Luận văn đề tài : Phương trình vi phân đại số

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

130
lượt xem 16
download

Luận văn đề tài : Phương trình vi phân đại số

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như đ ịnh nghĩa của A.Poincaré, V.Rumyantsev, ... Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) công bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm 1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn đề tài : Phương trình vi phân đại số

Luận văn Phương trình vi phân đại số
MỤC LỤC Trang Mở đầu ..................................... ................................................. .......... 2 Chƣơng I Một số khái niệm về hệ phƣơng trình vi phân đại số ... 5 1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận ........................ ................. 5 1.2 Hệ phương trình vi phân đại s ố tuyến tính với hệ s ố hằng ........ 7 1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại s ố ................................. 10 1.4 Sự ổn định (Lyapunov) c ủa hệ phương trình vi phân đại s ố....... 13 Chƣơng II Bán kinh ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng ............................................... ..... 15 2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ...... 15 2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ............................. ............... 24 Chƣơng III Bán kính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại s ố tuyến tính với nhiễu động ............................................................. 34 3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ s ố biến thiên 35 3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định ....................................... 37 3.3 Công thức bán kính ổn định ....................................................... 44 3.4 Các trường hợp đặc biệt ..................................................... ........ 55 Kết luận .................................................................... .......................... 59 Tài liệu tham khảo ............................................................................. 60 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 1
MỞ ĐẦU Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời đ iểm đó, người ta đã đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như đ ịnh nghĩa c ủa A.Poincaré, V.Rumy ants ev, ... Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) c ông bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm 1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiê n c ứu một cách c ó hệ thống và t rở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết đ ịnh tính phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới quan t âm nghiên c ứu. Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua, lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên c ứu s ôi nổi và đã thu được nhiều t hành tựu r ực rỡ, s âu s ắc , như : vật lý, khoa học kỹ t huật công nghệ, sinh th ái học , ... Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn đ ịnh bằng c ả hai phương pháp, đó là phương pháp s ố mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (c òn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov). Vào những năm 70 c ủa thế kỷ trước , một số bài toán c ó liên quan đến phương trình vi phân dạng: A t x '(t ) +B t x(t ) 0 ở đó, A , a là hằng s ố, C I , L Rn , x : I Rn , I ,B a, 0 t I . Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân det A t đại s ố (differential algebraic equation -DAE). Ngay sau đó, loại phương trình vi phân này được nhiều nhà toán học đi s âu nghiên c ứu. Để nghiên c ứu DAE người t a thường làm như sau: phân r ã chúng nhờ các phép chiếu để được một hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại s ố. Ngoài ra, S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 2
