Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 4

Chia sẻ: Nguyen Minh Phung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

272
lượt xem 79
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hệ tiên đề của cơ học lượng tử. Mỗi trạng thái của một hệ vật lí vi mô (hệ lượng tử) được đặc trưng bằng một hàm xác định, đơn trị, hữu hạn, liên tục phụ thuộc vào thời gian t và toạ độ q, kí hiệu là hàm y (q,t); gọi là hàm sóng .

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 4

Ch−¬ng Ch−¬ng 4 HÖ tiªn HÖ tiªn ®Ò cña c¬ häc l−îng tö 4.1. (tiªn 4.1. Tiªn ®Ò vÒ hµm sãng (tiªn ®Ò 1) - Nguyªn lÝ chång chÊt c¸c tr¹ng th¸i 4.1.1. Hµm sãng a. Néi dung: “Mçi tr¹ng th¸i cña mét hÖ vËt lÝ vi m« (hÖ l−îng tö) ®−îc ®Æc a. tr−ng b»ng mét hµm x¸c ®Þnh, ®¬n trÞ, h÷u h¹n, liªn tôc phô thuéc vµo thêi gian t vµ to¹ ®é q, kÝ hiÖu lµ hµm ψ (q,t); gäi lµ hµm sãng hay hµm tr¹ng th¸i cña hÖ ”. Mäi th«ng tin vÒ hÖ l−îng tö chØ cã thÓ thu ®−îc tõ hµm sãng m« t¶ tr¹ng th¸i cu¶ hÖ. b. ý nghÜa vËt lÝ vµ tÝnh chÊt cña hµm sãng nghÜa - V× hµm sãng ψ (q,t) nãi chung lµ hµm phøc nªn nã kh«ng cã ý nghÜa vËt lÝ trùc tiÕp, mµ chØ cã b×nh ph−¬ng modun ψ 2 (trÞ nµy lµ thùc) cña hµm sãng míi cã ý nghÜa lµ mËt ®é x¸c suÊt t×m thÊy h¹t t¹i to¹ ®é t−¬ng øng, ®ã chÝnh lµ ý nghÜa vËt lÝ cña hµm sãng. - NÕu gäi dw lµ x¸c suÊt t×m thÊy h¹t trong mét thÓ tÝch dv xung quanh mét 2 ®iÓm nµo ®ã trong kh«ng gian th× ta sÏ cã: dw = ψ dv dw 2 MËt ®é x¸c suÊt ψ = (4.1) dv 2 NÕu lÊy tÝch ph©n cña ψ trong toµn kh«ng gian ta sÏ cã x¸c suÊt t×m thÊy h¹t trong toµn kh«ng gian, theo lÝ thuyÕt x¸c suÊt th× x¸c suÊt nµy b»ng 1. 2 ∫ψ dv = 1 (4.2) 2 BiÓu thøc (4.2) muèn tho¶ m·n tÝch ph©n ∫ ψ dv ph¶i cã gi¸ trÞ h÷u h¹n, nghÜa lµ ψ 0 ®ñ nhanh ë v« cùc. §©y lµ ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ cña hµm sãng, hµm ψ(q,t) gäi lµ hµm ®· chuÈn ho¸. Ngoµi ra, hµm ψ(q,t) ph¶i tho¶ m·n tÝnh chÊt ®¬n trÞ, h÷u h¹n vµ liªn tôc ®Ó th¶o m·n tÝnh chÊt cña mét hµm mËt ®é v×: 2 1- TÝnh ®¬n trÞ: V× ψ biÓu thÞ mËt ®é x¸c suÊt cña h¹t vµ x¸c suÊt lµ mét ®¹i l−îng hoµn toµn x¸c ®Þnh nªn Ψ ph¶i lµ mét hµm ®¬n trÞ cña to¹ ®é, nªó kh«ng t¹i mét to¹ ®é x¸c ®Þnh ta sÏ thu ®−îc nhiÒu gi¸ trÞ x¸c suÊt vµ ®iÒu nµy hoµn toµn kh«ng cã ý nghÜa vËt lý. 2- TÝnh h÷u h¹n: V× x¸c suÊt lµ h÷u h¹n nªn hµm sãng Ψ ph¶i h÷u h¹n t¹i mäi vÞ trÝ. 3- TÝnh liªn tôc: V× tr¹ng th¸i cña hÖ l−îng tö ph¶i biÕn ®æi liªn tôc trong kh«ng gian, nªn hµm sãng Ψ m« t¶ tr¹ng th¸i cña h¹t ph¶i lµ mét hµm liªn tôc. 32
4.1.2. Nguyªn lÝ chång chÊt tr¹ng th¸i Trong c¬ häc l−îng tö xuÊt ph¸t tõ b¶n chÊt cña hµm sãng ng−êi ta thõa nhËn mét nguyªn lÝ, gäi lµ nguyªn lÝ chång chÊt tr¹ng th¸i. §©y lµ mét nguyªn lÝ c¬ b¶n cña c¬ häc l−îng tö. “NÕu c¸c hµm ψ1, ψ2,.. ., ψn lµ c¸c hµm sãng m« t¶ tr¹ng th¸i cña mét hÖ l−îng tö, th× tæ hîp tuyÕn tÝnh cña chóng còng m« t¶ ®−îc tr¹ng th¸i cña hÖ l−îng tö ®ã”. ψ = C1ψ1 + C2ψ2 +.. . + Cnψn : hµm tr¹ng th¸i (4.3) C1 , C2, .. . lµ nh÷ng hÖ sè tuú