TR NG THPT DTNTƯỜ Đ CH N HSG L P 12 THPT NĂM H C 2015-2016Ề Ọ Ớ Ọ
MÔN: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian giao đ.ờ ể ờ ề
————————————
Câu I. Cho hàm s ố
2
32
x
x
y
có đ th (ồ ị C) (C)
a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
b) Ch ng minh r ng ứ ằ d:
mxy 2
c t (ắC) t i hai đi m ạ ể A, B phân bi t v i m i s th c ệ ớ ọ ố ự m. G i ọ
,
1
k
2
k
l nầ
l t là h s góc c a ti p tuy n c a (ượ ệ ố ủ ế ế ủ C) t i ạA và B. Tìm m đ ểP =
2013
2
2013
1kk
đt giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ
Câu II.
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
cos cos3 1 2 sin(2 )
4
x x x
π
+ = + +
2. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
3 2
3 2
1 2( ) ( , )
1 2( )
x x x y x y R
y y y x
+ = − +
+ = − +
Câu III
1. Cho
5
1; 4
a� �
−�
� �
� �
.Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ
2. Tìm t t c các giá tr c a ấ ả ị ủ m đ h sau có nghi m th c: ể ệ ệ ự
2
2
2
4 2 2
45
( 2)
8 16 16 32 16 0
x
xx
x x mx m m
+
+
+ + + + + =
Câu IV
1. Cho khai tri n: ể
( )
2
0 1 2
1 2 .....
nn
n
x a a x a x a x+ = + + + +
*
( )n N
.
Tính t ng: A=ổ
1 2
2 ..... .
n
a a n a+ + +
. Bi t: ế
2 3
2 14 1
3
n n
C C n
+ =
2. Trong m t ph ng v i h t a đ ặ ẳ ớ ệ ọ ộ
Oxy
cho đng tròn ườ
04: 22 xyxT
và đng th ngườ ẳ
022: yxd
. Tìm t a đ đi m ọ ộ ể
M
thu c ộ
d
sao cho t đi m ừ ể
M
k đc 2 ti p tuy n ẻ ượ ế ế
MBMA,
đnế
T
v i ớ
BA,
là các ti p đi m đng th i đng th ng ế ể ồ ờ ườ ẳ
AB
đi qua đi m ể
5;4 K
Câu V
1. Cho t di n đu ứ ệ ề ABCD c nh ạa, hai đi m ểM, N ch y t ng ng trên các đo n ạ ươ ứ ạ AB và CD sao cho BM =
DN. Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a ị ớ ấ ỏ ấ ủ MN.
2. Trong không gian v i h t a đ ớ ệ ọ ộ
Oxyz
cho m t ph ng ặ ẳ
0422: zyxP
và m t c uặ ầ
0106210: 222 zyxzyxS
. T đi m ừ ể
M
trên
P
k 1 đng th ng ẻ ườ ẳ
ti p xúc v i ế ớ
S
t iạ
đi m ể
N
. Xác đnh v trí c a đi m ị ị ủ ể
M
đ đ dài đo n th ng ể ộ ạ ẳ
MN
b ng ằ
11
-------------------------H tế-----------------------------
H NG D N Đ ÔN THI H C SINH GI I T NH Đ 02ƯỚ Ẫ Ề Ọ Ỏ Ỉ Ề
Câu N i dungộĐiể
m
I
2,0đ
2) Cho hàm s ố
2
32
x
x
y
có đ th (C) và đng th ng d: y = - 2x + m. Ch ng minh r ngồ ị ườ ẳ ứ ằ
d c t (C) t i hai đi m A, B phân bi t v i m i s th c m. G i ắ ạ ể ệ ớ ọ ố ự ọ
21 ,kk
l n l t là h s gócầ ượ ệ ố
c a ti p tuy n c a (C) t i A và B. Tìm m đ P = ủ ế ế ủ ạ ể
2013
2
2013
1kk
đt giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ
Xét ph ng trình hoành đ giao đi m c a đ th (C) và d:ươ ộ ể ủ ồ ị
mx
x
x
2
2
32
(*)023)6(2
2
2mxmx
x
0,5
Xét ph ng trình (*), ta có: ươ
Rm ,0
và x = -2 không là nghi m c a (*) nên d luôn c tệ ủ ắ
đ th (C) t i hai đi m phân bi t A, B v i m i m.ồ ị ạ ể ệ ớ ọ
0,5
