Khóa luận tốt nghiệp đại học: Phân loại và giải bài tập dao động cơ và dao động điện

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận tốt nghiệp đại học "Phân loại và giải bài tập dao động cơ và dao động điện" trình bày các nội dung chính sau: Cơ sở lí thuyết về dao động cơ và dao động điện; Phân loại và phương pháp giải bài tập dao động cơ và dao động điện; Bài tập vận dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Phân loại và giải bài tập dao động cơ và dao động điện

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: LÝ – HÓA – SINH ---------- ĐINH THỊ MỸ KIỀU PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 4 năm 2015
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các bài tập tôi đã tự giải và tham khảo nêu trong khóa luận này là trung thực, được các tác giả cho phép sử dụng và chưa được công bố trong bất kì một công trình nào khác. Quảng Nam, tháng 04 năm 2016 Tác giả khóa luận Đinh Thị Mỹ Kiều 1
LỜI CẢM ƠN Khóa luận này của tôi được thực hiện dưới sự hướng dẫn của cô giáo Th.S Võ Hoàng Trân Châu. Trước hết cho tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến với Cô - người đã tận tình dạy bảo, dìu dắt, hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường Đại học Quảng Nam, các Thầy Cô giáo trong Khoa Lí – Hóa – Sinh đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi và các bạn sinh viên khác trong quá trình học tập cũng như thực hiện khóa luận này. Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thành viên trong gia đình, người thân đã luôn động viên, đưa ra những lời khuyên trong lúc tôi gặp khó khăn và cảm ơn các bạn học cùng lớp Đại học Vật lí K12 đã có những ý kiến đóng góp trong quá trình thực hiện đề tài. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô đã giành thời gian để đọc, nhận xét và chấm điểm khóa luận để giúp cho khóa luận tốt nghiệp của tôi có thể hoàn chỉnh hơn. Tuy đã cố gắng và nổ lực rất nhiều, song do hạn chế về năng lực và thời gian nghiên cứu nên đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài nghiên cứu của mình. Quảng Nam, tháng 04 năm 2016 Tác giả khóa luận Đinh Thị Mỹ Kiều 2
DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1. Dao động của con lắc lò xo .............................................. ....................10 Hình 1.2. Đồ thị biểu diển sự phụ thuộc của li độ, vận tốc và gia tốc vào thời gian ...................................................................................................................6 Hình 1.3. Dao động trong con lắc đơn ................................................................... 7 Hình 1.4. Con lắc vật lí…………………………………………………….. ........8 Hình 1.5. Mạch LC................................................................................................. 9 Hình 1.6. Dao động của con lắc tắt dần ............................................................... 11 Hình 1.7. Dao động tắt dần ................................................................................. 12 Hình 1.8. Dao động điện tắt dần .......................................................................... 15 Hình 1.9. Dao động điện cưỡng bức .................................................................... 17 Hình 2.1. Vật trượt trên mặt phẳngnghiêng..........................................................25 Hình 2.2. Mạch LC ..............................................................................................26 Hình 2.3. Dao động của con lắc đơn.....................................................................28 Hình 2.4. Vật dao động trên mặt phẳng ngang....................................................35 Hình 3.1. Hệ con lắc lò xo....................................................................................47 Hình 3.2. Con lắc lò xo trong bài tậ 1...................................................................53 3
