Kinh tế lượng cơ sở - Bài 3

Bài 3. MÔ HÌNH HỒI QUI bội (Multiple regression)

1. Mô hình hồi qui 3 biến.

1.1. Mô hình: Mô hình hồi qui trong đó biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào 2 biến giải thích X2, X3 có dạng

PRF: E(Y/ X2i, X3i) = β1 + β2 X2i + β3X3i (1) Đồ thị là một mặt phẳng PRM: Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + ui

trong đó: β1 gọi là hệ số chặn ( intercept) βj ( j = 2,3) gọi là hệ số góc riêng phần ( partial slope) Giả sử mọi giả thiết của OLS đều thoả mãn, lúc đó với mẫu kích thước n được lập từ tổng thể sẽ xác định được:

ˆβ 3i

1

2

ˆβ iYˆ SRF: SRM: Yi = βˆ

(2) =

ˆβ 2i + X3 2X2i + βˆ

3X3i + ei

n

n

2

2)ˆ

=

3,1 ) sao cho Q =

+ X 1 + βˆ

( YY − i i

e i

jβˆ Tìm ( j =

→ min

∑

∑

i

i

1 =

1 =

1 = 0

2 = 0

3 = 0

3∑X3i = ∑Yi

3∑X2iX3i = ∑X2iYi

1n + βˆ 1∑X2i + βˆ 1∑X3i + βˆ

2∑X2i + βˆ 2 + βˆ 2∑X2i 2∑X2Ü X3i + βˆ

3∑X3i

2 = ∑X3iYi

⇒ ∂Q/∂βˆ ∂Q/∂βˆ ∂Q/∂βˆ ⇒ βˆ βˆ βˆ

Ký hiệu: Y = (∑Yi)/n X 2 = (∑X2i)/n X 3 = (∑X3i)/n yi = Yi – Y x2i = X2i – X 2 x3i = X3i – X 3

3 X 3

2 X 2 - βˆ 2 - ∑x3iyi∑x2i x3i

2 = ------------------------------------

2∑x3i

2 – (∑x2i x3i)2

2 - ∑x2iyi∑x2i x3i

3 = ------------------------------------

2∑x3i

2 – (∑x2i x3i)2

⇒ βˆ 1 = Y - βˆ ∑x2iyi∑x3i βˆ ∑x2i ∑x3iyi∑x2i βˆ ∑x2i

iyˆ

ˆ x β + i 22

ˆ x β 33 i

= ⇒ → Hàm hồi quy mẫu đi qua gốc toạ độ.

1.2. Các tham số của các ước lượng OLS.

E(βˆ

j) = βj j = 3,1

X

x

i

2 2

2 3

2 i 3

xx i 2

3

∑

2

1 n

∑ x

(

∑ 3 )

2 i 2 −

⎡ 1) = ⎢ ⎣

i

2 i 3

XX 2 xx i 2

3

x X + ∑ ∑ 2 x i 2

2 − ∑

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

2

Var(βˆ + σ2

2) =

2

)

)

−

Var( βˆ σ2 =

∑ 2 x − 3 i

2 2 i

xx 3 2 i i

2 r 23

σ 2 1( x i 2

2 x 3 i ∑ (

∑ ∑ x

∑

2

x

ˆβ

3

2

)

)

−

Var( ) = σ2 =

∑ 2 x − 3 i

2 2 i

xx 3 2 i i

2 r 23

2 2 i ∑ (

∑ ∑ x

2

2

ˆσσ ≈

var(

jβˆ

jβ trong đó )ˆ

σ ∑ 2 x i 1( 3 RSS 3−n

2 r − σ 23

ˆ ββ ˆ

= Se( ) =

2

3

1(

)

x

−

2 r 23

2 i x 2

2 3 i

Cov( ) =

1.3. Hệ số xác định bội R2

ESS RSS R2 = --------- = 1 - -------- TSS TSS

i

i

ˆ β 2

yx i 3

Với mô hình ba biến:

∑

ˆ ∑+ β 3 2 y i

yx i 2 ∑

R2 =

1.4. Hệ số tương quan. a. Hệ số tuơng quan bội R: Là căn bậc hai của hệ số xác định bội và đo mức

độ tương quan tuyến tính chung giữa Y, X2 và X3.

b. Hệ số tương quan cặp rij: Đo mức độ tương quan tuyến tính giữa biến i và

2

)

i

biến j của mô hình.

