23
Ch−¬ng 3
Ch−¬ng 3Ch−¬ng 3
Ch−¬ng 3
To¸n tö vµ hÖ hµm
To¸n tö vµ hÖ hµmTo¸n tö vµ hÖ hµm
To¸n tö vµ hÖ hµm
3.1.
3.1.3.1.
3.1.
To¸n tö
To¸n töTo¸n tö
To¸n tö
Do hÖ l−îng tö cã c¸c thuéc tÝnh kh¸c biÖt víi hÖ vÜ m«, nªn ng−êi ta kh«ng thÓ
biÓu diÔn c¸c ®¹i l−îng vËt lÝ cña hÖ nµy b»ng c¸c biÓu thøc gi¶i tÝch th«ng th−êng nh−
trong c¬ häc cæ ®iÓn mµ ph¶i dïng ®Õn mét c«ng cô to¸n häc míi cã kh¶ n¨ng m« t¶
b¶n chÊt cña hÖ l−îng tö. Mét trong nh÷ng c«ng cô Êy lµ to¸n tö t¸c dông lªn hµm
sãng.
3.1.1. §Þnh nghÜa:
To¸n tö lµ mét phÐp to¸n khi ta t¸c dông lªn mét hµm th× cho ra
mét hµm míi.
Thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n ®−îc qui −íc trong to¸n tö A ®èi víi hµm sè ϕ
x
®øng
sau nã ta nhËn ®−îc hµm míi ψ
x
. Hay nãi c¸ch kh¸c ψ
x
lµ kÕt qu¶ cña sù t¸c ®éng to¸n
tö A lªn hµm sè ϕ
x
.
KÝ hiÖu:
A
ˆ
ϕ
x
= ψ
x
(3.1)
VÝ dô: To¸n tö A hµm sè hµm míi
nh©n víi a x ax
d/ dx x
4
+ 5 4x
3
To¸n tö A = nh©n víi a cã nghÜa lµ thùc hiÖn phÐp nh©n a vµo hµm sè ®øng sau
nã.
A
ˆ
= d/ dx nghÜa lµ lÊy ®¹o hµm theo x hµm sè ®øng sau nã. Ng−êi ta th−êng kÝ hiÖu
c¸c to¸n tö:
A
ˆ
,
B
ˆ
,
C
ˆ
.. .
3.1.2. C¸c phÐp to¸n vÒ to¸n tö
a. PhÐp céng cña hai to¸n tö A vµ B:
Tæng c¸c to¸n tö A vµ B lµ to¸n tö C (
C
ˆ
=
A
ˆ
+
B
ˆ
) sao cho khi
C
ˆ
t¸c dông lªn
hµm u (tuú ý) th× b»ng
A
ˆ
+
B
ˆ
t¸c dông lªn hµm u ®ã.
A
ˆ
+
B
ˆ
=
C
ˆ
nÕu
C
ˆ
u =
A
ˆ
u +
B
ˆ
u
VÝ dô:
A
= x;
B
ˆ
= d/ dx ; u = U (x)
C
ˆ
= x + d /dx
C
ˆ
u = xu + du / dx = ( x+ d /dx)u
b. TÝch c¸c to¸n tö: TÝch hai to¸n tö A vµ B lµ to¸n tö C hay C
'
sao cho:
24
C
ˆ
=
A
.
B
ˆ
⇒
C
ˆ
u =
A
ˆ
[
B
ˆ
u]
C
ˆ
=
B
ˆ
.
A
ˆ
⇒
C
ˆ
u =
B
ˆ
[
A
ˆ
u]
VÝ dô:
A
ˆ
= x ,
B
ˆ
= d /dx
C
ˆ
u =
A
ˆ
[
B
ˆ
u] = x.du /dx
C
ˆ
u =
B
ˆ
[
A
u] = d/dx (x.u) = x. du/dx + u ≠
C
ˆ
u
NÕu
A
.
B
ˆ
≠
B
ˆ
.
A
th× ta nãi hai to¸n tö
A
ˆ
,
B
ˆ
kh«ng giao ho¸n víi nhau,
ta gäi [
A
ˆ
,
B
ˆ
] =
A
ˆ
.
B
ˆ
-
B
ˆ
.
A
lµ giao ho¸n tö cña hai to¸n tö
A
vµ
B
ˆ
.
NÕu
A
ˆ
.
B
ˆ
=
B
ˆ
.
A
ˆ
th× ta nãi hai to¸n tö
A
ˆ
vµ
B
ˆ
giao ho¸n.
[
A
ˆ
,
B
ˆ
] =
A
ˆ
.
B
ˆ
-
B
ˆ
.
A
ˆ
= 0
b. Luü thõa cña to¸n tö: Luü thõa cña to¸n tö
A
ˆ
®−îc ®Þnh nghÜa:
¢
2
u = (¢.¢)u = ¢ (¢u)
VËy ¢
2
= ¢.¢ lµ ¢ t¸c dông liªn tiÕp hai lÇn.