ý. Nguyªn lÝ chång chÊt ph¶n ¸nh tÝnh chÊt ®éc lËp cña mét tr¹ng th¸i nµy ®èi víi mét tr¹ng thaÝ kh¸c. 4.2. Tiªn ®Ò vÒ to¸n tö (tiªn ®Ò 2) 4.2.1. Néi dung: T−¬ng øng víi mçi ®¹i l−îng vËt lÝ L cña hÖ l−îng tö ë tr¹ng th¸i ψ th× cã mét to¸n tö Hermit L t−¬ng øng Gi÷a c¸c to¸n tö nµy cã c¸c hÖ thøc gièng nh− nh÷ng hÖ thøc ®¹i l−îng vËt lÝ trong c¬ häc cæ ®iÓn. 4.2.2. Mét to¸n tö trong c¬ häc l−îng tö t−¬ng ®−¬ng víi mét ®¹i l−îng vËt lÝ trong c¬ häc cæ ®iÓn a.To¸n tö to¹ ®é: x =x ˆ Mét c¸ch tæng qu¸t q (x,y,z) = q( x,y,z) ˆ b.To¸n tö xung l−îng (®éng l−îng) thµnh phÇn ℏ∂ ∂ px → p x = = − iℏ ˆ i ∂x ∂x ℏ∂ ∂ py → p y = = − iℏ ˆ i ∂y ∂y ℏ∂ ∂ pz → p z = = − iℏ ˆ i ∂z ∂z c. To¸n tö xung l−îng p = px + py + pz ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂ + + ) = −iℏ∇ p = -i ℏ ( ˆ ∂x ∂ y ∂ Z 33
d. To¸n tö b×nh ph−¬ng xung l−îng p 2 = p x + p 2 + p z2 = −ℏ 2 ∆ ˆ2 ˆy ˆ ˆ e. To¸n tö m« men ®éng l−îng thµnh phÇn ∂ ∂ Mx = ypz - zpy → M x = −iℏ ( y − z ) ˆ ∂z ∂y ∂ ∂ My = zpx - xpz → M y = −iℏ( z − x ) ˆ ∂x ∂z ∂ ∂ Mz = xpy -ypx → M z = −iℏ ( x − y ) ˆ ∂y ∂x ˆ M 2 = M x2 + M y + M z2 ɺɺ ˆ ˆ2 ˆ f. To¸n tö thÕ n¨ng U(x,y,z) → U ( x, y, z ) ˆ g. To¸n tö ®éng n¨ng mv 2 2 ˆ2 2 ˆ mv = p = − ℏ ∆ →T= T= 2 2 m 2m 2m h. To¸n tö n¨ng l−îng (to¸n tö Hamilton) E = T + U → H = T +U ˆˆˆ Thay c¸c gi¸ trÞ ta ®−îc: ℏ2 H =− ∆ + U (q) ˆ ˆ 2m 4.3. 4.3. Tiªn ®Ò vÒ trÞ riªng vµ ®¹i l−îng ®o ®−îc 4.3.1. Phæ trÞ riªng cña to¸n tö Hermite vµ nh÷ng gi¸ trÞ kh¶ dÜ cña c¸c ®¹i l−îng vËt lÝ t−¬ng øng §¹i l−îng vËt lÝ L cña mét hÖ l−îng tö ë mét thêi ®iÓm chØ cã thÓ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö t−¬ng øng L tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh trÞ riªng ë thêi ®iÓm t: ˆ 34
L ψn = Ln ψn (4.4) ˆ 4.3.2. Nh÷ng gi¸ trÞ ψ mµ ë ®ã ®¹i l−îng vËt lÝ L cã gi¸ trÞ x¸c ®Þnh NÕu hÖ l−îng tö ë tr¹ng th¸i ψ mµ hµm ψ nµy ®ång nhÊt víi mét hµm riªng φk nµo ®ã cña to¸n tö Hermite L , th× ë tr¹ng th¸i ψ ®ã ®¹i l−îng vËt lÝ L cã gi¸ trÞ x¸c ˆ ®Þnh vµ b»ng trÞ riªng Lk cña to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermite L . ˆ Nh÷ng tr¹ng th¸i ψL mµ ë ®ã mét ®¹i l−îng vËt lÝ L cã gi¸ trÞ x¸c ®Þnh lµ nh÷ng tr¹ng th¸i tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh trÞ riªng cña to¸n tö t−¬ng øng L . ˆ L ψL = LψL ˆ 4.3.3. X¸c suÊt ®Ó mét ®¹i l−îng L cã mét gi¸ trÞ Li NÕu hÖ l−îng tö ë vµo tr¹ng th¸i ψ, mµ ψ kh«ng trïng víi mét hµm riªng nµo cña L th× ®¹i l−îng vËt lÝ L cña tr¹ng th¸i ψ ®ã kh«ng cã gi¸ trÞ x¸c ®Þnh. §¹i l−îng L ˆ chØ cã thÓ nhËn mét trong nh÷ng gi¸ trÞ x¸c ®Þnh Li cña phæ trÞ riªng cña to¸n tö L , ˆ nh−ng kh«ng biÕt ch¾c lµ trÞ nµo. V× thÕ ng−êi ta ph¶i x¸c ®Þnh L theo ®Þnh luËt x¸c suÊt. XuÊt ph¸t tõ nguyªn lÝ chång chÊt tr¹ng th¸i vµ tÝnh ®Çy ®ñ, trùc giao cña hÖ hµm riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermite L ng−êi ta biÓu diÔn hµm ψ m« t¶ tr¹ng th¸i ˆ cña hÖ thµnh chuçi tuyÕn tÝnh theo c¸c hµm riªng. ψ = C1ψ1 + C2ψ2 + .. . + Cnψn = Ciψi (4.5) Nh− vËy, tr¹ng th¸i ψ ®−îc xem lµ sù chång chÊt nh÷ng tr¹ng th¸i riªng Ui cña to¸n tö Hermite L . Lóc ®ã øng víi mçi tr¹ng th¸i riªng trªn, ®¹i l−îng vËt lÝ L nhËn ˆ nh÷ng gi¸ trÞ x¸c ®Þnh Li lµ trÞ riªng t−¬ng øng víi hµm riªng Ui. X¸c suÊt ®Ó L nhËn gi¸ trÞ Li lµ W (Li) = C i2 . ∑ C i2 = 1 : ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸. Víi W (Li) lµ x¸c suÊt ®Ó ®¹i l−îng L nhËn mét trong nh÷ng gi¸ trÞ cã thÓ cã cña Ln. Tõ L ψn = Ln ψn ⇒ ψn* L ψn = ψn* L ψn = Ln ψn* ψn ˆ ˆ ∫ ψn* L ψn dτ ⇒ Ln = ˆ ∫ ψ n ψ n dτ * Thùc tÕ trong c¬ häc l−îng tö Ýt khi t×m ®−îc ψn lµ mét hµm riªng ®óng, mµ chØ t×m ®−îc hµm riªng gÇn ®óng. Do ®ã trÞ riªng ψn t×m thÊy lµ trÞ trung b×nh: 35
∫ ψn* L ψn dτ Ln = (4.6) ˆ ∫ ψn* ψn dτ Gi¸ trÞ trung b×nh nµy cßn gäi lµ k× väng cña L. 4.4. §iÒu kiÖn ®Ó hai ®¹i l−îng vËt lÝ cã gi¸ trÞ x¸c ®Þnh ®ång thêi trong cïng mét tr¹ng th¸i Ta ®· biÕt, ®¹i l−îng vËt lÝ A cña tr¹ng th¸i ψ1 cã gi¸ trÞ x¸c ®Þnh nÕu ψ 1 lµ hµm riªng cña to¸n tö A . §¹i l−îng vËt lÝ B cña tr¹ng th¸i ψ 2 cã gi¸ trÞ x¸c ®Þnh nÕu ψ2 lµ ˆ hµm riªng cña B . Do ®ã, hai ®¹i l−îng vËt lÝ A, B cña cïng tr¹ng th¸i ψ sÏ cã gi¸ trÞ ˆ x¸c ®Þnh ®ång thêi nÕu ψ lµ hµm riªng chung cña hai to¸n tö A , B ; khi ®ã hai to¸n tö ˆˆ A vµ B ph¶i giao ho¸n víi nhau. Ng−îc l¹i, nÕu hai to¸n tö giao ho¸n th× chóng sÏ cã ˆ ˆ chung hµm riªng vµ hai ®¹i l−îng vËt lÝ t−¬ng øng sÏ cã gi¸ trÞ ®ång thêi x¸c ®Þnh. VËy: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hai ®¹i l−îng vËt lÝ cña hÖ l−îng tö cã trÞ x¸c ®Þnh ®ång thêi trong cïng mét tr¹ng th¸i lµ c¸c to¸n tö cña chóng giao ho¸n víi nhau. • Mét sè thÝ dô: a. C¸c to¸n tö giao ho¸n: - To¸n tö x , y , z giao ho¸n víi nhau tõng ®«i mét ˆ ˆˆ [ x , y ] = 0; [ y , z ] = 0; [ x , z ] = 0 ˆˆ ˆˆ ˆˆ VËy c¸c to¹ ®é x, y, z cña mét h¹t cã thÓ nhËn ®ång thêi nh÷ng gi¸ trÞ trong cïng mét tr¹ng th¸i. - To¸n tö thµnh phÇn ®éng l−îng px, py, pz giao ho¸n víi nhau tõng ®«i mét, nªn cã gi¸ trÞ ®ång thêi x¸c ®Þnh trong cïng mét tr¹ng th¸i. b- C¸c to¸n tö kh«ng giao ho¸n: - §éng l−îng vµ to¹ ®é: C¸c to¸n tö to¹ ®é vµ thµnh phÇn ®éng l−îng t−¬ng øng víi to¹ ®é ®ã kh«ng giao ho¸n, nªn tõng ®«i mét kh«ng thÓ cã gi¸ trÞ x¸c ®Þnh ®ång thêi. Nh−ng mét to¸n tö to¹ ®é vµ to¸n tö thµnh phÇn ®éng l−îng øng víi to¹ ®é kh¸c l¹i giao ho¸n. Do ®ã, chóng l¹i cã thÓ ®ång thêi x¸c ®Þnh trong cïng mét tr¹ng th¸i. -To¸n tö thµnh phÇn momen ®éng l−îng: To¸n tö thµnh phÇn momen ®éng l−îng kh«ng giao ho¸n víi nhau tõng ®«i mét. Do ®ã, c¸c thµnh phÇn Mx, My, Mz cña momen ®éng l−îng kh«ng thÓ cã nh÷ng gi¸ trÞ x¸c ®Þnh. [ M x, M y ] = i ħ M z ; [ M y , M z ] = i ħ M x ; [ M z M x] = i ħ M y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ Tuy nhiªn, to¸n tö b×nh ph−¬ng m«men ®éng l−îng M 2 = M 2 + M y2 + M 2 ˆ ˆ ˆ ˆ x z l¹i giao ho¸n víi mçi to¸n tö M x, M y, M z. ˆ ˆ ˆ [ M 2, M x] = [ M 2,, M y] = [ M 2, M z] = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 36
