Luận văn
Phương trình vi phân
đại số
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu ................................................................................................
2
Chƣơng I Một số khái niệm về hệ phƣơng trình vi phân đại số ...
5
1.1
Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận .........................................
5
1.2
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng ........
7
1.3
Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình
vi phân thường và hệ phương trình đại số .................................
10
1.4
Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số.......
13
Chƣơng II Bán kinh ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số
tuyến tính với ma trận hệ số hằng ....................................................
15
2.1
Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ......
15
2.2
Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức
của hệ phương trình vi phân đại số ............................................
24
Chƣơng III Bán kính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại
số tuyến tính với nhiễu động .............................................................
34
3.1
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên
35
3.2
Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định .......................................
37
3.3
Công thức bán kính ổn định .......................................................
44
3.4
Các trường hợp đặc biệt .............................................................
55
Kết luận ..............................................................................................
59
Tài liệu tham khảo .............................................................................
60
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
MỞ ĐẦU
Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho
bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều
định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của
A.Poincaré, V.Rumyantsev, ... Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) công
bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm
1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du
mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách có
hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính
phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học
trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua,
lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi và đã
thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công
nghệ, sinh thái học, ... Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn định bằng cả hai
phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là
phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp
hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov).
Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan đến
phương trình vi phân dạng:
'( ) + ( ) 0ttA x t B x t
ở đó,
a là hằng số,
det 0 A t t I
. Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân
đại số (differential algebraic equation-DAE). Ngay sau đó, loại phương trình
vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu DAE
người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một
hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số. Ngoài ra,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá
nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi
phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của
nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng.
Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà
D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng
nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên
khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và
tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng
như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu
Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân
đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán
kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying
differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations”
được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006.
Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này.
Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo, gồm có ba chương:
Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương này
trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau.
Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng
'( ) - ( ) 0Ax t Bx t
trong đó
A, B là các ma trận thực,
det 0.A
Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
với nhiễu động. Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân đại
số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
' , 0A t x t B t x t t
trong đó
. 0, ;
loc nn
AL K
,
. 0, ;
loc nn
BL K
, ở đây công thức bán
kính ổn định được đưa ra.
Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của Cô
giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc công
lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn
thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa
Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã đào tạo và
tạo điều kiện tốt nhất để luận văn được hoàn thành. Sau cùng tôi xin được bày
tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, cơ quan nơi tôi công tác (Trường
PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm
học tập, nghiên cứu.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn
chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008
Học viên cao học
Lƣu Thị Thu Hoài