PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN GIA VIỄN
BẢNG NĂNG LỰC VÀ CẤP ĐỘ TƯ DUY
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2024 - 2025
Môn: TOÁN CHUYÊN
Năng lực
Cấp độ tư duy
Thông hiểu Vận dụng Vận dụng
cao
Tư duy và lập luận
Toán học
1
(Câu 1a, 3a)
1
(Câu 3b) 0
Giải quyết vấn đề
Toán học
1
(Câu 1b)
3
(Câu 2a, 4a, 5a)
4
(Câu 2b, 3c,
4b, 5b)
Tổng
(Số lệnh hỏi của
từng cấp độ tư duy)
3 4 4
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN GIA VIỄN
MA TRẬN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2024 - 2025
MÔN: TOÁN CHUYÊN
TT Nội dung
kiến thức
Mức độ nhận thức Tổng Tỉ lệ
%
tổng
điểm
Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
Số
CH
Số
điểm
Thời
gian
Số
CH
Số
điểm
Thời
gian
Số
CH
Số
điểm
Thời
gian
Số
CH
Số
điểm
Thời
gian
1
Rút gọn
biểu thức
nhiều biến
có điều
kiện liên hệ
giữa các
biến
1 1 10 1 1 10 10
2Hệ Phương
trình 1 1 10 1 1 15 10
3Đa thức 1 1 10 1 1 15 10
4Bất đẳng
thức 1 1 25 1 1 25 10
5Hình học
phẳng 1 1 10 1 1 10 1 1 15 3 3 35 30
6Số học 1 1 10 1 0,5 15 2 1,5 25 15
7Tổ hợp 1 1 10 1 0,5 15 2 1,5 25 15
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN GIA VIỄN
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học 2024 – 2025
Bài thi môn chuyên: Toán
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 05 bài trong 01 trang
Bài 1 (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức
2 2
2 2 2 2
.
x y x y x y
Ax y x y x y x y x y
−− +
= +
+ + − − − + −
với x > y > 0.
b)Giải hệ phương trình.
2
2
1 9
1
4
4
y
x xy x
y
x xy x
+ + =
+ − =
Bài 2 (2,0 điểm).
a)
Đa thức f(x) nếu chia cho x –1 được số dư bằng 4, nếu chia cho x – 3 được số
dư bằng 14.
Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3)
b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện
2 2
3x y z xy+ + =
.
Chứng minh rằng
3 3
7
16 8
x y x y
y z x z z
+
+ +
+ +
.
Bài 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC . Gọi D là trung điểm của BC. Hai
đường cao BE và CF cắt nhau tại H . Đường tròn tâm O ngoại tiếp
∆
BDF và đường tròn
tâm O’ ngoại tiếp
∆
CDE cắt nhau tại I ( I khác D ), EF cắt BC tại K . Chứng minh:
a) Tứ giác AEIF nội tiếp.
b) Tam giác DCA đồng dạng với tam giác DIC .
c) Ba đường thẳng BE,CF,KI đồng quy.
Bài 4 (1,5 điểm).
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 3 = 0.
b) Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn : (a - b)(b - c)(c - a) = a + b + c.
Chứng minh a + b + c chia hết cho 27.
Bài 5 (1,5 điểm)
a) Trên bảng, ngưởi ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1đến 100 sau đó thực hiện trò chơi
như sau: Mỗi lần xóa 2 số a,b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng a b 2 lên bảng.
Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao
nhiêu? Tại sao ?
b) Bảy người câu được 100 con cá. Biết rằng không có hai người nào câu được số cá như
nhau. Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá
-------HẾT-------
Họ và tên thí sinh: ................................................................. Số báo danh:.........................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:.......................................................................................
Giám thị 2: ......................................................................................
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN GIA VIỄN
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học 2024 – 2025
Bài thi môn chuyên: Toán
(Hươ:ng dâ<n châ:m gô=m 05 câu, 5 trang)
Câu Nội dung Điểm
1
(2,0đ)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
.
( )
.
( ) ( ) .
( ) ( )
.2 .
( ) ( ) .
2.( )
2
x y x y x y
Px y x y x y x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y x y
x y
y
x y
y
−− +
= +
+ + − − + − − −
− − +
= +
+ + − + − − −
− + − − + − + + − +
=+ − − −
− + +
=+ − − + −
+
=
+
=
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Điều kiện:
, 0x y
Hệ đã cho có dạng:
1 9 (1)
4 4 (2)
x y y x
y
x y x x
+ + =
+ − =
Lấy (1) trừ (2) ta được:
Với
x y
=
, thay vào (1) ta được:
8
2 0 2x x y
x
− = = =
Với
4x y
=
, thay vào (1) ta được:
5 1
5 0 2
4 2
y y x
y
− = = =
Vậy
1 1
( ; ) (2;2) ( 2; 2) (2; ) ( 2; )
2 2
x y
= = − − = = − −
0,25
0,25
0,25
0,25
a) Cách 1: Gọi thương của phép chia f(x) cho x – 1 và cho x – 3
2
(2,0đ)
theo theo thứ tự là A(x) và B(x)
Ta có:
f(x) = (x – 1).A(x) + 4 với mọi x (1)
f(x) = (x – 3).B(x) + 14 với mọi x (2)
Gọi thương của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là C(x) và dư là
R(x).
Vì bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của số chia nên bậc của nó nhỏ hơn
bậc 2 nên R(x) có dạng ax + b
Ta có: f(x) = (x – 1)(x – 3).C(x) +ax + b với mọi x
Thay x =1 vào (1) và (3) ta được :
f(1) = a + b
Thay x =3 vào (2) và (3) ta được : f(3) =14; f(3) = 3a + b
Suy ra:
3 14
4
a b
a b
+ =
+ =
hay
5
1
a
b
=
= −
Vậy đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là 5x – 1
Cách 2:
f(x) = (x – 1).A(x) + 4
nên (x – 3).f(x) = (x – 3)(x – 1).A(x) + 4(x – 3) (1)
f(x) = (x – 3).B(x) + 14
nên (x – 1).f(x) = (x – 3)(x – 1).B(x) + 14(x – 1) (2)
Lấy (2) – (1) ta được:
[(x – 1) – (x – 3) ].f(x) =(x – 1)(x – 3) [A(x) – B(x)] + 14(x – 1) – (x – 3)
nên 2f(x) = (x – 1)(x – 3)[A(x) – B(x)] + 10x – 2
f(x) = (x – 1)(x – 3).[A(x) – B(x)] : 2 + 5x – 1
Ta thấy 5x – 1 có bậc bé hơn bậc số chia vậy số dư cần tìm là 5x – 1.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Ta có:
2 2
3 2xy x y z xy z xy z + + + =
Suy ra:
3 3 2 2
( )( ) ( )
16 16 16 16
x y x y x y xy x y xy x y
z z z
+ + + − + +
=
(1)
0,25