Báo Cáo Ch
ng
ươ
ư
L u Hoàng em – DH7A2 Đ i h c An Giang ạ ọ
Ề
NG PHÁP • Đ T V N Đ Ặ • PH ƯƠ Ế
GAOX (HAY PH Ấ NG PHÁP TR C TI P: PH Ự ƯƠ Ơ ƯƠ NG PHÁP KH ) Ử
NG PHÁP L P • NH NG PH Ữ ƯƠ Ặ
Ấ
BÀI 1. Đ T V N Đ Ặ i h th ng ph ả ệ ố
ươ
Ề ng trình đ i s ạ ố
ươ
+ 1
n
+ + = (cid:236)
Trong ch ế a x 11 1 a x 21 1 ...
(cid:239) + + = (cid:239) ng này, ta xét gi tuy n tính (pt đstt) n pt n n. ẩ + + ... + + ... a 1 a a x 13 3 a x 23 3 (cid:237) (3.1)
+ n 1 2 ...
a x 12 2 a x 22 2 ... a x 1 n n a x 2 n n ... (cid:239)
nn
+ 1
(cid:239) + + = ... + + ... a (cid:238) a x 1 1 n a x 2 2 n a x 3 3 n a x nn n
ng ả ệ ố ằ
Mu n gi ố
ấ ớ i h th ng pt này b ng pp Crame thì kh i l ố ượ i ta ph i xây d ng ự ườ ớ
c ậ ng tính có th th c hi n đ ố ượ ả ể ự ệ ượ ữ
tính r t l n khi n l n. Vì v y, ng nh ng pp sao cho kh i l khi n l n.ớ
c chia làm 2 lo i: Nh ng pp gi ạ
ữ
i ph thu c vào đ c đi m c u ma tr n ụ ộ ể ả ậ
i h th ng pt (3.1) đ ượ ả ệ ố ữ nh ng pp tr c ti p và nh ng pp l p. ự ế ặ ữ Vi c ch n pp gi ặ ả ọ ệ h s A c a h . ủ ệ ệ ố ọ ệ ả
ộ không ph i không có nh ng tr Vi c ch n không ph i là m t nguyên t c c ng nh c, ữ ắ ứ ng h p ngo i l ợ ắ . ạ ệ ườ ả
NG PHÁP GAOX
Ơ
ƯƠ
ng tính
ơ ụ ớ
ơ ị
ậ
ẩ ủ ẩ ủ ơ
BÀI 2. PH 2.1. N i dung pp ộ 2.2. S đ tính ơ ồ 2.3. Ki m tra quá trình tính ể 2.4. Kh i l ố ượ 2.5. Sai s c a pp Gaox ố ủ 2.6. PP Gaox có tìm tr l n nh t ấ ơ 2.7. Tính đ nh th c b ng pp Gaox ứ ằ 2.8. Tính ma tr n ngh ch đ o b ng pp Gaox ơ ả ằ ị 2.9. Chu n c a ma tr n và chu n c a pp vect ậ 2.10. S không n đ nh c a h th ng pt đstt
ủ ệ ố ổ ị ự
2.1. N i dung pp
ộ
ng pháp Gaox là m t ph
ng pháp đ
ộ
ơ
ổ ế
ươ
ươ
i ta th
t, ng
c dùng ph bi n đ ượ ể ng trình (3.1) khi ma tr n h s A không có đ c ặ ậ ệ ố ng ặ ệ
ườ
ườ
ươ
gi đi m gì (tr đi u ki n không suy bi n). Đ c bi ệ dùng ph ầ Đ đ n gi n vi c trình bày, xét h th ng 4 ph
ng trình 4 n s sau:
Ph ươ i h th ng ph ả ệ ố ừ ề ể ng pháp này khi ma tr n h s A “đ y”. ươ
ế ậ ệ ố ệ ố
ẩ ố
ể ơ
ệ
ả
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(cid:236)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
+ +
+ +
= =
+ +
(cid:239)
a 12 a
a 13 a
a 14 a
a 15 a
22
(cid:239)
(3.4)
(0)
(0)
(0)
(0)
32
(cid:237)
(0)
(0)
(0)
(0)
(cid:239)
+ +
= =
+ +
a a
23 a 33 (0) a
24 a 34 a
25 a 35 a
a 11 a 21 a 31 a 41
x 1 x 1 x 1 x 1
42
x 2 x 2 x 2 x 2
43
x 3 x 3 (0) x 3 + x 3
44
x 4 x 4 x 4 x 4
45
(cid:239) (cid:238)
(1)
(1)
(1)
ng đ ử ầ ươ ơ ươ
(1)
(1)
(1)
x 2 +
+ +
(cid:236) N i dung c b n c a PP Gaox là kh d n các n s đ ẩ ố ể ộ ơ ả ủ ng (ma tr n h s đ a h (3.4) v h “tam giác” t ậ ệ ố ề ệ ư ệ c a h là ma tr n tam giác trên): ậ ủ ệ + + (1) x 1 (cid:239)
a 12 x 2
(cid:239)
(3.5)
(1)
(1)
x 3 x 3 +
= = =
(cid:237)
a 13 a 23 x 3
(1)
(cid:239)
x 4 x 4 x 4 =
a 15 a 25 a 35 a
a 14 a 24 a 34 x 4
45
(cid:239) (cid:238)
ả ệ d ừ ướ
Sau đó gi Quá trình đ a h (3.4) v h (3.5) g i là quá trình thu n, ề ệ ậ
i lên trên. i h (3.5) t ư ệ ọ i h (3.5) g i là quá trình ng quá trình gi c. ả ệ ượ ọ
(0)
(0)
0 (
„ ả ử
(1)
(1)
(1)
(1)
ph c: ậ ượ
=
+
+
x
(3.6)
4
a 15
x 2
(1)
(0)
a 12 =
a 13 =
(
,
j
a x 14 3 2,3, 4,5)
x 1 a ij
a ij
a) Quá trình thu nậ a a 1x Kh . Gi s g i là tr th nh t). Chia ọ ụ ứ ấ ử 11 11 (0) ng trình đ u c a h (3.4) cho , ta nh n đ ươ ầ ủ ệ 11a +
Dùng pt (3.6) khử trong ba pt còn l ạ ủ ệ ố
ứ i c a h (3.6). Mu n ớ ừ
21a ng trình (3.6) đã ng
ng trình th ba c a h (3.4) tr ph
1x th , đem pt th hai c a h (3.4) tr pt (3.6) đã nhân v i (0) ủ ệ ế đem ph ủ ệ ứ ươ (0) nhân v i đem ph ớ ươ 31a trình (3.6) đã nhân v i ớ (0) 41a
ng trìng th t ừ ươ c a h (3.4) tr ph ứ ư ủ ệ ừ ươ
(1)
(1)
(1)
(1)
ng trình sau: ươ ế
(1)
(1)
(1)
(1)
(cid:236) K t qu nh n đ ả + ậ ượ ệ + c h ba ph = a a x 4 (cid:239)
+ + = (cid:237) (3.7)
(1)
(1)
(1)
(1)
23 a 33 a
25 a 35 a
43
45
(1)
(0)
(0)
(1)
(cid:239) + + = a 22 a 32 a 42 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 a 24 a 34 a 44 x 4 x 4 (cid:238)
(1)
(1)
= - ( = i , 2,3, 4; = j 2,3, 4,5) a ij a ij a 11 a ij
22
„ s g i là tr h ng th hai). ứ ử ọ
(2)
=
+
(3.8)
x 3
(2)
(1)
(1)
0( a (1) 22a a =
a 23 =
a 2x Kh . Gi ả ử 22 Chia pt đ u c a h (3.7) cho , ta đ ầ ủ ệ + (2) (2) x a 24 4 a ,
25 3, 4,5).