H s góc c a ti p tuy n t i A, t i B l n l t là ệ ố ủ ế ế ạ ạ ầ ượ
2
2
2
2
1
1)1(
1
,
)1(
1
x
k
x
k
, trong đó
1
x
,
2
x
là 2 nghi m c a ph ng trình (*), ta th yệ ủ ươ ấ
4
422
1
22
1
.2
2121
2
2
2
1
21
xxxxxx
kk
(k1>0, k2>0)
0,5
Có P =
2014
2013
21
2013
2
2013
12.2 kkkk
, do dó MinP = 22014 đt đc khiạ ượ
2
2
2
1
2
2
2
1
21 )2()2(
)2(
1
)2(
1
xx
xx
kk
do
1
x
,
2
x
phân bi t nên ta có xệ1 +2 = - x2 - 2
x1 + x2 = - 4
m = - 2. V y m = - 2 là giá tr c n tìm.ậ ị ầ
0,5
II.1
2,0đ
Gi i ph ng trình: ả ươ
cos cos3 1 2 sin(2 )
4
x x x
π
+ = + +
= + +�
2cos2xcosx 1 sin2x cos2x
0, 5
− = +� cos2x(2cosx 1) 1 2sinxcosx
− − = +�
2 2 2
(cos x sin x)(2cosx 1) (cosx sinx)
+ =
− − = +
cosx sinx 0 (1)
(cosx sinx)(2cosx 1) cosx sinx (2)
0,5
� �
π π π
+ = + = π = − + π� � �
� �
� �
(1) 2sin x 0 x k x k
4 4 4
0,5
π
== + π
− − =� � �
� �
π
+ = π π
� �
+ = + π
� �
cosx 0 x k
2
(2) 2cosx(cosx sinx 1) 0 2cos x 1 x k2
44 4
V y pt có nghi m là ậ ệ
π
= − + πx k
4
,
π
= + πx k
2
,
= πx k2
0,5
II.2
2,0đGi i h ph ng trình: ả ệ ươ
3 2
3 2
1 2( ) ( , )
1 2( )
x x x y x y R
y y y x
+ = − +
+ = − +
Ta có h ệ
3 2
3 2
2 2 1 2 (1)
2 2 1 2 (2)
x x x y
y y y x
− + + =
− + + =
Xét hàm s ố
3 2
( ) 2 2 1, f t t t t t R= − + +
. Ta có
2
'( ) 3 4 2 0, f t t t t R= − + > ∀
nên hàm
s f(t) đng bi n trên ố ồ ế
R
.
1
N u ếx>y thì
2 ( ) ( ) 2y f x f y x y x= > = >�
, vô lí
T ng t , không th có ươ ự ể x<y. V y ậx=y 1
Thay x=y vào (1) ta đc:ượ
3 2 2
1 5
2 1 0 ( 1)( 1) 0 1; 2
x x x x x x x
− + = − − − = = =� �
.0,5
V y h có ba nghi m (ậ ệ ệ x;y) là:
1 5 1 5 1 5 1 5
(1;1); ; ; ;
2 2 2 2
� �� �
+ + − −
� �� �
� �� �
.0,5
III.1
1,0đxét hàm s theo bi n ố ế a:
5 4 1
( ) 5 4 2 1 6
a a
f a a a
− − +
=− + + +
,
5
14
a−
0,5
Tính đo hàm tr c ti p suy ra hàm ạ ự ế f(a) ngh ch bi n trên đo n ị ế ạ
5
1; 4
� �
−
� �
� �
, 1,0
V y ậ
1
min 6
P= −
, khi
5
4
a=
; V y ậ
1
m ax 3
P=
, khi
1a= −
.0,5
III.2
2,0đ* Gi i BPT: ả
2
2
2
45 (1)
( 2)
x
xx
+
+
. V i ớ
2x −
, (1) t ng đng v iươ ươ ớ
2
2
22 2 2
2
1
2 4 2
5 0 4. 5 0
2 2 2 2 5
2
x
x x x x x
xx x x x x
x
� �
� � +
− + − + −�� ��
� �
� �
+ + + +
� �
� � −
+
0,5
T đó tìm ra ừ
2x
ho c ặ
2 1x
− −
. 0,5
* Gi s ả ử
0
x
là m t nghi m c a PT: ộ ệ ủ
4 2 2
8 16 16 32 16 0x x mx m m+ + + + + =
(2)
Khi đó PT:
4 2 2
0 0 0
8 16 16 32 16 0x x mx m m+ + + + + =
ph i có nghi m ả ệ m
Suy ra PT:
2 4 2
0 0 0
16 16( 2) 8 16 0m x m x x+ + + + + =
ph i có nghi m ả ệ m. Do đó
2 4 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
' 64( 2) 16( 8 16) 0 16 ( 2)( 2 8) 0 0 2x x x x x x x x∆= + −+ + −−+ + �� � �
0,5
Nh v y n u (2) có nghi m thì nghi m l n nh t là 2 và nghi m nh nh t là 0.ư ậ ế ệ ệ ớ ấ ệ ỏ ấ
Do đó h (1), (2) có nghi m khi PT (2) có nghi m ệ ệ ệ x=2.
