1
Luận văn tốt nghiệp
Phân loại tôpô các mặt compact
2
MỤC LỤC
Trang phụ bìa ............................................................................................. i
Lời cam đoan ............................................................................................. ii
Mục lục ..................................................................................................... 1
Một số kí hiệu ............................................................................................ 2
Phần mở đầu .......................................................................................... 3
Phần nội dung ........................................................................................ 5
Chương I: Kiến thức chuẩn bị ........................................................... 5
I. Tôpô, không gian tôpô ................................................................. 5
II. Ánh xạ liên tục, đồng phôi .......................................................... 6
III. Tổng, tích, thương và phép dán các không gian tôpô ................. 7
Chương II: Đa tạp tôpô ...................................................................... 9
I. Đa tạp n-chiều ............................................................................. 9
II. Mặt, mặt compact ..................................................................... 12
III. Mặt định hướng được và không định hướng được ................... 17
IV. Tổng liên thông ....................................................................... 18
Chương III: Phân loại mặt compact ............................................... 20
I. Dạng chính tắc của mặt cầu, tổng liên thông các mặt
xuyến và tổng liên thông các mặt phẳng xạ ảnh ............... 20
II. Phép tam giác phân của mặt compact ....................................... 24
III. Định lí phân loại tôpô các mặt compact ................................... 28
IV. Hệ quả .................................................................................... 34
V. Ví dụ minh hoạ ........................................................................ 34
VI. Sơ lược về một hướng chứng minh khác của định lí ................ 43
Phần kết luận ....................................................................................... 46
Tài liệu tham khảo ................................................................................... 47
3
MỘT SỐ KÍ HIỆU
Kí hiệu
A
Rn
X
Y
f-1(U)
Dn
n
S
idA
u
Sn
S2
B(x,
)
P2
2
S
2
D
D2
S1 # S2
)S(
Giải thích
Biên của tập A
Không gian Euclide n-chiều
Hai không gian đồng phôi
Tạo ảnh của tập U
Hình cầu đơn vị mở (đĩa mở) n-chiều
Bán cầu bắc n-chiều
Ánh xạ đồng nhất trên A
Chuẩn Euclide của u
Mặt cầu n-chiều
Mặt cầu (2-chiều)
Hình cầu mở tâm x, bán kính
Mặt phẳng xạ ảnh (thực)
Nửa trên của mặt cầu
Hình tròn đơn vị đóng (đĩa đóng)
Hình tròn đơn vị mở (đĩa mở)
Tổng liên thông của S1 và S2
Đặc trưng Euler của mặt S
Trang xuất
hiện đầu tiên
6
7
8
8
10
10
10
11
12
13
13
15
15
15
15
19
44
4
Phần mở đầu
I. Lí do chọn đề tài
Tôpô là một ngành toán học nghiên cứu những bất biến qua nhóm các phép
biến đổi liên tục. Một trong những đối tượng nghiên cứu của tôpô học là đa tạp
tôpô. Đây là sự khái quá hoá nhiều chiều từ khái niệm đường và mặt trong không
gian Euclide 3-chiều. Việc nghiên cứu đa tạp đã được công nhận là có nhiều ứng
dụng trong các lĩnh vực khác nhau như: Hình học, Giải tích phức, Đại số, Hình
học đại số, Cơ học cổ điển, Thuyết tương đối, Thuyết lượng tử,…
Việc phân lớp các đa tạp được xem là một trong những vấn đề quan trọng
nhất của ngành tôpô. Đối với trường hợp đa tạp 2-chiều vấn đề đã được giải
quyết với “định lí phân loại đa tạp compact 2-chiều” được phát biểu và chứng
minh đầu tiên bởi H.R.Barahana vào năm 1922. Trường hợp đa tạp 2-chiều
không compact cũng đã được phân loại.
Đối với đa tạp có số chiều cao hơn thì tình hình rất khó khăn. Trong nổ lực
phân loại đa tạp 3-chiều, Poincaré, nhà toán học vĩ đại người Pháp, đã phát biểu
rằng: Một đa tạp compact 3-chiều mà nhóm cơ bản của nó là nhóm tầm thường
thì đồng phôi với mặt cầu. Tuy nhiên ông không chứng minh được điều đó và nó
được các nhà toán học trên thế giới quan tâm với tên gọi “giả thuyết Poincaré”.