a
(
j
/
x 2 a 2
22
2
j
j
ụ ạ c: ượ
ng trình ủ ệ ừ ươ
(2)
(2)
(2)
ng trình sau: c h hai ph Đem ph ng trình th hai c a h (3.7) tr ph ứ ươ (1) a . (3.8) đã nhân v i ớ 42 K t qu nh n đ ậ ượ ệ ả ươ ế
+
=
)
(cid:236)
( 3.9
(2)
(2)
(2)
+
=
(cid:237)
a 33 a 43
x 3 x 3
a 34 a 44
x 4 x 4
a 35 a 45
(2)
(1)
(1)
(2)
=
(cid:238)
(
= i
,
3, 4;
= j
3, 4,5)
a ij
a ij
a i
2
a 2
j
-
(2)
(2)
0(
3x Kh . Gi
(2)
„ ọ ả ử ụ ứ
(2)
ứ
43a
+
ủ ệ c: ượ
a s g i là tr th ba). Chia pt 33 đ u c a h (3.9) cho và đem pt th hai c a h (3.9) tr pt v a nh n đ ậ ượ ừ = (3) (3) a 35
a 34
x 4
(3)
(3)
=
a 33 33a c đã nhân v i ,ta đ ớ ( 3.10 (
) ) 3.11
a
a
44
45
(3)
(2)
(2)
(2)
(2)
(3)
(3)
x 4 =
ử ầ ủ ệ ừ x 3
/
= j
a
,
j
a 3
a 3
a 33
43
j
4 j (3)
(3)
-
, a a 44
=
)
= 4,5) ( a 4 j Cu i cùng n u g i là tr th t ), ta a 0 ( 44 ( 3.12
(3) chia pt (3.11) cho , pt (3.11) có d ng:ạ
„ ọ ố
(4)
(3)
(3)
45 =
a 3 j ụ ứ ư (4) a x 4 (
)
a
a
/
a
45
44
45
ế 44a
(0)
(1)
(2)
(3)
,
a a a , tr khác 22 11 44 33 ng v i h ng đ ng trình (3.4) t ươ ớ ệ
vaøa ươ
(1)
(1)
(1)
(1)
ầ ử ụ ệ ố ươ ng trình “tam giác” sau: Rõ ràng là các ph n t không thì h th ng ph th ng ph ươ ố
+
+
x 1
(cid:236)
(2)
(2)
(2)
x 2 +
+ +
(cid:239)
a 12 x 2
(
)
(cid:239)
3.13
(3)
(3)
x 3 x 3 +
= = =
(cid:237)
a 13 a 23 x 3
(4)
(cid:239)
x 5 x 4 x 4 =
a 14 a 24 a 34 x 4
a 15 a 25 a 35 a 45
(cid:239) (cid:238)
(4)
=
a
45
(3)
(3)
=
b) Quá trình ng i h th ng (3.13) t i lên, ta có: ả ệ ố d ừ ướ c:ượ Gi
(
)
3.14
x 4 x 3
a 35
a 34
x 4
(2)
(2)
(2)
=
-
a
a
a
25
(1)
(1)
(1)
(1)
=
- -
x 2 x 1
a 15
x 3 a 12
23 x 2
x 3 a 13
24 x 3
x 4 a 14
x 4
- - -
Chú ý r ng đi u ki n đ áp d ng ph ng pháp Gaox là ề ể ươ ơ
ằ các ph n t ụ ệ tr ph i khác không. ầ ử ụ ả
2.2. S đ tính ơ ồ
Phân tích quá trình áp d ng ph ng pháp Gaox m c ươ ơ ở ụ
(1)
(1)
2.1 ta th y: đ đ a h th ng (3.4) v h th ng “tam giác” t ươ ề ệ ố ng (3.13), ch c n tính các h s ệ ố ụ ể ư ệ ố ỉ ầ
=
=
(
j
2,5),
i (
2, 4;
j
2,5),
a 1
j
a ij
(2)
(2)
=
=
=
(
j
3,5),
i (
3, 4;
j
3,5),
a 2
j
a ij
(3)
(3)
(4)
=
,
(
j
4,5),
a
.
a 3
j
a 4
j
45
ấ ng đ ươ =
ườ ệ ợ
ọ ơ
ng h p không dùng máy tính đi n c ghi thành b ng, g i là s đ Gaox , trong ơ ồ ả ượ dùng đ ki m tra quá trình tính. K t qu tính, trong tr ế ả ng đ , th t ườ ử đó c t ộ ể ể (cid:229)
2.3. Ki m tra quá trình tính
ể
=
,
i ộ
Khi không dùng máy tính đi n t b c quá trình tính toán c a ph ướ 5 dùng “t ng ki m tra” ổ ể (cid:229) ủ = (0) a i 6
ậ ả ng trình (3.4) và xét h th ng ph ữ ế ươ ươ
=
=
(
)
,
i
, đ có th ki m tra t ng ệ ử ể ừ ể ể i ta ng pháp Gaox , ng ươ ườ ơ ) ( (0) a 1;2;3;4 3.15 ij = 1 j thu c hàng I cùa ma tr n h (nó chính là t ng nh ng ph n t ệ ầ ử ổ ng ng) nh m t v ph i m i s A và s h ng v ph i t ớ ư ộ ế ứ ả ươ ố ạ ố c a h th ng ph ng ệ ố ệ ố ủ trình: 4
(0) a x ij
j
(0) a i 6
(cid:229)
1;2;3;4 3.16 )
= j 1 Rõ ràng là:
( 1;2;3;4 3.17
j
j
= + = x x 1, i
4 4
= =
+ +
( (
x x
1) 1)
c: ậ ậ ượ Th t v y, thay (3.17) vào (3.16) do (3.4), ta nhân đ 4 4
(0) (0) a x a x ij ij
j j
(0) (0) a a ij ij
j j
= = 1 1
j j
= = 1 1
j j
4 4
4 4
4 4
5 5
= =
+ +
= =
+ +
= =
= =
= =
, ,
i i
1;2;3;4 1;2;3;4
(cid:229) (cid:229) (cid:229) (cid:229)
(0) (0) a x a x ij ij
j j
(0) (0) a a ij ij
(0) (0) a a i5 i5
(0) (0) a a ij ij
(0) (0) a a ij ij
(0) (0) a a i i 6 6
= = 1 1
j j
= = 1 1
j j
= = 1 1
j j
= = j j 1 1 ỗ
(cid:229) (cid:229) (cid:229) (cid:229) (cid:229) (cid:229) (cid:229) (cid:229)
ề ố ớ ầ ử ủ ộ (cid:229)
ố ữ
ộ ằ
(cid:229) (cid:229) ế ố
ộ (cid:229)
ớ ữ t ầ ử ươ ng này đ ượ c c đ ượ ượ ậ
ể
Vì đ i v i m i ph n t c a c t ta đ u th c hi n ệ ự c a nh ng phép tính gi ng nh đ i v i nh ng ph n t ữ ầ ử ủ ư ố ớ nh ng c t bên trái c t và n m trong cùng m t hàng v i ữ ộ ộ c a c t nên n u không có sai s tính toán thì nh ng ph n t ầ ử ủ ộ c a c t ph i b ng t ng nh ng ph n t ph n t ng ầ ử ủ ộ ổ ả ằ ữ c ng c a nh ng c t bên trái c t . Hi n t ệ ượ ộ ữ ủ ứ dùng đ ki m tra quá trình thu n. Quá trình ng ể ể ki m tra b ng h th c (3.17). ằ ệ ứ S đ Gaox ơ ồ ơ
ố
ổ ở (cid:229)
c ơ ố cùng hàng và ầ ử N u khi tính toán có sai s làm tròn thì b t đ u t ng hàng ắ ầ ừ ế c t và t ng ầ ừ ờ ộ ơ ứ bên trái và bên trái đ ượ ở ữ
ạ
ả ộ ự ớ ạ ủ ứ i h n c a sai s làm tròn ỏ ố đã có s ự ớ
th 5 tr đi (trong s đ Gaox ) ph n t nh ng ph n t phép l ch nhau trong ph m vi gi ệ đã ph m ph i. m t s chênh l ch l n ch ng t ệ ạ nh m l n trong quá trình tính toán
ể ở ộ ệ
ph
ủ ệ ố ươ ố
ji (1)
ứ
(2) ji
(1) ji
ij
ij
= a a a , ầ ẫ Nh n ậ xét: S đ Gaox nêu trên hoàn toàn có th m r ng cho h thông n ơ ơ ồ ng trình n n s . ẩ ố ươ N u ma tr n h s A c a h th ng ph ng trình xu t phát đ i ậ ệ ố ấ ế a= a x ng, nghĩa là thì căn c vào các công th c (3.6), (3.8) và ứ ứ ij = (2) a (3.9) d th y r ng ễ ấ ằ
(cid:230) (cid:246)
(2)
(1)
=
A
A
,
= (cid:231)
(cid:230) (cid:246) (cid:231) ‚
‚ (cid:231) ‚
(2) a 33 (1) a 43
(1) a 34 (1) a 44
Ł ł (cid:231) ‚
Nghĩa là nh ng ma tr n trung gian: (1) a 23 (1) a 33 (1) a 43 Ł ł
(2)
ể ơ
)
ij
ij
‡ ố ượ ẽ ả ậ ậ (1) a 24 (1) a 34 (1) a 44 ặ i
Cũng đ i x ng. Do đ c đi m này, trong s đ Gaox , ta ch ỉ ơ ồ ( c n tính vì v y kh i l ng tính toán s gi m ầ j đi gân m t n a. ữ (1) a 22 (1) a 32 (1) a 42 ố ứ (1) a a , ộ ử
ố ượ
2.4. Kh i l ươ
ữ
nS
ủ
Xét h th ng n ph ệ ố ứ ừ ơ ầ
(cid:229)
+ n
- ố ớ n n (
ng tính ng trình n n s . Căn c vào nh ng ứ ẩ ố công th c tính c a pp Gaox , ta đ m đ c s các phép tính ượ ố ế c ng, tr , nhân và chia c n ph i th c hi n g m (không ệ ồ ự ả ộ c a c t ki m tra ): k các phép tính đ i v i các ph n t ể ầ ử ủ ộ ể 5) phép nhân
+
1)(2 6 1)
phép chia
n n ( 2 n n (
+ n
5)
-
2
+
phép c ng ho c tr ặ ộ ừ
1)(2 6 3 n
4
7
n
=
-
S
n
n 9 6
phép tính.