cũng còn một vài phương pháp khác . Đến nay người ta c ũng đã tìm ra khá nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại s ố tương tự như ở phương trình vi phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn đ ịnh t iệm cận của nghiệm c ủa phương trình với ma trận hệ s ố hằng. Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà D.Hinr ichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng nghiê n cứu mới là nghiên c ứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên c ứu này đã thu hút s ự chú ý và tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính t hời s ự của nó cũng như những ứng dụng trong c ác bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên c ứu s ự ổn định của hệ phương trình vi phân đại s ố với ma trận hệ s ố phụ thuộc tham s ố thời gian và đưa ra c ông thức bán kính ổn định trong b ài báo “ Stability radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations” được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006 . Đây là bài báo c ơ s ở để thực hiện luận văn này. Luận văn gồm 61 t rang, ngo ài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, gồm có ba chương: Chương I: Một s ố khái niệm về hệ phương trình vi phân đại s ố. Chương này trình bày các kiến thức cơ s ở để s ử dụng trong c ác chương sau. Chương II: Bán kí nh ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại s ố tuyến tính dạng Ax '(t ) - Bx(t ) 0 trong đó A, B là các ma trận thực , det A 0. Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động. Chương n ày nghiên c ứu về hệ các phương trình vi phân đại s ố tuyến tính biến đổi theo thời gian c ó dạng: S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 3
A t x' t B t x t ,t 0 trong đó A . Lloc 0, ; K n n Lloc 0, ; K n n , ở đây c ông thức bán ,B. kính ổn định được đưa ra. Luận văn này được hoàn thành tại khoa To án, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới s ự hướng dẫn ân c ần, tỉ mỉ và khoa học của Cô giáo - T iến s ĩ Đào Thị Liê n. Qua đây tôi xin b ày tỏ lòng b iết ơn s âu s ắc công lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công s ức hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Tôi c ũng xin c ảm ơn các thầy cô giáo trong khoa To án, khoa Sau Đại học , trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã đào tạo và tạo điều kiện tốt nhất để luận văn được hoàn thành. Sau c ùng tôi xin được bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, cơ quan nơi tôi c ông tác (Trường PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên t âm học tập, nghiên c ứu. Mặc dù đã hết s ức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu s ót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008 Học viên cao học Lƣu Thị Thu Hoài S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 4
CHƢƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận 9 Định nghĩa 1.1.1. Cho P L  . P được gọi là một phép chiếu nếu P2 P. Nhận xét 1.1.2. i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có: KerP  n. Im P ii) Mỗi phân tíc h  n U V tồn tại duy nhất một phép chiếu P s ao cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V. Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lê n V dọc theo U. Định nghĩa 1.1.3. (Chỉ s ố của ma trận) Cho A L  n . Số tự nhiên k được gọi là chỉ s ố của ma trận A, ký hiệu là indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà KerAk KerAk 1 .  : KerAk KerAk 1 indA min k Định lý 1.1.4. Với mọi A L  n ta luôn có:  n với mọi k thoả mãn 0