VÝ dô: ¢ =
dx
d
, u(x) = x
4
¢
2
u =
dx
d
(du/dx) =
dx
d
(4x
3
) = 12x
2
3.2.
3.2.3.2.
3.2.
To¸n tö tuyÕn tÝnh
To¸n tö tuyÕn tÝnhTo¸n tö tuyÕn tÝnh
To¸n tö tuyÕn tÝnh
3.2.1. §Þnh nghÜa:
To¸n tö
L
ˆ
®−îc gäi lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh nÕu nã thom·n biÓu thøc
sau:
L
ˆ
(au + bv) = a
L
ˆ
u + b
L
ˆ
v (3.2)
u,v: hµm ; a,b: c¸c h»ng sè bÊt k×
VÝ dô: to¸n tö
dx
d
cña hµm f(x) theo x lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh v×:
dx
d
(af
1
(x) + bf
2
(x)) = a.
dx
d
f
1
(x) + b.
dx
d
f
2
(x)
Mét sè to¸n tö tuyÕn tÝnh nh−: to¸n tö nh©n (víi mét sè, mét hµm sè)
+To¸n tö ∫ , vi ph©n:
dx
d
,
2
2
dx
d
.. .
25
+To¸n tö Laplace: ∆ =
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+To¸n tö Napla:
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
+To¸n tö Hamilton H = -
m
2
2
ℏ
∆ + U(x,y,z)
C¸c to¸n tö kh«ng tuyÕn tÝnh: , ( )
m
(m ≠ 1);
3.2.2. TÝnh chÊt cña to¸n tö tuyÕn tÝnh
NÕu hai to¸n tö
A
ˆ
,
B
ˆ
lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh (t
4
) th× tæ hîp tuyÕn tÝnh cña chóng
lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ tÝch cña chóng nh©n víi mét sè còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh.
A
ˆ
,
B
ˆ
: t
4
th× (a.
A
ˆ
+ b.
B
ˆ
) : t
4
(c.
A
.
B
ˆ
, d.
B
ˆ
A
) : t
4
3.2.3. Hµm riªng vµ trÞ riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh
a. §Þnh nghÜa:
a. §Þnh nghÜa: a. §Þnh nghÜa:
a. §Þnh nghÜa: NÕu kÕt qu¶ t¸c ®éng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh
L
ˆ
lªn mét hµm u
b»ng chÝnh hµm u ®ã nh©n víi tham sè L nµo ®ã, th× ta gäi u lµ hµm riªng vµ L lµ trÞ
riªng cña to¸n tö
L
ˆ
:
L
ˆ
u = Lu (3.3)
u lµ hµm riªng cña
L
ˆ
, cßn L lµ trÞ riªng cña
L
ˆ
øng víi hµm riªng u.
Vd:
dx
d
(e
ax
) = a. e
ax
hµm u(x) = e
ax
lµ hµm riªng cña to¸n tö
dx
d
, cßn a lµ trÞ riªng cña to¸n tö vµ øng
víi hµm riªng e
ax
Ph−¬ng tr×nh (3.3) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh hµm riªng- trÞ riªng cña to¸n tö
L
ˆ
.
b.
b.b.
b.
TrÞ riªng
TrÞ riªngTrÞ riªng
TrÞ riªng kh«ng suy biÕn
kh«ng suy biÕn kh«ng suy biÕn
kh«ng suy biÕn vµ suy biÕn
vµ suy biÕn vµ suy biÕn
vµ suy biÕn
Mét to¸n tö tuyÕn tÝnh
L
ˆ
cã thÓ tån t¹i nhiÒu hµm riªng vµ trÞ riªng kh¸c nhau.
TËp hîp c¸c trÞ riªng cña
L
ˆ
gäi lµ phæ c¸c trÞ riªng. Phæ c¸c trÞ riªng cã thÓ lµ liªn tôc
hoÆc gi¸n ®o¹n, hoÆc mét phÇn gi¸n ®o¹n mét phÇn liªn tôc.
26
- NÕu øng víi mçi hµm riªng u chØ cã mét trÞ riªng L th× ng−êi ta nãi trÞ riªng ®ã
lµ kh«ng suy biÕn.
- NÕu øng víi mét trÞ riªng L ta cã k hµm riªng u th× ta nãi trÞ riªng L suy biÕn k
lÇn hay suy biÕn bËc k.
VÝ dô:
L
ˆ
u
1
= Lu
1
L
ˆ
u
2
= Lu
2
L
ˆ
u
k
= Lu
k
L lµ trÞ riªng suy biÕn bËc k
3.2.4. C¸c ®Þnh lÝ vÒ hµm riªng vµ trÞ riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh
a. §Þnh lÝ 1:
a. §Þnh lÝ 1:a. §Þnh lÝ 1:
a. §Þnh lÝ 1: NÕu u
n
lµ hµm riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh
L
ˆ
øng víi trÞ riªng L
n
vµ
a lµ mét h»ng sè tuú ý ≠ 0 th× au
n
còng lµ hµm riªng cña
L
ˆ
øng víi trÞ riªng L
n
.