N u ma tr n h s c a h th ng ph ng trình đ i x ng
ế ố ậ ệ ố ủ ệ ố ộ ầ ươ nS
ự
+ n
1)
+
1)( 6 1)
- ố ứ thì s các phép tính c ng, tr , nhân và chia c n ph i ả ừ th c hi n g m : ệ ồ n n ( phép nhân
phép chia
n n ( 2 n n (
+ n
1)
-
3
2
+
+
1)( 6 n
2
n
=
phép c ng ho c tr ặ ộ ừ
n 3 6
phép tính.
S n gi m h n m t n a so v i tr ộ ử ơ ả đ i x ng. ố ứ
ng h p ma tr n h s A không ớ ườ ệ ố ậ ợ
2.5. Sai s c a pp Gaox ố ủ
ơ
ộ ế ừ
N u các phép tính c ng, tr , nhân và chia làm đúng hoàn ng pháp Gaox cho ta
ơ ậ
ươ ng trình (3.1). Vì v y ng pháp đúng. Tuy nhiên, ủ ệ ố ơ ộ
ố
, dùng ph ơ ỉ
ươ c nghi m g n đúng. toàn và không ph i làm tròn thì ph ả nghi m đúng c a h th ng ph ươ ệ ng pháp Gaox là m t ph ph ươ ươ trong tính toán, không tránh kh i sai s làm tròn, cho nên ỏ ng pháp Gaox ta cũng ch nh n trong th c t ậ ự ế đ ệ ượ ầ
i h th ng pt sau : ơ ả ệ ố
1,0
1,0
2,7
2,0
Thí d : Dùng ph + - (cid:236)
+
+
0,5
4,0
0, 4
21,9
8,5
(cid:239) - (cid:239)
(3.18)
(cid:237)
5, 2
0,3
3,9
1,0
1,0
- ụ x 1 x 1 x 1 (cid:239)
+
+
0, 2
9,9
2,5
1,0
1,0
x 1
(cid:239) - (cid:238)
x 2 x 2 + x 2 x 2 i:ả K t qu tính toán đ Gi ượ ả ế (3.1), ta nh n đ ệ ậ ượ
ừ ả ả
ng pháp Gaox gi ươ = + x x 0,1 4 3 = x x 4 3 = - + x x 4 3 = x x 4 3 c ghi trong b ng (3.1). T b ng c nghi m c a h th ng (3.18) là: ủ ệ ố
B ng 3.1 ả
2.6. PP Gaox có tìm tr l n nh t ấ
ụ ớ
ơ
(1)
( 3)
( 2)
( 0)
22
33
11
44
ơ ệ ẽ ự
ấ
m c 2.1 s không th c hi n ở ụ c n u m t trong các tr b ng không, dù a a a a ằ , , , ng trình có nghi m duy nh t. Ngoài ra, n u ế ệ ng trình khác không. Nh ng
ỏ
ầ ử
ầ ử ụ ố
Quá trình Gaox trình bày đ ộ ụ ượ ế h th ng ph ươ ệ ố đ nh th c c a h th ng ph ứ ủ ệ ố ị n u m t và ph n t ộ ế nh ng ph n t ữ ph n t ầ ử ấ có th làm gi m nhi u đ chính xác c a nghi m tìm đ ể ư ươ tr v tr tuy t đ i r t nh so v i ớ ệ ố ấ ầ ử ụ ề ị i trong cùng hàng thì khi chia các còn l ạ y cho ph n t ề tr , sai s làm tròn s l n , do đó c. ượ ộ ẽ ớ ệ ủ ả
Đ kh c ph c nh ng h n ch v a nêu, ng ụ ữ ườ ế ừ
ng ng pháp Gaox có tìm tr l n nh t. N i dung ạ ơ ụ ớ ườ ấ i ta th ộ
ng pháp nh sau:
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
,
i ta ch n s l n ơ ồ
21
41
31
11
ư 1x ệ ố
ườ ơ a a a a , , ố ứ ấ
ứ ấ ớ
ơ ở
1x
ọ ụ ớ ộ ậ ệ ố ử
m c 2.1a. ắ ể dùng ph ươ ph ươ Sau khi kh trong s đ Gaox , ng ử ọ ố ớ nh t v tr tuy t đ i trong các s làm tr ấ ề ụ ụ l n nh t và g i là tr l n nh t th nh t. Sau đó ta hoán v ụ ớ ấ ị ấ ớ hàng ch a tr l n nh t th nh t v i hàng th nh t n m ứ ấ ằ ấ ứ hàng 1 hàng 1 c t 1 c a s đ Gaox (nghĩa là đúng ở ủ ơ ồ c t 1 c a ma tr n h s A), và quá trình kh đ c ti n ủ ế ượ ộ hành nh ư ở ụ
(1)
(1)
(1)
42
32
22
ườ ơ ồ
2x ử ệ ố ấ
(1)
ị
22a
ấ
ằ ớ ở ầ ử ủ ơ ồ
ủ ử ộ
ế T ươ i ta ch n s l n nh t Khi kh trong s đ Gaox , ng ấ ọ ố ớ ơ a a a v tr tuy t đ i trong các s làm tr th hai và g i , , ố ụ ứ ọ ề ị là tr l n nh t th hai. Sau đó ta hoán v hàng ch a tr l n ụ ớ ư ứ ụ ớ nh t th hai v i hàng ch a ph n t đ tr l n nh t th ể ụ ớ ứ ứ ấ ứ hàng hàng 6 c t 2 c a s đ Gaox (nghĩa là hai n m đúng ở ơ ộ c 1 c t 1 c a ma tr n trung gian ) và quá trình kh đ ượ ậ 2x (1)A m c 2.1a. ti n hành nh ư ở ụ ng t cho 3x
ấ
ng trình n n. Chú ý: s đ Gaox có tìm tr l n nh t nêu trên hoàn toàn có ụ ớ th áp d ng cho h th ng n ph ươ ơ ệ ố ự ơ ồ ụ ể ẩ
Thí dụ 3.doc
ứ ằ
ơ
2.7. Tính đ nh th c b ng pp Gaox ị Đ tính đ nh th c: ị ể
ứ
14
13
11
12
14
12
13
11
(cid:230) (cid:246)
21
22
23
24
24
21
22
23
=
(cid:231) ‚
A
A det( )
= (cid:231)
32
33
31
34
34
31
32
33
c a ma tr n ủ ậ ‚
a a a a a a a a a a a a a a a a
(cid:231) ‚
41
42
43
44
44
43
42
41
a a a a a a a a a a a a a a a a ơ ượ
Ł ł
(1)
(1)
(1)
ự ậ
a a a
1
12
13
14
Ta áp d ng quá trình thu n c a s đ Gaox trong đó không ậ ủ ơ ồ ụ c ma tr n tam do. K t qu ta nh n đ có c t s h ng t ậ ả ế ộ ố ạ giác: (cid:230) (cid:246)
( 2)
( 2)
(cid:231) ‚
a a
0 1
23
24
(cid:231) ‚
=
B
( 3)
(cid:231) ‚
a
0 0 1
34
(cid:231) ‚
(cid:231) ‚
0 0 0 1
(cid:231) ‚
Ł ł
( 2)
( 3)
(1)
t nh n đ ữ ầ ử ủ ậ ượ ừ ầ ượ
( 3)
Nh ng ph n t ữ ữ
ộ c t A A A , , 44a ) b ng nh ng phép bi n ế ữ
c a mt tam giác B l n l nh ng ph n t c a mt A và c a nh ng mt trung gian ủ ầ ử ủ (ma tr n ch có m t ph n t ằ ầ ử ỉ ậ ( 3)A đ i s c p sau: ổ ơ ấ
( 2)
( 3)
(1)
,
,
ữ ầ ủ
( 3)
( 0)
( 0)
( 2)
( 3)
(1)
=
11
33
22
44
11
11
( 3)A ụ 44a a a a , Khi đó đ nh th c c a mt A cũng ph i chia cho các tr trên.
a.Chia các hàng đ u c a A và nh ng mt trung gian A A A ) cho các ỉ ầ ử ộ
( ch có m t ph n t tr khác không a a a , ), ( ứ ủ ụ ả ị
( 2)
(1)
ủ ậ
c t b. Tr kh i các hàng c a ma tr n A và c a nh ng ma tr n ầ
ừ ỏ ,A A ữ ậ ấ ị
ữ ủ ậ phép bi n đ i a trung gian các hàng đ u nh n đ ổ ế ậ ượ ừ c a nh ng ma tr n y đã nhân v i m t s . Khi đó đ nh th c c a ứ ủ ộ ố ớ ủ A không thay đ i giá tr . ị ổ
(1)
( 3)
( 0)
( 2)
.