MỤC LỤC I. MỞ ĐẦU ................................................................................................... 7 1.1. Lí do chọn đề tài ..................................................................................... 7 1.2. Mục tiêu của đề tài ................................................................................. 8 1.3. Đối tượng nghiên cứu............................................................................. 8 1.4. Phạm vi nghiên cứu:............................................................................... 8 1.5. Phương pháp nghiên cứu........................................................................ 9 1.6. Giả thuyết khoa học ............................................................................... 9 1.7. Đóng góp của đề tài............................................................................... 9 1.8. Cấu trúc đề tài ........................................................................................ 9 II. NỘI DUNG............................................................................................. 10 Chương 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN ........................................................................................................... 10 1.1. Dao động điều hòa tự do ...................................................................... 10 1.1.1. Dao động điều hòa của con lắc lò xo ................................................ 10 1.1.2. Dao động điều hòa của con lắc đơn .................................................. 13 1.1.3. Dao động điều hòa của con lắc vật lí ................................................ 14 1.1.4. Dao động điều hòa của mạch LC ...................................................... 15 1.2. Dao động tắt dần .................................................................................. 17 1.2.1. Dao động cơ tắt dần .......................................................................... 17 1.2.2. Dao động điện từ tắt dần ................................................................... 20 1.3. Dao động cưỡng bức ............................................................................ 22 1.3.1. Dao động cơ học cưỡng bức ............................................................. 22 1.3.2. Dao động điện cưỡng bức ................................................................. 23 1.4. Cộng hưởng trong dao động cơ học ..................................................... 24 1.4.1. Cộng hưởng li độ............................................................................... 24 1.4.2. Cộng hưởng vận tốc .......................................................................... 24 4
1.4.3. Cộng hưởng gia tốc ........................................................................ 25 1.5. Cộng hưởng trong dao động điện từ .................................................. 25 1.5.1. Cộng hưởng điện tích ........................................................................ 25 1.5.2. Cộng hưởng cường độ dòng điện ................................................... 25 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1............................................................................ 