2 12r

y

2 i

2

=

2 13r

2 y i

2

=

2 23r

3 i x

) 2 3 i

=

∑ yx ( 2 i ∑ ∑ 2 x 2 i ∑ yx ( ) 3 i i ∑ ∑ 2 x 3 i ∑ xx ( 2 i ∑ ∑ 2 x 2 i c. Hệ số tương quan riêng phần rij , k : Đo mức độ tương quan tuyến tính

r 12

rr 13

23

1(

1)(

)

−

−

2 r 13

2 r 23

−

r 13

rr 12

23

giữa biến i và biến j của mô hình với điều kiện biến k không đổi. − r12,3 =

1(

1()

)

−

−

2 r 12

2 r 23

−

r 23

rr 13 12

r13,2 =

1(

1)(

)

−

−

2 r 12

2 r 13

r23,1 =

X3 4.78

Y 5.92 4.30 5.9 3.30 6.23

3.13 3.44 6.84 9.47 6.51 5.92 6.08 8.09

Ví dụ: Bảng sau đây cho Tỷ lệ lạm phát Y(%), Tỷ lệ thất nghiệp X2(%) và Tỷ lệ lạm phát kỳ vọng X3(%) của Mỹ giai đoạn 1970- 1982: 3.84 10.01 10.81 X2 4.9 5.6 4.9 5.6 8.5 7.7 7.1 6.1 5.8 7.1 7.6 9.7 8.00 Năm 1970 1971 1972 1973 1974 10.97 1975 9.14 1976 5.77 1977 6.45 1978 7.60 1979 11.47 1980 13.46 1981 10.24 1982 5.99

a. Hồi quy Y với X2 và cho nhận xét. Yt = õ1+ õ2*X2 + ut: õ2 < 0 do LP và TN là nghịch biến. Kết quả do õ2>0 mô hìn sai.

b. Hồi quy Y với X2 và X3 và so sánh với kết quả thu được ở phần a. c. Hãy phân tích kết quả thu được ở mô hình 3 biến. Yt = õ1+ õ2*X2 + õ3*X3 + ut: õ2 < 0 do LP và TN là nghịch biến. Kết quả õ2 < 0 và õ3>0 (Tỷ lệ TN tỷ lệ thuận với LP kỳ vọng) vậy thêm mô hình thêm biến X3 là phù hợp hơn. Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 02/17/09 Time: 09:40 Sample: 1970 1982 Included observations: 13

Variable Std. Error t-Statistic Prob. Coefficie nt

C X2 R-squared

Adjusted R- squared 6.127172 4.285283 1.429817 0.1806 0.244934 0.630456 0.388502 0.7051 7.75692 0.013536 Mean dependent 3 var S.D. dependent var 3.04189 2 - 0.076143

S.E. of regression 3.155577 Akaike info criterion Sum squared resid 109.5343 Schwarz criterion

Log likelihood F-statistic

- 32.29958 0.969568 Prob(F-statistic) Durbin-Watson stat 5.27685 8 5.36377 3 0.15093 4 0.70505 8

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 02/17/09 Time: 09:35 Sample: 1970 1982 Included observations: 13

Variable Std. Error t-Statistic Prob. Coefficie nt

C X2 7.193357 1.594789 4.510538 0.0011 0.305018 -4.565214 0.0010

X3 R-squared var

Adjusted R- squared S.E. of regression 1.170605 Akaike info criterion Sum squared resid 13.70316 Schwarz criterion

F-statistic Log likelihood

- 18.78860 2.225465 Prob(F-statistic) - 1.392472 1.470032 0.175786 8.362633 0.0000 7.75692 0.876590 Mean dependent 3 0.851907 S.D. dependent var 3.04189 2 3.35209 2 3.48246 5 35.5152 1 0.00002 9 Durbin-Watson stat