A a a a a . .
11
33
44
22
(1)
( 3)
( 2)
( 0)
= =
.
33
11
22
44
V y ta có: ậ T đó: ừ ế ơ
ỗ ầ ớ
p
( 0)
( 2)
( 3)
(1)
= -
(3.22)
33
22
11
44
( 0)
( 2)
(1)
= = B det( ) 1.1.1.1 1 det( ) / a a a a A det( ) (3.21) . . N u ta áp d ng quá trình thu n c a s đ Gaox có tìm tr ụ ậ ủ ơ ồ ụ l n nh t, thì m i l n hoán v hai hàng v i nhau, ta đã làm đ i ổ ị ớ d u đ nh th c c a ma tr n A ứ ủ ấ ( 1) là các tr l n th nh t, th hai, th ba, p là s l n ố ầ
a a a a . . . ụ ớ
ậ
a
11
22
33
ứ ấ ứ ứ ấ ị A det( ) a a , ,
ph i hoán v hai hàng. ị ả
ậ
ể ở ộ
ứ ứ ấ đ tính đ nh th c c p n c a ma tr n vuông c p n. ủ ậ
ị ớ ị
ng pháp Gaox đòi h i ít phép tính nhi u h n, nh t là ứ ằ ỏ ấ ể ề ơ ơ
Nh n xét: 1.Nh ng công th c (3.21), (3.22) hoàn toàn có th m r ng ữ ể 2.So v i cách tính đ nh th c b ng khai tri n Laplax , ơ ph ấ ươ khi n l n.ớ
=Ax
3.Khi áp d ng ph ụ
ươ b c đ ng th i nghi m và đ nh th c c a ma i h th ng pt ứ ủ ơ ả ệ ố ệ ị
ng pháp Gaox gi ta có th nh n đ ờ ể ậ ượ ồ tr n h s A c a h th ng pt. ủ ệ ố ậ ệ ố
Thí d 3.4 Dùng ph ng pháp Gaox , tính đ nh th c: ụ ươ ứ ơ ị
-
D =
-
-
7,4 2,2 1,6 4,8 4,7 7,0 5,9 2,7 4,9
3,1 0,7 8,5 4,5 6,0 6,6 5,3
-
ế ầ ư ả
i:ả K t qu tính toán đ ượ ả ớ ơ ồ ơ ừ ả ự
1483,6024
c ghi trong b ng 3.4. C n l u ý Gi r ng, so v i s đ Gaox , trong b ng 3.4 không có c t s ộ ố ằ h ng t ạ D = - ả c: do. T b ng 3.4 ta nh n đ ậ ượ = - 7,4.4,32432.6,11332.( 7,58387)
1x
2x
3x
4x
(cid:229)
7,4 1,6 4,7 5,9
2,2 4,8 7,0 4,9
-3,1 -8,5 -6,0 4,9
0,7 4,5 6,6 -5,3
7,2 2,4 12,3 8,2
1
0,29730
-0,41892
0,09459
0,97297
4,32432 5,06269 0,94593
-7,82973 -4,03180 7,37163
4,34866 6,15543 -5,85808
0,84325 7,72704 2,45948
1
-1,81063
1,00563
0,45948
6,11332 9,08436
0,52120 -6,80934
6,63452 2,27502
1
0,08526
1,08526
-7,58387
-7,58387
2.8. Tính mt ngh ch đ o b ng pp Gaox
ả ằ
ị
ơ
ả
ma i m t ma tr n B vuông c p n trên ấ ấ ộ Cho A là m t ma tr n vuông c p n trên K. Ta b o A là ậ ậ , n u t n t ế ồ ạ
c g i là ậ ượ ọ ma tr n ậ
ị ậ ủ ệ
ộ tr n kh ngh ch ị ả K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B đ ả c a ma tr n A, ký hi u A-1. ngh ch đ o ư ậ
ậ ượ ừ ế ả ở
ồ
ổ ơ ấ ổ ơ ấ c t ộ ộ ế ế
Nh v y: A.A-1= A-1.A= In Cho A là ma tr n vuông c p n trên K (n ≥ 2). Khi đó : ậ ấ A b i m t s h u N u A kh ngh ch thì In nh n đ ộ ố ữ ị h n các phép bi n đ i s c p dòng (c t); đ ng th i, chính ờ ạ dãy các phép bi n đ i s c p dòng (c t) đó s bi n In thành ẽ ế ngh ch đ o c a ma tr n A. ả ủ ậ ị
ạ Ma tr n Iậ n có d ng sau:
c sau đây :
Ta th c hi n các b B ự c 1: L p ma tr n n hàng, 2n c t b ng cách ghép ướ ệ ậ
thêm ma tr n đ n v c p n I vào bên ph i ma tr n A ướ ậ ậ ơ ị ấ ậ ộ ằ ả
B ướ
ế ổ ơ ấ ộ đ ể , trong đó A’ là m t ma tr n ậ
ị c 2: Dùng các phép bi n đ i s c p dòng đ a [ A|I ] v d ng [ A' | B ] ề ạ ư b c thang chính t c. ắ ậ ế ế
ế ổ ế ấ
N u A’ = In thì A kh ngh ch và A-1 = B ị ả N u A’ ≠ In thì A không kh ngh ch. Nghĩa là, trong ả ệ ị ả ư ầ ậ
ế ắ ậ
c ma tr n vuông c p n ng pháp này đ u tính đ ượ ề ấ ậ
quá trình bi n đ i n u A’ xu t hi n ít nh t 1 dòng không thì ấ l p t c k t lu n A không kh ngh ch (không c n ph i đ a ậ ứ ế ả A’ v d ng chính t c) và k t thúc thu t toán. ề ạ Nh n xét: ậ Ph ươ không suy bi n.ế ớ ả ằ ứ ậ ị
ị ng pháp nêu trên đòi h i ít phép tính h n nhi u, lúc là ề ơ ỏ
So v i cách tính ma tr n ngh ch đ o b ng đ nh th c, ph ươ khi n l n.ớ
Thí d 3.5ụ
ẩ ủ
ơ
A
ộ ố ự ệ
A
0
³
ẩ ủ ả ữ
ề =
2.9. Chu n c a mt và chu n c a pp vect ẩ ủ Chu n c a ma tr n A = (aij) là m t s th c ký hi u ậ tho mãn nh ng đi u ki n sau: A
. a
0)
0
(
=
. b
.
A
,
R
(
- = A
A
)
. A a
a
a
Î
+
+
. c
A
B
A
B
£
. d
A B .
A B .