Định lý 1.1.7. Nếu Q L  n không suy biến thì: ind A, B . ind QA, QB ind AQ, BQ Nếu A, B là giao hoán được thì ind A, B ind A . Định lý 1.1.8. Giả sử cặp ma trận (A,B) chính quy, c R sao cho cA + B khả 1 nghịch, đặt Q . Khi đó, QA và QB là giao hoán được. cA B Định lý 1.1.9. Giả s ử c ặp ma tr ận (A,B) là chính quy, chỉ số k và k 1 r thì tồn tại các ma trận khả nghịc h P, Q sao cho: rank cA B A A Pdiag I r ,U Q, B Pdiag W ,U n Q r ở đó U diag U1 l ,...,U s l , max li lr L l k ,U uij 1 s r r 1 khi j i 1 với uij ; Uk 0 còn U l k. 0l 0 khi j i 1 Định lý 1.1.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương: 1) Cặp (A,B) chính quy với chỉ số 1. 2) x KerA và Bx ImA suy ra x = 0 3) Cặp (A,B) ch ính quy và degP = rankA với P(z):=det(zA+B). 4) Cặp (A,B+AW) chính quy và ind(A,B+AW) = 1 với mọi W L n . 5) G:=A+BQ kh ông suy biến với Q là phép chiếu lên K erA. 6) Với S : KerA  n . x  n : Bx ImA thì S 7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích hợp E L n A1 B1 thoả mãn: EA , rankA rankA1 , ta nhận được ma trận , EB B2 0 A1 không suy biến L n . B2 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 6
1.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với hệ s ố hằng 2,3,9 Xét hệ phương trình vi phân dạng: (1.2.1) F t, x t , x ' t 0 trong đó: x : I  n, I  a, F :I D  n n t , x, y  F t , x, y D là tập mở trong  n , F C I D  n ,  n , Fx' , Fy' C I D  n , L  n . Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phâ n (1.2.1) được gọi là hệ phương trình vi phân đại s ố (DAE’s) nếu hàm F thoả mãn KerFx' ' t , x t , x ' t 0 với mọi t , x, x ' I D  n. Hệ quả 1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính: A t x' t Btxt qt (1.2.2) trong đó: A, B C I , L  n , q liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi t I , là hệ phương trình vi ph ân đại số. Người ta c ó thể phân lớp c ác hệ phương trình vi phân đại s ố nhờ khái niệm chỉ số c ủa các hệ phương trình vi phân loại này. Tiếp theo ta đề c ập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân đại s ố ([3], [9]). Xét hệ phương trình vi phân đại s ố dạng: F t, x t , x ' t 0 (1.2.3) trong đó: x : I  n, I , a; F :I D  n n t , x, y  F t , x, y S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 7
D là tập mở trong  n , F C I D  n ,  n , Fx' , Fy' C I D  n , L  n I D  n. KerFx' ' t , x, x ' 0 t , x, x ' Giả thiết KerFx' ' t , x, x ' không phụ thuộc vào x và x’ tức là: KerFx' ' t , x, x ' I D  n. Nt t , x, x ' Định nghĩa 1.2.3. Không gian hạch N t được gọi là trơ n trên I nếu c ó ma 2 trận hàm khả vi liên tục Q C1 I , L  n sao cho Q t Q t , ImQ(t) = N(t) I. t Khi đó Q(t) là phép chiếu lên N(t) . Đặt P t P C1 I , L  n . In Q t 1 và từ F x't' x sy Ta có: F t ,x , y F t ,x ,P t y ,, 1 s P t y Q t yds 0 0 . Từ đó ta KerFx' ' t , x, x ' Fx' ' t , x, y Q t y Q t y ImQ t Nt s uy ra: 1 Fx' ' t , x, sy F t , x, y F t , x, P t y 1 s P t y Q t yds 0 0 hay F t , x, y F t , x, P t y F t , x, x ' F t , x, P t x ' F t , x, Px ' t P' t x t Điều này cho thấy, để hàm x : I  n là nghiệm của (1.2.3) thì c ần phải c ó Px C1 I ,  n , Qx C I ,  n . Bây giờ ta quan t âm tới không gian hàm sau: C1 I ,  n x C1 I ,  n : Px C1 I ,  n . N Đặt S t , x, y z  n : Fx' t , x, y z ImFy' t , x, y G1 t , x, y : Fy' t , x, y Fx' t , x, y Q t Fy' t , x, y P ' t Q t A1 t , x, y : G1 t , x, y S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 8
N1 t , x, y : KerA1 t , x, y z  n : Fx' t , x, y P t z S1 t , x, y ImA1 t , x, y Định nghĩa 1.2.4. Hệ phương trình vi phân đại s ố (1.2.3) được gọi là c ó chỉ s ố 1 trên tập mở G I D  n nếu N t n G. t , x, y S t , x, y Định nghĩa 1.2.5. Hệ phương trình vi phân đại s ố (1.2.3) được gọi là c ó chỉ s ố 2 trên tập mở G I D  n nếu: n const 0 và N1 t , x, y dim N1 t , x, y t , x, y G S1 t , x, y Cụ thể, đối với hệ phương trình vi phân đại s ố tuyến tính dạng: (1.2.4) A t x' t Bt xt 0 trong đó x : I 0 với mọi t I .  n , A, B C I , L  n , det A t KerA t trơn trên I. Khi đó, có phép chiếu Q(t) lên N(t) , khả vi liê n Nt tục . Đặt P t : I Q t . z  n :B t z St: ImA t A1 t : A t Bt A t P' t Q t N1 t : KerA1 t z  n :B t P t z S1 t : ImA1 t Gọi Q1 t là phép chiếu khả vi liê n tục lên N1 t dọc theo S1 t , P t : I Q1 t . 1 B1 t : Bt A1 t PP ' P t 1 Đặt A2 t : A1 t B1 t Q1 t Hệ phương trình vi phân đại s ố tuyến tính (1.2.4) c ó chỉ s ố 1 trên I khi và chỉ khi N t I tức là det A1 t n 0 St t t I. S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 9