L
ˆ
u
n
= L
n
u
n
(3.4)
L
ˆ
(a.u
n
) = L
n
(a.u
n
) (3.5)
b. §Þnh lÝ 2:
b. §Þnh lÝ 2:b. §Þnh lÝ 2:
b. §Þnh lÝ 2: NÕu L
n
lµ trÞ riªng suy biÕn bËc k cña to¸n tö
L
ˆ
:
L
ˆ
u
1
= L
n
u
1
L
ˆ
u
2
= L
n
u
2
L
ˆ
u
k
= L
n
u
k
th× tæ hîp tuyÕn tÝnh cña k hµm riªng ®ã còng lµ hµm riªng cña
L
ˆ
øng víi trÞ riªng L
n
.
L
ˆ
(c
1
u
1
+ c
2
u
2
+.. . + c
k
u
k
) = L
n
(c
1
u
1
+ c
2
u
2
+.. . + c
k
u
k
) (3.6)
c. §Þnh lÝ 3:
c. §Þnh lÝ 3:c. §Þnh lÝ 3:
c. §Þnh lÝ 3: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hai to¸n tö
A
ˆ
vµ
B
ˆ
cã chung hµm riªng lµ
chóng ph¶i giao ho¸n víi nhau.
A
ˆ
u = Au
B
ˆ
v = Bu
[
A
ˆ
,
B
ˆ
] = 0 ⇔ u =v
3.3.
3.3.3.3.
3.3.
Mét sè kh¸i niÖm vÒ c¸c hÖ hµm
Mét sè kh¸i niÖm vÒ c¸c hÖ hµm Mét sè kh¸i niÖm vÒ c¸c hÖ hµm
Mét sè kh¸i niÖm vÒ c¸c hÖ hµm
3.3.1. HÖ hµm trùc giao:
HÖ hµm u, v, w .. . ®−îc gäi lµ hÖ hµm trùc giao nÕu tÝch ph©n
cña mét hµm nµo ®ã víi liªn hîp phøc cña mét hµm kh¸c lu«n b»ng 0 trong toµn ph¹m
vi biÕn ®æi cña hµm sè.
∫
u.v
*
dx = 0,
∫
u.w
*
dx = 0 ,
∫
v.w
*
dx = 0 ...
3.3.2. Hµm chuÈn ho¸:
Hµm ψ ®−îc gäi lµ hµm chuÈn ho¸ nÕu
∫
ψψ
*
dx = 1.
27
hay
∫
ψ
2
dx = 1 (3.7)
ψ ch−a chuÈn ho¸:
∫
ψ
2
dx = N ( N ≠ 1)
§Ó cã ®−îc hµm ψ chuÈn ho¸, ng−êi ta chia ph−¬ng tr×nh nµy cho N:
∫
N
1
ψ
2
dx ⇒
∫
N
1
ψψ
*
dx = 1
∫
N
1
ψ ) (
N
1
ψ
*
) dx = 1
Hµm ψ =
N
1
ψ lµ hµm chuÈn ho¸;
N
1
lµ thõa sè chuÈn ho¸.
3.3.3. HÖ hµm trùc chuÈn
ψ
1
, ψ
2
, .. ., ψ
m
,.. ., ψ
n
gäi lµ hÖ hµm trùc chuÈn nÕu nã chuÈn ho¸ vµ trùc giao
víi nhau tõng ®«i mét.
∫ψ
m*
ψ
n
dx = 1 : nÕu m = n (3.8)
= 0 : nÕu m ≠ n
3.3.4. HÖ hµm ®Çy ®ñ:
HÖ hµm ψ
1
, ψ
2
, .. ., ψ
m
,.. ., ψ
n
®−îc gäi lµ hÖ hµm ®Çy ®ñ, nÕu
hµm ψ bÊt k× cã thÓ khai triÓn thµnh chuçi tuyÕn tÝnh cña hÖ hµm Êy.
ψ = C
1
ψ
1
+ C
2
ψ
2
+ .. . + C
m
ψ
m
+ .. . + C
n
ψ
n
= ∑ C
i
ψ
i
(3.9)
C
i
: hÖ sè khai triÓn chuçi
NÕu hÖ hµm ®Çy ®ñ còng lµ hÖ hµm trùc giao th× ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc hÖ sè
khai triÓn chuçi.
VÝ dô: Muèn x¸c ®Þnh C
m
th× ta nh©n ph−¬ng tr×nh víi ψ
m*
vµ lÊy ∫
∫ψ
m*
ψdx = C
1
∫ψ
m*
ψ
1
dx + C
2
∫ψ
m*
ψ
2
dx + .. . + C
m
∫ψ
m*
ψ
m
dx + .. . + C
n
∫ψ
m*
ψ
n
dx
∫
∫
=dx
dx
C
m
m
m
ψψ
ψψ
*
*
NÕu hÖ hµm ®Çy ®ñ tho¶ m·n tÝnh chÊt chuÈn ho¸ th×: C
m
= ∫ ψ
m*
ψdx
3.3.5. Hµm ®Òu hoµ (hµm ®Òu ®Æn)