2. Mô hình hồi quy tổng quát k biến - Dạng ma trận của mô hình

2.1. Mô hình

(1)

(2)

Mô hình hồi qui trong đó biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào k – 1 biến giải thích X2, .. ,Xk có dạng PRF: E(Yi) = β1 + β2 X2i + β3X3i + … + βkXki PRM: Yi = β1 + β2 X2i + β3X3i + … + βkXki + ui trong đó: β1 gọi là hệ số chặn βj ( j=2,k) gọi là các hệ số góc riêng phần

ˆβ

ki

(3)

iYˆ

ˆβ 2i + X3

ˆβ 3i + … + Xkβˆ

2

1

Với mẫu W = {(X2i, X3i,…,Xki, Yi); i = 1÷ n},

ki + ei

ˆβ 3i + … + Xkβˆ

1

2

SRF: = ˆβ + X (4) SRM: Yi = + X ˆβ 2i + X3

X

X

1

...

u

k

21

1

X

X

1

...

u

2

=

+

×

...

22 ...

...

k ...

.

2.2. Dạng ma trận

β 1 β 2 ...

X

X

u

1

...

n

1 −

1 −

1 −

β k

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

2 X

kn X

u

1

...

Y 1 Y 2 ... Y n Y n

n

kn

2

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⇔

Y1 = β1 + β2 X21 + …+ βkXk1 + u1 Y2 = β1 + β2 X22 + …+ βkXk2 + u2 … Yn-1= β1 + β2 X2n-1+ + βkXkn-1+ un-1 Yn = β1 + β2 X2n + …+ βkXkn+ un

→ Y(n×1) = X(n×k) × β(k×1) + U(n×1)

Y = X×β + U → E(Y) = Xβ

Yˆ

Tương tự, đặt = ;

βˆ=

ˆ β 1 ˆ β 2 ... ˆ kβ

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

e 1 e 2 ... e 1 n − e n

ˆ Y 1 ˆ Y 2 ... ˆ Y 1 n − ˆ Y n

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝

; e = , th×

Yˆ = Xβˆ Y = Xβˆ + e

2.3. Phương pháp bình phương nhỏ nhất

n

i

1 =

Tìm βˆ sao cho ∑ = e’e → min 2 ie

(Y - Xβˆ)’ (Y - Xβˆ) → min ⇔ X’Xβˆ = X’Y

⇔ Nếu tồn tại (X’X)-1 thì βˆ= (X’X)-1X’Y Khi đó βˆ= (X’X)-1X’Y là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất của β

2.4. Các tham số của ước lượng

...

Cov

Cov

Var

Var

Cov

Cov

... ...

...

Cov

Var

Cov

)ˆ,ˆ( ββ k 1 )ˆ,ˆ( ββ k 2 ... )ˆ( β k

)ˆ,ˆ( ββ 1 2 )ˆ( β 2 ... )ˆ,ˆ( ββ k 2

= Cov(βˆ) =

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2(X’X)-1

Kì vọng : E(βˆ) = β Phương sai – hiệp phương sai )ˆ( β 1 )ˆ,ˆ( ββ 2 1 ... )ˆ,ˆ( ββ k 1

2ˆσ

σ

Với σ2 được ước lượng bởi =

ee' kn −

ESS = 1 - TSS

RSS Đánh giá sự phù hợp của hàm hồi qui TSS Cho biết tỉ lệ sự biến động của biến phụ thuộc được giải thích bởi tất cả các biến giải thích có trong mô hình. R2 có các tính chất sau: + 0 ≤ R2 ≤ 1.