26 Chương 2. CÁC DẠNG BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN ..................................................................................................................... 27 2.1. Các dạng bài tập dao động điều hòa .................................................... 27 2.1.1. Dạng 1. Viết phương trình dao động ................................................ 27 2.1.2. Dạng 2. Chứng minh chuyển động của một vật là dao động điều hòa bằng phương pháp động lực học ................................................................. 31 2.1.3. Dạng 3. Xác định năng lượng ........................................................... 33 2.1.4. Dạng 4. Bài tập về sự tương tự điện – cơ ......................................... 36 2.2. Các dạng bài tập dao động tắt dần ....................................................... 37 2.2.1. Dạng 1. Phương trình dao động tắt dần khi ma sát nhỏ .................... 37 2.2.2. Dạng 2. Xác định các đại lượng của dao động tắt dần khi ma sát nhỏ ..................................................................................................................... 39 2.2.3. Dạng 3. Tính số dao động thực hiện ................................................. 41 2.3. Các dạng bài tập dao động cưỡng bức ................................................. 42 2.3.1. Dạng 1. Viết phương trình dao động ................................................ 42 2.3.2. Dạng 2. Bài toán về cộng hưởng trong dao động cơ học.................. 44 2.3.3. Dạng 3. Bài toán về cộng hưởng trong dao động điện từ ................. 48 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2............................................................................ 50 Chương 3. BÀI TẬP ÁP DỤNG ................................................................. 51 3.1. Các dạng bài tập của dao động điều hòa .............................................. 51 3.1.1. Dạng 1. Viết phương trình dao động ................................................ 51 3.1.2. Dạng 2. Chứng minh chuyển động của một vật là dao động điều hòa bằng phương pháp động lực học ................................................................. 53 5
3.1.3. Dạng 3. Xác định dạng năng lượng trong dao động điều hòa .......... 55 3.1.4. Dạng 4. Bài tập về sự tương tự điện – cơ ......................................... 56 3.2. Các dạng bài tập dao động tắt dần ....................................................... 57 3.2.1. Dạng 1. Phương trình dao động tắt dần khi ma sát nhỏ .................... 57 3.2.2. Dạng 2. Xác định các đại lượng của dao động tắt dần khi ma sát nhỏ ..................................................................................................................... 58 3.2.3. Dạng 3. Tính số dao động thực hiện ................................................. 59 3.3. Các dạng bài tập dao động cưỡng bức ................................................. 60 3.3.1. Dạng 1. Viết phương trình dao động ................................................ 60 3.3.2. Dạng 2. Bài toán về cộng hưởng ....................................................... 62 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3............................................................................ 64 III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .............................................................. 65 1. Kết luận ................................................................................................. 65 2. Kiến nghị ............................................................................................... 65 IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 66 6
I. MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài Vật lí học là cơ sở của nhiều ngành quan trọng, sự phát triển của khoa học Vật lí gắn bó chặt chẽ và có tác động qua lại, trực tiếp với sự tiến bộ của khoa học, kĩ thuật và công nghệ. Vì vậy, những hiểu biết và nhận thức về Vật lí có giá trị to lớn trong đời sống và sản xuất, đặc biệt trong công cuộc công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước. Vật lí học là môn khoa học gắn liền với nhiều hiện tượng tự nhiên cũng như trong cuộc sống hằng ngày và trong kĩ thuật. Bản chất của quá trình học Vật lí là nghiên cứu các sự vật, hiện tượng trong tự nhiên. Trong đó việc nghiên cứu về dao động cho ta nhiều kiến thức khá gần gũi với thực tế, qua đó đưa ra được nhiều ứng dụng thành công trong khoa học, kĩ thuật và cuộc sống. Mảng kiến thức về dao động được nghiên cứu khá nhiều trong chương trình trung học phổ thông, đại học và các bậc cao hơn. Dựa vào bản chất vật lí của quá trình dao động người ta phân thành các loại dao động như dao động cơ học - nghiên cứu dao động của con lắc, dao động của sợi dây, của các bộ phận đồng hồ, của các máy móc, các công trình xây dựng…và dao động điện từ - nghiên cứu dao động của các dòng điện trong mạch điện xoay chiều, dao động của các vectơ cường độ dòng điện ⃗𝐸 và cảm ứng từ ⃗𝐵 của trường điện từ biến thiên... Khi nghiên cứu dao động cơ và dao động điện ta thấy mặc dù chúng có bản chất vật lí hoàn toàn khác nhau nhưng chúng có những đặc điểm chung và hơn nữa chúng tuân theo cùng một quy luật biến đổi khá thú vị. Một cách tiếp cận chung trong việc nghiên cứu dao động trong các hệ vật lí khác nhau cho phép xem xét dao động cơ học, dao động điện từ theo cùng một quan điểm. Với cách tiếp cận như vậy, chúng ta có thể nghiên cứu cùng một lúc nhiều loại dao động mà không cần phải tách riêng dao động cơ và dao động điện, từ đó tìm ra các dạng bài tập và phương pháp giải tương tự giữa dao động cơ và dao động điện, thuận lợi cho việc học tập và nghiên cứu. 7
Giải bài tập là khâu quan trọng không thể thiếu trong việc nâng cao chất lượng học tập bộ môn vật lí. Việc giải bài tập không những nhằm mục đích giải toán, mà còn có ý nghĩa to lớn trong việc rèn luyện cho người học kĩ năng vận dụng kiến thức, kĩ năng tính toán, suy luận logic để giải quyết những vấn đề trong thực tế đời sống. Thông qua hoạt động giải bài tập, người học không những củng cố lí thuyết và tìm ra lời giải một cách chính xác mà còn hướng người học cách suy nghĩ, lập luận để hiểu rõ bản chất vấn đề và có cái nhìn đúng đắn khoa học. Khi làm bài tập người học phải nhớ lại những kiến thức đã học, phải đào sâu khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phải tổng hợp nhiều kiến thức trong một chương hay nhiều chương, từ đó phân thành các dạng bài tập để vận dụng. Việc tìm hiểu dao động cơ và dao động điện giúp người học tìm ra được sự tương tự của điện - cơ trong dao động. Khi nắm rõ sự tương tự của dao động cơ và dao động điện thì việc phân loại và giải bài tập về hai loại dao động này rất cần thiết, giúp người học hiểu sâu và đơn giản hóa việc giải bài tập hai dao động này. Xuất phát từ những lý do trên tôi chọn đề tài “Phân loại và giải bài tập dao động cơ và dao động điện” để làm khóa luận tốt nghiệp. Một mặt giúp tôi cũng như các bạn sinh viên tiếp cận được phương pháp tự nghiên cứu, tự phân dạng các bài tập của dao động cơ và dao động điện, mặt khác giúp học sinh phổ thông có thêm tài liệu tham khảo giúp tìm ra mối liên hệ logic giữa các chương trong dao động để có thể nắm và vận dụng kiến thức một cách hiệu quả nhất. 1.2. Mục tiêu của đề tài - Tìm hiểu dao động cơ và dao động điện. - Phân dạng và giải được các bài tập dao động cơ và dao động điện. 1.3. Đối tượng nghiên cứu - Dao động cơ học điều hòa, dao động cơ học tắt dần, dao động cơ học cộng hưởng. - Dao động điện điều hòa, dao động điện tắt dần, dao động điện cộng hưởng. - Sự tương tự điện - cơ trong dao động. - Các dạng bài tập trong dao động cơ và dao động điên. 1.4. Phạm vi nghiên cứu 8