£
ệ =Û A
Ng i ta th ườ ườ ậ
ij
1
i
= A m a ng dùng ba chu n ma tr n sau: ẩ å (chu n c t) ẩ ộ a x j
ij
2
A a (chu n clit) ẩ Ơ
1 ö÷ 22 ÷ ÷ ÷÷ ø a
ij
å
¥
i
A (chu n hàng) ẩ æ ç å = ç ç çè . i j = m a x i
ổ ị
ủ
2.10. S không n đ nh c a ự h th ng pt đstt ệ ố
ữ
ế ể ặ ữ ự ạ ố ổ
v ph i c a h th ng ặ ệ ố ỏ ả ủ ệ ố
ng trình nh v y g i là h th ng ph ệ ng trình Trong tính toán th c hành, ta có th g p nh ng h th ng ng trình đ i s tuy n tính mà nh ng thay đ i nh trên ươ ầ ử ở ế ệ ố ng trình s gây ra nh ng thay đ i r t l n v nghi m. H ữ ệ ư ậ ọ
ươ i, h th ng ệ ố ươ ị ế
ph các h s ho c trên các ph n t ph ẽ ươ ổ ấ ớ ề th ng ph ố ệ ố không n đ nh trong tính toán. N u ng c l ượ ạ ổ ng trình g i là n đ nh trong tính toán. ph ị ươ ổ ọ
Thí d 3.8: H th ng ph ng trình: ệ ố ụ ươ
2x1 + x2 = 2 2x1 + 1,01x2 = 2,01
ệ
ệ ố ả ủ ệ ố ủ
ế ch s l th hai ở ữ ố ẻ ứ ớ ứ ồ
ph ph sau d u ph y: Có nghi m x1 = 0,5 và x2 = 1, trong khi đó h th ng ng trình c i các h s c a x1, x2 và v ph i c a ươ ng trình th hai thay đ i "đôi chút" ươ ấ
Có nghi m x1 = 5 và x2 = -8 (khác nhi u so v i x1 = 0,5 và ề
ng trình đã cho là m t h th ng ẩ 2x1 + x2 = 2 2,01x1 + 1x2 = 2,05 ệ ậ ệ ố ớ ộ ệ ố
x2 = 1). V y h th ng ph ươ ng trình không n đ nh trong tính toán. ph ị ươ ổ
ng Cách đ n gi n nh t đ nh n bi ậ ả ế ươ ấ ể t m t h th ng ph ộ ệ ố
ổ
ng trình đã cho, ta gi ả ệ ố ả
c a b1 sai ươ ớ
ng trình Ax = b1 v i các ph n t ủ
ệ
ố ố
ươ ươ ị
i ta ch ng minh đ c r ng đ i l ng ượ ằ ạ ượ ứ
1
=
A A -
) ( Cond A
Cond(A) xác đ nh b i: ơ trình tuy n tính Ax = b có n đ nh trong tính toán hay không là ị ế i thêm i h th ng ph bên c nh vi c gi ệ ạ h th ng ph ầ ử ủ ươ ệ ố ng ng c a b r t ít. N u nghi m c a h t khác các ph n t ủ ệ ệ ế ấ ầ ử ươ ứ ng trình này khác đáng k so v i nghi m c a h th ng ph ớ ủ ệ ể ng trình đã cho ng trình đã cho thì h th ng ph th ng ph ươ ệ ố không n đ nh trong tính toán. ổ Ngoài ra, ng ườ ị ở
A
ộ
ệ ẩ ậ ủ ệ ố ạ ố
ả ị
ỏ ệ ố ứ
ng trình Ax = b Cond(A) l n ch ng t ị ươ ầ ổ
( đây là m t chu n ma tr n nào đó) do m c đ nh y ứ ộ ở ng trình Ax = b đ i c m c a nghi m x c a h th ng ph ủ ươ ả v i nh ng thay đ i trên các ph n t c a ma tr n h s A và ậ ệ ố ầ ử ủ ổ ữ ớ c a v ph i b, nghĩa là do m c đ n đ nh c a h th ng ủ ế ủ ệ ố ứ ộ ổ ng h th ng ph ph ớ ươ trình Ax = b không n đ nh trong tính toán Cond(A) càng g n ng trình Ax = b càng n đ nh trong tính toán. 1, h th ng ph ổ ệ ố ươ ị
1
A 1
æ 2 ç ç= ç 2 1, 01 çè
ö÷ ÷ ÷ ÷÷ ø
1
=
=
)1 ( Cond A
A 1
Tr l i các thí d 3.8 và 3.9 ta th y r ng đ i v i: ở ạ ố ớ ụ
æ 2 ç ç ç 2 1, 01 çè
ấ ằ ö÷ ÷ ÷ ÷÷ ø
8 7
5 7 6 5
2
A còn đ i v i: ố ớ
8 9 6 10
5 9 10 æ 10 7 ç ç ç ç ç = ç ç ç ç ç 7 çè ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø
Thì Cond(A2) = 2984,108
1
A - 1
æ 50, 5 ç ç= ç - 100 çè
ö - ÷ 50 ÷ ÷ ÷ 100 ÷ ø
Chú ý r ng đ nh th c c a mt A1 là 0,02 và: ứ ủ ằ ị
Nh ng đ nh th c c a ma tr n đ i x ng A2 là 1 và: ứ ủ ố ứ ư ậ ị
- 41 10
1
- 41 68 17 Cũng là m t ma tr n đ i x ng. ố ứ ậ ộ
A - 2 - 10 17 5
- - 6 1 3 æ 25 ç ç ç - ç ç = ç ç ç ç ç- çè ö - ÷ 6 ÷ ÷ ÷ 10 ÷ ÷ ÷ ÷ - ÷ 3 ÷ ÷ 2 ÷ ø
ộ ệ ủ
ổ ả ệ ố ườ
i h th ng i ta có th ể ư
ố ề Đ nâng cao đ chính xác c a nghi m khi gi ể ng trình không n đ nh trong tính toán, ng ị ươ ố ớ ộ ờ
ộ ặ
ươ
+ + = +
( ) . 3 23
+ + = +
+ + = +
+ + = + a x 14 4 a x 24 4 a x 33 4 a x 44 4 a x 11 1 a x 21 1 a x 31 1 a x 41 2 a x 13 3 a x 23 3 a x 33 3 a x 42 3 a x 12 2 a x 22 2 a x 32 2 a x 42 2 b 1 b 2 b 3 b 4 ph dùng đ chính xác kép đ i v i các phép tính trung gian nh ng bi n pháp này t n nhi u th i gian tính toán, do đó không tính ệ t . M t bi n pháp khác là dùng quá trình l p sau: ệ ế Xét h th ng ph ng trình: ệ ố ìï ïïï ïïí ï ïïï ïïî
4
s là nghi m g n đúng tìm đ Gi ệ ả ử
4
3
ượ c nh ng giá tr m i c a c. Thay ị ớ ủ ữ , 1 ế
1
2
3
4
,
2
1
3
4
2
+ + = + b 1
( . 3 24
)
+ + + = b
2
1
3
4
3
2
1
3
4
4
ï í ï + + + = b
+ + + = b a x 11 a x 21 a x 31 a x 41 a x 12 a x 22 a x 32 a x 42 a x 14 a x 24 a x 34 a x 44 a x 13 a x 23 a x 33 a x 43 x x x x , , ầ 3 2 chúng vào v trái c a (3.23) nh n đ ậ ượ ủ b1, b2, b3, b4 là nghĩa là: b b b b , , 1 2 ìï ïïïï ïïïï ïî
ng trình t ng ừ ươ ươ ỗ ươ
+ = ủ + d
1 d
( ) . 3 25
+ + = +
2 d
3
+ + = +
4
d
,
= - b i
i
b i ( i i h th ng pt (3.25) đ i v i e1, e2, e3 và
= - x x e i i i , ta gi ả ệ ố
= 1, 4) ố ớ
i
=
e
x
e
1, 4)
Þ
i
i
x ầ
i ( ủ
+ + + = d a e 13 3 a e 23 3 a e 33 3 a e 43 3 a e 12 2 a e 22 2 a e 32 2 a e 42 2 ủ c: a e 14 4 a e 24 4 a e 34 4 a e 44 4
= + x i t h n c a (3.23). Đ nâng cao h n ố ơ ệ
ể ơ i quá trình trên. ng trình c a (2.23) tr ph Đem m i ph ng c a (3.24), nh n đ ứ ậ ượ ìï + a e ïïï 11 1 a e ïïí 21 1 a e ï ïïï 31 1 a e ïïî 41 1 Trong đó Bây gi ờ e4. = - do x i i Là nghi m g n đúng t ệ n a đ chính xác c a nghi m, ta có th l p l ữ ộ ủ ể ặ ạ
BÀI 3. NH NG PH
Ữ
ƯƠ
Ặ NG PHÁP L P
• 3.1. PP l p đ n ặ ơ • 3.2. PP l p dâyđen ặ • 3.3. Đ a h th ng ph ng trình tuy n tính v d ng ư ệ ố
c a ph ề ạ ng pháp l p ặ
ế ươ th a mãn đi u ki n h i t ươ ệ ộ ụ ủ ề ng pháp l p Dây đen: đ n ho c ph ặ ươ ỏ ơ ặ
3.1. PP l p ñôn
ặ
Ax
b
(3.2) = + a b x
x
(3.34)
a.Noäi dung phöông phaùp
Xeùt heä thoáng phöông trình = Ñöa (3.2) veà daïng töông ñöông sau
12
11
1
n 1
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
a a
a a
b b
a ... a ...
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
22
n 2
=
a
=
b ;
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
2 M
21 ...
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
a
a
b
a ...
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
n
n
nn
n 1
2
Ł ł Ł ł
(
) 0
x (
) (
)
k
k
ax
Sau ñoù ta töï cho moät vectô, goïi laø vectô xaáp xæ ñaàu, kyù hieäu laø roài tính daàn theo coâng
0, 1, 2, ...