Hệ phương trình vi phân đại s ố tuyến tính (1.2.4) c ó chỉ s ố 2 trên I khi dim N1 t const 0 det A1 t 0 t I và chỉ khi tức là Rn det A2 t 0 t I N1 t S1 t t I Đặc biệt, xét hệ phương trình vi phân đại s ố tuyến tính hệ s ố hằng: (1.2.5) Ax ' t Bx t 0 trong đó: x : I L  n , det A 0 . Khi đ ó:  n , A, B N : KerA z  n : Bz S: ImA Gọi Q là phép chiếu lên N, đặt P:=I-Q (P là phép chiếu lên ImA). z  n : B1 z A1 : A BQ , N1 : KerA1 , S1 : ImA Gọi Q1 là phép chiếu lên N1 dọc S1 , đặt P : I Q1 . 1 B1 : BP , A2 : A1 B1Q1 A1 BPQ1 Hệ phương trình vi phân đại s ố tuyến tính (1.2.5) c ó chỉ số 1 khi và chỉ n khi N 0. S det A1 Hệ phương trình vi phân đại s ố tuyến tính (1.2.5) c ó chỉ số 2 khi và chỉ khi dim N1 const 0 det A1 0 tức là Rn det A2 0 N1 S1 1.3. Phân rã hệ phƣơng trình vi phân đại số thành hệ phƣơng trình vi phân thƣờng và hệ phƣơng trình đại số 1 , 3 Trong mục này ta s ẽ nghiên c ứu phân rã hệ phương trình vi phân đại s ố tuyến tính hệ s ố hằng c ó chỉ s ố 1 và chỉ s ố 2 thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại s ố. Xét hệ phương trình vi phân đại s ố tuyến tính sau: S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 10
(1.3.1) Ax ' t Bx t qt trong đó: x : I  n , A, B L  n , det A 0 , q . C I , Rn . 1.3.1. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Giả s ử hệ (1.3.1) c ó chỉ số 1. Gọi Q là phép chiếu lê n KerA , Q . Khi đó, AQ = 0. QP = 0. P : In A = AIn = A(P + Q) = AP = AP +BQP = (A + BQ)P = A1P. B = BIn = B( Q+ P) = BQ+BP = AQ +BQ+BP = (AQ + BQQ) + BP = (A+BQ)Q + BP = A1Q + BP Do vậy, hệ (1.3.1) qt . A1Px ' t AQx t BPx t 1 Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với PA1 1 và QA1 1 ta được hệ tương đương: PA1 1BPx t PA1 1q t Px ' t QA1 1BPx t QA1 1q t Qx t Đặt u t Qx t ta đưa hệ (1.3.1) về hệ s au: Px t , v t PA1-1Bu t PA1-1q t u' t () QA1-1Bu t QA1-1q t () vt trong đó ( ) là hệ phương trình vi phân thường, c òn ( ) là hệ phương trình đại s ố. Đặc biệt, khi q t 0 ta được hệ: PA1-1Bu t u' t 0 ( ') QA1-1Bu t ( ') vt 0 1.3.2. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 2 Giả s ử hệ (1.3.1) c ó chỉ s ố 2. Khi đó det A1 0, det A2 0. Xét vế tr á i của (1.3.1) ta c ó: S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 11
Ax ' t Bx t APx ' t Bx t A Px ' t Bx t = A BQ P Px ' Qx BPx A1 P Px ' Qx BPx = A1 BPQ1 P P Px ' t PQx Q x BPx BPQ x 1 1 1 1 = A2 P P Px ' t PQx Q1 x BPP x 1 1 1 Do vậy, hệ (1.3.1) A2 PP Px ' t PQx Q1 x BPP x q t 1 1 1 Nhân hai vế của phương trình n ày lần lượt với PP A2 1, QPA2 1, Q1 A2 1 ta được 1 1 hệ phương trình tương đương: PPP Px ' PPQx PP A21BPP x - -1 PP A2 q 1 1 1 1 1 -1 -1 QPP Px ' QPQx QP A2 BPP x QP A2 q 1 1 1 1 1 -1 -1 Q1 x Q1 A2 BPP x Q1 A2 q 1 Ta có thể chọn phép chiếu Q (xem [ 1]) sao cho PQ1, PP1 c ũng là các phép chiếu đồng thời Q, PQ1, PP đôi một có tích bằng 0. Khi đó, ta có: 1 Q1 Q1 A21BP, Q1Q 0, PPP PP , PPQ 0, QPP - QQ1, QPQ Q 1 1 1 1 1 Q1 Q1P, QQ1P QQ1 và hệ trê n trở thành: PPx ' PP A21BPPx - -1 PP A2 q 1 1 1 1 -1 -1 QQ1 x ' Qx QP A2 BPPx QP A2 q 1 1 1 -1 Q1 x Q1 A2 q Đặt u PPx, v Q1x, w Qx x u Pv w ta nhận được hệ s au: 1 u ' PP A21Bu - -1 PP A2 q 1 1 -1 -1 Qv ' w QP A2 Bu QP A2 q 1 1 -1 v Q1 A2 q Đặc biệt, khi q t 0 ta nhận được hệ: S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 12