Do ®ã, M 2 vµ thµnh phÇn m«men ®éng l−îng nµo ®ã lµ cã thÓ ®ång thêi x¸c ˆ ®Þnh. M 2ψ = M 2ψ Ta cã: ˆ M zψ = Mzψ ˆ Mét c¸ch hoµn toµn t−¬ng tù chóng ta còng cã thÓ chøng minh ®−îc ba to¸n tö h×nh chiÕu momen ®éng spin Sx, Sy, Sz ë cïng mét tr¹ng th¸i kh«ng giao ho¸n víi nhau tõng ®«i mét. Ng−îc l¹i, to¸n tö b×nh ph−¬ng momen ®éng spin giao ho¸n víi mét trong Sx, Sy, Sz 4.5. 4.5. Tiªn ®Ò vÒ ph−¬ng tr×nh Schrodinger - Tr¹ng th¸i dõng 4.5.1. Tiªn ®Ò 3 - Ph−¬ng tr×nh Schodinger tæng qu¸t Hµm sãng ψ(q,t) m« t¶ tr¹ng th¸i cña hÖ l−îng tö biÕn thiªn theo thêi gian ®−îc x¸c ®Þnh bëi ph−¬ng tr×nh Schrodinger tæng qu¸t: ∂ψ = Hψ (4.7) ˆ iℏ ∂t i = − 1 , H : to¸n tö Haminton H = H (q,t) ˆ ˆ ˆ ψ : hµm sãng m« t¶ tr¹ng th¸i cña hÖ theo thêi gian ψ(q,t) Ph−¬ng tr×nh (4.7) do Schrodinger ®−a ra n¨m 1926 nh− mét tiªn ®Ò, nghÜa lµ kh«ng thÓ suy ra tõ bÊt k× mét nguyªn lÝ nµo kh¸c. Sù ®óng ®¾n cña ph−¬ng tr×nh chØ cã thÓ ®−îc kh¼ng ®Þnh b»ng c¸c kÕt qu¶ kiÓm chøng khi ¸p dông cho c¸c hÖ l−îng tö cô thÓ. Ph−¬ng tr×nh (4.7) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt; do ®ã nÕu ψ1 vµ ψ2 lµ hai nghiÖm ®éc lËp cña (4.7) th× mäi tæ hîp tuyÕn tÝnh ψ = C1ψ1 +C2ψ2 cña chóng còng lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh. NÕu ψ lµ hµm ®· chuÈn ho¸; ψ1 , ψ2 ... lµ trùc chuÈn, cßn C 1, C2 ... lµ nh÷ng sè nãi chung phøc vµ kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng th×: C 1 2 + C2 2 + ... + Cn 2 = 1 V× vËy, ph−¬ng tr×nh Schodinger tæng qu¸t còng thÓ hiÖn nguyªn lÝ chång chÊt tr¹ng th¸i trong c¬ häc l−îng tö. Do nh÷ng ®iÒu ®ã, ph−¬ng tr×nh Schrodinger tæng qu¸t lµ ph−¬ng tr×nh gèc vµ to¸n tö Haminton lµ to¸n tö quan träng nhÊt cña c¬ häc l−îng tö kh«ng t−¬ng ®èi tÝnh. 4.5.2. Ph−¬ng tr×nh Schodinger cña c¸c tr¹ng th¸i dõng Gi¶ sö hÖ l−îng tö ë vµo mét tr−êng thÕ U kh«ng phô thuéc vµo thêi gian, chØ phô thuéc vµo to¹ ®é U = U(q), th× H kh«ng phô thuéc vµo thêi gian. Lóc ®ã H chØ ˆ ˆ ˆ 37
t¸c ®éng lªn phÇn phô thuéc to¹ ®é cña hµm ψ (q,t). Do ®ã, hµm ψ(q,t) t¸ch thµnh hai phÇn: ψ(q,t)= ψ(q).F(t) Thay vµo ph−¬ng tr×nh Schodinger tæng qu¸t: ∂ψ (q, t ) = Hψ ( q ) .F( t ) (4.8) ˆ iℏ ∂t iℏ ∂F( t ) Hψ ( q ) ˆ = ⇒ (4.9) . ψ (q ) F( t ) ∂ (t ) Hai vÕ cña ®¼ng thøc (4.9) phô thuéc vµo hai biÕn sè kh¸c nhau, nªn hai vÕ chØ cã thÓ b»ng nhau khi hai vÕ ph¶i b»ng cïng mét h»ng sè λ nµo ®ã: iℏ ∂F( t ) =λ (4.10) . F( t ) ∂ (t ) Hψ ( q ) ˆ =λ (4.11) ψ (q ) ⇒ H ψ(q) = λψ(q) Tõ (4.11) (4.12) ˆ (4.12) lµ ph−¬ng tr×nh hµm riªng trÞ riªng cña H , mµ trÞ riÖng cña H lµ n¨ng ˆ ˆ l−îng toµn phÇn E nªn λ = E lµ trÞ thùc. C¸c hµm ψ(q) lµ hµm riªng cña to¸n tö H , nã m« t¶ nh÷ng tr¹ng th¸i n¨ng ˆ l−îng kh«ng biÕn ®æi theo thêi gian E = λ = const. Tr¹ng th¸i cã E kh«ng biÕn ®æi theo thêi gian gäi lµ tr¹ng th¸i dõng. Ph−¬ng tr×nh Schodinger cho tr¹ng th¸i dõng: H ψ(q) = E. ψ(q) (4.13) ˆ 2m ∆ψ ( q ) + ( E − U )ψ ( q ) = 0 hay (4.14) ℏ2 Ph−¬ng tr×nh (4.13) hoÆc (4.14) lµ ph−¬ng tr×nh quan träng nhÊt cña c¬ häc l−îng tö. V× ho¸ häc l−îng tö chñ yÕu nghiªn cøu c¸c hÖ ë tr¹ng th¸i dõng. iℏ ∂F(t ) Gi¶i ph−¬ng tr×nh (4.10) = E ta ®−îc . F( t ) ∂ (t ) 38