(3.35)
(
)
(
)
k
) ( 0( b= x ) + = + 1 b x )k ( goïi laø vectô laëp thöù k. Neáu daõy nhöõng vectô laëp veùctô x ) ( ) 1 0
=*
thöùc: = k ,
ù ôù
x
co gi
ï i han:
( lim k x
k
(
(
(
)
)
k
k
k
x x , x , ..., , ..., fi ¥
= + a
+ a
=
b
x
x
x
)
(
lim k
lim k
*
*
lim k = + b a
x
x hay:
thì giôùi haïn aáy laø nghieäm ñuùng cuûa heä thoáng , vaø ñoù cuõng laø nghieäm cuûa heä thoáng (3.2). Thaät vaäy, ta coù: ) + 1 b fi ¥ fi ¥ fi ¥
b.Söï hoäi tuï cuûa phöông phaùp Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng quaù trình laëp ñôn hoäi tuï ñeán nghieäm duy nhaát cuûa heä thoáng phöông trình (3.2), )0x ( khoâng phuï thuoäc vaøo vieät luïa choïn vectô xaáp xæ ñaàu (nghóa laø chon tuøy yù), neáu: a
< 1(3.36)
p
)kx ( *x
c. Ñaùnh giaù sai soá cuûa gaàn ñuùng Ñeã ñaùnh giaù ñoä leäch giöõa nghieäm gaàn ñuùng nhaän ñöôïc baèng phöông phaùp laëp ñôn, vaø nghieäm ñuùng cuûa heä thoáng (3.2), ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc nhöõng coâng thöùc sau:
a
(
)
(
)
(
k
k
k
) 1
p
*
x
x
x
x
(3.37)
a
- - £ -
p
p
1
p
k
a
-
)
(
(
)
(
(
k
) 1
) 0
p
*
ø x
x
x
x
va:
(3.38)
a
- £ -
p
p
1
p
-
p
)eK ( e
)kx (
a
Töø (3.38) deã thaáy raèng söï hoäi tuï cuûa phöông phaùp laép ñôn caøng nhanh neáu caøng beù. Baát ñaúng thöùc )1 )x ( (3.38) cuõng cho pheùp, sau laàn laëp thöù nhaát (sau khi bieát ñöôïc xaùc ñònh ñöôïc soá laàn laëp can tieán haønh ñeå nhaän ñöôïc nghieäm gaàn ñuùng ñaït ñoä chinh xaùc
Trong tröôøng hôïp ñaùnh giaù(3.37) coù a daïng ñôn giaûn sau:
(
)
(
k
k
£ 1 2p ) ( k
) 1
*
x
x
x
x
(3.39)
p
p
.
- - £ -
p
.
ë hoac .
hoaëc .
Chuù yù: neâu trong muïc b vaø c coù theå duøng
1
2
¥
Ví d 3.10 ụ
ng
ươ
ng ề ạ ươ
ng trình (3.2). Đ a (3.2) v d ng t ư x
12
11
n 1
1
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
3.2) PP l p Dâyđen ặ a) N i dung ph ộ pháp Xét h th ng ph ươ ố ệ = + b a ng sau: đ ươ a a
x a a
b b
a ... a ...
22
n 2
a
=
=
b ;
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
2 M
21 ...
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
a
a
b
a ...
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
n
nn
n
n 1
2
=
b
+
=
)
1, 2,...,
n
Ł ł Ł ł
hay x : 1
1
( x i j
ij
n a = 1
j
(cid:229)
(
) 0
b=
Sau ñoù ta töï cho moät vectô, goïi laø vectô xaáp xæ ñaàu, kyù hieäu laø
x
( ) 0( x
)
+
1)
k
(
k
)
roài tính daàn theo coâng thöùc:
( x 1
1
j
1
j
n a = 1
j
n
+
+
(
k
1)
1)
k
(
k
)
= b + x (cid:229)
(
)
2
( x 21 1
j
2
j
=
= b + a + x 3.4 (cid:229) x 2
2
a j
...
n
i
+
+
(
k
1)
(
k
1)
(
k
)
-
i
j
ij
j
ij
= 1
j
j
1 a = 1
= b + + a x x (cid:229) (cid:229) x i
...
n
+
+
(
k
1)
(
k
-
n
j
nj
nn n
1 a = 1
j
= b + a 1) + = x x k , 0,1,... (cid:229)
x n
ặ ươ
ng pháp này có th ể ng ươ Đó là ph ươ ộ
ặ
1)
ứ ủ
+
1)
1)
k
(
ầ ữ ừ
( 1
,..., , - ầ + k ( x 1 x 2
(
(
)
)
0
k
ặ
ng pháp l p Dâyđen, ph xem là m t bi n d ng c a ph ng pháp l p đ n. Ph ủ ế ạ ươ ơ ặ ng pháp l p đ n pháp l p Dâyđen khác ph ch : khi tính ươ ơ ở ỗ ặ thành ph n th i c a vect l p th k +1: ta s d ng ứ ử ụ ơ ặ kx + ( 1 ngay nh ng thành ph n v a tính + k 1) x đ c.ượ i Hoàn toàn gi ng ph , ữ ố ơ ặ ớ ạ
ng pháp l p đ n, d ch ra r ng n u dãy ươ ơ ễ ỉ ) ( 1 x x x ,.., l p có gi ủ ệ ố ế i h n y ệ
ằ ,.. nh ng vect i h n thì gi ớ ạ ấ là nghi m đúng c a h th ng (3.26) và do đó cũng là nghi m ệ đúng c a (3.2). ủ
b) S h i t
ng pháp ặ ng pháp l p đ n.
ự ộ ụ ủ ộ ụ ủ ề ệ
Đi u ki n h i t ệ gi ng đi u ki n h i t ề ố
c a ph c a ph ươ c a ph ộ ụ ủ
ươ ng pháp l p Dâyđen hoàn toàn ươ
ặ ơ
ệ
ầ
ố ủ ữ
ộ ệ ệ ậ
)kx ( *x ệ i ta ch ng minh đ ứ
ặ ng trình (3.2), ng c ầ ng pháp l p Dâyđen và nghi m đúng ượ ườ ươ
c) Đánh giá sai s c a nghi m g n đúng Đ đánh giá đ l ch gi a nghi m g n đúng nh n ể c b ng ph đ ươ ượ ằ c a h th ng ph ủ ệ ố nh ng công th c sau: ứ
ữ
(
k
)
(
k
1)
)
(
k
¥.
=
m
=
,
i
1,2,...,
n
m * - - £ - : Đ i v i ố ớ x x x (3.35) ¥ ¥ m - 1
1
m ax i
-
x q i p i
i
1
n
=
a
=
-
;
p i
q i
ij
ij
= 1
j
j
a = 1 k
m
(cid:229) (cid:229)
k ( )
(1)
(0)
*
v à
x
x
x
x
(3.36)
m
- £ -
1
-
¥ ¥
(
k
)
(
k
)
(
k
1)
1
1
1
n
* - - £ - x x x x (3.37) . : Đ i v i ố ớ - - (1 p ) p )(1 s
j
(
)
ij
= + 1 j k
j
j
n
t = = a , j 1, n Trong đó s m : = p m ; (cid:229) ax j ax j - 1 s
(
) 1
ij
j
j
ij
= = a = - , j 1, n t ; s (cid:229) (cid:229)
i
= 1
i
n
a = + j 1
n
n
in
= 1
i
k
= = a s 0; t (cid:229)
(
k
)
(1)
(0)
1
1
(
)
* - £ - à V : x x x x (3.38) - - p ) ( 1 s 1 p
0
. : Đ i v i ta không xét vì ph c t p. ố ớ ứ ạ
(
k
Nh n xét ậ
)
i
n
( + 1) 1 Khi tính b ng ph
)
(
)
k
k
k
)
£ £ ằ : ix
( 1
+
(
k
k
1)
+ 1)
k
, x - i ứ
( 1
k
(
1)
k
(
,..., -
ể ơ
ủ ư ng pháp l p đ n khi n ng pháp l p Dâyđen so v i ph ươ ặ ớ ơ
ng pháp l p Dâyđen ặ ươ ( x x ,..., (công th c (3.34)), ta không dùng mà 1 2 + 1) ( x x x , c, vì v y sau dùng ngay v a tính đ ừ ậ ượ 1 i 2 ix + k 1) ix i n a và có th l khi tính xong ta không c n gi ầ ể ữ ữ ạ ix + đ t vào ô nh c a pháp l p Dâyđen thay cho 2n ô k ớ ủ ặ ặ ix nh đ i v i ph ng pháp l p đ n. Đây chính là u đi m c a ươ ớ ố ớ ặ ph ặ ươ l n. ớ
ệ ầ ặ
ng pháp l p Dâyđen, tìm nghi m g n ng trình: ươ ươ
Thí d 3.11 . Dùng ph ụ đúng c a h th ng ph ủ ệ ố + (cid:236) (cid:239)
2
(cid:237)
1
3
+ = = = (cid:239) 0, 24x – 0,08x 2 3 3x – 0,15x 3 4x 8 9 20 (cid:238) 4x 1 + 0,09x 1 0,04x – 0,08x 2
Gi
ả ở
(
)
- (cid:236) (cid:239)
3
(cid:237) 3.32
3
1