2.5. Sự phù hợp của hàm hồi qui : Hệ số xác định béi: R2 =

Tính chất này dùng để đánh giá mức độ thích hợp của hàm hồi quy. + Giá trị của R2 đồng biến với số biến giải thích của mô hình. Tuy nhiên không thể lấy điều đó để xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào mô hình. KHông thể quyết định đưa thêm biến vào đúng hay sai. Phải tính thêm 2.6 2.6. Hệ số xác định bội hiÖu chỉnh.

n − 1 kn −

⎯R2 = 1 – (1 – R2)

2

R còn tăng hoặc khi giá trị t của

R 2 có các tính chất sau: + R 2 có thể nhận giá trị âm.(khi nào R2 nhận giá trị âm?) + Khi số biến giải thích của mô hình tăng lên thì R 2 tăng chậm hơn R2. ⎯ R 2 ≤ R2 ≤ 1 Tính chất này được dùng làm căn cứ xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào

mô hình. Khi đưa thêm biến vào mô hình mà kiểm định về sự bằng không của hệ số hồi quy tương ứng với biến đưa thêm còn lớn hơn 1 thì việc đưa thêm biến còn hợp lý. 2.7. Hệ số tương quan.

a. Hệ số tương quan bội R.

k

) b. Hệ số tương quan cặp rij (i,j = k,1

........ r k 1 ........ r 2

r 21 ......

.......

1

r k

.. r k

... r k

1

2

3

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Các hệ số tương quan cặp thường được cho trong ma trận sau: ....1 .... r r 12 13 ..... 1.. r 23 rij =

rij = rji(i,j = 1,k)

c. Hệ số tương quan riêng phần r12,34. . . k . . . rk-1k,12 . . . k-2 rk-1k,12 . . . k-2 : : Biểu thị sự tương quan giữa biến Xk-1,Xk trong12 . . . k-2

→ Các hệ số tương quan cặp được gọi là hệ số tương quan riêng phần

bậc 0.

3. Suy diễn thống kê.

3.1. Ước lượng khoảng

α2(n – k) < βj <

α1(n – k) (j = k,1 )t

jβˆ

+ Se( ) i. Khoảng tin cậy cho từng hệ số jβˆ jβˆ – Se(

)tjβˆ → Khoảng tin cậy đối xứng, bên phải, bên trái.

ii. Khoảng tin cậy cho hai hệ số

α2(n – k) < βi ± βj <(

α1(n – k)

ˆ ± i ββ ˆ

j

ˆ ± i ββ ˆ

j

ˆ ± i ββ ˆ

j

ˆ ± i ββ ˆ

j

( ) – Se( )t ) + Se( )t

Var

)ˆ

Var

2

Cov

Var

ˆ( ββ ±

±

+

)ˆ( β

j

i

j

)ˆ( β i

)ˆ,ˆ( ββ i

j

j

Với Se( ) = = Se : Đ ộ l ệch chu ẩn ˆ ± i ββ ˆ

)

)

iii. Khoảng tin cậy cho sai số ngẫu nhiờn

2 (ˆ kn σ − (2 kn ) − αχ 2

2 (ˆ kn σ − (2 kn ) − αχ 1 1 −

< σ2 <

→ Khoảng tin cậy hai phía, bên phải, bên trái.

3.2. Kiểm định giả thuyết :

a. Kiểm định T:

Cặp giả thuyết Miền bác bỏ H0

j

Tiêu chuẩn kiểm định

( knt − 2/ α

* = ββ j * ≠ ββ j

j

⎧ :H ⎪ 0 ⎨ :H ⎪⎩ 1

) ⏐Tqs⏐>

j

( knt − α

* = ββ j * > ββ j

j

ˆ * ββ − j j )ˆ( Se β j

⎧ :H ⎪ 0 ⎨ :H ⎪⎩ 1

j

Tqs = ) Tqs >

knt ( − α

* = ββ j * < ββ j

j

⎧ :H ⎪ 0 ⎨ :H ⎪⎩ 1

i

) Tqs < –

knt ( − 2/ α

a a

= ≠

:H 0 :H 1

± ββ j ± ββ j

i

⎧ ⎨ ⎩

ˆ ˆ a ± − ββ i j ˆ( )ˆ Se ± ββ j

i

) Tqs = ⏐Tqs⏐>

(

b. Kiểm định χ2: Đối với σ2 việc kiểm định cũng tiến hành tương tự với tiêu chuẩn kiểm định:

2ˆ) σkn − 2 σ 0

χ2=

2

...

