundation. Composite Structures, 283, (2022), 115047 [4] M.A. Shahmohammadi, S.M. Mirfatah, S. Emadi, H. Salehipour, O. Civalek. Nonlinear thermo-mechanical static analysis of toroidal shells made of nanocomposite/fiber reinforced composite plies surrounded by elastic medium. Thin-Walled Structures, 170, (2022), 108616 [5] P.H. Cong, V.D. Trung, N.D. Khoa, N.D. Duc. Vibration and nonlinear dynamic response of temperature- dependent FG-CNTRC laminated double curved shallow shell with positive and negative Poisson’s ratio. Thin- Walled Structures, 171, (2022), 108713 [6] D.J. Dawe, R.W. Horsington, A.G. Kamtekar, G.H. Little. Aspects of the analysis of Plate structures. Clarendon Press, Oxford (1985). [7] C.W. Lim, S. Kitipornchai, K.W. Liew, Numerical aspects for free vibration of thick plates part II: Numerical efficiency and vibration frequencies. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 156, (1998), pp. 31–44. [8] Z.X. Wang, H.S. Shen. Nonlinear vibration of nanotube-reinforced composite plates in thermal environments. Computational Materials Science, 50, (2011), pp. 2319–2330. [9] S. Srinivas, C.V. Joga Rao, A.K. Rao. An exact analysis for vibration of simplysupported homogeneous and laminated thick rectangular plates. Journal of Sound and Vibration, 12, (1970), pp.187–199. [10] P.N. Singh, V. Sundararajan, Y.C Das. Large amplitude vibration of some moderately thick structural elements. Journal of Sound and Vibration, 36, (1974), pp.375–387. [11] L.W. Chen, J.L. Doong. Large amplitude vibration of an initially stressed moderately thick plate. Journal of Sound and Vibration, 89, (1983), pp.499-508. [12] Z.X. Wang, H.S. Shen. Nonlinear vibration and bending of sandwich plates with nanotube-reinforced composite face sheets. Composites Part B: Engineering, 43, (2012), pp.411–421.