F(t) = C.e-i Et / h gäi lµ thõa sè ®¬n s¾c hay thõa sè pha cña hµm sãng. Nh− vËy: nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh Schrodinger sÏ lµ: ψ(q,t) = ψ(q).F(t) − iEt 2 2 2 ψ(q,t) = ψ (q). e ⇒ ψ ( q ,t ) = ψ ( q ) . e -iEt / h ℏ 2 2 ψ ( q ,t ) = ψ ( q ) . (4.15) Ph−¬ng tr×nh (4.15) cho ta thÊy ë tr¹ng th¸i dõng, mËt ®é x¸c suÊt kh«ng phô thuéc vµo thêi gian. Do ®ã, khi gi¶i ph−¬ng tr×nh Schrodinger cho tr¹ng th¸i dõng ta chØ cÇn t×m ®Õn ψ(q) lµ ®ñ, v× hãa l−îng tö chñ yÕu nghiªn cøu c¸c tr¹ng th¸i dõng cña ph©n tö. 4.6. 4.6. Mét sè bµi to¸n øng dông 4.6.1. Bµi to¸n vi h¹t trong hép thÕ mét chiÒu Gi¶ sö cã mét tiÓu ph©n (h¹t) khèi l−îng m chuyÓn ®éng trong hép thÕ mét chiÒu theo ph−¬ng x víi bÒ réng OA = a. Trong kho¶ng 0 ≤ x ≤ a thÕ n¨ng cña hÖ kh«ng ®æi. ë nh÷ng vÞ trÝ bªn ngoµi hép (x < 0 vµ x > a) th× cã nh÷ng tr−êng lùc lµm cho thÕ n¨ng cña h¹t t¨ng v« h¹n. Nãi c¸ch kh¸c chuyÓn ®éng cña h¹t bÞ giíi h¹n trong hép: 8 8 U= U= U = Const x a 0 U = Const = 0 víi 0 ≤ x ≤ a U=∞ víi x < 0 vµ x > a M« h×nh nµy gäi lµ m« h×nh hép thÕ mét chiÒu, tr¹ng th¸i cña h¹t trong hép thÕ mét chiÒu lµ tr¹ng th¸i dõng. H¹t chuyÓn ®éng trong thµnh v¸ch dùng ®øng cã thÓ dïng ®Ó m« t¶ electron tù do trong kim lo¹i ho¨c electron kh«ng ®Þnh c− trong c¸c ph©n tö liªn hîp. Ta cã ph−¬ng tr×nh Schrodinger cho tr¹ng th¸i dõng: 39
2m ∆ψ ( q ) + ( E − U )ψ ( q ) = 0 ℏ2 d2 V× lµ hép thÕ mét chiÒu theo ph−¬ng x nªn: ∆ = dx 2 d 2ψ 2m Eψ + Suy ra : =0 dx 2 ℏ 2 d 2ψ 2mE + k 2ψ = 0 k2= ⇒ §Æt (4.16) 2 2 ℏ dx §©y lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh bËc hai cã nghiÖm tæng qu¸t: ψ(x) = A coskx + Bsinkx (4.17) Trong ®ã A, B lµ c¸c h»ng sè ch−a x¸c ®Þnh. Ta cã thÓ x¸c ®Þnh A b»ng c¸ch ®Ó ý tíi ®iÒu kiÖn bê cña bµi to¸n (x = 0 vµ x = a). T¹i c¸c gi¸ trÞ bê (x = 0, x = a) hµm sãng ph¶i triÖt tiªu, nghÜa lµ ψ = 0: ψ(0) = 0 , ψ (a) = 0 * ψ(0) = A cos 0 + Bsin0 = 0 ⇒ A=0 ⇒ ψ(x) = Bsinkx * ψ(a) = Bsinka = 0 ⇒ sinka = 0 ⇒ ka = nπ ( n: nguyªn) (B kh«ng thÓ b»ng 0, v× nÕu B = 0 th× ψ(x) b»ng 0 víi mäi x) nπ ⇒ k= (n = 1,2,3, .. .) a (n kh«ng thÓ b»ng 0, v× n = 0 th× k = 0 vµ ψ(x) còng b»ng 0 víi mäi x. §ång thêi n còng kh«ng nhËn gi¸ trÞ ©m, v× khi ®ã ta cã ψ(x) = - Bsinka vµ mËt ®é x¸c suÊt cña 2 hµm sãng ψ vÉn kh«ng thay ®æi). nπ ⇒ ψ(x) = B sin x a H»ng sè B cßn l¹i ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸: 40
nπ a a ∫ ψ dx = 1 ⇒ B ∫ Sin xdx = 1 2 2 2 a 0 0 2 B= (th−êng chän B d−¬ng) a nπ 2 VËy hµm sãng ®· chuÈn ho¸: ψn(x) = sin x a a nπ 2mE Tõ k2 = vµ k = a ℏ h2 2 En = n 8ma 2 (4.18) n: sè l−îng tö ( n = 1,2,3,.. .) Tõ (4.18) ta thÊy, hÖ chØ cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ n¨ng l−îng gi¸n ®o¹n, ta nãi n¨ng l−îng cña h¹t ®−îc l−îng tö ho¸. Nh− vËy, sù l−îng tö ho¸ cña n¨ng l−îng ®−îc dÉn ra mét c¸ch tù nhiªn tõ yªu cÇu hµm sãng ph¶i tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn bê. §©y lµ ®iÓm kh¸c biÖt cña hÖ vi m« so víi hÖ vÜ m«. h2 π 2 ; ψ1 = n = 1 : E1 = 8ma 2 sin x (x =0, x = a) a a 2 h π 2 ;ψ2= n=2 : E2 = 4. 