(cid:239) x 1 x 2 x thí d 3.10, ta có ụ 0,02x 3 + 0,05x 0,02x2 (cid:238)
a
v : à V y quá trình l p Dâyđen áp d ng vào h thông (3.3) s h i ụ ậ : ụ t
i:ả 1) Theo k t qu = = = = ¥ ế + 2 0,06x 2 3 – 0,03x 1 + 5 – 0,01x < 0,08 1. ặ ẽ ộ ệ
2
(cid:230) (cid:246)
(0)
=
b
=
x
3
(cid:231) ‚
2) Ch n:ọ (cid:231) ‚
(cid:231) ‚
(
(
) 1
Ł ł
x ứ ặ ằ
5 ) 2 ,... ả
)
)
)
kx ( 2
kx ( 3
kx ( 1
nh n đ Và tính b ng công th c l p (3.34) ta ậ ượ ả x , c b ng k t qu sau: ế
3 3,1924 3,194952 3,1949643 5 5,044648 5,0448056 5,0448073 2 1,92 1,9093489 1,909119 k 0 1 2 3
ể ầ
3x ạ
3x (3)
(2)
(2)
(3)
3) Xem là nghi m g n đúng ph i tìm, ta có th đánh giá ả sai s ph m ph i c a theo (3.35): ệ ả ủ ố
- £ - x x i ¥ m x ax i i
)
= = x ( max 0,0001499; 0,0000123;0,0000017 0,0001499
(
) max 0,08; 0,0515463
q i m = = = m 0,08 ax i - 1 p i
(3)
(3)
m * = (2) - £ - à V : x x x x 0,000013 ¥ ¥ m - 1
3x
ụ ấ ằ
t ế ấ ặ ầ ả ố ệ ế
Qua thí d này ta th y r ng n u l y làm nghi m g n ng pháp l p Dâyđen cho ta k t qu t ơ đúng ph i tìm thì ph ươ h n ph ng pháp l p đ n. ặ ơ ả ươ
ng ứ ế ả
ườ ng pháp l p đ n h i t ặ ơ ộ ụ và ph ươ i ta ch ng minh đ thì ph ặ c k t qu sau: “N u ượ ế ng pháp l p Dâyđen ặ ươ nhanh ng pháp l p Dâyđen h i t ộ ụ ộ ụ
T ng quát, ổ ph ươ cũng h i t h n. ơ
ệ
ố
ư
ộ ụ ủ
ặ
ng trình Ax = b b ng ph ng ươ ằ
ặ
12
11
n 1
1
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246)
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
3.3. Đ a h th ng PTTT v d ng ề ạ th a mãn đi u ki n h i t c a PP ệ ề ỏ l p đ n ho c PP l p Dây đen: ặ ặ ơ Mu n gi ươ ả ệ ố ố pháp l p đ n ho c ph ng pháp l p Dâyđen, ta ph i đ a v ặ ặ ả ư ề ơ = + a ươb x ng ng đ d ng t ươ ạ a a a a
b b
22
n 2
a
=
=
b ;
i h th ng ph ươ x a ... a ... (cid:231) ‚ (cid:231) ‚
2 M
21 ...
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
a
a
b
a ...
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
n
nn
n
n 1
2
Ł ł Ł ł
n
n
a
a
=
<
=
<
i
j
n
n
h
ay
sao cho
)
(
(cid:229) (cid:229)
:
1
1
1,
1,
:
ij
ij
=
i
j
1
= 1
) n ẽ ộ ụ ế
x ,..., ặ ẩ ữ ặ
(
( Ở ậ c t ượ ừ ệ
n
ươ fi +¥n ọ ệ ự ụ ng trình đã cho khi x p x đ u (nghĩa ỉ ầ ơ ấ )0x
=
=
) ( a đây, ta ch xét chu n hàng ho c chu n c t c a ma ẩ ộ ủ ặ ỉ l p nh n tr n ). Khi đó dãy nh ng vect ậ ơ ặ ( ) ( ) ( 2 1 x x , PP l p đ n ho c PP l p Dâyđen s h i t đ n đ ặ ơ nghi m duy nh t c a h th ng ph ấ ủ ệ ố không ph thu c vào vi c l a ch n vect ộ là ch n tùy ý). ọ Đ i v i h th ng ph ố ớ ệ ố a x b hay Ax
1,
ij
j
i
=
j
1
ươ = ầ ) n (cid:229)
ẽ ộ ụ ặ ặ
a
a
n
i
(
(*)
1,
ii
ij
j
i
ph ơ ươ n u đi u ki n sau đ ượ ế ệ ỏ ặ = ng trình đ u: ( b i ng pháp l p Dâyđen s h i t ng pháp l p đ n ho c ph ươ ) c th a mãn: ề > (cid:229) „
ng Nghĩa là tr tuy t đ i c a h s chéo c a m i ph
ị ủ ệ ố ệ ố ủ ệ ố ệ ố ằ
ậ ệ ố
i c a ph ươ ạ ủ
ự
ij
ớ
ỗ ươ ng chéo chính ườ ng trình) ph i l n ả ớ ng trình ươ ng trình), vì khi đó có th ể ng v i các h ệ a ng . N u h th ng ph ệ ố ỏ ề ấ
ế ằ
ổ ơ ấ ề ể ư ệ ố ữ ề ạ ệ ỏ
ủ trình c a h th ng (đó là h s n m trên đ c a ma tr n h s A c a h th ng ph ủ ủ ệ ố h n t ng tr tuy t đ i c a h s còn l ị ơ ổ ệ ố ủ ệ ố (không k s h ng t do c a ph ươ ể ố ạ ủ ng đ đ a h th ng v d ng t ươ ươ ề ạ ư ệ ố = + a b x x s th a mãn đi u ki n h i t ươ ộ ụ ế ệ ỏ ố trình Ax = b đã cho b t kì (nghĩa là không th a mãn đi u ề ki n (*)) thì b ng cách dùng nh ng bi n đ i s c p thích ệ h p, ta có th đ a h th ng v d ng th a mãn đi u ki n ợ (*). Cách làm nh sau: ư
ữ
ề ế ừ ệ ố ỏ
ệ ố ệ ớ ệ ố ủ ấ ế ố ớ
n m trên đ ườ n m trên đ ủ
ừ ữ
ữ ế
ỏ
ọ ữ ợ
ế ắ ự ủ ỗ ạ ủ ệ ố ư
ằ ả ủ ế ầ
ặ ữ ằ
T h th ng pt đã cho, ta l y ra nh ng pt mà h s c a ấ chúng th a mãn đi u ki n (*), sau đó ta x p các pt y vào các hàng c a h th ng pt m i sao cho h s có tr tuy t đ i l n ệ ố ủ ị ng chéo chính là nh c a m i pt chính là ph n t ườ ầ ử ằ ỗ ấ ủ ph n t ng chéo chính c a ma tr n h s c a h ầ ử ằ ệ ố ủ ệ ậ th ng pt m i. ớ ố c dùng đ n c a h th ng pt ban T nh ng pt đã và ch a đ ư ượ ế ủ ệ ố đ u, ta thành l p nh ng t h p tuy n tính, đ c l p tuy n tính ộ ậ ổ ợ ậ ầ v i nhau, đ t o nên nh ng pt th a mãn nguyên t c l a ch n ữ ể ạ ớ nêu trên và x p chúng vào nh ng v trí thích h p c a nh ng ị ữ ế hàng còn l i c a h th ng pt m i, v i chú ý r ng m i pt ch a ớ ớ c dùng đ n c a h th ng pt ban đ u ph i có m t trong đ ượ h p tuyên tính đ t o nên m t pt n m trong nh ng hàng m t t ộ ộ ổ ợ i c a h th ng ph còn l ng trình m i. ệ ố ể ạ ươ ạ ủ ệ ố ớ
ộ ỏ ệ ề ề ạ ư ệ ố
Thí d :ụ Đ a h th ng pt sau v d ng th a mãn đi u ki n h i t ự ủ
2
(cid:236) - 3 + 3 ặ = 4 (cid:239) - -
3 x
2
(cid:237) (1) - - 2 1 (cid:239) - (cid:238) ặ x 2 1 x 1 x 5 1 x 10 1
ơ ổ
x = x 4 = x 4 4 x 2 3x ệ ố ơ + x 3 x 2 2 + x 3 2 + + x 2 3 ệ ố ủ ữ ệ ố ủ ạ
ế
3
+
- -
- c a PP l p đ n ho c PP l p Dâyđen. ặ A x ( ) 4 + B x ( ) 5 3 C x ( ) = - D 4 ( ) 4 1) Trong pt (B), h s c a có tr tuy t đ i l n h n t ng tr ị ệ ố ớ ị i (không k nh ng s h ng t tuy t đ i c a nh ng h s còn l ể ữ ố ạ ự ng do), do đó ta x p pt (B) vào hàng th ba c a h th ng ph ủ ệ ố ươ ứ ) ( = + x x x x III trình m i:ớ 2 2 5 1 4 2 H s c a trong pt (D) có tr tuy t đ i cũng th a mãn đi u ệ ố ủ ề ỏ ế ố ị ki n (*), v y có th x p pt (D) vào hàng th nh t c a h th ng ứ ấ ủ ệ ố ệ ) pt m i: ớ
( I
4
x 2
1x ậ x 10 1
= - 4
2
ể ế + x x 2 3
2.Căn c vào h th ng pt đã cho, d th y r ng đ nh n ậ ể
ượ ứ ứ
x
1
3