Dao động cơ và dao động điện. 1.5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp lí thuyết: Tổng hợp và phân tích lý thuyết về dao động cơ và dao động điện. - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Phương pháp quan sát, phương pháp tổng kết kinh nghiệm. - Phương pháp phân dạng bài tập. 1.6. Giả thuyết khoa học Nếu đề tài thành công thì sẽ trở thành tài liệu bổ ích cho người học trong việc nghiên cứu và giải bài tập liên quan đến dao động cơ và dao động điện. 1.7. Đóng góp của đề tài Qua đề tài “ Phân loại và phương pháp giải bài tập dao động cơ và dao động điện” có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo trong học phần “Dao động và sóng” của sinh viên và học sinh lớp 12 trong chương “Dao động cơ và dao động điện từ”. 1.8. Cấu trúc đề tài I. MỞ ĐẦU II. NỘI DUNG Chương 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN Chương 2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN Chương 3. BÀI TẬP VẬN DỤNG III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO 9
II. NỘI DUNG Chương 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN 1.1. Dao động điều hòa tự do 1.1.1. Dao động điều hòa của con lắc lò xo 1.1.1.1. Thiết lập phương trình động lực học của vật dao động trong con lắc lò xo Xét dao động của con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật nặng có khối lượng m gắn vào đầu một lò xo có khối lượng không đáng kể, đầu kia của lò xo được treo cố định. Hình 1.1. Dao động của con lắc lò xo Xét vật ở vị trí cân bằng O, gồm các lực tác dụng lên vật: + Trọng lực : ⃗𝑃 = 𝑚𝑔 + Lực đàn hồi của lò xo: 𝐹đℎ = −𝑘. 𝛥𝑙 Áp dụng định luật II Newton ta có: ⃗𝑃 + 𝐹đℎ = 0 ⇔ 𝑚𝑔 − 𝑘. 𝛥𝑙 = 0 ⇔ 𝑚𝑔 = 𝑘. 𝛥𝑙 Xét vật ở vị trí có li độ x bất kì, lực tác dụng lên vật gồm: + Trọng lực : ⃗𝑃 = 𝑚𝑔 + Lực đàn hồi của lò xo: 𝐹đℎ = −𝑘. (∆𝑙 + 𝑥 ) Áp dụng định luật II Newton ta có: ⃗𝑃 + 𝐹đℎ = 𝑚𝑎 ⇔ 𝑚𝑔 − 𝑘. (𝛥𝑙 + 𝑥 ) = 𝑚𝑎 ⇔ −𝑘. 𝑥 = 𝑚𝑎 𝑑2 𝑥 𝑘 ⇔ −𝑘. 𝑥 = 𝑚𝑎 ⇔ + 𝑥=0 𝑑𝑡 2 𝑚 10
𝑘 𝑘 Đặt 𝜔2 = ⇒ 𝑥 ′′ + 𝑥=0 (1.1) 𝑚 𝑚 Phương trình (1.1) là phương trình động lực học của dao động điều hòa cơ học. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1.1) có dạng: 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) (1.2) 𝐴1 𝑘 Trong đó: 𝐴 = √𝐴1 + 𝐴2 , 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2 2 , 𝜔=√ 𝐴2 𝑚 Phương trình (1.2) này cho biết sự phụ thuộc của li độ x của vật nặng vào thời gian, đó chính là phương trình chuyển động của vật. 1.1.1.2. Các đại lượng đặc trưng của con lắc lò xo dao động điều hòa  x là li độ hay độ lệch của vật ra khỏi vị trí cân bằng.  A là li độ cực đại, và được gọi là biên độ của dao động, đó là giá trị của li độ x ứng với lúc cos (ωt + 𝜑) = 1. Biên độ luôn luôn dương.  ω gọi là tần số góc của dao động k ω =√ m Đối số của hàm sin: 𝜔𝑡 + 𝜑 được gọi là pha của dao động vào thời điểm t, pha là một góc.  Vào thời điểm 𝑡 = 0 thì pha có giá trị bằng φ. Vì vậy φ gọi là pha ban đầu của dao động.  Dao động điều hòa là một chuyển động tuần hoàn với chu kì T, giai đoạn chuyển động trong một chu kì T có khi được gọi là một dao động. Số dao động υ được gọi là tần số của dao động. 1 𝜔 υ= = 𝑇 2π  Vận tốc trong dao động điều hòa: 𝑑𝑥 𝜋 𝑣= = 𝑥 ′ = 𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠(ωt + φ) = 𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛(ωt + φ + ) 𝑑𝑡 2  Gia tốc trong dao động điều hòa 𝑑2 𝑥 𝑥 ′′ = = −𝜔2 sin(ωt + φ) 𝑑𝑡 2 11