=

4. Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi qui

2

= (:0

β k j

0 = )1 ≠

≠

0 0

R R

= ≠

:H 0 :H 1

β 2 ∃ β j

:H 0 :H 1

⎧ ⎨ ⎩

⎧ ⎨ ⎩

2

=

Tất cả các biến giải thích không giải thích cho Y ⇔ Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y

/( 2

ESS RSS

/( /(

k )1 − kn ) −

R

k /(

)

1

R −

)1 − kn −

Fqs =

Fqs > Fα(k - 1; n - k) thì bác bỏ H0 : hàm hồi qui là phù hợp.

βˆ

Tất cả các kiểm định trên cũng đều có thể tiến hành bằng phương pháp P-value.

Ví dụ: Với tệp số liệu đã cho, hãy tìm các ước lượng bằng phương pháp ma

trận và các tham số tương ứng của mô hình. Hãy tiến hành các ước lượng và kiểm định cần thiết.

5. Kiểm định thu hẹp hồi qui (Kiểm định Wald): 5.1. Thủ tục: Xét mô hình: E(Y/X2,..,Xk - m,..,Xk ) = β1 + β2X2 + … + βkXk (UR)

= (:0

0 ) k

... = β mk 2 +− j mk −=

= β k 1 ÷+

:H 0 :H 1

β mk 1 +− ∃ ≠ jβ

⎧ ⎨ ⎩

Nghi ngờ m biến giải thích Xk-m+1,…, Xk không giải thích cho Y

Tất cả m biến giải thích không giải thích cho Y Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y

Nếu giả thuyết H0 là đúng thì mô hình trở thành:

E(Y/X2,…, Xk - m) = β1 + β2X2 + … + βk-mXk - m (R)

(

m

RSSr−

Tiêu chuẩn kiểm định:

RSSur /) /( ) kn

RSSur −

( 1(

)

2 mR /) ñ /() kn −

2 R − ur 2 Rur −

= Fqs =

Nếu Fqs > Fα(m, n – k) bác bỏ H0

- Trường hợp m = 1: Fqs = (Tqs)2 với Tqs ứng với hệ số duy nhất cần kiểm định. - Trường hợp m = k – 1 : Fqs trong kiểm định thu hẹp chính là Fqs trong kiểm định sự phù hợp. - Kiểm định thu hẹp hồi qui còn dùng cho những trường hợp khác. Ví dụ: Với tệp số liệu ch3bt5 hãy ước lượng hàm cầu về thịt lợn phụ thuộc vào giá và thu nhập theo dạng tuyến tính và tuyến tính lôga và cho nhận xét. Có thể bỏ được biến nào ra khỏi mô hình hay không?

5.2. Các dạng thu hẹp hồi qui

(UR) Ví dụ Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + ui H0: β3 = 1; H1: β3 ≠ 1.

Yi = β1 + β2X2i + X3i + ui

* = β1 + β2X2i + ui

(R)

H0 đúng ⇒ ⇔Yi – X3i = β1 + β2X2i + ui ⇔ Yi

H0: β2 = β3; H1: β2 ≠ β3.

* + ui

(R) H0 đúng ⇒ ⇔

Yi = β1 + β2X2i + β2X3i + ui Yi = β1 + β2(X2i +X3i) + ui ⇔Yi = β1 + β2Xi H0: β2 + β3 = a; H1: β2 + β3 ≠ a

*+ ui (R)

Yi– aX3i = β1 + β2(X2i–X3i) + ui ⇔ Yi Yi = β1 + β2X2i + (a – β2)X3i + ui *= β1+ β2Xi

ˆY

ˆY

H0 đúng ⇒ ⇔ 6. Dự báo. 6.1. Dự báo giá trị trung bình

0

ˆ 0

0

ˆ 0

– Se(Y )tα2(n – k) < E(Y/X0) < + Se(Y )tα1(n – k)