u ' PP A21Bu 0 - 1 -1 w QP A2 Bu 0 1 v0 1.4. Sự ổn định (Lyapunov) c ủa hệ phƣơng trình vi phân đại số 3 14 , 15 Xét hệ phương trình vi phân đại s ố tuyến tính sau: (1.4.1) A t x' t Bt xt 0 trong đó: x : I  n , A, B L  n , det A 0 , q . C I , Rn Rõ ràng, hệ (1.4.1) c ó nghiệm tầm thường x t 0. 1.4.1. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 Giả s ử hệ (1.4.1) c ó chỉ s ố 1 và KerA t trơn. Gọi Q t là phép chiếu khả vi liê n tục lê n KerA t , đặt P t : I n Q t . Ký hiệu x t; t0 , x0 là nghiệm của (1.4.1) tho ả mãn đ iều kiện đầu n P t 0 x t0 P t0 x0 , t0 I , x0 Định nghĩa 1.4.1. Nghiệm tầm thường x t 0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi s ố 0 cho trước và với mọi I đều tồn tại 0 s ao cho nếu x0  n thoả mãn P t0 x0 t0 , t0 với mọi t t0 . thì x t ; t0 , x0 Định nghĩa 1.4.2. Nghiệm tầm thường x t 0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định t iệm c ận nếu nó ổn định và tồn tại s ố 0 s ao cho nếu t0 0 P t0 x0 t0 thì x t ; t0 , x0 0 khi t . 0 Định nghĩa 1.4.3. Nghiệm tầm thường x t 0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định t iệm cận mũ nếu tồn tại hằng s ố dương và với mọi s ố 0 cho trước S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 13
đều tồn tại s ố 0 s ao cho nếu x0  n thoả mãn P t0 x0 thì t0 , với mọi t t0 . t t0 x t; t0 , x0 e 1.4.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2 Giả s ử hệ ( 1.4.1) c ó chỉ số 2 và KerA t trơn. Các phép chiếu P t , P t như ở mục 1.3.2. Ký hiệu x t; t0 , x0 là nghiệm của (1.4.1) tho ả mãn 1 điều kiện đầu P t0 P t0 x t0  n. P t0 P t0 x0 , t0 I , x0 1 1 Định nghĩa 1.4.4. Nghiệm tầm thường x t 0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định ( theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi s ố 0 cho trước và mọi t0 I đều tồn tại 0 s ao cho nếu x0  n thoả mãn P t0 P t0 x0 t0 , 1 với mọi t t0 . thì x t ; t0 , x0 Định nghĩa 1.4.5. Nghiệm tầm thường x t 0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định t iệm c ận nếu nó ổn định và tồn tại s ố 0 s ao cho nếu t0 0 t0 thì x t ; t0 , x0 0 khi t . P t0 P t0 x0 1 0 Định nghĩa 1.4.6. Nghiệm tầm thường x t 0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định t iệm cận mũ nếu tồn tại hằng s ố dương và với mọi s ố 0 cho trước đều tồn tại s ố sao cho nếu thoả mãn n t0 , 0 x0 với mọi t t0 . t t0 thì x t; t0 , x0 P t0 P t0 x0 e 1 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 14
CHƢƠNG II BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HỆ SỐ HẰNG Trong chương này, chúng tôi t rình bày bài toán, tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Ax '(t ) - Bx(t ) 0 , trong đó A, B, là các ma trận thực, detA = 0. Chúng tôi đã đưa ra định nghĩa bán kính ổn định, công thức tính bán kính ổn định phức, chỉ ra những sự khác biệt cơ bản giữa trường hợp hệ phương trình vi phân t hường và hệ phương trình vi phân đại số. Đồng thời một trường hợp đặc biệt mà bán kính ổn địn h t hực và phức bằng nhau cũng được chứng minh. 2.1. Bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số Xét phương trình Ax '(t ) - Bx(t ) 0 (2.1.1) trong đó x  m , A, B K m m ,(K  hoặc  ) , det A = 0, cặp ( A, B) là chính quy chỉ s ố k ≥ 1 . Ta biết rằng khi đó, tồn tại các ma trận W, T, khả nghịc h, sao cho B0 I r 0 -1 T -1, T ;B W 1 AW (2.1.2) 0 I m- r 0U ở đây. Is là ma trận đơn vị trong K s s , B1 K r r , U là ma trận k- luỹ linh có dạng U = diag(J1, J2,..., Jl) với 0 1 ... 0 0 ... 0 R pi pi Ji , i 1,2,...l. (2.1.3) . . ... 1 0 0 ... 0 l m - r. Nhân hai vế (2.1.1) với W -1 ta được s ao cho max pi k , pi 1il i1 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 15