Hình 1.2. Đồ thị biểu diển sự phụ thuộc của li độ, vận tốc và gia tốc vào thời gian 1.1.1.3. Năng lượng của con lắc lò xo dao động điều hòa Xét vật nặng trong con lắc lò xo, vật dao động với tần số góc ω và biên độ A, li độ của vật là: 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) (1.3) Lực đàn hồi của lò xo tác dụng lên vật là F =−kx. Dưới tác dụng của lực này, thế năng của vật (cũng chính là thế năng đàn hồi của lò xo) là: 1 𝑊𝑡 = 𝑘. 𝑥 2 2 1 Thay x từ (1.3) vào ta có: 𝑊𝑡 = k𝐴2 𝑐𝑜𝑠 2 (ωt + φ) 2 𝑘 Mà ω2 = tức là 𝑘 = 𝑚𝜔2 , do đó: 𝑚 1 𝑊𝑡 = m𝐴2 ω2 𝑐𝑜𝑠 2 (ωt + φ) (1.4) 2 Đây là biểu thức của thế năng phụ thuộc vào thời gian. 1 Theo định nghĩa, động năng của vật nặng là: 𝑊đ = mv 2 2 Vận tốc v có thể tính theo công thức: v = 𝑥 , = − ωAsin(ωt + φ) Thay vào biểu thức trên của động năng ta có: 1 𝑊đ = 𝑚𝐴2 ω2 𝑠𝑖𝑛2 (ωt + φ) (1.5) 2 Đây là biểu thức của động năng phụ thuộc vào thời gian. Cơ năng W của vật nặng, đó cũng là cơ năng của con lắc lò xo: 1 W = 𝑊đ + 𝑊𝑡 = m𝐴2 ω2 [ 𝑐𝑜𝑠 2 (ωt + φ) + 𝑠𝑖𝑛2 (ωt + φ) ] 2 1 Suy ra: 𝑊 = 𝑚𝐴2 𝜔2 (1.6) 2 Chú ý rằng 𝑘 = 𝑚𝜔2 , ta có: 1 W = k𝐴2 2 12
Như vậy, cơ năng W không phụ thuộc thời gian. Vậy, cơ năng của vật nặng dao động, tức cũng là cơ năng của con lắc lò xo được bảo toàn. 1.1.2. Dao động điều hòa của con lắc đơn 1.1.2.1. Thiết lập phương trình động lực học của vật dao động trong con lắc đơn Xét con lắc đơn gồm một vật nặng có kích thước nhỏ, có khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây mềm không dãn có khối lượng không đáng kể. Hình 1.3. Dao động trong con lắc đơn Xét vật ở vị trí M, các lực tác dụng lên vật là: + Trọng lực: ⃗𝑃 = 𝑚𝑔 + Lực căng dây: ⃗𝑇 Ta phân tích trọng lực ⃗𝑃 thành hai thành phần: ⃗𝑃 = ⃗𝑃 𝑛 + ⃗𝑃 𝑡 Thành phần ⃗𝑃 𝑛 của trọng lực và lực căng dây ⃗𝑇 cùng tác dụng lên vật, nhưng vì chúng vuông góc với quỹ đạo nên không làm thay đổi tốc độ của vật. Hợp lực của chúng là lực hướng tâm giữ cho vật chuyển động trên quỹ đạo tròn. Thành phần ⃗𝑃 𝑡 của trọng lực luôn có khuynh hướng kéo vật về vị trí cân bằng O. Với những dao động nhỏ, tức là li độ 𝛼 ≪ 1 rad, còn li độ cong 𝑠 ≪ 1, thì có thể coi gần đúng cung OM là đoạn thẳng. Theo hình 1.2 cho thấy lực ⃗𝑃 𝑡 có độ lớn 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 và luôn hướng về 0, nên: 𝑃 𝑡 = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 Ngoài ra, 𝛼 ≪ 1 rad nên có thể coi gần đúng 𝑠𝑖𝑛𝛼 ≈ 𝛼. Áp dụng định luật II Niu-ton, ta có: 13
𝑠 𝑚𝑠 ′′ = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 ≈ −𝑚𝑔𝛼 = −𝑚𝑔 𝑙 ′′ 𝑔 Từ đó, suy ra: 𝑠 + 𝑠=0 𝑙 𝑔 Đặt 𝜔 = √ ⇒ 𝑠 ′′ + 𝜔2 𝑠 = 0 (1.7) 𝑙 Phương trình (1.7) là phương trình động lực học của con lắc đơn với li độ s (so với l). Nghiệm tổng quát của phương trình (1.7): 𝑠 = 𝑆𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) (1.8) 2 2 𝑆 𝑘 Trong đó: 𝑆 = √𝑆1 + 𝑆2 , φ = arctg 1, ω = √ 𝑆2 𝑚 1.1.3. Dao động điều hòa của con lắc vật lí 1.1.3.1. Thiết lập phương trình động lực học của con lắc vật lí dao động điều hòa Xét con lắc vật lí quay xung quanh trục nằm ngang 0, dưới tác dụng của trọng lực (trọng lực ⃗𝑅 của trục không gây ra chuyển động quay vì ⃗𝑁 có giá đi qua trục). Hình 1.4. Con lắc vật lí Lực tác dụng lên vật rắn: ⃗𝑃, ⃗𝑁. Phương trình chuyển động quay của vật: ⃗⃗𝑀= I x 𝛽 Trong đó: 𝛽 : gia tốc góc ⃗⃗𝑀 = 𝑑 x ⃗𝑃: momen của lực đối với trục quay đi qua Q I = 𝐼 𝐶 + 𝑚𝑑 2 : momen quán tính của vật rắn đối với trục đi qua Q Vì trọng lực ⃗𝑃 luôn kéo vật về vị trí cân bằng M = −𝑑. 𝑃. 𝑠𝑖𝑛𝛼 Khi đó, ta có: −𝑑. 𝑃. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝐼. 𝛽 𝑑2 𝛼 ⇔ −𝑑. 𝑃. 𝛼 = 𝐼. 𝑑𝑡 2 𝑚𝑔𝑑 ⇔ 𝛼 ′′ + . 𝛼=0 𝐼 14