’βˆ

0

ˆ Với Y = X0

ˆ Se(Y ) 0

(X'

1X) −

X

'Xˆσ 0

0

và =

0) tα1(n – k)

ˆY 0 – Se(Y0)tα2(n – k) < Y0 < Y + Se(Y

ˆ 0

(X'

1 XX) −

6.2. Dự báo giá trị cá biệt

'X 1ˆ +σ 0

0

Với Se(Y0) =

7. Một số mô hình Kinh tế

7.1. Hàm thu nhập – chi tiêu Yi : Thu nhập Ci : Chi tiêu

Ci = β1 + β2Yi + ui - C là chi tiêu cho tiêu dùng : β1 > 0; 1 > β2 > 0 - C là chi tiêu cho hàng hóa thông thường - C là chi tiêu cho hàng hóa cao cấp - C là chi tiêu cho hàng hóa thứ cấp

7.2. Hàm cầu

Qi : cầu về hàng hóa Pi : giá cả hàng hóa PTi : giá hàng hóa thay thế PBi : giá hàng hóa bổ sung

Qi = β1 + β2Pi + β3PTi + β4PBi + ui

t = β1 + β2.t

7.3. Hàm tăng trưởng

r : tỷ lệ tăng trưởng t : thời gian Yt và Y0 là giá trị của biến Y tại thời kỳ t và thời kỳ gốc Yt = Y0(1+ r)t ⇒ LnYt = LnY0 + t.Ln(1 + r) ⇒ Y’

7.4. Hàm chi phí – sản lượng

3

Qi : sản lượng TCi : tổng chi phí, MCi : chi phí cận biên, ACi: chi phí trung bình, FCi: chi phí cố định

i + β4Q i + ui

2

TCi = β1 + β2Qi + β3Q2

2

→ FCi = β1 + ui → MCi = β2 + 2β3Qi + 3β4Qi + ui

1β iQ

→ ACi = + β2 + β3Qi + β4 iQ + ui

7.5. Hàm hyperbol

ββ +

1

1 X2

Y=

Là hàm phi tuyến đối với X song tuyến tính đối với tham số a. Nếu cả β1 và β2 đều dương, khi đó đồ thị cong xuống với mức tiệm cận dưới là β1. Hàm này thường được dùng để phân tích chi phí trung bình để sản xuất 1 sản phẩm. b. Nếu β1 >0 và β2 < 0 khi đó đồ thị cong lên với mức tiệm cận trên là β1. Hàm này ding để phân tích sự phụ thuộc của chi tiêu vào thu nhập. c. Nếu β1 <0 và β2 > 0 thì đó là đường cong Philips, nó cong xuống và tiệm cận β1 ở dưới trục hoành.

β3

7.4. Hàm mũ – Hàm Loga tuyến tính

β2 X3i

Mô hình kinh tế có dạng Yi =β0X2i

⇔ lnYi = lnβ0 + β2lnX2i + β3lnX3i

β2X3i

Xét mô hình LYi = β1 + β2 LX2i + β3LX3i + vi β3 ⇔ E(Y / X2i , X3i) = eβ1X2i

β3

β2Li

β1 : E(Y/X2i = X3i = 1) = eβ1

β2 = εE(Y)/X2 : Khi X2 thay đổi 1%, yếu tố khác không đổi, thì E(Y) thay đổi β2 % Ví dụ mô hình : E(Qi) = eβ1Ki

7.5. Hàm nửa Loga *Mô hình : Yi = β1 + β2 lnXi + ui β1 = E(Y/X = 1) β2: Khi X t¨ng 1% thì E(Y) thay đổi β2 đơn vị.

2β : Khi X t¨ng 1 ®¬n vÞ th× E(Y) thay ®æi

2β %.

*M« h×nh : LnYi = β1 + β2Xi + ui

2

7.6. Hàm chi phí – lợi ích Ci : chi phí Ui : lợi ích

iC + ui

Ui = β1 + β2Ci + β3

β2: >0 do LI đồng biến CP β2 <0 : LI cận biên giảm dần