ễ ấ ằ 2x ớ ớ ệ ố ủ ậ ổ ợ h p tuy n tính (A) ế
ủ
ả ố
+
ậ ượ
)
10
x 9
= 4
3
2
- ế x 0 ệ ố c pt th hai c a h th ng pt m i v i h s c a có tr đ ị ủ ệ ố tuy t đ i th a đi u ki n (*), ta thành l p t ệ ề ỏ ệ ố ) ( = + + + x x x II 0 5 – (B) và có: 4 2 1 Nh v y, trong h th ng pt m i đã có s tham gia c a các ệ ố ư ậ ớ ự c a h th ng pt m i pt(A), (B), và (D), do đó trong pt th t ớ ứ ư ủ ệ ố b t bu c ph i có s góp m t c a pt(C). Mu n th , ta có th ể ế ặ ủ ự ộ ắ c: h p tuy n tính 2(A) – (B) + 2(C) – (D) và nh n đ l p t ậ ổ ợ ( + x x IV 0 3 1
ế
ươ ươ
ỏ ế ủ ng đ ề
ầ ươ ế ủ
ươ
4
(cid:236) - - -
2
(cid:239) -
(2)
3
4
(cid:237) - -
+
x 1 x x x
3
4
4
2
(cid:239) c h th ng ph ậ ượ ệ ố = = - = = - (cid:238)
(cid:230) (cid:246) - -
=
a
(cid:231) ‚ - - (cid:231) ‚
(cid:231) ‚ -
(cid:231) ‚
0,2 0 0,2 0
c h th ng ph ng trình (I), (II), (III) 3. K t qu ta nh n đ ậ ượ ệ ố ả ng v i h th ng ph ng trình ban đ u và và (IV), t ớ ệ ố ươ ươ ng ta chia hai v c a ph th a mãn đi u ki n (*). Bây gi ờ ệ ng trình (II) cho 5, hai v c a trình (I) cho 10, hai v c a ph ươ ế ủ ng trình (IV) cho ph ng trình (III) cho -5 và hai v c a ph ươ ế ủ ng sau: ng đ ng trình t -9 và nh n đ ươ ươ ươ + x x x x 0,1 0,2 0 0,4 0,2 2 3 1 + + + x x x x 0,2 0 0,2 0 0,2 3 1 4 2 + + x x x x 0,2 0 0,4 0,4 0,2 1 3 2 + + x x x x 0,333 1,111 0 0 0 1 0,2 0,1 0 0,2 0 0,2 0 0,4 0,2 0 0 0,333 Ł ł
ij
(cid:229) 4 a =
a = = = < max(0,5;0,4;0,8;0,333) 0,8 1 ¥ max i
ươ ươ ặ ơ
ng pháp l p đ n ho c ph ng pháp ặ ng trình (2) đ tìm nghi m ể ươ ệ
j 1 V y ta có th dùng ph ể ậ l p Dâyđen đ i v i h th ng ph ố ớ ệ ố ặ g n đúng c a h th ng ph ủ ệ ố ầ
ng trình (1). ươ
Bài t pậ
i ệ ố ữ ướ
1. Dùng PP Gaox gi ơ ả đây. Các phép tính l y đ n 5 s l ấ i nh ng h th ng PT Ax = b cho d sau d u ph y: ấ ế ố ẻ ẩ
0,2 0,1
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) -
= -
a A .
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚ - (cid:231) ‚ (cid:231) ‚
1,5 0,1 1,5 0,3 0,2
= b 0,1 ; 0,5
0,4 0,8 0,2
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚ - - Ł ł Ł ł
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) -
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
=
=
b
b A .
;
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
8,30 2,62 4,10 1,90 3,92 8,45 7,78 2,46 3,77 7,21 8,04 2,28 2,21 3,65 1,69 6,99
10,65 12,21 15,45 8,35
- Ł ł Ł ł
Quá trình
c ghi trong b ng sau: a. K t qu tính toán đ ả ế ả
S h ng ố ạ doự t
x1 1,5 -0,1 -0,3
x2 -0,2 1,5 0,2
(cid:229)
0,4 0,8 0,2
1,8 2,1 -0,4
1
-0,13333
0,06667
0,26667
1,2
1,48667 0,16000
-0,09333 -0,47999
0,82667 0,28000
2,22 -0,04
Quá trình thu nậ
1
-0,06278
0,55605
1,49327
-0,46995
0,19103
-0,27892
1
-0,40649
0,59351
1
1
1
-0,40649 0,53053 0,36450
0,59351 1,53053 1,36450
Quá trình ngh chị
ượ x3 0,1 -0,1 -0,5
ng trình là: ủ ệ ố ươ
x
x
0,36450;
2
3
ệ = - ậ ượ = 0,53053; c nghi m c a h th ng ph 0,40649 T b ng trên ta nh n đ ừ ả = x 1
c ghi trong b ng sau: b. K t qu tính toán đ ả ế ượ ả
x1
x2
x3
x4
(cid:229)
8,3 3,92 3,77 2,21
2,62 8,45 7,21 3,65
4,1 7,78 8,04 1,69
1,9 2,46 2,28 6,99
-10,65 12,21 15,45 -8,35
6,27 55,574 36,75 6,13
1
0,31566
0,49398
0,22892
-1,28313
0,75542
7,21261 6,01996 2,95239
5,84359 6,17769 0,59830
1,56263 1,41697 6,48409
17,23987 20,2874 -5,51428
31,8587 33,90202 4,5205
1
0,81019
0,21665
2,39024
4,41708
Quá Trình thu nậ
1,30038 -1,79369
0,11275 5,84445
5,89825 -12,57120
7,31138 -8,52044
0,08671
4,53579
5,62284
1
5,99998
-4,43539
1,56459
1
-0,73923
0,26077
-0,73923
0,26077
Quá
4,59989
5,59989
1
1
1
1
trình
-1,17639
-0,17639
ngh chị
-3,01482
-2,01482
Quá trình S ố h ngạ doự t
Quá trình
x1
x2
x3
x3
S h ng ố ạ doự t
1
1
1
1
Quá trình ngh chị
-0,73923 4,59989 -1,17639 -3,01482
0,26077 5,59989 -0,17639 -2,01482
(cid:229)
x
c nghi m c a h th ng ph ng trình là:
1,17639;
T b ng trên ta nh n đ 3,01482; ươ 0,73923 ừ ả = - x 1 ậ ượ = - 2 ệ = x 3 ủ ệ ố = - x 4,59989; 4
ấ ả ơ
ng pháp Gaox có tìm tr l n nh t, gi ng trình Ax = b cho d i nh ng ữ ụ ớ i đây. Các phép tính l y ấ ướ ươ ươ
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) - - 2. Dùng ph h th ng ph ệ ố đ n 5 ch s có nghĩa: ữ ố ế 4,5 2,6 2,0 19,07
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚ = = b a A . 3,0 3,0 4,3 ; 3,21 (cid:231) ‚ (cid:231) ‚
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚ - - 18,25 6,0 3,5 3,0 Ł ł Ł ł
(cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) 3,81 0,25 1,28 0,75 4,21
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
2,25 1,32 4,58 0,49 6,47 (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ = = b b A . ; (cid:231) ‚ (cid:231) ‚ 5,31 6,28 0,98 1,04 2,38
(cid:231) ‚ (cid:231) ‚
Ł ł Ł ł 9,39 2,45 3,35 2,28 10,48
c ghi trong b ng sau: Gi a. K t qu tính toán đ ả i:ả ượ ế ả
ự
Quá trình
S h ng t ố ạ do
x1 2,6 3,0 -6,0
x2 -4,5 3,0 3,5
x3 -2,0 4,3 3,0
19,07 3,21 -18,25
15,17 13,51 -17,75
-6,0 3,0 2,6
3,5 3,0 -4,5
3,0 4,3 -2,0
-18,25 3,21 19,07
-17,75 13,51 15,17
1
-0,58333
-0,5
3,0417
2,9583
Quá trình thu nậ
4,7499 -2,9833
5,8 -0,7
-5,9151 11,162
4,6351 7,4784
1
1,2211
-1,2453
0,97583
2,9429
7,4469
10,389
1
2,5305
3,5305
1
1
1
2,5305 -4,3353
3,5305 -3,3353
Quá trình ngh chị
1,7780
2,7780
(cid:229)
= -
x
x
1,7780;
4,3353;
2,5305
T b ng trên ta nh n đ c nghi m c a h th ng ph ng ừ ả ậ ượ ủ ệ ố ệ ươ
2
= 3
trình là: = x 1