𝑚𝑔𝑑 Đặt 𝜔0 2 = ⇒ 𝛼 ′′ + 𝜔0 2 𝛼 = 0 (1.9) 𝐼 Phương trình (1.9) là phương trình động lực học của con lắc vật lí. Phương trình này có nghiệm: 𝛼 = 𝛼0 sin(ωt + φ) (1.10) 2 2 𝛼1 𝑚𝑔𝑑 Trong đó: 𝛼0 =√𝛼1 + 𝛼2 , φ = arctg ,ω=√ 𝛼2 𝐼 1.1.4. Dao động điều hòa của mạch LC 1.1.4.1. Thiết lập phương trình dao động điện điều hòa Xét một mạch điện kín gồm một tụ điện có điện dung C và một cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở thuần của cuộn dây bằng 0, gọi là mạch LC. Hình 1.5. Mạch LC Gọi q và i là giá trị đại số của điện tích bản A và cường độ dòng điện chạy trong mạch, chiều dương quy ước là chiều đi về bản A biểu diển bằng mũi tên trên hình. Cường độ i liên quan với điện tích q như sau: trong khoảng thời gian dt dòng điện chuyển một điện tích idt đến tích thêm vào bản A, vậy 𝑖𝑑𝑡 = 𝑑𝑞, ta suy ra: 𝑑𝑞 𝑖= 𝑑𝑡 Dòng điện trong mạch biến thiên tạo nên suất điện động cảm ứng e trong cuộn dây: 𝑑𝑖 𝑑2 𝑞 𝑒 = −𝐿 = −𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 Suất điện động cảm ứng này bằng hiệu điện thế ở hai đầu cuộn dây tức là 𝑞 bằng hiệu điện thế giữa hai bản A và B của tụ điện ( ). 𝐶 𝑑2 𝑞 𝑞 −𝐿 = 𝑑𝑡 2 𝐶 𝑞 Ta có: 𝐿𝑞′′ + = 0 𝐶 15
1 Hay: 𝑞′′ + 𝑞 = 0 𝐿𝐶 1 Đặt ω = , ta có phương trình: 𝑞′′ + ω2 𝑞 = 0 (1.11) √ 𝐿𝐶 Đây là phương trình điện động lực học của dao động điện trong mạch LC. Phương trình này có nghiệm: q = Qsin(ωt + φ) (1.12) 2 2 𝑄1 1 Trong đó: 𝑄 = √𝑄1 + 𝑄2 , φ = 𝑎𝑟𝑐 ,ω= 𝑄2 √ 𝐿𝐶 1.1.4.2. Các đại lượng đặc trưng của dao động điện  q là giá trị đại số điện tích của bản cực  Q là điện tích cực đại (biên độ) 1  Tần số góc riêng: 𝜔0 = √ 𝐿𝐶 2𝜋  Chu kì riêng: 𝑇 = = 2𝜋√ 𝐿𝐶 𝜔 1 1  Tần số riêng: 𝑓 = = 𝑇 2𝜋√ 𝐿𝐶  i là giá trị đại số của cường độ dòng điện chạy trong mạch. Biết rằng cường độ dòng điện là đạo hàm của điện tích theo thời gian: 𝑑𝑞 𝑖= = 𝑞′ = −ωQcos(ωt + φ) 𝑑𝑡  Gia tốc trong dao động điện điều hòa 𝑑2 𝑞 𝑞′′ = = −𝜔2 𝑠𝑖𝑛(ωt + φ) 𝑑𝑡 2 1.1.4.3. Năng lượng trong dao động điện điều hòa Khi xảy ra quá trình dao động điện trong mạch LC, điện tích q của bản A tụ điện biến thiên theo thời gian theo quy luật: 𝑞 = 𝑄𝑠𝑖𝑛(ωt + φ) Giữa hai bản tụ điện có điện trường, năng lượng 𝑊 𝐶 của điện trường có biểu 1 𝑞2 𝑄2 thức như sau: 𝑊 𝐶 = = 𝑐𝑜𝑠 2 (ωt + φ) 2 𝐶 2𝐶 Cuộn dây với độ cảm L có dòng điện i chạy qua tạo nên một từ trường, năng lượng 𝑊 𝐿 của từ trường có biểu thức như sau: 1 𝐿ω2 𝑄2 𝑄2 𝑊𝐿 = 𝐿𝑖 2 = 𝑠𝑖𝑛2 (ωt + φ) = 𝑠𝑖𝑛2 (ωt + φ) 2 2 2𝐶 Năng lượng điện từ toàn phần W của mạch LC: 𝑄2 𝑊 = 𝑊 𝐶 + 𝑊𝐿 = ( 𝑐𝑜𝑠 2 (ωt + φ) + 𝑠𝑖𝑛2 (ωt + φ)) 2𝐶 𝑄2 1 = = L𝜔2 𝑄2 = hằng số. 2𝐶 2 16
Từ biểu thức này ta thấy rằng trong quá trình dao động điện, năng lượng toàn phần W của dao động không đổi (được bảo toàn), có sự chuyển hóa qua lại giữa năng lượng 𝑊 𝐶 của điện trường và năng lượng 𝑊 𝐿 của từ trường. 1.2. Dao động tắt dần 1.2.1. Dao động cơ tắt dần 1.2.1.1. Phương trình vi phân của dao động cơ tắt dần Xét con lắc lò xo có khối lượng m, chuyển động trong môi trường nhớt dọc theo trục Ox. Hình 1.6. Dao động của con lắc tắt dần * Xét vật ở li độ x bất kì, lực tác dụng lên vật: + Trọng lực: ⃗𝑃 = m𝑔 ⃗⃗⃗ + Lực đàn hồi∶ 𝐹đℎ = −𝑘(∆𝑙 + 𝑥 ) + Lực ma sát nhớt: 𝐹 𝑛 = 𝜂𝑣 Áp dụng định luật II Newton ta có: ⃗𝑃 + 𝐹đℎ + 𝐹 𝑛 = 𝑚𝑎+ ⃗⃗⃗ ↔ ⃗𝑃 − 𝑘(∆𝑙 + 𝑥 ) + η𝑣 = m𝑎 ⃗⃗⃗ (1.13) Chiếu (1.13) lên chiều dương (chiều hướng xuống) , ta có: ↔ 𝑃 − 𝑘(∆𝑙 + x) – ηv = ma ↔ −kx − η𝑥 ′ = m𝑥 ′′ η 𝑘 ↔ 𝑥 ′′ + 𝑥′ + 𝑥 = 0 𝑚 𝑚 η 𝑘 Đặt β = , 𝜔0 = √ 2𝑚 𝑚 Suy ra: 𝑥 ′′ + 2β𝑥 ′ + 𝜔0 𝑥 = 0 (1.14) Đây là phương trình động lực học của dao động cơ (con lắc lò xo) tắt dần. Để khảo sát dao động tắt dần ta tìm nghiệm của phương trình vi phân (1.14) tuyến tính bậc hai thuần nhất có hệ số là hằng số. Nếu tìm nghiệm dưới dạng x = 𝑒 𝑟𝑡 thì sẽ dẫn đến phương trình đặc trưng của 2 phương trình (1.14): 𝑟 2 + 2βr + 𝜔0 = 0 (1.15) ′ ′ 2 2 Biệt thức ∆ của phương trình này là: ∆ = 𝛽 − 𝜔0 17