(2.1.4) y' t B1 y t 0, (2.1.5) Uz ' t zt 0, yt trong đó T 1x t Kr, z t Km r. ,y t zt Vì U là k- luỹ linh nên (2.1.5) có nghiệm duy nhất z(t) = 0 do đó, y ' t - B1 y t 0, hệ trên trở thành zt 0, Kr,z t K m r. trong đó y t Định nghĩa 2.1.1. Nghiệm tầm thường x 0 của (2.1.1) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu có một phép chiếu P L K m và các hằng số dương , c sao cho bài toán giá trị ban đầu (IVP): Ax ' t Bx ' t 0 Px0 x0 0 có nghiệm x t duy nhất, thoả mãn t xt c Px0 e , t 0. Nếu ind (A, B) =1 ta chọn P = Im – Q, trong đó Q là phép chiếu lên KerA dọc theo S z  : Bz ImA . Ký hiệu A, B là phổ của cặp {A,B}, nghĩa là A, B là tập hợp tất cả các nghiệm của p hương trình det AB 0. Trường hợp A = Im,ta viết B thay cho Im , B . Ta biết rằng, hệ (2.1.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi giá trị riêng hữu hạn của cặp {A, B} nằm hoàn to àn trong nửa mặt phẳng phức trái S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 16
(xem[9]). Nếu thì (2.1.1) có duy nhất nghiệm x 0 vì khi đó với A, B = mọi s ta có 1 det sA B det W .det sIr B1 det sU Im det T 0. r Như vậy, ta phải có r = 0 tức là phương trình (2.1.4) không có tr ong hệ. Vì vậy, (2.1.1) tương đương (2.1.5) và chỉ có nghiệm x = 0. Trong trường hợp này, ta quy ước (2.1.1) là ổn định tiệm cận với P = 0, Q = Im. Bán kính ổn định phức với nhiễm cấu trúc Như trong trường hợp phương trình vi phân thường, ta cố định cặp ma trận ổn định tiệm cận {A,B}. Giả sử E K m p ; F K q cố định, ta xét hệ m có nhiễu: Ax' t B E F xt 0, (2.1.6) trong đó K p q . Ma trận E F được gọi là ma trận nhiễu cấu trúc. Kí hiệu: V K K p q sao cho hệ (2.1.6) là không chính quy hoặc không ổn định tiệm cận}. Nghĩa là, V K là tập các nhiếu “xấu”. Kí hiệu dK VK , trong đó là một chuẩn ma trận inf : . tương thích với chuẩn vectơ, thông thường chuẩn Euclide được sử dụng. Ta gọi d K là bán kính ổn định có cấu trúc của bộ bốn ma trận {A , B, E , F} Nếu K  ta gọi d là bán kính ổn định phức , còn nếu K  ta gọi d  là bán kính ổn định thực. Tương tự như phương trình vi phân thường, ta đặt 1 1 E và ta sẽ chứng minh rằng d sup G s Gs F sA B s 1 Trước hết, ta c hứng minh d sup G s s S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 17
Lấy V  bất kỳ, khi đó xảy ra hai trường hợp : (i) Cặp A, B E F là chính quy. Ta lấy tuỳ ý một giá trị A, B E F , sao cho Res ≥ 0. Giả sử rằng x 0 là một vectơ riêng s tương ứng với giá trị riêng s, tức là sA B E F x 0. 1 Điều này tương đương với x E Fx , từ đó ta suy ra sA B 1 Fx F sA B E Fx G s Fx. 1 1 Vì vậy, Gs sup G s , V s 1 Do đó, d sup G s s (ii) Cặp A, B E F là không chính quy, khi đó s ta có 0, tức là đa thức det sA s , do đó với det sA B EF B EF 0, s  luôn tồn tại vectơ x 0 sao cho mọi B E F x 0. sAx 1 Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh được d . sup G s s 1 Bây giờ, ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại d sup G s s Với mỗi >0, ta tìm giá trị s0  sao cho 1 1 G s0 sup G s s S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 18
Khi đó tồn tại u  p : u G s0 . Theo một hệ quả của định 1 và G s0 u lý Hahn- Banach, tồn tại một p hiếm hàm tuyến tính y * xác định trên  q : y* 1 và y*G s0 u G s0 u G s0 . 1 Đặt pq uy*  . Rõ ràng, G s0 1 1 uy*G s0 u G s0 u G s0 G s0 u. G s0 u 1 1 1 Vì vậy, . Mặt khác, từ uy* ta có u. G s0 G s0 G s0 1 Kết hợp hai bất đẳng thức ta có . Hơn nữa, từ G s0 u u ta G s0 1 nhận được E G s0 u Eu 0. Đặt Eu , khi đó x s0 A B s0 A B x Eu . Vậy E Fx s0 A B x , hay là s0 A B E F x 0. Điều đó có nghĩa là, s0 A, B E F , hoặc cặp A, B E F không chính quy. Do đó, hệ Ax '(t ) - B E F x(t ) 0 không ổn định tiệm cận hoặc không chính quy. Nghĩa là, V . 1 1 Mặt khác, ta có, d . G s0 sup G s s 1 Vì là bé tuý ý, nên d . sup G s s 1 Do đó, d . sup G s s Để ý rằng, hàm G s là hàm g iải tích trên nửa mặt phẳng  . Do đó theo nguyên lý cực đại, G s đạt cực đại tại s hoặc trên biên i . S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 19