Đề tài nghiên cứu khoa học cấp cơ sở: Sự hội tụ của tổng kép các biến ngẫu nhiên phụ thuộc theo khối

Lý thuyết xác suất đã ghi nhận nhiều định lý giới hạn quan trọng, trong đó các luật mạnh số lớn và sự hội tụ của tổng kép các biến ngẫu nhiên đóng vai trò nền tảng. Mặc dù đã có nhiều nghiên cứu về mảng kép biến ngẫu nhiên độc lập hoặc M-phụ thuộc âm, các hiện tượng phụ thuộc trong thực tiễn thường phức tạp hơn, đặc biệt là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc theo khối. Việc mở rộng các kết quả cổ điển cho trường hợp này là cấp thiết, không chỉ mang ý nghĩa lý thuyết sâu sắc mà còn có giá trị ứng dụng lớn trong thống kê, kinh tế và khoa học tự nhiên. Đề tài này nhằm xây dựng các luật mạnh số lớn dạng Loève, Marcinkiewicz-Zygmund và sự hội tụ theo trung bình cho mảng kép các biến ngẫu nhiên phụ thuộc theo khối, từ đó đóng góp vào việc hiểu rõ hơn về các quá trình ngẫu nhiên phức tạp.

Các nhà toán học, nhà nghiên cứu và sinh viên sau đại học chuyên ngành lý thuyết xác suất, quá trình ngẫu nhiên, thống kê toán học và kinh tế lượng, đặc biệt là những người quan tâm đến các định lý giới hạn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc.

Báo cáo này trình bày kết quả nghiên cứu về sự hội tụ của tổng kép các biến ngẫu nhiên phụ thuộc theo khối, một lĩnh vực quan trọng nhưng chưa được khám phá sâu rộng. Luận văn mở đầu bằng việc giới thiệu khái niệm mới 'M-phụ thuộc âm đôi một theo khối' cho mảng kép các biến ngẫu nhiên, tạo nền tảng lý thuyết cho các phát triển tiếp theo. Sử dụng cách tiếp cận lý thuyết, nghiên cứu phân tích các kết quả đã đạt được trong luật mạnh số lớn và sự hội tụ trung bình cho biến ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc đơn giản hơn, sau đó vận dụng các kỹ thuật để mở rộng chúng. Mục tiêu chính là xây dựng thành công luật mạnh số lớn dạng Loève và Marcinkiewicz-Zygmund cho mảng kép các biến ngẫu nhiên phụ thuộc theo khối, đồng thời thiết lập sự hội tụ theo trung bình (hội tụ L1) của tổng kép trong bối cảnh này. Các kết quả này không chỉ lấp đầy một khoảng trống trong lý thuyết xác suất mà còn có ý nghĩa khoa học sâu sắc, cung cấp những công cụ mới để phân tích các hệ thống phức tạp trong thống kê, kinh tế lượng và các khoa học tự nhiên, nơi các hiện tượng phụ thuộc là phổ biến và quyết định đến hành vi của tổng các biến ngẫu nhiên.