8ma 2 = 4E1 sin 2 x (x = 0, a, a/2) a a h2 π 2 ;ψ3= n=3 : E3 = 9. 8ma 2 = 9E1 sin 3 x (0, a, a/3, 2a/3) a a §iÓm mµ t¹i ®ã hµm sãng ψ = 0 ng−êi ta gäi lµ ®iÓm nót. Trõ nh÷ng ®iÓm ë thµnh hép, ta thÊy sè ®iÓm nót cña hµm sãng phô thuéc vµo n vµ b»ng (n-1). Gi¶n ®å n¨ng l−îng hµm sãng vµ mËt ®é x¸c suÊt cña h¹t trong hép thÕ mét chiÒu ®−îc tr×nh bµy ë h×nh sau: Cã thÓ rót ra mét sè ®Æc ®iÓm vÒ hµm sãng vµ møc n¨ng l−îng cña hÖ: - Mçi hµm sãng ψ n(x) cã (n-1) ®iÓm nót. Sè ®iÓm nót t¨ng theo chiÒu t¨ng cña møc n¨ng l−îng. 41
- X¸c suÊt t×m thÊy h¹t t¹i mét vÞ trÝ gi÷a x vµ dx lµ : dw = ψ 2dx. X¸c suÊt nµy cã cùc ®¹i t¹i nh÷ng vÞ trÝ kh¸c nhau tuú theo tr¹ng th¸i cña hÖ. ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n n =1, mËt ®é x¸c suÊt cùc ®¹i t¹i x =a/2. 2 h - Møc n¨ng l−îng thÊp nhÊt cña hÖ cã gi¸ trÞ h÷u h¹n kh¸c kh«ng E1 = 8ma 2 . Ng−êi ta gäi n¨ng l−îng nµy lµ n¨ng l−îng ®iÓm kh«ng. Sù tån t¹i n¨ng l−îng ®iÓm kh«ng lµ ®Æc tr−ng cña c¸c hÖ liªn kÕt. 4.6.3. Bµi to¸n vi h¹t trong hép thÕ 3 chiÒu Më réng tr−êng hîp hép thÕ 1 chiÒu ®èi víi hép thÕ 3 chiÒu, víi thÕ n¨ng: U = Const = 0 trong kho¶ng 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c vµ U = ∞ ë ngoµi kho¶ng ®ã. z c o x b a y Ph−¬ng tr×nh Schrodinger cã d¹ng: ℏ2 ∂ ∂2 ∂2 2 ( 2 + 2 + 2 )ψ ( x , y , z ) = Eψ ( x , y , z ) - (4.19) 2m ∂x ∂y ∂z E = Ex + Ey + Ez §Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh (4.19) ta ph©n li biÕn sè: ψ (x,y,z) = ψ (x) ψ (y) ψ (z) (4.20) §−a (4.20) vµo (4.19) råi chia c¶ hai vÕ cho ψ (x) ψ (y) ψ (z) ta ®−îc: 1 ∂ ψ ( x) 1 ∂ ψ ( y) 1 ∂ ψ (Z ) 2 2 2 2m + + =− 2 E (4.21) ψ ( x ) ∂x ψ ( y ) ∂y ψ ( Z ) ∂Z 2 2 2 ℏ 1 ∂ ψ ( x) 1 ∂ ψ ( y) 1 ∂ ψ ( Z ) 2m 2 2 2 + + + 2 ( E x + E y + E z ) = 0 (4.22) hay ψ ( x ) ∂x 2 ψ ( y ) ∂y ψ ( Z ) ∂Z 2 2 ℏ 42
Ph−¬ng tr×nh (4.22) cã thÓ ®−îc xem nh− lµ tæng cña 3 ph−¬ng tr×nh cã d¹ng gièng nhau: ∂2 2m ψ ( x ) + 2 E xψ ( x ) = 0 (a) ∂x 2 ℏ ∂ 2 2m ψ ( y ) + 2 E yψ ( y ) = 0 (b) ∂y 2 ℏ ∂2 2m, ψ ( z ) + 2 E zψ Z = 0 (c) ∂z 2 ℏ C¸c ph−¬ng tr×nh (a), (b), (c) chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh sãng cña h¹t trong hép thÕ mét chiÒu mµ nghiÖm ta ®· biÕt: nπ h2 ψ(x) = Axsin ; Ex = n x 2 x 8ma 2 a n yπ h2 ψy = Aysin ; Ey = ny 2 y 8mb 2 b n zπ h2 ψ(z) = Azsin ; Ez = n z2 z 8mc 2 c 2 2 2 ë ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ th× Ax = ; Ay = ; Az = . Do ®ã hµm sãng a b c chuÈn ho¸ vµ n¨ng l−îng cña hÖ lµ: n yπ nπ nπ 2 2 2 ψ ( x, y,z ) = (4.23) sin z z x. y. sin sin a b c a b c 2 2 ny n2 h 2 nx ( 2 + 2 + z) Enx,ny,nz = (4.24) c2 8m a b Tõ (4.24) suy ra: NÕu mét hay hai c¹nh cña hép thÕ cã ®é dµi b»ng sè nguyªn lÇn mét c¹nh kh¸c th× sÏ cã mét sè hµm riªng (tr¹ng th¸i) kh¸c nhau cã cïng mét gi¸ trÞ n¨ng l−îng nh− nhau, tøc lµ trÞ riªng Enx,ny,nz cã suy biÕn. Sù xuÊt hiÖn trÞ riªng suy biÕn rÊt th−êng gÆp trong c¬ häc l−îng tö, ph¶n ¸nh tÝnh ®èi xøng cña hÖ kh¶o s¸t. 4.6.3. Dao ®éng tö ®iÒu hoµ 43
