Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn môn Toán chuyên năm 2013 - 2014 - Sở GD&ĐT Bình Định

Phan Hòa Đại<br /> SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO<br /> <br /> Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định<br /> KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014<br /> <br /> BÌNH ĐỊNH<br /> Đề chính thức<br /> <br /> TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN<br /> Môn thi: Toán ( Chuyên toán - tin )<br /> <br /> Thời gian làm bài: 150’<br /> <br /> Ngày thi: 15/6/2013<br /> <br /> <br /> x 2<br /> x 2<br /> <br />  x  x ( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1)<br />  x  2 x 1 x 1 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức: Q  <br /> <br /> <br /> <br /> 1. Rút gọn Q<br /> 2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên<br /> x  2<br /> 3<br /> 13<br />  x  3  y  1  10<br /> <br /> Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình: <br />  3  2y  4   11<br />  x  3 y  1<br /> 6<br /> <br /> Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR :<br /> <br /> bc ca ab<br />  <br />  a  b  c.<br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> Bài 4: (3 đ) Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng (d) không đi qua O cắt đường tròn tại hai<br /> điểm A,B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (<br /> C,D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.<br /> 1. CMR các điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn.<br /> 2. Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD.<br /> 3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm<br /> vị trí điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất.<br /> Bài 5: (1 đ) : Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức: A  7  13  7  13  2<br /> ---*---<br /> <br /> Phan Hòa Đại<br /> <br /> Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định<br /> <br /> HƯỚNG DẪN GIẢI<br /> <br /> x 2<br /> x 2<br /> Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức: Q  <br /> <br />  x  x ( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1)<br />  x  2 x 1 x 1 <br /> <br /> <br /> 1.Rút gọn Q<br /> <br /> <br /> <br />  x 2<br /> <br /> x 2<br /> x 2<br /> x 2<br /> Q<br /> <br /> <br />  x x <br />  x x 1<br /> 2<br />  x  2 x 1 x 1 <br /> x 1 x 1 <br />  x 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x 2<br /> <br />  x  1   x  2 <br />  x  1 x  1<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> x 1<br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x 1 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x x 2x x 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> <br /> <br /> . x<br /> <br /> 2x<br /> x 1<br /> <br /> 2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên:<br /> 2x<br /> 2<br /> Q=<br />  2<br />  Q   x  1 U(2)= 2; 1;1;2  x  1;0;2;3 Kết hợp với điều<br /> x 1<br /> x 1<br /> kiện => x  0;2;3<br /> Vậy với x  0;2;3 thì Q nhận giá trị nguyên.<br /> Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình:<br /> x  2<br /> <br />  1<br /> 3<br /> 13<br /> 1<br /> 3<br /> 13<br /> 3<br /> 3<br />  x  3  y  1  10<br /> 1  x  3  y  1  10<br />  x  3  y  1  10<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  3  2y  4   11<br />  3  2  2   11<br />  3  2 1<br />  x  3 y  1<br />  x  3<br />  x  3 y  1 6<br /> 6<br /> y 1<br /> 6<br /> <br /> ( ĐK x ≠ 3; y ≠ -1)<br /> <br /> 1<br />  1<br /> 3<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> 3b<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> 1<br /> 1<br />  10<br />  x  3 10  x  13<br /> 10<br /> Đặt a =<br /> ; b=<br /> ta được hệ : <br />  ...  <br /> <br /> <br /> (TMDK)<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> y<br /> <br /> 14<br /> x 3<br /> y 1<br /> <br /> 3a  2b <br /> b <br /> <br /> <br /> 6<br /> 15  y  1 15<br /> <br /> <br /> Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (13;14)<br /> bc ca ab<br />  <br />  a  b  c.<br /> Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR :<br /> a<br /> b<br /> c<br /> a,b,c là các số thực dương => Theo BĐT Cô-Si ta được:<br /> <br /> bc ca<br /> bc ca<br />  2<br /> .  2c <br /> a<br /> b<br /> a b<br /> <br /> <br />  bc ca ab <br /> ca ab<br /> ab ca<br /> bc ca ab<br /> <br /> 2<br /> .  2a   2      2.  a  b  c  <br />  <br />  a bc<br /> b<br /> c<br /> c b<br /> b<br /> c <br /> a<br /> b<br /> c<br />  a<br /> <br /> <br /> bc ab<br /> bc ab<br /> <br /> 2<br /> .<br />  2b <br /> a<br /> c<br /> a c<br /> <br /> Bài 4: (3 đ)<br /> 1. CMR các điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn.<br /> HA=HB => OH  AB ( đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm) => OHM = 900<br /> Lại có ODM = 900 ( Tính chất tiếp tuyến)<br /> <br /> Phan Hòa Đại<br /> <br /> Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định<br /> 0<br /> <br /> Suy ra OHM = ODM = 90 => H,D cùng nhìn đoạn OM dưới 1 góc vuông => H,D cùng nằm trên<br /> đường tròn đường kính OM => các điểm M,D,O,H cùng nằm trên đường tròn đường kính OM<br /> 2. Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD.<br /> Ta có: COI  DOI ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)=> CI  DI => CDI  DIM => DI là phân<br /> giác trong của ∆ MCD (1)<br /> Lại có MI là đường phân giác trong của ∆ MCD ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2)<br /> Từ (1) và (2) suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ MCD<br /> 3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí<br /> điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất.<br /> Ta có ∆MOD = ∆MOP (g-c-g) => S∆ MPQ= 2 S∆ MOQ =OD.MQ = R.MQ<br /> Q<br /> => S∆ MPQ nhỏ nhất  MQ nhỏ nhất (3)<br /> D<br /> Theo BĐT Cô – si cho hai số không âm ,<br /> ta có: MQ = MD+DQ ≥ 2 MD.DQ  2 OD2  2OD  2R<br /> O<br /> ( Vì ∆ MOD vuông tại O có đường cao OD nên OD2=MD.DQ )<br /> I<br /> Dấu “=” xảy ra  MD= DQ  ∆OMQ vuông cân tại O (d)<br /> A<br /> B<br /> H<br /> M<br /> OD<br /> R<br />  OMD  450  OM <br /> <br /> <br /> 2.R<br /> sin OMD sin 450<br /> C<br /> P<br /> (Vì ∆ ODM vuông nên OD= OM.sinOMD )<br /> Vậy MQmin = 2R  OM = 2 R (2)<br /> Từ (3) và (4) suy ra khi M nằm trên (d) cách O một khoảng 2 R thì S∆ MPQ nhỏ nhất là R.2R=2R2 (<br /> d.v.d.t)<br /> Bài 5: (1 đ) : A  7  13  7  13  2 .Ta có:<br /> <br /> 2.A  14  2 13  14  2 13  2 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 13  1 <br /> <br /> <br /> <br />  13  1  13  1  2  13  1  13  1  2  0<br />  A  0<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 13  1  2<br /> <br />