Suốt một thời gian dài kể từ khi giả thuyết Poincaré ra đời (1904) mọi nổ lực
chứng minh vẫn không có kết quả đáng kể. Trong khi đó, những giả thuyết tương
tự với số chiều cao hơn lần lượt được giải quyết bởi Stephen Smale (trường hợp
n > 4, năm 1961) và Michael Freedman (trường hợp n = 4, năm 1982).
Năm 1958, A.A.Markov đã chứng minh được không tồn tại thuật toán nào
để phân loại các đa tạp có số chiều lớn hơn 3. Đây là một bất ngờ thú vị của toán
học, chúng ta đã giải quyết vấn đề một cách triệt để trong trường hợp tổng quát
(n
4), nhưng lại không giải quyết được trong trường hợp cụ thể (n = 3) gần với
cuộc sống của chúng ta nhất.
Năm 2000, Viện Toán học Clay (Mỹ) đã đưa giả thuyết Poincaré vào danh
sách 7 bài toán mở quan trọng nhất cần giải quyết vì tầm quan trọng của nó trong
toán học và vũ trụ.
Vào những năm 1970, William Thurston đã đề xuất một giả thuyết khác, giả
thuyết hình học hóa: Mọi đa tạp compact 3-chiều đều có thể cắt ra làm các phần
mà mỗi phần thuộc một và chỉ một trong 8 dạng. Đây là sự tổng quát tuyệt vời từ
giả thuyết Poincaré, nếu giải quyết được nó (tất nhiên sẽ kéo theo giải quyết được
giả thuyết Poincaré) thì vấn đề phân loại về cơ bản là hoàn tất.
Năm 2003, Grigory Perelman, nhà toán học người Nga, đã xuất sắc hoàn
thành chứng minh giả thuyết hình học hóa và giả thuyết Poincaré nhờ sử dụng
phương trình dòng Ricci. Chứng minh của ông đã được các nhà toán học trên thế
giới kiểm chứng và công nhận bằng việc đề nghị trao cho ông huy chương Fields
(2006), nhưng ông đã từ chối nhận giải.
5
Với ý nghĩa bước đầu nghiên cứu về đa tạp, tôi chọn đề tài “Phân loại tôpô
các mặt compact”. Đây là đề tài nghiên cứu về sự phân loại đa tạp 2-chiều
compact, liên thông.
II. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về các đa tạp 2-chiều compact, liên thông và sự phân loại chúng.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phát biểu và chứng minh định lí phân loại đa mặt compact, nêu một vài ví
dụ minh hoạ cho định lí.
IV. Phạm vi nghiên cứu
Các đa tạp 2-chiều compact, liên thông.
V. Đối tượng nghiên cứu
Định lí phân loại mặt compact.
VI. Phương pháp nghiên cứu
-Sưu tầm tài liệu từ sách, báo, internet.
-Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá, cụ thể hoá.
VII. Cấu trúc đề tài
Bản luận văn gồm có: Phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. Phần
nội dung được trình bày 3 chương
Chương I: Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tôpô cần dùng cho các
chương sau.
Chương II: Đa tạp tôpô
Giới thiệu chung về đa tạp, sau đó đi sâu nghiên cứu đa tạp 2-chiều
compact, liên thông (mặt compact) và xây dựng tổng liên thông của chúng.
Chương III: Phân loại tôpô các mặt compact
Đây là chương chính của bản luận văn, phát biểu và chứng minh định lí
phân loại mặt compact. Nêu một vài ví dụ minh họa cho định lí. Ngoài ra,
chương này cũng giới thiệu sơ lược một cách khác để chứng minh định lí bằng
cách dùng hai bất biến tôpô là tính định hướng và đặc trung Euler của một mặt.
Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu và trình bày nhưng chắc
chắn bản luận văn khó tránh khỏi thiếu sót. Rất mong những ý kiến đóng góp quý
báu của thầy cô và các bạn.