Chóng ta biÕt r»ng dao ®éng tö cña mét ph©n tö hai nguyªn tö, chuyÓn ®éng cña c¸c h¹t trong m¹ng l−íi tinh thÓ, mét c¸ch gÇn ®óng, ®−îc xem nh− c¸c dao ®éng ®iÒu ho¸ tuyÕn tÝnh. Khi h¹t chuyÓn ®éng trong tr−êng lùc däc theo trôc x (theo ph−¬ng x¸c ®Þnh) th× nã bÞ t¸c dông mét lùc víi thÕ n¨ng: k 2 mω 2 2 x= U= (4.25) x 2 2 trong ®ã: k = m ω2 lµ h»ng sè lùc hay hÖ sè ®µn håi m : khèi l−îng h¹t x : li ®é dao ®éng ω = 2πν lµ tÇn sè gãc Theo c¬ häc cæ ®iÓn, n¨ng l−îng cña hÖ lµ: 12 E= (4.26) ka 2 v× a (biªn ®é ) cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ bÊt k× nªn E thu ®−îc lµ c¸c gi¸ trÞ liªn tôc. Theo c¬ häc l−îng tö, thay thÕ n¨ng vµo ph−¬ng tr×nh Schrodinger, ta cã: d 2ψ 2m 1 + 2 ( E − mω 2 x 2 )ψ = 0 (4.27) 2 2 ℏ dx 2mE α= §Æt: (4.28) ℏ2 mω β= (4.29) ℏ Ph−¬ng tr×nh (4.27) ®−îc viÕt l¹i: d 2ψ + (α - β2x2) ψ = 0 (4.30) dx 2 §−a biÕn sè: ξ = β x (4.31) LÊy ®¹o hµm ξ theo x ta cã: dξ =β dx 44
d dξ d d β = = Hay (4.32) dx dξ dx dξ d2 d2 = (4.33) b dx 2 dξ 2 Thay (4.32), (4.33) vµo (4.30) ta ®−îc: d 2ψ β + (α − βξ 2 )ψ = 0 (4.34) dξ 2 d 2ψ α + ( − ξ 2 )ψ = 0 Hay (4.35) β dξ 2 Hµm ψ ph¶i liªn tôc, ®¬n trÞ, h÷u h¹n ®èi víi mäi gÝa trÞ cña ξ. Khi ξ kh¸ lín th× tØ sè α/β cã thÓ bá qua, lóc ®ã ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: d 2ψ − ξ 2ψ = 0 dξ 2 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n nµy cã nghiÖm lµ: ψ = e ±ξ 2 /2 Khi ξ → ∞ th× ψ t¨ng v« h¹n, nghiÖm ψ = e +ξ 2 sÏ kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn /2 cña hµm ψ. VËy hµm sãng ψ chØ cã thÓ lµ: ψ = e −ξ / 2 2 NghiÖm ®óng cña hµm ψ trong ph−¬ng tr×nh lµ : ψ = H (ξ )e − Z ë ®©y hµm H(ξ) ph¶i ®−îc x¸c ®Þnh. Muèn vËy ta ®Æt Z = ξ2/2; Z’ = ξ ®Ó ®−a ph−¬ng tr×nh (4.35) vÒ d¹ng Hermit. Gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ng−êi ta ®−îc nghiÖm: dn Hn(ξ) = (-1) e (e − ξ 2 ) ξ2 n dξ n víi n = 0, 1, 2, 3, ... 1 E = hν(n + N¨ng l−îng cña hÖ lµ : ) 2 45
Nh− vËy øng víi mçi gi¸ trÞ cña n = 0, 1, 2, ... ta cã c¸c gi¸ trÞ n¨ng l−îng ®−îc phÐp lµ 1/ 2, 3/2, 5/2 ... lÇn n¨ng l−îng hν, nghÜa lµ c¸c gi¸ trÞ n¨ng l−îng cña dao ®éng tö ®iÒu ho¸ tuyÕn tÝnh lËp thµnh mét phæ gi¸n ®o¹n phô thuéc vµo n gäi lµ sè l−îng tö dao ®éng. Mét vµi møc n¨ng l−îng ®Çu tiªn vµ c¸c hµm sãng t−¬ng øng ®−îc biÓu diÏn trªn ®å thÞ sau: KÕt qu¶ quan träng nhÊt thu ®−îc lµ n¨ng l−îng ®−îc phÐp nhá nhÊt E = hν/2 víi n = 0. §ã lµ n¨ng l−îng ®iÓm kh«ng vµ còng lµ ®iÒu kh¸c víi kÕt qu¶ thu ®−îc cña lÝ thuyÕt cæ ®iÓn. §iÒu nµyphï hîp víi nguyªn lÝ bÊt ®Þnh, v× nh÷ng bÊt ®Þnh cÇn thiÕt vÒ vÞ trÝ vµ xung l−îng sinh vµ n¨ng l−îng ®iÓm kh«ng. C©u hái vµ bµi tËp 1. H·y cho biÕt néi dung cña tiªn ®Ò vÒ hµm sãng. 1. Hµm sãng cña mét hÖ l−îng tö ph¶i tho· m·n ®iÒu kiÖn g×? 