Thay x=2 vào (2) ta đc: ượ
2
4 4 0 2m m m+ + = = −�
V y v i ậ ớ
2m
= −
thì h (1), (2) có nghi m.ệ ệ
0,5
IV.1
1,5đGi i ph ng trình: ả ươ
2 3
2 14 1
3
n n
C C n
+ =
ta đc: n =9ượ 0,5
V i n = 9 ta có ớ
( )
92 9
0 1 2 9
1 2 .....x a a x a x a x+ = + + + +
L y đo hàm hai v ta đc: ấ ạ ế ượ
( )
88
1 2 9
9 2 1 2 2 ..... 9x a a x a x+ = + + +
0, 5
Cho x = 1 ta đc A=ượ
( )
8
1 2 9
2 ..... 9. 9 2 1 2a a a+ + + = +
.0,5
IV.2
2,0đCách 1.
Đng tròn ườ
T
có tâm
0;2I
và bán kính
2R
G i ọ
J
là trung đi m c a ể ủ
MI
Gi s ả ử
daaM
22;
suy ra:
1;
2
2a
a
J
và
2
845
2
aa
MJ
Vì
BIMBAIMA ,
nên
BA,
thu c đng tròn ộ ườ
C
có tâm
1;
2
2a
a
J
và
bán kính
2
845
2
aa
MJ
0,5
Ph ng trình ươ
4
845
1
2
2
:
2
2
2
aa
ay
a
xC
. Hay
02222:
22
ayaxayxC
0,5
Nh v y 2 đi m ư ậ ể
BA,
v a thu c đng tròn ừ ộ ườ
T
v a thu c đng tròn ừ ộ ườ
C
do đó t a đ ọ ộ
c a ủ
BA,
là
nghi m c a h : ệ ủ ệ
02222
04
22
22
ayaxayx
xyx
02222 ayaxa
0,5
Do đó
BA,
thu c đng th ng ộ ườ ẳ
02222 ayaxa
.
Hay nói cách khác là đng th ng ườ ẳ
AB
có ph ng trình: ươ
02222 ayaxa
Vì đng th ng ườ ẳ
AB
đi qua đi m ể
5;4 K
nên ta có:
4
7
;
8
1
8
1
02160252242 Maaaaa
0,5
V.1
2,0đ
Cho t di n đu ABCD c nh a, hai đi m M, N ch y t ng ng trên đo n AB và đo n CDứ ệ ề ạ ể ạ ươ ứ ạ ạ
sao cho BM = DN. Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a MN.ị ớ ấ ỏ ấ ủ
+) Đt ặ
x
BA
BM
, v i ớ
10 x
x
DC
DN
. Khi đó ta có:
BAxBM .
và
DCxDN .
0,5
+) Ta có:
BDxBCxBNBDBCxBDBNDCxDN ).1(.)(.
Do đó:
BAxBDxBCxBMBNMN .).1(.
0,5
+) MN2 =
2
)1(2
2
.2
2
)1(2)1(
22
2
2
222222 a
xx
a
x
a
xxaxaxax
= a2
)1()1()1( 2222 xxxxxxxx
= (2x2 – 2x + 1)a2
0,25
+) Xét hàm s ốf(x) = 2x2 – 2x + 1 trên đo n ạ
1;0
ta có:
2
1
)
2
1
()(min,1)1()0()(max fxfffxf
0,25
+) MN đt giá tr nh nh t b ng ạ ị ỏ ấ ằ
2
2a
khi M, N l n l t là trung đi m c a AB, CD.ầ ượ ể ủ 0,25
+) MN đt giá tr l n nh t b ng ạ ị ớ ấ ằ a khi M
B, N
D ho c Mặ
A, N
C. 0,25
V.2
2,0đ
Trong không gian v i h t a đ ớ ệ ọ ộ
Oxyz
cho m t ph ng ặ ẳ
0422: zyxP
và m t c uặ ầ
0106210: 222 zyxzyxS
. T đi m ừ ể
M
trên
P
k 1 đng th ng ẻ ườ ẳ
ti p ế
xúc v i ớ
S
t i đi m ạ ể
N
. Xác đnh v trí c a đi m ị ị ủ ể
M
đ đ dài đo n th ng ể ộ ạ ẳ
MN
b ngằ
11
M t c u ặ ầ
S
có tâm
3;1;5I
và bán kính
5R
Vì
MN
là ti p tuy n c a m t c u nên ế ế ủ ặ ầ
NMIN
T đó ta tính đc : ừ ượ
6115 2
222 NMINIM
Do đó đi m ể
M
thu c m t c u ộ ặ ầ
1
S
tâm
3;1;5I
và bán kính
6
1R
0,5
V y nên t p h p các đi m ậ ậ ợ ể
M
là đng tròn ườ
C
chính giao tuy n gi a m t c u ế ữ ặ ầ
1
S
và
m t ph ng ặ ẳ
P
0,5
+)Tâm c a ủ
C
là hình chi u vuông góc c a ế ủ
I
trên m t ph ng ặ ẳ
P
và ta d dàng xác đnh ễ ị
đc tâm là đi m ượ ể
9
7
;
9
25
;
9
28
J
+) Bán kính c a ủ
C
là:
3
35
3
17
6,
2
222
1
PIdRr
0,5