Tùy theo giá trị của ∆′ chúng ta phân biệt ba trường hợp để xem xét. (1) ∆′ < 0 tức là β 0 tức là β >𝜔0 ma sát lớn (hệ số lực cản η lớn) a) Dao động tắt dần khi ma sát nhỏ η 𝑘 Khi β < 𝜔0 tức là < √ , nghĩa là khi hệ số lực cản nhỏ hơn giá trị 2𝑚 𝑚 η < 2√𝑘𝑚 thì biệt thức ∆′ của phương trình đặc trưng có giá trị âm. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức: 2 𝑟1 = − β + 𝑖√𝜔0 − 𝛽2 2 𝑟2 = − β − 𝑖√𝜔0 − 𝛽2 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có dạng : 𝑥 = 𝑒 −𝛽𝑡 ( 𝐷1 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐷2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 ) (1.16) 2 𝑘 𝜂2 Trong đó: 𝜔 = √𝜔0 − 𝛽2 = √ − 𝑚 4𝑚2 Còn 𝐷1 , 𝐷2 là hai hằng số bất kì, phụ thuộc vào điều kiện ban đầu. Để thuận tiện ta có thể biến đổi lượng trong đấu ngoặc bằng cách đặt: 𝐷1 = 𝐴0 sinφ, 𝐷2 = 𝐴0 cosφ 𝐷1 cosωt + 𝐷2 sinωt = 𝐴0 sinφcosωt + 𝐴0 cosφsinωt = 𝐴0 sin(ωt + φ) Và biểu thức (1.16) trở thành x = 𝑒 −𝛽𝑡 𝐴0 sin (ωt + φ) (1.17) Đường biểu diển x(t) vẽ ở hình 1.7. Hình 1.7. Dao động tắt dần b) Quá trình biến đổi khi ma sát lớn Bây giờ ta xét quá trình biến đổi của hệ dao động theo phương trình vi phân 2 (1.14) khi β > 𝜔0 (∆′ = 𝛽2 − 𝜔0 > 0), tức là khi η > 2√𝑘𝑚. Khi đó phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (1.15) sẽ là: 18
2 𝑟1 = − β + √𝛽2 − 𝜔0 = − 𝛽 + q 2 𝑟2 = − β − √𝛽2 − 𝜔0 = − 𝛽 − q 2 Với 𝑞 = √𝛽2 − 𝜔0 > 0 là một số thực. Nghiệm tổng quát có dạng: x = 𝐶1 𝑒 −𝑟1 𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑟2 𝑡 = 𝑒 − 𝛽𝑡 (𝐶1 𝑒 𝑞𝑡 + 𝐶2 𝑒 𝑞𝑡 ) 𝐶1 , 𝐶2 là hai hằng số bất kì, phụ thuộc vào điều kiện ban đầu. c) Quá trình tắt tới hạn Đối với cùng một con lắc lò xo thì quá trình tắt dần của dao động phụ thuộc vào hệ số lực cản η. Nếu η < 2√𝑘𝑚 (β < 𝜔0 ) thì quá trình là tắt yếu (giả tuần hoàn), nếu η > 2√𝑘𝑚 (β > 𝜔0 ) thì quá trình là tắt mạnh (phi tuần hoàn). Giá trị η = 2√𝑘𝑚 (β = 𝜔0 ) ứng với quá trình tới hạn, đó là giới hạn ngăn cách hai 2 quá trình nói trên. Quá trình tới hạn ứng với ∆= 𝛽2 − 𝜔0 = 0. Khi ∆′ = 0 nghiệm của phương trình vi phân (1.14) có dạng: x = (𝐶1 + 𝐶2 t)𝑒 −𝛽𝑡 1.2.1.2. Các đại lượng đặc trưng của dao động cơ tắt dần khi ma sát nhỏ  Chu kì của dao động tắt dần Dao động tắt dần biểu diển bởi phương trình (1.17) không phải là tuần hoàn, vì các giá trị cực đại của x giảm dần, giá trị sau nhỏ hơn giá trị trước. Người ta gọi đó là quá trình giả tuần hoàn hay quá trình tắt yếu. Tuy vậy, nếu xét một thời điểm θ lúc x (θ) và đang giảm thì ta thấy rằng vào 2𝜋 thời điểm θ + T với T = , 𝜔 cho bởi (1.16) thì x(θ + T) = 0 và đang giảm. 𝜔 Khoảng thời gian T giữa hai lần liên tiếp x = 0 và đang giảm gọi là chu kì quy ước.  Tần số góc của dao động tắt dần Đại lượng ω cho bởi (1.16) gọi là tần số góc (quy ước). Giá trị ω này đặc trưng cho hệ dao động mà ta xét và gọi là tần số góc của dao động tự do hay tần số riêng của hệ dao động khi có ma sát.  Biên độ của dao động tắt dần A(t) = 𝐴0 𝑒 −𝛽𝑡 Biên độ này cũng mang ý nghĩa quy ước như chu kì và tần số, vì thực ra A(t) không phải là giá trị cực đại của x, nó chỉ trùng với x khi sin(ωt + φ) đạt giá trị cực đại và bằng đơn vị.  Hệ số tắt dần của dao động tắt dần 19