2. H·y cho biÕt ý nghÜa vËt lý cña hµm sãng. 3. H·y cho biÕt néi dung, ý nghÜa cña nguyªn lý chång chÊt tr¹ng th¸i. 4. H·y cho biÕt néi dung cña tiªn ®Ò vÒ to¸n tö. 5. H·y cho biÕt ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®¹i l−îng vËt lý x¸c ®Þnh ®ång thêi trong mét 6. tr¹ng th¸i. 7. Chøng minh r»ng to¹ ®é vµ ®éng l−îng t−¬ng øng víi to¹ ®é ®ã lµ kh«ng thÓ x¸c ®Þnh trong hÖ l−îng tö. 8. H·y cho biÕt néi dung cña tiªn ®Ò vÒ ph−¬ng tr×nh Schrodinger. 9. H·y cho biÕt ®Æc ®iÓm to¸n häc cña ph−¬ng tr×nh Schrodinger. Gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy thu ®−îc nh÷ng kÕt qu¶ g×? 10. H·y cho biÕt t¹i sao to¸n tö tuyÕn tÝnh tù liªn hîp ®−îc sö dông trong c¬ häc l−îng tö? 46
11. Chøng minh r»ng ë tr¹ng th¸i dõng hµm mËt ®é x¸c suÊt cã gi¸ trÞ kh«ng phô 11. thuéc vµo thêi gian. 12. T¹i sao tr¹ng th¸i dõng cã gi¸ trÞ n¨ng l−îng x¸c ®Þnh? 13. a- H·y m« t¶ hÖ cña bµi to¸n h¹t chuyÓn ®éng trong hép thÕ mét chiÒu. b- H·y viÕt ph−¬ng tr×nh Schrodinger cho bµi to¸n trªn vµ gi¶i ph−¬ng tr×nh ®ã. c- H·y cho biÕt ý nghÜa cña c¸c nghiÖm thu ®−îc. d- T¹i sao nãi c¸c kÕt qu¶ trªn ph¶n ¸nh tÝnh chÊt l−îng tö cña hÖ ®−îc xÐt? 14. T×m n¨ng l−îng ®éng häc thÊp nhÊt cña mét electron trong hép thÕ 3 chiÒu cã kÝch th−íc 0,1.10-13cm, 1,5.10-13cm vµ 2.10-13cm. 17h 2 15. X¸c ®Þnh møc suy biÕn cña møc n¨ng l−îng E = cña h¹t trong hép thÕ 3 8ma 2 chiÒu cã c¸c c¹nh b»ng nhau. 16. Gi¶ thiÕt mét hép thÕ mét chiÒu víi ®é réng a = 10 nm cã mét vi h¹t chuyÓn ®éng ®−îc m« t¶ b»ng hµm sãng: π 2 ψ= víi n = 1 sin x a a H·y x¸c ®Þnh x¸c suÊt t×m thÊy vi h¹t trong c¸c tr−êng hîp sau ®©y: a) Gi÷a x = 4,95 nm vµ 5,05 nm b) Gi÷a x = 1,95 nm vµ 2,05 nm c) Gi÷a x = 9,90 nm vµ 10 nm d) ë chÝnh gi÷a a e) x ë 1/3 a 17. ¸p dông m« h×nh electron π chuyÓn ®éng tù do trong giÕng thÕ mét chiÒu (däc theo m¹ch cacbon liªn hîp) cho ph©n tö liªn hîp hecxatrien, h·y x¸c ®Þnh b−íc sãng λ khi cã sù chuyÓn dêi 1 electron π tõ møc n¨ng l−îng bÞ chiÕm cao nhÊt (HOMO) lªn møc n¨ng l−îng trèng thÊp nhÊt (LUMO). Cho biÕt ®é dµi liªn kÕt trung b×nh C - C trong m¹ch lµ 1,4Ao. 18. Cho hµm thö Ψ = x(a - x) ®Ó m« t¶ sù chuyÓn ®éng cña vi h¹t trong giÕng thÕ mét chiÒu víi kÝch th−íc giÕng lµ a. a) H·y chøng minh hµm thö Ψ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn cña bµi to¸n. b) ¸p dông ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n, x¸c ®Þnh n¨ng l−îng E ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n øng víi ®iÒu kiÖn biªn, c) So s¸nh kÕt qu¶ ë c©u b) víi kÕt qu¶ thùc nghiÖm lµ E = h2/8ma2 víi n =1. 19. H·y cho biÕt øng víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo khi electron chuyÓn ®éng trong giÕng thÕ mét chiÒu víi ®é dµi lµ a ë tr¹ng th¸i n = 3 sÏ ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i vµ cùc tiÓu. nπ 2 Cho ψ = sin x a a 20. Electron cña ph©n tö etylen hÊp thô mét b−íc sãng λ = 1625Ao khi chuyÓn tõ 20. møc n¨ng l−îng E1 = h2/8ma2 ®Õn møc n¨ng l−îng E2= 4h2/8ma2. TÝnh ®é dµi liªn kÕt trong ph©n tö nµy b»ng Ao. Cho m = 9,1.10-31kg; h = 6,62.10-34Js, c = 3.108m/s. 47